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1 Resolución de triángulos Antes de comenzar con el tema objeto de estudio repasemos (con tres ejemplos que debes seguir) cómo se dibuja un triángulo dependiendo de los datos de partida. 1 Construcción de triángulos nn C Coonnoocciiddooss llooss ttrreess llaaddooss h n Construye un triángulo cuyos lados midan : c = 4 cm, b = 3 cm, a = 5 cm y mide sus ángulos. D Dibuja primero uno de los lados (el de mayor longitud, a = 5 cm, por ejemplo) utilizando la herramienta [segmento con longitud dada desde el punto] . D Por uno de los extremos del segmento anterior se dibuja una circunferencia de radio igual a la longitud de otro lado (c = 4 cm, por ejemplo), mediante la herramienta [círculo por centro y radio] ,y por el otro extremo, una circunferencia de radio igual a la longitud del otro lado, con la misma herramienta. La intersección de las dos circunferencias nos proporciona el tercer vértice del triángulo buscado que dibujamos, con la herramienta [Polígono] : no S See ccoonnoocceenn ddooss llaaddooss yy eell áánngguulloo qquuee ffoorrm maann h oDibuja un triángulo de lados a = 4 cm y b = 3 cm, y que el ángulo comprendido entre ambos sea Ĉ = 70º D A partir de punto cualquiera A, trazamos una semirrecta horizontal. D Con la herramienta [rota objeto alrededor de un punto por un ángulo] 70º en sentido antihorario. rotamos la semirrecta D A partir del punto A podemos trazar los lados de longitudes 4 cm y 3 cm en las dos semirrectas dibujadas, mediante [círculo por centro y radio] . Ángel Corral Cedena 2 Resolución de triángulos D Ahora ya tenemos los vértices del triángulo, en las intersecciones de las dos circunferencias y las dos semirrectas, que dibujamos: np S See ccoonnooccee uunn llaaddoo yy llooss ddooss áánngguullooss ccoonnttiigguuooss h pDibuja un triángulo de lados a = 4 cm y los ángulos contiguos Ĉ = 70 º y B̂ = 40º Con la herramienta [segmento con longitud dada desde el punto] introducimos la longitud del lado a = 4 cm. A partir de los extremos del segmento anterior, rotamos el segmento los ángulos de 70º y 40º , uno en sentido antihorario y el otro en sentido horario. El punto de corte (tal vez necesites superponer una recta con los segmentos girados para que se corten) nos proporciona el tercer vértice del triángulo que dibujamos: Ya podemos abordar el objeto principal de esta práctica: 1 Resolución de triángulos rectángulos Un triángulo se considera resuelto cuando se conocen las longitudes de sus tres lados y las amplitudes de sus tres ángulos. En los triángulos rectángulos como uno de los ángulos ha de ser recto ( 90º) hemos de conocer cinco elementos, para lo cual es necesario disponer, como mínimo, de dos datos (distintos del ángulo recto). Para resolverlo, a partir de esos dos datos como mínimo, disponemos de un conjunto de relaciones: Ángel Corral Cedena 3 Resolución de triángulos (i) Relaciones métricas. Teorema de Pitágoras b 2 = a2 + c 2 (ii) Relaciones angulares ∧ ∧ ∧ Como B = 90º ⇒ A + C = 90º (son complementarios) (iii) Relaciones trigonométricas (directas) Para uno de los dos ángulos agudos, las relaciones directas son: ∧ cateto opuesto a = sen A = hipotenusa b ∧ cateto contiguo c = cos A = hipotenusa b ∧ cateto opuesto a tg A = cateto contiguo = c ∧ que también se pueden definir para el otro ángulo agudo C . Antes de comenzar un ejemplo: ∧ En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a = 10 y el ángulo C = 40º . Resuelve el triángulo. D Comenzamos por dibujar un triángulo a mano alzada y colocar los datos : Ahora hallamos los elementos que nos faltan: ∧ ∧ Ángulo B = 90º − C = 90º −40º = 50º . Como c es el cateto opuesto respecto del ángulo C conocido y también conocemos la hipotenusa, usamos: ∧ ∧ c sen C = ⇔ c = a·sen C = 10·sen40º = 6,4278.... ≈ 6,43 a Para hallar la longitud de b, disponemos de varias posibilidades pero utilizamos una que implique a los datos, como b es el cateto contiguo respecto del ángulo C conocido y también conocemos la hipotenusa, usamos: ∧ ∧ b cos C = ⇔ b = a·cos C = 10·cos 40 º = 7,660... ≈ 7,66 a Por último dibujamos el triángulo en Geogebra y comprobamos los elementos hallados: Ángel Corral Cedena 4 Resolución de triángulos Ahora realiza las prácticas siguientes: Práctica 1 Resuelve el triángulo rectángulo ABC en el que conocemos la hipotenusa a = 32 m y el cateto b = 11 m. Dibuja el triángulo a mano alzada Pasos de resolución (explicaciones y cálculos) Comprueba el resultado en Geogebra dibujando el triángulo y midiendo sus elementos, después graba el archivo en el servidor con tu nombre y el número de práctica. Práctica 2 Resuelve el triángulo rectángulo ABC en el que conocemos los dos catetos b = 25 m y c = 42,5 m. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 5 Práctica 3 En un determinado momento del día los rayos solares forman un ángulo de 35°. En ese instante la sombra de un árbol mide 32 m, ¿cuál es la altura del árbol? Práctica 4 Una escalera se encuentra apoyada en una pared y su pie se halla a 2,5 m de la misma. Encuentra la longitud de la escalera sabiendo que forma con el suelo un ángulo de 72°. Práctica 5 Calcula la altura a la que se encuentra una cometa cuyo hilo de 32 m de longitud forma con el suelo un ángulo de 36°. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 6 Práctica 6 Las puntas de las ramas de un compás están a 7 cm y cada rama tiene 12 cm. Hallar el ángulo que forman las ramas del compás. Práctica 7 Calcular el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m. Práctica 8 En una circunferencia de 100 m de radio se unen dos puntos con una cuerda de 100 m. ¿Cuánto vale el ángulo central? (Pensad antes de poneros a operar). En una circunferencia de 100 m de radio se unen dos puntos con una cuerda de 50 m. ¿Cuánto vale el ángulo central correspondiente? Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 7 Práctica 9 Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 6 m. Práctica 10 Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60° y la rama tiene 12 cm de longitud, hallar el radio de la circunferencia que puede trazarse. Práctica 11 La anchura de la calle Mayor es de 30 m. Colocándote en el centro de la misma, puedes ver los edificios de ambos lados bajo ángulos de 70° y 42° respectivamente. ¿Cuáles son las respectivas alturas de ambos edificios? Ángel Corral Cedena 8 Resolución de triángulos Método de “Doble observación” Cuando la base del objeto cuya altura quiere medirse no es accesible se usa el método de “doble observación” que, en esencia, consiste en medir desde dos puntos separados una distancia dada conocida, los ángulos bajo los que se “observa” el extremo (punto más alto, normalmente) del objeto. Calcula la altura de la montaña de la siguiente figura. Sea CH = h . Como en relación a los ángulos dados queremos hallar el cateto opuesto y se nos da o nos pide el cateto contiguo, es claro que debemos usar la tangente ( o la contangente) de esos ángulos lo que nos proporciona un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: ∧ CH h tg42º = tg B = h = xtg42º CB ⇒ x ⇔ ∧ h h = ( x + 500 )tg25 º tg A = CH tg25º = x + 500 CA Hay varios métodos para resolver este sistema de ecuaciones, utilizamos el de igualación despejando de ambas ecuaciones la incógnita h e igualamos las expresiones: xtg42º = (x + 500)tg25º; xtg42º = xtg25º + 500·tg25º; xtg42º - xtg25º = 500·tg25º; x(tg42º - tg25º) = 500·tg25º 500·tg25º; x = ≈ 537,1 m luego h = x·tg42º = 537,1·tg42º = 483,61 m = (x +500)·tg25º = tg42º −tg25º (537,1 +500)tg25º = 483,61 m Ahora lo comprobamos en Geogebra: Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 9 Práctica 12 Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo de 30° con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo se hace de 60°. Hallar la altura de la torre. Práctica 13 Sara y su amigo Luis quieren escalar una montaña y necesitan conocer su altura h. Para ello han conseguido un teodolito y desde dos puntos que distan 60 m han medido, como se indica en la figura, los ángulos de 45° y 30°. ¿Cómo calcularon con estas medidas la altura de la montaña? Ángel Corral Cedena 10 Resolución de triángulos Práctica 14 Desde dos pueblos se observa en un mismo instante un buitre bajo ángulos de 70° y 50° como indica la figura. La distancia entre ambos pueblos es de 10 km. Halla la altura ala que se encuentra en ese momento el buitre y la distancia a que está de cada pueblo. Práctica 15 Halla la altura de un poste, sabiendo que desde un cierto punto se ve bajo un ángulo de 14°, y si nos acercamos 20 m, lo vemos bajo un ángulo de 18°. Práctica 16 Dos individuos A y B observan un globo cautivo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 46° y 52°, respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada observador. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 11 Práctica 17 Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17°. Aproximándose 25,8 m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31°. Calcular la altura del árbol. Práctica 18 Desde un punto a ras de suelo, los ángulos de elevación que presentan la base y la punta de un mástil de 6 m de altura, colocado sobre un acantilado, son 38° y 46°. Estima la altura del acantilado. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 12 Práctica 19 Calcula la altura de la antena que está sobre el tejado de la casa. Práctica 20 Del extremo superior de un poste se tienden dos cables, para amarrarlo al suelo, hasta dos puntos que distan 20 m uno de otro. Los cables forman con el suelo ángulos de 75° y 65°. Averigua la altura del poste. (Suponemos que el poste y los cables están en un mismo plano vertical). Ángel Corral Cedena 13 Resolución de triángulos 2 Resolución de triángulos cualesquiera (no rectángulos) Como ya sabemos tenemos que usar los “dos teoremas fuertes de la trigonometría”: Teorema del seno a ∧ sen A = b ∧ = sen B c ∧ sen C Teorema del coseno ∧ 2 2 2 = + − a b c 2 bc cos A ∧ 2 2 2 b = a + c − 2ac cos B ∧ 2 2 2 c = a + b − 2ab cos C Antes de comenzar un par de ejemplos: Resuelve el triángulo en que se conoce a = 24 m, ∧ ∧ B = 55º 15’ y C = 68º 42’ ∧ Desconocemos un ángulo A y dos lados b y c, calculamos primero el ángulo que falta: ∧ ∧ ∧ A = 180 º − B+ C = 180 º −(55º 15' + 68º 42' ) = 56º 3' ∧ y ahora aplicamos el teorema de los senos, teniendo en cuenta que ya conocemos a y A : ∧ a b sen B sen55 º15' ·a = ·24m = 23,772 m = ⇔b= ∧ ∧ ∧ sen56º3' a b c sen A sen B sen A = = ⇒ ∧ ∧ ∧ ∧ a c sen C sen68 º 42' sen A sen B sen C ·a = ·24m = 26,956 m = ⇔c= ∧ ∧ ∧ sen56º3' sen A sen C sen A Comprobación con Geogebra: Ángel Corral Cedena 14 Resolución de triángulos Resuelve el triángulo en que se conoce a = 25 m, b = 42 m y c = 34,6 m. Ahora conocemos los tres lados, no podemos usar el teorema de los senos pues no sabemos ningún ángulo, hay que usar el teorema del coseno para hallar los ángulos: ∧ ∧ b2 + c 2 − a2 422 + 34,62 − 252 ∧ a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A ⇔ cos A = = = 0,8037.... ⇒ A = arc cos 0,8037... = 36º 30' 20,23" 2b·c 2·42·34,6 2 + c 2 − b2 252 + 34,62 − 422 ∧ ∧ ∧ a 2 2 2 = = 0,0336.... ⇒ B = arc cos 0,0336... = 88º 4' 24,4" b = a + c − 2ac cos B ⇔ cos B = 2·25·34,6 2a·c 2 + b2 − c 2 252 + 422 − 34,62 2 ∧ ∧ ∧ a = = 0,5675.... ⇒ C = arc cos 0,5675... = 55º 25' 15,4" c = a2 + b2 − 2ab cos C ⇔ cos C = 2 · 25 · 42 2 a · b Comprobación en Geogebra: Práctica 21 Desde los pueblos A y B, distantes entre sí 15 km, se observa a una misma hora del día un globo aerostático, situado en un plano vertical entre ellos. Las visuales desde ambos pueblos al globo forman con la horizontal ángulos de 80° y 60° respectivamente. Calcula la distancia de cada pueblo al globo. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 15 Práctica 22 Calcula la longitud x del pantano. Práctica 23 Halla el valor del ángulo A en el triángulo de la Figura, sabiendo que los radios de los tres círculos son 40,6 cm, 1 m y 1,64 m. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 16 Práctica 24 Para hallar la longitud que tendrá un túnel que atraviese una montaña se toma un corte transversal de la misma. Se toman las medidas siguientes: - Ángulo formado por las visuales desde la cima C a los extremos A y B del túnel, 50°. - Distancias desde la cima a estos extremos, 360 y 250 m. Con estos datos, ¿cómo calcularías la longitud del túnel? Práctica 25 Dos amigos, Luis y María, están paseando una tarde por la orilla de un río. En un momento dado se separan una distancia de 60 m y observan un pájaro que está en la otra orilla escarbando en el suelo. Los ángulos que forman las visuales que dirigen Luis y María al pájaro con la línea que une a ambos son de 70° y 55° respectivamente. Halla la distancia del pájaro a cada uno de los amigos. Ángel Corral Cedena Resolución de triángulos 17 Práctica 26 Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 km, la de BC es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C? Práctica 27 Dos baterías antiaéreas, distantes 4 km entre sí, disparan a un caza enemigo en el momento en que éste sobrevuela la línea que forman aquéllas. El primero ha de dirigir sus disparos con un ángulo de elevación de 70°, y el otro con 80°. ¿A qué altura vuela el caza? Ángel Corral Cedena
