Download Lógica Proposicional

LOGICA

UNIDAD DIDÁCTICA: LOGICA Y FUNCIONES


Juan Salazar de la Cruz
Prof. En Filosofía y Letras. Computación e informática

Yauli, Abril de 2013
CONTENIDO
1. Lógica Proposicional
2. Simbolización y valoración de proposiciones
3. Ejercicios aplicativos
OBJETIVO
• Presentar los conceptos básicos de la lógica
proposicional.
Capacidad
• Analiza y resuelve problemas matemáticos de
su entorno aplicando reglas, principios e
inferencias relacionados a la Lógica
Proposicional .
Lógica Proposicional
 La lógica es la rama del conocimiento que trata los
modelos de razonamiento, mediante reglas y técnicas, con el
fin de determinar si un argumento dado es válido. El tema que
nos ocupa es el de la lógica usada en matemáticas. Aquí
trabajamos con elementos básicos llamados Proposiciones.
 Enunciado: Es toda expresión lingüística, que constituye
una frase u oración.
 Proposición: Enunciado que puede ser falso o verdadero
pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento
fundamental de la lógica matemática. La verdad o falsedad de
una proposición es lo que se llama su valor de verdad.
EJEMPLOS
 Son proposiciones lógicas:
 Orlando y Ana van a estudiar en la IESTPH – SEDE YAULI.
 Orlando llamó a Ana para salir.
 El autobús pasa a las siete.
 Mañana lloverá.
 Yauli está entre Huancavelica y Acoria.
 El IESTPH forma profesionales para desempeñarse en las instituciones públicas y
privadas.
No son proposiciones lógicas:
¡Siéntate!
¿Cuándo sale el autobús?
¿Fueron a pescar Orlando y Ana finalmente?
Las creencias, mitos o leyendas. Así como:“Dios es un ser misericordioso” “Manco
Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”
 Las metáforas o refranes. Así como: “El Perú es un mendigo sentado en un banco
de oro”. “Has el bien, sin mirar a quién”
 Las supersticiones. Así como: “Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13” “Pase
por debajo de una escalera”





SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES
SIMBOLIZACIÓN
 Según los datos históricos, Aristóteles introdujo las letras como:
p, q, r, etc., con la finalidad de representar a cada proposición
declarativa.
 Las variables proposicionales sólo pueden asumir los
valores de verdad (V) o falsedad (F).
Así tenemos:
Para dos proposiciones: p, q se tiene la siguiente tabla de verdad:
p
q ..
p
q
V
V
1
1
V
F
1
0
F
V
0
1
F
F
0
0
ó
..
 Conectivos Lógicos: Se denominan conectivos lógicos a
aquellas palabras o términos funcionales que ligan, juntan, unen o
enlazan las proposiciones simples formando proposiciones
compuestas. Los operadores o conectores básicos son:
CONECTIVO
SÍMBOLO NOMBRE DE LA PROPOSICIÓN
No
~
Negación
Y
^
Conjunción
o

Disyuntiva inclusiva
o. . . o. . .

Disyuntiva exclusiva
Si… entonces...

Condicional
…si y sólo si …

Bicondicional
Es un conectivo singular. Se denomina proposición
Negación (~):
negativa aquella que cambia el valor de la proposición original. Se denota
por: ~p, -p, p y se lee: “no p”. La negación, puede traducirse como: Es
falso que... No es el caso que ... Jamás ...
Ejemplo:
p = La luna es un satélite.
~p = No es cierto que la luna es un satélite.
Conjunción:
Dadas las proposiciones “p”, “q”. La conjunción es el resultado de unir
estas proposiciones con el conectivo lógico “y”. Se denota con el
símbolo: “”, “”, se escribe “p  q”, “p  q” y se lee: “p y q”. La
proposición conjuntiva es verdadera. Cuando las dos proposiciones son
verdaderas. En nuestro lenguaje podemos emplear: Sin embargo… Aún
cuando… No obstante… Pero, etc.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes proposiciones:
p: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque”
q: “Tiene corriente la batería”
Entonces:
p  q: “La camioneta enciende cuando tiene gasolina en el tanque y
tiene corriente la batería”
Disyunción:
Es una proposición compuesta formada por “p” y por “q” relacionadas por
el conectivo lógico “o”. Según el sentido del conectivo “o”, se puede
interpretar de dos maneras: inclusiva o exclusiva.
Disyunción Inclusiva o Débil: Se denota por “p  q”, “p + q” y se lee:
“p o q”. La disyunción inclusiva es falsa sólo en el caso que ambas
proporciones sean falsas. Se conoce como la suma lógica. Otras formas
de conexión que nos indican una disyunción inclusiva son:
A menos que, Excepto que, O en todo caso, A no ser que, etc.
Ejemplo: Consideremos:
p : “La USS es privada”
q : “La USS es estatal”
Entonces:
p  q: “La USS es privada o en todo caso la USS es estatal”
Disyunción Exclusiva o Fuerte:
Se denota por: “p  q”, “p V q”, “p  q”, “p q”, “p q” y se lee: “p o q”
pero no ambos. La disyunción exclusiva es verdadera sólo cuando una
de las proposiciones es verdadera. Alguna formas de conectivos a
emplear son:
O ... o ...
O bien ... o bien ...
... no equivale a ...
No es cierto que...equivale a...
O solo .... o solo ....
Ejemplo: Consideremos:
p : “viajo a España”
q : “viajo a Brasil”
Entonces:
p  q : “O viajo a España o viajo a Brasil”
Condicional:
Proposición compuesta que resulta de la combinación de dos
proposiciones simples, a través del conectivo: “Si ..., entonces ...” y su
símbolo es : “”, “”. La notación “p  q”, “p  q” se lee “Si p ,
entonces q” ; proposición “p” se llama antecedente o hipótesis y la
proposición “q” se llama consecuente o conclusión.
La manera de expresar la condicional en el orden antecedenteconsecuente (“p  q” Implicación directa), son las siguientes:
Si p, entonces q
p implica q
p por ende q
Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente (“q
 p” Implicación inversa), son:
q siempre que p
Sólo cuando p, q
q cada vez que p
Ejemplo: consideremos:
p : “Llueva”
q : “Mejorarán las cosechas”
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica queda indicado por:
p  q : “Siempre que llueva entonces mejoraran las cosechas”
q  p : “Mejoraran las cosechas siempre que llueva”
Bicondicional:
Cuando dos proposiciones están unidas por el conectivo lógico “... si y
sólo si ...”, cuyo símbolo es: “”, “”, “”. La proposición compuesta
se denota por: “p  q”, “p  q”, “p  q” y se lee: “p si y sólo si q”. La
proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son
falsas o bien ambas verdaderas.
También se suele emplear expresiones como:
…siempre y cuando…
Si y sólo si p, q
…por lo cual y según lo cual…
…es lo mismo que…
Ejemplo: Consideremos:
p : “Los bancos dan crédito”
q : “Mirta labora en el IFB”
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica queda indicado por:
p  q : “Los bancos dan crédito siempre y cuando Mirta labora en el
IFB”.
RESUMEN DE TABLAS DE VERDAD
p
q
~p
pq
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
pq
p q
p q
pq
F
V
F
V
F
F
VALORACIÓN DE
PROPOSICIONES
Hasta el momento hemos conocido la simbolización de las
proposiciones tanto atómicas como las proposiciones moleculares.
Para determinar los valores de verdad a las segundas, es necesario
tener en cuenta las tablas de verdad de las proposiciones atómicas ya
que, sólo ellas pueden recibir directamente los valores de verdad.
Considere los siguientes ejemplos:
 Si los alumnos aprueban todos los cursos, entonces obtienen su
objetivo o tienen buenas notas.
Tenemos las proposiciones:
p : “Los alumnos aprueban todos los cursos”
q : “Obtienen su bachillerato”
r : “Su titulo”
Se simboliza:
p  (q  r)
LA TABLA DE VERDAD PARA EL ESQUEMA MOLECULAR,
ESTA DADO POR:
p
q
r
p

(q  r)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
Contingencia: Aquella expresión, que en su conectivo principal resulten
valores verdaderos y falsos a la vez, para todas las posibles asignaciones
de la tabla de verdad.
 Siempre
que salga el sol entonces iremos a la playa, sin embargo sale
el sol. Por tanto iremos a la playa.
Tenemos las proposiciones:
p : “Sale el sol”
q : “Iremos a la playa”
Se simboliza:
(p  q)  p  q
La tabla de verdad para el esquema molecular, esta dado por:
(p  q)  p
q
p
q
V
V
V
VV VV
V
F
F
FV VF
F
V
V
FF VV
F
F
V
FF VF
Tautología: Una expresión es
tautológica, cuando los valores de su
conectivo principal resultan ser
verdaderos,
para
todas
las
asignaciones posibles de la tabla de
verdad.
La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos
pero los analistas en economía buscan soluciones, a pesar de que la
crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos.
Tenemos las proposiciones:
p : “La crisis mundial afecta a los países de bajos
recursos económicos”
q : “Los analistas en economía buscan soluciones”
 p : “La crisis mundial no afecta a los países de bajos
recursos económicos”
Se simboliza:
(p  q)   p
LA TABLA DE VERDAD PARA EL ESQUEMA MOLECULAR,
ESTA DADO POR:
(p  q)  p
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F V
F
F
F
F V
Contradicción: La expresión resulta ser una contradicción, cuando
los valores de su conectivo principal resultan ser falsos, para todas
las asignaciones posibles de la tabla de verdad.
EJERCICIOS APLICATIVOS
 Formaliza las siguientes proposiciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
No es cierto que no me guste estudiar
Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.
Si los gatos de mi hermana no soltaran pelo, me gustaría acariciarlos.
Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida
extraterrestre.
Cajamarca es una ciudad minera por excelencia de modo que invertir en
minería es la mejor opción.
Cuando la producción de una empresa aumenta, en consecuencia aumenta
la productividad y en algunos casos la demanda.
Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y
no tengo que ir a trabajar al banco.
SOLUCIÓN
Solución (1):
Se simboliza:
Solución (2):
Se simboliza:
Solución (3):
Se simboliza:
Solución (4):
p = Me gusta estudiar
¬(¬p)
q = Me gusta bailar
r = Me gusta leer libros de ciencia ficción
q∧r
u = Los gatos de mi hermana sueltan pelo
t = Me gusta acariciar los gatos
¬ut
p = Ver un marciano con mis propios ojos
q = Creer en los extraterrestres
Se simboliza:
p⇔q
Solución (5):
q = Cajamarca es una ciudad minera por excelencia
p = Invertir en minería es la mejor opción
Se simboliza:
qp
Solución (6):
p = Cuando la producción de una empresa aumenta
q = Aumenta la productividad
r = En algunos casos la demanda
Se simboliza:
p (q ∧ r)
Solución (7):
s = Prefiero ir de vacaciones
t = Sin hacer nada
p = Tener tiempo para ello
q = Ir a trabajar al banco
Se simboliza:
(p ∧ ¬ q )  (s v t )