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Problemas Resueltos y Propuestos para el Control 3
FI33A Sección 02
Profesor Enrique Cordaro
P1.- Para algunos efectos ( piel húmeda, contactos de gran área) el cuerpo humano puede
simularse con el circuito de la figura [ J. P. Reily, Applied Bioelectricity, Springer,NY, 1998,ISBN0387-98407, p 40 ]. Si la persona esta sometida a una diferencia de potencial de 100 V entre la
línea y la tierra. Calcule la corriente en las siguientes configuraciones:
1)
2)
3)
4)
Una mano a la línea y la otra a tierra, el resto aislado.
Una mano a la línea y ambos pies a tierra.
Ambas manos a la línea y ambos pies a tierra.
Un pie a la línea y otro a tierra
RB
RB
RT
Resistencia del brazo RB = 500 
Resistencia del tronco RT = 50 
Resistencia de la pierna RP = 500 
RP
RP
En cada caso, describa una situación en que pueda ocurrir el
accidente considerado.
SOL:
La solución en cada caso se obtiene aplicando la ley de OHM, que dice que V  R  I
Así, en cada etapa se debe calcular la R total y aplicar OHM:
1.- RTOTAL=RB+RB=2RB=1000 []  I 
2.- RTOTAL=RB+RT+RP/2=800 []  I 
V
100V 

 0.1A  100mA
R 1000
V 100V 

 0.125A  125mA
R 800
3.- RTOTAL=RB/2+RT+RP/2=550 []  I 
4.- RTOTAL=RP+RP=2RP=1000 []  I 
V 100V 

 0.1818A  182mA
R 550
V
100V 

 0.1A  100mA
R 1000
1
P2.- Tenemos una esfera conductora perfecta de radio “a” y un sector de CASQUETE
ESFÉRICO de conductor perfecto de radio “b”, como se observa en la Figura. Entre
ambos electrodos hay un material conductor NO perfecto, de conductividad g.
Despreciando efectos de borde, calcule le resistencia del dispositivo entre A y B .
a
b
A
b
g

B
g
Sol:
Debemos darnos una corriente I con cierta dirección. Suponemos una batería conectada
entre el punto A (que corresponde al radio a) y el punto B (que corresponde al radio b). El
positivo se encuentra en el punto A y el “cero” en el punto B. Suponemos entonces una
corriente I entrando por el punto A. Luego, tendremos que:

 J
I
I
rˆ  E  
rˆ
Area
g Area  g
El área se calcula como un segmento de área de una esfera:

J
Area  
2
0


2

2

Luego, E 




r 2 sen( )dd  2r 2 2 sen( )d  4r 2 sen( )
2

I
rˆ
4r sen ( ) g
2
Luego, utilizando la relación entre voltaje y campo eléctrico tenemos que:
V ( A)  V ( B)  V0  
a
b
I
I
1 1
dr 
 ,
4gsen( )  a b 
4r sen( ) g
2
Luego,
como
R
V0
I
tenemos que:
R
ba

4gabsen( )
2
P3.- Se tienen dos discos concéntricos de
radios a y (b-a) respectivamente. Ambos están
cargados con densidades superficiales 1 y 2, y
giran a w1 y w2 respectivamente. En estas
condiciones calcule:
z
2
1
w1
w2
1. B total en un punto cualquiera del eje z y
en particular en el origen (z=0)
2. ¿Qué relación debe existir entre w1 y w2
para que el campo anterior sea nulo?
(Propuesto)
a
b
SOL:



 J  ( r  r )  dS 
Sabemos que el campo magnético para un superficie es: B ( r )  0  S
  3
4 


r  r
Nos definimos un campo para cada disco. Para el disco 1, tenemos que

r  zkˆ

r   rrˆ



B
d S   rdrd

(r ) 
1
0
4
2
a
0
0
 
w1 1rˆ  ( zkˆ  rrˆ)  rdrd
(z 2  r 2 )
3
2
J S1  w1 1rˆ


 B1 ( r ) 
 0 w1 1
2

a
0



 0 w1 1  a 2  2 z 2
ˆ=
(
r
)

 2 z  kˆ
k

B
3
1
2  a2  z2

(r 2  z 2 ) 2
r 3 dr
Análogamente, para el disco 2 tendremos

r  zkˆ

r   rrˆ


d S   rdrd 


B2 ( r )  
0
4
2
b
0
a
 
w2 2 rˆ  ( zkˆ  rrˆ)  rdrd
(z 2  r 2 )
3
2
J S 2   w2 2 rˆ


 B2 ( r )  
 0 w2 2
2


 0 w2 2  b 2  2 z 2  a 2  2 z 2   ˆ
ˆ
a (r 2  z 2 ) 3 2 k = B 2 ( r )   2  b 2  z 2   a 2  z 2   k



b
r 3 dr
3
Se tiene una caja en la cual se provoca un campo magnético constante de magnitud
B0 y dirección (x). En el extremo izquierdo de la caja se practica un orificio por el cual se
hace ingresar una carga de magnitud Q0 positiva con velocidad inicial V0 con dirección (y).
En estas condiciones y considerando el efecto de la gravedad g pero no efectos del roce, se
le pide calcular:
1. La distancia L a la que cae la carga al interior de la caja
2. La velocidad vertical con la que llega al suelo (recuerde que la velocidad horizontal
seguirá siendo V0)
3. Comente: ¿En qué sentido debiera ir otro campo magnético para que la velocidad
vertical fuera cero (o cercana a cero) al llegar al piso?
P4.-
B0
V0
z
Q0 , m
y
H
X
SOL:
L

 
FMag  qv  B  qvBˆj  iˆ  qvB(kˆ)
Sabemos que F
Grav  m g( kˆ)


 F  qv  B  mg  mz 
 ( qvB  mg )t  mz  A
1
t2
 ( qvB  mg )  mz  At  B
2
2
Las condiciones de borde son:
 para 1 la velocidad en t=0 es z  0 . Esto implica que A=0
 para 2 tenemos que en t=0 z=H, con lo cual B=-mH
t2
 mz  mH
Con esto obtenemos  ( qvB  mg )
2
Buscamos el t* en el que z=0 y obtenemos que t* 
entonces
z  V 
L=t*·V0
3
2mH
qvB  mg
y la velocidad vertical al llegar al suelo será :
(qvB  mg )
2mH
2(qvB  mg ) H

m
qvB  mg
m
3.- No existe dirección que logre esto, pues el producto cruz no dará nunca según (-j)
4
y
P5.- Se tiene cuadrado formado por un hilo
conductor, por el cual circula una corriente I, como
se indica en la figura. Calcule el campo magnético
en el centro del cuadrado.
I
a
x
a
Solución:



 I d r 1  (r2  r1 )
Por ser un hilo conductor usamos B (r2 )  0 
  3
4 


r2  r1
Como el problema presenta simetría, calculamos el campo producido por uno de los
alambres y luego multiplicamos por 4.
Así tenemos:
y

r2  0

a
r1  iˆ  yˆj
2
I
1
a


x
d r1  dyˆj

a

 0 I 2 d r 1  (0  r1 )
(
0
)

B1
 3
4 a

0  r1
2
a
a
a
ˆ
ˆ ˆ
 0 I 2 dyj  ( 2 i  yj )
 B1 (0) 
3
2
4 a 
2
2

2



B (0) 
1

B
(0)  4
  a   y 
 2 



0 I 2 ˆ
k
2a

B (0)
1
5
P6.- Considere una espira formada por dos semicírculos coplanares, concéntricos, de
radios a y b (a<b), respectivamente, unidos por dos segmentos rectilíneos, como se indica
en la figura. Suponga que por la espira circula una corriente I.
1. Calcule el campo magnético producido por
 la espira en el centro de los semicírculos.
2. Calcule el potencial vectorial magnético A en el centro de los semicírculos.
y
I
b
a
x
I
Solución:



 I d r 1  (r2  r1 )
Planteamos la fórmula del campo magnético: B (r2 )  0 
  3
4 


r2  r1
En nuestro caso tenemos para el segmento de radio b que:

r2  0

r1  brˆ  b(cos( )iˆ  sen( ) ˆj )

d r1  bd ( sen( )iˆ  cos( ) ˆj )
Así, reemplazando, tenemos que:

 I bd ( sen( )iˆ  cos( ) ˆj )  b((cos( )iˆ  sen( ) ˆj ))
3
B b (0)  40 0
b


2
2
 I d ( sen ( )kˆ  cos ( )kˆ)  0 I ˆ
 Bb (0)   0 

k
4 0
4b
b

Análogamente para el segmento de radio a:

r2  0

r1  arˆ  a(cos( )iˆ  sen( ) ˆj )

d r1  ad ( sen( )iˆ  cos( ) ˆj )


B

(0)  
a
 0 I ad ( sen( )iˆ  cos( ) ˆj )  a((cos( )iˆ  sen( ) ˆj ))
 I
  0 kˆ
3

4 0
4a
a
6
Para los segmentos rectos tenemos que:
y
A
I
B
I
x
-b
-a
a
b
Se plantean las ecuaciones como sigue para el segmento A y luego para el B:

r2  0
 I
B A (0)   40


r1   xiˆ

d r1  dxiˆ
a

dxiˆ  ( xiˆ)
b
x
3
0

r2  0
 I dxiˆ  ( xiˆ)
B B (0)   40 a x 3  0
b


r1  xiˆ

d r1  dxiˆ
Finalmente, obtenemos que:

B (0) 
0 I ˆ 0 I ˆ 0 I  a  b  ˆ
k
k

k
4b
4a
4  ab 
2. El cálculo se realiza con la definición del potencial vectorial magnético

 I
d r1
A(r2 )  40   


r2  r1
la definición de los radios vectores es análoga a la anterior
7
P7.Se tiene un cilindro macizo de radio R y altura H gira a una velocidad W 0 en torno
a su eje de simetría. En la superficie del cilindro se encuentra uniformemente distribuido

una carga superficial 0. La densidad de carga volumétrica es nula. Se le pide calcular B en
cualquier punto del eje de simetría.
Hint: Recordar que el
campo magnético de una
espira en cualquier punto
del eje esta dado por
3
 
B  0 I sen ( )kˆ
2R
W0
R
R
H
0
I


SOL.
Una forma de hacerlo, y no la única, es la siguiente. Se plantea que sen( ) 
R
2
R Z

3

  0 dI 
R
Luego, tenemos que dB 
3
2
2R   2
2

R  Z 


2


kˆ



con dI  J  dz   0 w0 R  dz
3
3
  J
 wR
R dz
R dz
kˆ  0 0 0
kˆ
Finalmente sólo basta resolver B  0
3
3
2
2
2
2R  2
2
R
2
2
 R  Z 
 R  Z 






8
Problemas Propuestos
P8.- Considere un dispositivo de simetría
cilíndrica que consta de un conductor cilíndrico
macizo de radio 3a rodeado de un conductor
cilíndrico de radio interior 4a y radio exterior 5a.
Por el conductor interior circula una densidad de
5a
J
J
4a
3a

corriente J  J 0 kˆ y por el cilindro exterior circula
una densidad de corriente de igual magnitud, pero

distinto sentido. Calcular B en todo el espacio.
P9.- Se tiene un cilindro de radio a, de un material conductor imperfecto de
conductividad g que además posee una constante dieléctrica .
i)
Demuestre la relación RC 

g
para un material conductor imperfecto de geometría
arbitraria
ii)
Para el cilindro dado en el enunciado, encuentre los valores de R y C entre los
extremos A y B
 g
a
A
B
Ç
L
9
P10.- Encuentre el circuito equivalente y las características circuitales (R,C) del siguiente
sistema y explique apoyándose en gráficos de carga y corriente la forma en que se cargara
el sistema al conectar una batería ideal que entrega un voltaje Vo
V0
c
2
1, g1
b
a
L
10