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Tema 6: Ondas
Propiedad del sistema
Onda: Perturbación espacial y/o temporal
de una propiedad de un sistema
Onda periódica: El valor de la propiedad se
repite en el tiempo y/o en el espacio
velocidad de propagación
velocidad de propagación
Tiempo 1
Tiempo 2
Tiempo 3
Posición espacial
Parámetros característicos de una onda periódica
Longitud de onda o
periodo
(“longitud” espacial) (“longitud” temporal)
Velocidad de
propagación
Amplitud
Onda periódica
periodicidad
temporal:
F( x , t ) = F( x , t + T )
periodo
periodicidad
espacial:
F( x , t ) = F( x + λ , t )
periodicidad temporal:
F( x , t ) = F( x , t + T )
propiedad
Amplitud de la oscilación: F( x , t )
(puede ser positiva o negativa)
Intensidad de la oscilación: [F( x , t )]2
(siempre es positiva)
Las amplitudes se suman, no las intensidades
tiempo
0
T
2T
3T
Periodo = tiempo de un ciclo
Longitud de onda
1
frecuencia
f=
1
T
frecuencia
angular
ω=
2π
T
f = número de ciclos por unidad de tiempo
Forma general: F(t) = A sen [ ω t + Φ ]
propiedad
periodicidad espacial:
F( x , t ) = F( x + λ , t )
propiedad
periodicidad
temporal
espacio
λ
0
tiempo
0
periodicidad
espacial
2λ
3λ
Longitud de onda = longitud de un ciclo
1 segundo
Número
de onda
1
k=
λ
Número de
onda angular
^k = 2π
λ
propiedad
k = número de ciclos por unidad longitud
Forma general: F(x) = A sen [ ^
kx+Φ]
velocidad de
propagación
c= λ
T
= fλ
c
espacio
0
1 metro
Algunos valores típicos para ondas sonoras
Algunos valores típicos para ondas luminosas
velocidad en el aire
en un líquido
en un sólido
velocidad en el vacío
en un líquido
en un sólido
344 m/s
≈ 1500 m/s
≈ 5000 m/s
≈ 300000 km/s
≈ 200000 km/s
≈ 150000 km/s
frecuencias audibles
≈ 20 - 20000 Hz
por el hombre
(1 Herz (Hz) = 1 s -1)
frecuencias visibles
por el hombre
idem longitudes de onda ≈ 0,017 - 17 m
idem longitudes de onda ≈ 400 - 700 nm
≈ 400 - 750 THz
(1 THz = 1012 s -1)
2
La luz es una onda transversal:
oscilaciones del campo electromagnético
Ondas transversales
La perturbación es perpendicular a la
dirección de propagación
Campo eléctrico
o magnético
Vector campo eléctrico
c
Dirección de propagación
Ondas
perturbación paralela a propagación
longitudinales
Un rayo de luz visto “de cerca”:
Campos eléctrico y magnético
periódicos y perpendiculares
B
E
E
B
B
E
c
B
E
El sonido es una onda longitudinal:
ondas de presión-concentración
Ecuación general de onda en una dimensión
La forma general de una onda
depende de la posición y el tiempo
F( x , t )
F( x , t ) debe cumplir:
Ecuación de ondas clásica
∂2 F(x,t)
∂t2
= c2
∂2 F(x,t)
∂x2
velocidad de propagación
3
Ecuación de ondas clásica en una dimensión
∂2 F(x,t)
∂t2
= c2
∂2 F(x,t)
F(x,t) = A sen [ 2π (x/λ) + 2π (t/T) + Φ ]
número de onda angular
A: amplitud máxima
de oscilación
∂x2
Una solución general: onda armónica sinusoidal
^ = 2π/λ
k
^x+ωt+Φ]
F(x,t) = A sen [ k
desfase
ω = 2π/T
frecuencia angular
F(x0,t)
+A
0
Ejemplo: oscilación en un punto fijo x0
A
T
-A
tiempo
recordad que c = λ/T = f/k = ω /^k
^x+ωt+Φ]
F(x,t) = A sen [ k
F(x0,t) desfase
Superposición e interferencia de dos ondas
Φ : desfase
Onda F1
F(x=0, t=0) = A sen (Φ)
Onda F2
+A
0
Onda
F1 + F2
-A
tiempo
Interferencia constructiva
La interferencia depende del desfase
Onda F1
Onda F2
Intensidad de una onda y superposición de dos ondas:
las amplitudes se suman, no las intensidades
I = [F(x,t)]2 = [F1 (x,t) + F2(x,t)]2 =
= [F1]2 + [F2 ]2 + 2F1 F2 =
= I1 + I2 + 2 F1 F2
Interferencia destructiva
Onda
F1 + F2
Intensidad de
las ondas F1 y F1
Término de
interferencia
4
Propagación de una onda esférica
Onda esférica
Una onda
esférica se
propaga
en todas
direcciones
Fuente
F(r,t) =
A sen ( k^ r - ω t + Φ)
r
r
r distancia al centro
de emisión
Fuente
Energía de una onda esférica
Onda esférica
F(r,t) =
r
La amplitud decrece con
la distancia
Fuente
La Intensidad
decrece con el
cuadrado de r
Fuente
Fuente
r2
Onda plana
Intensidad
Potencia por
unidad de superficie
(W/m2)
I=
P0
A2
Energía de una onda esférica
r
Potencia P0
Energía total por
unidad de tiempo
emitida por la
fuente (watios, W)
A sen ( k^ r - ω t + Φ)
r
P0
P0
=
S
4πr2
c
Onda esférica
A/r
r
5
Respuesta del oído humano a las ondas sonoras
Consideramos
ondas esféricas
Intensidad
proporcional a
1
r2
Intervalos audibles
intensidades
de 10-12 a 1 W/m2
frecuencias
de 20Hz a 20kHz
La respuesta del oído no es lineal, si no
logarítmica y se caracteriza por la constante
β : respuesta auditiva
β = 10 log
I
Respuesta auditiva
IUMBRAL
decibelios (dB)
β = 10 log
I
IUMBRAL
I = IUMBRAL 10 β/10
β= 0
si I = IUMBRAL
Respuestas auditivas típicas (oído humano)
0
20
40
60
70
90
110
120
I = IUMBRAL
10 -12
10 -10
10 -8
10 -6
10 -5
10 -3
0.1
1
10 β/10
120
Respuesta auditiva (dB)
respuesta
intensidad
auditiva β (dB) (W/m2)
umbral de audición
susurro al hablar
vía pública tranquila
conversación ordinaria
vía pública congestionada
Camión a 5 m de distancia
concierto rock (recinto cerrado)
umbral de dolor
decibelios (dB)
IUMBRAL = 10 -12 W/m2
Intensidad
IUMBRAL = 10-12 W/m2
umbral de audición
Estímulo acústico
decibelios (dB)
Intensidad
IUMBRAL = 10-12 W/m2
umbral de audición
Respuesta auditiva
β = 10 log
I
IUMBRAL
100
Curva de igual
percepción sonora
80
60
40
20
0
20
100
1000
Frecuencia del sonido (Hz)
10000
6
Aislamiento sonoro:
Absorción de una onda
Onda incidente
Onda reflejada
Coeficiente de aislamiento acústico
Onda
transmitida
I
R = 10 log I INCIDENTE
decibelios (dB)
TRANSMITIDA
IINCIDENTE
ITRANSMITIDA
Medio
absorbente
Coeficiente de aislamiento acústico
IINCIDENTE
R = 10 log
decibelios (dB)
ITRANSMITIDA
Ondas estacionarias
Vibraciones de una cuerda de extremos fijos:
en los extremos la amplitud de la onda es cero
ITRANSMITIDA = IINCIDENTE 10-R/10
R grande = buen aislamiento
Valor típico R ≈ 20 dB
En general R aumenta con la frecuencia
Estacionaria: La posición de los ceros de amplitud
y de los máximos y mínimos es constante
Ondas estacionarias
Ondas estacionarias
Sólo son posibles ondas con longitudes
de onda que “quepan en la caja”
Sólo son posibles ondas con longitudes
de onda que “quepan en la caja”
λ/2= L
λ=L
3λ/2= L
2λ = L
7
Ondas estacionarias
Sólo son posibles ondas con longitudes
de onda que “quepan en la caja”
Condición de
“caber en la caja”
Longitudes de
onda posibles
en una cavidad
Cómo se produce el habla
Intensidad
1 kHz
f3
2 kHz
X
1014 Hz
UV
Rayos γ
(gamma)
λ < 1 pm
IR
Visible
400-800nm
radio
Longitud de onda
Infrarrojo
0.8µm-1 mm
microondas
0.1-50 cm
Ultravioleta
ondas de
10-400 nm
radio
λ > 50 cm
Rayos X
1 pm- 10 nm
Uso médico:
Alta intensidad (200,000 W/m2):
destrucción de cálculos renales
Baja intensidad (10,000 W/m2):
Imágenes de ultrasonidos (ecografías)
Energía de la luz (radiación electromagnética)
103 Hz
micro
3kHz
3kHz
Luz: radiación electromagnética
Frecuencia
2 kHz
Frecuencias mayores
f > 20000 Hz
que la máxima audible
(actualmente hasta 1 GHz)
Frecuencias resonantes
f2
1 kHz
Ultrasonidos
Las cavidades nasal y bucal amplifican
las frecuencias con distinta
f1
Espectro típico
Intensidad
λ = 2 L/n
γ
Las cuerdas vocales vibran con unas
frecuencias determinadas por su
longitud, grosor y tensión
n λ/2= L
n = 1, 2, 3, ..
1022 Hz
Cómo se produce el habla
E=hν=
hc
λ
(ν es la frecuencia)
h = 6.62 10-34 J.s constante de Planck
c = 2.9978 108 m/s velocidad de la luz
Unidades habituales en espectroscopía
Energía: 1 eV = 1.602 10-19 J
Longitud de onda: cm, mm, µm, nm, Å=0.1 nm
Frecuencia: kHz, MHz, GHz
Número de onda: cm-1
8
Rayos γ (gamma): λ < 1 pm
Rayos X: 1 pm < λ < 10 nm
Unidad habitual: eV (1 pm → 1.24 MeV)
Unidad habitual: eV, Å (1 Å → 12.4 keV)
Acción sobre la materia:
excitación de núcleos atómicos
Acción sobre la materia:
excitación de electrones internos
γ
e-
X
Ámbitos en los que aparece:
Reacciones nucleares naturales (sol)
o inducidas (centrales de producción de energía)
Medicina, tratamientos anticancerígenos
Ámbitos en los que aparece:
Reacciones nucleares
Colisiones de partículas de alta energía con superficies
Tratamientos clínicos
Ultravioleta (10-400nm) – visible (400-800nm)
Unidad habitual: nm (100 nm → 12.4 eV, 700 nm → 1.8 eV)
Infrarrojo: 800 nm < λ < 1 mm
Unidad habitual: cm-1, µm
Acción sobre la materia:
excitación de electrones
de valencia
Acción sobre la materia:
Vibración y rotación de
los núcleos de moléculas
UV-vis
((
))
IR
Microondas (0.1-50 cm) – ondas de radio (λ > 50 cm)
Unidad habitual: Hz, MHz
Acción sobre la materia:
Rotación pura de moléculas
Vibración-rotación de
enlaces débiles
no covalentes
Ámbitos en los que aparece:
Luz solar y artificial
Cuerpos calientes y templados
visible
Ultravioleta
Log (potencia W/m3)
Ámbitos en los que aparece:
Luz solar y artificial
Reacciones químicas
Cuerpos calientes
Infrarrojo
Es
pec
tro
del
sol Espectro de emisión
de los cuerpos
en equilibrio
Ámbitos en los que aparece:
Luz solar y radiación cósmica
Radiación artificial (osciladores electrónicos)
Longitud de onda λ (µm)
9
Los átomos y moléculas absorben y emiten luz
en zonas características del espectro
Ejemplo: absorción UV del ozono
Los átomos y moléculas absorben y emiten luz
en zonas características del espectro
Ejemplo: absorción de las clorofilas A y B
Absorbancia
O3
Longitud de onda (nm)
Medida de
frecuencias
Fuente en
movimiento
v
f0
Fuente
frecuencia
f0
Observador
frecuencia
mayor
f > f0
frecuencia
menor
f < f0
f0
Efecto Doppler
La frecuencia detectada es distinta a la emitida
cuando la fuente y/o el observador se mueven
Fuente f0
Onda c
VF
sentido del
movimiento
fD = f0
observador fD
VD
c - vD
c - vF
10
Efecto Doppler en el espectro de un átomo
Los átomos emiten luz con
frecuencias características
f0
átomo
Espectro
del átomo
Efecto Doppler en el espectro de un átomo
c
átomo
f0
luz
átomo que
se aleja
f0
f- < f0
frecuencia
fD
VF
átomo que
se acerca
átomo
en reposo
f0
f+ > f0
frecuencia
Espectro del átomo de hidrógeno
Transición 2p
se aleja
a 10000 m/s
f- = 24,676 THz
1s del hidrógeno
átomo
en reposo
f0 = 24,677 THz
se acerca
a 10000 m/s
f+ = 24,678 THz
frecuencia
La orientación de los murciélagos
mediante la reflexión de ultrasonidos
Variación de la intensidad y la frecuencia
I0 f0
v
ID fD
Detecta
presas y
obstáculos
Intensidad
frecuencia
distancia
velocidad (efecto Doppler)
11
Variación de la intensidad y la frecuencia
I0 f0
vPOLILLA
v
ID fD
Intensidad
frecuencia
distancia
velocidad (efecto Doppler)
Óptica Geométrica
Ley de la reflexión:
Los ángulos de incidencia y
De reflexión son iguales
θ
Reflexión
especular y difusa
La ley de la reflexión
se cumple para cada rayo
b) Un murciélago vuela hacia una polilla a 9 m/s,
mientras que la polilla se acerca hacia él a 8 m/s.
La frecuencia que le llega rebotada al murciélago
es de 83 kHz.
¿Cuál es la frecuencia emitida por el murciélago?
Refracción
θ1
Ley de Snell
de la refracción
sen θ1
c
n
= c1 = n2
sen θ2
2
1
índice de refracción
de un medio
θ2
Reflexión difusa
La velocidad de la luz en un medio dispersivo y,
por tanto, el índice de refracción,
dependen de la longitud de onda de la luz
Velocidad de la onda c1(λ)
a) Un murciélago vuela hacia una pared lisa emitiendo
ultrasonidos de 39 kHz.
La onda que recibe rebotada en la pared la percibe
a 41 kHz. ¿A qué velocidad vuela el murciélago?
Velocidad de la onda c1
θ
Reflexión especular
PROBLEMA
n1 = c/c1
n2 = c/c2
Velocidad de la onda c2
Aire n=1.0003
Índices de refracción a 590nm Agua n=1.33
Aceite n=1.50
Cuarzo n=1.46
Reflexión total interna
Aire (n=1.00)
Las longitudes de onda cortas
se dispersan y son más lentas
n(rojo) < n(violeta)
Agua (n=1.33)
Velocidad de la onda c2(λ)
Ángulo crítico sen θc = n2/n1
(siempre n2 < n1)
12
Las lentes utilizan la ley de la
refracción para dirigir los rayos de luz
El ojo humano
(humor vítreo)
(cristalino)
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El ojo como lente convergente
Miopía
Se corrige
con una lente
divergente
gafas
ojo
Astigmatismo
Hipermetropía
Se corrige
con una lente
convergente
gafas
ojo
Percepción del color
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