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4º E.S.O. ¿TRIGONOMETRÍA POR TODOS LADOS?
Cuando mi hermano y yo estamos por la calle transportando a mano un mueble de
160x90x50 cm. se puso a llover. Nos metimos debajo de un balcón que sobresalía más o
menos unos 50 cm, pero el viento hacía que la lluvia cayera inclinada y, ¡qué mala
suerte!, nosotros pegados a la pared sólo nos mojábamos los pies, pero el mueble se
estaba poniendo perdido. Así que se nos ocurrió cruzar la calle y ponernos pegados a la
otra pared. No había balcón pero, como la lluvia caía inclinada,
pensamos que pegando bien el mueble no se mojaría, porque el
edificio debía tener por lo menos 13 metros de altura. ¿Se moja o no
se moja? (Se me olvidaba: el balcón estaría a una altura de unos 4
metros)
Respuesta: No es un problema de trigonometría, se puede
Las
apariencias
engañan
¿?
¿?
resolver sólo con el Teorema de Tales. Los triángulos formados por la
línea de lluvia, la pared y el suelo son semejantes
50
x
siendo ‘x’ la distancia a la que cae la lluvia desde la
400 1300
pared de enfrente. De ahí sale x=1,625 metros Parece que no se moja porque el
ancho del mueble es de 50 cm. Pero ¿y si fuera la situación de la derecha? ¡Se mojaría la parte de arriba del
mueble!
Restemos a la altura del edificio la del mueble: 13–1,60=11,40 ¿A qué distancia de la pared cae
la lluvia?
50
x
x 1,425m
NO, no se moja.
400 11,40
Los verdaderos problemas de trigonometría son aquellos en los que necesariamente tiene que intervenir al
menos un ángulo.
1.- LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS NO SON LINEALES RESPECTO A LOS ÁNGULOS.
a) sen(2·α) no es igual a 2·sen(α)
sen(30 ) 0,5
sen(2·30 ) sen(60 ) 0,866
es evidente que sen(60⁰)≠2·sen(30⁰)
b) En triángulos
6
3
β
α
4
En triángulo pequeño tan(α)=3/4=0,75→α=36,87⁰
En triángulo grande
tan(β)=6/4=1,50→β=56,3⁰
tan(β)=2·tan(α) pero evidentemente 56,3 no es el doble de 36,87
4
c) Ejercicio sencillito: ¿Qué longitud debería tener el cateto opuesto a β para que este ángulo fuera el doble
de α?
d) Ejercicio también sencillito: Demos por buena la aproximación ‘tan(14⁰)= pendiente del 25%’
Si la tangente fuera ‘lineal’ a qué ángulo correspondería una pendiente del 50%:
Pero la tangente no funciona así. ¿Cuál es el ángulo de una pendiente del 50%? ¿Del 100%?
Dibuja triángulos que
apoyen tus cálculos
¿TRIGONOMETRÍA POR TODOS LADOS?
2.- Problema: Todo el mundo sabe que la Torre de Pisa (Italia) está inclinada, no vertical, respecto al suelo.
También con un poco de instrucción en Física, se sabe que si la vertical del centro de gravedad cae fuera de la
línea base, la torre se caería (ya han tomado medidas para que eso no ocurra). La anchura de la base es de
15,484 metros y la altura de la torre 55,863 metros. ¿Qué ángulo formaría la ‘inclinación’ de la torre respecto
de la vertical si llegara ese momento de la catástrofe? (‘El centro de gravedad’ no es un ningún hospital)
Esquema de un corte longitudinal de la torre.
El punto gordo es el centro de gravedad
Actual
•
•
Catástrofe
3.- Del libro, pág. 135, nº 25, esquematizado. (No tienes que estudiarte el teorema del seno y del coseno, eso
toca el próximo año. Lo vamos a resolver con triángulos rectángulos)
25⁰
ladera
ladera
100
x
30⁰
y
100 metros
z
El objetivo, según el libro, es calcular
la longitud de la ladera.
Yo añado: ¿Cuál es la pendiente de la
ladera en %?
HAY MÁS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Claro, tantas como proporciones distintas puedan ponerse sobre un triángulo rectángulo:
cateto
opuesto
cateto contiguo
cateto _ contiguo
cateto _ opuesto
1
tan( )
hipotenusa
cateto _ opuesto
1
sen( )
hipotenusa
cateto _ contiguo
1
cos( )
cotangente( ) cotan( ) .
cosecante( ) cosec( ) Es así; los nombres
están ‘como
secante( ) sec( )
intercambiados’
No hay más.
Yo creo que solo sirven para enredar.
RESPUESTAS:
1.- c) 13,714468003970235348431780293622
d) Para 50% ángulo 26,565⁰
Para 100% 45⁰
2.- 15,4922⁰
3.- ladera=118,31 m.
Cálculo intermedio: x= 50 m.
(‘y’ y ‘z’ no son relevantes)
Pendiente de la ladera 14,28%
Cálculo intermedio:
ángulo obtuso del triángulo 125⁰
ángulo ‘ladera – suelo’ 55⁰