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TEMA 6
ANÁLISIS DE CIRCUITOS
POR VARIABLES DE RAMA.
6.1.-Introducción.
6.2.-Terminología de redes.
6.3.-Análisis de redes mediante ecuaciones de variables de rama.
6.3.1.-Número de ecuaciones disponibles.
6.3.2.-Ecuaciones independientes.
6.3.3.-Análisis de redes. Aplicación.
6.4.-Ramas con fuentes. Ecuación de definición.
6.5.-Modificación de la geometría de un circuito.
6.6.-Circuitos duales.
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6.1.-INTRODUCCIÓN.
El comportamiento de cualquier circuito eléctrico, del que se conozca su
configuración, así como los elementos que lo integran y las condiciones iniciales de
funcionamiento, puede determinarse mediante las dos leyes de Kirchhoff y las
ecuaciones de tales elementos.
Determinar el comportamiento de un circuito es hallar la expresión de la tensión
y de la intensidad correspondiente a cada elemento, conocidas las fuentes de
excitación, la carga o la tensión inicial de cada condensador y el flujo o la intensidad
de corriente inicial de cada bobina. Para tal fin hemos de plantear y resolver un sistema
determinado de ecuaciones.
En este capítulo vamos a estudiar la forma de plantear dicho sistema.
6.2.- TERMINOLOGÍA DE REDES
Rama: Es un elemento o grupo de elementos que presenta dos terminales.
Algunas veces se denomina también lado. Únicamente consideraremos que una
agrupación de elementos de dos terminales A y B forma una rama, cuando se conocen
los parámetros y la relación que liga la tensión entre A y B con la intensidad que pasa
a través de esos terminales. En particular, pueden considerarse constituyendo una
rama aquellos elementos que son del mismo tipo, y pueden reducirse a un solo
elemento equivalente. La Fig. 1a tiene tres ramas.
Figura 1
Nudo: Es el punto de unión de dos (nudo secundario) o más ramas. A veces se
le llama también vértice. En la Fig. 1a, los puntos A y B son nudos, mientras que en la
Fig. 1b, los puntos A y B son nudos secundarios.
Lazo: Es un conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal forma que
si se elimina cualquier rama del lazo, el camino queda abierto.
Red plana: Es una red que puede dibujarse sobre una superficie plana sin que
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se cruce ninguna rama. ¡Ojo!: hay circuitos planos que aparentan no serlo.
Malla: Este concepto se aplica solamente a circuitos planos y es un lazo que no
contiene ningún otro en su interior. En un circuito plano existen obviamente tantas
mallas como “ventanas” tiene la red. El circuito de la Fig. 2a tiene tres mallas.
Compruébese que todas las mallas son lazos, pero no todos los lazos son mallas.
Figura 2
Grafo: Es un dibujo simplificado de un circuito en el que cada rama se
representa por un segmento. Si también se indica con una flecha el sentido de la
corriente para cada línea del grafo, se dice que se tiene un grafo orientado. La Fig. 2b
muestra el grafo de la Fig, 2a.
Circuito conexo: Es aquel circuito en el que se puede pasar de uno de sus
nudos a otro cualquiera de ellos, mediante, al menos, una línea continua formada por
ramas del propio circuito.
Árbol: Es una parte de un grafo formado por ramas que contengan a todos los
nudos, sin que se formen lazos. En la Fig. 2b se han mostrado con líneas continuas un
árbol del grafo.
Eslabón: Son las ramas del grafo no incluidas en el árbol. Se conocen también
con el nombre de cuerdas o ramas de enlace. Para el grafo de la Fig. 2b, las ramas 1,
5 y 6 son eslabones.
6.3.-ANÁLISIS DE REDES MEDIANTE ECUACIONES DE VARIABLES
DE RAMA
El primer paso para el análisis de un circuito está en la determinación de todas
las ecuaciones disponibles, de las cuales, posiblemente algunas sean combinaciones
lineales del resto, por lo que el paso definitivo será encontrar cuales de entre todas son
ecuaciones linealmente independientes.
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6.3.1.-NÚMERO DE ECUACIONES DISPONIBLES
Estudiaremos este problema sobre el grafo de un circuito genérico. Admitiremos
de momento, que tal circuito es pasivo, y que si hay corrientes circulando por sus
ramas, y tensiones entre sus nudos, es debido a la energía inicial almacenada en sus
condensadores y en sus bobinas. Posteriormente trataremos el caso general en que
existan fuentes de tensión y de intensidad.
Si el circuito tiene r ramas, hay 2r incógnitas, una tensión y una intensidad por
cada rama.
Aplicando la primera ley de Kirchhoff a cada nudo, podemos formular n
ecuaciones nodales, y aplicando la segunda ley a cada lazo podemos escribir otras
l ecuaciones circulares.
Además, en cada rama, por ejemplo la k-ésima, conocemos la relación uk = uk (ik).
Disponemos, pues, de otras r ecuaciones y, en total, de l+n+r
6.3.2.-ECUACIONES INDEPENDIENTES
Para formar un sistema de ecuaciones que sea determinado, necesitamos elegir
2r ecuaciones independientes de entre las (l+n+r).
a)Elección de las ecuaciones nodales.
Existen varios métodos para determinar el número de ecuaciones nodales
linealmente independientes, pero nosotros usaremos el métodos de los nudos, junto
con un teorema que nos dice que “el número máximo de ecuaciones nodales
linealmente independientes, en un circuito conexo de n nudos, es n-1". Este método
consiste en escribir las ecuaciones nodales correspondientes a todos los nudos menos
a uno (existe otro teorema que dice que “en un circuito conexo de n nudos, todo
conjunto de n-1 ecuaciones, formadas aplicando la primera ley de Kirchhoff a todos los
nudos menos uno, forman un sistema de ecuaciones linealmente independientes”).
b)Ecuaciones circulares:
Hemos visto que de las r ecuaciones linealmente independientes, n-1 se
obtienen por aplicación de la primera ley de Kirchhoff (ecuaciones nodales).
El número máximo de ecuaciones linealmente independientes que podrán
obtenerse aplicando la 2ª ley de Kirchhoff (ecuaciones circulares), será, por tanto, r-(n1). De nuevo, existen dos métodos para esta determinación. Nosotros utilizaremos el
método de las mallas, el cual se aplica solamente a circuitos planos, y consiste en
escribir las ecuaciones correspondientes a todas las mallas. Esto es posible por la
existencia de estos dos teoremas:
Teorema: “El número de mallas m de un circuito plano, conexo, de r ramas y n
nudos, es igual al de lazos básicos, es decir: m = r - (n - 1)”.
Teorema: “Las ecuaciones formadas escribiendo la segunda ley de Kirchhoff
para cada malla, son linealmente independientes”.
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6.3.3.-ANÁLISIS DE REDES. APLICACIÓN
Vamos a ver el procedimiento indicado, para un grafo determinado (el cual no
contiene elementos activos). Calcularemos primeramente las ecuaciones nodales y
luego las circulares, todo ello para el circuito de la Fig. 3.
Figura 3
a)Las ecuaciones nodales linealmente independiente se obtienen aplicando la
1ª ley de Kirchhoff para tres nudos (A, B y C, por ejemplo) de la Fig. 3a:
Nudo A:
Nudo B:
Nudo C:
-i1 + i4 - i5 - i6 = 0
i1 + i2 + i5 = 0
-i2 + i3 + i6 -i7 = 0
(La ecuación, innecesaria, del nudo D sería: -i3 - i4 + i7 = 0)
b)Las ecuaciones circulares linealmente independientes se obtienen aplicando
la 2ª ley de Kirchhoff a 4 mallas del circuito de la Fig. 3b (para ello elegimos como
intensidades de malla las indicadas a trazos).
Malla 1:
Malla 2:
Malla 3:
Malla 4:
u1 - u 5 = 0
-u2 + u5 - u6 = 0
u4 + u 6 + u 7 = 0
- u 3 - u7 = 0
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Solamente nos faltaría sustituir la ecuación de cada elemento, esto es:
o bien
u = Z (D ) ⋅ i
(1)
i = Y (D ) ⋅ u
(2)
(siempre que la flecha de i y de u apunten en el mismo sentido)
Con esto, podríamos resolver completamente el circuito, ya que nos queda un
sistema de siete ecuaciones con siete incógnitas.
6.4.-RAMAS CON FUENTES. ECUACIONES DE DEFINICIÓN
En todo circuito con elementos disipativos, es decir, con resistencias, la corriente
se mantiene a expensas de fuentes que van proporcionando la energía que se disipa.
Puede darse el caso, como hemos indicado antes, de corriente producida a costa de
la energía almacenada inicialmente en algún elemento no disipativo del circuito, pero
esta energía ha de estar necesariamente acotada, por lo que la corriente debida a esta
causa se ha de extinguir pasado un tiempo más o menos largo.
Vamos a estudiar aquí el planteamiento de las ecuaciones correspondientes a
circuitos con ramas activas, esto es, ramas con fuentes energéticas, ya sean de
tensión o de intensidad.
Si consideramos la existencia de ramas activas, es decir, que contengan fuentes
de tensión, de intensidad, o de ambos tipos, lo dicho hasta aquí referente a la selección
de ecuaciones nodales y circulares permanece totalmente válido.
En lo que respecta a las r ecuaciones de rama, si éstas eran pasivas, adoptaban
la forma u = Z(D)Ai, o bien i = Y(D)Au, dadas por las expresiones (1) y (2),
respectivamente. Si las ramas son activas, seguirá existiendo, en general, una relación
entre la tensión e intensidad de cada rama, aunque dicha relación adopte una forma
diferente. Estudiaremos los diversos tipos de ramas activas que pueden darse en un
circuito, viendo la influencia de los mismos sobre el número de ecuaciones y de
incógnitas.
En la Fig. 4 se ha representado un tipo general de rama activa, formada por una
fuente de intensidad, conectada en paralelo con un conjunto constituido por la conexión
serie de una fuente ideal de tensión y un elemento pasivo, que vendrá definido por su
impedancia o admitancia operacional. Calculemos las relaciones entre la tensión de
rama, u y la intensidad de rama i, tomando una u otra como variable independiente y
admitiendo que el elemento pasivo no está acoplado magnéticamente con otros
elementos del circuito que se considere.
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Figura 4
Para la asociación serie de la fuente de tensión y el elemento pasivo, podemos
escribir, teniendo en cuenta la segunda ley de Kirchhoff:
u = − eg + Z ⋅ ie
(3)
y aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo A
i = − ig + ie
Operando ambas ecuaciones obtenemos:
(
u = − eg + Z ⋅ i + ig
(4)
)
(5)
que da la tensión de rama, en función de la intensidad de rama, o bien
(
i = − ig + Y ⋅ u + eg
)
que da la intensidad de rama en función de la tensión de rama.
Las expresiones (5) y (6) son más generales que las (1) y (2), convirtiéndose en
estas en el caso de que ig = 0 y eg = 0, ya que entonces la rama sería pasiva.
Este tipo de rama no introduciría ninguna variación en el número de incógnitas
(dos por rama), ni en el número de ecuaciones disponibles, pero ahora, la existencia
de ig y eg se traduce en existencia de términos independientes, distintos de cero, en
las ecuaciones de rama.
En la Fig. 5 se han representado dos tipos de ramas activas, que se obtienen
del general, haciendo eg = 0 (cortocircuito) en (a), o ig = 0 (circuito abierto) en (b).
Las relaciones que se tendrían ahora para cada rama serían:
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(6)
Figura 5
Las relaciones tensión intensidad serían, para la rama da la Fig. 5ª:
i = − ig + Y ⋅ u
(
u = Z ⋅ i + ig
y para la de la Fig. 5b
)
(7)
u = − eg + Z ⋅ i
(
i = Y u + eg
)
Como veremos más adelante, en ocasiones convendrá, por simplificación,
reducir cualquier tipo de ramas activas a uno de estos dos. Se aconseja acostumbrarse
a escribir directamente las expresiones (7) y (8), por aplicación de las leyes de
Kirchhoff.
Nótese la analogía entre ambas expresiones si se intercambia tensión por
intensidad e impedancia por admitancia.
Obsérvese también que las fuentes reales de intensidad (fuente ideal con
elemento en paralelo), y las fuentes reales de tensión (fuente ideal con elemento en
serie), responden a los tipos de rama de la Fig. 5a y 5b, respectivamente.
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(8)
Si no existiese el elemento pasivo, es decir, si Y = 0 (circuito abierto), en la Fig.
5a, o Z = 0 (cortocircuito) en la Fig. 5b, tendríamos los tipos de rama de la Fig. 6a y 6b,
respectivamente.
Figura 6
Para la primera de ellas la intensidad de rama es conocida: i = ig , existiendo, por
tanto, una incógnita menos. La tensión u, sin embargo, sigue siendo incógnita, y su
valor dependerá del resto del circuito.
Para la segunda (Fig. 6b) la tensión de rama es conocida: u = -eg , existiendo
también una incógnita menos. La intensidad i sigue siendo una incógnita, y su valor
dependerá del resto del circuito. En ambos casos se tiene una incógnita menos, pero
también se dispone de una ecuación menos, ya que no existe relación entre la tensión
e intensidad de rama.
6.5.-MODIFICACIONES DE LA GEOMETRÍA DE UN CIRCUITO
En ocasiones, debido en general a hipótesis simplificadoras, podrán aparecer
en un circuito ramas activas en que se tiene un elemento en serie con un generador
de intensidad ideal, o bien un generador de tensión ideal en paralelo con otro
elemento. En ambos casos, ya vimos que, a efectos del resto de circuito, esos
elementos pueden quitarse en el análisis, por lo que volveríamos a tener la Fig. 6. (Esto
es válido siempre que el elemento no presente acoplamiento magnético con el resto
del circuito).
En cuanto a asociaciones de generadores de tensión entre sí o de intensidad,
ya vimos las situaciones posibles y las que no lo son.
Para poder efectuar la transformación de fuentes es necesario la existencia de
un elemento pasivo en serie con la fuente de tensión o en paralelo con la de
intensidad.
En el caso de que una rama de un circuito esté formada por una fuente ideal de
tensión, dependiente o independiente, sin ningún elemento en serie, estudiaremos la
forma de eliminar dicha rama sin que varíe la tensión e intensidad en el resto de los
elementos del circuito.
Igualmente, caso de que una rama de un circuito esté formada por una fuente
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ideal de intensidad, dependiente o independiente, sin ningún elemento en paralelo,
estudiaremos la forma de eliminar dicha rama sin que varíe la tensión e intensidad en
el resto de los elementos del circuito.
Figura 7
Consideremos primero este segundo caso, representado en la Fig. 7,donde la
rama A-B está formada por una fuente de intensidad, ig. Las ramas k, l y m de la citada
figura son un conjunto de ramas que forman un lazo con dicha rama A-B. La fuente de
intensidad excita el resto del circuito introduciendo por A una intensidad ig que extrae
de B.
Figura 8
Esto mismo se consigue en el circuito transformado de la Fig. 8, ya que ig entra
y sale de C y D y las fuentes no aportan nada a estos nudos. En consecuencia, a
excepción de la fuente de intensidad, todos los restantes elementos del circuito se
comportarán igualmente y, por tanto, la tensión uAB será la misma en ambos.
Una vez resuelto el circuito de la Fig. 8, la tensión de la fuente del circuito
original (Fig. 7) se puede obtener teniendo en cuenta que
Uab
= uAC + uCD + uDB = uk - ul + um
que multiplicando ambos miembros por ig nos indica que la potencia suministrada
coincide con la suma de las potencias entregadas a cada rama.
El lazo elegido en la Fig. 8 para transportar la intensidad ig desde el nudo B al
A, mediante fuentes de intensidad en paralelo con ramas del mismo, puede ser
cualquiera que se cierre sobre la rama A-B.
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Figura 9
Consideremos ahora el caso representado en la Fig. 9, donde la rama A-B está
formada por una fuente ideal de tensión eg. Las ramas k, l y m de la citada figura son
el conjunto de todas las ramas que, junto con la A-B, concurren en uno de los extremos
de ésta. La fuente de tensión excita el resto del circuito haciendo que el potencial de
B exceda al de A en uBA = eg.
Figura 10
En el circuito transformado de la Fig. 10, los nudos Bk, Bl y Bm están todos al
mismo potencial uBA = eg respecto de A, por lo que da igual considerarlos unidos o
separados. Esto es, el sistema de tres fuentes iguales de la Fig. 10 excita al resto del
circuito de igual forma que una sola fuente de la Fig. 9. En consecuencia, los
elementos externos a la fuente se comportan igualmente en una y otra configuración.
Se observa que iAB = ik -il + im con lo que, multiplicando ambos miembros por eg,
llegamos a que la potencia suministrada por la fuente del circuito de la Fig. 9 es igual
a la suministrada por las fuentes del circuito de la Fig. 10, con lo que se comprueba
que el circuito conectado a las fuentes recibe la misma aportación energética en uno
y otro caso.
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6.6.-CIRCUITOS DUALES
La Teoría de Circuitos tiene como fundamentales las Leyes de Kirchhoff:
1ª Ley: La suma algebraica de las intensidades que circulan por todas las ramas que
cortan un recinto cerrado es igual a cero: 3i = 0.
2ª Ley: La suma algebraica de las tensiones de las ramas que forman un circuito
cerrado es igual a cero: 3u = 0.
Se observa la dualidad entre estas leyes básicas con las palabras tensiónintensidad y recinto cerrado-circuito cerrado que pueden considerarse como conceptos
duales básicos.
Como se ve, la dualidad queda reflejada en las ecuaciones matemáticas, por
simple intercambio de las variables duales.
a)Configuraciones duales:
Considerando el espacio exterior de todo circuito plano como una malla
adicional (supóngase que el circuito reposa sobre una esfera)limitada por las ramas
externas, se dice que dos circuitos tienen configuraciones duales cuando las
ecuaciones que resultan de aplicar la 1ª/2ª ley de Kirchhoff a todos los nudos/mallas
(incluida la exterior), de uno de ellos, son duales de las que se obtienen de aplicar la
2ª/1ª ley de Kirchhoff a todas las mallas (incluida la exterior)/nudos, del otro.
Como consecuencia de la definición dada, dos configuraciones duales tendrán
el mismo número de ramas y el número de nudos/mallas de una será igual al de
mallas/nudos de la otra (teniendo en cuenta la malla externa).
b)Elementos duales:
Son aquellos cuyas ecuaciones de definición son duales. Así, un condensador
y una bobina son duales. Una resistencia y una conductancia son duales. Una fuente
de tensión es dual de una fuente de intensidad y un cortocircuito es dual de un circuito
abierto.
c)Circuitos duales:
Dos circuitos son duales cuando sus configuraciones o grafos lo son y, además,
las ramas duales están formadas por elementos duales (el ejemplo más conocido es
el de los circuitos Thevenin/Norton).
Ejemplo: Circuitos serie y paralelo R-C-L:
El circuito dual del representado en la Fig. 11 es el de la Fig. 12.
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Figura 11
En él se cumple:
1

i
u =  R + LD +

CD 
(9)
Figura 12
Mientras que el circuito de la Fig. 12 cumple:
1 

u
i =  G + C' D +

L' D 
(10)
Como se ve, (10) es dual de (9) y, por tanto, también lo serán las
configuraciones de las Fig. 11 y 12, cuyo comportamiento definen.
Podemos afirmar, en general, que las configuraciones serie y paralelo son
duales.
Como las ramas del circuito serie están formadas por los elementos duales de
las del circuito paralelo, ambos son duales.
Si, para dos circuitos duales, el primero se analiza por el método de mallas y el
segundo por el de nudos, tomando como nudo de referencia, para el segundo, el dual
de la malla exterior del primero, las ecuaciones que resultan para ambos, tienen la
misma forma.
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ANEXO I
Grupo de corte: Es todo conjunto de ramas de un circuito al que puede aplicarse la
primera ley de Kirchhoff generalizada.
De acuerdo con esta definición, formarían un grupo de corte todo conjunto de
ramas de un circuito, tales que la supresión de todas las ramas que lo forman dejaría
al circuito dividido en dos partes, sin conexión alguna entre sí, pero la supresión de
cualquier subconjunto del mismo no establecería dicha división.
Las ramas concurrentes en un nudo constituyen un caso particular de grupo de
corte.
Figura 13
En la Fig. 13, podemos señalar como ejemplo de grupos de corte el formado por
las ramas (4,3 , 5, y 7) y el formado por las ramas (4, 6 y 8). El conjunto de ramas (3,
4, 6, 9) no constituye un grupo de corte, ya que al eliminarlas del circuito, este quedaría
dividido en dos partes sin conexión entre sí, pero si se elimina solamente el
subconjunto formado por las ramas (4, 6, 9) también se establece dicha división.
Lazo básico: Un lazo básico C, a veces llamado un circuito C, se define respecto a un
árbol A, y es un lazo que contiene un sólo eslabón.
En la Fig. 14a, lazos básicos con respecto al Árbol A=(1, 3, 4, 8, 9, 7) son C1=(1,
4, 8, 9, 7, 2), C5 = (3, 4, 8, 9, 7, 5) y C4 = (3, 4, 6).
Figura 14
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Obsérvese lo siguiente:
1º)Para un árbol dado, cada eslabón determina únicamente un lazo básico.
2º)Un circuito conexo formado por r ramas y n nudos, contiene
e = c = r - (n-1)
eslabones o lazos básicos.
Grupo de corte básico: Se define para un árbol determinado A, y es un grupo de
corte que contiene sólo una rama del árbol.
En la Fig. 14b se han señalado los grupos de corte básicos, respecto al árbol A
= (1, 3, 5, 6, 8, 9), que son: (1, 2), (2, 3, 4), (2, 5, 7), (4, 6, 7), (7, 8), (7, 9).
Nótese que:
1º)Para un árbol dado, cada rama del mismo determina únicamente un grupo de corte
básico.
2º)En un circuito conexo de r ramas y n nudos, el número de grupos de corte básicos
es igual al número de ramas del árbol, es decir, n-1.
* ELECCIÓN DE LAS ECUACIONES NODALES:
a) MÉTODO DE LOS GRUPOS DE CORTE:
Consiste en seleccionar un árbol cualquiera A, y escribir las ecuaciones nodales
correspondientes a los grupos de corte básicos. (El número de ecuaciones nodales
linealmente independientes, en un circuito conexo de n nudos es n-1).
b) MÉTODO DE LOS NUDOS:
* ELECCIÓN DE LAS ECUACIONES CIRCULARES:
a) MÉTODO DEL ÁRBOL:
Consiste en seleccionar un árbol cualquiera A y escribir las ecuaciones
circulares para los lazos básicos referentes a este árbol. (El número de lazos básicos
es r - (n-1)).
b) MÉTODO DE LAS MALLAS:
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