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Facultad de Ciencias Naturales y Museo
Cátedra de Matemática
Trabajo Práctico Nº 17
Aplicaciones de la derivada
TRABAJO PRÁCTICO Nº 17
Contenidos: Aplicaciones de la derivada: rectas tangente y normal a una curva;
velocidad; intensidad de cambio de una función.
EJERCICIO Nº 1: En cada uno de los ejercicios siguientes realizar una tabla de cuatro
valores (x,y) hallando la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en
cada punto considerado (tomar x Є [-2,2]). Trazar la gráfica de la función y un
segmento de la recta tangente en cada uno de los puntos considerados.
b) y = 4 + x2
a) y = 4 – x2
c) y = x3 + 1
d) y = x + 2
EJERCICIO Nº 2: Siendo y = 3t2 + 4t – 2. ¿En qué punto de la curva la tangente es
paralela al eje t? ¿En qué punto de la curva la tangente es paralela a la recta y = t?
Graficar.
EJERCICIO Nº 3: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 x + 4 en el
punto de abscisa x = 0. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva dada en el
mismo punto. Graficar.
EJERCICIO Nº 4: Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 – 3x
paralela a la recta de ecuación 2x + 18y – 9 = 0.
EJERCICIO Nº 5: ¿En qué puntos de la función y = 2x + e2x la recta tangente a la
misma tiene pendiente m =2?
EJERCICIO Nº 6: ¿Qué ángulo forman la funcione y = lnx con
de intersección?.
y = -lnx en su punto
EJERCICIO Nº 7: Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica y=sen x en el
punto (π,0)
EJERCICIO Nº 8: Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva 16x4 + y4 = 32 en
el punto (1,2).
EJERCICIO Nº 9: La ecuación x 2 + y2 = r2 representa una circunferencia de radio r
centrada en el origen de coordenadas. Demostrar que en cualquier punto (x1,y1) la
recta tangente a la curva es perpendicular al radio.
EJERCICIO Nº 10: Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de
acuerdo con la siguiente ecuación: s(t) = 2 t3 – 4t2 + 2t - 1
(s se mide en metros y t en segundos). Determinar los intervalos de tiempo en que la
partícula se desplaza hacia la derecha y hacia la izquierda. ¿En qué instante cambia el
sentido del movimiento?.
EJERCICIO Nº 11: Un globo mantiene la forma de esfera conforme es inflado. Hallar la
intensidad de cambio del área de la superficie con respecto al radio cuando éste es de
2 metros.
EJERCICIO Nº 12: Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial
de 20 m/s tiene una ecuación de movimiento s (t) = -5t2 + 20t, donde t, en segundos, es
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Trabajo Práctico Nº 17
Aplicaciones de la derivada
el tiempo trascurrido desde su lanzamiento, y s, en metros, el espacio recorrido desde
el punto de partida hacia arriba.
Hallar:
a) La velocidad instantánea de la pelota al cabo de 1 seg.
b) La velocidad instantánea al cabo de 3 seg.
c) La altura máxima alcanzada
d) El tiempo que tarda en llegar al suelo
e) La velocidad instantánea de la pelota cuando llega al suelo
Responder:
f) Al término de 1 seg, la pelota ¿se encuentra subiendo o cayendo?
g) Al término de 3 seg, la pelota ¿se encuentra subiendo o cayendo?
h) ¿Cuánto vale la aceleración en función del tiempo?
EJERCICIO Nº 13: La ley de Boyle para la expansión de un gas es PV = C, donde P es
la presión (en unidades de fuerza por unidad de área), V es el volumen del gas (en
unidades de longitud al cubo) y C es una constante. Determinar la intensidad de
cambio instantánea del volumen respecto a la presión, cuando P = 4 y V = 8.
EJERCICIO Nº 14: En un circuito eléctrico, si V es la fuerza electromotriz (en volts), R
es la resistencia (en ohms) siendo I la corriente (en amperes), la ley de Ohm que
relaciona a estas tres cantidades dice que V = RI. Suponiendo que V no varía,
demuestre que la intensidad de la corriente decrece inversamente proporcional al
cuadrado de R.
EJERCICIO Nº 15: Si un cuerpo de peso W es arrastrado a lo largo de una superficie
horizontal con una fuerza F cuya línea de acción forma un ángulo de θ radianes con el
µW
plano del suelo, entonces F está dada por la ecuación: F =
µsenθ + cos θ
donde µ es una constante que recibe el nombre de coeficiente de fricción.
Si µ = 0,5 , calcular la intensidad de cambio instantánea de F conforme varía el ángulo
θ cuando a) θ = π/4
b) θ = π/2.
EJERCICIO Nº 16: Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta de acuerdo
con la ecuación s = 5 – 2cos2t , donde s, en cm, es la distancia desde el origen a los t
seg. Obtener la velocidad y la aceleración a los t segundos. Expresarlas en términos
de s.
EJERCICIO Nº 17: Una partícula que se desplaza en línea recta tiene un movimiento
armónico simple si la aceleración es proporcional al desplazamiento pero su sentido es
opuesto. Mostrar que el movimiento rectilíneo de una partícula descrito por s = A sen
2πkt + B sen 2πkt, donde s es la distancia en cm desde el origen a los t seg, con A, B y
k constantes, constituye un movimiento armónico simple.
EJERCICIO Nº 18: En una transformación adiabática (sin intercambio de calor con el
medio) la expansión de un gas es PVγ=C, donde P es la presión (en unidades de fuerza
por unidad de área), V es el volumen del gas (en unidades de longitud al cubo) y C es
una constante. Si el gas en cuestión es aire γ = 1,4. Determinar la intensidad de
cambio instantánea del volumen respecto a la presión para un volumen V de aire.