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4º E.S.O. ¿TRIGONOMETRÍA POR TODOS LADOS? Cuando mi hermano y yo estamos por la calle transportando a mano un mueble de 160x90x50 cm. se puso a llover. Nos metimos debajo de un balcón que sobresalía más o menos unos 50 cm, pero el viento hacía que la lluvia cayera inclinada y, ¡qué mala suerte!, nosotros pegados a la pared sólo nos mojábamos los pies, pero el mueble se estaba poniendo perdido. Así que se nos ocurrió cruzar la calle y ponernos pegados a la otra pared. No había balcón pero, como la lluvia caía inclinada, pensamos que pegando bien el mueble no se mojaría, porque el edificio debía tener por lo menos 13 metros de altura. ¿Se moja o no se moja? (Se me olvidaba: el balcón estaría a una altura de unos 4 metros) Respuesta: No es un problema de trigonometría, se puede Las apariencias engañan ¿? ¿? resolver sólo con el Teorema de Tales. Los triángulos formados por la línea de lluvia, la pared y el suelo son semejantes 50 x siendo ‘x’ la distancia a la que cae la lluvia desde la 400 1300 pared de enfrente. De ahí sale x=1,625 metros Parece que no se moja porque el ancho del mueble es de 50 cm. Pero ¿y si fuera la situación de la derecha? ¡Se mojaría la parte de arriba del mueble! Restemos a la altura del edificio la del mueble: 13–1,60=11,40 ¿A qué distancia de la pared cae la lluvia? 50 x x 1,425m NO, no se moja. 400 11,40 Los verdaderos problemas de trigonometría son aquellos en los que necesariamente tiene que intervenir al menos un ángulo. 1.- LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS NO SON LINEALES RESPECTO A LOS ÁNGULOS. a) sen(2·α) no es igual a 2·sen(α) sen(30 ) 0,5 sen(2·30 ) sen(60 ) 0,866 es evidente que sen(60⁰)≠2·sen(30⁰) b) En triángulos 6 3 β α 4 En triángulo pequeño tan(α)=3/4=0,75→α=36,87⁰ En triángulo grande tan(β)=6/4=1,50→β=56,3⁰ tan(β)=2·tan(α) pero evidentemente 56,3 no es el doble de 36,87 4 c) Ejercicio sencillito: ¿Qué longitud debería tener el cateto opuesto a β para que este ángulo fuera el doble de α? d) Ejercicio también sencillito: Demos por buena la aproximación ‘tan(14⁰)= pendiente del 25%’ Si la tangente fuera ‘lineal’ a qué ángulo correspondería una pendiente del 50%: Pero la tangente no funciona así. ¿Cuál es el ángulo de una pendiente del 50%? ¿Del 100%? Dibuja triángulos que apoyen tus cálculos ¿TRIGONOMETRÍA POR TODOS LADOS? 2.- Problema: Todo el mundo sabe que la Torre de Pisa (Italia) está inclinada, no vertical, respecto al suelo. También con un poco de instrucción en Física, se sabe que si la vertical del centro de gravedad cae fuera de la línea base, la torre se caería (ya han tomado medidas para que eso no ocurra). La anchura de la base es de 15,484 metros y la altura de la torre 55,863 metros. ¿Qué ángulo formaría la ‘inclinación’ de la torre respecto de la vertical si llegara ese momento de la catástrofe? (‘El centro de gravedad’ no es un ningún hospital) Esquema de un corte longitudinal de la torre. El punto gordo es el centro de gravedad Actual • • Catástrofe 3.- Del libro, pág. 135, nº 25, esquematizado. (No tienes que estudiarte el teorema del seno y del coseno, eso toca el próximo año. Lo vamos a resolver con triángulos rectángulos) 25⁰ ladera ladera 100 x 30⁰ y 100 metros z El objetivo, según el libro, es calcular la longitud de la ladera. Yo añado: ¿Cuál es la pendiente de la ladera en %? HAY MÁS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Claro, tantas como proporciones distintas puedan ponerse sobre un triángulo rectángulo: cateto opuesto cateto contiguo cateto _ contiguo cateto _ opuesto 1 tan( ) hipotenusa cateto _ opuesto 1 sen( ) hipotenusa cateto _ contiguo 1 cos( ) cotangente( ) cotan( ) . cosecante( ) cosec( ) Es así; los nombres están ‘como secante( ) sec( ) intercambiados’ No hay más. Yo creo que solo sirven para enredar. RESPUESTAS: 1.- c) 13,714468003970235348431780293622 d) Para 50% ángulo 26,565⁰ Para 100% 45⁰ 2.- 15,4922⁰ 3.- ladera=118,31 m. Cálculo intermedio: x= 50 m. (‘y’ y ‘z’ no son relevantes) Pendiente de la ladera 14,28% Cálculo intermedio: ángulo obtuso del triángulo 125⁰ ángulo ‘ladera – suelo’ 55⁰