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C.- EL TEOREMA DE GAUSS
1.33.- Vector inducción eléctrica.Supongamos que en un
punto cualquiera del campo
eléctrico generado por el cuerpo
cargado C, colocamos dos discos
metálicos pequeños de prueba de
superficie  y cuya normal está

dada por n . Si los discos no están

normales al campo E ,  será el


ángulo entre E y la normal n
Fig. 1.27
Ambos están dotados de pequeños
manguitos que permiten separarlos
y llevarlos a cualquier punto, o simplemente girarlos. (fig.1.27).
En los discos se inducirán cargas +q’ y –q’ como se ve en el gráfico, y
experimentalmente se puede observar que la carga inducida q’ es proporcional a:
 q' 

 q'  cos
lo cual nos permite escribir una constante de proporcionalidad D:
q’ = D cos 
de donde se obtiene que:
q'
(1.36)
cos

Es posible entonces definir un vector D , cuyo módulo es precisamente la expresión

(1.36), y cuya dirección y sentido coincide con E . Obsérvese además que  es también un
vector.
D=
Es importante hacer la distinción entre carga ligada y carga libre. La primera es la
carga de los dipolos y en este caso siempre que hay una carga positiva habrá una negativa.
La carga libre es tal que puede existir la positiva sin la negativa. La carga inducida aquí
tratada es carga libre.
I C 1
1.34.- Flujo del vector inducción.-
 
Definamos ahora el flujo del vector inducción. Debido a que  y D son en realidad
vectores como se dijo en el párrafo anterior, a partir de la expresión:
q’ = D cos
es posible escribir:
 
q’= D = D
(1.37)
En el caso en el que el vector inducción varía punto a punto sobre una superficie ,
metálica, abierta y mayor que la anterior, escribiremos:


 D   D.d   q' '
(1.38)

donde es q’’ > q’ , carga inducida en dicha superficie .
1.35.- Propiedad fundamental del flujo del vector inducción eléctrica: ley de Gauss.Si ahora tomamos una superficie metálica cerrada, tal que envuelva a toda la carga
libre q que genera el campo eléctrico, basándonos en el Teorema de Faraday, podremos
afirmar que la carga inducida en la superficie metálica, es igual a la inductora q.
Pero si en lugar de la superficie metálica,
imaginamos una superficie (obviamente al estilo de las
superficies matemáticas), entonces podremos afirmar
que el flujo del vector inducción a través de una
superficie cerrada, es igual a la carga libre encerrada
por la superficie.
Escribiremos entonces que:
 
D   D  d   q
(1.39)

que es la expresión de la llamada ley de Gauss (fig
1.28), donde q es la carga libre.
Fig. 1.28
Pero todavía se la puede modificar, de modo de generalizarla. En efecto,
supongamos que conocemos la forma en la cual la carga libre q está distribuida en el
volumen , definido por la superficie cerrada. Escribiremos entonces:
I C 2
q
  d

donde  es la densidad de carga libre en el volumen , quedando:

 D  d  =   d

(1.40)

que es otra versión de la ley de Gauss de la electrostática. De esta expresión se desprende
que si aplicamos el Teorema de Gauss del Análisis Vectorial (Teorema de la divergencia),
tendremos en el primer miembro:

 div D d =   d

(1.41)

la cual constituye la versión final de la ley de Gauss, y que se la suele denominar también
como una ecuación integral de Maxwell. Ahora bien, si ponemos el primer y el segundo
miembro bajo el mismo signo integral, entonces para que el segundo miembro sea cero,
teniendo en cuenta que  es arbitrario, deberá ser:


div D   D  
(1.42)
que es una ecuación diferencial de Maxwell.
El significado de esta ecuación es que si en un punto del espacio se tiene una
densidad de carga libre , entonces habrá fuente del vector inducción eléctrica, o bien del
vector intensidad de campo eléctrico. Si la divergencia del vector inducción eléctrica es
positiva entonces  > 0 y en ese punto nacen líneas de campo. Si la divergencia del vector
inducción eléctrica es negativa, se tiene que  < 0 y en ese punto
terminan las líneas de

campo, se dice que se tiene un sumidero. Si la divergencia de D es cero, en ese punto =0,
es decir no hay fuentes de campo (esto no implica que en ese punto el campo es cero).
El problema está en que no se la puede verificar experimentalmente mediante
ninguna experiencia. Por ello esta ecuación en realidad constituye un postulado. Se verá si
es correcto o no, por los resultados que se obtienen cuando se lo utilice. Es decir, si se logra
construir una teoría usando éste y otros postulados, que describa razonablemente la
realidad, diremos que el postulado es correcto.
Es interesante remarcar que de la expresión (1.39) si se tiene por ejemplo una
superficie plana en la cual hay una densidad superficial de carga libre lib , ésta resultará de
acuerdo a lo visto igual al módulo del vector D, es decir lib = D.
I C 3
1.36.- Relación entre los vectores campo eléctrico e inducción eléctrica. 
Se define un material como lineal e isótropo si la relación entre D y E es:


D=E
(1.43)
donde  , es la permitividad dieléctrica del medio. Si el material es homogéneo, el escalar 
no dependerá de la posición.
En general, en los materiales que se utilizarán en este curso, la permitividad
dieléctrica es constante para cada uno de ellos. Pero se debe destacar que hay materiales en
los que puede ser variable, e incluso llega a adoptar la forma de un tensor, para describir
correctamente el comportamiento del medio material frente a la acción de un campo
eléctrico. Los gases, los líquidos y los sólidos amorfos son lineales. Pero los sólidos
cristalinos y los plasmas tienen una matriz o tensor de permitividad que describe su
comportamiento.
Tal como se dijo anteriormente cuando se introdujo la ley de Coulomb, en el vacío
es:
 =0= 8,85 x 10-12 C/ Vm = 8,85 pF/m
que constituye el menor valor que adopta dicha constante. Para cada material puede variar
con la presión, la temperatura, y aún con la dirección del campo aplicado.
Se define:
r 

 Ke
0
(1.44)
que se denomina la permitividad dieléctrica relativa.
A continuación damos la tabla 1.3 de permitividades dieléctricas relativas de
algunos materiales:
Tabla 1.3
Material
r
Aire
1,000536
( P = 760 mm Hg T = 25 C )
Hidrógeno
1,000254
( P = 760 mm Hg T = 25 C )
Oxígeno
1,000495
( P = 760 mm Hg T = 25 C )
I C 4
Material
Diamante
( Temperatura ambiente )
Neopreno
( Temperatura ambiente )
Polietileno
( Temperatura ambiente )
r
5,5
6,7
2,2
Vapor de agua
( P = 760 mm Hg T= 100 C )
Vapor de agua
( P = 760 mm Hg T= 140 C )
Agua
( T = 25 C )
Agua destilada
( T = 25 C )
Aceite de transformador
( T = 25 C )
Glicerina
( T = 25 C )
Alcohol etílico
( T = 25 C )
Amoníaco
( T = 25 C )
Pyrex
( Temperatura ambiente )
Vidrio
( Temperatura ambiente )
Vidrio Flint
( Temperatura ambiente )
1,0126
1,00785
78,54
81
2,22
42,5
24,3
16,9
4
6
10
Poliestireno
( Temperatura ambiente )
Ámbar
( Temperatura ambiente )
Ebonita
( Temperatura ambiente )
Goma
( Temperatura ambiente )
Baquelita
( Temperatura ambiente )
Mica
( Temperatura ambiente )
Parafina
( Temperatura ambiente )
Cera de abejas
( Temperatura ambiente )
Titanato de bario
( Temperatura ambiente )
Titanato de bario y estroncio
( Temperatura ambiente )
Alúmina ( Al2 O3 )
( Temperatura ambiente )
2,6
2,65
2,5
3
5
2,5 - 7
2,1 - 2,5
2,9
1200
10000
10,3
1.37.- La rigidez dieléctrica.Se denomina rigidez dieléctrica a la máxima intensidad de campo eléctrico que un
dieléctrico puede soportar sin comenzar a conducir. Por ejemplo, en el caso del aire seco a
presión atmosférica, el valor es de 3x106 N/C. De aquí, es posible deducir cuál es la carga
máxima por unidad de superficie que un conductor puede tener sin comenzar a expulsar
carga, y es:
 = 0 E = 8,85x10-12 C/(Vm) 3x106N/C  27x10-6 C/m2
Esto permite calcular la carga máxima que puede tener una esfera de 1 cm de radio,
que es de 3,3x10-8 C. La tabla 1.4 da la rigidez dieléctrica para algunos materiales.
Tabla 1.4
Material
Rigidez dieléctrica ( V/m)
Aire ( presión atmosférica )
3 x 106
Poliestireno
20 x 106
Caucho
21 x 106
Mica
200 x 106
Vidrio
30 x 106
Baquelita
25 x 106
Aceite
15 x 106
Cuarzo ( fundido )
30 x 106
I C 5
1.38.- Ecuaciones de Poisson y Laplace.Se pueden combinar las ecuaciones
 
 E 

y

EV
para obtener una ecuación diferencial que vincule la densidad volumétrica de carga con el
potencial eléctrico:

 E      V     2 V
 
 E 

de donde:
2 V  


(1.45)
que es una ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales y se la conoce con
el nombre de ecuación de Poisson.
Hay una clase determinada de problemas electrostáticos en los que “intervienen
conductores” y una distribución de cargas puntuales. En estos casos toda la carga se
encuentra sobre la superficie de los conductores y en los puntos donde se encuentran las
cargas puntuales. Para estas situaciones,  es cero en la mayoría de los puntos del espacio y
entonces se tiene, en esas regiones:
2 V  0
(1.46)
que es la llamada ecuación de Laplace.
1.39.- Condiciones de contorno para los vectores campo eléctrico e inducción
eléctrica.Resulta de interés establecer las condiciones de contorno para los vectores
intensidad de campo eléctrico e inducción eléctrica. En la fig 1.29 a, se puede ver un vector
campo eléctrico en el medio 1. Se desea saber cómo éste vector pasa al medio 2. Es decir
caracterizar la dirección y sentido del nuevo vector. Para ello lo descompondremos en las
dos direcciones: paralelo a la superficie de separación de los medios, y perpendicular a la
misma, tratando cada caso en forma separada.
I C 6
Trataremos primeramente el caso del vector
campo eléctrico cuya componente es paralela a la
superficie de separación (fig.1.29 b). Para ello vamos a
calcular la circulación del vector E a lo largo del camino
cerrado abcda teniendo en cuenta que en el rectángulo
considerado la altura y es despreciable (y  0):
 
E
  dx = 0 
abcda
a 



E

d
x

 2 2  E1  d x1 = 0
c
b
d
Fig. 1.29 a
 

y teniendo presente que: d x d x1 dx 2 , es:
  
  


E1  x E 2  x 0E1  x E 2  x E1t  x E 2 t  x
donde E1t y E2t representan las componentes del campo
eléctrico en el medio 1 y 2 respectivamente, tangentes a
la superficie de separación de los dos medios.
Finalmente:
E 1t = E 2 t
(1.47)
Fig. 1.29 b
Es decir que, “la componente tangencial del campo eléctrico se conserva al pasar del
medio 1 al medio 2”.
Si se tiene en cuenta los ángulos que los vectores campo eléctrico forman con la
normal a la superficie de separación de los dos medios se tiene:
E1 sen 1 = E2 sen 2
(1.48)
Para el caso del vector normal a la superficie de
separación de los dos medios, utilizaremos el vector
inducción eléctrica, por razones de simplicidad, a
través de la ley de Gauss (fig.1.29c). Supondremos que
sobre la superficie de separación de ambos medios no
hay cargas.
Fig. 1.29 c
En ese caso, para la superficie gaussiana
considerada la ley de Gauss tendrá el segundo miembro
nulo y si además suponemos que la altura del cilindro
y es despreciable(y  0):
I C 7

 D d   0




 D  n d   D
1
1
1
2

 n 2 d  0
2
 
donde n1 y n2 representan las normales exteriores a las tapas del cilindro. Si ahora tenemos
en cuenta que:
 

nn1 n 2
resulta:
 
 
 
 
D1n D2  n 0D1n D2  n  D1n D2 n 
donde D1 n y D2 n representan las componentes del vector inducción eléctrica en el medio 1
y 2 respectivamente, normales a la superficie de separación de los dos medios.
Finalmente:
D1 n  D 2 n
(1.49)
Es decir que “la componente normal del vector inducción eléctrica se conserva al
pasar del medio 1 al medio 2”.
Teniendo en cuenta los ángulos que los vectores inducción eléctrica forman con la
normal a la superficie de separación de los dos medios se tiene:
D1 cos 1 = D2 cos 2
(1.50)
 
Si consideramos que D  E , la ecuación (1.50) se puede escribir como:
1 E1 cos 1 = 2 E2 cos 2
(1.51)
y si se combinan (1.48) y (1.51) se obtiene:
tg 1 1

tg 2 2
(1.52)
que describe la “refracción de las líneas del campo eléctrico al pasar del medio dieléctrico 1
al medio dieléctrico 2”.
Mediante el uso de las relaciones (1.47) y (1.49), es posible, para puntos
  muy
próximos a la superficie de discontinuidad, pasar cualquiera de los dos vectores, E y D , del
medio 2 al medio 1, o viceversa.
I C 8