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Triángulos embrujados
Actividad
Abran el archivo triangulosembrujados.ggb. Cada uno de los triángulos está construido a partir de
ciertas relaciones entre las medidas de sus lados o las de sus ángulos. Esas relaciones se mantienen al
mover los vértices. Describan esas relaciones para cada uno de los triángulos.
Respondan a continuación las siguientes preguntas:
a) ¿Qué modificación podría hacerse al triángulo marrón (EF G) para que tenga las mismas propiedades
que el verde (ABC )? ¿Y para que cumpla las del azul (HIJ)?
b) ¿Qué modificación podría hacerse al triángulo verde (ABC ) para que tenga las mismas propiedades
que el rojo (DK L)?
c) ¿Qué modificación podría hacerse al triángulo turquesa (PQR) para que tenga las mismas propiedades que el azul (HIJ)?
d) ¿Qué modificación podría hacerse al triángulo lila (MNO) para que tenga las mismas propiedades
que el azul (HIJ)? ¿Y las del verde (ABC )?
La actividad tiene como objetivos:
Que los estudiantes puedan utilizar las clasificaciones de los triángulos de acuerdo a las medidas de
sus lados o ángulos como una herramienta que permita conocer ciertas propiedades de las figuras.
Que los estudiantes se familiaricen con las figuras dinámicas en un entorno de geometría dinámica.
Definimos como figura dinámica a una figura construida de acuerdo a ciertas características y
relaciones que se preservan por movimientos de sus elementos libres. Por ejemplo si se dibuja un
triángulo cualquiera, al mover alguno de sus elementos puede lograrse un triángulo rectángulo;
pero en ese caso no podremos afirmar que se trata de un triángulo rectángulo dinámico pues sólo
se alcanza esa figura en algún caso particular de la construcción.
Se pretende que los alumnos trabajen en forma exploratoria en pequeños grupos sobre un archivo que
se les proporcionará. El archivo de GeoGebra que se utilizará tiene modificada su barra de herramientas
para que los estudiantes puedan utilizar fácilmente las que hacen a cuestiones de medición de lados
o ángulos. Haciendo clic con «Distancia o Longitud» sobre cada lado, se podrá obtener en pantalla la
medida de dicho lado. Si se utiliza «Ángulo», y se hace clic en el interior del triángulo, aparecerán
entonces las medidas de sus tres ángulos. También se incluye la herramienta «Expone / Oculta Rótulo»,
con la cual, al hacer clic sobre un objeto cualquiera, se puede exponer su rótulo; los rótulos que se
muestran en este archivo son las medidas de lados y ángulos. Previendo la posibilidad de que algunos
estudiantes entiendan la tarea como un problema que se resuelve mediante la observación del archivo
(como se haría con un problema impreso), creemos que es necesario un pequeño debate acerca de la
necesidad de utilizar las herramientas disponibles como elementos de exploración imprescindibles para
la realización de la actividad.
Los triángulos cumplen las siguientes características:
El primer triángulo, EF G, es un triángulo isósceles. Se puede verificar mediante la medición de sus
lados o sus ángulos, y haciendo variar la posición de sus vértices. Esta medición no es una medición
estática sino una medición dinámica; es decir, es una medición cuyo resultado puede variar a través
de las transformaciones que se realiza al triángulo. Por ejemplo: si se sitúan los puntos de manera
que formen un triángulo de medidas 4, 4 y 4, no se puede afirmar que se trata de un triángulo
equilátero (en un sentido dinámico) pues esta característica observada es un caso particular de
medición que no se conserva al mover los vértices.
El triángulo verde, ABC , es equilátero.
El azul, HIJ, es un triángulo rectángulo.
El DK L, de color rojo, es un triángulo obtusángulo, que “extrañamente” desaparece cuando no tiene
un ángulo obtuso.
El triángulo MNO de color lila es un triángulo que no corresponde a ninguna clasificación clásica:
es un triángulo con un ángulo de 37◦ .
El último triángulo cumple con la característica de tener un lado cuya medida es el doble de otro:
PR = 2PQ. Al medir los lados del triángulo en el momento inicial, se observa que PQ mide 4.3
mientras que PR mide 8.59: no se evidencia entonces la relación antes mecionada. Esto sucede por
la cantidad de decimales con las que opera este archivo de GeoGebra. Si cambiamos el redondeo a
cuatro decimales veremos que las medidas son 4.2964 y 8.5928, es decir, que se cumple la relación
de que un lado es el doble del otro. Si surgiese este problema puede proponerse realizar la medición
con la herramienta «Compás»: tomando como medida el segmento PQ, y luego haciendo centro en
P y en R obtenemos dos circunferencias de igual radio que se intersecan en el punto medio del
lado PR. De este modo evitamos la dificultad que puede plantear GeoGebra debido a la limitada
cantidad de decimales con que opera. Se puede utilizar este trabajo instrumental para construir la
idea de la utilización del compás como instrumento que permite trasladar segmentos sin necesidad
de conocer su medida exacta.
Las preguntas que siguen están orientadas a la comprensión de una clasificación, y en cómo deben
cambiar las caracterísiticas de un triángulo para pertenecer a una u otra clase.
El triángulo isósceles puede transformarse en un equilátero si el tercer lado mide lo mismo que los
dos congruentes.
El triángulo verde es equilátero y no puede ser transformado en el rojo, pues sus ángulos miden
60◦ (es acutángulo necesariamente).
Las dos últimas preguntas pueden responderse de distintos modos:
Para que el triángulo turquesa sea rectángulo, puede hacerse que la hipotenusa mida el doble que
uno de los catetos, o bien que un cateto mida el doble que el otro. Lo que no puede hacerse es
que un cateto mida el doble que la hipotenusa,pues ésta debe ser medir más que cualquiera de los
catetos.
El triángulo con un ángulo de 37◦ se hace rectángulo, si cualquiera de los otros dos ángulos mide
90◦ . ¿Cuánto mide entonces el ángulo restante? A partir de esta actividad será posible proponer a
los alumnos un trabajo en torno a la suma de los ángulos interiores de un triángulo como invariante.
La última pregunta puede responderse con un argumento ya utilizado: los ángulos del triángulo
verde miden 60◦ ; es imposible que alguno de ellos mida 37◦ .
En una puesta en común, el docente podrá utilizar lo trabajado por los estudiantes para definir la
clasificación clásica de los triángulos de acuerdo a las medidas de sus ángulos y de sus lados. Hay que
notar que no todos los casos están presentes en el problema.
Lo interesante de estas clasificaciones, y que se puede ver a partir de lo trabajado en la actividad, es
que son dos clasificaciones distintas de los mismos objetos. Es decir, pertenecer a una clase no implica
pertenecer a otra, en general. Por ejemplo:
Un triángulo isósceles puede ser rectángulo, si el ángulo entre los lados congruentes es recto.
El triángulo equilátero es acutángulo.