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Segunda Prueba Parcial
768 –1/1
Lapso 2014-2
Universidad Nacional Abierta
Topología de Espacios Métricos (Cód. 768)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126
Área de Matemática
Fecha: 06-12-2014
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 4 y 5
OBJ 4 PTA 1 Consideremos el conjunto de todos los enteros Z con la distancia d( m,n )  m  n para
enteros cualesquiera m,n. ¿Es este espacio completo? Razone su respuesta.
SOLUCIÓN:
Sea xn una sucesión de Cauchy en Z con la distancia indicada. Observamos que si n,m son enteros
distintos, entonces d( m,n )  m  n debe ser mayor e igual a 1. Luego, la única forma que xn sea de
Cauchy es que xn sea constante a partir de algún momento y por ende convergente. Hemos demostrado
que el espacio es completo.
OBJ 5 PTA 2 Estudiar cuál de las siguientes propiedades son invariantes por funciones continuas
(propiedad topológica):
a) Puntos de acumulación.
b) Interior.
c) Cerrado.
d) Densidad.
Si usted cree que alguna de ellas es invariante demuéstrelo, si cree que la propiedad falla en ser
invariante de un contraejemplo.
SOLUCIÓN:
La propiedad c) no es un invariante topológico. Para ver esto tomemos el intervalo [0,oo) que es
cerrado y la aplicación y=arctgx. Esta aplicación es claramente continua y estrictamente creciente en el

 
intervalo dado. Además, lim x arctg x  . Luego, la imagen del intervalo considerado es 0, 
2
 2
que claramente no es cerrado.
La densidad d) tampoco se preserva ya que la función continua que es constante manda todos los
puntos en un mismo valor, que no es denso a menos que el espacio conste de un punto. Dejamos al
estudiante UNA que estudie las otras propiedades.
FIN DEL MODELO.
Especialista: José Gascón
Validador: Alfredo Espejo
Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática