Download Conceptos y fenómenos eléctricos de Corriente continua

Conceptos y fenómenos eléctricos de Corriente
continua: Resolución de circuitos. Teoremas
fundamentales
Hemos recordado y ampliado nuestros conocimientos de electricidad. Emilio se siente un
experto en la materia, pues conoce el origen de la electricidad, los condensadores, los
elementos que componen un circuito eléctrico, las resistencias, los generadores..., incluso
conoce plenamente sus repercusiones energéticas en la sociedad.
Realmente tenemos derecho a sentirnos así, pues sabemos bastantes cosas, pero..., todavía
nos queda mucho por recorrer. Sí, amigo, sí, bastante porque... ¿Cómo resolveríamos un
circuito eléctrico si sus resistencias no están en serie, ni en paralelo, ni en estrella ni en
triángulo? ¿Y si además hay varias fuentes de tensión por medio de las resistencias? ¿Y si
sólo nos interesa saber la intensidad o caída de tensión en un receptor o resistencia de un
circuito eléctrico?... Muchas dudas, ¿verdad?
La gran complejidad de muchos de los circuitos utilizados en Electrotecnia, con varias
ramificaciones, hacen necesario establecer normas que faciliten su resolución de una forma
sencilla. Estas normas son aplicables tanto a los circuitos de corriente continua como a los
de alterna (que veremos en la siguiente unidad), lo cuáles sólo requerirán pequeñas
modificaciones para su resolución.
Algunos de vosotros, como en el caso de Emilio, conoce algo de ello por la materia de
Tecnología Industrial de 1º de Bachillerato, pero si no es tu caso, no te preocupes, pues
partimos de lo más básico.
En este tema conoceremos los teoremas más importantes para la resolución
de cualquier circuito eléctrico de corriente continúa, para ello echaremos mano
de herramientas matemáticas para la resolución de ecuaciones de varias incógnitas.
Éstas incógnitas serán normalmente las intensidades.
¿Lo ves complicado? Si es así, no te preocupes. Con unas pequeñas nociones no habrá
ningún circuito de corriente continua que se te resista. ¡Ánimo!
1. Ley de Ohm generalizada
Emilio se pregunta: "¿Otra vez?". Si. La ley de Ohm la tendrás contigo cada vez que quieras
resolver un circuito, lo que pasa es que ahora la explicaremos más generalizada.
¿Recuerdas la relación que existía entre tensión, resistencia e intensidad? Veamos como se
aplica en circuitos un poco más complejos.
La intensidad de corriente eléctrica que recorre un circuito es directamente proporcional a la
fuerza electromotriz (f.e.m.) total del circuito e inversamente proporcional a la resistencia
total del mismo.
Recuerda la Ley de Ohm con esta aplicación.
Animación 1.Aplicando la Ley de Ohm: Sube y baja los potenciómetros de la Tensión
y la Resistencia
y observa cómo varía la Intensidad, según la ley de Ohm
Fuente: IES Juan A. Suanze (Avilés)
Licencia: Desconocida
Consideremos el siguiente circuito:
Imagen 1. Ley de ohm. Circuito inicial.
Imagen de elaboración propia.
Podemos observar que cada una de las fuentes de alimentación (generadores) tiene una
resistencia interna (r) con lo que la intensidad total del circuito será igual a:
El valor de Et será la suma de las distintas fuerzas electromotrices presentes en el circuito.
La resistencia total será la suma de las distintas resistencias internas de los generadores
mas la resistencia R
Si en el circuito hay varias fuerzas electromotrices, como ocurre en el ejemplo de la figura,
se consideran positivas las que favorecen la circulación de la corriente y negativas las que se
oponen a dicha corriente.
Imaginemos un generador de corriente continua de f.e.m. 24 V y resistencia interna 0,1
Ω que está conectado a un circuito exterior de resistencia 7,9 Ω. Calcular la intensidad
de corriente.
Calcular la intensidad de corriente del siguiente circuito:
Imagen 3. Imagen de elaboración propia.
2. Leyes de Kirchhoff
Por ahora la cosa no parece complicada, ¿verdad? Ahora estudiaremos un concepto nuevo
sobre los circuitos eléctricos. ¿Os acordáis cuando al principio del tema os preguntaba si
podíais resolver circuitos cuando sus resistencias no estaban en serie y había generadores
también por el medio? Pues con estas leyes podremos resolver estos circuitos.
Al final de este apartado os pongo un video sobre estas leyes. ¡Ánimo!
Gustav Robert Kirchhoff
(1824-1887), enunció dos
reglas que permiten resolver
de
forma
sistemática
problemas
de
circuitos
eléctricos. Dichos circuitos
tendrían difícil solución con la
aplicación directa de la ley de
Ohm.
Las reglas enunciadas por
Kirchhoff
tienen
como
finalidad la obtención de un
sistema de ecuaciones cuya
resolución,
por
cualquier
método
matemático
adecuado,
nos
permita
conocer las intensidades de
corriente (en valor y sentido)
existentes en un circuito.
Imagen 4. Gustav Robert
Kirchhoff
Fuente: Wikipedia
Licencia: Creative Commons.
Antes de adentrarnos en el desarrollo eléctrico y matemático de las leyes de Kirchhoff,
conviene establecer las siguientes definiciones:
Red: será el conjunto de fuerzas electromotrices, contraelectromotrices, resistencias y
conductores, unidos entre si de forma arbitraria, de forma que por ellos circulan corrientes
de iguales o distintas intensidades.
Primera ley de Kirchhoff o regla de los nudos: La suma algebraica de las
intensidades en un nudo es cero
Para aplicar esta ley debemos fijar arbitrariamente un sentido positivo, por ejemplo, el de
entrada al nudo. De esta forma el nudo dibujado anteriormente quedaría de la siguiente
forma:
O lo que es lo mismo:
Esta regla se puede resumir diciendo que la suma de corrientes que llega a un nudo es igual
a la suma de corrientes que salen de dicho nudo.
Segunda ley de Kirchhoff o regla de las mallas: La suma algebraica de las fuerzas
electromotrices aplicadas a una malla es igual a la suma de las caídas de tensión en dicha
malla.
Veamos como se obtiene esa expresión. Si consideramos la malla BCDEB de la red anterior y
aplicamos en cada una de las ramas de dicha malla la ecuación:
(La diferencia de potencial entre dos puntos será igual a la caída de tensión producida en las
resistencias mas/menos la fuerza electromotriz existente entre esos puntos)
Sumando ambas ecuaciones resulta:
Que sería lo mismo que teníamos al principio:
Primera ley de Kirchhoff o regla de los nudos: La suma algebraica de las
intensidades en un nudo es cero
Segunda ley de Kirchhoff o regla de las mallas: La suma algebraica de las
fuerzas electromotrices aplicadas a una malla es igual a la suma de las caídas de
tensión en dicha malla
Lo prometido es deuda, ahí va ese vídeo:
2.1. Aplicación de las leyes de Kirchhoff a un
circuito
Para resolver un circuito mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff debemos
tener en cuenta los siguientes aspectos:
1. Debemos asignar sentido a cada una de las intensidades que circulan por las ramas
del circuito. El sentido que tomemos no afectará a la resolución del circuito y lo único
que puede ocurrir es que alguna intensidad se obtenga con valor negativo que
significará que su sentido es el contrario al que habíamos determinado en un primer
momento.
2. Debemos contar los nudos que tiene el circuito y aplicar la primera ley de Kirchhoff a
n-1 nudos cualesquiera. Se suelen considerar positivas las intensidades que entran en el
nudo y negativas las que salen aunque se puede tomar el criterio contrario sin que esto
afecte al desarrollo del circuito.
3. Aplicaremos la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas independientes de la red.
En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de ramas menos
el número de nudos disminuido en una unidad.
Cuando apliquemos esta ley deberemos elegir como positivo un sentido de recorrido de
la malla, horario o antihorario, considerando positivas todas las intensidades y fuerzas
electromotrices del mismo sentido que el elegido y negativas las de sentido contrario.
Indica que término corresponde con las siguientes definiciones.
1. Punto de un circuito donde concurren varios conductores distintos :
2. Conjunto de todos los elementos de un circuito comprendidos entre dos nudos
consecutivos:
3. Conjunto de ramas que forman un bucle cerrado:
4. Línea cerrada que no contiene elementos en su interior:
Comprobar
Las leyes de Kirchoff son:
1
2
3
En una malla hay dos generadores cuyas tensiones suman 10V y tres resistencias. Las
tensiones de dos son 2 y 6 V ¿Cuál será la tensión de la tercera resistencia?
1V
3V
2V
El número de mallas independientes de un circuito será:
Igual al número de nudos
En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de ramas
menos el número de nudos disminuido en una unidad.
En un circuito tendremos tantas mallas independientes como el número de nudos
menos el número de ramas disminuido en una unidad.
Calcular las intensidades que recorren el circuito de la figura y la diferencia de
potencial entre A y B.
Imagen 8: Imagen de elaboración propia
3. Método de mallas
Ahora veamos un método que nace de las leyes de Kirchhoff, el que simplifica la resolución de
redes, pues se obtiene un número de ecuaciones menor que utilizando las 2 leyes de kirchhoff.
Interesante, ¿verdad? Estoy seguro que a partir de ahora utilizarás este método.
El método de trabajo es muy similar al utilizado en el apartado anterior pero ahora vamos a
asignar intensidades a cada una de las mallas en vez de rama por rama como hicimos
anteriormente.
Consiste en aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada una de la R-(n-1) mallas
independientes de la red, considerando como incógnitas las intensidades de cada una de las
mallas, cuyo sentido determinaremos arbitrariamente con antelación.
R=ramas n=nudos
Una vez obtenidas las intensidades de cada malla será fácil obtener la intensidad de cada
rama mediante la suma algebraica de las intensidades de las mallas a las que pertenece esa
rama.
Las ramas exteriores tendrán una intensidad +/- la intensidad de la malla a la que
pertenecen. El signo positivo o negativo dependerá de si coincide o no con la referencia de la
intensidad de malla.
Cuando la rama pertenezca a dos mallas la intensidad vendrá como suma algebraica de las
intensidades de dicha malla.
Veamos el ejercicio anterior pero ahora resuelto por mallas:
Imagen 10: Método de mallas - Circuito inicial
Imagen de elaboración propia.
Tenemos 3 ramas y 1 nudos, por tanto aplicaremos la segunda ley a Kirchhoff a 2 mallas
independientes (3-(2-1))
Tomamos dos intensidades arbitrarias IA e IB, una para cada una de las mallas
Malla izquierda: 24*IA-2*IB=6-4
Malla derecha: 84*IB-2*IA=8-6
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
IA=85*10-3 A (al ser positivo observamos que el sentido previsto por nosotros es correcto)
IB= 20,8*10-3 A (al ser positivo observamos que el sentido previsto por nosotros es
correcto)
Nos faltaría obtener la intensidad que circula por la rama central que llamaremos IC. Para
obtener este valor restaremos al valor de IA el valor de IB:
IC= 64,2*10-3 A (el sentido será el mismo que tiene IA)
Se puede observar que los resultados coinciden tanto si utilizamos Kirchhoff como si se
utiliza el método de mallas.
Recuerda que en el método de mallas partimos de unas intensidades asignadas
arbitrariamente por nosotros, por tanto, si al resolver el sistema de ecuaciones alguna
de ellas tiene signo negativo significa que el sentido es el contrario al considerado en
nuestra asignación pero el valor se mantendrá igual.
Utilizando el método de mallas obtener las intensidades que circulan por la red de la
figura.
Imagen 11. Imagen de elaboración propia
4. Teorema de superposición
Aquí tenemos otro teorema para la resolución de circuitos eléctricos. Seguro que el nombre
os suena, ¿verdad? En el tema 1, para el cálculo de magnitudes de la carga eléctrica... pues
tiene la misma base, pero en vez de calcular magnitudes de cargas eléctricas, ésta vez lo
utilizamos para el cálculo de intensidades de corriente.
Éste método no es el más utilizado, pero a veces su uso es necesario debido a ciertas
complejidades de algunos circuitos eléctricos. Yo que vosotros lo tendría en cuenta.
La idea que intenta transmitir este teorema es muy sencilla, cuando tengas varios generadores
en un circuito lo puedes resolver por partes considerando en cada una de esas partes un solo
generador y el resto anulados. El resultado final vendrá uniendo los resultados de todas esas
partes.
La respuesta de un circuito que contenga más de un generador es la suma algebraica de las
respuestas obtenidas para cada uno de los generadores, suponiendo los demás generadores
nulos.
Es decir, en una red que contenga varios generadores la intensidad de corriente que circulará
por una rama cualquiera será igual a la suma algebraica de las producidas por cada generador
actuando independientemente (sustituiremos los demás por sus resistencias internas).
Nota: puede darse el caso de que los generadores no se sustituyan por sus resistencias
internas al considerarse estos valores despreciables, en ese caso cada generador será
sustituido por un cortocircuito o conductor de resistencia nula.
Veamos un ejemplo con el siguiente circuito:
Imagen 13. Teorema de superposición - Circuito inicial
Imagen de elaboración propia
Se puede observar que tenemos dos generadores y según el principio de superposición la
intensidad resultante I será la suma algebraica de las intensidades obtenidas actuando cada
uno de los generadores de forma independiente. Para aplicar este principio primero
cortocircuitaremos E2 (dejando actuar a E1 de forma independiente) y posteriormente
cortocircuitaremos E1 (actuando E2 de forma independiente).
Calcular todas las intensidades de corriente que recorren el circuito aplicando el
teorema de superposición.
Imagen 15. Imagen de elaboración propia
5. Teorema de Thevenin
¿Recordáis al principio del tema cuando os decía: "¿Y si sólo nos interesa saber la intensidad
o caída de tensión en un receptor o resistencia de un circuito eléctrico?"
Con lo que ya sabéis: las leyes de Kirchhoff, el método de las mallas, superposición...
habréis comprobado que cualquier modificación de una resistencia repercute en el cálculo de
la intensidades de corriente, ¿verdad?
Imaginad por un momento que queremos saber el comportamiento de un circuito
simplemente cambiando en un punto del mismo un receptor o resistencia, de entre varios
que tenemos. Si a eso unimos que es un circuito de por ejemplo 4 mallas, pues su resolución
es larga y tediosa, pues cada vez que cambiamos de resistencia en ese punto, tendremos
que volver a hacer los cálculos.
Emilio según está pensado todo eso, le empiezan a dar los 7 males... "¡Menudo engorro! ¡Yo
no tengo tanto tiempo para estar haciendo eso!", piensa el pobre.
Pero no te preocupes, gracias a este teorema que viene a continuación las cosas se simplifican
muchísimo. Y estoy seguro que este teorema será uno de tus preferidos. ¿Qué no? Ya lo
verás...
Imagen 16: Wikipedia
Licencia: Creative Commons
Hasta ahora hemos estudiado y resuelto circuitos completos con todas sus intensidades y
tensiones pero existen circuitos en los que surge la necesidad de variar solo una de las
resistencias que lo forman manteniendo intacto el resto de elementos del circuito. Al realizar
esta modificación estaremos alterando los valores de las intensidades que circulan por las
distintas ramas del circuito y por tanto deberemos recalcular esas nuevas intensidades.
¿Te parece lógico y funcional tener que calcular todos los parámetros cada vez que varíe la
misma resistencia?
Veamos un ejemplo mediante un circuito. Supongamos que tenemos que calcular la
corriente para diferentes valores de la carga RL que se encuentra conectada entre los
extremos A y B de un circuito como el de la figura.
Imagen 17. Teorema de Thevenin - Circuito inicial
Imagen de elaboración propia
Con los métodos trabajados hasta ahora habría que reducir el circuito hasta encontrar
uno equivalente con una sola resistencia para cada uno de los valores de la carga RL.
Puedes ver la siguiente animación sobre el teorema de Thevenin, haciendo click en el
siguiente enlace :
Animación sbore el teorema de Thevenin
El equivalente Thevenin consiste en:
Un generador con una resistencia en paralelo
Un generador
Un generador con una resistencia en serie
Una resistencia
El circuito de la figura muestra el circuito equivalente de una fuente de alimentación.
Obtener los valores de corriente y tensión de la resistencia de carga RL. a)RL= 10Ω b)
RL= 20Ω.
Imagen 19. Imagen de elaboración propia
¿Qué tal? ¿Cómo lo veis? No es complicado, ¿verdad? Pues aquí os dejo un video de la
resolución de un circuito de la PAU, (ahora PAEG). Estoy seguro de que lo sabrás resolver sin
dificultad.
6. Teorema de Norton
Este teorema, al igual que el de Thevenin, nos permitirá simplificar un circuito comprendido
entre dos terminales.
El teorema dice lo siguiente:
Un circuito que tenga dos terminales, se comporta respecto de una
resistencia de carga colocada entre ellos como un simple generador de
intensidad Ix en paralelo con una resistencia Rx.
Si partimos del mismo circuito utilizado para explicar el teorema de Thevenin.
Imagen 23. Teorema de Norton - Circuito inicial
Aplicando el teorema de Norton nos quedaría el siguiente circuito equivalente.
Imagen 24. Teorema de Norton- Circuito equivalente de Norton
Imagen de elaboración propia
El valor de Ix lo obtenemos cortocircuitando los terminales A y B, obteniendo el circuito
siguiente.
Imagen 25. Teorema de Norton - Circuito cortocircuitado
R34 es el resultado del paralelo de las resistencias 3 y 4
Y la intensidad que circulará por este circuito será:
Puedes ver la siguiente animación para convertir un circuito equivalente Thevenin en
un circuito Norton:
Convertir circuito equivalente Thevenin en un circuito Norton
En un equivalente Norton tenemos:
Una fuente de intensidad con una resistencia en paralelo
Una fuente de tensión con una resistencia en paralelo
Una fuente de tensión con una resistencia en serie
Una fuente de intensidad con una resistencia en serie
Para obtener el equivalente Norton:
Cortocircuitamos la fuente de tensión del circuito
Calculamos la resistencia equivalente con el circuito abierto (sin resistencia de
carga)
Quitamos la resistencia de carga y cortocircuitamos los terminales
Ninguna de las anteriores es correcta
Hasta ahora habíamos trabajo solamente con generadores de tensión pero existen
también los llamados generadores de corriente o fuentes de intensidad.
Sus símbolos tanto ideal como real son:
Imagen 27. Fuente de intensidad ideal
Imagen 28. Fuente de intensidad real
Imagen de elaboración propia
Imagen de elaboración propia
Un generador de corriente ideal es aquel elemento activo que proporciona energía con
una determinada corriente I que es independiente de su tensión en bornes. El sentido de
la corriente se indica con una flecha colocada en el interior del círculo.
Un generador de corriente real es un elemento activo que proporciona energía
eléctrica con una determinada intensidad I que depende de la tensión bornes; esto es
debido a que presenta una resistencia en paralelo en la que se produce una
derivación de corriente.
Obtener el equivalente Norton, entre los terminales A y B, del circuito de la figura y
la intensidad que circula por la resistencia de carga RL=10Ω.
Imagen 29. Imagen de elaboración propia
Aquí tienes un video explicativo sobre el teorema de superposición, transformación de fuentes
y teorema de thevenin. Estoy seguro que te será de mucha utilidad, pues explica conceptos
muy interesantes. Empápate de ellos, con esto serás un experto en la resolución de circuitos
eléctricos de corriente continua.
7. Puente de Wheastone
Para finalizar el tema, estudiaremos el Puente de Wheatstone que se utiliza para el cálculo
de una resistencia rápidamente. Tiene numerosas aplicaciones interesantes, como veréis
posteriormente. Hoy en día este puente se utiliza mucho en todo lo relacionado con la
Electrotecnia, pues este método es el utilizado para comprobar averías en la líneas eléctricas
de Alta y Media Tensión, donde sus longitudes son kilométricas. Os animo a que busquéis
esta aplicación una vez estudiado su concepto. Es muy interesante y te abrirá la mente en
muchas aplicaciones Electrotécnicas. ¡Ánimo!
Es un método utilizado para medir resistencias con bastante rapidez y precisión.
En la parte inferior puedes ver un puente de Wheatstone junto al circuito sobre el que está
diseñado.
Imagen 34. Puente de Wheatstone.
Educa Madrid - Banco de imágenes CNICE
Licencia: Creative Commons
Imagen 35. Esquema de Puente de W
Imagen de elaboración propi
En el puente de Wheatstone, además de la resistencia que queremos medir, tenemos dos
resistencias fijas R1 y R3 y una variable R2 .
Una vez cerrado el interruptor modificaremos el valor de la resistencia variable R2 hasta
conseguir que la intensidad por R1 y R2 sea la misma y que la intensidad por R3 y Rx sea
también la misma (galvanómetro marcando 0).
Llegados a este punto podemos decir que entre B y D no existe diferencia de potencial al no
pasar corriente y que el puente de Wheatstone está equilibrado.
Veamos como podemos obtener el valor de R .
Se observa que en el puente de Wheatstone se verifica que los productos de las
resistencias opuestas son iguales.
En el siguiente enlace puedes ver una aplicación del puente de Wheatstone
Aplicación Puente de Wheatstone
8. Aplicaciones
Como hemos podido ver durante el tema son bastante numerosos los métodos de resolución de
circuitos que podemos utilizar dependiendo de las características del circuito o de los
parámetros sobre los que queremos incidir.
A los teoremas y métodos explicados habría que añadir algunos otros como el teorema de
Rosen, método de Maxwell, método de Millman, los puentes de hilo, Fraetz y Wien, etc. Dichas
aplicaciones, además de quedar fuera de los contenidos propios de segundo de bachillerato,
harían esta parte de resolución de circuitos demasiado extensa y tediosa para el alumno.
Resolver un circuito, según lo hemos hecho durante este tema, puede parecer algo mecánico y
carente de otra utilidad que no sea la de obtener ciertos valores de intensidad, resistencia o
tensión. Pero nada más alejado de la realidad. Nuestro entorno está lleno de elementos que
directa o indirectamente funcionan o son gobernados mediante circuitos eléctricos y depende
de los valores que tomen estos circuitos el comportamiento de dichos elementos o aparatos.
Como ejemplo nos pueden servir algunas de las aplicaciones de uno de los circuitos trabajados
en esta última parte de la unidad: el puente de Wheatstone.
Recordemos que hemos dicho que es un instrumento eléctrico de medida que se utiliza para
medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente. El puente
está constituido por cuatro resistencias que forman un circuito cerrado, siendo una de ellas
la resistencia bajo medida.
Pero este circuito, unido a otros elemento eléctricos o electrónicos, nos permite realizar una
serie de operaciones que quizá desconozcamos:
a) Mediante termistores NTC se utilizan en una gran variedad de aplicaciones: sensor de
temperatura (termómetro), medidor de la velocidad de fluidos, estabilización de tensiones,
etc.
b) Utilizando en el puente una LDR o fotorresistencia se utiliza para aplicaciones en circuitos
donde se necesita detectar la ausencia de luz de día:
- Luz nocturna de encendido automático, que utiliza una fotorresistencia para activar una o
más luces al llegar la noche.
- Relés controlados por luz, donde el estado de iluminación de la fotorresistencia, activa o
desactiva un interruptor, que puede tener un gran número de aplicaciones
c) En el desarrollo de galgas extensométricas utilizadas para comprobar el asentamiento de
construcciones de hormigón. Este tipo de galgas son un sensor basado en el efecto
piezorresistivo. Un esfuerzo que deforma a la galga producirá una variación en su
resistencia eléctrica. Esta variación de resistencia llevará consigo una variación de voltaje
que mediremos mediante el puente de Wheatstone.
Estas galgas también pueden ser utilizadas para modelizar la sismicidad de la corteza
terrestre, detectando movimientos casi imperceptibles.
Haz click en el siguiente enlace y podrás comprobarlo.
Simulador para modelizar la sismicidad en la corteza terrestre