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UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
ASIGNATURA
: ESTADISTICA APLICADA I
PROFESORES
: CONDOR, ILMER
PERIODO ACADEMICO : 2005 – I
GUIA DE CLASE Nº 3
INTRODUCCION
De todos los ejemplos que hemos visto, podemos concluir en lo siguiente:
-
Una vez conocida la distribución de probabilidades de la variable, podemos resolver cualquier problema
de probabilidad.
La distribución de probabilidad permite conocer el comportamiento de la variable ya que podemos
esperar que ocurra un valor de ella, podemos conocer su variabilidad y su desviación respecto a la media.
También hemos observado que, dependiendo de la forma del experimento, la variable aleatoria tiene
diferente comportamiento; es decir, lanzar una moneda n veces y definir a X como el número de veces
que ocurre éxito (sale cara por ejemplo); lanzar una moneda hasta que ocurra éxito y definir la variable X
como el número de veces que debe lanzarse la moneda hasta que ocurra éxito por primera vez (sale cara
por ejemplo); extraer n productos de un lote de tamaño N con reposición o sin reposición y definir la
variable X como el número de productos defectuosos, por ejemplo.
Por esta razón el trabajo se simplificará enormemente si se pudiera conocer la distribución de probabilidad de
la variable.
A continuación estudiaremos algunas variables cuya distribución es conocida y los problemas relativos a ellas
las resolveremos usando el programa Minitab.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONOCIDA
Ensayo o experimento de Bernoulli
Si ξ es un ensayo aleatorio, diremos que constituye un Ensayo de Bernoulli, si cumple con
las siguientes características:
-
Se realiza una sola vez
Se obtiene dos únicos resultados posibles: Éxito o Fracaso. Definiremos con p la
probabilidad de éxito y q = 1 – p; la probabilidad de fracaso
Los siguientes son ejemplos de ensayos de Bernoulli
- Lanzar una moneda una vez. Si p es la probabilidad de éxito: “Sale cara”, p = ½
- Lanzar al aire un dado una vez. Si p es la probabilidad de éxito: “Se obtiene un número
menor que 3”; en este caso, p = 2/6.
Distribución de Bernoulli
Sea ξ un experimento de Bernoulli. Si definimos a X como el “Número de veces que sale
cara”, entonces diremos que X tiene una distribución de Bernoulli, de parámetro p,
denotado por X Be(p) y cuya función de probabilidad es
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p
p(x) = P(X = x) = 
1  p
X 1
X 0
Valor esperado y varianza de una variable de Bernoulli
Ponga los datos de la distribución de probabilidad de X en el siguiente cuadro
X
p(x)
Obtenga la media (esperanza de X): μX = E(X) = ...............
Obtenga la varianza de X: σ²X = V(X) = .....................
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Definición
Sea ξ un experimento de Bernoulli. Suponga que este experimento se realiza n veces. Cada
vez que ocurre un determinado evento A, se dice que ha ocurrido éxito, con P(A) = p y que
ocurre fracaso con P(A’) = q = ......... Suponga también que la ocurrencia del evento A y A’
son independientes. Si se define a X como el “Número de veces que ocurre éxito en las n
repeticiones del experimento”, entonces diremos que X tiene una distribución Binomial,
con parámetros n y p, denotado por X B(n, p) y cuya función de probabilidad viene dada
por
 n
p( x)  P( X  x)   
 x
p (1 p)
x
n x
; x  0,1,2,...., n
Observaciones:
1. Si n = 1, X tiene distribución de Bernoulli (basta con reemplazar n = 1 en la función).
2. La distribución acumulada, F, se define como
F ( x )  P( X  x ) 
 n  xi
n
  p (1 p) xi ; i  0,1,2,....



 xi  x  xi 
Teorema
Si X  B(n, p) entonces su media es μX = E(X) = np y su varianza es σ²X = V(X) = npq
Nota:
Ejecute el programa Minitab. Para resolver problemas relativos a distribuciones de probabilidad se deberá
usar la siguiente secuencia:
<Calc> - <Probability Distributions>
De la lista que aparece se deberá seleccionar la distribución requerida.
Ejemplo 1
Si X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n = 8 y p = 0.25,
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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Cuál es la distribución de probabilidad de X
Usando el programa Minitab, construya la distribución de X
Usando el programa Minitab, construya la distribución acumulada de X
Obtenga P(X ≤ 6)
Encuentre P(X > 5)
Encuentre la media y la varianza de X (de dos formas)
Construya un gráfico para la función de probabilidad
Construya un gráfico para la distribución acumulada de probabilidad
Solución
a) Puesto que X  B(n = 8, p = 0.25), usando la definición, la f. p. es
p(x) = P(X = x) = .......................................................
b) Ejecute el programa MiniTab, si aún no lo ha ejecutado.
Puesto que n = 8 indica que se ha realizado 8 repeticiones de un determinado
experimento y X representa el Número de éxitos obtenido, entonces los valores de X
son: ..................................................
Ingrese estos valores en la primera
columna de la hoja de trabajo en
Minitab.
Haga que la columna 1 se llame X
(digite X en la etiqueta ploma de la
primera columna y p(x) en la
segunda columna)
Use la secuencia <Calc> <Probability
Distributions>.
Seleccione <Binomial>
La figura de la derecha muestra lo
que debe ingresar en la ventana
que se obtenga.
Luego haga clic en <Ok>.
c) Ahora vamos a obtener la distribución acumulada F(x).
Para ello digite F(x) en la etiqueta gris de la columna C3.
Use la secuencia <Calc> - <Probability Distributions> - <Binomial>. En la ventana que
salga seleccione <Cumulative probability>; en <Optional storage> ingresa C3. Los
otros datos son iguales como en la figura anterior. Luego haga clic en <Ok>.
Nota 1:
Usa siempre <Input Column> con <Probability> para obtener la función de probab.
Use siempre <Input Column> con <Cumulative probability> para obtener la distribución
acumulada, F(x).
Nota 2:
Use <Input constant> con <Probability> para hallar un valor puntual, p(k)=P(X = k)
Use <Input constant> con <Cumulative ...> para obtener P(X ≤ k); es decir, F(k).
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d) Para obtener P(X ≤ 6 ) = F(6), usaremos Minitab. Use la siguiente secuencia:
<Calc> - <Probability Distributions> - <Binomial>. Use la sugerencia de Nota 2.
El resultado es F(6) = P(X ≤ 6 ) = .....................
e) Para encontrar P(X > 5) primero debemos complementarla, para poder usar la
acumulada; es decir, P(X > 5) = 1 - P(X ≤ 5 ) = F(5). Esto es lo que vamos a buscar
usando Minitab. Según esto, P(X > 5) = 1 – P(X ≤ 5 ) = 1 – .............. = ...............
Nota:
Para d) y e) se puede usar la distribución de la hoja de trabajo (siempre que se tenga).
F(6) = P(X ≤ 6 ) está en la fila 6 de la columna C3
F(5) = P(X ≤ 5 ) está en la fila 5 de la columna C3.
f) Cálculo de la media de X:
Por el teorema: μX = E(X) = np = ................. = ........
Usando la calculadora del Minitab:
Use la siguiente secuencia: <Calc> <Calculador>. En <Store result in
variable> digite C10 (una columna que
no está en uso). En <Expression> digite
Sum(C1*C2). Luego haga clic en <Ok>.
Calculemos la varianza de X:
Por el teorema: σ²X = V(X) = npq = ................................... = .....................
Usando la calculadora del Minitab: σ²X = V(X) = ..................
g) Graficaremos la función de probabilidad usando la opción Plot del comando Graph.
Usemos la siguiente secuencia: <Graph> - <Scatter Plot> - <One Y> - <Simple>
En la ventana que salga: En <Y> ingrese C2; en <X> ingrese C1. En <Data View>
seleccionar <Project>. Hacer clic en <Ok>.
h) En este caso usaremos la opción <Bar Chart> del comando <Graph>, que es el que nos
permitirá obtener un gráfico como se acostumbra tener para una distribución
acumulada.
Para ello usaremos la siguiente secuencia:
<Graph> - <Bar chart>. En <Bars represent> seleccionar <Values from a table> <Simple> - <Ok> En <Graph variables> ingresar C3. En <categorical variables>
ingresar C1. Hacer clic en <Data View>. En <Data display> clic en <Conect line> <Ok> - <Ok>.
¿Cómo debe proceder si desea que en el mismo gráfico se visualice la gráfica de la
función de probabilidad de X y la de su acumulada?.
A la secuencia anterior debe añadirle: En <Graph variables> ingresar C2 – C3. Clic en
<Multiple graphs> Clic en <In separate panel of the same graph> Desactivar <Same Y>
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Ejemplo 2
Si un determinado experimento se repite 100 veces y se define a X como el número de
éxitos obtenidos, con 0.3, la probabilidad de éxito en cualquier repetición del experimento,
a) Calcule P(X > 60)
b) A qué es igual E(X²)?
Solución
a) Según los datos, n = 100, p = 0.3 y si X: Número. de éxitos obtenidos, entonces X 
B(100, 0.3). Sabemos que, usando el complemento, P(X > 6) = 1 - ...................
Use el Minitab para encontrar P(X ≤ 5) y luego encuentre P(X > 6).
Recuerde que debe usar <Calc> - <Probability distributions>; seleccionar <Cumulative
....>, n = 100, p = 0.3; <Column constant> y digitar 5; <Ok>.
b) De la ecuación V(X) = ......................
Despeje E(X²) = ...............................
Ejemplo 3
En un trabajo de investigación se reportó que el 1% de todos los trabajadores de la industria
de construcción son mujeres. En una muestra aleatoria de 10 trabajadores de esta industria,
encuentre la probabilidad de que a lo más, uno de ellos sea mujer.
Solución
Definimos a X como: ................................................
Según esto, p, significa que, al elegir a un trabajador, la probabilidad de que sea .............. es
p = .............
Valor de n (tamaño de la muestra); n = ...............
Si se define a X como “Número de mujeres en la muestra”, a lo más uno de ellos sea mujer
se representa por .............................
Luego debemos encontrar P(......................)
Use el programa Minitab siguiendo el mismo procedimiento empleado en a) del Ejemplo 2.
Nota importante:
Si a X se define como: “Número de productos defectuosos hallados en una muestra de 10”
La expresión: “A lo más K son defectuosos” se representa por
X≤K
La expresión: “Por lo menos K son defectuosos” se representa por
X≥K
La expresión: “Al menos K son defectuosos” se representa por
X≥K
La expresión: “Exactamente K son defectuosos” se representa por
X=K
La expresión: “Máximo K defectuosos” se representa por
X≤K
La expresión: “Mínimo K defectuosos” se representa por
X≥K
La expresión “Menos de K defectuosos” se representa por
X<K
Si se pide la probabilidad d alguno de ellos, es suficiente colocarlo dentro de P(.......).
Ejemplo 4
En un estudio reciente, Data Consult encontró un gran número de casos de contaminación y
errores de etiquetado de mariscos en los supermercados de Lima. El estudio reveló un
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resultado alarmante: El 40% de trozos de pez espada, disponibles para la venta, tenía un
nivel de mercurio superior al límite inferior establecido. Para una muestra aleatoria de tres
trozos de pez espada, calcule la probabilidad de que
a) los tres trozos de pez espada tengan niveles de mercurio por encima del límite
permitido.
b) exactamente uno de tales trozos esté por encima del límite permitido
c) cuando más, uno de tales trozos esté por encima del límite.
Solución
Defina a X: ...........................................................................................................................
Según su definición, la variable X tiene distribución Binomial? ..................
Valor de p = ..............
Valor de n = ..............
Escriba la función de probabilidad de X: ...............................................................
Exprese simbólicamente “Los tres trozos tengan niveles de superiores al límite” ...............
Exprese simbólicamente “Exactamente uno de tales trozos tengan ....................” ...............
Exprese simbólicamente “Cuando más, uno de tales trozos tengan ....................” ...............
Usando lo anterior y empleando el programa Minitab,
a) P(X = 3) = .....................
b) P(X = 1) = .....................
c) P(X ≤ 1) = ..........................
Ejemplo 5
Un estudio de tendencias a lo largo de cinco años en los sistemas de información logística
de la industria, reveló que los mayores avances en la computarización, tuvieron lugar en el
transporte. Actualmente el 90% de todas las industrias contienen archivos de pedidos
abiertos de embarque en su base de datos computarizada. En una muestra aleatoria de 10
industrias, sea X el número de ellas que incluyen archivos de pedidos abiertos de embarque
en su base de datos computarizada.
a) Calcule la probabilidad de que haya más de 5 que incluyen archivos de pedidos
b) Encuentre la media y varianza de la variable X
Solución
Defina la variable X como: ..........................................................
La variable X se distribuye binomialmente? ..............
Valor de n = ..................
Valor de p = ..................
Escriba la función de probabilidad de X: .................................................................
Resuelva los casos a) y b) del problema
Ejemplo 6
El Instituto LASPAO informa que el 70% de los estudiantes de postgrado que obtienen el
grado de Doctor en ingeniería en ese país, son ciudadanos de otros países. Considere el
número de estudiantes extranjeros en una muestra de 25 estudiantes de ingeniería
recientemente graduados.
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a) Calcule P(X = 10), P(X ≤ 10)
b) Calcule la media y desviación estándar de X. Interprete los resultados
c) Construya la gráfica de la distribución de probabilidad de X
Ejercicio 1
Una prueba de opción múltiple presenta cinco opciones por pregunta y consta de 15
preguntas. Si la calificación aprobatoria depende de obtener nueve o más respuestas
correctas, cuál es la probabilidad de que un estudiante que adivina todas sus respuestas
apruebe el examen?
Ejercicio 2
La probabilidad de lograr una venta efectiva que tiene un vendedor, encada entrevista es de
10%. Si un día determinado entrevista a 4 clientes, cuál es la distribución de probabilidad
de X, número de ventas efectivas?
Ejercicio 3
Un grupo de inversionistas forman una empresa petrolera con suficiente capital para
financiar 10 exploraciones. La probabilidad de que una exploración en particular sea
exitosa es 0.2. Considere que el éxito de una exploración no influye en las demás
exploraciones.
a) Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 exploraciones sean exitosas?
b) Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 exploraciones sean fallidas?
c) Suponga que la empresa tiene un costo fijo de 200,000 dólares para preparar el equipo
antes de la primera exploración. Si cada exploración exitosa cuesta 30,000 dólares y
cada exploración fallida 15,000 dólares, calcule el costo total esperado para la empresa
para las 10 exploraciones.
Ejercicio 4
El 20% de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para repararse cuando aún esta
vigente su período de garantía. De estos, el 60% se pueden reparar y el otro 40% deben
sustituirse con aparatos nuevos. Si una compañía adquiere 10 de estos teléfonos, cuál es la
probabilidad de que exactamente se cambien dos, dentro del período de garantía?
Ejercicio 5
Supóngase que la tienda 1 vende el doble de productos que la tienda 2. Por otro lado, cerca
del 4% de los productos adquiridos en la tienda 1 son devueltos por los clientes por fallas
en la fabricación, mientras que en la tienda 2, sólo son devueltos el 2% de los productos.
Suponga que ambas tiendas logran una venta de 10 productos.
a) Defina la variable de interés y determine su distribución de probabilidad
b) Cuál es la probabilidad de que dos de estos productos sean devueltos?
c) Cuántos productos se espera sean devueltos?
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d) Si se sabe que a lo más 8 productos no fueron devueltos, cuál es la probabilidad de que
se devuelvan sólo 2 productos?
Ejercicio 6
La producción diaria de un determinado cosmético en los laboratorios MISAB provienen de
dos máquinas: A y B. La antigüedad de la máquina B le permite producir el doble de
cosméticos que la máquina A. Sin embargo, el 10% de los cosméticos defectuosos
provienen de la máquina B, mientras que de A, provienen sólo el 5%.
Una venta particular involucra 4 cosméticos seleccionados aleatoriamente del lote de
producción de un día (de ambas máquinas). Si definimos a Y como el número de
cosméticos defectuosos encontrados en esta venta y C = 3Y² - Y +2 representa el costo de
pérdida (en soles) por los cosméticos defectuosos en esta venta,
a) Encuentre el valor esperado de este costo
b) Calcule la probabilidad de que el costo de pérdida sea inferior a 2 soles
Ejercicio 7
Un estudiante de la Escuela de Negocios de la Universidad de Lima que trata de escribir un
trabajo para una asignatura tiene la opción de seleccionar los temas A y B. Si escoge el
tema A, el estudiante pedirá dos libros por medio de préstamo de la biblioteca; en tanto que
si selecciona el tema B, el estudiante pedirá 4 libros. El estudiante piensa que para un buen
trabajo necesita revisar por lo menos la mitad de los libros solicitados para cualquiera de
los temas escogidos. Si la probabilidad de que un libro solicitado por medio de préstamo de
la biblioteca, sea revisado por el estudiante es 0.9, y los libros los revisa
independientemente uno de otro,
a) cuál tema debe seleccionar para llevar al máximo la probabilidad de hacer un buen
trabajo?
b) si la probabilidad de revisión de un libro solicitado es sólo 0.5 en lugar de 0.9, cuál
tema debe seleccionar el estudiante?
Ejercicio 8
Una empresa minera tiene 100 taladros y otras máquinas en uso constante. La probabilidad
de que una máquina quede fuera de operación, durante un día dado, es 0.002. Durante
algunos días todas las máquinas están funcionando, durante otros, una, dos, tres, o más, no
operan bien.
a) Cuál es la probabilidad de que para un día específico no haya máquinas que estén
operando?
b) Cuál es la probabilidad de que menos de dos máquinas no estén operando durante un
día específico?
c) Cuál es la probabilidad de que menos de 10 máquinas no estén operando durante un día
específico?
d) Un operador de estas máquinas afirma haber observado en muchas ocasiones tres o más
máquinas inoperantes durante el día. Parece lógica su afirmación? Por qué sí o por qué
no?
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Ejercicio 9
Se estima que el 0.5% de las llamadas telefónicas efectuadas a una gran compañía reciben
señal de ocupado. Cuál es la probabilidad de que de las 300 llamadas telefónicas del día de
hoy, al menos dos hayan recibido la señal de ocupado?
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Introducción
Si el experimento ξ se realiza indefinidamente hasta que ocurra un resultado (éxito) por
primera vez, en cuyo caso se detiene, entonces ξ no puede ser un ensayo de Bernoulli. Este
tipo de experimentos determinan distribuciones conocidas como geométricas o de Pasacl.
Definición
Sea ξ un experimento aleatorio que se puede repetir indefinidamente. Sea A un evento cualquiera. Si p = P(A)
representa la probabilidad de ocurrencia del evento A, diremos entonces que p constituye la probabilidad de
éxito (de que ocurra el evento A). Supongamos ahora que el experimento ξ se realiza sucesivamente hasta que
ocurra el evento A, por primera vez, luego del cual, se detiene. Si definimos a la variable X como “El número
de veces que debe realizarse el experimento hasta que ocurra éxito, por primera vez” diremos que X tiene
Distribución Geométrica con parámetro p y denotado por X G(p) y cuya distribución de probabilidad viene
dada por
p( x)  P( X  x)  p1  p 
F
F
x 1
p
F
(x-1) fracasos
….
E
Un éxito
Si por cada fracaso se tiene la probabilidad de fracaso P(F) = q = 1 – p;
En (x-1) fracasos se tiene la probabilidad P(FFFF….F) = ………….. (x – 1) veces
Si una sola vez ocurre éxito, entonces P(E) = ….
Luego si queremos que ocurran los (x-1) fracasos y un éxito, la probabilidad de ello será la
función definida líneas arriba.
Teorema
Si X tiene una distribución geométrica (X G(p)), entonces la media es μ = E(X) = 1/p y
la varianza es σ² = q/p²
Observaciones
1. Recuerde que si X tiene distribución geométrica, éxito ocurre una sola vez (el último)
2. Los resultados son independientes en la realización del experimento
3. Si se desea detener el experimento cuando ocurre r éxitos por primera vez, en x veces que se repite el
experimento ξ, estamos frente a una Distribución de Pascal, cuya función es
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 x  1

p( x)  P( X  x)  
 r  1
Ejemplo 7
r
p (1  p)
xr
, x = r, r+1, r+2, …
Escriba la función de probabilidad de una variable que tiene distribución geométrica G(p).
................................
Escriba la forma de encontrar su media: E(X) = ........
Escriba la forma de encontrar su varianza: V(X) = ..........................
Ejemplo 8
Sea X la variable aleatoria que tiene distribución geométrica con parámetro 0.3. Determine:
a) P(X = 4) b) P(X = 1) c) P(X > 1) d) P(X = 2 / X > 1).
Solución
Si X tiene distribución geométrica con parámetro 0.3, entonces X  G(p) con p = .........
Su función de distribución es p(x) = P(X = x) = ............................................
Abra el archivo Dist Geometrica 1.xls.
Según este problema, asigne la probabilidad p = 0.3
Asigne el valor para X, según la pregunta (X = 4)
a) El valor de la probabilidad p(4) = P(X = 4) = .................
b) El valor de p(1) = P(X = 1) = .......................
c) El valor de P(X > 1) = .........................
d) El valor de P(2) = P(X = 2) = .........................
Obtenga P(X = 2 / X > 1) = .............................................................
Preguntas adicionales:
Observando la distribución de probabilidades y la gráfica, responda a las siguientes
preguntas:
a) Si p = 0.25 y X = 2, P(X = 2) = ......................; P(X > 2) = .......................
b) Si p = 0.40; P(X = 1) = .......; P(X = 2) = ...............; P(X = 3) = ............; P(X = 4) =......
c) Si p = 0.4, complete las siguientes tablas de distribución
Ejemplo 9
Usando el archivo Dist Geométrica 2.xls, complete las siguientes distribuciones.
X
1
2
p(x)
3
4
5
6
X
1
2
3
4
5
6
F(x)
Ejemplo 10
Si la media de una variable geométrica es 4, determine
a) P(1 < X < 4)
b) P(X > 2) c) V(X)
d) V(3X²)
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Use el archivo Dist Geométrica 2.xls para responder a las preguntas de a) y b)
c) Use el teorema para obtener V(X) = ...............
d) Usando propiedades de varianza: V(3X) = .......................... = ....................
Ejemplo 11
Sea X una variable aleatoria con distribución geométrica. Si el 80% de los valores de X son
superiores a 1, qué porcentaje de valores de X son menores que 3?
Solución
Como X tiene distribución geométrica; es decir X  ...............
Se conoce la probabilidad de éxito, p? ................... Será 0.80? ............... Por qué no es?
................................................................................................
Cuál es la función de probabilidad de X? P(X=x) = ......................... Valores de X: .............
Qué significa “el 80% de los valores de X son superiores a 1”?. ..................................
Es cierto que “valores de X superiores a 1” se puede expresar por X > 1? ........
Si así fuera, a qué es igual P(X > 1) = .....................?
Usando el complemento, a qué es igual P(X > 1)? .......................................
Si P(X > 1) = 0.80 entonces P(X ≤ 1) = .................
Por otro lado: P(X ≤ 1) = P(X = 1). Cierto o falso? ...............
Reemplace el valor de x = 1 en la función y despeje el valor de p: p = ...........
Volviendo al problema debemos encontrar “Que porcentaje de valores de X son menores
que 3?” Como esto significa resolver P(......................) = ?
Resuelva el problema.
Ejemplo 12
En cierto proceso de producción se sabe que el 2% de artículos no cumplan con las normas
de calidad
a) Si se prueban cada uno de los artículos producidos hasta encontrar la primera pieza
defectuosa, en cuyo caso se detiene la producción. Calcule la probabilidad de que la
décima pieza probada sea la primera defectuosa.
b) Si la producción se paraliza al encontrar el primer artículo defectuoso, cuál es el
número esperado de artículos de la producción?
Solución
Si p es la probabilidad de que no cumplan con las normas de calidad, entonces p = ...........
La forma cómo se lleva a cabo el examen de los productos, qué tipo modelo le sugiere:
Bernoulli? Binomial? Geométrica? .....................................
Según esto, defina a X: El número de ................................................................
Usando p escriba la función de probabilidad de X: P(X = x) = ....................................
Qué valores toma X? X = ................................................
a) Que la décima pieza probada sea la primera defectuosa significa que X = ...................;
Escriba la función de probabilidad de X: P(X = ......) = ....................................
b) Use el teorema para encontrar el valor esperado: E(X) = 1/p
Ejemplo 13
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En un experimento geométrico, la probabilidad de que se necesita 2 intentos para lograr el
primer éxito es el doble de la probabilidad con tres intentos. Cuál es la probabilidad de que
se requiera más de dos intentos para lograr el primer éxito?
Solución
Defina a X como el “número de ................................................”
Qué significa P(X = 2)? .......................................................................................................
Qué significa P(X = 3)? .......................................................................................................
Según el problema, plantee la ecuación: ..............................................................................
Resuelva la ecuación, reemplazando la función, simplifique y obtenga p.
..........................................................
..........................................................
Exprese la pregunta del problema en términos de X: P( ........................)
Resuelva esta probabilidad.
Ejercicio 10
Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces, cuál es la probabilidad de que falle
por primera vez en su décimo quinto disparo?
Ejercicio 11
Cada año la oficina de tributación realiza una revisión de las declaraciones de impuestos
presentadas. Se ha determinado que la proporción de declaraciones con errores que
anualmente se presentan es 10%.
a) Cuál es la probabilidad de que la primera declaración con errores que se revise sea la
quinta?
b) Cuál es la probabilidad de que las dos primeras declaraciones revisadas no contengan
errores?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Definición
Sea X una variable aleatoria que toma valores,0, 1, 2, ...
p ( x)  P( X  x)  e 

x
, x = 0, 1, 2, ... entonces diremos que X tiene Distribución de
x!
Poisson, con parámetro λ y lo que denotaremos por X  P(λ).
Si
Teorema
Si X  P(λ) entonces E(X) = λ y V(X) = λ.
Nota:
1. Observe que, contrariamente a las tres distribuciones ya estudiadas, en el caso de la
distribución de Poisson no ha sido necesario tomar en cuenta el tipo o modelo de
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experimento; del mismo modo y como tal, nada se dice del tamaño de n. Por otro
lado, tampoco es necesario conocer los elementos del espacio muestral.
2. Podríamos decir que esta distribución sólo depende del valor de su parámetro y no
tiene comportamiento.
3. Sin embargo, veremos más adelante, la importancia que tiene en la estadística y los
fenómenos de espera.

x
x x
0
e

4. La distribución acumulada será: F ( x)  P( X  x0 )  
x!
x 0
Ejemplo 14
Supóngase que X es una variable aleatoria con distribución de Poisson con media igual a
1.2. Encuentre lo siguiente:
a) P(X = 0) b) P(X = 1) c) P(X > 1) d) P(X < 2 )
Solución
Si λ = 1.2 y Si X  P(λ = 1.5) entonces su distribución es: ............................................
a) El valor de P(X = 0) = .................................................
b) EL valor de P(X = 1) = ...............................................
c) Usando el complemento, P(X > 1) = .............................................................
d) P(X < 2) = P(X ≤ 1) = p(0) + p(1) = ............................................
Ejemplo 15
Si X es una v.a. de Poisson, tal que P(X = 2) = 2P(X = 3), obtener P(X ≥ 1).
Solución
p ( x)  P( X  x)  e 

Como
x
para x = 0, 1, 2, ...
x!
Reemplace en ella P(X = 2): ................................................................
Haga lo mismo con P(X = 3): ....................................................................
Plantee la ecuación P(X = 2) = 2 P(X = 3): .........................................................
Al resolver la ecuación, obtendrá el valor del parámetro; por lo que λ = ...........
Ahora, como P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X ≤ 1), entonces
P(X ≥ 1) = 1 - ....................... ...............
Ejercicio 12
Si X es una v.a. de Poisson tal que el 85% de valores de X son mayores o iguales a 1, cuál
es la probabilidad de que X tome el valor 2?
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APROXIMACIÓN BINOMIAL POR POISSON
Plantearemos dos cuestiones como las razones principales para usar una distribución de
Poisson, para un problema con distribución Binomial.
Razón 1:
En muchos problemas de variables aleatorias que tienen modelo binomial, encontramos
algunas dificultades en su evaluación. Por ejemplo si p  0 ó n . Por el tamaño de p las
probabilidades tienden a 0 ó su cálculo se hace pesado si n es bastante grande.
Por ejemplo: Si X  B(n = 500, p = 0.001); como hallar P(X ≥ 385).
Razón 2
En muchos casos la definición de una variable con distribución normal se produce en un
contexto que no es tomado en cuenta por el modelo de probabilidad.
Caso 1
Supongamos que se toma en cuenta el número de llamadas que ingresa a una central
telefónica cada cierto tiempo.
Caso 2:
Un libro de 800 páginas contiene 120 errores distribuidos en todo el libro. Y se toma en
cuenta el número de errores por página.
Caso 3:
En un supermercado se toma en cuenta el número de personas que forman cola para ser
atendidos por el operador de una caja registradora
Caso 4:
Se registra en número de vehículos que llegan a una caseta de peaje.
Analicemos el caso1:
Supongamos que se registran 270 llamadas cada tres horas. Esto significa que, en
promedio se reciben 1.5 llamadas por minuto. Si ahora dividimos cada minuto en intervalos
de 20 segundos, podemos decir que, la probabilidad de recibir 1.5 llamadas (ocurre éxito)
cada 3 intervalos de 20 segundos cada uno es 0.5; es decir, p = 0.5.
Si ahora definimos a X como el número de llamadas que ingresan a la central telefónica en
20 intervalos de tiempo de 20 segundos cada uno, entonces X  B(n = 20, p = 0.5).
En conclusión:
Si hacemos λ = np y si X: 0, 1, 2, .... entonces podemos decir que X  P(λ = np) cuya
distribución de probabilidad viene dada por
p ( x)  P( X  x) 
e
 np
(np)
x!
Por ello podemos plantear el siguiente teorema
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x
x = 0, 1, 2, ...
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Teorema:
Si X  B(n, p) y n  con λ = np (constante) o si n  y p  0 con np  λ, entonces
diremos que X  P(λ = np).
Observación importante:
Una variable X tendrá necesariamente distribución de Poisson si se el número de
ocurrencias (éxitos) de X se produce en un contexto: en un intervalo de tiempo, en un área,
en un espacio, etc.
Uso de Minitab
Al usar la secuencia: <Calc> - <Probability Disributions> - <Poisson> obtendrá una
ventana similar a la que se muestra.
Recuerde que debe usar
Probability: Si desea hallar p(x)=P(X = x)
Cumulative...: Para hallar P(X ≤ x). El valor
de x deberá ingresarlo en <Input constant>.
Inverse: Si desea hallar k tal que P(X ≤k) = p.
En este caso el valor de p deberá ingresarlo en
<Input constant>.
En todos los casos se debe ingresar el
parámetro que, en este caso, coincide con la
media.
Ejemplo 16
El número promedio de ventas por hora en un establecimiento comercial es igual a 3. Cuál
es la probabilidad aproximada de que en 2 horas se logre al menos 3 ventas?
Solución
Por la forma cómo se plantea el problema (promedio de ventas por hora), podríamos definir
a X como “El número de ........................ cada hora.
Según esto λ = .................
La variable X  P(λ = .........). Y su función de probabilidad es ............................................
La variable X hasta aquí definida toma en cuenta intervalos de una hora y su media E(X) =
λ es por hora. La pregunta se refiere a otra variable ya que el intervalo de tiempos es ahora
de 2 horas.
Si Y es el “Número de ventas realizadas cada dos horas”, su promedio, E(X) = λ = ...........
Luego se pide que encontremos P(Y ...... 3).
Encuentre dicha probabilidad: ................................................................................................
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Ejemplo 17
Las llamadas de emergencia registradas en un conmutador de una estación policial son 4
por hora en un fin de semana cualquiera y el comportamiento del número de llamadas por
hora se puede aproximar mediante una distribución de Poisson.
a) En un lapso de 30 minutos, cuántas llamadas de emergencia se espera recibir?
b) En un lapso de 30 minutos, cuál es la probabilidad de que no se registre llamadas?
c) Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 llamadas en 30 minutos?
Solución
De acuerdo a lo datos: Si X se define como “El número de llamadas de emergencia por
hora” entonces X  P(λ = .........)
Si se define a Y como “El número de llamadas cada 30 minutos” entonces Y  P(λY =......)
En a) se pide: E(.....)
En b) se pide P(........ = .........)
En c) se pide P( ...................)
Evalúe cada una de dichas cuestiones.
Nota:
En muchos casos a X se define dentro de un intervalo de tiempo determinado. Cuando se plantea otro
intervalo de tiempo, se debe pensar en otra variable y tener presente el valor de su parámetro en cada caso.
Ejercicio 13
Se ha observado que el promedio de ventas del producto A en una empresa es de 3
unidades por hora. Si se supone que las ventas son independientes una de otra, y si X
representa el número de ventas cada 20 minutos,
a) cuál es la probabilidad de que en un intervalo de 20 minutos no se realice venta alguna?
b) cuál es la probabilidad de que se realice al menos 2 ventas en el intervalo de 20
minutos?
Sugerencia:
Defina X
Si X  Poisson, determine su parámetro (que coincide con su promedio o media)
Resuelva a) para la variable X así definida
Resuelva b) para la variable X así definida
Ejercicio 14
El número promedio de radios que una casa comercial vende por día, sigue una distribución
de Poisson con una media de 1.5. Calcule la probabilidad de que la casa venda por lo
menos cuatro radios durante un periodo de a) dos días
b) tres días
c) cuatro días.
Sugerencia:
En cada pregunta redefina la variable X en función al intervalo de tiempo (número de días).
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Ejercicio 15
El número medio de alumnos que llegan a la asesoría de ESTADISTICA un día antes del
Examen Parcial es de 240 por hora. Si el profesor sólo puede atender un máximo de 8
alumnos por minuto haciendo un máximo de esfuerzo, determine la probabilidad de que en
un minuto dado, lleguen a la asesoría más alumnos de lo que el profesor puede atender.
Sugerencia:
El promedio se da por hora.
Defina a X con un promedio por minuto
Resuelva P(X > .......)
Ejercicio 16
El número de reclamos que se reciben por hora de atención en Luz del Sol, es una variable
aleatoria con distribución de Poisson con un promedio de tres reclamos (por hora).
a) Cuál es la probabilidad de que en una hora se reciban más de 4 reclamos?
b) Qué tan probable es que en media hora se reciban no más de 2 reclamos?
c) Si la atención diaria al público es 8:00 a.m. hasta las 13:00, cuántos reclamos se espera
recibir en un día?
Sugerencia:
En b) redefina la variable en intervalos de tiempo de 30 minutos. En c) n = 5.
Ejercicio 17
Suponga que el número de accidentes de trabajo que se producen por semana en una fábrica
es una v.a. de Poisson, tal que la probabilidad de que ocurran dos accidentes es 2/3 de la
probabilidad de que ocurra un accidente. Calcular la probabilidad de que no ocurran
accidentes en tres semanas consecutivas.
Ejercicio 18
Una compañía alquila una mezcladora por períodos de t horas, por lo cual recibe S/. 60 por
hora. El número de veces que la mezcladora falla durante t horas es una v.a. que tiene
distribución de Poisson con  = 0.8t, y si la mezcladora falla x veces durante t horas, la
reparación tiene un costo de 5x² soles; cómo debería la compañía elegir t de modo que
maximice la utilidad esperada?
Ejercicio 19
Una compañía de teléfonos emplea 5 operadores de información que reciben solicitudes de
información independientemente una de otra, cada una según un proceso Poisson con un
promedio de 2 solicitudes por minuto.
a) Cuál es la probabilidad de que durante un período dado de un minuto, la primera
operadora no reciba solicitudes?
b) Cuál es la probabilidad de que durante un período dado de un minuto, exactamente 4 de
las cinco operadoras no reciban solicitudes?
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c) Cuál es la probabilidad de que en un período de 3 minutos, por lo menos 2 de las 5
operadoras no reciban solicitudes?
Ejercicio 20
El promedio de embarcaciones de pesca artesanal que llegan a un puerto es de 3 unidades
por hora. Si el arribo de una embarcación es independiente al arribo de otra, y si X
representa el número de embarcaciones de pesca artesanal que llega a dicho puerto cada 20
minutos,
a) cuál es la probabilidad de que en 20 minutos no llegue ninguna embarcación de dicho
tipo?
b) cuál es la probabilidad de que en media hora, lleguen a dicho puerto por lo menos 3
embarcaciones de pesca artesanal?
c) cuál es el número más probable de embarcaciones de pesca artesanal que lleguen por
hora a este puerto?
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
Un modelo Hipergeométrico presenta una gran semejanza con respecto a un modelo
binomial, pero también presenta una gran y sustancial diferencia. Esto es lo que permite
reconocerlo.
Definición
Sea ξ un experimento aleatorio y Ω el espacio muestral (población), de tamaño N. Si r de
los elementos del espacio muestral poseen cierto atributo y N – r no la poseen.
Supongamos que el experimento ξ consiste en extraer de Ω, n elementos, uno después de
otro y sin reposición. Si definimos a la variable aleatoria X como el “Número de elementos
de la muestra que poseen el atributo (ocurre éxito)” diremos entonces que X tiene
Distribución Hipergeométrica con parámetros N, r y n; es decir, X  H(N, r, n) y cuya
función de distribución de probabilidades viene dada por
 r  N  r 
 

x  n  x 

; x = 0, 1, 2, ..., n
p ( x)  P( X  x) 
N
N
 
n 
N-r
Explicación
n
n-x
Suponga que se tiene el siguiente esquema
De los N elementos, r tienen un atributo. La
probabilidad de elegir un elemento que tenga el
atributo es .............
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r
x
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Hay N – r elementos que no poseen el atributo.
Si la muestra de tamaño n debe tener x que poseen dicho atributo, entonces n –x elementos
de la muestra no poseen dicho atributo.
Como se desea seleccionar n elementos del total de N, el número de maneras (muestras) de
hacer esto constituye combinaciones C(N, n).
Si X se define como el número de elementos de la muestra que poseen el atributo, la
probabilidad de que en la muestra haya X = x elementos que tienen el atributo será
 r  N  r 
 

( Nro. maneras elegir x de r ) x ( Nro. maneras de elegir n  x)  x  n  x 
P( X  x) 

Nro. maneras elegir n de N
N
 
n 
Teorema
Si X  H(N, n, r) entonces   E ( X )  n
r
r
r
2
y   V ( X )  n (1 
N
N
N)
Observaciones:
1. La probabilidad de que un elemento posea el atributo es r/N
2. Cada vez que se extrae un nuevo elemento, éste no se repone y por tanto, la
probabilidad de que el 2do. o los siguientes, tengan el atributo ya no puede ser r/N
3. Dicho atributo puede ser el ser defectuoso cuando de un lote de N productos, r de los
cuales son defectuosos, se extrae una muestra de tamaño n y se desea encontrar la
probabilidad de que en la muestra haya x defectuosos.
4. Si el tamaño poblacional N es finito, para encontrar la varianza se deberá aplicar el
factor de corrección de poblaciones finitas (N-n)/(N-1); es decir, la varianza de una
r
r N n
variable aleatoria hipergeométrica será V ( X )  n (1  )
N
N N 1
5. En el caso de poblaciones infinitas N   en cuyo caso X  B(n, p) ya que dicho
factor tiende a 1.
Ejemplo 18
Si X es una variable aleatoria con distribución Hipergeométrica con parámetros N = 8, r =
4, n = 3, determine a) P(X = 2)
b) P(X > 1) c) P(X=2/X>1)
Solución
Según los datos: X H(...........................)
Su función de probabilidad es: ................................................................
a) Para encontrar P(X = 2) reemplace x por 2 y evalúe el resultado:
.............................................................................................................................................
b) Como P(X > 1) = 1 – P(X ......) = .................................................................
c) Se nos pregunta por una probabilidad condicional:
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P(X = 2 / X > 1) =
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P( X  1  X  1)
P( X  1)

 .........................................
P( X  1)
1  P( X  1)
Ejemplo 19
Al inspeccionar por auditoria 1450 cuentas para cierta industria, resultaron 148 cuentas
erradas. Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 cuentas, resulten al menos 3 cuentas
erradas?
Solución
Según los datos: La elección de las 5 cuentas (n = 5) deben realizarse sin reposición.
Defina a X como: ......................................................
Al seleccionar elementos si reposición, podemos afirmar que X tiene distribución
hipergeométrica en donde N = ......; r = ......; n = ...... Es decir, X  H(...........................).
Qué debemos encontrar? P( .................)
Evalúe dicha probabilidad usando la definición (reemplace los valores de x y luego sume).
Uso de Minitab:
Para resolver problemas de esta distribución usando Minitab, debe tomar en cuenta las
siguientes consideraciones:
Use la secuencia: <Calc> - <Probability Disributions> - <Hipergeometric>. Luego del cual
obtendrá una ventana similar a la que se muestra.
Primero debe ingresar el valor de N en
<Population size>, el valor de r en
<Successes in populations> y el valor
de n en <Sample size>.
Como en los casos de las otras
distribuciones, deberá usar
Probability para hallar p(x)
Cumulative: para obtener P(X ≤ x)
Inverse: para hallar k en P(X ≤k) = p
El valor de x o de p se deberá ingresar
en <Input constant>.
En este ejemplo, encuentre P(X ≥ 3).
Ejemplo 20
Cuál es la probabilidad de que un auditor de empresas detecte sólo dos declaraciones de
impuestos con deducciones ilegales, si se selecciona al azar 6 de 18 declaraciones, 8 de las
cuales contienen deducciones ilegales?
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Solución
En este caso tenemos: N = .................; r = .................., n = ............
Si X se define como “El número de declaraciones con deducciones ilegales en una muestra
de 6” y como se deben extraer sin reposición, entonces X  ..................
Se pide: P(............) que es igual a P(..........) = ........................................................
Use Minitab para comprobar su resultado.
Ejemplo 21
Una residencia tiene desocupado 12 cuartos unipersonales con baño y 8 cuartos
unipersonales sin baño. Llegan 4 viajeros y eligen al azar sus cuartos. Cuál es la
probabilidad de que entre los recién llegados, sea mayor el número de los que consiguen
baño que el de los que se alojan en cuarto sin baño?
Solución
En este caso: N = .......................
r = .......................
n = .................
Defina a X: ...........................................................................................
Qué valore debe tomar X para que aquellos que consiguen baño sea mayor de los que no
consiguen baño? ............................................. Encuentre una expresión usando X.
Encuentre P(X ...............) = .................................
Nota:
En los siguientes problemas use Minitab, si fuera necesario.
Ejercicio 21
Un club tiene 100 miembros. Entre ellos hay 70 abogados, 50 extranjeros y 20 nacionales
no abogados. Se elige al azar el Comité directivo de 5 miembros. Cuál es la probabilidad de
que este contenga:
a) Exactamente 3 abogados
b) Exactamente 3 extranjeros
c) Exactamente 3 abogados extranjeros
d) Por lo menos 3 abogados extranjeros
Ejercicio 22
En una Universidad de 580 alumnos, existen 3 corrientes políticas. Se sabe que el 55%
pertenece al grupo A, el 30% pertenece al grupo B y el resto al grupo C. Si se elige al azar
un comité estudiantil formado por 10 alumnos, cuál es la probabilidad de que 6 de ellos
sean del grupo B?
Ejercicio 23
Un director de personal que entrevista a 11 ingenieros para 4 vacantes, ha programado 6
entrevistas para el primer día y 5 para el segundo día. Suponga que los candidatos son
entrevistados al azar.
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a) Cuál es la probabilidad de que dos de los mejores cuatro candidatos sean entrevistados
el primer día?
b) Cuántos de los mejores cuatro candidatos pueden esperar ser entrevistados, el primer
día?
Ejercicio 24
Un comerciante tiene 20 unidades de cierto artículo, de los cuales sólo 14 están aptos para
su venta.
a) Llega un cliente, el Señor Lorenzo, que comprará 4 artículos. El comerciante
“Embustero” desea que Lorenzo se lleve al menos un artículo defectuoso y propone que
Lorenzo escoja sus artículos al azar, de entre 20 artículos. Cuál es la probabilidad de
que el comerciante se salga con la suya?
b) Suponga que el comerciante aún tiene sus 20 artículos para la venta y llega otro cliente,
Pepito, que comprará 3 artículos. En esta ocasión el mismo comerciante selecciona al
azar 5 artículos. Cuál es la probabilidad de que, con los 5 artículos escogidos le sea
suficiente al comerciante para satisfacer el pedido de Pepito?
Ejercicio 25
Una firma comercializadora de parquet recibe un lote grande en paquetes de120 unidades
cada uno. Un paquete es rechazado si al revisar 10 unidades de parquet elegidas al azar una
a una sin reposición se encuentren tres o más defectuosas. Calcular la probabilidad de que
un paquete sea aceptado si este contiene 24 unidades defectuosas.
APROXIMACION BINOMIAL A POISSON
Ejercicio 26
Sea X una v.a. con distribución Binomial de parámetros n = 100 y p = 0.25. Utilice la
distribución de Poisson para aproximar las siguientes probabilidades:
a) P(X = 34) b) P(X > 3) c) P(37<X<40)
d) P(X > 97)
Ejercicio 27
En una ciudad específica, el 6% de todos los conductores obtienen al menos un boleto de
estacionamiento por año. Emplear la aproximación de Poisson a la distribución Binomial
para determinar la probabilidad de que entre 80 conductores elegidos al azar en la ciudad,
a) Cuatro obtengan al menos un boleto de establecimiento en un año
b) Al menos tres obtengan como mínimo un boleto de estacionamiento en un año
cualquiera
Ejercicio 28
La frecuencia de negociación de una acción determinada, en una año se entiende como el
número de días en que esa acción fue negociada durante ese año.
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nro. de días negociados
360 dias en un año
Además se sabe que la probabilidad de que en un día la acción sea negociada es de 0.01.
Empleando la aproximación de la Binomial mediante una Poisson, cuál es la probabilidad
de que la frecuencia de negociación del año, para esa acción, sea 2.5%
Usualmente se define por la siguiente relación:
Problemas teóricos
1. Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomialmente, deduzca su función de
probabilidad así como su media y varianza.
2. Si X es una variable aleatoria que se distribuye geométricamente, deduzca su función de
probabilidad y encuentre su media y varianza.
3. Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson, deduzca su media y varianza.
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