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Universidad de Talca
Taller de Matemática 2010
Estudiantes de Enseñanza Media
Taller 7
Sucesiones Aritméticas
Introducción.
En matemática una sucesión es una lista de números. A veces se puede predecir los
números que siguen, en estos casos la sucesión está dada por una fórmula. Por ejemplo en
la sucesión 3, 6, 9, 12… se ve fácilmente que sigue el número 15. La fórmula para el
término general de esta sucesión es 3n.
En la sucesión 3, 6, 9, 12… la diferencia entre dos términos seguidos siempre es el mismo
número (=3). Una tal sucesión con las diferencias entre términos seguidos constante se dice
sucesión aritmética.
Problema 1. Sucesiones aritméticas.
En las siguientes sucesiones determine el número que sigue. De ser posible encuentre una
fórmula que permita predecir el término general. ¿Cuáles de las sucesiones son aritméticas?
1.
2.
3.
7.
1, 3, 5, 7, 9…
100, 150, 200, 250, 300…
1, 4, 9, 16, 25, 36…
1, 2, 3, 4, 5, 6….
4.
5.
6.
1, 1, 2, 3, 5, 8…
1, 1/2, 1/4, 1/8…
100, 90, 80, 70…
Una historia.
En un pueblo de Alemania, un profesor pedía a sus alumnos que sumaran los primeros cien
números naturales. Era como un castigo, porque había muchas sumas: 1+2= 3, 3+3 =6,
6+4= 10, 10+5= 15… y era fácil equivocarse. Pero en una ocasión, uno de los alumnos le
dio la solución en muy poco tiempo: 5050. El profesor quedó tan impresionado que le
preguntó cómo lo había hecho. El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,...
siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050.
Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gauss. Es considerado uno de los más
grandes matemáticos de la historia.
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Problemas
Problema 2. Suma de números.
Determinar la suma de los números 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28.
Problema 3. Contando campanadas
¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas?
La fórmula
Se puede demostrar que el n-ésimo término de una sucesión aritmética con primer término
igual a A y diferencia igual a D está dado por la fórmula A + D(n-1).
Si por ejemplo A = 5 y D = 3 tenemos la sucesión 5, 8, 11, 14, 17…
Problema 4. Árboles en un parque.
En un parque hay 50 filas de árboles y se sabe que la diferencia
entre el número de árboles de una fila y el del anterior siempre es
6. Además se sabe que la primera fila tiene 5 árboles. ¿Cuántos
árboles tiene la última fila? ¿Cuántos árboles tiene el parque?
Problema 5. Números en un tablero .
Se tiene un tablero de 8x8 y hay un número real en cada casilla de modo que:
•
•
los números en cada fila y columna son parte de una sucesión aritmética.
la suma de los 4 números de las esquinas es 2000.
Hallar la suma de todos los números del tablero.
Problema 6. Una configuración de números.
Se escriben los números naturales según la siguiente configuración:
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1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
:
a) ¿Qué números se encuentran en la fila 100?
b) Hallar la suma de todos los números desde la fila 1 a la fila 100, inclusive.
c) Al sumar los números de varias filas consecutivas, desde la primera, se ha obtenido
20100 ¿Cuántas filas han sido consideradas?
Problema 7. Sumando números
Hallar la suma de los números pares que están comprendidos entre 99 y 1001.
Problema 8. Una sucesión aritmética.
Determinar el primer término de una sucesión aritmética, sabiendo que el término que
ocupa el ciento lugar es 199, y la suma de sus primeros 100 términos es 10.000.
Problema 9. Soldados en fila
Un coronel tiene a su mando 4225 soldados y quiere formar con
ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila
tenga un soldado, la segunda tres, la tercera cinco, etc.
a) ¿Cuántas filas se debería formar?
b) ¿Cuántos soldados habría en la última fila?
Problema 10. Figura con palitos
Se construye la siguiente sucesión de figuras, con palitos de fósforos:
Siguiendo la ley de formación, se pueden formar las figuras C5, C6, C7 etc.
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a) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura C100?
b) ¿Cuántos palitos de fósforos tendrá la figura C100?
c) ¿Cuántos palitos se requieren para construir todas las figuras desde C1 hasta C100?
Problema 11. Otra configuración de números
Los números naturales se han distribuido en la siguiente configuración:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
a) ¿Cuál es el primer número de la fila 50?
b) Encontrar la suma de los números situados en la fila 50.
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