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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I
CAPÍTULO 1 REV. 29.4.08
S. ENRIQUE PULIAFITO
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL MENDOZA
APUNTES DE CÁTEDRA DE
TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I
Prof. Dr. Ing. S. Enrique Puliafito
E-mail [email protected]
CAPÍTULO 1: RÉGIMEN ESTACIONARIO
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA
1. Proveer los fundamentos de los circuitos lineales e interpretar a éstos en el marco de
un sistema lineal comprendiendo y aplicando sus principales propiedades
2. Mostrar cómo el análisis y diseño de circuitos eléctricos están íntimamente
relacionados con la capacidad del futuro ingeniero para diseñar complejos sistemas
electrónicos de comunicaciones, computación y control.
3. Que el alumno aprenda a resolver circuitos lineales simples.
4. Que el alumno adquiera las habilidades para modelar y resolver sistemas lineales tanto
desde el dominio del tiempo como de la frecuencia, y que sea capaz de predecir su
comportamiento ante una excitación cualquiera.
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO I: RÉGIMEN ESTACIONARIO
•
•
Proveer los fundamentos de los circuitos eléctricos como sistemas lineales.
Que el alumno aprenda a resolver sistemas simples aplicando los métodos de cálculo
propuestos.
PROGRAMA ANALÍTICO DEL CAPÍTULO
TEMA A: Propiedades de los circuitos: 1.A.1 Parámetros y variables de los circuitos
lineales. 1.A.2 Utilización de modelos en el análisis de los circuitos 1.A.3 Leyes básicas de
equilibrio. 1.A.4. Principios fundamentales: principios de dualidad, linealidad y superposición
TEMA B: Resolución de circuitos: 1.B.1. Métodos de resolución de circuitos,
generalidades.1.B.2. Circuitos resolubles aritméticamente, topología algebraica de los
circuitos eléctricos. 1.B.3. El método "2b". 1.B.4. El método de análisis de las corrientes en
las mallas (método de Maxwell). 1.B.5 El método de análisis de las tensiones nodales.1.B.6.
Resolución de circuitos asistido por computadora, introducción al Pspice.
TIEMPO ESTIMADO DE CURSADO: 3 SEMANAS
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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I
CAPÍTULO 1 REV. 29.4.08
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TABLA DE CONTENIDO:
CAPÍTULO I: RÉGIMEN ESTACIONARIO ...................................................................... 3
1. PROPIEDADES Y LEYES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS LINEALES 3
1.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 3
1.2 ESTÍMULO Y RESPUESTA EN LOS SISTEMAS FÍSICOS. .......................................................... 3
1.3. VARIABLES DEL CIRCUITO: CARGA Y ENERGÍA: CORRIENTES Y TENSIONES....................... 4
1.4 PARÁMETROS DEL CIRCUITO: RESISTENCIA, INDUCTANCIA Y CAPACIDAD.......................... 7
1.4.1 Resistencia................................................................................................................. 7
1.4.2 Inductancia................................................................................................................ 8
1.4.3. Capacidad ................................................................................................................ 9
1.4.4. Fuentes ideales....................................................................................................... 10
2. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS. ANÁLISIS DE REDES ........................................... 11
2.1 LEYES BÁSICAS DE EQUILIBRIO........................................................................................ 12
2.1.1 Descripción topológica de los circuitos.................................................................. 12
2.1.2 Ecuaciones de Kirchhoff ......................................................................................... 12
2.2 RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR SERIE-PARALELO........................................................... 14
2.2.1 Conexión serie......................................................................................................... 14
2.2.2. Conexión paralelo .................................................................................................. 14
2.2.3. Conexión serie-paralelo......................................................................................... 15
2.2.4. Ramas con fuentes reales ....................................................................................... 16
2.3 GRÁFICOS TOPOLÓGICOS DE UN CIRCUITO ....................................................................... 19
2.4 RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO 2B .............................................................. 20
2.4.1 Nodo ficticio y malla ficticia ................................................................................... 21
2.5 MÉTODO DE LAS CORRIENTES EN LAS MALLAS Y DE LAS TENSIONES NODALES................ 23
2.5.1 El método de las corrientes de malla. ..................................................................... 24
2.5.2. El método de las tensiones nodales........................................................................ 28
3. PRINCIPIOS DE LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN................................................ 31
BIBIOGRAFÍA:
• R. Scott: “Linear Circuits”, Addison-Wesley Publishing Co., 1960
• Dorf y Svoboda, “Circuitos Eléctricos. Introducción al Análisis y Diseños”,
Alfaomega, 2000
• Cunnigham and Stuller: “Basic Circuit Analysis”, 1995
• 3. M. Van Walkenberg: “Análisis de Redes”, Limusa.,1994
• H. Pueyo y C. Marco: “Análisis de modelos circuitales”,Tomos I y II. Arbó, 1985
• W. Hyat and J. Kemmerly: “Análisis de Circuitos en Ingeniería”, Mc Graw Hill.,
1985
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CAPÍTULO I: RÉGIMEN ESTACIONARIO
1. Propiedades y leyes fundamentales de los circuitos lineales
1.1 Introducción
El análisis de los circuitos es la disciplina básica de la ingeniería eléctrica que trata la
transferencia de energía de un dispositivo a otro, sin preocuparse por la estructura interna del
mismo o su posición relativa. Sólo considera la transmisión de energía de un dispositivo a
otro. En este estudio se pretende predecir el comportamiento de los dispositivos eléctricos
reales interconectados de diversas maneras. Para ello se usan modelos que permitan describir
estos dispositivos matemáticamente. El grado de exactitud de una ciencia dependerá del grado
de correspondencia entre los modelos y las realidades físicas.
Existen dos puntos de vista:
a) Los modelos son puramente aproximaciones matemáticas de un dispositivo físico real. Por
ejemplo una rueda es un círculo de radio R.
b) El modelo es un dispositivo físico idealizado. Una rueda ideal, por ejemplo, sería
perfectamente circular y sin masa.
Ambos aspectos son importantes. La figura 1.1, representa la dependencia entre el
dispositivo real y los modelos.
Aproximación
matemática
Dispositivo
Real o físico
Modelo
ideal
Figura 1.1: Representación de un dispositivo real por un modelo
Si bien los modelos no representan exactamente el dispositivo físico, estos modelos no serían
interesantes si la correspondencia no fuese muy buena. Lógicamente, los modelos o circuitos
eléctricos ideales son el resultado de mucha experimentación puesto que debe alcanzar una
muy buena correspondencia. Esta mayor correspondencia, se obtiene también complicando
cada vez más los modelos, pero luego debe evaluarse si la correspondencia obtenida justifica
la complejidad del modelo.
Por otra parte, a medida que se van inventando nuevos dispositivos, estos se reducirán a
nuevos modelos, por lo que las leyes y relaciones del análisis de circuitos es independiente
del dispositivo real y por lo tanto mantiene su actualidad.
1.2 Estímulo y respuesta en los sistemas físicos.
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En el análisis de circuitos es posible considerar aisladamente los estímulos o excitación y las
respuestas aisladamente y estudiar la relación causa - efecto. Por otra parte los resultados
pueden repetirse en tiempos distintos y con personas distintas, a esto de lo denomina test de
repetitividad del modelo. Representamos un circuito como el modelo de la figura 1.2.
Modelo o
circuito
Excitación
Respuesta
Figura 1.2: Elementos de un modelo
El estímulo o excitación es una energía suministrada por una fuente y la respuesta es la
utilización de la energía en otro punto extremo. Un sistema idealizado constituye un circuito.
En muchos circuitos o redes, la respuesta es directamente proporcional a la señal de entrada.
Por ejemplo, si la entrada se duplica, la salida también se duplica. A estas redes se las
denomina redes lineales. En estos circuitos es válido el principio de superposición y por ello
siempre consideraremos un sólo generador de estímulos. Llamaremos función respuesta al
valor por el cual hay que multiplicar el estímulo para obtener la respuesta. Esta función
respuesta puede ser una constante o función del tiempo.
1.3. Variables del circuito: carga y energía: corrientes y tensiones.
Para el análisis de circuitos interesa, normalmente el flujo de electricidad de un dispositivo a
otro, pero no el que hay dentro de los dispositivos. Así por ejemplo, el flujo de vehículos en
un país se mide en las rutas y no dentro de las ciudades. Los dispositivos simples tienen un
par de terminales o bornes. La electricidad entra por un terminal y sale por el otro. Los
terminales es una conexión idealizada, sin dimensiones físicas y sin orientación espacial
definida. El efecto del dispositivo físico lo concentramos en un solo elemento ideal como lo
muestra la figura 1.3.
Par de
terminales
Dispositivo
eléctrico
≡
Elemento
concentrado
Figura 1.3: Idealización de las propiedades de un dispositivo eléctrico
Las redes eléctricas que analizaremos en este estudio están compuestas de elementos ideales
conectados entre sí por conectores también ideales que no absorben ni almacenan energía.
Existe sin embargo una limitación a este modelo idealizado, y lo constituye la velocidad de
propagación finita de la energía eléctrica. Para la mayoría de los casos, ésta se propagará en la
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velocidad de la luz (3 x 1010 cm/seg). A pesar de esta limitación, consideraremos para los
circuitos que aquí se estudiarán, la velocidad de propagación infinita. Los circuitos con líneas
de transmisión muy largas o propagación a frecuencias muy elevadas se tratarán en otra
materia con métodos más generales de la teoría de campo. Como regla simple, puede
considerarse la siguiente: si la dimensión del circuito es mucho menor que la longitud de onda
de la frecuencia de trabajo, el modelo del análisis de circuito es válido, en el caso contrario,
debe tratarse por teoría de campo o propagación de ondas electromagnéticas.
En estos primeros puntos introductorios hemos hablado de energía, pero ésta no es una unidad
fácil de medir directamente, sino en forma indirecta, por ejemplo para los circuitos eléctricos
a través de la corriente y la tensión. En los sistemas mecánicos se usa la masa y la velocidad,
etc. Para definir estas variables es necesario introducir el concepto de carga eléctrica, el cual
se basa en el esquema atómico de la materia. El átomo se representa como un núcleo cargado
positivamente, rodeado de electrones cargados negativamente, así el átomo es neutro. Si se
quitan electrones, este quedará cargado positivamente. Si tiene un exceso de electrones el
átomo estará cargado negativamente. Desde un punto de vista físico la carga eléctrica unitaria
es la carga de un electrón, considerada negativa y que tiene una masa de 9,107 x 10-31 kg. Por
su magnitud tan pequeña, la unidad práctica de carga es el Coulomb ( C ) y es de 6,24 x 1018
electrones. Es decir la carga del electrón es de 1,6021 x 10-19 C.
La corriente eléctrica es la unidad básica de la teoría o análisis de circuitos, y se la define
como el flujo de carga eléctrica por unidad de tiempo:
dq
(1.1)
i=
dt
donde i es la corriente y se mide en amperes (A), q es la carga y se mide en Coulombs ( C ) y
t es la unidad de tiempo en segundos, es decir la transferencia de carga de un punto a otro del
circuito. La corriente eléctrica mide la rapidez con que la carga de los electrones libres pasan
de un átomo al siguiente. En aquellos materiales donde existen numerosos electrones libres se
los denomina conductores. Los materiales que tienen relativamente pocos electrones libres
son los llamados aislantes. Existen también otros materiales denominados semiconductores
que tienen propiedades especiales muy importantes en la electrónica Debe considerarse, que
el flujo de cargas eléctricas circulando por un conductor por unidad de tiempo tiene una
dirección determinada. Por convención, se considera como positiva la dirección de las cargas
positivas en el sentido que se le asigne a la flecha de referencia en el circuito. Como el efecto
magnético que produce un flujo de cargas positivas en una dirección
Otro concepto importante en el modelo que se describe es el principio de la conservación de
la energía. Este principio establece que ésta no se crea ni se destruye, sino que se transforma.
Así la energía eléctrica se obtiene por conversión de otras formas de energía, por ejemplo:
a) Conversión de energía electromecánica: Producción de energía eléctrica a partir de la
mecánica de rotación. Esta energía mecánica se obtiene, a su vez, por conversión de
energía térmica en mecánica a través de una turbina (combustión fósil o nuclear,
hidráulica, etc).
b) Conversión de energía electroquímica: Las baterías eléctricas producen energía por
conversión de energía química.
c) Conversión de energía fotovoltaica: Convierten la energía lumínica solar en energía
eléctrica.
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La función de estas fuentes de energía es la misma en cuanto a los conceptos de energía y
carga. Las fuentes no crean cargas, sólo las impulsan a lo largo del circuito. Es decir la
energía se gasta en el trabajo de movilizar las cargas alrededor del circuito. Es por ello que se
define el concepto de “energía por unidad de carga” o “trabajo por unidad de carga” como el
voltaje o la tensión eléctrica. Si a una cantidad diferencial de carga dq se le da un incremento
diferencia de energía dw, el potencial de la carga se incrementa por la cantidad:
dw
v=
(1.2)
dq
donde w es el trabajo o energía (en joules), q es la carga (en Coulombs) y v el voltaje se mide
en volts (V). Al voltaje también se lo denomina fuerza electromotriz o Fem. Si el voltaje lo
multiplicamos por la corriente:
dw dq dw
×
=
=p
(1.3)
dq dt
dt
el resultado es una rapidez del cambio de energía que llamamos potencia p. Por lo tanto, la
potencia es el producto de la tensión por la corriente:
p=vi
(1.4)
La potencia se mide entonces en
[watts] = [volt] x [ampere] = [joule /coulomb] x [coulomb /seg] = [joule/seg]
La energía total en cualquier tiempo dado t es la integral:
t
∫ p dt = w
(1.5)
−∞
Con respecto al signo del voltaje, ésta no tiene una dirección como la corriente. Pero sí tiene
polaridad, ya que un dispositivo puede suministrar energía o consumir energía. Un signo
positivo en el terminal por donde entra la corriente, indica que el dispositivo absorbe energía,
un signo negativo en el terminal que entra la corriente indica que el dispositivo es una fuente
de energía. Recordemos que el voltaje es una función potencial, y puede compararse con los
niveles de altura o elevaciones.
Para que los signos de la potencia tengan sentido, debe mantenerse la consistencia entre
corriente y tensión. Normalmente el signo establecido en un circuito para la corriente es
arbitrario, pero el de la caída de tensión o voltaje debe ajustarse correspondientemente. Así, le
asignamos el signo positivo al terminal que entra la corriente, esto significará que el
dispositivo está consumiendo energía. La figura 1.4 se muestra la convención de signos para
un elemento concentrado en un circuito idealizado.
i
+
v
-
Fuente
Elemento
concentrado
Par de terminales
Figura 1.4: Convención de signos para los elementos eléctricos
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1.4 Parámetros del circuito: resistencia, inductancia y capacidad.
La energía asociada a un dispositivo se representa a través de una corriente que circula por él
y al voltaje o caída de tensión entre sus bornes. La relación corriente - tensión está dada por la
naturaleza del dispositivo en cuestión. Existen tres tipos básicos de elementos circuitales
lineales: una resistencia, es un elemento que disipa energía, una inductancia almacena
energía por la corriente que circula por él, y un capacitor que almacena energía debido al
voltaje existente a través de sus bornes. Las fuentes que suministran una cantidad de Coulomb
por segundos (corriente constante), independientemente de la energía requerida se denominan
fuentes de corrientes. Las fuentes que suministran una tensión constante (carga con una
energía dada) independientes de la cantidad de Coulomb requerida, se llaman fuentes de
tensión. A continuación expresaremos las relaciones volt-ampere o tensión-corriente para
cada elemento básico de un circuito.
1.4.1 Resistencia.
Los electrones que pasan a través de un material chocan con partículas atómicas, al ser este
choque inelástico pierden energía en cada choque. La pérdida de energía por unidad de carga
se manifiesta como una caída de tensión. El físico alemán Georg Simon Ohm (1787-1854),
descubrió experimentalmente en 1826 la relación corriente - caída de tensión para los
materiales. Ohm demostró que le flujo de corriente en un circuito, formado por una batería y
un alambre conductor de sección uniforme es:
i=
Ae
ρL
donde A es le área transversal del conductor, ρ es la resistividad, L la longitud y e la tensión a
través del alambre. Luego, definió R como:
ρL
R=
A
quedando indicado que la corriente es proporcional a la tensión aplicada:
(1.6)
e= Ri
donde, e es la tensión a través del elemento en volts, i es la corriente que atraviesa el elemento
en amperes y R es la resistencia medida en ohms. Una ecuación alternativa es:
e
(1.7)
i= =Ge
R
donde G = 1/R es la conductancia medida en mhos. La potencia disipada por la resistencia
será, de acuerdo a (1.6) y (1.7) y la figura 1.5,
e2
p = e i = i2 R =
(1.8)
R
de acuerdo con la convención de signos, una potencia positiva significa disipación.
Figura 1.5: Símbolo de un elemento resistor de resistencia R
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1.4.2 Inductancia.
El inductor es un elemento que almacena energía en forma de campo magnético dependiente
de la corriente eléctrica que circula en ella. La inductancia fue descubierta por Michael
Faraday en 1831. Hans Christian Oersted (1777-1851) de Copenhague descubrió el campo
magnético asociado a una corriente eléctrica. Para los mismos años, en Estados Unidos,
Joseph Henry estudiaba también el electromagnetismo. En el circuito idealizado de la
inductancia, la tensión es proporcional, no a la corriente misma, como en la resistencia, sino
al cambio de la corriente. La constante de proporcionalidad se la llama inductancia y se la
simboliza con L. La relación volt -ampere para un inductor es:
di
(1.9)
e=L
dt
donde L es la inductancia, medida en henry, e es la tensión entre sus bornes y di/dt es la
velocidad de cambio de la corriente en amperes por segundo.
Un inductor ideal es una bobina con N vueltas de alambre sin resistencia. Si enrollamos una
bobina en formal helicoidal, en una sola capa, y suponiendo que la longitud l de la bobina es
mayor que el diámetro d de la misma; entonces su inductancia será:
L=
μ0 N 2 A
= kN 2
l + 0.45 d
(1.10)
Donde, A es el área transversal de la bobina y μ0=4π×10-7 Hy/m, es una constante de
permeabilidad del espacio libre. En general los núcleos de hierro tienen mayor permeabilidad
que el aire, y por lo tanto concentran más el flujo magnético. Por lo tanto una bobina con
núcleo de hierro tiene mayor inductancia que una con núcleo de aire.
Figura 1.6: Ejemplo de un inductor y su símbolo equivalente
Para obtener la corriente que circula por una inductancia, conocida la tensión e como función
del tiempo, es
t
1
i = ∫ e dt
L −∞
La potencia entrante al inductor será
di
(1.11)
p = e i = Li
dt
Cuando la corriente permanece constante no existe un almacenamiento adicional de energía,
pero si la corriente aumenta, la derivada de la corriente es positiva, la potencia es positiva y
finalmente aumenta la energía. La energía total almacenada en el inductor será:
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t
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t
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I
di
1
WL = ∫ ei dt = ∫ Li dt = ∫ Li di = LI 2
(1.12)
dt
2
−∞
−∞
0
donde WL es la energía almacenada en el instante t, en joules, e I es la corriente circulante en
el instante t. Nótese que el valor de la energía en el instante t, depende solamente de la
corriente instantánea I circulante y no de la historia pasada de la inductancia.
En la ecuación (1.10) puede escribirse también como
0
t
t
1
1
1
i = ∫ e dt = ∫ e dt + ∫ e dt
L −∞
L −∞
L0
(1.13)
t
1
i = I 0 + ∫ e dt
L0
El segundo término representa la corriente inicial para el instante t = 0, y sintetiza la historia
pasada de la inductancia. La figura 1.6 representa la convención de signos para la inductancia.
1.4.3. Capacidad
El capacitor es un elemento que almacena energía en forma de campo eléctrico en su
dieléctrico por efecto de una tensión aplicada, e independiente de la corriente circulante. En
1745 Pieter van Mussenbrock de Leyden fue el primero en realizar un experimento de
almacenar campo eléctrico, en 1762 construyó el primer capacitor de placas paralelas. Otros
científicos de la época trabajaron en la sistematización y desarrollo del concepto del capacitor
y almacenamiento de energía eléctrica, entre ellos Charles Agustín Coulomb, Henry
Cavendish y Michael Farady. En 1812 Simon Poisson describió matemáticamente la energía
almacenada por un capacitor.
Figura 1.7 Ejemplo de un capacitor de placas paralelas
Un capacitor es un elemento formado por dos placas conductoras separadas por un material
aislante. La carga eléctrica se almacena en las placas, siendo su valor de capacidad
proporcional a la constante dieléctrica ε del material aislante, del área A de las placas e
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inversamente proporcional a la distancia d entre las placas. En base a estos datos, la capacidad
de un capacitor (en faradios), como el de la figura 1.7 es:
C=
εA
d
(1.14)
La permitividad del espacio vacío ε0= 8.85×10-12 Faradios / metro. La permitividad de otros
materiales se definen a través de una constate eléctrica relativa εr como una relación εr=ε/ ε0.
Por ejemplo el vidrio tiene un εr=7; la baquelita un εr=5, etc. En el modelo del capacitor ideal,
la tensión es proporcional a la carga, es decir la integral de la corriente. Esta constante de
proporcionalidad es la inversa de la capacitancia (o elastancia D=1/C). La carga actual del
capacitor es la suma de todas las cargas presentes en el capacitor, por lo tanto:
t
1
1
(1.14)
e = Q = ∫ i dt
C
C −∞
donde e es la tensión a través del capacitor en volts; Q es la carga de la capacidad en
coulombs, i es la corriente en amperes (o coulomb por segundos), y C capacidad en faradios.
La relación volt-ampere alternativa será:
de
(1.15)
i=C
dt
La potencia entrante a la capacidad en cualquier tiempo es
de
(1.16)
p = ei = Ce
dt
Si la tensión es constante, la derivada es cero, y la potencia será cero. Sólo si hay cambios en
la tensión, se incrementará la energía en el capacitor. La energía total en la capacidad será:
t
t
E
de
1
WC = ∫ ei dt = ∫ Ce dt = ∫ Ce de = CE 2
(1.17)
dt
2
−∞
−∞
0
Figura 1.8: Símbolo de fuentes ideales independientes
1.4.4. Fuentes ideales
Las fuentes son elementos ideales que suministran energía a los circuitos. Hay dos tipos de
fuentes, de tensión y de corriente. Estas fuentes suministran idealmente infinita potencia.
Fuentes de tensión: Suministran una cantidad de cargas (coulomb) constantes. Proporcionan
energía al circuito manteniendo una tensión constante independiente de la corriente que se
genera (figura 1.8-a-).
Fuentes de corrientes: Suministran energía para una cantidad de cargas (coulomb) por
segundo específica independientemente de la energía requerida. Producen una corriente fija
independientemente del circuito conectado a ella (figura 1.8-b-)
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Fuentes controladas: Estas fuentes no son fijas, sino que dependen de la tensión o de la
corriente en otro par de terminales del circuito. Cada fuente (de corriente o tensión) puede ser
controlada por corriente o tensión, apareciendo entonces cuatro tipo de fuentes controladas.
La figura 1.9 (a) superior representa el caso de una fuente de tensión controlada por tensión.
La salida de la fuente es v2=µv1 y la señal de control es v1, donde µ es el parámetro de
control. En la superior (b), en cambio muestra una fuente de corriente controlada por
corriente. La corriente de salida i2 = αi1. . La parte inferior (a) representa una fuente de
tensión controlada por corriente y en inferior (b) una fuente de corriente controladas por
tensión.
Figura 1.9: Fuentes controladas
2. Resolución de circuitos. Análisis de redes
El análisis de un circuito o de una red consiste en encontrar todas las corrientes y tensiones en
cada uno de los elementos de esa red, conocidas las fuentes o excitaciones del circuito. Una
red, en general, está compuesta por elementos, es decir, resistencias, inductancias o
capacitores y fuentes conectadas de alguna manera. La síntesis de circuito, en cambio,
consiste en diseñar una red, de manera tal que a una señal de entrada conocida produzca una
señal de salida esperada.
La metodología para proceder en el análisis de circuito consiste en plantear un conjunto o
sistema de ecuaciones en función de las incógnitas o variables y los datos conocidos. En un
circuito eléctrico, las incógnitas son las corrientes y tensiones en cada elemento. Para
formular estas ecuaciones se usarán las relaciones volt-ampere de cada elemento y las
ecuaciones de Kirchhoff, que se verán más abajo.
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2.1 Leyes básicas de equilibrio.
2.1.1 Descripción topológica de los circuitos
Un sistema de ecuaciones tendrá solución única si se encuentran tantas ecuaciones
independientes como incógnitas se tenga. La topología es un método para encontrar un juego
de ecuaciones independiente a partir de un circuito eléctrico. Para aplicar la topología deben
definirse los conceptos de rama, nodo y malla:
Rama: una rama será un elemento (resistencia, inductancia o capacidad) o un elemento en
serie con un generador de tensión.
Nodo: son las uniones de dos o más ramas
Malla: es un camino cerrado independiente en una red
+
-
Ejemplos de ramas
nodo
+
_
Ejemplo de nodo
Ejemplo de circuito con
dos mallas
Figura 1.10: Elementos topológicos de un circuito
2.1.2 Ecuaciones de Kirchhoff
Gustav Kirchhoff en 1845 estableció las leyes que gobiernan la interconexión de los circuitos
eléctricos. Estas son consecuencias de dos principios físicos generales:
• el principio de conservación de la energía
• el principio de conservación de la carga
Estas leyes relacionan la suma algebraica de las tensiones alrededor de una malla y las
corrientes que salen y entran en un nudo:
a) La corriente que llega a un nudo debe inmediatamente salir de ella, pues en el nudo no
pueden crearse o destruirse cargas eléctricas. Por lo tanto
∑i = 0
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(1.18)
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i3
i4
i1
i2
Figura 1.11: Primera ley de Kirchhoff
Si en el gráfico de la figura 1.11 consideramos a las corrientes que entran al nudo positivas y
a las salientes negativas, entonces la suma será:
i1 + i2 − i3 − i4 = 0
b) La segunda ley de Kirchhoff se apoya en el principio de la conservación de la energía.
La tensión o voltaje en un punto es la energía que necesita una carga para moverla
desde un punto a otro. Igualmente si retornamos la carga eléctrica a un nivel de
tensión igual al anterior, éste entrega la misma energía ganada. En forma similar a lo
que ocurre con la energía potencial en un campo gravitatorio. Por lo tanto, la suma de
las tensiones en un malla es igual a cero
∑e = 0
(1.19)
e4 + e1 = e3 + e2
Figura 1.12
Figura 1.12: Segunda ley de Kirchhoff
O si analizamos la suma de tensiones respecto a una referencia (normalmente llamado tierra),
como en la figura 1.12, tenemos que
eC = e1; eb = e1 + e2 ; ea = e3 + e2 + e1
Por cada rama existe 1 elemento y por lo tanto 2 incógnitas: la corriente que circula por ese
elemento y su caída de tensión. Si un circuito tiene b ramas, entonces el número de incógnita
será 2b. Para resolver este circuito deberemos plantear 2b ecuaciones independientes. Estas
ecuaciones se forman con las relaciones volt-ampere para cada rama, y con las ecuaciones de
Kirchhoff de corriente y tensión.
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2.2 Resolución de circuitos por serie-paralelo
Una rama en un circuito eléctrico está formado por un elemento o un elemento y una fuente
asociada, cómo ya se explicó más arriba. Los elementos o ramas pueden estar conectados de
diversas maneras, pero las variables eléctricas serán siempre la corriente y la tensión.
Dependiendo si la tensión o la corriente es común a dos ramas, éstas estarán conectadas en
paralelo o en serie. Se define una conexión serie de varios elementos cuando éstos tienen la
corriente en común. Y la conexión será en paralelo cuando todos los elementos tienen la
misma tensión.
2.2.1 Conexión serie
En la figura 1.13, se presenta una conexión de varias resistencias en serie. Visto desde el par
de terminales a-b, todo el efecto de esta colección puede representarse por una única
resistencia equivalente.
Figura 1.13: Circuito serie
La caída de tensión en cada resistencia (relación volt-ampere para cada rama) será:
e1 = R1 i ; e 2 = R2 i ; e 3 = R3 i ; L
La tensión en los bornes a-b, será la suma de todas las tensiones, según la segunda ley de
Kirchhoff. Siendo la corriente común, puede extraerse como factor común, entonces:
(1.20)
e = iR1 + iR2 + iR3 + L = i( R1 + R2 + R3 + L) = iReq
La resistencia equivalente de una conexión serie de resistencias es la suma de todas las
resistencias.
(1.21)
Req = R1 + R2 + R3
2.2.2. Conexión paralelo
Un grupo de resistencias están en paralelo si todas están conectadas a la misma tensión.
Figura 1.14: Circuito paralelo
Las relaciones volt-ampere para cada rama se escriben en función de la tensión común:
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i1 =
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e
e
e
; i2 = ; i3 = ; L
R1
R2
R3
La corriente en los terminales a-b es la suma de las corrientes en cada rama (suma de
corrientes en un nodo de Kirchhoff):
⎞
⎛1 1 1
e e e
i = i1 + i2 + i3 + L = + + + L = e⎜⎜ + + + L⎟⎟
R1 R2 R3
⎠
⎝ R1 R2 R3
En el terminal a-b, la relación volt-ampere para la resistencia equivalente será:
1
i=e
Req
(1.22)
(1.23)
Comparando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se obtiene la expresión de la resistencia
equivalente para una conexión paralelo.
1
(1.24)
Req =
1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 + L
La resistencia equivalente puede expresarse en función de las conductancias G. Siendo
G=1/R, entonces:
G1 =
1
1
1
; G2 =
; G3 =
; L
R1
R2
R3
Geq = G1 + G2 + G3 + L
(1.25)
Para el caso particular de dos resistencias en paralelo, la resistencia equivalente es:
1
RR
producto
Req =
= 1 2 ;
1 / R1 + 1 / R2 R1 + R2
suma
Figura 1.15: Ejemplo de paralelo de dos resistencias
2.2.3. Conexión serie-paralelo
Para calcular la resistencia equivalente de un circuito con combinación de resistencias en
serie y paralelo puede resolverse mediante la aplicación sucesiva de cálculos de resistencias
equivalentes series y paralelos. En la figura 1.16 se da un ejemplo al respecto.
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Figura 1.16: Conexión serie-paralelo
La R1 es la resistencia equivalente a la serie entre las dos resistencias de 1 ohm de la derecha.
La resistencia R2 será el paralelo entre R1 y la primera resistencia de 1 en paralelo. La R3 será
la serie entre 1 y R2, R4 será el paralelo entre 1 y la R3. Finalmente la Req es la suma serie
entre 1 y la R4.
R1 = 1 + 1 = 2; serie
R2 =
R1 × 1 2
= ;
R1 + 1 3
Req = R4 + 1 =
paralelo
5
R3 = R2 + 1 = ; serie
3
R ×1 5
R4 = 3
= ; paralelo
R3 + 1 8
5
13
+1 =
8
8
2.2.4. Ramas con fuentes reales
Las fuentes reales de tensión o corriente se representan como un generador ideal de tensión en
serie con una resistencia, figura 1.17 (a), o como un generador ideal de corriente en paralelo
con una resistencia, figura 1.17 (b), respectivamente.
Figura 1.17 : Fuentes reales
Fuente real de tensión. La representación más simple del dispositivo físico es el de un
generador ideal de tensión en serie con una resistencia. Esta resistencia representa las
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pérdidas internas por disipación del dispositivo. La relación volt-ampere en los bornes a-b del
dispositivo será:
e = E + iR
(1.26)
Si la tensión de la fuente es 0 (enmudecer el generador de tensión), entonces el circuito
equivalente es un corto circuito en serie con la resistencia interna R.
Fuente real de corriente. La relación volt-ampere en los terminales a-b del circuito
equivalente de la fuente de corriente real, figura 1.17 (b), es
e = IR + iR
(1.27)
De aquí se desprende que si se enmudece el generador (la corriente I=0), la relación 1.27
expresa que el circuito equivalente será un circuito abierto en paralelo con la resistencia
interna R
Fuentes equivalentes: Desde el punto de vista del par de terminales a-b, ambas fuentes son
equivalentes, pudiéndose pasar de un modelo a otro fácilmente igualando las expresiones 1.26
y 1.27. La figura 1.18, representa estas equivalencias. El sentido de los signos o de la flecha
deberán ser tales de manera de producir el mismo sentido de corriente y polaridad en el par de
terminales a-b.
Figura 1.18: Fuentes reales equivalentes
La figura 1.19, presenta dos casos de conexiones en que el circuito se resuelve en forma
práctica por inspección. Así, cualquier resistencia conectada en paralelo con un generador
ideal de tensión, no produce ningún efecto desde el punto de vista del par de terminales
externos a-b y su circuito equivalente es el de un generador de tensión únicamente. Esto es
así, por la definición de generador ideal. Por otra parte la corriente que circula en cada
resistencia se conoce directamente haciendo E/R. Análogamente una o varias resistencias en
serie con un generado ideal de corriente no influye en nada la corriente del circuito en el par
de terminales externos a-b. Las tensiones en cada resistencia serán simplemente IR.
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Figura 1.19: Resolución de casos por inspección
2.2.5 Divisor de tensión y divisor de corriente
Existen otros dos conexiones particulares que merecen ser atendidos, estos son el divisor de
tensión y el divisor de corriente. Así como un generador de tensión en paralelo con varias
resistencias no tenía ninguna influencia en el resto del circuito, por el contrario un generador
de tensión en serie con varias resistencias produce una caída de tensión proporcional a cada
resistencia. En forma análoga varias resistencias en paralelo con un generador ideal de
corriente produce la división proporcional de la corriente en cada rama, figura 1.21.
Divisor de tensión: Aplicando los principios del circuito serie, reduciendo a una resistencia
equivalente, la corriente del circuito serie I será, figura 1.20:
I=
E
E
=
Req R1 + R2 + R3
(1.28)
La caída de tensión, por ejemplo, en la resistencia
R1, será, proporcional a E, proporcional a R1 e
inversamente proporcional a la suma de las
resistencias.
e1 = R1I = E
R1
R1 + R2 + R3
(1.29)
Figura 1.20: Divisor de tensión
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Divisor de corriente: Las resistencias en paralelo pueden reducirse de acuerdo a los cálculos
de resistencia equivalente paralelo. La tensión del paralelo será, figura 1.24:
1
(1.30)
E = IReq = I
1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3
La corriente, por ejemplo en la rama R1 será la tensión del paralelo dividido la resistencia R.,
Figura 1.21: Divisor de corriente
Para el caso particular de dos resistencias en paralelo, la corriente en una rama será
proporcional al generador de corriente I, proporcional a la otra resistencia e inversamente
proporcional a la suma de las dos:
i1 = I
1 / R1
R2
=I
1 / R1 + 1 / R2
R1 + R2
2.3 Gráficos topológicos de un circuito
La topología algebraica de un circuito se usa para encontrar el número de ecuaciones
independientes para resolver las incógnitas o variables del circuito que son las corrientes y
tensiones en cada rama. Una rama topológica se define a los elementos (resistencias) que
quedan conectadas en el circuito cuando las fuentes se hacen cero (o se enmudecen). Una
fuente de tensión cero se representa por un corto circuito y una fuente de corriente cero
significa un circuito abierto. Toda resistencia en paralelo con un una fuente de tensión
desaparece, y toda resistencia en serie con una fuente de corriente queda desconectada. Esto
es consecuencia de lo expuesto en la figura 1.19. Las resistencias (elementos) restantes se
representan como una línea. En la figura 1.22 se representa un circuito eléctrico con su
gráfico topológico equivalente, allí podemos identificar cinco ramas topológicas, tres nudos y
tres mallas. Las mallas tienen siempre al menos una rama distinta. En este gráfico podemos
llamar a las ramas con la letra b (“branches”) a los nudos con n (nodos o “nodes”) y las ramas
con la letra l (“loops”). La ecuación básica de la topología nos indica la siguiente relación:
b = l + ( n − 1)
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(1.31)
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Figura 1.22: Gráficos topológicos
Si existen b ramas entonces habrá 2b incógnitas (b corrientes y b tensiones). Por lo tanto se
deberán encontrar 2b ecuaciones independientes. Estas ecuaciones se escriben 1) usando b
ecuaciones volt-ampere, esto es b relaciones de tensión y corriente por cada rama topológica.
2) escribiendo l relaciones de Kirchhoff de tensiones para cada malla topológica y 3) usando
las ecuaciones de Kirchhoff de corrientes para (n-1) nodos, por ejemplo se omite el nodo de
referencia 0. Esto es
2b = b + l + (n − 1)
(1.32)
En cada circuito sólo podemos encontrar b ecuaciones independientes volt-ampere de ramas, l
ecuaciones independientes de ∑ e = 0 y (n-1) ecuaciones independientes de ∑ i = 0 .
2.4 Resolución de circuitos por el método 2b
La descripción topológica de los circuitos permite inmediatamente plantear un sistema
de 2b ecuaciones independientes con 2b incógnitas. Resolvamos el siguiente circuito de la
figura 1.23. Allí encontramos que b=3, n=2, l=2. El sistema de ecuaciones independiente
queda formado por el siguiente sistema:
Figura 1.23: Resolución de circuitos por el método 2b.
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1) b ecuaciones volt-ampere
e1 = 2i1 + 10
e2 = 3i2
e3 = 6i3
2) (n-1) ecuaciones
∑i = 0
i1 + i2 + i3 = 0
3) l ecuaciones
∑e = 0
e1=e2 ; e2=e3
Solución
Las incógnitas son i1,i2,i3,e1,e2,e3 .Reemplazamos las relaciones 1) en la ecuación 2), es decir
e1 − 10 e2 e3
+ + =0
2
3 6
Aplicando las identidades de 3)
e1 e1 e1
+ + =5
2 3 6
⎛1 1 1⎞
e1 ⎜ + + ⎟ = 5 ∴ e1 = 5
⎝ 2 3 6⎠
e1=e2 =e3=5
e − 10
5
i1 = 1
=−
2
2
e
5
i2 = 2 =
3 3
e
5
i3 = 3 =
6 6
2.4.1 Nodo ficticio y malla ficticia
Desarrollemos otros ejemplos en donde aparezcan fuentes ideales de tensión o corriente.
Ejemplo. Resolver el circuito de la figura 1.24
Figura 1.24: Ejemplo de nodo ficticio
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Solución: Este circuito, cuando se enmudecen los generadores, tiene 4 ramas topológicas, tres
mallas y dos nodos. El nodo 1 y el nodo 1’ resultan ser el mismo, pues el generador de tensión
es un corto circuito. Sin embargo si unimos 1 y 1’ en un solo nodo desaparece la fuente de
tensión. En este caso debemos usar el concepto de nodo ficticio o nodo virtual. Para el planteo
de la solución, se mantiene lo dicho anteriormente, esto es, se plantean el número de
ecuaciones de acuerdo a las mallas, ramas y nodos topológicos. El circuito de la figura 1.28
tendrá b =4 ramas, l =3 mallas y (n-1) =1 nodo topológico. Por el método del nodo ficticio
aparecen b =4 ramas, l =3 mallas y (n-1) =2 nodos. Por ello las ecuaciones serán:
1) b=4 relaciones volt-ampere
e1 = 1 i1
e2 = 1 i2
e3 = 1 i3
e4 = 1 i4
2) l=2 relaciones
e1 = e2
∑e = 0
e3 = e4
e3 − e2 = 10
Esta última ecuación no es propiamente topológica, sino que vincula los nodos con el
generador de tensión.
3) (n-1)=2 relaciones
∑i = 0
i1 + i2 + iS = 0
− iS + i3 + i4 = 0
Solución del sistema. De 3) puede rescribirse i1 + i2 + i3 + i4 = 0 , que representa la verdadera
relación topológica. Reemplazando 1) en esta última queda:
e1 + e2 + e3 + e4 = 0
Usando las relaciones 2) en la ecuación anterior, puede escribirse:
2 e2 + 2 e3 = 0
− e2 + e3 = 10
Resolviendo se obtiene e2 = −5 = e1; e3 = 5 = e4
Ejemplo. Resolver el circuito de la figura 1.25.
Este circuito es similar al anterior, en la que aparece un generador ideal, pero esta vez de
corriente. Según el gráfico topológico, el circuito tiene b =4 ramas, l =2 mallas y (n-1) =2
nodos topológicos. Pero si plantea de este modo, la información de la fuente no aparece. Es
por ello que definimos a la malla central (no topológica) como una malla virtual o ficticia. En
este caso quedan b =4 ramas, l =3 mallas y (n-1) =2 nodos.
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Figura 1.25: Ejemplo de malla virtual
El sistema de ecuaciones será:
1) b=4 relaciones volt-ampere
e1 = 1 i1
e2 = 1 i2
e3 = 1 i3
e4 = 1 i4
2) l=3 relaciones
e1 = e2
∑e = 0
e3 = e4
e3 + e2 + eS = 0
Esta última ecuación corresponde a la malla ficticia.
3) (n-1)=2 relaciones
∑i = 0
i1 + i2 = −10
i3 + i4 = 10
Reemplazando el juego de ecuaciones 2) en 3) da:
e1 + e2 = −10
e1 = e2 = −5
e3 + e4 = 10
e3 = e4 = 5 ∴ eS = e3 − e2 = 5 + 5 = 10
2.5 Método de las corrientes en las mallas y de las tensiones nodales
El método 2b antes desarrollado, permite resolver cualquier tipo de circuitos lineales.
Sin embargo es necesario ser muy ordenados en el planteo del sistema de ecuaciones, y puede
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llegar a ser muy laborioso para circuitos muy complejos. Es por ello que se han desarrollado
otros métodos que planteando un número de ecuaciones menores y en forma más sencilla y
eficiente permite reducir la complejidad de la solución. El resto de las incógnitas se obtendrán
a partir de estas variables intermedias. Dos son los métodos comúnmente usados, uno llamado
de las corrientes de malla o método de Maxwell y el otro de las tensiones nodales.
2.5.1 El método de las corrientes de malla.
Como se planteara en el método 2b, se necesitan 2b ecuaciones ya que ésta es la
cantidad de incógnitas que tiene el circuito. Si bien esto es cierto, no es necesario plantear
todas las ecuaciones en forma explícita. Así se pueden plantear sólo las tensiones en cada
rama como incógnitas, y las corrientes se calculan posteriormente en cada rama por
inspección, y con esto ya se reducen el número de incógnitas a b.
Si se escriben las ecuaciones de corriente en las ramas, de tal forma que se satisfagan
la ley de Kirchhoff de las corrientes en cada uno de los (n-1) nodos independientes, entonces
es necesario plantear b-(n-1)=l ecuaciones con corrientes de mallas. Si estas corrientes de
mallas circular por caminos independientes, entonces es posible plantear l ecuaciones
independientes.
La ley de Kirchhoff ∑ e = 0 me permite encontrar las l ecuaciones independientes.
En el circuito de la figura 1.26 quedan definidas dos mallas, la malla (1) y la malla (2).
La corriente de malla i1 circula por la rama 1 (R1), la corriente de malla i2 es equivalente a la
corriente en la rama 3 (R3). En cambio en la rama 2 (R2) la corriente de la rama será la
diferencia entre la corriente de malla 1 menos la corriente de malla 2 (i1-i2). Para el circuito de
la figura las ecuaciones serán:
l=2 relaciones
∑e = 0
i1R1 + (i1 − i2 ) R2 = E
i2 R3 − R2 (i1 − i2 ) = 0
estas ecuaciones pueden rescribirse
como:
Figura 1.26: Resolución por corrientes en las
mallas
⎧i1 ( R1 + R2 ) − i2 ( R2 ) = E
⎨
⎩− i1 ( R2 ) + i2 ( R2 + R3 ) = 0
(1.33)
El método en general será:
1) Dibujar el gráfico topológico del circuito. En este gráfico quedan explícitas la
cantidad de mallas o ecuaciones independientes a plantear.
2) Establecer el sentido de las corrientes de malla en una sola dirección para todas las
mallas, por ejemplo en sentido horario.
3) Escribir las ecuaciones de Kirchhoff de tensión para cada malla, en función de las
corrientes de mallas.
4) Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las corrientes de
malla.
5) El resto de las 2b variables se pueden obtener a partir de las corrientes de malla.
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Figura 1.27: Corrientes en las mallas y gráfico topológico
Resolvamos el ejemplo de la figura 1.27. El sistema de ecuaciones de malla queda formado
por:
⎧ E1 − E2 = i1( R1 + R4 + R2 ) − i2 R2 − i3 R4
⎪
E2 = −i1R2 + i2 ( R2 + R5 + R6 ) − i3 R 5
⎨
⎪ − E = −i R − i R + i ( R + R + R )
3
1 4
2 5
3
4
3
5
⎩
(1.34)
donde las corrientes de mallas, pueden resolverse, por ejemplo a través de los siguientes
determinantes:
E1 − E2
− R2
− R4
E2
R2 + R5 + R6
− R5
− E3
− R5
R4 + R3 + R5
i1 =
;
R1 + R4 + R2
− R2
− R4
− R2
R2 + R5 + R6
− R5
− R4
− R5
R4 + R3 + R5
R1 + R4 + R2 E1 − E2
− R4
− R2
E2
− R5
− R3
− E3
R4 + R3 + R5
i2 =
;
R1 + R4 + R2
− R2
− R4
− R2
R2 + R5 + R6
− R5
− R4
− R5
R4 + R3 + R5
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R1 + R4 + R2
− R2
E1 − E2
− R2
R2 + R5 + R6
E2
− R3
− R5
− E3
i3 =
.
R1 + R4 + R2
− R2
− R4
− R2
R2 + R5 + R6
− R5
− R4
− R5
R4 + R3 + R5
Nótese que la matriz de los coeficientes, (mostrada como determinante del denominador de
las corrientes), es una matriz simétrica respecto de la diagonal principal, siendo los elementos
de esta diagonal todos positivos, y los demás elementos negativos.
Hasta aquí hemos visto el caso de circuitos alimentados con generadores reales de
tensión. Existen dos casos importantes a analizar, cuando hay generadores de corrientes y
cuando hay generadores ideales conectados al circuito. Es decir, cómo deben plantearse las
ecuaciones de malla en estos casos.
a) Generadores ideales de tensión
En el método de corrientes en las mallas, la conexión de un generador ideal de tensión
no es un problema, siempre que consideremos a uno de sus contactos como un nodo virtual.
Éste producirá una malla virtual, y debe tratarse de igual manera que una corriente de malla
topológica. Si bien en muchos casos es preferible resolverlo por tensiones nodales, como ya
veremos más adelante. Por ejemplo en el circuito de la figura 1.28, las ecuaciones se
escribirán de la siguiente manera:
Figura 1.28: Corrientes en las mallas y generador ideal de tensión
⎧0 = i1( R1 + R2 ) − i2 R2
⎪
⎨ E = −i1 R2 + i2 ( R2 + R3 ) − i3 R3
⎪0 = −i R + i ( R + R )
2 3
3
3
4
⎩
(1.35)
En este caso la malla 2 no es propiamente topológica, ya que 1 y 1’ representan un mismo
nodo y el generador ideal E no es estrictamente una rama y por lo tanto tampoco lo es la
segunda ecuación del sistema de ecuaciones. Nótese, sin embargo, que no existe otra forma de
incorporar la tensión E dentro del sistema de ecuaciones (1.35). Otro caso sería, por ejemplo
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el circuito de la figura 1.29, que es una modificación del circuito 1.27, pero haciendo E2 un
generador ideal.
Figura 1.29: Generador ideal de tensión y nodos virtuales
Este sistema se resuelve igual que el caso de la figura 1.27, pero haciendo R2=0. Así el
sistema de ecuaciones 1.34, se convierte en:
⎧ E1 − E2 = i1( R1 + R4 ) − i3 R4
⎪
E2 = i2 ( R5 + R6 ) − i3 R5
(1.36)
⎨
⎪ − E = −i R − i R + i ( R + R + R )
3
1 4
2 5
3
4
3
5
⎩
b) Generadores de corrientes
En el método de las corrientes en las mallas, los generadores de tensión se incluyen
fácilmente en las ecuaciones. En cambio, para incorporar los generadores de corrientes deben
tenerse en cuenta algunos detalles. Existen dos caminos para ello, el primero es simplemente
convertir el generador real de corriente en un generador real de tensión, y luego proseguir,
según lo visto más arriba. Sin embargo, este procedimiento trae aparejado un cambio en el
circuito, que no siempre es posible. Esto puede hacerse cuando las incógnitas buscadas no se
encuentran en las ramas afectadas por tal conversión de fuentes. Para evitar este problema, el
segundo camino es considerar el caso de la malla virtual.
Figura 1.30: Corrientes en las mallas y generador ideal de corriente
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Para resolver según la malla virtual, se construye el gráfico topológico como en la figura 1.30
(a). Sólo existe una malla topológica, la correspondiente a la corriente i2; la corriente i1, es
sólo virtual. Luego si sólo existe, en este caso una malla virtual, entonces, sólo es necesario
una ecuación de Kirchhoff. La segunda ecuación en 1.37, no es de tensiones de Kirchhoff sino
sólo una ecuación adicional de equivalencia de corrientes.
⎧0 = −i1R1 + i2 ( R1 + R2 )
⎨
⎩i1 = I
(1.37)
R1
I , que representa a un divisor de corriente.
R1 + R2
Si resolvemos por conversión de fuentes queda
IR1 = i2 ( R1 + R2 )
Por lo tanto i2 =
IR1
R1 + R2
En la figura 1.31 se analiza un caso similar, pero con el generador de corriente dentro de la
malla topológica. En este caso, también aparece una única ecuación de tensiones de
Kirchhoff, pues es un sola malla, pero se agrega una ecuación adicional de corriente.
i2 =
Figura 1.31: Generador ideal de corriente.
⎧0 = iu ( R1 + R2 ) = iu R1 + iu R2 = i1R1 + i2 R
(1.38)
⎨
⎩− I = i1 − i2
En este caso hemos tratado a i1 e i2 como corrientes topológicas, sin embargo, nótese el signo
positivo de ambas, esto es similar a definir una única corriente de malla iu, pero con
designación diferente para cada resistencia. Si hubiese una malla vecina, entonces continuaría
con signo menos por la resistencia común, según el método general. Entonces: a) se define
las corrientes en las mallas virtuales y en las topológicas, b) se escriben las ecuaciones de
tensión sólo para las mallas topológicas y c) luego se escribe una ecuación adicional por cada
malla virtual.
2.5.2. El método de las tensiones nodales.
En forma análoga al método anterior, se pueden calcular todas las variables del circuito a
partir de las tensiones nodales. Esto es, las tensiones en los nodos topológicos. Estas tensiones
están referidas a un potencial o nodo de referencia, en general el nodo elegido como tierra. De
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las 2b ecuaciones necesarias, usamos las n-1 ecuaciones de corrientes de Kirchhoff en los
nodos topológicos. Las tensiones en cada rama se determinan luego como diferencia entre las
tensiones entre los nodos.
En la figura 1.32, las tensiones nodales son las
referidas a tierra o nodo g, esto es ea, eb, y ec las
tensiones en las ramas eab y ebc, quedan definidos
por eab = ea − eb ; ebc = eb − ec ; siendo por
convención, la primera letra del subíndice la
indicada por el terminal positivo.
Figura 1.32: Tensiones nodales
El método general, entonces es el siguiente:
1) Se realiza el gráfico topológico y se selecciona un nodo de referencia
2) Se escriben las ecuaciones de corrientes de Kirchhoff ( ∑ i = 0 ) para cada nodo
topológico excepto para el de referencia (son n-1 ecuaciones de corrientes, siendo n el
número de nodos topológicos).
3) Se resuelve el sistema de ecuaciones conformado.
4) Se calculan el resto de las 2b variables por simple inspección.
Ejemplo: Resolver el circuito de la figura 1.33.
Figura 1.33: Tensiones nodales y gráfico topológico
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Resolución:
La corriente en el nodo (a) será:
I1 + I 2 −
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ea ( ea − eb )
−
=0
R1
R2
La corriente en el nodo (b) será:
( ea − eb ) eb
−
=0
R2
R3
Cada una de las ecuaciones representa las sumatorias de las corrientes en cada nudo. Así,
ea
e
es la corriente que circula por la resistencia R1, b es la corriente en la resistencia R3, y
R1
R3
( ea − eb )
es la corriente en R2. Reordenando ambas expresiones queda
R2
− I2 +
1
1
1
⎧
⎪ I1 + I 2 = ea ( R + R ) − eb ( R )
⎪
1
2
2
(1.39)
⎨
⎪ − I = −e ( 1 ) + e ( 1 + 1 )
2
a
b
⎪⎩
R2
R2 R3
En el sistema de ecuaciones 1.39, se escribe a la izquierda de la igualdad las corrientes
entrantes y salientes al nodo (a), si es entrante con signo positivo y si es saliente con signo
negativo. A la derecha de la igualdad con signo positivo la tensión del nodo a describir
multiplicado por las conductancias conectadas a ese nodo, menos la tensión del nodo vecino
multiplicado por la conductancia común. Se escribe una ecuación por nodo, sin incluir el de
referencia.
En forma análoga al método de las corrientes en las mallas, en el método de las tensiones
nodales, la inclusión de generadores de corrientes es natural, pues se describen ecuaciones de
corrientes. Sin embargo la inclusión de generadores de tensión, exige un poco más de
precaución al escribir las ecuaciones del circuito.
Cuando aparecen generadores de tensión, también cabe la alternativa de realizar un cambio de
fuente, pero, como se dijo anteriormente, esto significa modificar el circuito original. La otra
alternativa es definir un nodo virtual o un supernodo según corresponda. En el siguiente
ejemplo se describen estos casos.
a) Nodos virtuales.
Figura 1.34: Nodos virtuales y tensiones nodales
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En este caso, el nodo ea no es un nodo topológico, sino un nodo virtual. Para escribir las
ecuaciones, lo hacemos sobre el nodo topológico, esto es, eb, y al nodo virtual, lo tratamos
como un nodo vecino, luego agregamos una ecuación de tensión adicional de equivalencia:
1
1
1
⎧
) − ea ( )
⎪0 = eb ( +
R1 R2
R1
⎨
⎪E = e
a
⎩
Haciendo conversión de fuente, como en la parte (b) de la figura, se resuelve normalmente
como lo dicho anteriormente. Como sólo existe un nodo topológico, además del de referencia,
la ecuación queda:
E
1
1
= eb (
+
)
R1
R1 R2
b) Supernodo
En la figura 1.35 se incluye el caso de un generador de tensión, en la posición de supernodo.
En este caso, el nodo ea y ea’ son un mismo nodo, por lo que se escribe una única ecuación de
corriente. Luego se adiciona una ecuación de equivalencia de tensiones.
Figura 1.35: Tensiones nodales y supernodo
1
1
1
1
⎧
+
) + ea' (
)
⎪0 = ea ( +
R1 R2
R3 R4
(1.40)
⎨
⎪E = e − e
a
a'
⎩
Nótese nuevamente que en la primera ecuación en (1.40), se adicionan las corrientes, ya que
ambas corresponden a un único nodo topológico (o supernodo). El análisis es análogo al
realizado para la ecuación 1.38.
3. Principios de linealidad y superposición
La resolución de circuitos por el método de corrientes en las mallas o por tensiones
nodales permite una generalización a n mallas o n nodos. De hecho los programas
computacionales existentes usados en la resolución numérica de los circuitos utilizan algunos
de estos métodos. Esta forma de expresar el circuito como un sistema de ecuaciones da la
oportunidad además de discutir relaciones teóricas importantes en los circuitos. Los teoremas
más importantes son sin dudas el de linealidad y el de superposición.
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El principio de linealidad expresa que la respuesta en cualquier punto de la red es
proporcional a la excitación de entrada que produce el estímulo. El principio de superposición
no es más que una extensión del principio anterior, pero aplicable a una excitación múltiple.
Cuando se aplica este principio, la respuesta en cualquier parte de la red a una suma de
estímulos, es la suma de las respuestas individuales. La definición matemática de la linealidad
es también por extensión la de superposición y se escribe:
⎧ f ( ax ) = af ( x )
⎨
⎩f ( x + y) = f ( x)+ f ( y )
(1.41)
Para la demostración en el caso de los circuitos, usaremos una generalización de un sistema
de ecuaciones usando el método de corrientes en las mallas (bien puede usarse el de tensiones
nodales). Supondremos un circuito con k mallas, cuyas excitaciones han sido convertidas a
generadores de tensión. La forma general será: [compare con (1.34)]
⎧ i1( r11 ) − i2 ( r12 ) − L − i k ( rik ) = E1
⎪
⎪− i1( r21 ) + i2 ( r22 ) − L − i k ( r2 k ) = E 2
⎨
M
⎪
⎪⎩ − i1( rk 1 ) − i2 ( rk 2 ) − L + i k ( rkk ) = E k
(1.42)
donde i1, i2,...,ik, son las k corrientes de mallas, r11,r22,...,rkk, son la suma de las resistencias de
las mallas, y rik, i ≠ k son las resistencias comunes de las mallas vecinas. Si la respuesta
analizada es por ejemplo, la corriente de malla i1, ésta tendrá la forma [ver solución de
(1.34)]:
E1
E2
M
i1 =
Ek
r11
− r21
M
− rk 1
− r12
r22
− r2 k
− r12
r22
− rk 2
L − r1k
L − r2 k
M
L
rkk
L − r1k
L − r2 k
M
L rkk
;
(1.43)
Resolviendo por el método de la expansión de Laplace, queda:
i1 =
E1
Δ
r22
L r2 k
M
− rk 2 L rkk
− r12 L
( − E 2 ) − r32 L
+
M
Δ
− rk 2 L
− r1k
− r3 k
+ L;
M
rkk
(1.44)
donde Δ es el denominador de (1.43). Cada término de (1.44) representa el valor de la
corriente i1, si sólo una fuente estuviese presente. Es decir si se hacen ceros todas las fuentes,
menos E1, entonces i1 sería igual a sólo el primer término, si sólo la fuente E2 está presente,
entonces i1, es el segundo término, y así sucesivamente con cada fuente. La respuesta total en
cada parte del circuito será la suma de las contribuciones producida por cada fuente. Con esto
se demuestra la validez del teorema de la superposición, método que se usará ampliamente
más adelante. La linealidad se demuestra haciendo ver la corriente (la respuesta) es
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directamente proporcional al valor de cada fuente (el estímulo). Si duplicamos, por ejemplo
E1, entonces, el primer término se duplica, ya que los determinantes numerador y
denominador de cada término se mantienen constantes.
Enmudecer una fuente significa hacer cero el valor de esa fuente, lo que implica para
un generador de tensión poner un corto circuito entre ese par de terminales, hacer cero una
fuente de corriente, significa abrir el circuito entre ese par de terminales.
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