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Electromagnetismo. Grupo C. Curso 2005-2006. Andrés Cantarero Unicidad de la solución Segunda identidad de Green Sean dos potenciales que cumplen la ecuación de Laplace y satisfacen las mismas condiciones de contorno: ∇2 V1 = 0 Definamos la función ; ∇2 V2 = 0 Φ = V1 − V2 ∇2 Φ = 0 Sobre el contorno, Φ = 0 o bien (∇Φ)normal = 0 , dependiendo de las condiciones de contorno Integrando al contorno y aplicandoZel teorema de la divergencia, I 3 ∇ · [Φ∇Φ]d r 0= Φ∇ΦdS = S V Z Z = [(∇Φ)2 + Φ∇2 Φ]d3 r = (∇Φ)2 d3 r V Φ=0 si lo es sobre la superficie, o bien constante si el campo es nulo en la superficie Ecuación de Poisson y recordar que ∇2 Ψ = −δ(r − r 0 ) 1 4πε0 I ∙ + 1 4π Z ρ(r 0 ) 3 d r |r − r 0 | Integral de Coulomb ¸ 1 1 ∂V (r 0 ) ∂ − V (r 0 ) 0 dS 0 0 0 0 |r − r | ∂n ∂n |r − r | Contribución de las cargas sobre la superficie de contorno La divergencia de una función F puede escribirse en la forma Z ∇ · F d3 r = Definamos las funciones F = Φ∇Ψ I F · dS = I Fn dS G = Ψ∇Φ Hallando la divergencia de ambas funciones y restando, I ∙ Ψ ¸ Z ∂Ψ ∂Φ −Φ dS = [Φ∇2 Ψ − Ψ∇2 Φ]d3 r ∂n ∂n se obtiene la Segunda identidad de Green Problema de Dirichlet La ecuación de Poisson, ∇2 V = −ρ/ε0 , puede escribirse en forma integral. Basta con tomar, en la segunda identidad de Green, 1 Φ=V y Ψ= 4π|r − r 0 | V (r) = • El problema electrostático. Unicidad de la solución. • La solución formal, mediante la función de Green, del problema electrostático con condiciones de contorno. • El método de las imágenes. • El método de separación de variables. Contribución de densidad dipolar sobre la superficie de contorno Hay ambigüedad en la elección de G(r, r0 ): G(r, r 0 ) = 1 + F (r, r 0 ) 4π|r − r0 | ∇2 F (r, r0 ) = 0 con Si conocemos el potencial en el contorno (problema de Dirichlet o condiciones de contorno de Dirichlet), podemos elegir G|Σ = 0 sobre el contorno. Entonces V (r) = 1 ε0 Z τ ρ(r 0 )G(r, r 0 )d3 r 0 − I V (r 0 ) Σ(τ ) ∂G 0 dS ∂n0 Resolver la ecuación de Poisson se reduce a resolver dos integrales definidas. La función Ψ se denomina función de Green y se escribe habitualmente como G(r, r0 ) 1 Carga puntual frente a plano conductor a potencial cero Problema de Neumann ρ(r0 ) = qδ(rq − r0 ) Si conocemos ∂V /∂n0 sobre el contorno (es decir el campo eléctrico), podríamos pensar en tomar ∂G/∂n0 |Σ = 0 sobre el contorno para simplificar la integral de superficie. Pero esto no lo podemos hacer. La opción más sencilla es tomar ∂G/∂n0 |Σ = − Tendremos entonces V (r) = 1 ε0 Z τ Conocemos el potencial, luego se trata del problema de Dirichlet. Como éste es ceroZ sobre el plano, la integral resultante es V (r) = 1 S0 1 ε0 ρ(r 0 )G(r, r 0 )d3 r 0 = τ La función de Green es ρ(r 0 )G(r, r 0 )d3 r 0 − I G Σ(τ ) ∂V dS 0 + hV i ∂n0 siendo hV i el valor promedio del potencial sobre la superficie. G(r, rq ) = q G(r, rq ) ε0 1 + F (r, rq ) 4π|r − rq | y el problema se limita a hallar la función F que haga que G sea cero sobre el contorno (plano a potencial cero): F (r, rq ) = − 1 4π|r − (1 − 2n·)rq | Método de las imágenes con dieléctricos Método de las imágenes región de interés fuera de la región de interés n carga puntual carga imagen rq rq − 2(rq · n)n • La superficie del dieléctrico no tiene porqué ser equipotencial • El campo de las cargas del exterior penetra en el dieléctrico • Ahora las dos regiones son de interés • En la superficie del dieléctrico se satisfacen las condiciones de contorno de los campos E y D plano conductor a potencial cero ¸ ∙ 1 1 q − V (r) = 4πε0 |r − rq | |r − rq + 2(rq · n)n| Carga puntual frente a un dieléctrico región 2 ε ε0 Carga puntual frente a un dieléctrico semiinfinito Eρ (z = 0+ ) = Eρ (z = 0− ) región 1 Dz (z = 0+ ) = Dz (z = 0− ) carga imagen z rq = (0, 0, d) V2 = V1 = ¸ ∙ q ε − ε0 1 1 − 4πε0 |r − rq | ε + ε0 |r − rq + 2(rq · n)n| V2 = 1 2q 4π(ε + ε0 ) |r − rq | carga puntual q 00 1 p 4πε ρ2 + (z − d)2 V1 = 1 4πε0 " q0 +p ρ2 + (z − d)2 ρ2 + (z + d)2 p q # 2