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Aplicaciones ortogonales. Propiedades 25 25. APLICACIONES ORTOGONALES. PROPIEDADES. Un endomorfismo :
se dice que es una aplicación ortogonal si conserva el producto escalar, es decir, para todos , se verifica que ,
,
25.1. LAS APLICACIONES ORTOGONALES CONSERVAN DISTANCIAS Y ÁNGULOS 1. Si :
es una aplicación ortogonal, entonces se verifica que para todo 2. Si :
es una aplicación ortogonal, ,
entonces se verifica que para todos ,
,
Demostración 2.
,
,
√
1.
,
arccos
,
,
arccos
,
Por tanto las aplicaciones ortogonales conservan distancias y ángulos. 25.2. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN ORTOGONAL Sea :
una aplicación ortogonal y sea ,
la matriz de la aplicación respecto de una base ortonormal. Por la definición de aplicación ortogonal, para todos , pasando a coordenadas respecto de la base ,
De donde se deduce que: ,
,
,
, y : ,
Por tanto la matriz de una aplicación ortogonal, respecto a una base ortonormal, es una matriz ortogonal. 1 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata 25.3. CLASIFICACIÓN DE APLICACIONES ORTOGONALES 25.3.1. LOS AUTOVALORES REALES DE UNA MATRIZ ORTOGONAL Los únicos autovalores reales que puede tener una matriz ortogonal son: 1 o 1 Demostración Si es ortogonal, es un autovalor a y un autovector asociado a , se tiene que: | | | |
| | 1
1 25.3.2. EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ORTOGONAL Si es una matriz ortogonal, entonces su determinante vale 1 o 1. Demostración Si es ortogonal entonces det
det
det
1 det
1
det
1
det
1 25.3.3. TIPOS DE MATRICES ORTOGONALES Se dice que la matriz ortogonal conserva la orientación si verifica que det
Se dice que la matriz ortogonal cambia la orientación si verifica que det
1 1 25.3.4. TIPOS DE APLICACIONES ORTOGONALES Sea :
una aplicación ortogonal y sea ,
la matriz de respecto de una base ortonormal. Se dice que conserva la orientación si la matriz ortogonal orientación, es decir si verifica que det
1 Se dice que cambia la orientación si la matriz ortogonal decir si verifica que det
conserva la 1 La aplicación ortogonal conserva la orientación. cambia la orientación, es Aplicaciones ortogonales. Propiedades 25 La aplicación ortogonal cambia la orientación 25.3.5. BASES ORIENTADAS Una base ortonormal de se dice que está orientada positivamente, y se nota por , si tiene la misma orientación que la base canónica de det
,
1, siendo , es decir si se verifica que EJEMPLO 1 Comprobar que las siguientes aplicaciones son ortogonales y estudiar si conservan o cambian la orientación. ,
Solución ,
Se calcula la matriz de en base canónica: 0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
, det
1
0
1
1
0
det
0
1
1
0
1 De donde se deduce que es una aplicación ortogonal que conserva la orientación. ,
Se calcula la matriz de en base canónica: 0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
, det
1
0
1
det
1
0
0
1
1
0
1 De donde se deduce que es una aplicación ortogonal que cambia la orientación. 3