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7. Calculadora de probabilidad
La calculadora de probabilidad
El programa NCSS consiste de un paquete de análisis estadístico que es fácil de
usar, el PASS. PASS es una abreviatura para "Power Analysis and Sample Size"
(= Análisis de Potencia y Tamaño de Muestra), e incluye una calculadora de
probabilidad con la cual se pueden calcular las probabilidades asociadas con
varias distribuciones de probabilidad.
Iniciar la calculadora de probabilidad
1. Inicie el programa NCSS.
2. Haga clic en PASS o en Analysis en la barra de menú.
3. Elija la opción Other.
4. Seleccione Probability Calculator (= Calculadora de probabilidad).
Se abrirá el diálogo de "Probability Calculator", que se ve como en la
siguiente gráfica.
Las distribuciones
Cada distribución tiene a lo más dos círculos para seleccionar. El de la izquierda
corresponde al cálculo de percentiles y el de la derecha al cálculo de
probabilidades.
La distribución binomial
La distribución binomial o de Bernoulli se usa para modelar las frecuencias de una
sucesión de realizaciones binarias independientes en las cuales la probabilidad de
éxito, denotada por P, es constante. En NCSS, el número total de realizaciones,
que es el tamaño de la muestra, es N, y R representa el número de éxitos en N
realizaciones.
1. En la calculadora de probabilidad, haga clic en el círculo derecho
correspondiente a Binomial.
En la parte baja de la calculadora aparecerán dos columnas "Input" y
"Binomial Results".
2. En la columna de Input se escriben los valores de la distribución Binomial;
aquí
o
1 <= N denota el número de realizaciones independientes Bernoulli,
la cuales pueden ser mayores o iguales a 1,
o
0 < P < 1 denota la probabilidad de éxito para cada realización, la
cual debe de estar entre 0 y 1,
o
0 <= R <= N denota el valor que se desea asociar a la variable
aleatoria binomial, la cual se encuentra entre 0 y N (el número de
realizaciones independientes).
3. Cuando se hayan escrito estos tres valores, haga clic en el botón Calculate
para así obtener las probabilidades deseadas.
La columna Binomial Results muestra los siguientes resultados:
o
Prob(r = R) la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor
R.
o
Prob(0 <= r <= R) la probabilidad de que la variable aleatoria sea
menor o igual a R.
o
Prob(R < r <= N) la probabilidad de que la variable aleatoria exceda
estrictamente a R.
Nótense que la notación de NCSS difiere a la notación habitual. NCSS
denota a la variable aleatoria con r minúscula, mientras que la mayoría de
los textos de estadística matemática la denota con X mayúscula.
Ejemplo
Suponga que 16.5% de la población Mexicana es zurda (El Universal, 2007 y
Wikipedia, 2009). Determine la probabilidad de que en un grupo de 50 individuos
hay
a. a lo sumo 10 zurdos,
b. al menos 5 zurdos,
c. entre 3 y 6 zurdos inclusive y
d. exactamente 5 zurdos.
Utilice la calculadora de probabilidad de NCSS para resolverlo.
Las respuestas son:
a. 0.8077739190
b. 0.9318671756
c. 0.253401441
d. 0.0775162729
La solución paso a paso
Pregunta a:
1. Si todavía no lo hizo, haga clic en el círculo derecho correspondiente a
Binomial en la calculadora de probabilidad.
2. Escriba 50 en el espacio de 1 <= N.
3. Teclee 0.165 en el espacio de 0 < P < 1.
4. Entre 10 en el espacio de 0 <= R <= N.
5. Haga clic en el botón Calculate.
La probabilidad de que a lo sumo sean 10 zurdos en un grupo de 50 se lee
en el espacio de Prob(0 <= r <= R) en la columna de Binomial Results y
es 0.8077739190.
Pregunta b:
1. El complemento del evento "al menos 5 zurdos" es el evento "a lo sumo 4
zurdos". Por eso, escriba 4 en el espacio de 0 <= R <= N.
2. Haga clic en el botón Calculate.
3. El resultado se lee en el espacio de Prob(R < r <= N) en la columna de
Binomial Results. La probabilidad es 0.9318671756.
Pregunta c:
1. Escriba 6 en el espacio de 0 <= R <= N.
2. Haga clic en el botón Calculate.
3. El resultado se lee en el espacio de Prob(0 <= r <= R) en la columna de
Binomial Results. La probabilidad es 0.2605309988.
4. Escriba 2 en el espacio de 0 <= R <= N.
5. Haga clic en el botón Calculate.
6. El resultado se lee en el espacio de Prob(0 <= r <= R) en la columna de
Binomial Results. La probabilidad es 0.0071295578.
7. Use una calculadora o abra la de Windows y teclee 0.26053099880.0071295578. Pulse =. La probabilidad es 0.253401441.
Pregunta d:
1. Escriba 5 en el espacio de 0 <= R <= N.
2. Haga clic en el botón Calculate.
3. El resultado se lee en el espacio de Prob(r = R) en la columna de Binomial
Results. La probabilidad es 0.0775162729.
La distribución de Poisson
La función de probabilidad discreta
donde
representa la función exponencial y
es una constante dada, se
denomina distribución de Poisson, debido a que Siméon-Denis Poisson la
descubrió a inicios del siglo XIX. El valor de
valores de
para diversos valores de
puede calcularse con los
o por medio de logaritmos.
Para calcular probabilidades de la distribución Poisson,
1. haga clic en el círculo correspondiente a Poisson en la ventana "Probability
Calculator".
En la parte baja de la calculadora aparecerán dos columnas "Input" y
"Poisson Results".
2. En la columna de Input se debe ingresar
o
la media de la distribución, denotada por 0 < Mean y cuyo valor tiene
que ser positivo y
o
el valor asociado a la variable aleatoria, denotado por 0 <= X.
3. Cuando se hayan escrito estos dos valores, haga clic en el botón Calculate
para así obtener las probabilidades deseadas.
En la columna derecha Poisson Results aparecerán calculados las
siguientes probabilidades:
o
Prob(x = X) la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor
X.
o
Prob(x <= X) la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o
igual a X.
o
Prob(x > X) la probabilidad de que la variable aleatoria exceda
estrictamente a X.
Nótense que la notación de NCSS difiere a la notación habitual. NCSS
denota a la variable aleatoria con x minúscula, mientras que la mayoría de
los textos de estadística matemática la denota con X mayúscula.
Ejemplo
Sea X el número de taxis cruzando una intersección en la avenida Reforma de
México D.F. durante un intervalo de 20 segundos. Suponga que la suposición de
una distribución Poisson es feasible y que el número esperado de estos coches es
de 6 en dicho intervalo de tiempo.
¿Cuál es la probabilidad que exactamente 5 taxis pasen por este crucero durante
el intervalo de tiempo dado?
La respuesta es: 0.1606231410
La solución paso a paso
1. Si todavía no lo hizo, haga clic en el círculo correspondiente a Poisson en
la calculadora de probabilidad.
2. Escriba 6 en el espacio de 0 < Mean.
3. Teclee 5 en el espacio de 0 <= X.
4. Haga clic en el botón Calculate.
5. El resultado se lee en el espacio de Prob(x = X) en la columna de Poisson
Results. La probabilidad es 0.1606231410.
La distribución normal
La distribución normal o distribución gaussiana se define por medio de la ecuación
donde
= media,
= desviación estándar,
área total limitada por la curva sobre el eje
curva entre dos ordenadas
de que
esté entre
y
= 3.14159
y
= 2.71828
. El
es 1; por consiguiente, el área bajo la
, donde
, representa la probabilidad
y . Esta probabilidad se denota por
.
1. Haga clic en el círculo derecho correspondiente a Normal en la ventana
"Probability Calculator".
En la parte baja de la calculadora aparecerán dos columnas "Input" y
"Normal Results".
2. En la columna de Input
o
Mean denota la media de la población,
o
Sigma <> 0 la desviación estándar de la población y
o
X el límite que anota los valores posibles de la variable aleatoria.
3. Cuando se hayan escrito estos tres valores, haga clic en el botón Calculate
para así obtener las probabilidades deseadas.
En la columna derecha Normal Results aparecerán calculados las
siguientes probabilidades:
o
Z Value denota el valor estandarizado,
o
Prob(x <= X) la función de distribución evaluado en X, que es el área
bajo la curva a la izquierda de X.
o
Prob(x >= X) la probabilidad de que la variable aleatoria exceda X,
que es el área bajo la curva a la derecha de X.
Nótense que la notación de NCSS difiere a la notación habitual. NCSS
denota a la variable aleatoria con x minúscula, mientras que la mayoría de
los textos de estadística matemática la denota con X mayúscula.
Ejemplo
El peso verdadero de los costales de 10 kilos de maíz procesado de una marca en
particular tiene una distribución normal con media de 10 kilogramos y la varianza
0.01 kilogramos cuadrados. ¿Cuál es la probabilidad que un costal adquirido en
una tienda de comestibles pese al menos 9.75 kilos?
La respuesta es: 0.9937903347
La solución paso a paso
1. Si todavía no lo hizo, haga clic en el círculo derecho correspondiente a
Normal en la calculadora de probabilidad.
2. Escriba 10 en el espacio de Mean.
3. Teclee 0.1 en el espacio de Sigma <> 0. Cuidado de no teclear 0.01.
4. Entre 9.75 en el espacio de X.
5. Haga cic en el botón Calculate.
6. El resultado se lee en el espacio de Prob(x >= X) en la columna de Normal
Results. La probabilidad es 0.9937903347.