Download UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I

UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUCCIÓN
En clases anteriores se ha trabajado con diferentes tipos de funciones: la función polinómica, la
función racional y las funciones exponencial y logarítmica (como funciones mutuamente inversas).
En todos los casos anteriores el criterio de trabajo fue desarrollar herramientas y estrategias que
permitan obtener representaciones gráficas aproximadas de las funciones anteriormente citadas
sin dejar de lado la tabla de valores que, por sí sola, no constituye un método apropiado para
llegar a la gráfica de una función compleja pero si es útil para complementar una representación
gráfica aproximada.
OBJETIVOS
·
·
·
·
Identificar los elementos de una sinusoide.
Reconocer las transformaciones en los elementos de una sinusoide a partir de información
obtenida de la ecuación general.
Representar en forma aproximada un ciclo de una sinusoide a partir de la ecuación general
de la misma.
Obtener la ecuación de una sinusoide a partir de la gráfica de la misma.
1. LA GRÁFICA DE UNA SINUSOIDE
Una sinusoide es una curva que se caracteriza por estar formada por ciclos, es decir, porciones de
curvas que se repiten indefinidamente. La representación gráfica de una sinusoide es la siguiente:
Una sinusoide es la representación gráfica de las funciones
e
. En las
mismas, la variable x representa un ángulo medido en radianes.
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 1
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
2. LOS ELEMENTOS DE UNA SINUSOIDE
Una sinusoide posee determinados elementos que luego permitirán acceder a una representación
gráfica.
2.1 El Ciclo
En este curso se trabajará con dos tipos de ciclo. Se debe recordar que el ciclo es la figura que
permite obtener la sinusoide completa a partir de sus infinitas repeticiones. Para ello se trabajará
con los ciclos de las funciones base y = sen( x ) - y = cos(x ) .
Ciclo de
Ciclo de
2.2 El Eje de Referencia
El eje de referencia es la recta horizontal que divide a la sinusoide en dos porciones equivalentes.
En las funciones base, el eje de referencia es la recta y = 0 .
2.3 La Amplitud (A)
Es la distancia vertical que existe entre el eje de referencia y la parte más alta o la parte más baja
de la sinusoide.
En las funciones base, la amplitud vale 1 (uno).
2.4 El Período (P)
Es la cantidad de radianes que dura un ciclo. En las funciones base, el ciclo tiene un período de
2p radianes.
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 2
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
2.5 El Ángulo de Fase (k)
El ángulo de fase es el valor de x desde donde comienza a dibujarse el ciclo. En las funciones base,
el ángulo de fase tiene el valor x = 0.
3. LA ECUACIÓN GENERAL DE UNA SINUSOIDE
Una sinusoide se la describe en forma analítica por medio alguna de las siguientes ecuaciones
generales.
y = A × sen[B × (x - k )] + C
y = A × cos[B × ( x - k )] + C
A partir de ahora todo el trabajo analítico se realizará sobre la primera de estas ecuaciones.
Debe entenderse que las conclusiones se deberán extrapolar a la segunda de estas ecuaciones.
La ecuación de la función base y = sen( x ) se diferencia
de la ecuación general en la
implementación de cuatro constantes: A, B, k y C. cada una de estas constantes presentes en la
ecuación general implican la variación de alguno de los elementos de la sinusoide. En lo que sigue
se analizará la variación de cada uno de estos elementos por separado.
4. VARIACIÓN EN LOS ELEMENTOS DE UNA SINUSOIDE
4.1 Variación de la Amplitud y = A × sen( x )
La constante A indica el valor de la amplitud de la sinusoide.
Es importante resaltar que esta constante sólo modifica el valor de la amplitud. Todos los
demás elementos permanecen con los valores de la función base.
Ejemplo:
y = sen(x ) (negro) -
y = 2 × sen( x ) (rojo) -
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
y = 3 × sen( x ) (verde)
Página 3
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
4.2 Variación del Período y = sen(B × x )
La constante B cambia el valor del período de la sinusoide. Eso quiere decir que habrá un período
nuevo (NP). Para calcular el mismo se debe usar la siguiente expresión:
NP =
2p
B
(rojo)
,
Ejemplo:
y = sen(x )
NP =
(negro)
-
y = sen(2 x )
NP =
2p
æ1 ö
= p - y = senç x ÷
2
è2 ø
(verde),
2p
= 4p
1
2
4.3 Variación del Ángulo de Fase y = sen( x - k )
La constante k cambia el valor del ángulo de fase de la sinusoide.
Ejemplo:
y = sen(x ) (negro) -
pö
æ
y = senç x - ÷ (rojo) 2ø
è
y = sen( x + p ) (verde)
Para obtener el ángulo de fase hay que cambiarle el signo al valor que suma o resta a la x.
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 4
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Se debe tener en cuenta que en los ejemplos desarrollados se está dibujando un solo ciclo para
aportar claridad a la explicación, pero en realidad la gráfica debería ser la sinusoide a lo largo de
todo el eje de los reales.
4.4 Variación del Eje de Referencia y = sen( x ) + C
La constante C indica la posición del eje de referencia de la sinusoide.
Ejemplo:
y = sen(x ) (negro) -
y = sen( x) + 1 (rojo) -
y = sen( x ) - 3 (verde)
5. GRÁFICA APROXIMADA DE UNA SINUSOIDE
Ahora se trabajará a partir de un ejemplo en el cual se presenta la ecuación general de una función
y se desea obtener la representación gráfica de la misma.
Ejemplo:
é
æ
è
Realizar la gráfica aproximada de un ciclo de y = 3 × sen ê2 × ç x -
ë
p öù
÷ -1
2 øúû
Para organizar el trabajo se confeccionará una tabla con la información de los elementos de la sinusoide
Ciclo
Eje de referencia
Amplitud
seno
y=-1
A=3
Ángulo de fase (inicio del ciclo)
k=
Período
k+P (fin de ciclo)
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
NP =
p
2
2p
=p
2
p
3
+p = p
2
2
Página 5
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Esta información, volcada a la gráfica dará como resultado:
Se debe observar que las líneas celestes están relacionadas con la información obtenida en el cuadro y
representan una buena ayuda a la hora de graficar la sinusoide. El rectángulo encerrado se puede dividir
en cuatro partes iguales para lograr una gráfica más prolija.
6. ECUACIÓN DE UNA SINUSOIDE A PARTIR DE LA GRÁFICA DE LA MISMA
Un procedimiento que completa el trabajo que se viene realizando está relacionado con el trabajo
inverso al realizado en el punto 4. Es decir, a partir del gráfico de una sinusoide hallar la ecuación
general de la misma. Lo primero que se debe tener en cuenta es que este procedimiento puede
tener infinitas soluciones.
Por ejemplo, se desea encontrar la ecuación general de la sinusoide de la siguiente gráfica:
Para poder llegar con éxito a la ecuación general se deberá seguir una serie de pasos ordenados.
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 6
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
6.1 Identificar el tipo de ciclo
En total son cuatro los tipos diferentes de ciclos que se pueden identificar
seno
-seno
coseno
-coseno
En cada gráfica de sinusoide se pueden identificar cualquiera de los cuatro ciclos más de una vez. Esta es
la razón por la cual, a partir de una misma gráfica se pueden obtener infinitas ecuaciones generales.
En el ejemplo que se trabajará podemos identificar dos de estos ciclos (por ejemplo, seno y
-coseno).
6.2 Identificar el Eje de Referencia
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 7
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
En este caso, el eje de referencia tiene la ecuación y = 2.
6.3 Identificar la Amplitud
En este caso la amplitud vale A = 3
6.4 Identificar el Ángulo de Fase
En este caso se tendrán dos ángulos de fase diferentes para cada uno de los dos ciclos que se han
identificado.
Para el ciclo de – coseno (azul), el ángulo de fase vale k = -4 .
Para el ciclo de seno (rojo), el ángulo de fase vale k = .
6.5 Identificar el Fin de Ciclo
En este caso se tendrán dos valores diferentes para cada uno de los dos ciclos que se han
identificado.
Para el ciclo de – coseno (azul), el fin de ciclo vale x = 0.
Para el ciclo de seno (rojo), el fin de ciclo vale x = 5 .
6.6 Calcular el Período
El Período se puede calcular restando el fin de ciclo del ángulo de fase. Esta diferencia dará como
resultado la longitud del ciclo en radianes, es decir, el período de la sinusoide.
Es importante resaltar que la sinusoide siempre tiene el mismo período, independientemente del ciclo
elegido para realizar el análisis en cuestión. De esta manera, el cálculo del período sólo se debe hacer
para uno de los dos ciclos.
P = 5p - p = 4p
6.7 Calcular el valor del coeficiente B
B=
2p 2p 1
=
=
P 4p 2
Se puede organizar toda la información obtenida en una tabla que permitirá obtener la ecuación
general sin mayor dificultad.
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 8
UTN-FRSC ANÁLISIS MATEMÁTICO I
ECUACIÓN I
Ciclo
-coseno
ECUACIÓN II
seno
y=2
y=2
A=3
A=3
k = -4p
k =p
x=0
x = 5p
Período (P)
P = 4p
P = 4p
Coeficiente B
B=
Eje de Referencia (C)
Amplitud (A)
Ángulo de Fase (k)
Fin de ciclo
Ecuación General
y = A × sen[B × (x - k )] + C
y = A × cos[B × ( x - k )] + C
1
2
é1
ù
y = -3 cosê × (x + 4p )ú + 2
ë2
û
B=
1
2
é1
ù
y = 3senê × (x - p )ú + 2
ë2
û
CONCLUSIÓN
Es importante recordar que los conceptos abordados en esta clase incorporan una serie de
procedimientos nuevos para muchos de los alumnos y tal vez olvidados para otros. La sola lectura
de este material no garantiza la total comprensión de los mismos y deberá ser complementada
con la resolución de los trabajos prácticos y la consulta de la bibliografía sugerida por la cátedra o
cualquier otra bibliografía pertinente. También se debe usar como material de consulta
permanente y también de verificación de los resultados obtenidos en las prácticas, el software
graficador sugerido o cualquier otro disponible.
Ing. Patricio E. Triñanes Barrientos
Página 9