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Tercera Parcial
Lapso 2010-1
711 –1/3
Universidad Nacional Abierta
Topología (711)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126
Área De Matemática
Fecha: 08 – 05– 2010
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 8, 9, 10 y 11.
OBJ 8 PTA 1
Dados los espacios topológicos homeomorfos X y Y , demostrar que si uno es Normal el otro también
lo es.
Solución:
Recordemos que dos espacios topológicos X y Y son homeomorfos si existe una función
f : X 
→ Y biyectiva, continua y con inversa f −1 : Y 
→ X continua. (esta función se denomina
homeomorfismo)
También recordemos la definición de Espacio topológico Normal:
El espacio topológico X es Normal si para cada par de cerrados C1 y C2 en X, existen entornos
abiertos disjuntos de C1 y C2 .
Su pongamos que X es normal, sean
C
1
y C2 dos conjuntos cerrados y disjuntos de Y. Entonces si f
es el homeomorfismo de X en Y, tenemos que f −1 (C1 ) y f −1 (C2 ) son conjuntos cerrados y disjuntos
(¿porqué?) de X , como X es normal , existen U1 y U 2 entornos disjuntos de f −1 (C1 ) y f −1 (C2 )
respectivamente. Entonces como f −1 (C1 ) ⊂ U1 ⇒ C1 ⊂ f (U1 ) , análogamente
f −1 (C2 ) ⊂ U 2 ⇒ C2 ⊂ f (U 2 ) , por lo tanto f (U1 ) y f (U 2 ) son entornos abiertos y disjuntos de C1 y
C2 respectivamente (¿porqué?), lo que indica que Y es Normal.
OBJ 9 PTA 2
Demostrar que todo espacio X métrico finito es completo.
Solución:
Sea {an } una sucesión de Cauchy en X, entonces {an } = { x1 , x2 ,..., xn , p, p, p,....} , para algún p ∈ X ,
por lo tanto es claro que an → p .Entonces X es completo.
OBJ 10 PTA 3
Sea ( X , T ) un espacio topológico compacto, T1 y T2 dos topologías de X, menos fina y más fina
respectivamente probar o dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
a) X es compacto con la topología menos fina (T1 )
b) X es compacto con la topología más fina (T2
)
Elaborado por: Alfredo Espejo
Área de Matemática
Tercera Parcial
Lapso 2010-1
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Criterio de Corrección: Se debe contestar correctamente las dos partes de la pregunta para lograr el
objetivo.
Solución:
a) Cierto, ya que todo cubrimiento de X por abiertos de T1 , también son abiertos de T .
b) Falso , ya que si consideramos a T2 como la topología discreta y a X infinito , entonces el
cubrimiento X = ∪ { xi } , no podemos reducirlo a uno finito.
i∈I
0BJ 11 PTA 4
Demostrar que el espacio producto de una familia de espacios topológicos Hausdorff, es un espacio de
Hausdorff.
Solución:
Ver libro Maestro, pág. 167, sección 180, tomo II.
FIN DE LA PRUEBA
Elaborado por: Alfredo Espejo
Área de Matemática
Universidad Nacional Abierta
Lapso 2010-1
Vicerrectorado Académico
Área De Matemática
PRUEBA DE DESARROLLO / HOJA DE RESPUESTAS
Firma Supervisor
Centro Local:
Nombre:
Correo Electrónico:
Asignatura: Topología
Momento de Prueba: Tercera Parcial
Total páginas
U. A.:
C. Identidad:
Código Carrera: 126
Código: 711
Fecha: 08 – 05 – 2010
RESULTADOS DE CORRECCIÓN
OBJ N°
1 = L.
0 = N.L.
1
2
___ ___
3
___
4
5
___ ___
6
___
7
___
8
9
10
11