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Lic. Ana Julia Nayar
LÓGICA MATEMÁTICA O FORMAL O SIMBÓLICA
La lógica formal o simbólica, a diferencia de la lógica clásica, utiliza un
lenguaje artificial, es decir, está rigurosamente construido, no admite cambios en el
tiempo y es universal; por otra parte, no puede aplicarse al lenguaje en su función
expresiva. Dicho con otras palabras, prescinde de todo tipo de contenido y es
absolutamente formal.
El procedimiento por el cual se pasa de un razonamiento o de una
proposición de lenguaje común a su forma lógica lo llamamos: ABSTRACCIÓN.
Al procedimiento inverso lo llamamos INTERPRETACIÓN. Esto se logra
asignando un contenido a sus formas vacías.
Astricción e interpretación son dos procedimientos útiles para considerar la
corrección o incorrección de los razonamientos.
La Lógica Formal se divide en tres partes:
- Lógica Proposicional
- Lógica de Predicados
- Lógica de Clases
Nosotros estudiaremos sólo una de sus ramas: la lógica proposicional.
Lógica Proposicional
l) Las proposiciones atómicas y moleculares:
Las proposiciones se dividen en dos grandes grupos:
- atómicas
- moleculares
Una expresión es atómica cuando no se puede descomponer en otra más
simple, y de la que tiene sentido predicar su verdad o falsedad.
Se simboliza con las letras “p”, “q”, “r”, “s”, ...
Una expresión es molecular cuando se forma combinando enunciados
atómicos. Su valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones
atómicas que lo conformen.
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II) Conectivas lógicas:
Se llaman conectivas lógicas o nexos lógicos a la/s palabra/s que sirve/n para
conectar proposiciones entre sí o para modificar el valor de verdad de una
proposición.
Teniendo en cuenta los nexos lógicos de las proposiciones tenemos las
siguientes clases de proposiciones moleculares:
- Conjuntivas
Una proposición conjuntiva es verdadera sí y sólo sí ambos componentes son
verdaderos.
El nexo “y” puede ser reemplazado por aunque, pero, además, etc..
Ej.:
“Paula es maestra y Marina es estudiante.”
“Paula es maestra y directora.”
Simbolización:
p . q
- Disyuntivas incluyentes y excluyentes
Una proposición disyuntiva inclusiva es falsa sí y sólo sí ambos componentes son
falsos.
Una proposición disyuntiva exclusiva es falsa sí y sólo sí ambos componentes
tienen el mismo valor de verdad.
Ej.:
“Me iré de vacaciones o comenzaré a escribir un nuevo libro.”
“Me quedaré en Buenos Aires, o me iré de vacaciones a Córdoba.”
Simbolización:
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p v q
p w q
- Condicionales
Una proposición condicional es falsa sí y sólo sí el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
Los nexos pueden ser: “... es condición suficiente para...”, “...cuando...., ....”, etc..
Ej.:
“Si nació en Buenos Aires, entonces es porteño.”
Simbolización:
p >
q
- Bicondicionales:
Una proposición bicondicional es verdadera sí y sólo sí ambos componentes tienen
el mismo valor de verdad.
Las expresiones más usadas son “... es equivalente a ...”, “... es condición necesaria
y suficiente para...”.
Ej.:
“Un número es para sí y sólo sí es divisible por dos.”
Simbolización:
p = q
- Negación:
La negación de una proposición verdadera es falsa y viceversa.
Algunas expresiones pueden ser: “no”, “no es cierto que”, “no se da el caso que”,
etc..
Ej.:
“No es verdad que todos los políticos son corruptos”.
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Simbolización:
-p
Simbolización y confección de una tabla de verdad
- A cada proposición atómica se le debe asignar una variable proposicional
(Abstracción).
- Si se repite una proposición, debe repetirse la variable.
- Se deben usar paréntesis, corchetes y llaves para indicar el alcance de las
conectivas.
- Se debe asignar los valores de verdad a cada variable agotando todas las
combinaciones posibles.
- Se resuelve la tabla de verdad que afecta a cada conectiva, comenzando, en
primer lugar por las de menor alcance.
Resultado de las Tablas de Verdad.
TAUTOLOGÍA: son formas proposicionales que corresponden a proposiciones
lógicamente verdaderas.
El resultado final es verdadero en todos los casos.
CONTRADICCIÓN: son formas
proposiciones lógicamente falsas.
proposicionales
que
corresponden
a
El resultado final es falso en todos los casos.
CONTINGENCIA: son formas proposicionales que corresponden a proposiciones
lógicamente indeterminadas.
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El resultado final es verdadero en algunos casos y falso en otros.
Ejemplo:
“Si es metal, se dilata con el calor. El oro es un metal. Entonces, se dilata con el calor.”
[( p
>
q )
.
p ]
>
q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
Resultado Final: tautología.
III) Los Razonamientos:
La lógica proposicional permite determinar cuándo una proposición es
lógicamente verdadera, lógicamente falsa o ni lo uno ni lo otro, como ya lo hemos
visto al aplicar Tablas de Verdad.
Pero para ello hay varios procedimientos:
a) Condicional Asociado
b) Método demostrativo
c) Prueba de invalidez
Método del Condicional Asociado:
Permite verificar mecánicamente la validez o invalidez de un razonamiento.
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1) Dado un razonamiento se abstrae su forma lógica.
2) De la forma de razonamiento se pasa a la forma de una proposición condicional,
de manera tal que el antecedente resulte una conjunción de las premisas del
razonamiento, conectado lógicamente con el consecuente a través de un
condicional.
3) Se realiza la Tabla de Verdad.
4) Si el resultado obtenido es una tautología, el razonamiento es válido, si no, no lo
es.
Ejemplo:
“Si estudio lógica, tengo posibilidades de aprobar filosofía; y si apruebo filosofía, puedo
recibirme de bachiller. Apruebo filosofía. Por lo tanto, puedo recibirme de bachiller.”
Forma de razonamiento:
Forma de Proposición:
p > q
q > r
q
_______
r
{[(p > q) . (q >
r) ]
.
q } > r
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