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ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA Hexagrama DESCRIPCIÓN AXIOMÁTICA DEL PLANO PROYECTIVO Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas: • Dos puntos determinan una única recta. • En cada recta hay al menos tres puntos. • Hay tres puntos no alineados. • Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto. Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo. Surge ahora una pregunta natural: ¿Qué relación hay entre esta definición axiomática de plano proyectivo y la construcción del plano proyectivo como conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3? Para facilitar las explicaciones, convenimos en denominar plano proyectivo axiomático a cualquier conjunto de puntos y rectas que cumpla la axiomática anterior, y plano proyectivo algebraico al conjunto de rectas de un espacio vectorial de dimensión 3. En primer lugar se observa que un plano proyectivo algebraico (definido sobre un cuerpo K finito o infinito, con 2 o más elementos), cumple los axiomas anteriores, y es por tanto un plano proyectivo axiomático. Pero, ¿y recíprocamente? La respuesta a esta cuestión es que NO: se pueden encontrar planos proyectivos axiomáticos que no son algebraicos. En 1871 Felix Klein presentó un modelo proyectivo de geometría no euclídea, siguiendo unas ideas anteriores de Eugenio Beltrami (18351900). Este modelo es útil para adquirir una visión global del plano hiperbólico y entender algunas de sus peculiaridades. La existencia de esos ejemplos no algebraicos está relacionada con uno de los resultados clásicos de la Geometría Proyectiva: el célebre Teorema de Desargues, que se verifica en todos los planos proyectivos algebraicos. Ocurre que no todos los planos proyectivos axiomáticos cumplen ese teorema, y naturalmente, los que no lo cumplen no pueden ser algebraicos. El primer ejemplo de este fenómeno se debe a Oswald Veblen (1880-1960) y Joseph Henry Maclagan Wedderburn (1882-1948). Para distinguirlos, los planos proyectivos que sí cumplen el teorema de Desargues se denominan desarguesianos. E. Beltrami Teorema de Desargues Estos planos proyectivos desarguesianos sí se pueden definir algebraicamente, aunque con un pequeño matiz. En realidad, se demuestra que un plano proyectivo desarguesiano está definido de manera algebraica (como rectas de un espacio vectorial), pero no necesariamente sobre un cuerpo, sino sobre un anillo de división. Digamos, para completar esta discusión, que un plano desarguesiano está definido sobre un cuerpo precisamente cuando se verifica en él otro resultado clásico: el Teorema de Pappus. O. Veblen EL MODELO PROYECTIVO DEL PLANO HIPERBÓLICO Teorema de Pappus F. Klein PUNTOS Y RECTAS MOVIMIENTOS A partir de una cónica E del plano proyectivo real se considera el plano hiperbólico como formado por los puntos interiores de E. Las rectas de este modelo de plano hiperbólico son las mismas que las del plano proyectivo, pero reducidas a su parte interior a E. La cónica E se denomina cónica absoluta o absoluto del plano hiperbólico. El siguiente dibujo resume esto. Los movimientos de este plano hiperbólico son los del plano proyectivo (las colineaciones) que dejan invariante el absoluto E. Por supuesto, lo que importa aquí es la restricción de dichas colineaciones al plano hiperbólico. Dos figuras del plano hiperbólico se consideran iguales (o congruentes) cuando hay un movimiento que transforma una en otra. Ejemplo de movimiento: una homología de centro P que induce una involución en el absoluto. Este movimiento se llama simetría de centro P. A y B no son puntos de la recta del plano hiperbólico, que es por tanto ilimitada. PARALELISMO PERPENDICULARIDAD Observamos que en el plano hiperbólico no se cumple el Quinto Postulado de Euclides: por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas que no la cortan. Dos rectas r=AB y r'=A'B' son perpendiculares si existe un movimiento que superpone los ángulos adyacentes y (es decir, si esos ángulos son iguales o congruentes). En tal caso los ángulos y se llaman rectos. J.H.M. Wedderburn Las rectas PA y PB se llaman paralelas a AB y las otras ultraparalelas. PLANOS PROYECTIVOS FINITOS POLARIDAD Se llama punto polar de una recta r=AB al punto Q, intersección de las dos tangentes a E en los puntos A y B; este punto del plano proyectivo no está en el plano hiperbólico. Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos. Es claro que si un plano proyectivo finito está definido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que si el cuerpo tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p2 puntos, y el mismo número 1+p+p2 de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7 rectas. Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración adjunta, que muestra las incidencias de puntos y rectas. Otro ejemplo importante de plano proyectivo finito es el plano proyectivo no desarguesiano de Veblen y Wedderburn: se trata de un plano proyectivo finito con 91 puntos. Este plano no es algebraico, pero existe otro plano proyectivo con 91 puntos que sí lo es: el definido sobre un cuerpo finito con p=9 elementos (pues en ese caso 1+p+p2=91). La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952), que da su nombre a la configuración del plano proyectivo con siete puntos. ultraparalelas Configuración de Fano paralelas K.G.Ch. von Staudt Proyectos UCM de Innovación Educativa Facultad de Ciencias Matemáticas 2002 La polaridad proporciona una formulación proyectiva de la perpendicularidad en el plano hiperbólico, pues se prueba que dos rectas son perpendiculares si una pasa por el punto polar de la otra. Un hecho natural para la intuición euclídea es que en el plano hiperbólico dos rectas ultraparalelas tienen siempre una perpendicular común, pero esa misma intuición es contraria al hecho de que dos rectas paralelas no la tengan. G. Fano María Emilia Alonso • Departamento de Álgebra, UCM María Cruz del Amo • IES Miguel Servet, Madrid Raquel Mallavibarrena • Departamento de Álgebra, UCM Isabel Pinto • IES La Fuensanta, Córdoba Jesús M. Ruiz • Departamento de Geometría y Topología, UCM
