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TEMA III: DIAGONALIZACIÓN.
OBJETIVOS:
Generales:
1. Captar el motivo que justifica el problema de la
diagonalización de endomorfismos.
2. Resolver y aplicar dicho problema cuando sea posible.
Específicos:
• Conocerá la relación entre diagonalización y semejanza
de matrices.
• Conocerá los conceptos de valor y vector propio y
subespacio propio de un endomorfismo.
• Sabrá calcular el polinomio característico de un
endomorfismo y a partir de el los valores propios de
dicho endomorfismo.
• Sabrá calcular las bases de los subespacios propios
asociados a cada valor propio de un endomorfismo.
• Sabrá calcular la matriz del cambio de base que nos
permita obtener la matriz diagonal del endomorfismo.
• Sabrá estudiar si una matriz es diagonalizable o no en
, según el valor de los parámetros que en ella
parezcan.
• Sabrá
diagonalizar
mediante
semejanza
ortogonal
cualquier matriz simétrica.
• Sabrá aplicar el problema de la diagonalización cuando
sea preciso.
BIBLIOGRAFÍA
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•
“Álgebra lineal con métodos elementales”, L. Merino, E.
Santos, 1999.
“Álgebra y Geometría Analítica”, F. Granero. McGrawHill, 1994.
"Álgebra lineal y teoría de matrices", R. Barbolla y P.
Sanz, 1998.
“Álgebra lineal y geometría: curso teórico-práctico”, J.
García-García y M. López Pellicer. Marfil, 1992.
“Álgebra lineal y geometría: ejercicios”, J. GarcíaGarcía y M. López Pellicer. Marfil, 1991.
“Problemas de álgebra lineal: cuestiones, ejercicios y
tratamiento en Derive”, P. Sanz, 1998.
“Problemas de Álgebra: Espacios vectoriales”, M. Anzola
y otros, 1981.
Miguel Ángel García Muñoz
Álgebra II
Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión
I. SEMEJANZA DE
DIAGONALIZACIÓN.
MATRICES.
EL
PROBLEMA
DE
LA
Sabemos que dado un endomorfismo f de un espacio
vectorial V sobre y elegida una base B de V, la matriz
MB(f) identifica completamente a f. Parece entonces que
sería conveniente hacer elecciones de bases B de forma que
MB(f) sea lo mas sencilla posible. Claramente las matrices
diagonales son las mas sencillas a la hora de efectuar
operaciones. Parece que lo que debemos buscar es bases
donde las matrices de f sean diagonalizables. Este proceso
se llama diagonalización de f.
Recordemos que dos matrices cuadradas A y B son
semejantes si existe una matriz regular P de forma que B =
P-1AP. En este tema nos planteamos dada una matriz A
encontrar otra matriz D semejante a A y de forma que D sea
diagonal.
Dada A ∈ n(), entonces A es la matriz asociada a un
endomorfismo f: n → n respecto de la base canónica B de
n. Si D es una matriz semejante a A, esto es: D = P-1AP
para cierta matriz regular P, entonces D será la matriz
asociada a f respecto de una nueva base B’ de n de forma
que la matriz de cambio de base de B’ a B sea P.
Se trata pues de ver como ha de ser la base B’ para
que
la
matriz
asociada
a
f
sea
diagonal.
Si
B’={u1,u2,...,un}, entonces la matriz asociada a f respecto
de B’ es la matriz cuyas columnas son las coordenadas
respecto de B’ de los vectores f(u1),...,f(un) y por tanto
si
 λ1 0 .. 0 


 0 λ2 .. 0 
D = 
: :
:


 0 0 .. λ 
n

entonces se tendrá que f(ui)=(0,...,λi,...,0)B’=λiui para
todo i=1,...,n. El problema será encontrar vectores
linealmente independientes u1,...,un tales que para cada i
se verifique f(ui)=λiui para ciertos escalares λ1,...,λn ∈
.
II. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UN ENDOMORFISMO.
Sea V un espacios vectorial sobre y sea
f:V → V
una endomorfismo de V. Se dice que el escalar λ ∈ es un
valor propio (o autovalor) de f si existe un vector no nulo
u ∈ V de forma que f(u) = λu.
Miguel Ángel García Muñoz
Curso 07-08
Tema 3: Diagonalización
Para un escalar λ ∈ , llamaremos vector propio (o
autovector) asociado a λ a cada vector u de V tal que f(u)=
λu. Denotamos por Vλ al conjunto de todos los autovectores
asociados a λ, esto es:
Vλ={u ∈ V/ f(u)= λu}
Proposición
Sea V un espacio vectorial sobre de dimensión n, f
un endomorfismo de V y sea A la matriz asociada a f
respecto de una base de V. Dado λ ∈ , se verifica:
1. Vλ = Ker(f - λI).
2. Vλ es un subespacio vectorial de V.
3. dim(Vλ) = n - rg(A - λI).
4. λ es autovalor de f ⇔ det(A - λI) =0.
Al subespacio Vλ recibe el nombre de subespacio propio
de λ.
III. POLINOMIO CARACTERISTICO.
Según hemos visto, para un endomorfismo f de matriz
asociada A, un escalar λ es un valor propio de f si, y solo
si, det(A - λI) =0; ahora bien, considerando el escalar λ
como indeterminada, este determinante
a11 − λ
det(A - λI)=
a21
L
a1n
a22 − λ L
a2n
a12
M
M
an1
an2
O
M
L ann − λ
es un polinomio en λ, p(λ), de grado n que recibe el nombre
de polinomio característico de f. Los valores propios serán
precisamente las raíces del polinomio característico. En
particular se tiene que el número máximo de valores propios
de f es exactamente n. Además el polinomio característico
de f no depende de la matriz asociada a f que se considere.
En
general,
puede
ocurrir
que
el
polinomio
característico no tenga exactamente n raíces. Una primera
posibilidad involucra al cuerpo que se esté considerando,
así si = , todas las raíces del polinomio han de estar
en , pero si = puede suceder que el polinomio
característico tenga raíces imaginarias que no nos sirven
como autovalores, incluso aun cuando tenga todas las raíces
en , puede tener menos de n valores propios distintos por
la aparición de raíces múltiples.
Para cada i, llamaremos multiplicidad algebraica del
valor propio λi a la multiplicidad de λi como raíz del
polinomio característico, es decir, el mayor exponente αi
para el cual el factor (λi-λ)αi aparece en la descomposición
Miguel Ángel García Muñoz
Álgebra II
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de p(λ). Llamaremos multiplicidad geométrica de λi a la
dimensión di del subespacio propio Vλi, esto es:
di = dim(Vλi) = n - rg(A-λiI)
La relación entre las multiplicidades algebraicas y
geométricas viene dada por el siguiente resultado.
Proposición
Sea V un espacio vectorial sobre Κ de dimensión n y
sea f: V → V un endomorfismo de V de matriz asociada A y
sean λ1,λ2,...,λr sus valores propios distintos. Entonces
para cada i=1,...,r se tiene 1 ≤ di ≤ αi.
IV.
DIAGONALIZACIÓN
SEMEJANZA.
DE
UN
ENDOMORFISMO
POR
Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si
existe una matriz diagonal D semejante a A. Diremos que el
endomorfismo f:V → V es diagonalizable si existe una
base de V con respecto a la cual la matriz asociada a f es
diagonal.
Proposición
Un endomorfismo f:V → V es diagonalizable si existe
una base de V formada por vectores propios de f.
Lema
1. Vectores propios no nulos asociados a valores
propios distintos son linealmente independientes.
2. Los subespacios propios asociados a valores propios
distintos son subespacios independientes.
Teorema
Sea f: V → V un endomorfismo y sean λ1,λ2,...,λr sus
distintos valores propios. Entonces f es diagonalizable si,
y solo si, se verifica las siguientes condiciones:
1. α1 +...+ αr = n (todas las raíces del polinomio
característico de f están en ).
2. di = αi, para cada i = 1,...,r.
Corolario
Sea A una matriz cuadrada de orden n, si A tiene n
valores
propios
distintos
en
,
entonces
es
diagonalizable.
El problema de la diagonalización se resume:
Paso 1: Calculamos el polinomio característico p(λ).
Paso 2: Descomponemos p(λ) calculando sus raíces. Si
alguna
de
ellas
es
compleja,
la
matriz
no
será
diagonalizable en , pero puede serlo en . Una vez hecho
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Curso 07-08
Tema 3: Diagonalización
esto, tenemos calculados los valores propios y sus
multiplicidades algebraicas.
Paso 3: Calculamos las multiplicidades geométricas, di
= n - rg(A - λiI).
Paso 4: Aplicamos el teorema anterior (criterio de
diagonalización). Si para algún i se tiene di ≠ αi,
entonces la matriz no es diagonalizable. En caso contrario
la matriz es diagonalizable y su forma diagonal es la
matriz diagonal cuya diagonal está formada por los
autovalores repetidos cada uno según su multiplicidad.
Paso 5: Obtenemos bases de los subespacios propios Vλi
= Ker(f - λiI).
Paso 6: Uniendo estas bases se obtiene una base de V
para la cual la matriz asociada es D. Así pues la matriz de
cambio de base, cuyas columnas son las coordenadas de estos
vectores propios, es la matriz de paso P que verifica D =
P-1AP.
V. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉRICAS.
Sea V un espacio vectorial euclídeo, un endomorfismo
f:V → V se dice simétrico si verifica <f(u), v> = <u,
f(v)>, ∀u, v ∈ V.
Proposición
Sea V un espacio vectorial euclídeo, sea
f:V → V
un endomorfismo y sea A la matriz asociada a f respecto de
una base ortonormal de V. Entonces f es un endomorfismo
simétrico si, y solo si, A es una matriz simétrica.
Proposición
Si f:V → V es un endomorfismo simétrico, entonces
todos los valores propios de f son reales.
Proposición
Toda matriz simétrica real es diagonalizable en .
Proposición
Si λ y µ son valores propios distintos de un
endomorfismo simétrico y v y w son vectores propios
asociados a λ y µ respectivamente, entonces v ⊥ w.
Corolario
Si A es una matriz simétrica real, entonces existe una
matriz P ortogonal y una matriz D diagonal tales que D =
PtAP.
La diagonalización de una matriz real simétrica usando
como matriz de paso una matriz ortogonal se denomina
diagonalización por semejanza ortogonal y es al mismo
tiempo
una
diagonalización
por
semejanza
y
una
diagonalización por congruencia.
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VI. APLICACIONES DE LA DIAGONALIZACIÓN.
Entre las aplicaciones de la diagonalización podemos
destacar:
a) Calculo de la raíz cuadrada de una matriz
diagonalizable:
Dada una matriz A ∈ n() diagonalizable de forma que
todos sus valores propios tienen raíz cuadrada en ,
entonces existe una matriz C ∈ n() tal que C2 = A. Si A
= P-1DP, donde D
es la matriz diagonal y P es la matriz
regular, dicha matriz vendrá dada por C = P-1D½P donde la
matriz D½ es diagonal y se obtiene de D calculando la raíz
cuadrada de los elementos de la diagonal de la matriz D.
b)
Calculo
de
la
potencia
de
una
matriz
diagonalizable:
Dada una matriz A ∈ n() diagonalizable en con A =
-1
P DP, donde D es la matriz diagonal y m ∈ + se tiene que
Am = P Dm P-1
m
donde la matriz D es diagonal y se obtiene de D elevando a
m los elementos de la diagonal de D. Si además A fuese
regular y p un entero negativo tendríamos Ap = (A-1)m donde
m = -p ∈ +. Repitiendo el proceso anterior para A-1 en
lugar de A podemos calcular Ap.
Miguel Ángel García Muñoz