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UTN – Facultad Regional Bahía Blanca
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
María Mercedes Marinsalta
.
Sistemas de Ecuaciones lineales.
Índice de temas
1.-Introducción ________________________________________________________ 2
1.1.-Ecuación lineal de 1er grado en una o más incógnitas. ____________________ 3
1.2.-Solución de una ecuación lineal. ______________________________________ 4
1.3.-Sistema de una Ecuación con una Incógnita. ____________________________ 4
2.-Resolución de Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. ___________________
2.1.-Método de Leibnitz- Cramer. ________________________________________
2.2.-Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por inversión de matrices_____
Sitio web sugerido ____________________________________________________
4
4
6
7
3.-Teorema de Rouchè – Frobenius _______________________________________ 8
3.1.-Sistemas Incompatibles. ____________________________________________ 8
3.2.-Sistemas Compatibles. _____________________________________________ 8
4.-Resolución de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.___________________ 9
Sitios web sugeridos __________________________________________________ 10
5.-Sistema homogéneos. ________________________________________________
5.1.-Resolución de sistemas homogéneos. _________________________________
5.2.-Sistemas Compatibles Determinados. _________________________________
5.3.-Sistemas Compatibles Indeterminados. _______________________________
13
13
13
13
6.-Método de Gauss o de eliminación. ____________________________________ 15
6.1.-Resolución de sistemas lineales por el método de Gauss en forma matricial. __ 15
6.2.-Método de Gauss-Jordan. __________________________________________ 16
Presentación del material.
Estas notas de curso están destinadas a los alumnos de primer año de las carreras de
ingeniería y contienen material teórico y ejemplos que sirven de referencia para la
resolución de los trabajos prácticos planteados por la cátedra. Ambos materiales son
complementarios y se recomienda su utilización en simultáneo.
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Sistemas de Ecuaciones lineales.
En el centro del álgebra lineal, y en gran parte de la matemática aplicada, se halla el
problema de la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Estudiaremos las técnicas de resolución y el análisis de los sistemas de ecuaciones
lineales como herramientas fundamentales para comprender los conceptos del álgebra
lineal y plantear muchos de los problemas que se presentan en ingeniería y otras ciencias.
Por ejemplo: el análisis de circuitos eléctricos, las estructuras de redes y sus posibles flujos
en le área de transporte, de comunicaciones, económicas, las cargas que pueden soportar
distintas estructuras, el balanceo de reacciones químicas, etc.
1.-Introducción
Comencemos viendo algunos ejemplos simples de aplicación:
Un comercio tiene 5 empleados, cada uno de ellos cobra la hora de trabajo a un valor
diferente y trabajan distinta cantidad de horas semanales, según se muestra en la siguiente tabla:
Empleado
Juan
Andrés
Martín
Mauricio
Ailén
Salario por hora
5,60
4,90
4,50
5,50
5,20
Cant. de horas por semana
x1
x2
x3
x4
x5
El salario total semanal ( S) estará dado por:
S=
+
+
+
+
Esta es una ecuación lineal en ......variables.
Plantear y resolver el sistema de ecuaciones correspondiente al siguiente problema:
Deben comprarse arandelas y tornillos de modo que tengan dos arandelas por cada tornillo.
Si el precio de cada tornillo es $2 y el precio de cada arandela $1 y se poseen $240.
¿Cuántas tornillos y arandelas pueden comprarse?
Incógnitas: x: número de tornillos
y: número de arandelas
1º ) ⎧2 x + y = $240
⎨
2 º ) ⎩2 x = y
2x = y → 2x + 2x = 240
4x = 240
60
x = 240 = 60 tornillos
4
∴ y = 120 arandelas
Ejemplo de aplicación a la Geometría.
Hallar el punto de intersección de estas líneas rectas: x-2y = 0
Gráficamente:
2
y
2x+4y =8
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El punto de intersección debe satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente. Resolviendo el
sistema por sustitución obtenemos que la solución es x = 2
y y=1 ,
Ejemplo de aplicación a la Ingeniería Industrial.
Una perfumería produce un perfume en dos fragancias: Opaline y Opaline Extra en grandes
lotes. Un lote de Opaline contiene 1 Ton. de esencia y 16 toneladas de alcohol, el lote de Opaline
Extra contiene 2 Ton. de esencia y 16 Ton de alcohol. Se dispone en existencia: 12 Ton de esencia
y 112 Ton de alcohol, se desea utilizar todas las existencias.¿ Cuántos lotes de cada tipo de perfume
se pueden producir.?
Llamemos x1 al número de lotes de Opaline y x2 el número de lotes de Opaline Extra.
Obsérvese que si las cantidades de la existencia fueran distintas podría no existir una solución con
números enteros. Deberían aplicarse otros métodos para determinar un programa de producción
que utilizase la mayor parte del inventario.
Ahora podrá resolver los ejercicios Nº 1 y Nº 2 del trabajo práctico que se proponen para
practicar la transformación de enunciados verbales en su representación matemática como
ecuaciones y sistemas de ecuaciones y de esta forma facilitar su resolución.
Estudiaremos :
• Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
• Sistemas de n ecuaciones con m incógnitas.
• Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
1.1.-Ecuación lineal de 1er grado en una o más incógnitas.
Es aquella expresión algebraica que relaciona coeficientes literales o numéricos con una o más
incógnitas, tal que las mismas estén todas elevadas a la 1ª potencia.
Se llama ecuación lineal en una o más variables a todo polinomio de primer grado en dichas
variables igualado a cero.
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 +.................+ an x n+ a0= 0
∴a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 +.................+ an x n= k1
Si llamo k1 = - a0
Por lo tanto:
a11 x1 + a 12 x2 + a 13 x3 +.................+ a 1n x n=k1
a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 +................+ a 2n x n=k2
a31 x1 + a 32 x2 + a 33 x3 +.................+ a 3n x n=k3
:
:
:
:
am1 x1 + a m2 x2 + a m3 x3 +................+ a mn x n=km
3
Sistema de m ecuaciones
con n incógnitas
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1.2.-Solución de una ecuación lineal.
Se llama solución de una ecuación lineal de orden n al conjunto de n valores: x1, x2, x3,. . . . . . ,
xn que satisfacen la ecuación.
Análogamente.
El conjunto de n valores x1, x2, x3, . . . . . . . . . , xn que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones
son solución del Sistema Lineal de Ecuaciones.
1.3.-Sistema de una Ecuación con una Incógnita.
a11≠ 0 ⇒ x1= k1 /a11{Admite Solución. Sistema Compatible Determinado.
Solución única.
a11 x1= k1
a11=0 ⇒
k1=0 ⇒ 0.x1=0{Admite más de una solución. Sistema Compatible
Indeterminado.
k1≠0 ⇒ 0.x1=k1≠0 {No tiene solución . Sistema Incompatible.
2.-Resolución de Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
Sistemas regulares
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es regular si se trata de un sistema de n
ecuaciones con n incógnitas, y si la característica de la matriz del sistema es igual a n.
Esto es: un sistema regular tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y si Δ es el
determinante de la matriz del sistema se verifica que Δ ≠ 0.
2.1.-Método de Leibnitz- Cramer.
Este método se aplica exclusivamente a sistemas regulares de ecuaciones. Sea :
⎧a11
⎪⎪a
21
I⎨
⎪M
⎪⎩a n1
x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1
x1 + a 22 x2 + .... + a 2n xn = b2
x1 + a n2 x2 + .... + a nn xn = bn
con:
a11 a12 L a1n
Δ = a 21 a 22 L a 2 n ≠ 0
a n1 a n 2 L a nn
Multiplicando la primera ecuación por A11 (adjunto de a11) la segunda ecuación por
A21.... la última ecuación por An1 y sumando miembro a miembro obtenemos:
x1 ( a11 A11 + a 21 A21 + L + a n1 An1 ) +
+ x 2 ( a12 A11 + a 22 A21 + L + An2 An1 ) +
M
+ x n ( a1n A11 + a 2n A21 + L + a nn An1 ) =
= b1 A11 + b2 A21 + L + bn An1 (1)
Observemos que el coeficiente de x1 en esta ecuación es igual al determinante Δ
(desarrollado por la primera columna) y que los coeficientes de las demás incógnitas son
todos nulos (suma de los elementos de una línea multiplicados por los adjuntos de los
elementos de una paralela).
Por consiguiente la ecuación (1) se reduce a:
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Δx1 + 0 x 2 + L + 0 x n = b1 A11 + b2 A21 + L + bn An1
Si representamos Δ1 al determinante que se obtiene reemplazando la primera columna del
determinante Δ por ( b1 , b2 , L bn )
b1
a12 .... a1n
b2
a 22 .... a 2 n
M
bn
M
an2
= Δ1
a nn
se verifica que Δ 1 = b1 A11 + b2 A21 + .... + bn An1 por consiguiente (1) se puede
escribir
Δx1 + 0 x1 L + 0 x n = Δ 1
Por lo tanto:
Δ1
x1 =
Δ
Análogamente multiplicando la primera ecuación por A1j, la segunda por A2j, … la última
por Anj y sumando, obtenemos otra ecuación (j) que es consecuencia del sistema dado.
(y esto vale para j = 1, 2, 3, … n)
Δ
Δ2
L xn = n
Δ
Δ
Podemos afirmar que el sistema regular dado es determinado y el valor de cada incógnita se
obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el determinante formado sustituyendo
en éste por los términos independientes, la columna de los coeficientes de dicha incógnita.
x2 =
Ejemplo1:
Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos
incógnitas:
Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.
Calculamos el determinante de A.
Luego calculamos las incógnitas:
Ejemplo2:
Resolver el siguiente sistema:
⎧ 2 x1 + 5 x2 + 4 x3 =8
⎪
⎨− 3x1 + x2 + 2 x3 = 5
⎪ x + Ox − 5 x = −1
2
3
⎩ 1
n=m=3
Δ ≠ 0 ∴ es regular
5
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Δ1
79
=
= −1
Δ − 79
Δ
− 158
x2 = 2 =
=2
Δ
− 79
Δ
0
x3 = 3 =
=0
Δ − 79
x1 =
∴ Solución (-1,2,0)
Ejemplo 3
Puede resolver el ejercicio Nº 3 del trabajo práctico
2.2.-Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por inversión de
matrices.
Dado:
⎧a11
⎪⎪a
21
I⎨
⎪M
⎪⎩a n1
x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1
x1 + a 22 x2 + .... + a 2n xn = b2
x1 + a n2 x2 + .... + a nn xn = bn
El sistema (I) puede escribirse en la forma matricial A. X = B ,
( )
A = aij ∈ M mxn ( K ) .
Si m = n y det (A) ≠ 0 entonces el sistema es compatible determinado.
En notación matricial:
⎡ a11 a12 L a1n ⎤
⎢
⎥
M
⎢M
⎥
⎢⎣ a m1 a m2 L a mn ⎥⎦
⎡ x1 ⎤ ⎡b1 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ x 2 ⎥ = ⎢b2 ⎥
⎢⎣ x n ⎥⎦ ⎢⎣bn ⎥⎦
A. X = B
A−1 . A. X = A− 1 . B
X = A− 1 . B
Adj( AT )
,
Teniendo en cuenta este resultado y que A =
det ( A)
−1
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⎛ A11 A12 . .
⎛ x1 ⎞
⎜
⎜ ⎟
⎜ A21 A22 . .
⎜ x2 ⎟
1
⎜ .
.
. .
Se tiene ⎜ . ⎟ =
⎜ ⎟ det ( A) ⎜
.
. .
⎜ .
⎜ .⎟
⎜
⎜ ⎟
⎝ An1 An 2 . .
⎝ xn ⎠
Ejemplo1:
Resolver mediante Inversión de matrices:
3 x1 - 2 x2 = 1
4 x1- 3 x2 = - 2
A1n ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜ ⎟
A2 n ⎟ ⎜ b2 ⎟
. ⎟ .⎜ . ⎟ =
⎟⎜ ⎟
. ⎟ ⎜ .⎟
⎟⎜ ⎟
Ann ⎠ ⎝ bn ⎠
Ejemplo 2 :
Sistema resuelto utilizando Inversión de matrices
Ejemplo 3:
⎧ 2 x − 6y = 3
⎪
Resolver el siguiente sistema utilizando Inversión de matrices : ⎨ x − 3 y + z = 2
⎪
2 y − 3z = −1
⎩
Sitio web sugerido
En la siguiente dirección encontrarás videos explicativos de los distintos métodos vistos:
http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al02.htm
7
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Ya está en condiciones de resolver los ejercicios Nº 4-5-6 y 7 del trabajo
práctico
3.-Teorema de Rouchè – Frobenius
La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
de la forma (I) tenga solución es que la característica de la matriz A sea igual a la
característica de la matriz ampliada de A= (A´)
Car A = Car A´
⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ..... + a 1 n x n = b1
⎪ a x + a x + .... + a x = b
⎪
22 2
2n n
2
( I ) ⎨ 21 1
⎪M
⎪⎩ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = b m
⎡ a11
⎢a
21
con A´= ⎢
⎢ ...
⎢
⎣a m1
b1 ⎤
a 22 ... a 2 n b2 ⎥
⎥ se llama
... ... ... ... ⎥
⎥
a m2 ... a mn bm ⎦
matriz ampliada de A pues se le agrega la columna de los términos independientes.
a12
... a1n
3.1.-Sistemas Incompatibles.
Son aquellos que no verifican el teorema anterior, es decir que la característica de la matriz
A es distinta de la característica da la matriz ampliada de A.
Car A≠Car A′
3.2.-Sistemas Compatibles.
Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, con Car A = h
⎧
⎧h=n(Compatible Determinado )
⎪Si Car A=Car A′(Sistema compatible )⎨
⎨
⎩h < n (Compatible indeterminado )
⎪Si Car A≠Car A′(Sistema incompatible) )
⎩
Si el sistema es compatible determinado las soluciones se calculan por Cramer o por
inversión de matrices.
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Ejemplos:
Discutir y resolver el siguiente sistema:
Car A= 2
CarA´=3
′
. Car A≠Car A
No
⇒
Sistema Incompatible. No tiene Solución
Car A= 3
CarA´=3
′
. Car A=Car A
No
⇒
Sistema Compatible. Tiene Solución
La solución es única pues la cantidad de incógnitas también es 3
Puede resolver el ejercicio Nº 8 del trabajo práctico
4.-Resolución de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.
Dado un sistema
⎧a11 x1 +L+ a1h xh + ... + a1n xn = b1
⎪a x +L+ a x + ... + a x = b
2h h
2n n
2
⎪ 21 1
⎪M..................................................
⎨
⎪a h1 x1 +L+ a hh xh + ... + a hn xn = bh
⎪....................................................
⎪
⎩a m1 x1 +L+ a mh xh + ... + a mhn x n = bm
1º Paso.
Por el teorema anterior, si la Car A= Car A´= h habrá un determinante de orden h≠ 0
extraído de A.
a 21
a12 ......... aih
a 22 ......... a 2h
M
M
a h1
a h2 ......... a hh
a`11
Δ=
≠0
2º Paso
Se escriben las h ecuaciones cuyos coeficientes integran el Δ.
3º Paso.
Se dejan en el primer miembro aquellas h incógnitas cuyos coeficientes integran el Δ ≠ 0
⎧a11 x1 + L + a1h x h = b1 −...+ a1n x n
⎪a x + L + a x = b −...+ a x
⎪ 21 1
2h h n
2
2n
⎨
⎪M
⎪⎩a h1 x1 + L + a hh x h = bh −...+ a hn x n
y habrá n-h incógnitas arbitrarias que actúan como parámetro.
Ejemplo 1:
Plantear que tipo de sistema es utilizando el Teorema de Rouchè- Frobenius y luego
resolver:
⎧ x1 − x 2 + 2 x 3 = 3
⎪
⎨ x1 + x 2 − 2 x 3 = 1
⎪ x + 3 x − 6 x = −1
2
3
⎩ 1
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Sitios web sugeridos
Recuerda que en siguiente dirección encontrarás videos explicativos
http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al02.htm#2#2
Ingresa a los siguientes enlaces:
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
Primera radiografía de un SLH indeterminado
Segunda radiografía de un SLH indeterminado
Tercera radiografía de un SLH indeterminado
Primera radiografía de un SLNH indeterminado
Segunda radiografía de un SLNH indeterminado
Tercera radiografía de un SLNH indeterminado
Puede resolver el ejercicio
Veamos este ejemplo tomado
Nº 9 del trabajo práctico
de:http://www.terra.es/personal2/jpb00000/trouchefrobenius.htm
Discute el siguiente sistema, según los valores de a, y resuelve el sistema en cada caso:
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Ejemplo 2 : dado el sistema de ecuaciones lineales:
discútelo para los distintos valores del parámetro y resuélvelo cuando sea compatible.
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5.-Sistema homogéneos.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos
independientes son nulos. Simbólicamente un sistema homogéneo de m ecuaciones por n
incógnitas es de la forma:
⎧a11 x1 + a12 x 2 +.....+ a1n x n = 0
⎪a x + a x +....+ a x = 0
⎪ 21 1
22 2
2n n
⎨
...
M
⎪...
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 +....+ a mn xn = 0
O bien ai1x1 + ai2x2+…..+ainxn= 0 ( i=1,2,3,….m)
Si representamos el sistema anterior matricialmente será: A.X= Ο
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎡ a11 a12 ... a1n
⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 0⎥
⎢a
a 22 ... a 2 n
⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢ 21
⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢0⎥
⎢ ...
... ... ...
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣ 0⎦
⎣a m1 a m 2 ... a mn
5.1.-Resolución de sistemas homogéneos.
Para verificar la compatibilidad del sistema debemos aplicar el teorema de RouchèFrobenius.
⎡ a11 a12 ... a1n 0 ⎤
⎢a
a 22 ... a 2 n 0 ⎥
21
⎥
⎢
Siendo, en el caso de sistemas homogéneos la A´=
... ... ... ...⎥
⎢ ...
⎥
⎢
⎣a m1 a m 2 ... a mn 0 ⎦
Si analizamos la característica o rango vemos que siempre se va a verificar que:
Car A = Car A´= h
Conclusión: Un sistema homogéneo siempre tiene solución.
No existen sistemas homogéneos incompatibles.
Vemos que una solución del sistema es x1 = x2 = x3 =…= xn = 0
Debido a que un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial, analizaremos cuales
son las posibilidades:
5.2.-Sistemas Compatibles Determinados.
Si la característica de la matriz A es igual a n (número de incógnitas) y menor o igual que
m (número de ecuaciones), esto significa que va a haber h=n ecuaciones Linealmente
Independientes con n incógnitas.
CarA = h = n ≤m Sistema compatible determinado
Admite como solución única x1 = x2 = x3 =…= xn = 0
Se denomina solución trivial.
5.3.-Sistemas Compatibles Indeterminados.
Si en un sistema homogéneo, la Car A = h < n, hay entonces infinitas soluciones. En
efecto, se tendrán (n-h) incógnitas arbitrarias y h incógnitas que serán función de las
restantes (n-h).
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Teorema.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo, de m ecuaciones
con n incógnitas, tenga solución no nula es que la Car A sea menor que n es decir que el
determinante de la matriz A sea =0.
Ejemplo:
Sea el sistema:
⎧ 2x − y + z = 0
⎪3x + 2 y + z = 0
⎪
⎨
⎪ x + 3y = 0
⎪⎩5 x + y + 2 z = 0
Ejemplo de aplicación: Balance de una ecuación química
Durante el proceso de fotosíntesis de las plantas, con la presencia del sol convierten
el bióxido de carbono y el agua en glucosa y oxígeno.
Simbólicamente el proceso puede ser representado así:
Bióxido de carbono( CO2 ) + Agua( H 2 O ) → Glucosa( C6 H12 O6 ) + Oxígeno( O2 )
Balancear la ecuación química de la reacción, determinando los valores enteros más
pequeños para las variables, si denominamos:
x = la proporción bióxido de carbono presente ,
y = la proporción de agua presente,
w = la proporción de glucosa producida, y
z = la proporción de oxígeno producido.
La ecuación de la reacción química puede ser representada así:
x CO2 + y H 2 O → w C6 H12 O6 + z O2 .
Solución.
El número de átomos presente en un elemento químico está indicado mediante un
subíndice. Comparando la cantidad de átomos de cada elemento que hay en los reactantes y
los productos, obtenemos el siguiente sistema;
x
2x + y
2y
(1)
(2)
(3)
= 6w
= 6w + 2z
= 12w
x6w
2x + y - 6w - 2z
2y - 12 w
para balancear C
para balancear O
para balancear H
= 0
= 0
= 0
El sistema siempre será compatible pues es homogéneo.
Resolviendo obtenemos:
(4)
x = y = z = 6w .
Luego la ecuación balanceada será:
6 CO2 + 6 H 2 O → C6 H12 O6 + 6 O2
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.
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Ya está en condiciones de resolver los ejercicios Nº 10-11-12-14 del
trabajo práctico
6.-Método de Gauss o de eliminación.
Permite reducir un sistema de m ecuaciones con n incógnitas a un sistema equivalente
escalonado.
.
⎧a11 x1 + a12 x 2 + ..... + a1n x n = b1
⎧a11 x1 + a12 x 2 + ..... + a1n x n = b1
⎪ 0 + a x + .... + a x = b
⎪a x + a x + .... + a x = b
⎪
⎪ 21 1
22
2
2n
n
2
22
2
2n
n
2
⇒ I⎨
I⎨
⎪M
⎪M
⎪⎩0 + 0 + 0 + a mn x n = bm
⎪⎩a m1 x1 + a m2 x 2 + .... + a mn x n = bm
El método consiste en aplicar al sistema original (I) las llamadas operaciones elementales :
1) Intercambiar ecuaciones entre sí.
2) Multiplicar una ecuación por una constante no nula.
3) Reemplazar una ecuación por la que resulta de sumar a la misma otra
multiplicada por una constante.
Observación :
• Si en el proceso de las transformaciones obtenemos una ecuación en la que los
coeficientes de las incógnitas son iguales a 0 mientras que el término independiente es
diferente de 0, entonces el sistema es incompatible.
• Si no nos encontramos con tal ecuación el sistema será compatible. Será compatible
determinado si se puede reducir a una forma triangular (número de ecuaciones igual al
número de incógnitas) ; e indeterminado si se puede reducir a una forma trapezoidal
(número de ecuaciones menor que el número de incógnitas)
6.1.-Resolución de sistemas lineales por el método de Gauss en forma
matricial.
Consiste en transformar la matriz ampliada
operaciones elementales entre filas
⎡ a11 a12 ... a1n b1 ⎤
⎢a
a 22 ... a 2 n b2 ⎥
⎢ 21
⎥
⎢ ...
... ... ... ... ⎥
⎢
⎥
⎣a m1 a m2 ... a mn bm ⎦
Ejemplos esquemáticos:
Sistema n x n
⎡x x x x⎤
⎥
⎢
⎢ 0 x x x ⎥ Compatible determinado
⎢⎣ 0 0 x x ⎥⎦
de A (A´) en una matriz escalonada mediante
⎡x x x x⎤
⎥
⎢
⎢ 0 x x x ⎥ Incompatible
⎢⎣ 0 0 0 x ⎥⎦
⎡ x x x x x⎤
⎥
⎢
⎢ 0 x x x x ⎥ Incompatible
⎢⎣ 0 0 0 0 x ⎥⎦
Sistema m x n
⎡ x x x x x⎤
⎥
⎢
⎢ 0 x x x x ⎥ Compatible
⎢⎣ 0 0 x x x ⎥⎦ Indeterminado
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UTN – Facultad Regional Bahía Blanca
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
María Mercedes Marinsalta
.
⎡x x x x⎤
⎥
⎢
Compatible Indet
⎢ 0 x x x ⎥ Compatible
⎢⎣ 0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado
⎡ x x x x x⎤
⎥
⎢
⎢ 0 x x x x ⎥ Compatible
⎢⎣ 0 0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado
Nota: las x representan valores numéricos distintos de cero.
Ejemplo.
Resolver el siguiente sistema:
x + 2y + 3z = 9
4x + 5y + 6z = 24
3x + y - 2z = 4
Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz ampliada:
Luego aplicamos operaciones elementales entre filas para llegara a una matriz
equivalente escalonada.
(-4)R1 + R2
(-3)R1 + R3
R3
(-(1÷ 3))R2
R2
(-1)R3
R2
R3
(-5)R2 + R3
R3
Con la matriz final rearmamos al sistema de ecuaciones:
Que equivale al sistema original. Despejando y sustituyendo obtenemos la solución:
x = 4, y = -2, z = 3
6.2.-Método de Gauss-Jordan.
Consiste en transformar la A´ en una matriz canónica o reducida por filas mediante
operaciones elementales entre filas
Ejemplos esquemáticos:
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María Mercedes Marinsalta
.
Sistema n x n
Sistema m x n
⎡1 0 0 x ⎤
⎥
⎢
⎢0 1 0 x ⎥ Compatible
⎢⎣0 0 1 x ⎥⎦ Determinado
⎡1 0 0 x
⎢
⎢0 1 0 x
⎢⎣0 0 1 x
x⎤
⎥
x ⎥ Compatible
x ⎥⎦ Indeterminado
⎡1 0 0 x ⎤
⎥
⎢
⎢0 1 0 x ⎥ Incompatible
⎢⎣0 0 0 x ⎥⎦
⎡1 0 x x x ⎤
⎥
⎢
⎢0 1 x x x ⎥ Incompatible
⎢⎣0 0 0 0 x ⎥⎦
⎡1 0 0 x ⎤
⎢0 1 x x ⎥
⎥ Compatible
⎢
⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado
⎡1 0 x x x ⎤
⎥
⎢
⎢0 1 x x x ⎥ Compatible
⎢⎣0 0 0 0 0⎥⎦ Indeterminado
Ejemplo1:
Sistema compatible determinado resuelto por el método de Gauss
Ejercicio propuesto: resolver el siguiente sistema por el método de Gauss :
⎧ x + 2 y − z = −1
⎪
⎨ 4 x + 9 y − z = 14
⎪3x + 8 y + 2 z = 28
⎩
Ejemplo 2
Sistema compatible indeterminado resuelto por el método de Gauss
Ejemplo 3:
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María Mercedes Marinsalta
.
Sistema compatible determinado resuelto por el método de Gauss Jordan
⎧ x − y + z =11
⎪
⎨2 x− y − + z =5
⎪3 x +2 y + z =24
⎩
Solución: x = 4 y = 5 z = 2
⎧2 x − y + 2 z = 8
⎪
Ejercicio Propuesto: resolver por Gauss- Jordan ⎨3x + 2 y − 2 z = − 1
⎪5x + 3 y − 3z = 3
⎩
Más ejemplos resueltos con videos
http://www.matematicasbachiller.com/temario/sel/enuncia/seten02.htm
Ya está en condiciones de resolver el ejercicio Nº 13 del trabajo práctico
utilizando el método de Gauss y de plantear y resolver todos los ejercicios
restantes.
Si desea realizar una autoevaluación de sus conocimientos, en la página 9
de la guía de trabajos prácticos encontrará los enlaces a los sitios web sugeridos.
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