Download Introducción PARTE I ASTRONOMÍA Tema 1. La esfera

ÍNDICE GENERAL
Introducción
9
PARTE I
ASTRONOMÍA
Tema 1.
La esfera celeste
13
Tema 2.
Órbitas
25
Tema 3.
Movimientos geocéntricos
37
Tema 4.
Corrección de coordenadas
45
Tema 5.
El Tiempo en Astronomía
53
PARTE II
ASTROFÍSICA
Tema 6.
Parámetros estelares
61
Tema 7.
Clasificación espectral. Evolución estelar
75
Tema 8.
Estrellas binarias y variables
89
7
Astronomía y Astrofísica
Tema 9.
El Sol
107
Tema 10.
Medio interestelar
115
Tema 11.
Galaxias - Cosmología
121
Bibliografía
133
Índice alfabético
134
Principales unidades y constantes usadas en
Astronomía y Astrofísica
137
8
Tema 1
LA ESFERA CELESTE
φ 24o 31 N, se determinan las coordenadas
o
1
obteniéndose un azimut A 257 50 .884 y una
1.1 Desde un punto situado a una latitud
horizontales
altura
h
de una estrella,
21o
221 .1.
a) Determine las coordenadas horarias de esa estrella.
b) La eclíptica y el ecuador se cortan en dos puntos, uno de los cuales es el punto
P . Sabiendo que sus coordenadas en ese momento
h 44o 21 .4, determine la ascensión recta de la estrella.
vernal. Sea el otro punto
son
A 295o .34
y
Solución
a) Las fórmulas que proporcionan las coordenadas horarias en función de las
horizontales son
cospδ q senpH q
senpzq senpAq
cospδ q cospH q senpz q cospAq senpφq cospz q cospφq
senpδ q senpz q cospAq cospφq cospz q senpφq
Se sabe la altura de la estrella, pero en las fórmulas se necesita la distancia
cenital
z
90o 21o 221.1 68o 371.9
Sustituyendo los valores de
se tiene
δ
19o
071 .045.
A, z y φ en la tercera ecuación de las anteriores,
Dividiendo la primera ecuación por la segunda se tiene
H
arctan
senpz q senpAq
senpz q cospAq senpφq cospz q cospφq
13
Astronomía y Astrofísica
y de aquí,
H
105o.521, ó H 285o.5212. Para decidir cuál de los dos
valores es el correcto hay que estudiar el signo de
senpH q senpz q senpAq
cospδ q
que es negativo. Así pues el valor de
H
es el segundo por lo que las coor-
denadas horarias son
δ
19o
071 .005, H 285o .521 19h 2m .085
b) Se repite el proceso del apartado a) para el punto
P
obteniéndose un ángulo
o
horario de 319 .4816. Por tanto la diferencia entre los ángulos horarios de
P y de la estrella es de 33o .960, que corresponde a 2h 15m .84. Como la
ascensión recta del punto
P
es
es de
12h 00m ,
se tiene que la ascensión recta
α
14h
15m .84
1.2 Determine las coordenadas eclípticas de Saturno en el momento en que sus coor-
8h 5m 28s y δ 20o 351 32. Tome como valor de
o
la oblicuidad de la eclíptica 23 .439.
denadas ecuatoriales son
α
Solución
Las fórmulas que proporcionan las coordenadas eclípticas en función de las
ecuatoriales son
cospβ q cospλq
cospδq cospαq
cospβ q senpλq cospδ q senpαq cospq senpδ q senpq
senpβ q cospδ q senpαq senpq senpδ q cospq
De la tercera fórmula se obtiene inmediatamente
β
14
arc senp0.0046q
La esfera celeste
β 0o .264 ó 179o .736. Pero los valores de β pertenecen
rπ{2, π{2s, así que hay que descartar el segundo valor.
es decir,
al intervalo
Dividiendo la segunda ecuación por la tercera
λ arctanp1.792q
por lo que
λ 60o .837
ó
119o .162.
Para decidir cuál de los dos valores es el correcto, se estudia el signo de
cospλq cospδ q cospαq
cospβ q
y se comprueba que es negativo. Así pues el valor de
λ
es el segundo de los
posibles.
Las coordenadas buscadas son
β
0o .264,
λ
119o .162
α 4h 36m .641, δ 16o 311 .972
1
2
10 40 N), en el instante en que el punto vernal
1.3 Determine si es visible la estrella de coordenadas
en un punto de latitud (φ
37o
está en la dirección norte.
Solución
T S.
H 180o 12h .
H T S α 7h 23m .359.
Para el punto vernal, su ángulo horario coincide con el tiempo sidéreo
Puesto que está en la dirección norte, su ángulo horario es
El ángulo horario de la estrella es entonces
De la tercera de las fórmulas que permiten calcular las coordenadas horizontales en función de las horarias
cospz q cospδ q cospH q cospφq
se obtiene
z
senpδ q senpφq
95o.7262 que es mayor que 90o. Así pues, la estrella no es
visible en ese momento.
15
Astronomía y Astrofísica
1.4 Determine las cordenadas ecuatoriales de un cometa en el instante en que sus
λ 150o 31 212 , β o
1 2
es 23 26 21 .448.
coordenadas eclípticas son
oblicuidad de la eclíptica
3o
141 322 .
El valor de la
Solución
Las fórmulas que transforman las coordenadas eclípticas en ecuatoriales son
cos δ cos α
cos δ sen α
sen δ
cos β cos λ,
cos β sen λ cos sen β sen ,
cos β sen λ sen y de aquí se obtiene, en radianes,
sen β cos α 2.635284563,
y
δ
0.1468721812, que
son equivalentes a
α
10h
3m
57s .764,
δ
8o
241 542 .56
59o 461.4 N) se observa la estrella Adara ( Canis
h
m
s
o
1
Majoris) de coordenadas (α 6 58 38 , δ 28 58 ) a su paso por el vertical
1.5 En un punto de latitud (φ
de
145o .
Determine la distancia cenital en el momento de la observación.
Solución
De la fórmula
sen z cos A cos φ cos z sen φ
o
se tiene, para A 145 , que z 2,546458223 rad, o z 1,655863171 rad,
o
o
que corresponden a z 145 .901 o z 94 .873. Sólo la primera solución tiene
sen δ
sentido. Como es mayor que
90o , la estrella no es visible al paso por el vertical de
145o .
16
La esfera celeste
1.6 Determine la latitud de un lugar en el que se observa que una estrella de decli-
δ 25o 141 122 , tarda un tiempo t
h1 44o 441 582 a otra h2 57o 361 22 .
nación
2h 3m 4s en pasar de una altura
Solución
La distancia cenital se puede calcular mediante la fórmula
cos z
cos δ cos H cos φ
sen δ sen φ
h1 y h2 , y por tanto z1 90o h1 ,
z2 90o h2 y también se sabe que H2 H1 2h 3m 4s . Efectuando los
cálculos, se obtiene que φ 1.094295116 rad, que convertidos en grados, dan
En este caso, son conocidas las alturas
la latitud buscada
φ
62o
411 542 .57
X1
1.7 Se observan dos estrellas
mente,
(φ
pα1 5h,
δ1
y
X2
cuyas coordenadas absolutas son, respectiva-
40oq y pα2 6h,
δ2
15oq, desde un punto de latitud
36o 271 422 N) ¾A qué hora sidérea tendrán la misma distancia cenital?
Solución
De la fórmula
cos z
y de
H
cos δ cos H cos φ
sen δ sen φ,
T S α, se puede escribir
cos z1 cos δ1 cos pT S α1 q cos φ
cos z2 cos δ2 cos pT S α2 q cos φ
sen δ1 sen φ
sen δ sen φ
Se igualan las dos distancias cenitales y se resuelve la ecuación, obteniéndose
dos valores para
TS
TS
7h
27m
49s .46,
y
TS
10h
2m
16s .35
17
Astronomía y Astrofísica
1.8 Un observador situado en un lugar de latitud
ción
δ
φ
observa que un astro de declina-
recorre un paralelo en un día. La intersección, si existe, entre el horizonte y
el paralelo proporciona dos puntos llamados orto y ocaso que representan, respectivamente, los instantes en los que el astro pasa de alturas negativas a positivas
y viceversa. Demuestre que:
a) El ángulo horario
H0
cos H0
del astro satisface en el orto y en el ocaso las relaciones:
tan δ tan φ,
2
tan
H0
2
pφ δq .
cos
cospφ δ q
b) El tiempo (sidéreo) de permanencia del astro por encima del horizonte (llamado arco semidiurno) es igual a
2H0 .
c) El azimut del astro satisface, en el orto y en el ocaso, la relación:
cos A0
sen δ
cos
.
φ
Solución
a) De la fórmula
cos z
se obtiene para
z
cos δ cos H cos φ
90o
0 cos δ cos H0 cos φ
de donde despejando
cos H0
sen δ sen φ
sen δ sen φ
se tiene
cos H0
tan δ tan φ
(1.1)
A partir de la fórmula del ángulo mitad
tan2
sustituyendo
cos x
x
2
x
11 cos
cos x
por la expresión de
cos H0
obtenida antes y operando,
se llega a
2
tan
18
H0
2
cos pφ δ q
cos pφ δ q
(1.2)
La esfera celeste
Observe que ambas fórmulas dan dos valores para
H0
de igual valor abso-
luto y distinto signo.
b) El intervalo de tiempo sidéreo que el astro permanece por encima del
horizonte será la diferencia entre sus ángulos horarios en el ocaso y en el
orto. Se tiene
Hocaso Horto
2H0.
c) De la relación
sen z cos A cos φ
sen δ
se obtiene, para
z
cos z sen φ
90o
cos A0
sen δ
cos
φ
(1.3)
1.9 Halle el periodo de tiempo máximo y mínimo que el Sol está por encima del
horizonte en un día, en un lugar cualquiera de los trópicos (
¤ φ ¤ ).
Solución
Del problema anterior se sabe que el ángulo horario en el orto y en el ocaso
satisface la relación
cos H0
tan δ tan φ
φ y
, y φ y δ , respectivamente, con los signos opuestos para el
El máximo y el mínimo se darán (en el hemisferio norte) cuando
δ
hemiferio sur.
Para el máximo se obtiene
2H0
H0
1.759889446 rad 100o.8454730. Por tanto
convertido en tiempo proporciona
2H0
Para el mínimo se obtiene
H0
13h
26m
40s .43
1.381703208 rad 79o.16576232, es decir
19
Astronomía y Astrofísica
2H0
10h
33m
19s .566
Observe que, en particular, en el ecuador (φ
de aquí
2H0
180o
0) se tiene que cos H0 0 y
h
12 , siendo la duración del día independiente de la
declinación del Sol.
1.10 Determine la altura máxima del Sol el día del solsticio de verano en un lugar del
trópico de Cáncer (φ
).
Solución
La fórmula que relaciona la distancia cenital con la declinación y la latitud es
sen δ
sen z cos A cos φ
cos z sen φ
La altura máxima se dará en el paso por el meridiano. En ese momento
Además el dia del solsticio de verano
δ
. Por tanto
sen sen z cos cuya solución es
1.11
z
A 0.
cos z sen 0. Así pues, la altura del Sol en ese momento es de 90o
a) Describa el procedimiento para calcular el azimut, el ángulo horario y la
hora sidérea del orto y del ocaso de una estrella conocidas sus coordenadas
absolutas y la altura en la culminación al sur del cenit.
b) Haga todos los cálculos para la estrella Cástor (α Geminorum) de coordena-
31o 511.292, sabiendo que la altura de la estrella
o
1
en su culminación sur es h 79 52 .639.
das
20
α 7h 35m .479
y
δ
La esfera celeste
Solución
a) De la expresión
sen z cos A cos φ cos z sen φ
o
se puede hallar la latitud φ ya que z 90 h y se conoce h en el momento
de la culminación, cuando A 0.
sen δ
φ, como se conoce δ , mediante las fórmulas (1.3) y (1.1),
A0 y H0 en el orto y en el ocaso, y de éste último las horas
puesto que se conoce también α.
Una vez hallada
se puede hallar
sidéreas,
b) Para la estrella Cástor se tiene
culminación
A 0,
90o h 10o
z
71 .361.
Como en la
se puede escribir
sen z cos φ cos z sen φ
que resuelta, proporciona φ 2.762294501 rad, y φ 0.7326464594 rad,
sen δ
que corresponden a
158o .2678166
la latitud está comprendida entre
es válida. Así pues
41o 97754999, respectivamente. Como
90o ¤ φ ¤ 90o, la primera solución no
y
φ 41o 581 .65 N
sen δ
, se obtiene A0 2.360199946 rad, que
cos
φ
o
1 2
corresponde a los ángulos A0 135 13 46 .184. Por tanto los azimuts
De la expresión
cos A0
en el orto y en el ocaso son
Aorto
224o
461 132 .816,
Aocaso
135o
131 462 .184
cos H0 tan δ tan φ.
H0 2.164009233 rad, que corresponde a 123o .9885959, es de8h 15m 57s .26. Por tanto los ángulos horarios en el orto y en el ocaso
Los ángulos horarios se hallan mediante la expresión
Se obtiene
cir a
serán
Horto
15h
44m
2s .73,
Hocaso
8h
15m
57s .26
Por último, se hallan las horas sidéreas del orto y del ocaso mediante la
expresión
TS
H
α.
En este caso
21
Astronomía y Astrofísica
T Sorto
23h
19m
31s .473,
T Socaso
15h
51m
26s .003
1.12 Se llama crepúsculo al intervalo de tiempo comprendido entre dos posiciones del
Sol caracterizadas por una distancia cenital de
c
6o se llama crepúsculo civil y si
c
90o
y otra de
90o
c,
donde si
18o crepúsculo astronómico. Demuestre
que la duración del crepúsculo puede expresarse como el valor absoluto de:
sen δ sen φ sen c
arc cos cos δ cos φ
H0 .
Solución
Sean
δ
la declinación del Sol y
distancia cenital
zc
90o
cos z
c.
Hc
el ángulo horario en el que el Sol tiene una
Por la fórmula
cos δ cos H cos φ
sen δ sen φ,
sustituyendo se tiene
cos zc
Como
cos p90o
cos δ cos Hc cos φ
sen δ sen φ
cq cos 90o cos c sen 90o sen c sen c
se puede escribir
cos Hc
δ sen φ
sen ccos δsen
cos φ
La duración del crepúsculo será
|Hc H0|, es decir
sen c sen δ sen φ
arc cos
cos δ cos φ
22
H0 .
La esfera celeste
1.13 Calcule la duración del crepúsculo astronómico en un punto del ecuador terrestre
en general y el día del solsticio de verano. Tome
23o 261 212 .448.
Solución
18o para el crepúsculo astronómico.
En cualquier punto del ecuador terrestre la latitud es φ 0. Por otra parte,
o
se sabe que H0 90 para los puntos del ecuador (véase el problema 1.9).
Del problema anterior se sabe que
c
Aplicando la fórmula de la duración del crepúsculo del problema anterior se
tiene
sen 18o
arc cos cos δ
En particular, el día del solsticio de verano
sen 18o
arc cos cos δ
90o
, Así pues,
90o
Efectuando los cálculos numéricos en la fórmula anterior se obtiene
19o .6826315,
por lo que la duración del crepúsculo astronómico en un punto del ecuador el
día del solsticio de verano, es
1h
18m
43s .83
1.14 En un determinado lugar las alturas máxima y mínima de una estrella circumpolar
(es decir, que no tiene orto ni ocaso) son
h1
62o 301 152 y h2 6o 121 152.
Determine la latitud del lugar y la declinación de la estrella.
Solución
De la fórmula:
sen δ
sen z cos A cos φ
cos z sen φ
se obtiene
sen z1 cos A1 cos φ
cos z1 sen φ sen z2 cos A2 cos φ
cos z2 sen φ
23