Download Unicidad de la solución Segunda identidad de Green Ecuación de

Electromagnetismo. Grupo C. Curso
2005-2006.
Andrés Cantarero
Unicidad de la solución
Segunda identidad de Green
Sean dos potenciales que cumplen la ecuación de Laplace y satisfacen
las mismas condiciones de contorno:
∇2 V1 = 0
Definamos la función
;
∇2 V2 = 0
Φ = V1 − V2
∇2 Φ = 0
Sobre el contorno, Φ = 0 o bien (∇Φ)normal = 0 ,
dependiendo de las condiciones de contorno
Integrando al contorno
y aplicandoZel teorema de la divergencia,
I
3
∇ · [Φ∇Φ]d r
0=
Φ∇ΦdS =
S
V
Z
Z
= [(∇Φ)2 + Φ∇2 Φ]d3 r =
(∇Φ)2 d3 r
V
Φ=0
si lo es sobre la superficie, o bien constante si el
campo es nulo en la superficie
Ecuación de Poisson
y recordar que ∇2 Ψ = −δ(r − r 0 )
1
4πε0
I ∙
+
1
4π
Z
ρ(r 0 ) 3
d r
|r − r 0 |
Integral de Coulomb
¸
1
1
∂V (r 0 )
∂
− V (r 0 ) 0
dS 0
0
0
0
|r − r | ∂n
∂n |r − r |
Contribución de las cargas sobre
la superficie de contorno
La divergencia de una función F puede escribirse en la forma
Z
∇ · F d3 r =
Definamos las funciones
F = Φ∇Ψ
I
F · dS =
I
Fn dS
G = Ψ∇Φ
Hallando la divergencia de ambas funciones y restando,
I ∙
Ψ
¸
Z
∂Ψ
∂Φ
−Φ
dS = [Φ∇2 Ψ − Ψ∇2 Φ]d3 r
∂n
∂n
se obtiene la Segunda identidad de Green
Problema de Dirichlet
La ecuación de Poisson, ∇2 V = −ρ/ε0 , puede escribirse en
forma integral. Basta con tomar, en la segunda identidad de Green,
1
Φ=V y Ψ=
4π|r − r 0 |
V (r) =
• El problema electrostático. Unicidad
de la solución.
• La solución formal, mediante la
función de Green, del problema
electrostático con condiciones de
contorno.
• El método de las imágenes.
• El método de separación de
variables.
Contribución de densidad dipolar
sobre la superficie de contorno
Hay ambigüedad en la elección de G(r, r0 ):
G(r, r 0 ) =
1
+ F (r, r 0 )
4π|r − r0 |
∇2 F (r, r0 ) = 0
con
Si conocemos el potencial en el contorno (problema de Dirichlet o
condiciones de contorno de Dirichlet), podemos elegir G|Σ = 0
sobre el contorno. Entonces
V (r) =
1
ε0
Z
τ
ρ(r 0 )G(r, r 0 )d3 r 0 −
I
V (r 0 )
Σ(τ )
∂G 0
dS
∂n0
Resolver la ecuación de Poisson se reduce a resolver dos integrales
definidas.
La función Ψ se denomina función de Green y se escribe
habitualmente como G(r, r0 )
1
Carga puntual frente a plano
conductor a potencial cero
Problema de Neumann
ρ(r0 ) = qδ(rq − r0 )
Si conocemos ∂V /∂n0 sobre el contorno (es decir el campo
eléctrico), podríamos pensar en tomar ∂G/∂n0 |Σ = 0 sobre el
contorno para simplificar la integral de superficie. Pero esto no lo
podemos hacer. La opción más sencilla es tomar
∂G/∂n0 |Σ = −
Tendremos entonces
V (r) =
1
ε0
Z
τ
Conocemos el potencial, luego se trata del problema de Dirichlet.
Como éste es ceroZ sobre el plano, la integral resultante es
V (r) =
1
S0
1
ε0
ρ(r 0 )G(r, r 0 )d3 r 0 =
τ
La función de Green es
ρ(r 0 )G(r, r 0 )d3 r 0 −
I
G
Σ(τ )
∂V
dS 0 + hV i
∂n0
siendo hV i el valor promedio del potencial sobre la superficie.
G(r, rq ) =
q
G(r, rq )
ε0
1
+ F (r, rq )
4π|r − rq |
y el problema se limita a hallar la función F que haga que G sea cero
sobre el contorno (plano a potencial cero):
F (r, rq ) = −
1
4π|r − (1 − 2n·)rq |
Método de las imágenes con
dieléctricos
Método de las imágenes
región de interés
fuera de la región de interés
n
carga puntual
carga imagen
rq
rq − 2(rq · n)n
• La superficie del dieléctrico no tiene
porqué ser equipotencial
• El campo de las cargas del exterior
penetra en el dieléctrico
• Ahora las dos regiones son de interés
• En la superficie del dieléctrico se
satisfacen las condiciones de contorno de
los campos E y D
plano conductor a potencial cero
¸
∙
1
1
q
−
V (r) =
4πε0 |r − rq | |r − rq + 2(rq · n)n|
Carga puntual frente a un dieléctrico
región 2
ε
ε0
Carga puntual frente a un dieléctrico
semiinfinito
Eρ (z = 0+ ) = Eρ (z = 0− )
región 1
Dz (z = 0+ ) = Dz (z = 0− )
carga imagen
z
rq = (0, 0, d)
V2 =
V1 =
¸
∙
q
ε − ε0
1
1
−
4πε0 |r − rq | ε + ε0 |r − rq + 2(rq · n)n|
V2 =
1
2q
4π(ε + ε0 ) |r − rq |
carga puntual
q 00
1
p
4πε ρ2 + (z − d)2
V1 =
1
4πε0
"
q0
+p
ρ2 + (z − d)2
ρ2 + (z + d)2
p
q
#
2