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DESDE BOHR A SCHRÖDINGER. UNA ONDA PARA CADA PARTÍCULA
CARLOS S. CHINEA
Desde Bohr a Schrödinger. Una onda para
cada partícula
01. La situación en los primeros años veinte.
01.1. El modelo de Bohr
Para salir de la situación de bloqueo que representaba el modelo atómico de
Rutherford, Niels Bohr supuso que se habrían de cumplir algunas premisas básicas,
sin que supiera exactamente la razón. Estos fueron los hechos que postuló:
1. Cada electrón gira alrededor del núcleo en una órbita sin emitir energía radiante
alguna.
2. Solamente existen órbitas electrónicas en las que el momento angular del
electrón sea un múltiplo entero de la constante de Planck.
3. La absorción o emisión de energía radiante por parte de un átomo se hace
mediante un cambio de órbita del electrón, de forma que si emite energía radiante,
el electrón salta a una órbita de menor energía, y si absorbe energía radiante,
entonces salta a una órbita de mayor energía.
Bohr había postulado, por tanto, que el momento angular del electrón no podría ser
cualquiera, sino que habría de ser siempre un múltiplo entero de la constante de
Planck:
p = n.h
esta idea, en principio sin ninguna justificación, representó el paso genial que
permitió avanzar en la resolución del problema de la inestabilidad del modelo
atómico del momento.
Al número cuántico n le llamó "número de la órbita del electrón"; así, n=1
corresponde a la primera órbita, n=2 a la segunda órbita, etc..
El momento angular, pues, habría de estar cuantificado, en paquetes, como lo
estaría la misma energía, según la hipótesis de Planck.
Al hacer esta introducción cuántica, el radio de la órbita del electrón se podría
expresar de la siguiente manera:
Esta expresión, para la primera órbita (n=1), y considerando el átomo de
Hidrógeno (Z=1), nos da:
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Este valor,
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, es lo que se empezó a llamar "radio de Bohr".
En cuanto a la energía del electrón en la órbita de número cuántico n:
o bien
y siendo
se puede escribir:
Y para la emisión o recepción de energía al saltar el electrón desde una órbita a
otra:
Según esto, podríamos calcular en ergios o en electronvoltios la energía necesaria
para que el electrón salte de una a otra órbita. En el caso del Hidrógeno (Z=1)
sería:
y en electronvoltios:
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Sería, por consiguiente, de unos 13,6 eV, la energía necesaria para arrancar de su
órbita a un electrón, en concordancia con los datos experimentales que se poseían
entonces.
La variación de energía entre dos órbitas quedaría en la expresión:
o bien:
Despejando la frecuencia para el átomo de hidrógeno (Z=1):
y la longitud de onda:
Es decir, aparece la constante que había sido descubierta empíricamente por
Rydberg, y que hasta entonces nadie había podido explicar teóricamente:
01.2. Las limitaciones básicas del modelo
El modelo atómico que estableció Bohr, aunque explicaba algunos aspectos
experimentales de la física de su tiempo, no podía enmarcarse dentro de una
concepción clara de la mecánica. Parecía, realmente, como el fruto de una mezcla
arbitraria entre la mecánica clásica y la incipiente mecánica cuántica que surgía
desde la hipótesis de Planck. Esto le hizo blanco de las críticas de muchos
científicos de su tiempo, que no admitían sin una adecuada justificación la
aceptación de los postulados cuánticos introducidos para poder desarrollar el
modelo clásico de Rutherford.
Sin embargo, la limitación fundamental, observada desde el primer momento, es
que el modelo no explicaba la estructura espectral de otros átomos distintos al
hidrógeno, ni tampoco las leyes del enlace químico.
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Henry Gwyn Jeffreys Moseley (1887 – 1915), había propuesto una ordenación de
los elementos químicos con respecto a la carga nuclear creciente, estableciendo una
relación sistemática entre la longitud de onda de la radiación emitida por los
átomos y su número atómico, y poniendo de manifiesto la periodicidad de las
propiedades químicas que había descubierto Mendeleev. Los huecos que aparecían
en la tabla periódica en la ordenación de Moseley correspondían a la falta de algún
valor entero de carga nuclear. El mismo Bohr anunciaría en 1922 el descubrimiento
del Hafnio, observando que en general las orbitas electrónicas permitidas estaban
relacionadas con la explicación de la tabla periódica. Sin embargo, el modelo no
puede explicar porqué en un átomo polielectrónico en la n-sima órbita no pueden
2
haber más de 2n electrones.
No puede ofrecer tampoco una explicación cuantitativa de las fuerzas que dan
origen al enlace químico, ni asimismo permite calcular la intensidades relativas de
las líneas del espectro.
El problema que se planteaba en los primeros años veinte era el de encontrar una
teoría cuántica general que explicase la fórmula principal del modelo de Bohr:
fórmula que, por lo indicado más arriba, se mostraba válida en la justificación de
los niveles energéticos del átomo. Era necesario, pues, encontrar una justificación
cuántica, distinta de la mezcolanza de conceptos clásicos y cuánticos implícitos en
el modelo de Bohr. La historia comenzaría con una tesis doctoral presentada en la
Universidad de La Sorbona.
02. La tesis de Luis de Broglie en 1923.
Es en esta situación cuando inesperadamente el físico aristócrata francés Luis De
Broglie (1892-1987) propone en 1923, en la presentación de su tesis de doctorado
en La Sorbona, Recherches sur la théorie des quanta ("Investigaciones sobre la
teoría cuántica") que para salvar las dificultades que presentaba el modelo de Bohr,
construido como una almalgama de conceptos clásicos y cuánticos, había de
llegarse establecer alguna ecuación de ondas para la materia, de la misma manera
que existían ya las ecuaciones de Maxwell para la luz.
De Broglie introdujo en su tesis los electrones como ondas, presentando la
concepción innovadora de la dualidad onda-corpúsculo que sería característica en el
desarrollo posterior de la Mecánica Cuántica. Propuso generalizar esta dualidad a
todas las partículas conocidas. Propuso, en definitiva, que a toda partícula clásica
microscópica se le puede asignar una onda, lo cual se comprobó
experimentalmente en 1927 mediante la difracción de electrones, con los trabajos
de Clinton J. Davisson (1881-1958) en colaboración con Lester H. Germer (18961971). Asocia, por analogía con los fotones de la luz, a cada partícula libre con
energía E y cantidad de movimiento p una frecuencia υ y una longitud de onda λ .
E = h.υ ,
p = h/λ
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03. El trabajo de Schrödinger a partir de la tesis de De Broglie.
La histórica tesis de De Broglie indujo al físico matemático Edwin Schrödinger a
plantearse la posibilidad de construir una ecuación de onda para la materia que
tuviera la necesaria invariancia relativista. Se trataría, simplemente, de encontrar
una relación momento-energía compatible con la relatividad y sustituir en ella la
energía y el momento por sus correspondientes operadores de onda.
03.1. Una ecuación relativista que relaciona la energía y el momento.
Para relacionar la energía y el momento habría de partirse de las expresiones
relativistas
E=
m0
v
1−  
c
2
.c 2
y
r
p=
m0
v
1−  
c
2
r
.v
y eliminar entre ellas la velocidad v de la partícula.
Llamando
β =v c
y elevando ambas expresiones al cuadrado:
2

 E 



−
1
2 
m
c

0

β2 = 
2 
2
 E  
m02 4   E  = 1 


E2 =
c  
2 
2
2
m0 c 2  
1− β 
  m0 c 
1− β

→
→

2
2
2
m02 2 
2


 p  
p
β

p =
v

 =


1 − β 2 
m0 c  
1 − β 2 
 m0 c 

2

β =
2

 p 

 + 1 

 m0 c 
igualamos:
2
2
 E 
 p 

 −1


2 
  E  2   p  2   p  2  E  2
m0 c 
 m0 c 

 − 1 

 + 1 = 
 
=
→  
2
2
2 
2 




m
c
m
c
m
c
m
c
 E 
 p 
 0 
  0   0 
  0 



 + 1 
2 
 m0 c 
 m0 c 
o bien:
(E
2
)(
)
− m02 c 4 p 2 + m02 c 2
p2E 2
=
→ E 2 − m02 c 4 p 2 + m02 c 2 = p 2 E 2
m04 c 6
m04 c 6
(
)(
)
y finalmente:
E 2 m02 c 2 − p 2 m02 c 4 − m04 c 6 = 0
o sea:
− p 2 c 2 + E 2 − m02 c 4 = 0
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03.2. La ecuación con invariancia relativista
Puesto que los operadores de onda para la energía y el momento vienen
dados por
∧
E = ih
se tienen
∧
r
r
p = −ih∇
∂
,
∂t
∧ 2
E = −h 2
∂2
,
∂t 2
∧2
r
p = −h 2 ∇ 2
y al sustituir en la anterior relación energía-momento resulta:
2
 2 2r2

2 ∂
h
c
∇
−
h
− m02 c 4 ψ = 0

2
∂t


o bien:
 r 2 1 ∂ 2 m02 c 2 
∇ − 2 2 − 2 ψ = 0
c ∂t
h 

que Schrödinger escribiría en la forma:
 r 2 1 ∂2
1
∇ − 2 2 − 2 ψ = 0
λ0 
c ∂t

habiendo llamado
λ0 =
h
(longitud de onda Compton)
m0 c
que, para la masa del electrón ( m0 = 9,1091x10
λ0 = 3,86148 x10
−11
−31
kgs ), resulta ser:
cms
Esta fue la primera ecuación de onda que probó Schrödinger, con invariancia
relativista, pero hubo de abandonarla debido a las serias dificultades que se
le plantearon tanto a la hora de introducir los potenciales electromagnéticos
como en lo que respecta a la propia interpretación de la función de onda.
Decidió, entonces, buscar una ecuación que fuese válida en el límite no
relativista, para velocidades muy pequeñas en comparación con la velocidad
de la luz.
03.3. La ecuación no relativista.
Schrödinger probó entonces en el límite no relativista, utilizando la expresión
de la energía total
r
1 p2
E=
+U
2 m0
y al sustituir ambos operadores de onda:
ih

∂ψ  − h 2 r 2
= 
∇ + U ψ
∂t  2m0

que es la famosa ecuación de onda no relativista.
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04. La aplicación de la ecuación no relativista al átomo de hidrógeno.
Si aplicamos la ecuación no relativista de Schrödinger al electrón del átomo de
hidrógeno, teniendo en cuenta que la energía potencial de atracción electrostática
viene dada por la expresión
Z .e 2
U =−
r
ih
Se tendría, al sustituir:
∂ψ  − h 2 r 2 Ze 2
=
∇ −
∂t  2m0
r

ψ

Y si expresamos la laplaciana en coordenadas polares esféricas (r , θ , ϕ ) :
r
1 ∂ 2 ∂
1
1
∂2
∂
∂
+ 2 2
+ 2
∇2 = 2
r
senθ
∂θ r sen θ ∂ϕ 2
r ∂r ∂r r senθ ∂θ
se tiene la ecuación en la forma:
ih
∂ψ  − h 2  1 ∂ 2 ∂
∂
∂
∂ 2  Ze 2 
1
1
ψ
= 
r
sen
+
+
θ

−
∂t  2m0  r 2 ∂r ∂r r 2 senθ ∂θ
r 
∂θ r 2 sen 2θ ∂ϕ 2 
04.1. La expresión de la función de onda:
El primer paso para la resolución consiste en probar soluciones de la forma
ψ (r , θ , ϕ ) = R(r ). Al ,m (θ , ϕ ).e
donde las funciones
 E .t 
−i 

 h 
[04.1]
Al ,m (θ , ϕ ) son las denominadas armónicos esféricos, que
verifican las condiciones:
 1 ∂
∂2 
∂
1

 A (θ , ϕ ) = −l (l + 1) Al ,m (θ , ϕ ), l = 0,1,2,...
a) 
+
senθ
2
2  l ,m
∂
∂
sen
θ
θ
θ
∂
sen
θ
ϕ


1 ∂
Al ,m (θ , ϕ ) = mAl ,m (θ , ϕ ), m = l , l − 1, l − 2,...,−l
b)
i ∂ϕ
2π
π
0 si l ' ≠ l o m' ≠ m
*
c) ∫ dϕ ∫ senθ dθAl ', m ' (θ , ϕ ) Al ,m (θ , ϕ ) = δ l ',l δ m ',m = 
(ortonormales)
=
=
1
si
l
'
l
o
m
'
m

0
0
[
]
Como las soluciones de la forma 04.1 verifican que
ih
∂ψ
= Eψ
∂t
la ecuación no relativista de Schrödinger se puede escribir para estas soluciones en
la forma
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 − h2

 2m
 0
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1 ∂ 2 ∂
∂
∂
∂2 
1
1
Ze 2 
ψ = 0
+
+
θ
−
−
r
sen
E
 2

2
∂θ r 2 sen 2θ ∂ϕ 2 
r 
 r ∂r ∂r r senθ ∂θ
o sea:
 − h2

 2m
 0
1 ∂ 2 ∂
∂
∂
∂2 
1
1
Ze 2 
 R(r ). Al ,m (θ , ϕ ) = 0
+
+
r
sen
θ
−
E
−
 2

2
∂θ r 2 sen 2θ ∂ϕ 2 
r 
 r ∂r ∂r r senθ ∂θ
o bien, reordenando el coeficiente:
 1 ∂ 2 ∂
1
1
∂
∂
∂ 2  2m0
 2
r
sen
θ
+
+
+
 r ∂r ∂r r 2 senθ ∂θ
∂θ r 2 sen 2θ ∂ϕ 2  h 2


Ze 2  
 E +
  R(r ). Al ,m (θ , ϕ ) = 0
r  

 1 ∂ 2 ∂  1  1 ∂
∂
∂ 2  2m 0
1
 2
  r ∂r r ∂r  + r 2  senθ ∂θ senθ ∂θ + sen 2θ ∂ϕ 2  + h 2



  1 ∂ 2 ∂  2m 0
 2
  r ∂r r ∂r  + h 2


Ze 2  
 E +
  R(r ). Al , m (θ , ϕ ) = 0
r  


Ze 2  
 E +
  R(r ). Al , m (θ , ϕ ) +
r  

1  1 ∂
∂
1
∂2 
+ 2
senθ
+
 R(r ). Al , m (θ , ϕ ) = 0
∂θ sen 2θ ∂ϕ 2 
r  senθ ∂θ
Sustituyendo el segundo sumando en virtud de la propiedad a) de los armónicos:
  1 ∂ 2 ∂  2m 0
 2
  r ∂r r ∂r  + h 2


− l (l + 1)
Ze 2  
 E +
  R(r ). Al , m (θ , ϕ ) +
R(r ) Al , m (θ , ϕ ) = 0

r 
r2

o bien:
  1 ∂ 2 ∂  2m 0

+
r
  r 2 ∂r ∂r  h 2


Ze 2 h 2 l (l + 1)  
E +
 R(r ). Al ,m (θ , ϕ ) = 0
−
2 

r
2
m
r
0


y como no actúa ahora ningún operador diferencial sobre el armónico esférico
Al ,m (θ , ϕ ) podemos dividir por el mismo, quedando la expresión radial de la función
de onda así:
  1 ∂ 2 ∂  2m 0

r
+
  r 2 ∂r ∂r  h 2

2
2



 E −  − Ze + h l (l + 1)    R(r ) = 0
2


r
2m0 r   


Apareciendo un potencial U (r ) efectivo que es suma del potencial debido a la
atracción electrostática y el potencial debido a la repulsión centrífuga:
U (r ) = −
Ze 2 h 2 l (l + 1)
+
r
2m0 r 2
Con lo que finalmente queda:
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  1 ∂ 2 ∂  2m 0

  2
r
+ 2 (E − U (r ) ) R(r ) = 0

  r ∂r ∂r  h

o, tal como la escribió Schrödinger:
1 ∂ 2 ∂
2
 r 2 ∂r r ∂r + k  R(r ) = 0


llamando k
2
=
2m0
( E − U (r ))
h2
04.2. Resolviendo la ecuación radial:
Si pretender ser exhaustivos, ante la dificultad de los cálculos implicados podemos
hacer una descripción resumida del proceso seguido por Schrödinger para conseguir
justificar el resultado capital de la teoría atómica de Bohr, partiendo en definitiva de
una concepción ondulatoria de la mecánica.
Schrödinger resolvió la ecuación radial utilizando la llamada función
hipergeométrica confluente, que había sido introducida por Gauss en el siglo XIX:
f ( a b x) = 1 +
a
a(a + 1) x a(a + 1)(a + 2) x 3
a (a + 1)(a + 2)...(a + n − 1) x n
x+
+
+ ... +
+ ...
b
b(b + 1) 2! b(b + 1)(b + 3) 3!
b(b + 1)(b + 3)(b + n − 1) n!
Así, pudo comprobar, mediante una muy laboriosa sustitución directa que una
solución de la ecuación radial es la expresión:
2ρ 

Rn ,l ( ρ ) = ρ l e − ρ n F  l + 1 − n 2l + 2

n 

Zr Zm0 e 2 r
− ( Ze) 2
2
donde ρ =
y
=
=
n
a0
2a 0 E
h2
2ρ 
=
n 
2


 2ρ 
 2ρ 






l + 1 − n  n  (l + 1 − n)(l + 2 − n)  n 
n
+
+ ...
1+


2l + 2 1!
(2l + 2)(2l + 3)
2!




Sin embargo, la solución Rn ,l ( ρ ) =
= ρ l e −ρ


ρ l e − ρ n F  l + 1 − n 2l + 2
no ha de tener infinitos términos, pues en tal caso la función de onda
ψ
crecería
indefinidamente cuando r tiende a infinito. Para evitar esto necesariamente
habremos de imponer la condición de que a partir de un cierto término todos los
términos siguientes sean nulos, y esto solamente es posible si n es un entero
positivo.
Esta condición implicará, entonces, que
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2
( Ze) 2
1 Z 
2
E=−
=− 
 m0 c , para n=1,2,3,…
2
2  137 n 
2a 0 n
Es decir, Schrödinger logró obtener el más importante resultado del modelo
atómico de Bohr desde un planteamiento completamente distinto.
La parte espacial completa de la función de onda se obtiene combinando las
soluciones de la ecuación radial con los armónicos esféricos correspondientes:
ψ (r , θ , ϕ ) = R(r ). Al ,m (θ , ϕ ).e
í
Et
h
obteniéndose los llamados “orbitales atómicos hidrogenoides”.
Bibliografía:
Avery, J.; Teoría Cuántica de átomos, moléculas y fotones, Ed. Alambra, 1975,
Madrid.
S. Chinea, C.; “Niels Bohr o el comienzo de la aventura”,
http://casanchi.com/fis/bohr02.htm
10