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AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
Pascal y la
teoría de números
Prof. Dr. Félix García Merayo
Vicepresidente de ACTA
Se encuentra mejor la verdad
por el sentimiento natural
que por las demostraciones.
Blas Pascal
à
1. Introducción
Blas Pascal fue un genio de la ciencia, de la técnica, de la ingeniería y de la teología. Su obra científica es poco considerada cuando él
ha sido el auténtico investigador y descubridor de muchos teoremas
físicos y matemáticos demostrados, en muchas ocasiones, por la experimentación. Pascal era un incrédulo de base que gustaba llegar hasta
las últimas consecuencias en sus razonamientos. Era un rehén de la
verdad que perseguía a través de su investigación hasta comprobar la
veracidad o falsedad de sus tesis. Fue amigo de los más grandes de su
época, como el padre Mersenne, pero al mismo tiempo también entraba en discusión con ellos cuando estaba seguro de sus tesis: con Descartes en lo concerniente al vacío, con Fermat en lo que fueron los
albores del cálculo de probabilidades y la teoría de juegos.
A partir del invento de la máquina sumadora, conocida con el
nombre de pascalina, y como consecuencia de tal invención, Blas Pascal se interesa, en particular, por las sucesiones de números generadas
por la suma continuada de los mismos y, en general, por lo que hoy
conocemos genéricamente en matemáticas como teoría de números, teoría que ocupa una posición central entre la aritmética, el álgebra y la geometría. Se considera a Gauss, 1777-1855, el príncipe de
las matemáticas, como primer edificador de estas teorías, pero la realidad es que, con anterioridad, Pascal ya había estudiado las sucesiones de los números, como los números triangulares, los poligonales y
sus respectivas representaciones geométricas, el cálculo combinatorio
y un largo etcétera.
43
ACTA
Pascal y la teoría de números
Traemos aquí un nuevo trabajo sobre la dedicación de Pascal a la teoría de números cuyo punto
de partida es su célebre triángulo aritmético que le
permite calcular la suma de sucesiones de una
forma casi automática. En el Manual Formativo
número 39, del pasado año 2006, tuvimos la ocasión de presentar una pequeña biografía del genio
así como una visión muy global de su trabajo científico. En esta ocasión, emplearemos este espacio
para detallar las investigaciones que Pascal llevó a
cabo en su corta vida, todas ellas relativas al campo
de los números.
à
2. Historia del triángulo
aritmético
Es frecuente nombrar y recordar a Pascal en los
libros de matemáticas como el padre de su famoso
triángulo aritmético; pero tal triángulo, realmente ya
era conocido desde mucho tiempo atrás. Por lo tanto,
Pascal estaba muy lejos de ser el primero en haber
dispuesto los números de esa manera.
Los orígenes del triángulo aritmético se remontan a los números figurados utilizados por los pitagóricos en el siglo VI antes de nuestra era. Se denominan así porque todos ellos son enteros y representables mediante figuras geométricas planas o
espaciales, disponiendo puntos o testigos en los vértices y en los lados de la figura poligonal en cuestión. Por ejemplo, entre los números figurados se
encuentran los triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, ..., que
pueden representarse en el plano mediante puntos
que forman triángulos.
A partir de esa época, la representación geométrica de los números figurados, también conocidos
como poligonales, han interesado a los matemáticos
de todos los tiempos.
Triángulo aritmético de Zhu Shijiei, 1303
En 1407 encontramos otro triángulo similar en
una edición de la Arithmetica de Jordano. Jordanus
de Nemore, matemático alemán que floreció hacia el
año 1225, en su manuscrito de la obra citada, nos
dice que conoce los siguientes resultados:
Se conocen muy pocos detalles ciertos sobre su
vida; parece que murió joven, perdido en el mar a su
vuelta de Tierra Santa. Se le atribuyen numerosas
obras de matemática pura y de física.
La organización de los números en forma de
triángulo ya la utilizaban los chinos en la Edad Media.
Hay documentos del año 1261 en los que aparece
dicho triángulo con una profundidad de seis líneas y
más tarde, en 1303, con ocho y con la misma disposición que la empleada posteriormente por Pascal.
Parece que los chinos empleaban este esquema para
calcular coeficientes binomiales y más tarde para el
cálculo de raíces cuadradas y cúbicas.
Existen pruebas de que el astrónomo y matemático árabe Omar Khayyam conoció también el triángulo de los números en el siglo XI.
44
Triángulo de Jordanus, 1407
Pascal y la
teoría de
números
En el triángulo aludido puede observarse que
mientras los números 0, 1, 2 y 3 son fácilmente reconocibles, los 4, 5, 6 y 7, son antiguos y no corresponden a los actuales.
Miguel Stifel, 1486-1567, religioso agustino que
abrazó las doctrinas de Lutero, fue un matemático
alemán del que se dice que introdujo y utilizó por primera vez los signos + y -, así como las letras para
designar cantidades desconocidas. En 1559 comenzó
a enseñar matemáticas en la universidad de Jena. En
1544 había publicado en Nuremberg su Arithmetica
integra, en la que, además de dar una idea de los
logaritmos, aparece un triángulo con números figurados del que se servía también para calcular raíces.
Daba con ello crédito a otro triángulo anterior debido
a Cardano, 1501-1576, y que aparece publicado en
1570 en el libro V de su obra Opus novum de proportionibus numerorum motuum, arreglo de trabajos
anteriores, como los de Lucas Paccioli. Este triángulo
contenía la disposición más parecida a la de Pascal.
su amigo Tartaglia. A Cardano también se le debe
Computus minor, Artis magnae, sive de regulis algebraicis, célebre tratado que proponía ampliar hasta 10
libros, formando así una gran obra sobre el Ars magna,
Ars magna Arithmeticae, dedicada al obispo de Borgo.
Alguno de sus trabajos sobre álgebra sirvió a Ferrari
para encontrar la fórmula que proporciona las raíces de
una ecuación de cuarto grado.
Jerónimo Cardano
Triángulo de Cardano, 1570
En el año 1545, el algebrista alemán Johannes
Scheubel, 1494-1570, también se refería al triángulo
aritmético en su obra De numeris. En el pie de la
tabla figura la palabra raíces, lo que nos descubre su
utilidad o empleo.
Triángulo de Michael Stifel, 1544
Jerónimo Cardano, sabio italiano, filósofo, médico y
matemático algebrista, utilizaba el citado triángulo para
determinar el total de maneras de tomar dos o más
objetos de un conjunto de n, es decir, para el cálculo
combinatorio. A Cardano se le atribuye la demostración
de la fórmula para la resolución de la ecuación cúbica,
aunque parece que nadie niega que su descubridor fue
Triángulo de Scheubel, 1545
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ACTA
Pascal y la teoría de números
El matemático italiano Niccolo Fontana, 14991557, nacido en Brescia y más conocido por Tartaglia, apodo debido a su tartamudez como consecuencia de ser herido por un soldado francés, a la edad de
doce años, en el saco de su ciudad natal, cita un triángulo en forma de tabla en su tratado sobre números
y medidas, General trattato di numeri e misure, publicado en Venecia; posteriormente habla de un segundo triángulo empleado para calcular el total de maneras en las que podían caer n dados sobre un tablero.
Se dice que Pascal pudo haberse inspirado para la
construcción de su triángulo en otro del flamenco Stevin, 1548-1620, que, como Stifel, también lo usaba
para la extracción de raíces. Parece que Pascal también conocía otra tabla, la contenida en un tratado
sobre álgebra de Hérigone, Cursus mathematicus,
que servía para el cálculo de los coeficientes del desarrollo en potencias positivas del binomio (a+b)n.
Marin Mersenne
Es probable que Pascal también se inspirara en la
Table des variétés d´un chant de 12 notes prises en
36 que Mersenne presenta en su Harmonicorum Libri
XII, año 1636.
Triángulo de Tartaglia para toma de medidas, 1523
A Tartaglia se debe, como ya se ha dicho, la
fórmula para encontrar las tres raíces de una ecuación cúbica. Fue profesor en Verona y después en
Milán y Venecia, donde ocupó una cátedra desde
1554 hasta su muerte. Fue un matemático insigne
que conoció el teorema del binomio para exponentes enteros y positivos; estudió gran número de
pesos específicos y perfeccionó la balística. Tradujo al italiano los Elementos de Euclides y obras de
Aristóteles.
à
Tabla de Marin Mersenne, 1636
3. El triángulo aritmético
de Pascal
Triángulo de Tartaglia, 1556
46
Pascal comienza sus investigaciones sobre el triángulo aritmético en 1654. Es el primero en estudiarlo sistemáticamente, haciendo incluso imprimir una memo-
Pascal y la
teoría de
números
ria, Traité du triangle arithmétique, Tratado del triángulo aritmético, alguna de cuyas partes no vería la luz
hasta 1665, después de su muerte. Se encontraron
entre los papeles dejados por Pascal y posteriormente
fueron editadas en la imprenta de Guillermo Desprez
con el título Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres traités sur le même sujet, 4 parties en 1 vol.
in 4º. Las secciones más técnicas del libro están redactadas en latín: De numeris multiplicibus, donde escribe
sobre criterios de divisibilidad basados en la suma de
las cifras que componen un número; Postetatum numericarum summa, donde se calcula la suma de potencias
de números y, De numerorum continuorum productis,
producto de números consecutivos. Sin embargo, las
partes más sencillas o vulgares, las escribe en francés.
Tampoco olvida, entre los tratados anejos, estudiar e
incluir los cuadrados mágicos, Traité des nombres
magiquement magiques, tema que considera como el
más célebre y difícil de los problemas aritméticos.
Pascal pasó algunos años empeñado, más bien, en
su conversión religiosa desde el jansenismo al auténtico
catolicismo romano, y eso le alejó de sus preocupaciones científicas. La obra citada más arriba comprende el
Triangle arithmétique propiamente dicho, además de
otros tratados que muestran las aplicaciones del triángulo, los números figurados, Numeri figurati u Ordres
numériques, órdenes numéricos, las combinaciones y,
como ya se ha dicho más arriba, problemas sobre sumas
de potencias y productos de números consecutivos.
de las potencias del binomio, la suma de potencias
numéricas, el producto de números consecutivos; lo
emplea también para otra rama de su invención, las
probabilidades, investigando sobre el problema de los
partis, los repartos o repartimientos.
En la obra mencionada, Pascal dispone los números empleando un triángulo rectángulo como el que
se muestra en la ilustración.
Así construyó este triángulo. Trazó, en primer
lugar, dos rectas, horizontal y vertical, perpendiculares entre sí, las Gµ y GH, partiendo de un mismo
punto o vértice, rectas que dividió en partes iguales;
con el trazado de líneas paralelas a las anteriores por
los puntos de división, consigue formar una rejilla de
casillas en las que coloca los números enteros que forman el triángulo aritmético propiamente dicho. Además, une las divisiones correspondientes de las primeras rectas entre sí, con lo que consigue triángulos
cuya base es esa línea de unión. El procedimiento lo
continúa indefinidamente. Por último, y para darle al
triángulo una apariencia simétrica, traza una recta
diagonal desde el vértice de arranque de las rectas
base, hacia la derecha y hacia abajo. Pascal designa
las casillas con letras latinas, como las G, R, S, ..., o
con griegas, σ, π, λ, ..., designación que luego empleará en sus teoremas y demostraciones.
Pero lo que hace que Pascal sea reconocido como
verdadero investigador de la construcción y del contenido de este triángulo es el hecho de haber ido más
lejos que sus predecesores: introduce el razonamiento por recurrencia; utiliza la disposición triangular
para distintas aplicaciones de la aritmética, como los
órdenes numéricos, la combinatoria, los coeficientes
Finaliza Pascal la construcción del triángulo escribiendo: [...] Ahora los números que se ponen en cada
celda se colocan por este método: el número de la primera celda que está en el ángulo recto es arbitrario;
pero una vez colocado, los demás vienen forzados; y
por esta razón se le llama generador del triángulo.
Cada uno de los otros está indicado por esta regla
única: el número en cada celda es igual al de la celda
que le precede en su rango perpendicular más el de
la celda que le precede en su rango paralelo.
Triángulo aritmético original de Pascal
Pascal comienza su tratado sobre el triángulo con
una serie de definiciones. Llama rangos paralelos a
las líneas horizontales; rangos perpendiculares, a las
verticales; bases, son las diagonales paralelas a la
base del triángulo, es decir, a la hipotenusa. Y cellules, celdas o casillas, como ya se ha dicho, las formadas por las intersecciones de las líneas horizontales y
verticales. Los rangos están numerados, tanto en
horizontal como en vertical, mediante les exposants,
lo que hoy podríamos llamar coordenadas. La primera fila y primera columna contienen el número 1 en
todas sus casillas. Precisamente al número contenido
en la casilla más próxima al ángulo recto, que como
ya hemos dicho, le llama generador del triángulo y
que, en el caso que nos ocupa, es el 1, pero podría
ser cualquier otro entero. Dos casillas pertenecientes
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ACTA
Pascal y la teoría de números
a una misma base se llaman recíprocas cuando distan
lo mismo de sus extremos. Por ejemplo, en la base 5,
son recíprocas las casillas separadas de sus respectivos extremos por una sola: las dos tienen el mismo
contenido, el 4.
Así se completan los contenidos del resto de casillas del triángulo: cada casilla de una base es la suma
de las dos casillas que le preceden y siguen en la base
anterior. Por ejemplo, el 4 de la base 5, es la suma de
1 y 3 de la base 4.
Pascal nos ha dejado escritas en su tratado, dieciocho
consecuencias además de otra a la que llama consecuencia última. Las once primeras tratan sobre igualdades
existentes entre los números de las distintas casillas; a
partir de la doce, Pascal se interesa por las proporciones
que relacionan los números con las coordenadas horizontales y verticales. Trascribiremos algunas de ellas,
empleando nuestro lenguaje matemático actual.
Consecuencia primera. Todas los números de la
primera línea y de la primera columna son iguales
entre sí e iguales al número generador.
Consecuencia segunda. Todo número de una
determinada línea horizontal es igual a la suma de
todos los números contenidos en la línea anterior,
desde su inicio hasta el que está sobre el número considerado. Por ejemplo, 6 de la segunda fila, es igual a
1+1+1+1+1+1 de la primera fila. El 4 de la cuarta fila es la suma 1+3 de números pertenecientes a
la tercera fila. Y así sucesivamente.
Consecuencia tercera. Todo número es igual a la
suma de los elementos que están en la columna precedente, desde su inicio hasta el que está en la misma
fila que el número considerado. Así, 10 de la tercera
columna, es igual a 1+2+3+4, de la segunda.
Consecuencia cuarta. Todo número disminuido
en una unidad es igual a la suma de todos los situados entre la fila y columna precedentes al número
considerado y hasta el origen del triángulo. Así, el 10
de la fila tercera, cuarta columna, disminuido en uno,
9, es igual a la suma 1+1+1+1+2+3.
Consecuencia quinta. En todo triángulo aritmético, todo número situado en una determinada base, es
igual a su recíproco.
Consecuencia sexta. Las líneas horizontales y verticales que tengan las mismas coordenadas, contienen los mismos números.
Consecuencia séptima. En todo triángulo aritmético, la suma de los números de una base es igual al
doble de la suma de los números de la base precedente. Así, la suma de los elementos de la base 5,
1+4+6+4+1=16, es igual al doble de los contenidos en la base 4, 1+3+3+1=8.
En la consecuencia doce, Pascal hace uso, por primera vez, de la inducción matemática completa o
demostración por recurrencia: en todo triángulo aritmético, si se toman dos casillas consecutivas pertenecientes a una misma base, la superior es a la inferior,
como el total de casillas desde la superior, ella comprendida, hasta la parte alta de la base es al total de
casillas desde la inferior, ella comprendida, hasta la
parte baja de la base. Tomemos, por ejemplo, la base
5, y de ella los números 6 y 4. Entonces, el total de
casillas comprendidas entre el 6 y la parte superior es
3 y el de casillas comprendidas entre el 4 y la parte
baja es 2. Entonces, es 6/4=3/2.
Pascal demuestra que esto se verifica en todas las
bases y, para ello, se apoya en dos lemas: el primero en
el que dice que esta proposición es evidente en la segunda base, pues 1 es a 1 como 1 es a 1; el segundo donde
anota que si esta proporción se encuentra en una base
cualquiera, se encontrará también en la base siguiente.
Y termina: de donde se ve que ella se da necesariamente en todas las bases pues se da en la segunda por el primer lema y por el segundo también en la tercera base,
después en la cuarta y hasta el infinito.
à
4. Aplicaciones del triángulo
deducidas por Pascal
Contenido del triángulo aritmético original de Pascal
48
En su trabajo titulado, Divers usages du triangle
arithmétique dont le générateur est l’unité, Diversos
usos del triángulo aritmético cuyo generador es la unidad, figuran cuatro aplicaciones: los órdenes numéricos, las combinaciones, determinación de los repartos
Pascal y la
teoría de
números
y la potencia de los binomios (a + b) o (a - b). Pascal llama apotome a los segundos en los que se contiene una diferencia de enteros.
La regla minuciosa con la que Pascal rellena su
triángulo le sirve para representar los órdenes
numéricos. Así, la primera fila está formada por la
unidad, es decir, por los números del primer orden
numérico. Cada elemento de la segunda fila, como
sabemos, se obtiene de la primera sumando los que
le preceden en esa fila hasta él mismo, consecutivamente,
1 1 1 1 1 1 ...
1 2 3 4 5 6 ...
llegando así a la sucesión natural o números del
segundo orden numérico. Continuando de esta
manera, obtenemos la tercera fila del triángulo, que
coincide con la sucesión de tercer orden o números
triangulares,
1 3 6 10 15 21 ...
en la que cada elemento vale, Tn = 1+2+3+ ...+
(n-2) + (n-1) + n = n (n+1) / 2.
De igual manera, a partir de los anteriores, se
forma el cuarto orden, o de los números piramidales
o tetraédricos, pirámide de base triangular, que constituyen la cuarta fila del triángulo de Pascal:
1 4 10 20 35 56 84 ...
Un número entero piramidal Tn obedece a la
expresión combinatoria,
Con esta construcción de una línea a partir de la
precedente, y siguiendo hasta el infinito tanto en
número de líneas como en el contenido de cada una
de ellas, se obtienen de éstas todos los números figurados correspondientes a un mismo orden, ya descubiertos y empleados por los pitagóricos.
Las matemáticas de las combinaciones no eran
desconocidas en la época de Pascal. El padre Mersenne, que era un apasionado de la música, utilizaba la
teoría de las variaciones, permutaciones y combinaciones para la disposición de notas musicales. Pascal, por
su parte, únicamente considera las combinaciones sin
repetición y para él el orden de los elementos combinados no dará lugar a combinaciones diferentes.
Pascal se sirve de su triángulo para resolver con
facilidad el total de combinaciones, es decir, dados
dos números, averiguar cuántas veces uno se combina con el otro, lo que en redacción matemática actual
diríamos, calcular Cm,n. Este problema se lo había
propuesto su amigo Aimé de Gaignières.
Pascal se apoyó en varios lemas que él mismo
enunció. Veamos alguno de ellos.
Lema I. Un número no se combina con otro más
pequeño; por ejemplo, 4 no se combina con 2. Para
nosotros, eso significa que Cm,n = 0, si es m < n.
Lema II. Un número cualquiera se combina sólo
una vez con su igual; 1 en 1, se combina una vez; 2
en 2, se combina una vez. Equivale a Cm,m = 1.
Lema III. La unidad se combina con cualquier
número que sea tantas veces como unidades contiene. Dicho en nuestro lenguaje, Cm,1 = m.
En relación con este lema, Pascal nunca habló de
que Cm,0 = 1.
Lema IV. Si se tienen cuatro números cualesquiera, el primero tal como se quiera, el segundo más
grande que la unidad, el tercero como se quiera, pero
que no sea menor que el segundo, el cuarto más
grande en una unidad que el tercero: el total de combinaciones del primero con el tercero, junto con el
total de combinaciones del segundo con el tercero,
iguala al total de combinaciones del segundo con el
cuarto.
Pascal nos deja en su escrito un ejemplo: sea el
primero, 1; el segundo más grande en una unidad, 2;
el tercero, por ejemplo, 3; el cuarto superior al tercero en una unidad, 4. Entonces, el total de combinaciones de 1 con 3, más el total de 2 con 3, es igual al
total de combinaciones de 2 con 4.
Con el lenguaje matemático actual, el ejemplo lo
escribiríamos como, C3,1 + C3,2 = C4,2. Los tres primeros lemas son inmediatos; la demostración de este
cuarto, basada en los lemas citados, le ocupa a Pascal varios párrafos. En general, este último lema se
enunciaría así: Cm,n + Cm,n+1 = Cm+1,n+1.
Como ya hemos visto, los números figurados llenan el triángulo de Pascal. Éste, además, investigando su triángulo, se había dado cuenta de que tales
números están relacionados con el producto de
números consecutivos. Esta es una conclusión de
Pascal: cada producto de tantos números consecutivos como se quiera es un múltiplo del producto de
otros tantos consecutivos comenzando por la unidad;
y el cociente del uno por el otro es un número figurado. Con esta propiedad o conclusión, Pascal transforma su triángulo en cocientes iguales a cada uno de
49
ACTA
Pascal y la teoría de números
los números figurados que contiene. Por ejemplo, los
cinco primeros elementos de la primera fila serían los
cocientes siguientes,
demostrar numerosas proposiciones relativas al cálculo combinatorio.
Un número figurado cualquiera, como el 6, tercero de la tercera fila, sería el cociente,
Así comienza Pascal su teoría del desarrollo de la
potencia de un binomio: Si se propone encontrar la
potencia cualquiera, como la de cuarto grado, de un
binomio cuyo primer número sea A y el otro la unidad,
es decir, el cuadrado-cuadrado de A+1, es preciso
tomar en el triángulo aritmético la base quinta, a saber,
la de la coordenada 5, una unidad más grande que 4
que es el orden propuesto. Las casillas de esta quinta
base son 1, 4, 6, 4, 1, y es preciso tomar el primer
número 1 para coeficiente de A al grado propuesto, es
decir, A4; a continuación, tomar el segundo número de
la base que es 4 para coeficiente de A al grado propuesto menos una unidad, es decir, 4 A3; [...]. Y así se
obtendrá, 1 A4 + 4 A3 + 6 A2 + 4 A + 1, que será la
potencia del cuadrado cuadrado del binomio A + 1.
Pasar de aquí a los números combinatorios ya no
ofrece ninguna dificultad a Pascal. Así, volviendo al
ejemplo último del número 6, y empleando nuestra
actual notación, tendremos:
Pascal indica después en su Résolution genérale
des puissances numériques, Resolución general de las
potencias numéricas, que la regla anterior es válida
para toda potencia del binomio propuesto en su
ejemplo, pero también sirve para toda potencia de un
binomio (a + b) cualquiera, ya que la base de coordenada m + 1, nos da los coeficientes del desarrollo
en potencias sucesivas de (a + b)m.
cocientes que valen, respectivamente, 1, 1, 1, 1, 1.
De igual manera, los cinco primeros cocientes
correspondientes a la segunda fila, serían,
cuyos valores respectivos son, 1, 2, 3, 4, 5.
Entonces, los primeros elementos de la tercera fila
del triángulo serían los siguientes números combinatorios:
Y, por ejemplo, la quinta base del triángulo está
formada por los números combinatorios siguientes:
Esta forma de escribir los números combinatorios
no fue la empleada por Pascal, puesto que todavía no
era conocida. Tampoco el signo utilizado para los factoriales.
En general, sabemos que es,
Más adelante en su tratado, Pascal dice que es
posible también resolver las potencias de los apotomes, de los binomios con signo menos, A – 1, A – 2,
etc., pues los signos + y – se siguen siempre alternativamente, y el signo + es siempre el primero.
La fórmula del desarrollo del binomio lleva, con
toda justicia, el nombre de binomio de Newton, ya
que a él se debe su generalización a exponentes cualesquiera, enteros, fraccionarios, inconmesurables.
Pero fue Blas Pascal el primero que la descubre y utiliza para los números naturales. Se sospecha que los
matemáticos alejandrinos que vivieron en los primeros siglos de nuestra era también hicieron uso de ella
pero para números muy pequeños.
UTILIZACIÓN DEL TRIÁNGULO PARA LA SUMA
DE POTENCIAS
Uno de los problemas que Pascal propone y resuelve en sus
trabajos es encontrar el valor de la suma de los términos de
una progresión aritmética de razón 3, por ejemplo, y cada
uno elevado al cubo,
Σn3 = 53 + 83 + 113 + 143
El triángulo aritmético de Pascal o, lo que es lo
mismo, la tabla de las combinaciones, permite
50
(1)
Para ello, Pascal convierte el problema en otro equivalente
que se adapte a su triángulo aritmético teniendo en cuenta,
para este ejemplo, el desarrollo del binomio (A + 3)4:
Pascal y la
teoría de
números
(A + 3)4 = A4 + 12 A3 + 54 A2 + 108 A1 + 81
(2)
Haciendo en (2), A = 14, se obtiene:
(14 + 3)4 = 174 = 144 + 12x143 + 54x142 + 108x14 + 81
De la expresión (2) se deduce,
(A + 3)4 - A4 = 12 A3 + 54 A2 + 108 A1 + 81
(3)
con lo que Pascal obtiene así una propiedad que se verifica
para cualquier valor de A.
Para aplicar ahora esta propiedad a la suma de potencias propuesta (1), escribe, en primer lugar, el término (A +3)4 = 174,
bajo otra forma equivalente haciendo intervenir los números
de la serie aritmética considerada (1) y de manera que los términos se anulen dos a dos, así,
174
=
174
(-144
144)
(-114
+
+
+
+
+ (-84 + 84) + (-54 + 54)
114)
+
de donde se deduce que
174 – 54 = (174 – 144) + (144 – 114) +
+ (114 – 84) + (84 – 54)
à
5. Los repartos entre jugadores
Por último, hablaremos brevemente sobre el problema de los repartos. Se tiene muchas veces la
idea de que Pascal, inventor del cálculo de probabilidades, podría haber introducido esta noción durante
el estudio de su triángulo aritmético dado que el problema de los repartos, que pertenece a los juegos de
azar, lo resuelve apoyándose en su triángulo. Realmente la noción de probabilidad figura por primera
vez en sus cartas Provinciales, en 1656, cuando Pascal
está empeñado en sus reflexiones de orden moral y
teológico sobre opiniones probables y no sobre el azar.
El cálculo de probabilidades era desconocido para
los antiguos. Fue intuido tanto por Cardano como por
Galileo, pero sus fundamentos y descubrimiento se
deben a Pascal y Fermat; esa cultura fue aprovechada y ampliada, más tarde, por Bernoulli, Moivre,
Laplace y Gauss.
(4)
Aplicando ahora a cada diferencia de (4) la propiedad (3),
se obtiene sucesivamente,
174 – 144 = 12x143 + 54x142 + 108x14 + 81
144 – 114 = 12x113 + 54x112 + 108x11 + 81
114 – 84 = 12x83 + 54x82 + 108x8 + 81
84 – 54 =12x53 + 54x52 + 108x5 + 81
Sustituyendo estas igualdades en el segundo miembro de
(4) y sacando factores comunes, Pascal obtiene la suma
deseada:
174 – 54 = 12(53 + 83 + 113 + 143) +
54(52 + 82 + 112 + 142) +
108(5 +8 + 11 + 14)
4x81 =
12Σn3 + 54Σn2 + 108Σn + 4x81
Despejando ahora Σn3, Pascal deduce la fórmula definitiva,
Σn3 = (174 – 54 – 54Σn2 - 108Σn – 4x81) / 12
En tiempos muy anteriores a Pascal, otros muchos expertos
en teoría de números encontraron la forma de calcular
sumas de potencias de enteros. Arquímedes conocía el
valor de 12 + 22 + 32 + 42 + ... ; Nicomedes también
conoció la suma de los cubos, 13 + 23 + 33 + ... Contemporáneos de Pascal, como Roberval y Fermat, también se
preocuparon por esta cuestión.
Pierre de Fermat
Como ya hemos dicho en varias ocasiones, Pascal
mantenía una correspondencia abundante con los
matemáticos de su época, y especialmente con Fermat. En 1654 trata con él del problema de los partis,
problema al que Pascal llegará a dar una solución
plena y rigurosa basada en su triángulo aritmético.
Otros matemáticos antes que Pascal ya se habían
preocupado en darle solución. Entre otros, Lucas
Paccioli, profesor de Leonardo da Vinci, Tartaglia,
que decía que este problema pertenecía más bien al
orden judicial que al racional, y Cardano. Pero, como
ha sucedido otras veces, será Pascal quien encuentre
una solución sencilla y clara, solución basada, como
hemos anunciado, en la teoría de la decisión y no en
la de las probabilidades.
Enunciemos la cuestión. El problema de los repartimientos consiste en determinar la parte de una
suma apostada o puesta en juego, que debe ser entregada a cada jugador cuando se interrumpe el juego,
51
ACTA
Pascal y la teoría de números
por ejemplo, por abandono de uno de ellos. Pascal
habla, en esta solución, de sólo dos jugadores.
Pascal no menciona la solución del problema de
ninguno de sus predecesores, aunque la suya tenga la
misma perspectiva que la de Paccioli. Pascal demuestra que propuestos dos jugadores a cada uno de los
cuales le falta un cierto número de partidas para acabar, [...] es posible encontrar mediante el triángulo
aritmético el repartimiento que es preciso hacer si
ellos quisieran separarse sin jugar, considerando las
partidas que le faltan a cada uno. La solución está en
las bases del triángulo aritmético.
Sea el ejemplo siguiente. Consideremos un juego
entre dos jugadores, A y B, en el que al primero le
quedan 2 partidas para ganar, mientras que al segundo le faltan 4. Para determinar los repartimientos que
le corresponden a cada uno, basta con leer en el
triángulo aritmético el contenido de la base que contiene tantas casillas como partidas le quedan a los dos
jugadores juntos, es decir, de la base, 2 + 4 = 6, y
sumar todos los contenidos de esa base, 1 + 5 + 10
+ 10 + 5 + 1 = 32. Para determinar ahora lo que
le corresponde a uno de los jugadores, por ejemplo al
A, se calcula, en primer lugar, la suma de los contenidos de tantas casillas, 4, como jugadas le faltan al
adversario a contar desde el extremo de la base, es
decir, 10 + 10 + 5 + 1 = 26. Entonces, al jugador
A, le corresponderá una fracción igual a 26 / 32. De
igual manera se calculará la fracción que le corresponde al jugador B: (1 + 5) / 32 = 6 / 32.
También es posible conocer la ventaja de cada jugador respecto del otro: es igual a la relación entre las dos
fracciones anteriores, (26 / 32) / ( 6 / 32) = 26 / 6.
Tanto la solución de Fermat como la dada por Pascal
pasarían por la utilización de un árbol de decisión en el
que se incluyeran todas las situaciones posibles; la diferencia entre ambos consiste en que Fermat considera en
el árbol las situaciones imposibles y Pascal no lo hace.
à
6. Criterio de divisibilidad
En su tratado De numeris multiplicibus, De los
caracteres de divisibilidad de los números deducidos
de la suma de sus cifras, Pascal establece unos criterios de divisibilidad basándose en la suma de las
cifras que componen el número y para ello comienza
haciendo una proposición única: reconocer con la
sola inspección de la suma de sus cifras si un número
dado es divisible por otro número dado. Extraemos
de sus Obras Completas, Aux Éditions du Seuil,
1963, un ejemplo de esta mecánica aplicada a la divisibilidad por 7.
Sea investigar cuáles son los múltiplos del número 7. Yo escribo la sucesión de los diez primeros
números y formo la tabla siguiente, en la que en la
primera línea figuran los números de la serie natural
en orden decreciente,
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2 3 1 5 4 6 2 3 1
procediendo como sigue:
n Escribo la unidad debajo de la unidad. De la
unidad tomada diez veces, quito el 7 tantas
veces como sea posible y escribo el resto 3,
debajo de la cifra 2.
n Multiplico ese resultado 3 por 10 y, del producto
30, quito el 7 tantas veces como me sea posible y
coloco el nuevo resto 2 debajo de la cifra 3.
n Multiplico el 2 por 10 y, del producto 20, quito
el 7 tantas veces como sea posible y coloco el
resto 6 debajo del 4.
n De 60 quito el 7 tantas veces como pueda y
escribo el resto 4 debajo del 5.
n De 40 quito varias veces el 7 y el resto 5 lo escri-
bo debajo del 6.
n De 50 quito los 7 y el resto 1 lo escribo debajo
del 7.
n De 10 quito 7 y el resto 3 lo coloco debajo del 8.
n De 30 quito el 7 tantas veces como pueda y el
resto 2 lo escribo debajo del 9.
n Los restos ya obtenidos, 1, 3, 2, 6, 4 y 5 vuelven
a aparecer y en el mismo orden e indefinidamente.
Blas Pascal joven, retrato a la sanguina por Jean Domat
52
Una vez formada esta tabla, Pascal la aplica a un
número concreto para saber si es divisible por 7.
Pascal y la
teoría de
números
Sea ahora reconocer si un número cualquiera
como el 287 542 178 es múltiplo de 7. Tomo la primera cifra del número comenzando por la derecha y
la multiplico por la unidad (que en nuestra tabla está
colocada debajo del número 1).
n Escribo el producto de 8 por la unidad, es decir, 8
n Después escribo el producto de 7 por la cifra 3 21
n Después el producto de 1 por 2
2
n Después 2 por 6
12
n Después 4 por 4
16
n Después 5 por 5
25
n Después 7 por 1
1
n Después 8 por 3
24
n Después 2 por 2
4
Y hago la suma
119
Si 119 es divisible por 7, el número 287 542 178
también lo será.
Pascal utiliza letras mayúsculas para formar la
segunda línea de la tabla anterior y hace los cálculos
con ellas como si se tratara de expresiones algebraicas. Esta es la tabla original escrita por Pascal:
Disposición usual de los números en el triángulo de Pascal
Una primera inspección a la nueva disposición
nos muestra los números naturales, 1, 2, 3, 4, 5, ...,
en la segunda diagonal; los triangulares, 1, 3, 6,
10, ..., en la tercera y los tetragonales, 1, 4, 10, 20,
35, ..., en la cuarta.
Veamos una segunda deducción. Numeremos las
filas de la nueva distribución de números, comenzando en el vértice superior, fila 0, fila 1, fila 2, ... Si
ahora sumamos los elementos de cada fila obtenemos los siguientes resultados: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ..., es
decir,
fila 0
1 = 20
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
fila 1
1 + 1 = 2 = 21
K I H GF E D C B 1
fila 2
1 + 2 + 1 = 4 = 22
fila 3
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
Por ejemplo, B corresponde al resultado o resto
3, y así sucesivamente.
à
7. Otras deducciones
del triángulo aritmético
Conocida ya la construcción del triángulo de Pascal, vamos ahora a explorarlo para poder extraer del
mismo una serie de consecuencias así como propiedades que se encuentran entre sus números y de las
que Pascal nunca habló porque quizá no llegó a
conocerlas.
Pero para ello, hemos de comenzar anotando que
la disposición que Pascal hizo de los números en su
triángulo, y que es la que hemos venido mostrando a
lo largo de este trabajo, no coincide con la que estamos acostumbrados a ver en los libros de matemáticas de hoy. La apariencia actual es como la que se
muestra en el esquema que sigue.
...................................
Por lo tanto, la suma de los elementos de la fila i
vale 2i.
Una nueva inspección al triángulo tiene que ver
con los números primos. Si nos fijamos en las filas
cuya numeración corresponda con un número primo,
como las filas 2, 3, 5, 7, 11, ..., todos los números que
contiene, excluyendo los unos de comienzo y fin, son
divisibles por ese número de orden de la fila. Por
ejemplo, todos los elementos de la fila 7, los, 7, 21,
35, 35, 21 y 7, son divisibles por 7. Podríamos enunciar así: si el número n de una fila es primo, entonces
todos los elementos de esa fila, excepto los unos, son
múltiplos de n.
Se denomina sucesión de Fibonacci la siguiente:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
es decir, aquella que comienza por 1 y 1 y en la que
cada elemento siguiente es la suma de los dos anteriores. Pues bien; podemos observar que el triángulo
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ACTA
Pascal y la teoría de números
de Pascal contiene la sucesión de Fibonacci. Basta
hallar la suma de los números contenidos en sus diagonales transversas:
diagonal transversa 1
diagonal transversa 2
diagonal transversa 3
1
1
1+1=2
diagonal transversa 4
diagonal transversa 5
2+1=3
1 + 3 + 1= 5
Del triángulo de Pascal aún se pueden deducir
otras consecuencias que son objeto de muchos libros
de entretenimientos matemáticos.
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8. Referencias
Centre International de synthése, L'œvre scientifique de Pascal, PUF, 1964.
Delahaye, Jean-Paul, Merveilleux nombres premiers, BELIN Pour la Science, París, 2000.
Descotes, Dominique, Pascal, le calcule et la théologie, Les Génies de la Science, Publicación Pour la Science,
París, 2003.
García Merayo, Félix, Pascal: el científico, el filósofo, el teólogo, ACTA, Manual Formativo, 39, 2006.
http://milan.milanovic.org/math/english/fibo/fibo0.html
www.csam.montclair.edu/~kazimir/patterns.html
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