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1. La fuerza magnética
2. La ley de Lorentz
3. Las corrientes y la densidad de corriente
4. La ecuación de continuidad
5. La densidad de corriente y la fuerza magnética
6. La ley de Biot-Savart
7. La divergencia de B
8. El rotacional de B
9. La ley de Ampere
10.El potencial magnético o potencial vectorial
11.El teorema de Stokes
12.Las ecuaciones de Maxwell para la magnetostática
13.Las condiciones de frontera
  E   / 0
 E  0
B  0
  B  0 J
  E   / 0

B  0
No existen monopolos magnéticos
E  0 
  B  0 J (Ley de Ampere)
El campo magnetostático no es conservativo

0
t
J  0
Corriente estacionaria
B  0
  B  0 J
f  E  J  B
•No existen los monopolos magnéticos.
A diferencia del campo electrostático donde la
carga eléctrica aislada es el monopolo
 B  0
•El carácter vectorial es mucho más
complicado
B
E
v
q

F q EvB


F q EvB

El campo magnético es un campo
vectorial definido por la fuerza
magnética o de Lorentz
N s Weber
 B   C m  m2  Tesla
Dina


=Gauss 
  B 
StatC


SI:
Weber
Ns
Tesla=

2
m
Cm
CGS:
Dina
Gauss=
Statcoulomb
4
1 Tesla=10 Gauss
•In outer space the magnetic flux density is between 10-10 T and 10-8 T,
•In the Earth's magnetic field at latitude of 50° is 2 · 10-5 T and on the
equator at a latitude of 0° is 3.1 · 10-5 T,
•In the magnetic field of a huge horseshoe magnet 0.001 T,
•In medical magnetic resonance imaging up to 4 T,
•In a sunspot 10 T,
•Strongest continuous magnetic field yet produced in a laboratory (Florida
State University's National High Magnetic Field Laboratory in Tallahassee,
USA), 45 T
•Strongest (pulsed) magnetic field yet obtained non-destructively in a
laboratory (Koichi Kindo at Osaka University), 80 T,
•Strongest (pulsed) magnetic field ever obtained (with explosives) in a
laboratory (Sarov, Russia), 2800 T,
•On a neutron star 106 T to 108 T,
•On a magnetar, 108 to 1011 T,
•Maximum theoretical field strength for a neutron star, and therefore for any
known phenomenon, 1013 T.
Un protón se mueve a 106 m/s en la dirección horizontal
en un campo magnético de 0.26 Weber/m2 que entra en
el papel . ¿Qué fuerza se ejerce sobre él?
B
v

F q EvB

e  1.6  1019 C
B  0.26 Weber/m 2  0.26 Tesla
v  106 m/s
Un protón se mueve a 106 m/s en la dirección horizontal
en un campo magnético de 0.26 Weber/m2 que entra en
el papel . ¿Qué fuerza se ejerce sobre él?
F
B
v
F  qv  B
F  (1.6  10
19
 6 m
14 ˆ
ˆ
ˆ


C) 10
0.26
Tesla
i

(

k
)

4.16

10
jN



s

F  4.16 1014 ˆj Newton
J
Es un campo vectorial que nos dice la
cantidad de carga que pasa por la unidad
de área en la unidad de tiempo
C
Amp
J   2 
  m s
m2
   StatC StatA 
=
 J  
2
2 
cm s cm 

S
n̂
q
t S
vt
q   v t S  nˆ
q
  v  nˆS
t
Por tanto, la densidad de corriente es
J  v
q
  v  nˆ
t S
Es la carga total que pasa por unidad de
tiempo a través de una cierta superficie S
ˆ
I   J  ndS
S
C
 I  = s  Ampere
StatC


=StatA 
I =
s


Q
j
n̂
d
ˆ
 Q dentro de la superficie    J  ndS
dt
cualquier
superficie
cerrada
d
ˆ
 Q dentro de la superficie    J  ndS
dt
cualquier
superficie
cerrada
 Q dentro de la superficie 

 dV
Dentro de la superficie
Usando el teorema de Gauss

cualquier
superficie
cerrada
ˆ 
J  ndS

Dentro de la superficie
  JdV
Así que
d
 dV  
  JdV


dt Dentro de la superficie
Dentro de la superficie

dV  
  JdV


t
Dentro de la superficie
Dentro de la superficie
 




J
dV

0

 t

Dentro de la superficie
   J  0
t
Corriente estacionaria:
La ecuación de continuidad:
por lo tanto

0
t
J  0

0
J 
t

 
F (r )
E (r )  lim
cuando Q  0
Q
El campo eléctrico en el punto P es la
fuerza que sentiría en ese lugar una
carga de +1 coulomb
Newton
 E   Coulomb
F  Q E
F Q

E
V
V
f  E
La fuerza en cada partícula

F q EvB

Numero de partículas por unidad de volumen: N
Por tanto

F   N V   q E  v  B


F   N V   q E  v  B

pero
Nq  
Nqv  J
así que




F  NqE  Nqv  B V   E  J  B V


F   E  J  B V
La fuerza por unidad de volumen es entonces
f  E  J B
f  J B
B
v
l
A
F   J  B dV
V




F  J  B  V  J  B  AL
pero
AJ  I
y por tanto
F  I  BL
y la fuerza por unidad de longitud en el alambre es
I B
Por tanto,
F


I
alambre 


 B  dl

Z
B  B0 kˆ
Y
J
X
I  Iiˆ
  I  B  dl
F
alambre
L


L


F   Iiˆ  B0 kˆ dx  IB0  iˆ  kˆ dx   IB0 ˆjL
o
0
F   IB0 L ˆj
Z
B  B0kˆ
Y
F
X
I
F   IB0 L ˆj
I
B

F
X
Z
Y
F   IB0 L ˆj
Z
B  Bx iˆ  Bz kˆ
Y
I
a
X
b
b
I
a
B 
I
F
  I  B  dl
espira
F
  I  B  dl
espira

a

b


 I   ˆj  Bxiˆ  Bz kˆ  dy  I  iˆ  Bxiˆ  Bz kˆ  dx 




0
0
0


0


 I  ( ˆj )  Bxiˆ  Bz kˆ   (dy )  I  (iˆ)  Bxiˆ  Bz kˆ   (dx)




a
b
  I  B  dl 
F
espira


a
b


 I   ˆj  Bxiˆ  Bz kˆ  dy  I  iˆ  Bxiˆ  Bz kˆ  dx 




0
0
0



0

 I  ( ˆj )  Bxiˆ  Bz kˆ   (dy )  I  (iˆ)  Bxiˆ  Bz kˆ   (dx) 




b
a
a
b
0
0
0
0
a
b
ˆ  iB
ˆ  iB
ˆ z  dy  I  ˆjBz  dx
ˆ
ˆ




kB
I

dx
jB

I

dy
=I   kB
x
z
z
x
 
  



  I  B  dl 
F
espira

a

b


 I   ˆj  Bxiˆ  Bz kˆ  dy  I  iˆ  Bxiˆ  Bz kˆ  dx 




0
0
0



0

 I  ( ˆj )  Bxiˆ  Bz kˆ   (dy )  I  (iˆ)  Bxiˆ  Bz kˆ   (dx) 




a
b
a
b
0
0
0
0
a
b
ˆ  iB
ˆ  iB
ˆ
ˆ
ˆ z  dy  I  ˆjBz  dx




=I   kB
dy

I

jB
dx

I
kB
x
z
z
x
  
 




   
  
ˆ  iB
ˆ  iB
ˆ
ˆ
ˆ z  Ib ˆjBz
 Ia kB

Ib

jB

Ia
kB
x
z
z
x
  I  B  dl 
F
espira

a

b


 I   ˆj  Bxiˆ  Bz kˆ  dy  I  iˆ  Bxiˆ  Bz kˆ  dx 




0
0
0



0

 I  ( ˆj )  Bxiˆ  Bz kˆ   (dy )  I  (iˆ)  Bxiˆ  Bz kˆ   (dx) 




a
b
a
b
0
0
0
0
a
b
ˆ  iB
ˆ  iB
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ






 dx
=I   kB
dy

I

jB
dx

I
kB
dy

I
jB
x
z
z
x
z
z





 





   
  
ˆ  iB
ˆ  iB
ˆ
ˆ
ˆ z  Ib ˆjBz
 Ia kB

Ib

jB

Ia
kB
x
z
z
x
0
Z
B  Bx iˆ  Bz kˆ
F 0
Y
I
a
X
b
B  Bx iˆ  Bz kˆ
Z
X

F  I ( ˆj )  ( Bxiˆ  Bz kˆ)a  Ia  Bx kˆ  Bziˆ





bˆ
bˆ
Iab
IabBx ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 i  F   i  Ia  Bx k  Bzi 
 Bx j  
j
2
2
2
2

F  I ( ˆj )  ( Bxiˆ  Bz kˆ)a  Ia Bx kˆ  Bziˆ





bˆ
bˆ
Iab
IabBx ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i  F  i  Ia Bx k  Bzi 
 Bx j  
j
2
2
2
2
  IabBx ˆj
r
r
I
0 I
B(r ) 
4

dl    r  r  
r  r
3
r
J
r
0
r  r


B(r ) 
J
(
r
)

dV
3

4 V
r  r
0 J (r )   r  r  

B(r ) 
dV
3

4 V
r  r
La ley de Coulomb
E (r ) 
1

4 0 V
  r   r  r  
r  r
3
dV 
0 I
B(r ) 
4


ˆ
ˆ
0 I  kdz  rrˆ  zk

 2 23
4 
2
dl    r  r  
r  r
3
z
r

rˆ  cos iˆ  sin  ˆj
kˆ  rˆ  kˆ  cos iˆ  sin  ˆj  ˆj cos  iˆ sin   ˆ



B(r ) 
0 I ˆ
r 
4 
0 I 1 ˆ

B(r ) 
2 r
dz
z
2
r
3
2 2


0 I 1 ˆ

2 r

I
0 I
B(r ) 
4
B( z ) 

dl    r  r  
r  r
0 I
2
a
z
2
2
a
3
2 2

3
kˆ
z
a
I
I
B(r )  0
4

dl    r  r  
r  r
3
ˆ   sin  iˆ  cos ˆj
I
 0
4
2

0

ˆ  zkˆ  arˆ
z
2
a
3
2 2

 ad
rˆ  cos iˆ  sin  ˆj




ˆ  kˆ    sin  iˆ  cos ˆj   kˆ   sin  iˆ  kˆ  cos ˆj  kˆ 
 sin  ˆj  cos iˆ  rˆ
ˆ  rˆ    sin  iˆ  cos ˆj    cos iˆ  sin  ˆj  
  sin 2  kˆ  cos 2  kˆ   kˆ


ˆ  zkˆ  arˆ  zrˆ  akˆ
0 I
B(r ) 
4


dl    r  r  
r  r
3
0 I

4
2

0


ˆ  zkˆ  arˆ
z
2
a
3
2 2

 ad
ˆ  zkˆ  arˆ  zrˆ  akˆ
0 I 2 zrˆ  akˆ
0 I 2 z cos iˆ  z sin  ˆj  akˆ
B(r ) 
a
d 
a
d
3
3
4 0 2
4 0
2 2
2
2 2
z
a
B (r ) 

z
a2
0 I
2

z 2  a2

ˆ
k
3
2
a

Z
B
Y
K
X
0
B( z ) 
4 V
r  r
3

x2  y2  z
3
2 2

 
0 K
dV  
 
4 
 zjˆ  ykˆ
 
0 K

 
4 
J (r )   r  r  
dxdy 

iˆ  zkˆ  xiˆ  yˆj

x2  y2  z
0 K
2 ˆj 

4
0
B( z )   K
2
ˆj
3
2 2

 dxdy 
 

 
dxdy
 x
2
 y  z
2
2

3
2
2

z
 

 
 2
dxdy
 x
2
 y  z
2

1

 2 
 r2  z2


3
2 2


0 0



rdrd
r2  z2

3/ 2
 2 



1
2
  2 


1/ 2
2

z
z


0

0

rdr
r2  z2

3/ 2
