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Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática UNIDAD II CINEMATICA La Mecánica es la parte de la Física que estudia las fuerzas, la materia y el movimiento. Dentro de la Mecánica, la Cinemática estudia el movimiento, sin interesar las causas que lo producen (ni los efectos que es capaz de producir). Es la “geometría” el movimiento. En la Cinemática se estudia distintos tipos de movimientos; sus trayectorias y las leyes espacio-temporales, o sea, las leyes del movimiento. La Cinemática se estudia con un metro y un reloj, midiendo las distancias y tiempos, y estableciendo relaciones para determinar las características del movimiento: la velocidad y la aceleración. Definimos a la unidad patrón de longitud, el metro (símbolo m) como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299.792.456 segundos (esto supone que la velocidad de la luz es exactamente 299.792.458 m/seg). Definimos a la unidad patrón de tiempo, el segundo (símbolo seg) de modo que la frecuencia de la luz emitida en una determinada transición del cesio es de 9.192.631.770 ciclos por segundo. Con estas definiciones, las unidades fundamentales de longitud y de tiempo son accesibles a cualquier laboratorio del mundo. La noción del “movimiento” está orientada a la del “sistema de referencia”, o sea, al cuerpo o sistema de cuerpos con respecto a los cuales referimos la posición del que se mueve. Cuando estamos sentados en un barco en marcha, estamos en “reposo” con respecto al barco y nos movemos “con respecto” a la tierra. Recíprocamente, el árbol que está en reposo con respecto a la tierra, se mueve “con respecto” al pasajero que está sentado en el barco (si imaginamos como sistema fijo al barco). Si el pasajero camina con movimiento rectilíneo y uniforme (ya veremos que significa) sobre el barco en movimiento tendrá una velocidad “con respecto al barco” y otra mayor o menor “con respecto a la costa”, según camine hacia la proa o hacia la popa. Estos son los problemas del movimiento relativo. Por ejemplo: si el pasajero camina hacia la proa del barco, que se está moviendo como dijimos con movimiento rectilíneo y uniforme con respecto a la costa, con una velocidad de 60 cm/seg, decimos que ésta es su velocidad relativa (con respecto al barco); si el barco se desplaza a 5m/seg, ésta es su velocidad de arrastre (con respecto a la costa), pues la velocidad del barco “arrastra” al pasajero. La velocidad total del pasajero que camina, con respecto a la costa, será entonces de 5,60 m/seg. Esta es la base del “principio de adición de velocidades”, aunque debe tenerse en cuenta que la velocidad es una magnitud vectorial y por lo tanto, si los movimientos son de diferente duración, deben sumarse los vectores que representan las respectivas velocidades. En definitiva: V Vr Va Donde: V velocidad total V r velocidad relativa Va velocidad de arrastre Más adelante, cuando veamos conceptos de Mecánica Relativa, volveremos sobre el tema. Por ahora digamos que TRAYECTORIA es: “las sucesivas posiciones de un cuerpo móvil, con respecto a un sistema de referencia que suponemos fijo”. Variando los ejes, es decir, variando el sistema de referencia puede cambiar la forma de la trayectoria. 1 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Por ejemplo: estoy en un vagón que se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme (recorriendo espacios iguales en tiempos iguales). Mi sistema de referencia lo fijo al mismo vagón (ejes ortogonales). Si suelto la piedra que tengo en la mano, la misma va hacia abajo, hacia mis pies, recorriendo una recta. Pero, para personas que están en una estación, con sus ejes fijos a la misma, al pasar el tren y al soltar yo la piedra, ven que al caer la misma describe una parábola (cae y se desplaza hacia delante, lo mismo que yo). Por eso para mí, y para las personas de la estación, la piedra cayó a mis pies. Consideremos como “partícula”, una unidad completa de masa despreciable que se mueve sin interesarnos sus rotaciones alrededor del centro de masa. En definitiva, un cuerpo, que puede ser considerado una partícula, está en equilibrio respecto a un sistema ortogonal de ejes que suponemos fijo, si las coordenadas de tres puntos no alineados del mismo permanecen constantes. Basta que una coordenada varíe con el tiempo para que la partícula esté en movimiento. En la figura1, el cuerpo cae, o sea que se mueve paralelamente al eje z; por lo tanto su coordenada z va disminuyendo, en cambio permanecen fijas las coordenadas de x e y. Si las coordenadas de A, B, C no varían el cuerpo está fijo (se entiende que el cuerpo es rígido). Basta que varíe uno solo de ellos para que el cuerpo esté en movimiento, respecto al sistema de referencia, supuesto fijo (Ver figura 2). 2-MOVIMIENTO DE PARTICULAS EN TRAYECTORIAS CURVAS. Las trayectorias curvas pueden ser planas o alabeadas. Trazamos una trayectoria curva alabeada, cuya ecuación será del tipo P = P(t), es decir función no lineal de t (siendo t una variable muda). Cuando debamos derivar con respecto al arco lo indicaremos. Dando valores a t, los puntos P, extremo del vector posición P , describirá la curva C. En la figura está indicado el punto P determinado al asignarle a la variable un valor dado “t”. Si aumentamos la variable en un t, el vector posición será P (t t ) indicando su extremo el punto P1 sobre la ahora el curva C. Fig. 3 Uniendo P con P1 obtenemos el vector P que indica la variación del vector posición al incrementar t en t. Supongamos que la variable t es el tiempo así que, en el tiempo t el móvil está en el punto P sobre la trayectoria C y el tiempo (t + t), está en el punto P1 sobre la misma trayectoria Definición: se llama velocidad media entre los puntos P y P1 a la magnitud vectorial: vm P t y vm P t 2 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática El móvil se mueve sobre el arco de curva PP1, pero se interpreta como velocidad media entre P y P1, a la magnitud vectorial v m que representa la velocidad del móvil sobre la cuerda PP1; es decir, la de un móvil ficticio que sale del punto P al mismo tiempo que el real y llegan, el real sobre el arco y el móvil ficticio sobre la cuerda, al mismo tiempo al punto P1. 2.1. Velocidad instantánea: P d P t 0 t dt ó sea: v lim v m lim t 0 v dP P' dt d P d P : Leibniz P ' : son distintas notaciones dt dt P' : Lagrange Fig. 4 S La derivada del vector posición respecto al tiempo, es un vector tangente a la trayectoria en el punto P. Este es el vector derivado y es igual a la velocidad instantánea v. 2.2. Módulo de la velocidad instantánea: siendo v v dP dt dP dt Pero por lo que sabemos |dP| = ds, o sea el módulo del vector dP, que es tangente al arco en el punto P, es igual a la longitud del arco ds ó la longitud de la cuerda dPP1. Recordando que: cuerda lim 1 arco 0 arco Es decir, que en el límite ds = dPP1 d P ds v ds derivada de la funcion trayectoria S con respecto al tiempo dt 2.3.Hodógrafa: En la función no lineal P = P (t) damos valores a t, o sea t1, t2, t3, etc., determinando el extremo del vector posición P los puntos 1, 2, 3, etc. y las velocidades v1 , v 2 , v3 etc. en esos puntos son tangentes a la trayectoria C (ver figura 5a). Tomamos un punto O’, cualquiera del espacio, y desde él trazamos vectores equipolentes a las mencionadas velocidades (figura5b). Uniendo los extremos de los vectores equipolentes de las velocidades obtendremos una curva C’, llamada “hodógrafa” de la curva C. Fig. 5a 3 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Uniendo en la hodógrafa los puntos 1’ y 2’, obtendremos el vector v v 2 v1 v am Se define como aceleración media: v t Y como aceleración instantánea: v d v t 0 t dt a lim a m lim t 0 Fig. 5b a dv dt Es una magnitud vectorial que es tangente a la curva hodógrafa en el punto 1’. Ahora veremos, respecto a la trayectoria C, donde está el vector a . Para dibujar más claramente modificaremos la forma de la trayectoria. Consideremos un punto P de la misma, obtenido al darle un cierto valor a la variable t, y obtenemos el vector posición OP = P (t) (no dibujado en la figura). En el punto P obtenemos el vector velocidad, que lo representamos como un vector tangente a la trayectoria (ver figura 6). Consideremos el Triedro de Frenet: t o en la dirección de la tangente; n o analíticamente perfectamente ubicado y gráficamente hacia la curvatura de flexión (concavidad) de la curva C y bo perpendicular a t o y n o . Estos últimos determinan el plano osculador. Por lo tanto, observando la figura 6: v v. t o d v a dt d (v. t o ) dt dt dv t o v. o dt dt (1) t o , no : plano oscilador n o , bo :plano normal Fig. 6 bo , t o : plano rectificante 4 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática dt Pero o , si bien da un vector en la dirección de la normal principal, no es el vector curvatura de flexión. dt Una de las formas de resolver es: ds siendo ds un diferencial de trayectoria ds A la expresión (1) multiplico y divido por dv a to dt v d t o ds dt . ds dv to dt v . d to . ds ds dt d to n n . n o donde el módulo n es la curvatura de flexión c, la que a su vez es igual a la inversa del ds radio de curvatura en ese punto (Primera fórmula de Frenet-Serret) dto 1 n . n o = c . no . no ds siendo ds v dt Reemplazando ambas expresiones resulta: a dv to dt v2 . no Es una suma de vectores que demuestra que el vector aceleración se encuentra en el PLANO OSCULADOR Veamos que como es lógico el movimiento rectilíneo es un caso especial del movimiento general ya que la recta es una curva de radio infinito.. Fig. 7.1 En el movimiento rectilíneo la función del movimiento es : P = P (t) Es función lineal de t P(t ) P P(t t ) La velocidad media de 1 a 2 es : Vm = P/t P d P La velocidad instantánea en el punto v lim dt t 0 t v P(t t ) P(t ) P 1: dP dt Como las velocidades nunca cambian de dirección (siempre están sobre la recta), se las pueden considerar como magnitudes escalares pues se suman y se restan sus módulos, pues los vectores son colineales. Además: d v dv v 2 a t o no dt dt Como en una recta el radio de curvatura , entonces no hay aceleración normal. Como t o coincide con la dirección de la recta trayectoria, entonces: dv a t dt o 5 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Solo hay aceleración tangencial y como tiene la dirección constante de la recta se la puede considerar como un escalar. Por eso solamente, en los movimientos rectilíneos se define: dP dt dv a dt v 3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME. Consideramos un movimiento rectilíneo donde las sucesivas posiciones quedan determinadas por los vectores x1 y x2 d x Se define la velocidad de la partícula, en estas condiciones, como: v dt siendo, x el vector posición sobre la recta; y v el vector velocidad que resulta colineal con el vector posición. Consideremos escalarmente el movimiento. Fig. 7.2 Si establecemos la relación, entre los espacios recorridos y los tiempos empleados en recorrerlo, vemos que si el movimiento es rectilíneo y uniforme, obtendremos una constante que representa a la velocidad del movimiento (figura 7.2). x1 0 x 2 0 x 2 x1 x x dx lim v t1 0 t 2 0 t 2 t1 t t 0 t dt Por lo tanto en estos casos podemos considerar a la velocidad como un escalar por tener siempre la misma dirección 4. LEYES DEL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME. 1°) En un movimiento rectilíneo y uniforme la velocidad es constante 2°) En un movimiento rectilíneo y uniforme el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo e v .t empleado Para las representaciones gráficas recordar que la ecuación de una recta que pasa por el origen es y = m.x. Fig. 8 6 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática En la representación de la 2da. ley: tg dx x v dt t tg v En la representación de la 1ra. Ley (figura 9), al cabo de un cierto tiempo t, la superficie del rectángulo representa el espacio recorrido por el móvil en ese tiempo, con esa velocidad, pues si: Fig. 9 v x t x v.t Si el móvil hubiera tenido un cierto espacio inicial a considerar (ver figura 10): x = xo + v.t Fig. 10 Velocidad media rectilínea: es aquella en la cual el móvil recorre el mismo espacio en el mismo tiempo pero con movimiento rectilíneo y uniforme; esto se aplica cuando se tiene un movimiento rectilíneo pero totalmente variado, con el cual un móvil recorre un cierto espacio en un cierto tiempo. Ejemplo: supongamos que un móvil recorre 60 km, en forma rectilínea; los primeros 30 km los recorre a v1 = 20 km/h y los segundos 30 km a una velocidad v2 = 60 km/h. Calcular la velocidad media rectilínea. Sabemos que: e v t t1= e1 / v1= 30 km / 20 km/h = 1,5 h t2= e2 / v2= 30 km / 60 km/h = 0,5 h t = t1 + t2 = 1,5h + 0,5h = 2 h vm = (e1 + e2 ) / (t1 + t2) = (30 + 30)km / 2h = 60 km / 2h = 30 km / h Correcto Promediando las velocidades de cada tramo: ( 20 km/h + 60 km/h) / 2 = (80 km/h ) / 2 = 40 km/h Incorrecto Las velocidades se promedian con respecto al tiempo y no con respecto al espacio recorrido. 7 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática 5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO O VARIADO. Definamos la aceleración como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. En estos casos la aceleración es constante. d v a dt a dv dt 6. LEYES DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO. Primera ley: La aceleración del movimiento es constante. a = cte Segunda ley: La velocidad es directamente proporcional al tiempo empleado y a la aceleración. v = a . t Tercera ley: El espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo empleado. e = ½ a t2 Graficando la primera ley: a(m/s 2) a=f(t) t(s) Fig 10 b Graficando la segunda ley: v = a .t v = vo + a.t Fig. 11 En la figura11 : tg = a = v / t = v / t = dv / dt El espacio recorrido con a = cte es: vm = (0 + v ) / 2 = ½ a.t (primer caso) 8 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática vm = (vo + vo + a.t)/ 2 = vo + ½ a.t (segundo caso) El móvil recorre el mismo espacio en el mismo tiempo, con esta velocidad media (área rectángulo OABC = área trapecio OA’B’C’) o sea, área bajo la recta. x = vm.t = ½ a.t2 (primer caso) x = vm.t = (vo + ½ a.t ).t = vo.t + ½ a.t2 (segundo caso) Si existiera un espacio inicial xo: x = xo + vo.t + ½ a.t2 Ordenando: x = ½ a.t2 + vo.t + xo que representa a la función del tipo segundo grado cuya representación gráfica es una parábola : y = m.x2 + b.x + c que es una función de Fig. 12 Si x = ½ a.t2 + vo.t + xo entonces la velocidad v = dx/dt = tg = a.t + vo y la aceleración es a = dv/dt = cte (1) Es decir, la derivada primera respecto al tiempo de la función espacio (recordar que la trayectoria es rectilínea) es la velocidad; y la derivada segunda de la función espacio respecto al tiempo dos veces o la derivada primera de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración de la partícula. Conociendo como datos la velocidad inicial vo y el espacio inicial xo, integrando la expresión (1) tenemos: a dv dt v v dv o t o a . dt v vo a . t despejando v vo a . t Integrando la expresión de la velocidad : v dx dt dx v . dt dx 0 vo x xo 0 vo x x o t t a . t dt t . dt a . 0 t . dt x x0 v0 . t despejando : 1 . a . t2 2 Una relación muy útil, en los movimientos rectilíneos y uniformemente variados, es la de la velocidad respecto a los espacios recorridos. Es decir, velocidad en función del espacio. Sabemos que: a = dv/dt Multiplicando el segundo miembro por dx/dx = 1, la expresión no altera y queda: 9 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática a v vo dv dx . dt dx agrupando las variables a x v . dv a . dx xo dx dv dv v . dv a . dx = v. dt dx dx recordar a = constante v 2 vo a x xo 2 2 Esta ecuación es usada cuando se estudia la caída de los cuerpos en el vacío y en un campo gravitatorio. En este caso, teniendo en cuenta la Fig. 13 y + v a - Fig. 13 ag yo 0 vo 0 yh entonces queda: v 2 gh Problema de Aplicación de Movimiento rectilíneo Uniformemente Acelerado Desde el borde de una cornisa situada a 48 m del suelo se lanza hacia arriba una pelota y 5 segundos más tarde la pelota toca el suelo. (figura 17). Calcular: a) La velocidad inicial de la pelota y+ b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima v+ c) Cálculo de la altura máxima ad) Velocidad de la pelota cuando toca el suelo La estrategia en este problema consiste en colocar en el suelo el origen del sistema de referencia. a) 1 g ..t 2 2 1 m y 48 m v o t 9,81 .t 2 2 2 seg y y o vo t cuando t 5 seg 0 48 m v o 5 seg e0 Fig. 17 (toca el suelo) 1 m 9,81 .(5seg ) 2 2 2 seg 48 m v o 5 seg 122 ,625 m v o 5 seg 122 ,625 m 48 m 74 ,625 m vo 74,625 m m 14,925 5 seg seg 10 b) Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática m v v o 9,81 t seg 2 v 14 ,925 m seg cuando v 0 y 0 14 ,925 t seg 2 h es máxima m m 9,81 t seg seg 2 14 ,925 m t m 9,81 9,81 m seg 2 1,52 seg seg 2 c) x 48 m 14,925 d) m 1 m .1,52 seg 9,81 .(1,52 seg ) seg 2 seg 2 v v o gt 14 ,925 2 x 48 22,686 11,33 59,356 m m m m 9,81 .5 seg 34 ,125 2 seg seg seg Verificación: v 2 gh 2.9,81.59,356 34,12 m seg 7. CAIDA EN UN PLANO INCLINADO – Sin rozamiento -. Sea el triángulo ABC, rectángulo en B. Si desde C a B dejamos caer libremente una partícula , tendremos: 1 e a . t 2 Caso General 2 h 1 g .t 2 t 2 2h g (1) y siendo Fig. 14 v 2gh (2) Si proyectamos g sobre el plano inclinado tendremos que: at = g. sen Entonces sobre el plano inclinado, al cabo del mismo tiempo t determinado en (1), tendremos que la distancia x recorrida es: 1 x a t .t 2 2 1 x g.sen .t 2 (3) 2 11 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Pero x = h. sen porque en el mismo tiempo t , la caída vertical es h y su proyección sobre el plano es x (ver figura 14) y además h =1/2.g.t2 por lo tanto la expresión (3) queda: x = h . sen Es decir, que al cabo del tiempo t, que tarda la partícula para caer libremente desde C, sobre el plano inclinado (sin rozamiento) recorre la distancia x. Podemos probar que el tiempo es el mismo, pues de (3): t 2.x g.sen 2h.sen g.sen 2h g (1' ) y vemos que (1) (1' ) Además, si queremos saber que velocidad v1 alcanzará la partícula al llegar al punto A, es decir, después de haber recorrido toda la hipotenusa AC, tendremos: v1 2.at .l. (4) pero recordando que at g .sen v1 2.g .sen . y l h sen h sen y recordando además que (ver figura 14) sen . l h v1 2 gh vemos que v1 v pues (2) (4) Es decir, si bien sobre el plano inclinado la aceleración de caída, fijado el ángulo , es conocido y menor que g, el tiempo total a recorrer de C a A sobre el plano inclinado será mayor que (1) y la velocidad que adquirirá la partícula al llegar a A será la misma, que en caída libre al llegar a B. (Velocidad numérica o módulo). 8. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON ACELERACIONES NO CONSTANTES. Supongamos que la aceleración es variable y en función del tiempo. a = f (t) Por ejemplo: a = 6t – 4 Siendo los datos: xo = 10 m vo = 20 m/seg Sabemos que la aceleración instantánea es: a dv dv a.dt dt dv (6t 4)dt dv 6tdt 4dt v t t Integrando : v 20 dv 6 0 tdt 4 0 dt o v 20 6. t2 4t 2 v 3t 2 4t 20 12 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Además: v dx dx v.dt dt dx (3t 2 4t 20 )dt dx 3t 2 dt 4tdt 20 dt Integrando : x t 2 3 t x dx 10 0 o x 10 3 t t 0 0 dt 4 tdt 20 dt t3 t2 4 20 t 3 2 x t 3 2t 2 20 t 10 9. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y RELATIVO DE DOS PARTICULAS. Se considera el mismo origen, el mismo sentido y el mismo tiempo para las dos partículas. La coordenada de posición relativa de B con respecto a A, la llamamos xB/A: xB/A = xB – xA (1) xB = xA + xB/A Fig.15 Si xB/A es positiva, B se encuentra a la derecha de A. Si xB/A es negativa, B se encuentra a la izquierda de A. Por ejemplo, tomemos las dos partículas en la semirrecta negativa: xB/A = -xB – (-xA) Fig 16 En la figura 16, B está en –2 y A en –3 Luego: xB/A = - 2 – (- 3) = -2 + 3 = 1 Si xB/A es positivo (+), B está a la derecha de A Derivando la ecuación (1) se obtiene la velocidad relativa entre las dos partículas: dx B / A dx B dx A dt dt dt vB / A vB v A Si vB/A, velocidad relativa de B con respecto a A, es positiva indica que, B observado desde A se mueve en sentido positivo de las velocidades. Si vB/A es negativo indica que, B observado desde A se mueve en el sentido negativo de las velocidades. Lo mismo sucede para la aceleración relativa entre las dos partículas. 13 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática dv B / A dv B dv A dt dt dt aB / A aB a A Ejemplo de aplicación de movimiento rectilíneo y relativo de dos partículas. En el instante t=0 un automóvil A pasa con movimiento rectilíneo y uniforme por una marca que está en el suelo, con una velocidad de VA= 20 m/seg (72 km/h). También en el mismo instante t = 0 desde esa misma marca y con la misma dirección y sentido, parte otro automóvil B que estaba detenido con una aceleración constante de aB = 2 m/seg2 . Calcular: a) ¿Cuándo el auto B alcanzará al A? b) ¿A qué distancia de la marca? c) ¿Qué velocidad final tiene B en ese momento? Solución: Primero hay que identificar qué tipo de movimiento tiene cada auto y cuáles son las leyes que gobiernan a esos movimientos A (VA = 20 m/seg) VB = 0 B (aB = 2 m/seg²) to = 0 1) El auto A va con MRU donde el espacio es : e A v B t 20 m t ( seg ) seg 2) El auto B va con MRUA donde el espacio es: 1 1 1 m 2 e B v Bo t a B t 2 a B t 2 2 t ( seg 2 ) 2 2 2 seg 2 Respuesta: a) Cuando e A eB 20 20 t t 2 m 1 m t (seg ) 2 t 2 (seg ) 2 seg 2 seg 2 t 20 seg t 20 seg b) La distancia es, calculada con: El auto A : e = 20 m/seg . 20 seg = 400 m El auto B : e = ½ a t2 = ½ . 2 m/seg2 . 400 seg2 = 400 m c) La velocidad final de B será: VB = aB . t = 2 m/seg2 . 20 seg = 40 m/seg VB = 40 m/seg . km/1000 m . 3600 seg/1 h = 144 km/h Los diagramas de velocidad de cada auto son 14 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática V VB = 144 km/h areas iguales significan espacios iguales VA = 72 km/h e 20 seg t 10. MAGNITUDES ANGULARES. 10.1. Velocidad Angular y aceleración angular. Así como en un movimiento rectilíneo y variado, la velocidad media es: vm Fig. 18 x xo x t to t Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de centro O , radio r y desplazamiento angular como la de la figura 19. Entonces, la velocidad angular media se define como el ángulo barrido por el radio R en la unidad de tiempo: m o t to t Fig. 19 La velocidad angular instantánea, se define como: d dt t 0 t lim Así como la aceleración media en un movimiento rectilíneo se define como: am v v o v , t to t entonces en un movimiento circular la aceleración angular media es : m o t to t y la aceleración angular instantánea es : d lim dt t 0 t 15 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Tanto la velocidad como la aceleración angular son magnitudes vectoriales. Están ubicadas en la normal a la circunferencia, en el punto O y con sentido regla de la mano derecha . 10.2. Relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal. Consideremos una partícula que se mueve en una trayectoria circular de centro O y radio r . La velocidad angular y la velocidad lineal v se relacionan por la expresión: v r v r . r .sen90 Fig. 20 v .r Entonces: Otra forma de obtener la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal es trabajando con los módulos: ds d . r Dividiendo la igualdad por dt ds d v= .r dt dt v .r d v a dt y también v v.t o entonces d (v . t o ) a dt Fig. 21 llegando finalmente a: a En el caso de una circunferencia el radio Entonces la ecuación se transforma en: es constante e igual a r d (.r ) 2 .r 2 .t o .n o dt d 2 .r 2 .r.t o .n o dt a a a .r.t o dv v 2 to no dt 2 .r 2 .n o En una circunferencia = r a .r.t o 2 .r.n o Aceleración lineal en función de las dos magnitudes angulares ( y ) en una circunferencia. 16 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática 12. CUERPO LANZADO HORIZONTALMENTE –Sin rozamiento, en el vacío y en un campo gravitatorio-. Un cuerpo se desliza por un plano inclinado bajo la única acción de la componente de su peso paralela al plano ( P t ). Al encontrarse el plano inclinado con el plano horizontal, dicha componente ( Pt ) desaparece y el cuerpo queda animado solo por la velocidad que traía hasta ese punto. A partir de allí la velocidad es constante ( v o ). En consecuencia el movimiento en el eje x es rectilíneo y uniforme. A partir del punto O la aceleración de la gravedad genera un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, en el eje y. En consecuencia: En el eje x: la velocidad vx es constante y la aceleración ax es 0 ya que el movimiento es rectilíneo y uniforme En el eje y: la aceleración ay es la aceleración de la gravedad g Para determinar las velocidades en cada eje : ax ay dvx dt dv y dt dvx a x .dt dv y a y . dt Integrando: x t En el eje x 0 dvx 0 . 0 dt En el eje y 0 dv y g . 0 dt y t Resolviendo la integral: En el eje x, la velocidad es: v x v 0 cte En el eje y, la velocidad es: v y g . t Fig 22 Para determinar las posiciones en cada eje: dx vx dx v x . dt v0 . dt dt dy integrando ambas expresiones: vy dy v y . dt g . t . dt dt x En el eje x : 0 dx vo dt En el eje y : 0 dy g . 0 t . dt y t La posición en el eje x es: entonces: x v0 . t 17 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática y La posición en el eje y es: 1 . g .t 2 2 La velocidad que anima al cuerpo en un punto de la trayectoria es v vx v y Las coordenadas de la posición del cuerpo en la trayectoria son: x v0 . t 1 2 y 2 g . t 2 2 Las aceleraciones son: dv x d cte 0 dt dt a a x a y 0 g a g la aceleración a es vertical dv y dg.t dt ay g. g dt dt dt ax En el caso de un cuerpo lanzado horizontalmente, el movimiento vertical es independiente del movimiento horizontal y viceversa Analicemos la aceleración de este movimiento: dv v2 t o .no dt a Recordando: dv v2 t o es la aceleración tangencial a y . n o es la dt donde aceleración normal a n Analicemos la aceleració n tangenci al : Vimos que : Si at dV dt V Vo 2 g 2 .t 2 2.g 2 .t (2) g 2 .t V 2. Vo 2 g 2 .t 2 V 2 Vo 2 g 2 .t 2 De (2) : t despejando V 2 Vo 2 g2 t V 2 Vo 2 g Reemplazando este valor en at tendremos : g 2 V 2 Vo 2 V 2 Vo 2 at g. V .g V2 V 2 at g 1 o V2 (3) Analicemos la aceleració n normal : a 2 at 2 a n 2 a n 2 a 2 at 2 g 2 g 2 (1 an 2 g 2 g 2 g 2 . an 2 g 2 . Vo 2 V 2 Vo 2 V2 ) Vo 2 V2 a n g. Vo V ( 4) 18 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Se concluye que: El movimiento no es uniformeme nte acelerado porque la aceleració n tangenci al y normal no son constantes , según fórmula (3) y (4) porque : Cuando t to 0 V Vo at 0 Cuando t V at g an g y y an 0 12.1. RADIO DE CURVATURA. Por definición, la aceleración normal es: an V2 V2 an V2 V3 V g .Vo g. o V 3 V radio de curvatura en función de g .V0 las velocidades Analicemos : Cuando V Vo obtenemos mínimo mín V0 2 g Cuando V entonces 13. TIRO OBLICUO EN EL VACIO y en un campo gravitatorio. Desde el origen de coordenadas un cuerpo es lanzado con una velocidad inicial v o formando un ángulo con la horizontal, según muestra la figura 23. Fig. 23 Al peso P lo descomponemos según los ejes x e y : P F x F y pero dv x 0 v x cte dt La componente de la velocidad inicial según el eje x es: v0 x v0 . cos En el eje x : Fx 0 m . ax m. 19 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática vx = v0 x = vo . cos pero en el vacío vx es constante F y m. g m. En el eje y: dvo y dt v v g dvo y dt dvo y g . dt integrando : t o dv o y g . dt to v y voy g . t v y voy g . t La componente de la velocidad inicial según el eje y es: v o y v o . sen entonces vy = vo sen - g.t Cálculo de los espacios vx dx dt dx v x . dt v o . cos dt x int egrando esta exp resión t o dx o vo . cos . dt x = vo . cos . t vy espacio sobre el eje x o ALCANCE dy dy v y . dt v o . sen g . t dt dt o dy o vo . sen g . t dt y = vo sen .t - 1 g . t2 2 y t int egrando esta exp resión espacio sobre el eje y o ALTURA Cálculo de la altura máxima Cuando se llega a la altura máxima, la componente de la velocidad en el eje y es cero : v sen vy = vo sen - g.t = 0 (1) tiempo que tarda en alcanzar la altura t o g máxima hmax v o . sen . t g .t 2 2 reemplazando t obtenemos 2 v . sen 1 v . sen2 hmáx vo . sen . ( o ) g( o ) g 2 g2 hmáx 2 2 2 2 v o 2 . sen 2 1 v o sen 1 v o sen = g 2 g 2 g 2 2 1 v o sen 2 g La altura máxima obtenida es la que corresponde a un ángulo dado, pero la mayor de las alturas máximas corresponderá para = 90º, es decir el cañón apuntando hacia arriba sobre el eje y: hmáx hmax max 1 v2o 2 g 20 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Cálculo de la distancia máxima (alcance). El alcance se obtiene cuando el proyectil toca el eje de las x y = 0 1 2 y = 0 Vo .sen .t .g.t 2 Vo .sen .t t 1 .g.t 2 2 2.Vo .sen g (2) tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima Vemos que el tiempo que tarda en alcanzar la distancia máxima (2) es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, entonces la distancia máxima será: x = vo . cos . t xmax Vo . cos . xmax 2.Vo .sen Vo 2 .2.sen . cos g g es decir que Vo 2 .sen 2 g Para obtener el mayor alcance máximo el ángulo 45º entonces sen 2 = sen 90º = 1 x máxmáx v 2o g En el tiro oblícuo en el vacío y en un campo gravitatorio, se observa que la trayectoria es una parábola. A continuación veamos cuál es la posición de esa parábola. Sabiendo que x = vo . cos . t (1) 1 y v o . sen . t g . t 2 (2) 2 De (1) despejamos t y lo reemplazamos en (2) t x v o . cos y v o sen . x 1 x2 1 x2 1 g 2 tg . x g . . 2 2 v o . cos 2 v o . cos 2 cos 2 vo 1 = 1 tg 2 2 cos y tg . x pero entonces reemplazando nos queda: 1 x2 1 x2 g. g. . tg 2 2 2 2 2 v o v o y ordenando según la variable x tendremos 1 g 1 g 2 2 y tg x tg . x 2 v 2 2 v 2 o o Esta ecuación es del tipo y = -k. x2 + tg . x donde k y tg son constantes y = - a x2 + b . x esta última es la ecuación rectangular de una parábola con concavidad hacia abajo (por el signo negativo del término independiente de x2) y que pasa por el origen . 21 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Parábola de seguridad Si ordenamos la ecuación de la parábola según tg tenemos: y 1 x2 1 x2 g. tg 2 x . tg g . 2 v 2o 2 v 2o 1 x2 1 x2 g . 2 tg 2 x . tg g . 2 y 0 2 v o 2 v o tg 1 x2 x x2 4 g. 2 2 v o igualando a cero toda la expresión nos queda ecuación de segundo grado donde tg es la incógnita 1 x2 g . 2 y . 2 v o x2 g . . v2o Tenemos que hallar el valor de y ; para ello llamamos: “a” al valor “ g y 2 v2o “c” - a x2 c2 + c . x - a . x2 - y = 0 “tg ” al valor entonces en la ecuación de 2º grado: esta es una ecuación del tipo = - a x2 c2 + c . x - a . x2 - y = 0 Para encontrar la solución singular de esta ecuación diferencial asociada a se debe eliminar c entre y d dc d 2.a . x2 c x 0 dc c x 2 a x2 1 2.a . x c 1 2a x Reemplazando en 0 a. x2 . 1 2 4 a .x 2 x 1 1 1 a x2 y a x2 y a a x2 y 0 2.a . x 4a 2a 4 y a. x2 y g . x2 2 . v 2o 1 reemplazando a por su valor 4a v 2o 2. g Esta última es la ecuación de una parábola con la concavidad hacia abajo (por el signo negativo del término cuadrático) y con su eje vertical coincidiendo con el eje de las y del sistema cartesiano . 22 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Problema de ejercitación. Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de 200 m de altura, con una velocidad de 200 m/seg. formando un ángulo de 30° con la horizontal. (figura 25)Despreciando la resistencia del aire, calcular: a) La distancia horizontal hasta el punto de caída del proyectil. b) La altura máxima que alcana el proyectil con respecto al suelo. Recordemos una vez más que los movimientos Fig. 25 verticales y horizontales son independientes. Movimiento vertical: V y Vo .sen g .t V y 200.0,5 9,8.t 100 9,8.t 1 g .t 2 2 1 y 200.0,5.t .9,8.t 2 100.t 4,9.t 2 2 y Vo .sen .t V y 2 Voy 2 2.a.e V y 2 (200.0,5) 2 2.9,8. y 10000 19,6. y Movimiento horizontal: V x Vo . cos V x 200 .0,866 m x 173 .t seg a) Distancia horizontal: V x 173 y 100.t 4,9.t 2 200 100.t 4,9.t 2 4,9.t 2 100.t 200 0 t 22 seg (elegimos el t positivo) x 173.22 3806m b) Altura máxima: V y 2 10000 19,6. y Cuando es hmax V y 0 0 10000 19,6. y 10000 510,20m 19,6 hmax 510,20 200 710,20m y También podemos hallar hmax partiendo de : V y 100 9,8.t Vy 0 t 100 10,2 seg 9,8 y 100.t 4,9.t 2 y 100.10,2 4,9.(10,2) 2 y 1020 509,79 510,21m 23 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática 14. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Es un movimiento cuya trayectoria es una circunferencia y el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales. Es decir, la velocidad angular es constante: el radio barre (o describe) áreas iguales en tiempos iguales. En el punto A construimos el triedro de Frenet. El versor tangente t o ; el Fig. 26 versor normal principal n o y el b o , normal al plano oscilador (no dibujado) Observación: las curvas planas están desarrolladas totalmente en el plano oscilador (figura 26) Si r = cte, es : v=.r también v = cte Es decir, el módulo de la velocidad lineal es constante mientras que el vector velocidad constantemente ya que es tangente a cada punto de la trayectoria v v cte ; Y también la aceleración angular a) Como v ds dt 0 ya que ds v.dt s v , cambia v cte . d cte d 0 dt dt e int egrando t s ds v 0 dt o Si to = 0 es decir si comienzo el estudio en ese punto A (s = so , to = 0) s so v ( t t o ) s s o v.t s so v . t s , so son dos puntos sobre la circunferencia b) si = 0, tenemos v = cte y la fórmula general de la aceleración: dv v2 a to no dt r v2 a an . no r y v2 a no r este vector tiene el mismo sentido que n o o sea que: at 0 Y en magnitudes angulares: a .r.t o 2 .r.n o como 0 a an 2 .r.no y a t .r . t o 0 Fig. 27 En todos los puntos solamente habrá un vector aceleración igual a su aceleración normal principal, dirigido hacia el centro de la circunferencia. 24 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática 15. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO. La característica de este movimientos es que: = cte , y, como v . r es : a dv d . r . r cte dt dt de donde at . r cte Entonces a at . r es decir que la componente tangencial de la aceleración lineal es constante en su módulo. Si Si ds dt ds v.dt (vo .dt at .t.dt ) v dv dt dv at .dt at v s t t o vo dv at 0 dt v v o at .t t sds vo 0dt at 0t.dt s s o vo .t v vo at .t 1 at .t 2 2 1 s so vo .t at .t 2 2 Pero si bien la aceleración angular = cte, también vemos que la velocidad lineal es distinta (va cambiando con el tiempo, no es constante) pero la aceleración tangencial si es constante; at . r cte , es decir que la componente tangencial de la aceleración es constante en su módulo mientras que la aceleración normal va creciendo; a n v2 . n o cte o sea que la aceleración total a a t a n va creciendo r Fig. 28 En función de las magnitudes angulares la aceleración es: dv v2 to no dt r Como v .r a d (.r ) 2 .r 2 .t o .no dt r d a r.t o 2 .r.no dt a a .r.to 2 .r.no 25 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática Además en el movimiento circular uniforme tenemos: = cte ; v = cte entonces: = m o despejandoel ángulo t to o (t t o ) Si t o 0 o .t Es decir, debemos acordarnos de las fórmulas lineales y reemplazar: x por xo por o v por Si el movimiento hubiera sido circular uniformemente acelerado y queremos expresarlo en función de las magnitudes angulares : y , tenemos: Si cte m Entonces despejando la velocidad angular ( ) o t to o (t t o ) Si t o 0 o .t (En los movimientos rectilíneos y uniformemente acelerados: v = vo + a.t) Debemos recordar los rectilíneos y reemplazar: v por vo por o a por Para hallar el ángulo descripto, recordamos que la velocidad media : m o 2 o o .t 2 1 o .t 2 m o 1 .t 2 Y el ángulo barrido a esa velocidad media será: 1 2 m .t o .t .t 2 Si o (ángulo inicial) 0 1 2 o m .t o o .t .t 2 26 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática (En los movimientos rectilíneos y uniformemente acelerados: x = xo +vo.t + ½ a.t2) Recordar y reemplazar: x por xo por o vo por o a por Velocidad angular en función del ángulo descripto: d d d d multiplico por entonces . dt d dt d d d d . pero dt d dt d . d .d .d o .d o d 2 o 2 2. .( o ) Recordar: v2 = vo2 + 2.a.(x – xo) ; y reemplazar: v por vo por o a por x por xo por o Periodo T: Se llama periodo de un movimiento circular uniforme al tiempo que tarda un punto móvil en dar una vuelta completa. Como el movimiento circular es repetitivo, el periodo es el intervalo (espacio de tiempo) en que se vuelve a repetir el movimiento. Frecuencia f: Es el número de vueltas del punto móvil que realiza en la unidad de tiempo. f = 1/T (1/seg) Además si consideramos que en este movimiento la velocidad lineal es: v ds dt d dt 2. .r T 2. T 1 2 De (1) despejamos 2 y lo reemplazamos en (2) obtenemos v= . r Problema de ejercitación. Un árbol (eje) gira a n = 90 r.p.m. (revoluciones por minuto). Después de desconectar el motor adquiere movimiento uniformemente desacelerado y se detiene al cabo de t1 = 40 seg. Determinar el número de revoluciones efectuadas por el árbol durante ese tiempo. 27 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática 1 2 1 .a.t o .t .t 2 2 2 v vo a.t o .t Si x vo .t (a) (b) La velocidad angular o inicial del árbol en rotación retardada es igual a la velocidad angular que éste desarrollaba antes de desconectar el motor. rev min 2. .n rev o 60 seg 2. .n .n o 60 30 o 2. .n En el instante que se detiene el árbol, cuando t = t1, la velocidad angular 1 = 0. Poniendo estas velocidades en (b). 0 . .n 30 .t1 .n 30.t1 Si designamos el número total de revoluciones hechas por el árbol, durante el tiempo t 1, por N, el ángulo total de rotación en el mismo t1 será igual a: 1 = 2..N Colocando estos valores de y en (a) 2. .N .n 30 .t1 1 .n 2 . .t1 2 30.t1 2. .n 1 .n .t1 . .t1 2.30 2 30 n.t 90.40 N 1 30rev 120 120 2. .N 16. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S.) Supongamos que un punto móvil gira sobre una circunferencia con movimiento circular uniforme: = cte. Entonces: = cte ; | v | = cte En el punto A, el móvil tiene una velocidad v y una aceleración normal (que es la única que posee) an, dirigida hacia el centro de la circunferencia. Las proyecciones de ambas sobre el eje de las x son vx y ax respectivamente. Entonces podemos considerar que mientras el móvil real, en la figura 29, recorre la circunferencia en sentido contrario al Fig. 29 movimiento de las agujas del reloj, con un movimiento circular uniforme; el móvil ideal, que representamos por el punto A1 recorre alternativamente el eje de las x, desde M a M1 y viceversa. La proyección describe un movimiento armónico simple. Sabemos que: d dt t .t (por ser uniforme) 28 Fig. 16 Facultad de Ingeniería_____________________________________________________Cátedra: FISICA I Unidad II : Cinemática En la figura 29, el triángulo OA1A: x r. cos o sea : x r. cos .t (1) dx vx r..sent (2) dt dv a x x r. 2 . cos t (3) dt Dividiendo la (3) por la (1) a x r 2 . cos t 2 cte x r. cos t a x 2 .x Es decir, la aceleración del móvil ideal sobre el eje x, es proporcional al apartamiento (elongación), con respecto al centro O, y tiene signo contrario a las de las elongaciones x (y además las aceleraciones siempre están dirigidas hacia el centro). Cuando x = r, la elongación se llama amplitud. Observando la figura 30, en el punto M, la velocidad del móvil ficticio, (proyección del móvil real que está sobre la circunferencia), es 0 y la aceleración es máxima y de sentido contrario a las x positivas. Cuando el móvil real está en A, la velocidad del móvil ficticio es máxima y la ax = 0. El móvil real parte de M hacia A, M’, A’ y vuelve a M, con movimiento circular uniforme. Su proyección, el móvil ficticio, sale de M pasa por O, llega a M’, vuelve a pasar por O y termina en M. Fig. 30 Algunas veces conviene proyectar sobre el eje “y”.En este caso: y r.sen y r.sen .t v y y ' r. . cost a y y ' ' r 2 .sent ay y r 2 .sent 2 r.sent a y 2 . y Fig. 31 29