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372.7
And.
Polígonos. Triángulos
Federación Internacional Fe y Alegría,
2006
32 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980-6418-89-1
Matemáticas, Geometría
2
“El principio pedagógico esencial,
base y condición de todos los demás, es el amor a los educandos.
El educando es amado y enseñado
a la vez; y el educando hace crecer
y humaniza, mediante el amor, al
educador. En educación, es imposible ser efectivos sin ser afectivos.”
Documento del XXXIII Congreso
Internacional
Asunción, Paraguay
3
EQUIPO EDITORIAL
Beatriz Borjas y Carlos Guédez
Dimensión: Desarrollo del pensamiento
matemático
Cuaderno N° 13
Polígonos. Triángulos
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el
propósito de apoyar la práctica
educativa de los cientos de educadores
de Fe y Alegría. Su publicación se
realizó en el marco del Programa
Internacional de Formación de
Educadores Populares desarrollado por
la Federación Internacional Fe y Alegría
desde el año 2001.
Diseño y Diagramación: Moira Olivar
Ilustraciones: Corina Álvarez
Concepto gráfico: Juan Bravo
Corrección de textos: Carlos Guédez
y Martín Andonegui
Edita y distribuye: Federación
Internacional de Fe y Alegría. Esquina
de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7
Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048
/ 5647423.
Fax: (58) (212) 5645096
www.feyalegria.org
© Federación Internacional Fe y
Alegría
Depósito legal: lf 60320065104913
Caracas, abril 2006
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis - Instituto internacional
para la educación superior en
América Latina y el Caribe (IESALC) Corporación Andina de Fomento (CAF)
4
introducción
A modo de introducción...,
nuestro recordatorio
L
a sugerencia que proponíamos en
el Cuaderno No 1 y que siempre
presidirá los demás Cuadernos: Vamos a
estudiar matemática, pero no lo vamos a
hacer como si fuéramos simplemente unos
alumnos que posteriormente van a ser evaluados, y ya. No. Nosotros somos docentes
–docentes de matemática en su momentoy este rasgo debe caracterizar la forma de
construir nuestro pensamiento matemático.
¿Qué significa esto?
• La presencia constante de la meta última
de nuestro estudio: alcanzar unos niveles
de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo
cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido, hacia
el análisis de los sistemas que dan forma
a nuestra vida y utilizan ese conocimiento
matemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos.
nuestro trabajo docente. De esta forma, integrar nuestra práctica docente en nuestro
estudio.
• Como complemento a lo anterior, construir el conocer de cada tópico matemático
pensando en cómo lo podemos llevar al
aula. Para ello, tomar conciencia del proceso que seguimos para su construcción,
paso a paso, así como de los elementos
–cognitivos, actitudinales, emocionales...que se presenten en dicho proceso. Porque
a partir de esta experiencia reflexiva como
estudiantes, podremos entender y evaluar
mejor el desempeño de nuestros alumnos
–a su nivel- ante los mismos temas.
• En definitiva, entender que la matemática
es la base de su didáctica: la forma en que
se construye el conocimiento matemático
es una fuente imprescindible a la hora de
planificar y desarrollar su enseñanza.
• Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo enseñamos Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno,
en el aula, además de reflexionar acerca de los polígonos.
cómo nuestro conocer limita y condiciona
5
1. ¿Qué es un polígono?
E
n el Cuaderno anterior decíamos que
con segmentos situados en rectas diferentes de un mismo plano, y concatenados por sus extremos, se construyen líneas
quebradas o poligonales. Estas líneas quebradas pueden ser abiertas, si los puntos
libres de los segmentos inicial y final de la
cadena no coinciden; o cerradas, en caso
contrario. Y cuando en una línea quebrada
cerrada no se han cruzado entre sí los segmentos que la componen, decimos que se
ha formado un polígono.
Es bueno recordar aquí la etimología de la palabra a partir de sus raíces griegas: polígono = polus [mucho] + gonia [ángulo] = muchos ángulos.
En todo polígono podemos destacar los siguientes elementos o partes: lados, ángulos y vértices. Los lados son los segmentos de la línea poligonal; los vértices, los puntos
de concatenación de dichos segmentos; y los ángulos, los formados por dos segmentos
consecutivos, orientados hacia la región interna del polígono. En los polígonos se habla
también de las diagonales (diagonal = dia [a través] + gonia [ángulo] = a través del ángulo),
que son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono. Los polígonos
se representan colocando letras mayúsculas en sus vértices.
Por otro lado, todo polígono determina dos regiones en el plano: la que queda encerrada dentro de la línea poligonal, y la que queda en su exterior. La primera se denomina
región poligonal interna. La segunda, se califica como externa.
Observa las siguientes figuras y deterY esos son los elementos que podemos medir en un polígono: En primer lugar, la
mina en cada caso si se trata de una línea longitud de sus lados, cuya suma total se denomina perímetro. (peri [alrededor] + metron
poligonal abierta o cerrada y, en este último [medida] = medida del contorno); igualmente, la longitud de las diagonales; también la
amplitud de sus ángulos, así como su suma total; y la magnitud de su región interna, es
caso, de un polígono:
decir, el área del polígono.
a)
b)
c)
Existen diversos criterios para clasificar los polígonos:
a) Según el número de lados. En general, se habla de un polígono de “tantos” lados.
Pero algunos de ellos tienen un nombre particular:
d)
e)
Fig. 1: Líneas poligonales
He aquí las respuestas: a) polígono; b)
línea poligonal abierta; c) línea poligonal
cerrada, pero no polígono; d) polígono; e)
línea poligonal abierta.
6
Número de lados Nombre
Significado literal
3
Triángulo
Tres ángulos (latín)
4
Cuadrilátero
Cuatro lados (latín)
5
Pentágono
Cinco ángulos (griego)
6
Hexágono
Seis ángulos (griego)
7
Heptágono
Siete ángulos (griego)
8
Octógono
Ocho ángulos (griego)
10
Decágono
Diez ángulos (griego)
12
Dodecágono
Doce ángulos (griego)
15
Pentadecágono
Cinco+diez ángulos (griego)
b) Según el valor de los ángulos. Si la
medida de cada uno de los ángulos interiores del polígono es menor de 180o, el
polígono se denomina convexo; en caso
contrario, cóncavo. Dicho de otra manera,
si al tomar dos puntos cualesquiera de la región poligonal interna, el segmento que los
une queda todo él dentro de esa región poligonal, hablamos de un polígono convexo,
es decir, sin “entrantes”. Un polígono se califica como cóncavo cuando presenta algún
entrante, es decir, algún ángulo interior de
medida mayor que 180o. En la fig.1, el dibujo a) representa un polígono cóncavo.
c) Según la congruencia de sus lados
y de sus ángulos. Si todos los lados de un
polígono son congruentes entre sí, y también lo son todos sus ángulos, el polígono
se denomina regular. E irregular en caso
contrario.
Clasifica cada uno de los siguientes polígonos de acuerdo a los tres criterios mencionados:
a)
d)
b)
c)
e)
Fig. 2: Polígonos
He aquí las respuestas: a) Cuadrilátero
cóncavo irregular; b) Pentágono convexo
irregular; c) Triángulo convexo regular; d)
Hexágono cóncavo irregular; e) Heptágono
convexo irregular. Y una pregunta adicional:
1. ¿Puede haber algún polígono cóncavo regular? ¿Por qué?
¿Cuántas diagonales tiene un polígono
convexo de n lados?
Dibuje un polígono convexo del número de lados que usted quiera. Observe
que de cada vértice salen tantas diagonales
como vértices tiene el polígono, menos 3;
es decir, n – 3. Desde todos los vértices se
podrían dibujar en total n x (n – 3) diagonales. Pero al hacerlo así, se habrían dibujado
todas las diagonales dos veces. Por consiguiente, el producto anterior debe dividirse
entre 2, para no contar diagonales repetidas.
Así, pues, un polígono convexo de n lados
Observe la tabla siguiente en la que se
relacionan el número de lados de un polígono convexo y el número de diagonales de
tales polígonos, y responda a las preguntas
que siguen:
No de Lados
No de diagonales
4
2
5
5
6
9
7
14
8
20
9
27
10
35
11
44
...
...
a) ¿Cómo aumenta la sucesión del número
de diagonales?
nx ( n − 3)
tiene
b)
En particular, ¿qué ocurre cuando el
diagonales.
Verifíquelo
para
2
número de lados del polígono es impar?
varias clases de polígonos.
c) ¿Y cuando el número de lados es
2. Un polígono convexo tiene 54 diago- par?
nales. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
2. Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados. Es el más elemental de todos los polígonos,
lo que hace que tenga ciertas particularidades:
- no existen triángulos cóncavos
- es el único polígono convexo que no tiene diagonales
- es el único polígono en el que se puede hablar, sin equívocos, de lados opuestos a
7
ángulos, y viceversa; por eso, el lado BC
opuesto al ángulo de vértice en A puede
denotarse también como a, y así en los
demás casos
C
a
b
B
A
Establecida esta condición ya podemos describir la forma de construir un triángulo
conocidas las medidas de tres segmentos: Con el compás se abarca la longitud de uno
de los segmentos; se ubica este segmento AB en el plano. Desde el vértice A y con una
abertura del compás equivalente a la medida del segundo segmento, se traza un arco. Se
realiza la misma operación desde el vértice B, con una abertura del compás equivalente a
la medida del tercer segmento. Desde el punto C en que se cortan los dos arcos se trazan
sendos segmentos CA y CB y el triángulo queda construido. Podemos designarlo: ∆ ABC
c
Fig. 3: Triángulo
2.1. Construcción de un triángulo
Tome tres alambres, palitos, tiras de papel, o algo similar que sea rectilíneo, de las
siguientes medidas: a) 8, 5 y 8 cm b) 12,
Fig. 4: Construcción de un triángulo dadas las medidas de sus tres lados
4 y 6 cm
c) 13, 12 y 5 cm
d) 16, 8 y
8 cm
e) 15, 9 y 7 cm. Trate de construir
3. Si le dan las medidas de tres ángulos, por ejemplo, 80o, 60o y 40o, ¿puede construir
con ellos un triángulo en cada caso. Y antes con ellos un triángulo? ¿Un solo triángulo o más de uno?
de continuar con la lectura, trate de esta4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
blecer la razón que impide la construcción
de un triángulo en los casos en los que no
se puede.
¿En cuáles de los cinco casos propuestos no ha sido posible construir un triángulo? Sin duda habrá llegado a la respuesta:
en los b) y d). Si nos ponemos a pensar en
qué se diferencian estos casos de los otros
tres llegaremos a la siguiente conclusión:
en ambos casos, la longitud del segmento
mayor no es menor que la suma de las longitudes de los otros dos segmentos. Así, en
el b): 12 > 4 + 6; y en el d): 16 = 8 + 8.
Para que tres segmentos puedan constituir un triángulo es necesario que la longitud del segmento mayor sea menor que
la suma de las longitudes de los otros dos
segmentos.
8
Mueva sólo 3 palitos de la figura y consiga 8 triángulos:
2.2. Clasificación de los triángulos
Disponemos de dos criterios para clasificar los triángulos:
a) Según las relaciones entre los lados. Tenemos tres casos:
Nombre del triángulo
Relaciones entre los lados
Equilátero
Los tres lados congruentes
Isósceles
Dos lados congruentes
Escaleno
Ningún par de lados congruentes
5. Veamos estas dos afirmaciones:
“Todo triángulo isósceles es equilátero” y
“Todo triángulo equilátero es isósceles”
¿Alguna de ellas es verdadera? ¿O no lo es
ninguna?
Construya con regla y compás un triángulo de cada uno de los tres tipos descritos.
b) Según la naturaleza de los ángulos.
Tenemos también tres casos:
Nombre del
triángulo
Naturaleza de los
ángulos
Acutángulo
Los tres ángulos
agudos
Rectángulo
Un ángulo recto
Obtusángulo
Un ángulo obtuso
En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto se denominan catetos (kathetos [descendentes]); y
el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa
(hipotenusa = hypo [debajo] + teino [tender] = línea que se extiende por debajo de
los catetos que descienden).
Si a usted le preguntan cómo se clasifican los triángulos según sus vértices, ríase
y trate de inventar una respuesta que sea lo
más ingeniosa posible... Y ahora, en serio,
vamos a plantearnos y resolver un ejercicio
interesante, derivado de considerar simultáneamente ambos criterios de clasificación
para cualquier triángulo.
En cada una de las casillas de la tabla siguiente, trate de dibujar, si es posible, un triángulo que responda a la vez a los dos criterios señalados en la cabecera de la columna y a
la izquierda de la fila en la que se encuentra cada casilla:
Un triángulo que
sea, a la vez:
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
equilátero
isósceles
escaleno
¿Le ha quedado alguna casilla en blanco? ¿Cuáles y por qué?
6. ¿Existe algún triángulo que tenga un solo ángulo agudo? ¿Y con dos ángulos agudos?
¿Con más de un ángulo recto? ¿Y con más de un ángulo obtuso?
7. Se colocan 10 monedas iguales siguiendo una formación
de triángulo equilátero, tal como se indica en la figura. ¿Cuál es
el número mínimo de monedas que hay que retirar, de tal modo
que con los centros de las monedas que queden, no pueda construirse ningún triángulo equilátero, de ningún tamaño? (Gardner,
1986).
8. En un triángulo, los lados opuestos a ángulos congruentes, son congruentes a su
vez; y viceversa. Y también, dentro de un mismo triángulo, a ángulos mayores se oponen
lados mayores; y viceversa. ¿Cuántos ángulos congruentes posee un triángulo isósceles?
¿Y un triángulo equilátero?
9. Un triángulo, cuyos lados tienen medidas enteras, tiene un perímetro de 8 cm. ¿Qué
clase de triángulo es?
10. Ana recibe el encargo de construir todos los triángulos de medidas enteras que
pueda, tales que su perímetro sea de 9 cm. Patricia recibe el mismo encargo, pero con
triángulos cuyo perímetro mida 10 cm. ¿Cuál de las dos podrá construir más triángulos?
9
Con regla y compás, construya un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 6 y 8
cm. Y construya otro, sabiendo que un cateto mide 5 cm y la hipotenusa, 10 cm.
2.3. Elementos notables de un triángulo
Hasta ahora hemos hablado de los lados, vértices y ángulos de un triángulo, entendiendo por estos últimos los ángulos interiores del triángulo. Vamos a ampliar este
conjunto de elementos con otros varios, vamos a construirlos y a estudiar sus propiedades [Si desea una visualización dinámica de
cada uno de los casos que se van a estudiar,
puede acudir a la red en la dirección http://
www.walter-fendt.de/m11s/index.html y llegar a las secciones “Rectas y circunferencias
notables de un triángulo” y “Centro de masa
de un triángulo”].
¿Qué particularidad presenta el circuncentro? Por pertenecer a la mediatriz m,
equidista de A y de B; por pertenecer a la
mediatriz n, equidista de B y de C; y por
pertenecer a la mediatriz r, equidista de C y
de A. Es decir, el circuncentro equidista de
los tres vértices [En el Cuaderno 15 volveremos a referirnos a ese punto y a la consecuencia práctica que se deriva
para todo triángulo].
a) Mediatrices de un triángulo. Son las
mediatrices de los tres lados del triángulo.
Su construcción se hace siguiendo las pautas de las actividades 10.1. y 12.3. descritas
en el Cuaderno anterior.
Fig. 5: Mediatrices de un triángulo y circuncentro
Al efectuar esa construcción se descubre una de las propiedades fundamentales
de las mediatrices de un triángulo: que se
cortan en un punto, denominado circuncentro.
b) Bisectrices de un triángulo. Son las
bisectrices de los tres ángulos del triángulo. Su construcción se hace siguiendo las
pautas de la actividad 14.1. descrita en el
Cuaderno anterior.
Dibuje tres triángulos, uno acutángulo, otro rectángulo, y un tercero obtusángulo; obtenga en cada caso el circuncentro. ¿Puede llegar a una conclusión
general acerca de la ubicación del circuncentro, a partir de la consideración
de los tres tipos de triángulos?
Al efectuar esa construcción se descubre una de las propiedades fundamentales
de las bisectrices de un triángulo: que se
cortan en un punto, denominado incentro.
10
Dibuje tres triángulos, uno acutángulo,
otro rectángulo, y un tercero obtusángulo;
obtenga en cada caso el incentro. ¿Puede
llegar a una conclusión general acerca de la
ubicación del incentro, a partir de la consideración de los tres tipos de triángulos?
¿Qué particularidad presenta el incentro? Por pertenecer a la bisectriz m, equidista de los lados AB y AC; por pertenecer a la
bisectriz n, equidista de los lados AB y BC;
y por pertenecer a la bisectriz r, equidista
de los lados AC y BC. Es decir, el incentro
equidista de los tres lados [En el Cuaderno
15 volveremos a referirnos a ese punto y a
la consecuencia práctica que se deriva para
todo triángulo].
Fig. 6: Bisectrices de un
triángulo e incentro
c) Medianas de un triángulo. Son los
segmentos trazados desde cada vértice al
punto medio del lado opuesto. Su construcción se hace siguiendo las pautas de las
actividades 10.2., 12.2. y 8.1. descritas en el
Cuaderno anterior.
Al efectuar esa construcción se descubre
una de las propiedades fundamentales de
las medianas de un triángulo: que se cortan
en un punto, denominado baricentro.
Dibuje tres triángulos, uno acutángulo,
otro rectángulo, y un tercero obtusángulo;
obtenga en cada caso el baricentro. ¿Puede
llegar a una conclusión general acerca de la
ubicación del baricentro, a partir de la consideración de los tres tipos de triángulos?
Trace cualquier triángulo en una hoja
de cartulina. Recorte el triángulo y trate de
mantenerlo en equilibrio sobre la punta de
un dedo, sin que se caiga; es decir, trate de
ubicar el punto de equilibrio del triángulo.
Obtenga ahora el baricentro de ese triángulo y compárelo con el punto de equilibrio.
¿A qué conclusión llega?
Esta es la particularidad que presenta el
baricentro, que coincide con el centro de
gravedad del triángulo, como lo indica la
raíz de la palabra (baros [peso, pesadez]).
de las actividades 10.5. y 12.4. descritas en el Cuaderno anterior.
Al efectuar esa construcción se descubre una de las propiedades fundamentales de las
alturas de un triángulo: que se cortan en un punto, denominado ortocentro.
Dibuje tres triángulos, uno acutángulo, otro rectángulo, y un tercero obtusángulo; obtenga en cada caso el ortocentro. ¿Puede llegar a una conclusión general acerca de la
ubicación del ortocentro, a partir de la consideración de los tres tipos de triángulos?
¿Qué particularidad presenta el ortocentro?
En rigor, ninguna tan destacable como los tres
puntos singulares recién vistos. Los griegos lo
denominaron el centro “recto” del triángulo,
como lo indica la raíz de la palabra (orthos
[derecho, recto]), para recordar la incidencia
de las alturas, que forman un ángulo recto con
los lados correspondientes.
Podemos resumir los párrafos anteriores en esta tabla:
Intersección de las
tres
Punto singular
Ubicado en
Particularidad del
punto
Mediatrices
Circuncentro
Depende del tipo
de triángulo
Equidista de los
vértices
Bisectrices
Incentro
Región interna del
triángulo
Equidista de los
lados
Medianas
Baricentro
Región interna del
triángulo
Centro de gravedad
Alturas
Ortocentro
Depende del tipo
de triángulo
---
Fig. 7: Medianas de un triángulo y baricentro
d) Alturas de un triángulo. Son las perpendiculares trazadas desde cada vértice a
la recta en que se asienta el lado opuesto.
Estas perpendiculares pueden tener su pie
sobre el lado o sobre su prolongación. Su
construcción se hace siguiendo las pautas
He aquí algunas preguntas. Trate de llegar por su cuenta a la respuesta.
a) ¿En qué tipo de triángulo ocurre que coinciden los cuatro puntos singulares?
b) ¿Qué ocurre con la altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz relativas a la “base”
(el lado no congruente con ninguno de los otros dos) de un triángulo isósceles?
11
c) ¿En qué tipos de triángulos se observa que los cuatro puntos singulares se encuentran en la región interna del triángulo?
d) ¿Dónde se ubica el ortocentro de un triángulo rectángulo?
e) ¿Y el de un triángulo obtusángulo?
f) ¿Y dónde se ubica el circuncentro de un triángulo rectángulo?
g) ¿Y el de un triángulo obtusángulo?
h) Considere las medianas de la cartulina triangular que recortó para hallar su punto
de equilibrio (centro de gravedad). En cada mediana, mida la distancia que hay desde el
baricentro hacia el vértice, y la que hay desde el baricentro hasta el punto medio del lado
opuesto. ¿Qué obtiene en los tres casos? ¿A qué conclusión puede llegar?
Y he aquí las respuestas:
a) En el triángulo equilátero.
b) Las cuatro se encuentran sobre la misma recta.
c) En los triángulos acutángulos.
d) En el vértice del ángulo recto.
e) Fuera del triángulo.
f) En el punto medio de la hipotenusa.
g) Fuera del triángulo.
h) En cada mediana, la distancia que hay del baricentro al vértice es el doble de la
distancia que hay del baricentro al punto medio del lado opuesto.
e) Ángulos externos de un triángulo. Son los ángulos formados por uno de los lados
de cada ángulo y por la prolongación del otro lado del mismo ángulo. En la figura aparecen marcados con los números 1, 2 y 3. Cada ángulo exterior es adyacente al ángulo
interno correspondiente; observe que este par de ángulos son suplementarios.
2
2
1
1
3
3
Fig. 9: Ángulos externos de un triángulo
2.4. La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo
Este es un resultado fundamental y muy conocido: la suma de los ángulos internos de
cualquier triángulo es de 180o. ¿Cómo se llega a este resultado? Veamos. Consideremos el
∆ ABC, con sus ángulos internos <1, <2 y <3, así como la recta r sobre la que está ubicado
el lado AB. Por el vértice C hacemos pasar una paralela s al lado AB. Observemos que
sobre la recta s y con vértice en C se forman tres ángulos consecutivos, <4, <3 y <5, cuya
unión forma un ángulo llano; es decir, la suma de las medidas de los tres es de 180o.
12
C
4
3
s
5
1
A
2
B
r
Fig. 10: Suma de las medidas de los ángulos
internos de un triángulo
Vamos a fijarnos en la recta que contiene al lado BC. Esta recta es secante a las paralelas r y s, situación analizada en el Cuaderno anterior. Por su carácter de ángulos
alternos internos, los ángulos <2 y <5 son
congruentes. Análogamente, nos fijamos en
la recta que contiene al lado AC. Esta recta
también es secante a las paralelas r y s; y
por su carácter de ángulos alternos internos, los ángulos <1 y <4 son congruentes.
Ahora bien, si la suma de las medidas
de los ángulos <4, <3 y <5 es de 180o, también lo será la de los ángulos <1, <3 y <2, es
decir, de los ángulos internos de cualquier
triángulo [Si desea una visualización dinámica de este teorema, puede acudir a la red
en la dirección http://www.walter-fendt.de/
m11s/index.html y llegar a la sección “Suma
de los ángulos de un triángulo”].
No resulta difícil construir un recurso
material que ayuda a “visualizar” la anterior propiedad. Elaboramos un ∆ ABC (preferiblemente escaleno) en cartulina o madera. Consideremos el lado más largo como la
“base” AB. Marcamos los puntos medios M y N de los lados AC y BC, respectivamente, y
colocamos una “bisagra” en el lugar del segmento MN. Desde los puntos M y N bajamos
sendas perpendiculares a la base AB, hasta los pies P y Q, respectivamente, y colocamos
sendas bisagras en el lugar de los segmentos MP y NQ.
O
Ahora, como se indica en la figura y haciendo juego en las tres bisagras, se giran las
tres “pestañas” triangulares APM, BNQ y CMN hacia el centro, obteniéndose la segunda
figura. En ella puede verse que los ángulos <1, <2 y <3 se acoplan para formar un ángulo
llano con vértice compartido en O. Es decir, la suma de las medidas de los tres ángulos
internos de cualquier triángulo es de 180o.
Esta propiedad es muy fecunda para llegar a otros resultados. El más evidente es que,
conocidos los valores de dos de los tres ángulos de un triángulo, es muy fácil obtener el
valor del tercero, restando de 180o la suma de las medidas de los dos ángulos conocidos.
En otras palabras, cualquier ángulo es suplementario del ángulo suma de los otros dos.
Veamos otros planteamientos:
¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo equilátero?
Por ser congruentes, miden lo mismo; por consiguiente su medida es: 180o : 3 = 60o.
Por cierto, si dividimos un triángulo equilátero por la “mitad” (trace la figura) nos encontramos con dos triángulos rectángulos congruentes, cuyos ángulos miden 30o, 60o y 90o.
Además, las hipotenusas miden el doble del cateto menor.
En un triángulo isósceles, el ángulo que no es congruente con ninguno de los otros dos
ángulos, mide 70o. ¿Cuánto miden los dos ángulos restantes?
La suma de los dos ángulos congruentes es de 180o - 70o = 110o. Por consiguiente,
cada uno de los dos ángulos congruentes
medirá 110o : 2 = 55o.
Hay un poste en medio de una plaza.
¿Con qué ángulo deben incidir los rayos del
sol sobre la plaza, para que el poste proyecte una sombra que tenga la misma longitud
que el poste?
Haga el dibujo correspondiente. Como
el poste es perpendicular al suelo, se forma un triángulo rectángulo. Los catetos son
las representaciones del poste y de la línea
de sombra en el suelo, respectivamente.
Si ambos catetos miden lo mismo, se trata de un triángulo rectángulo isósceles. Por
consiguiente, los ángulos agudos son congruentes y deben medir 45o cada uno. Este
es el ángulo con el que deben incidir en ese
momento los rayos del sol sobre la plaza.
En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es la suma de las medidas de
los dos ángulos internos no adyacentes.
La razón es muy sencilla: el ángulo interno es suplementario tanto del ángulo
externo adyacente como del ángulo suma
de los otros dos. Por consiguiente... (concluya).
¿Cuánto da la suma de las medidas de
los ángulos exteriores de un triángulo?
Haga una figura para ayudarse. Llame
<1, <2 y <3 a los ángulos interiores; y <4,
<5 y <6 a los respectivos ángulos exteriores.
Observe que <4 = 180o - <1; <5 = 180o <2; <6 = 180o - <3. Por consiguiente: <4 +
<5 + <6 = (180o - <1) + (180o - <2) + (180o
13
- <3) = 180o + 180o + 180o - (<1 + <2 + la región poligonal interna queda dividida
<3) = 180o + 180o + 180o - 180o = 180o + en triángulos. Los cinco ángulos internos
iniciales, o han quedado intactos, o se han
180o = 360o.
descompuesto en ángulos menores.
Lo que interesa observar es que se han
Entre los cinco segmentos de la figura,
formado 3 triángulos, y que la suma de los
¿cuál es el mayor?
ángulos internos de estos tres triángulos
D
59o
equivale a la suma de los ángulos internos
del polígono dado. Es decir, la suma de los
C
o
60
ángulos internos de un pentágono es de 3 x
180o = 540o.
Ahora bien, si el polígono tiene 6 lados,
63o
o
se
podrán
trazar 3 diagonales desde cual57
A
quier vértice, y se formarán 4 triángulos
B
internos, de donde la suma de los ángulos
Antes establecimos que, dentro de un internos de un hexágono es de 4 x 180o =
mismo triángulo, a ángulos mayores se 720o. Ya se ve la regularidad: si el polígooponen lados mayores; y viceversa. En el no tiene n lados, la suma de las medidas
∆ ADB, el ángulo mayor es <A; por con- de sus ángulos internos será de (n – 2) x
siguiente, en este triángulo, el segmento 180o.
mayor es BD. Ahora bien, en el ∆ BCD,
Las medidas de los ángulos internos de
el ángulo mayor es <B, ya que su valor es
180o - (59o + 60o) = 61o. Por consiguiente, un triángulo están en razón 2 : 3 : 4. ¿Cuánel lado mayor de este triángulo (y de los 5 to mide cada uno?
segmentos) es DC.
Tenemos que repartir los 180o en por¿Cuánto vale la suma de las medidas de ciones que queden entre sí en las razones
los ángulos internos de cualquier polígono dadas. Si, por ejemplo, los ángulos midieran
de n lados?
2o, 3o y 4o, su suma sería de 9o. Para llegar
a la suma de 180o debemos multiplicar por
20 (ya que 180o : 9o = 20) la medida de
cada ángulo. Y así llegamos a 40o, 60o y
80o.
En el triángulo rectángulo ABD de la figura, los catetos AB y BD son congruentes.
Además, AD es congruente con DC. ¿CuánDado un polígono cualquiera, como to mide < CAB?
el de la figura, trazamos desde uno de los
vértices todas las diagonales posibles. Así,
Vamos por partes. El ∆ ABD es isósceles;
14
por consiguiente, sus dos ángulos agudos
miden 45o cada uno (¿por qué?). El ángulo
< ADC mide 135o (¿por qué?). El ∆ ADC es
isósceles (¿por qué?); por consiguiente, sus
dos ángulos agudos miden 22,5o cada uno
(¿por qué?). Finalmente, < CAB = < CAD +
< DAB = 22,5o + 45o = 67,5o.
A
B
D
C
Si los lados de un ángulo α son, uno a
uno, perpendiculares a los de un ángulo β,
y si ambos ángulos son agudos, o ambos
obtusos, entonces los dos ángulos son congruentes [Proposición establecida, sin demostración, en el Cuaderno anterior].
En la figura vemos, en un primer momento, el ángulo α (< ABC); y después, el
ángulo β (< CMN), cuyos lados MC y MN
son perpendiculares, respectivamente, a AB
y BC. Ambos ángulos aparecen ahora integrados en la figura, en la que destacamos
dos triángulos: ∆ ABC y ∆ CMN.
Ambos triángulos son rectángulos y,
además, comparten el ángulo con vértice
en C. Por consiguiente, los dos ángulos
restantes de cada triángulo deben ser congruentes entre sí, ya que poseen el mismo
ángulo suplementario: 90o + <C. Por consiguiente, < β = < α.
15. En un ∆ ABC, el ángulo opuesto
por el vértice de <B mide 63o; y el ángulo
exterior de <C mide 92o. ¿Cuánto mide el
ángulo <A?
16. En el ∆ ABC de la figura, los lados
AC y BC son congruentes. El ángulo interno
<C mide 50o. El segmento EC es paralelo a
AB. ¿Cuánto mide el ángulo x? E
B
He aquí otros ejercicios propuestos:
11. ¿Cuánto vale la suma de las medidas
de los ángulos <1, <2 y <3 de la figura?
1
En la figura se muestran dos situaciones
de congruencia de triángulos; los vértices
que se corresponden en la congruencia se
indican con una ’ en cada caso.
C
C’
x
A
B
C
2.5. La congruencia de triángulos
3
2
12. ¿Cuánto vale la suma de las medidas de los ángulos marcados en la figura?
13. Las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo están en razón 5 : 6 :
7. ¿Cuánto miden los ángulos interiores del
triángulo?
14. ¿Cuál es el valor de x en la figura?
20
correspondientes congruentes y tres pares
de ángulos correspondientes congruentes.
Acotamos que un par de lados correspondientes significa que un lado es de uno de
los triángulos, y el otro, del segundo triángulo; y análogamente para los ángulos.
x
30o
Hasta ahora habíamos comparado
segmentos (según su longitud) y ángulos
(según su amplitud). También es posible
comparar figuras planas entre sí. En general, adoptamos dos criterios para hacer
esta comparación: su forma y su tamaño, o
magnitud de su región interior. La siguiente
tabla refleja los posibles resultados de esta
comparación:
Figuras
Forma
Tamaño
Congruentes
Igual
Igual
Semejantes
Igual
Diferente
Equivalentes
Diferente
Igual
De acuerdo con estos criterios, dos
triángulos son congruentes si poseen igual
forma y tamaño. Desde el punto de vista de
sus elementos, la congruencia de dos triángulos significa que hay tres pares de lados
A
B’
A’
J’
K’
J
L’
L
K
Fig. 11: Dos pares de triángulos congruentes
De modo que dos triángulos son congruentes si poseen seis pares de elementos
correspondientes congruentes: tres pares
de lados y tres de ángulos. Y para averiguar si dos triángulos dados lo son, habría
que hacer esas seis verificaciones. La idea
es economizar un poco esa indagación; es
decir, podemos preguntarnos cuál es el mínimo de condiciones de congruencia que
tenemos que exigir para asegurarnos la
congruencia de los dos triángulos.
Ese es todo un trabajo de exploración,
que empieza por plantearse el mínimo de
15
condiciones posibles (un solo par de elementos correspondientes congruentes; luego, dos
pares de elementos correspondientes congruentes, etc.) y preguntarse cada vez si esas
condiciones son suficientes para que se pueda afirmar que los dos triángulos son congruentes. El resumen de esa exploración se presenta en la siguiente tabla:
Pares de elementos
congruentes
1
2
3
Elementos correspondientes congruentes
1 par de lados
1 par de ángulos
¿Es condición
suficiente?
No
No
2 pares de lados
2 pares de ángulos
(equivale a 3 pares)
1 par de lados + 1 par
de ángulos
No
No
3 pares de lados
2 pares de lados + el
par de ángulos comprendidos entre ellos
2 pares de lados + un
par de ángulos (no comprendidos entre ellos)
1 par de lados + los 2
pares de ángulos contiguos
a ellos
1 par de lados + 2
pares de ángulos no contiguos a ellos
3 pares de ángulos
Sí
No
Sí
No
Sí
No
No
Ya no hace falta seguir explorando con más pares de elementos correspondientes congruentes. La conclusión es que para que dos triángulos sean congruentes, basta con que
los dos triángulos presenten alguna de estas tres condiciones mínimas:
1. Los tres pares de lados congruentes.
2. Dos pares de lados congruentes y los correspondientes ángulos comprendidos
entre ellos.
3. Un par de lados congruentes y los dos pares correspondientes de ángulos que
tienen como vértices los extremos de esos lados.
Observe que éstas son también condiciones suficientes para poder construir un triángulo, con ciertas condiciones. Por ejemplo, en el caso 1, el mayor de los segmentos tiene
que ser menor que la suma de los otros dos segmentos; en el caso 2, el ángulo debe medir
16
menos que 180o; y en el caso 3, la suma de
los dos ángulos debe ser menor que 180o.
Tomando en cuenta estas restricciones, dé
valores de segmentos y de ángulos para
cada uno de los tres casos y construya los
triángulos correspondientes.
En algunos casos particulares de triángulos, las anteriores condiciones pueden
reducirse todavía más. Por ejemplo, para
que sean congruentes:
1. Dos triángulos equiláteros, basta con
que tengan un par de lados correspondientes congruentes.
2. Dos triángulos isósceles, basta con
que lo sean las “bases” respectivas y los ángulos opuestos a las mismas.
3. Dos triángulos rectángulos, basta con
que lo sean los dos pares de catetos correspondientes; o un par de catetos correspondientes y las hipotenusas.
Siempre es útil conocer los criterios
para poder determinar si dos triángulos son
congruentes, más allá de la simple impresión visual. Pero, además, determinar la
congruencia de dos triángulos es una vía
para poder establecer la congruencia, en
particular, de algunos elementos correspondientes de cada triángulo.
Por ejemplo, si quiero demostrar que
tal lado (o ángulo) de un triángulo es congruente con otro de otro triángulo, la vía
puede ser indirecta: demuestro que ambos triángulos son congruentes, y después
deduzco que, en particular, lo son los dos
lados (o ángulos) que me interesan. Vamos
a utilizar esta vía para demostrar algunas
proposiciones que establecimos en el Cuaderno anterior.
b) Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.
a) Validar la construcción de la bisectriz
de un ángulo. Es decir, vamos a demostrar
que la semirrecta construida en la actividad
14.1. del Cuaderno anterior es, efectivamente, la bisectriz del ángulo dado.
lados del ángulo < AOB.
2.6. La semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si poseen igual forma y diferente tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la
semejanza de dos triángulos significa que
los tres pares de ángulos correspondientes
son congruentes y que los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.
Refiriéndonos a los dos triángulos semejantes de la figura, expresamos (utilizamos el
símbolo ~ para indicar la semejanza de dos
triángulos):
Fig. 12: Validación de la
construcción de la bisectriz
Recordemos que, por construcción, OM
= ON y que OP es la mediatriz del segmento MN. Estamos designando con R el punto
medio del segmento MN; es decir, RM =
RN. Consideremos los triángulos ∆ ORM y
∆ ORN; vemos que hay dos pares de lados
correspondientes congruentes: OM = ON,
RM = RN, y que OR es común en ambos
triángulos. Por consiguiente, ambos triángulos son congruentes por tener los tres pares
de lados congruentes. De aquí se sigue que
los pares de ángulos correspondientes lo
son también; y, en particular, < MOR = <
RON. Conclusión: la semirrecta OP divide
al ángulo < AOB en dos partes congruentes,
MOR y RON; es decir, OP es la bisectriz de
ese ángulo.
En la figura, OP es la bisectriz del ángulo < AOB, donde P es un punto cualquiera de la bisectriz, y A y B los pies de las
perpendiculares trazadas desde P a los dos
lados del ángulo. Queremos demostrar que
P equidista de esos dos lados, es decir, que
AP y BP son iguales. Para ello, consideramos los triángulos ∆ AOP y ∆ BOP. Los ángulos < AOP y < BOP son congruentes, por
ser OP la bisectriz de < AOB. Los ángulos
en A y en B son congruentes, por ser ambos rectos. Y también lo son los ángulos <
OPA y < OPB (¿por qué?). Además, ambos
triángulos comparten el lado OP. Por consiguiente, ambos triángulos son congruentes
por tener un par de lados congruentes y los
dos pares correspondientes de ángulos que
tienen como vértices los extremos de esos
lados. De aquí se sigue que también lo son
los lados AP y BP. Es decir, P equidista de A
y de B, lo que significa que equidista de los
P
C
Fig. 13: Un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo
A
B
N
M
Fig. 14: Triángulos semejantes
∆ ABC ~ ∆ MNP equivale a: < A = < M,
< B = < N, < C = < P y
AB
MN
=
BC
NP
=
AC
MP
Obsérvese que si la razón de proporcionalidad entre los pares de lados correspondientes es igual a 1, los dos triángulos
resultan ser congruentes. En realidad, la
congruencia de triángulos es un caso particular de la semejanza de triángulos.
Al igual que en el caso de la congruencia, podemos establecer condiciones mínimas para asegurar que dos triángulos sean
semejantes. Una indagación similar a la
anterior nos lleva a concluir que basta con
17
que los dos triángulos presenten alguna de
estas tres condiciones:
1. Dos pares de ángulos correspondientes congruentes.
2. Un par de ángulos correspondientes
congruentes, y proporcionales los dos pares correspondientes de lados que forman
esos ángulos.
3. Los tres pares de lados proporcionales.
En algunos casos particulares de triángulos, las anteriores condiciones pueden
reducirse todavía más. Por ejemplo, para
que sean semejantes:
1.
Dos triángulos equiláteros, no
hace falta ninguna condición.
2. Dos triángulos isósceles, basta con
que sean congruentes los ángulos opuestos
a las respectivas “bases”.
3. Dos triángulos rectángulos, basta
con que sean proporcionales los dos pares
de catetos correspondientes; o un par de
catetos correspondientes y las hipotenusas;
o que un par de ángulos agudos correspondientes sean congruentes.
Siempre es útil conocer los criterios
para poder determinar si dos triángulos
son semejantes, más allá de la simple impresión visual. Pero, además, determinar
la semejanza de dos triángulos es una vía
para poder establecer la congruencia de
sus ángulos correspondientes, o la proporcionalidad de los segmentos correspondientes que forman sus lados. Vamos
a utilizar esta vía para demostrar algunas
proposiciones.
18
a) El teorema de Tales
En la figura hemos trazado tres rectas
paralelas r, s y t que son cortadas por las
secantes l y m. Estos cortes determinan los
segmentos AB, BC y AC en l y los segmentos DE, EF y DF en m. El teorema conocido
como de Tales de Mileto (entre lo siglos VII
y VI a. C.) asegura que en estas circunstancias, los segmentos determinados sobre las
secantes son proporcionales; es decir:
AB = DE .
BC
EF
B
C
A
D
M
N
P
r
Q
F
l
t
m
Fig. 15: Teorema de Tales: AB = DE .
BC
EF
Para llegar a demostrarlo hemos trazado sendas perpendiculares a r, s y t por
los puntos A y D, respectivamente. De esta
forma hemos construido los triángulos rectángulos ∆ ABM, ∆ ACN, ∆ DEP y ∆ DFQ.
Si comparamos los dos primeros, observamos que los ángulos < ABM y < ACN son
congruentes por correspondientes; y que el
ángulo de vértice en A es común para ambos triángulos. Por consiguiente, ∆ ABM ~
∆ ACN. De donde se sigue: AB = AM .
AC
AN
Mediante unas consideraciones análogas para ∆ DEP y ∆ DFQ, llegamos a:
DE
=
DP
DQ . Ahora bien, AM = DP y AN
= DQ, ya que las distancias entre paraleDF
porcional: AB = AM =
AB
AC
=
DE
DF
AC
AN
DP
DQ
=
DE
DF
. Es decir,
. Utilizamos ahora una de las
propiedades de las proporciones para establecer:
AB
AC − AB
=
DE
DF − DE
. De donde lle-
gamos a: AB = DE . Este resultado puede
BC
EF
extenderse al caso de más rectas paralelas
y secantes.
s
E
las son constantes en cualquier punto. Así,
podemos llegar a la siguiente relación pro-
b) Segmento que une los puntos medios de dos lados
En la figura se nos presenta un triángulo
cualquiera, ∆ ABC. Sobre los lados AC y AB
hemos marcado sus puntos medios M y N,
respectivamente. Formamos el segmento
MN. Vamos a establecer que este segmento
MN es paralelo al lado BC y que su longitud es la mitad de la de BC.
C
M
A
N
B
Fig. 16: Segmento que une los puntos medios
de dos lados de un triángulo
Para ello observamos los dos triángulos
∆ ABC y ∆ ANM. Por ser M y N los puntos medios de sus lados podemos establecer que AM = 1 y que AN = 1 ; es decir:
AC
2
AB
2
AM
=
AN
AB . Además, el ángulo de vértice A es común y es el ángulo comprendido entre los
dos pares de lados proporcionales. Por consiguiente y de acuerdo a uno de los criterios
establecidos con anterioridad, llegamos a la semejanza: ∆ ABC ~ ∆ ANM.
AC
Esa semejanza implica la congruencia de los ángulos correspondientes; es decir, <
AMN = < ACB y < ANM = < ABC. De este par de congruencias se deriva que MN es
paralelo a CB, según se estableció en el Cuaderno anterior. Por otro lado, la razón de proporcionalidad entre los pares de lados correspondientes es siempre la misma, de donde se
deduce que MN = 1 ; es decir, MN mide la mitad de la longitud de CB.
CB
2
c) Cómo dividir un segmento en n partes congruentes
Por ejemplo, si queremos dividir un segmento dado AB en 7 partes congruentes, construimos un segundo segmento de cualquier longitud, y sobre él y a partir de uno de sus
extremos marcamos 7 puntos equidistantes (ver actividad 8.5. en el Cuaderno anterior), a
una distancia arbitraria pero constante, hasta llegar al último punto que denominaremos
C.
E ficio, respectivamente.
Como se ve, estamos en
una situación de semeC
janza de triángulos (¿por
qué?) y de proporcionaA
B
D lidad de lados. De donde se sigue: DE = AD .
Y despejando, DE = CBxAD . CB AB
AB
e) Un pequeño nido de triángulos rectángulos semejantes
Es el que se forma cuando en un triángulo rectángulo ∆ ABC trazamos la altura
CH correspondiente a la hipotenusa AB. Si
observamos la figura, aparecen dos triángulos rectángulos más: ∆ AHC y ∆ CHB. ¿Qué
relación existe entre los tres triángulos recC
tángulos?
a
b
h
Fig. 17: División de un segmento en n partes
Ahora trasladamos este segundo segmento hacia AB, de modo que los puntos iniciales
coincidan en A. Se traza el segmento BC y, a continuación, las paralelas a BC desde cada
uno de los seis puntos marcados sobre el segmento AC. Los puntos en que estas paralelas
cortan a AB, junto con B, son los puntos de división del segmento AB en 7 partes congruentes. Como se aprecia fácilmente, este procedimiento puede extenderse a cualquier
otro número de partes congruentes en que quiera dividirse un segmento.
d) Cómo averiguar la altura de un objeto desconocido... con la ayuda de su sombra
Si se desea conocer la altura de un objeto desconocido (un edificio, un monumento,
un árbol, un poste...) podemos ayudarnos con otro objeto conocido (uno mismo), con
la sombra que produce el sol, y con la semejanza de triángulos. Por ejemplo, si deseo
saber la altura de un edificio y conozco mi estatura, mido la sombra que proyecto y la
que arroja el edificio desde el pie del mismo. Con estos datos puedo componer una figura
muy sencilla:
DE representa el edificio, CB es mi representación; y AB y AD, mi sombra y la del edi-
n
m
A
H
B
c
Entre ∆ ABC y ∆ AHC observamos que
ambos poseen un ángulo recto y que comparten <A; por consiguiente, al tener los
tres pares de ángulos congruentes, se sigue:
∆ ABC ~ ∆ AHC. Lo mismo ocurre entre
∆ ABC y ∆ CHB: ambos poseen un ángulo
recto y comparten <B. Luego ∆ ABC ~ ∆
CHB. En resumen, los tres triángulos rectángulos son semejantes. En breve utilizaremos este resultado.
a) Trace un segmento cualquiera y obtenga otro cuya longitud sea 5/3 de la del
segmento dado. Utilice regla y compás para
ello.
19
b) Destaque en su entorno algún objeto cuya cima sea inaccesible y calcule su altura.
Hemos visto que para demostrar la congruencia de pares de segmentos o de ángulos,
una vía muy útil es la de considerar esos elementos como partes de sendos triángulos cuya
congruencia o semejanza resulte posible demostrar. Podemos detallar este proceso así:
Si quiero demostrar
Busco demostrar
La congruencia de dos ángulos
La congruencia o la semejanza de dos
triángulos en los que se hallen los dos ángulos
La congruencia de dos segmentos
La congruencia de dos triángulos en los
que se hallen los dos segmentos
La proporcionalidad de dos segmentos
La semejanza de dos triángulos en los
que se hallen los dos segmentos
∆ ABC ~ ∆ AHC =>
AC
AH
=
CB
CH
=
AB
AC
; es
decir: b = a = c
m
h
b
∆ ABC ~ ∆ CHB => AC = CB = AB ; es
CH
decir b = a = c :
h
n
HB
CB
a
De la primera serie de proporciones
destacamos: b = c de donde, aplicando la
m
b
propiedad fundamental de una proporción,
deducimos b2 = c x m. Análogamente, de la
segunda serie tomamos a = c y llegamos a
n
2.7. Algunas relaciones entre las medidas de lados y segmentos de un triángulo
a) El teorema de Pitágoras
Este teorema, cuyo enunciado y aplicación práctica ya era conocida en las culturas
babilónica y egipcia, y cuya demostración se atribuye a Pitágoras (s. VI a. C.), afirma que
en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos.
Podemos verificar la certeza del enunciado construyendo varios triángulos rectángulos,
midiendo sus lados y efectuando las operaciones y la comparación indicadas. Pero si queremos adquirir un grado de certeza absoluto,
necesitamos apoyarnos en una demostración.
Para construirla, nos basamos en la misma
figura que nos muestra el nido de triángulos
rectángulos al que aludíamos antes:
Como veíamos, los tres triángulos son semejantes. Estas son las relaciones que se deducen entre los lados:
20
a
a2 = c x n. Si sumamos miembro a miembro
estas dos igualdades llegamos a otra nueva
igualdad: b2 + a2 = c x m + c x n. Pero en
esta última expresión podemos aplicar la
propiedad distributiva del producto respecto a la suma: c x m + c x n = c x (m + n) = c
x c = c2, ya que m + n = c. De donde:
b2 + a2 = c2.
Conocidos los valores de a y b, c se
obtiene así: c =
a2 + b2
Conocidos los valores de a (ó b) y c, b ó
a se obtienen, respectivamente, así:
2
2
2
2
c −b
b= c −a
;a=
Si el triángulo rectángulo es, además,
isósceles, la relación se reduce a: c2 = 2 x
a2; de donde c =
2 xa 2
Para obtener los valores de las raíces
cuadradas, utilice la calculadora.
Las ternas de números naturales que verifican la relación establecida en el teorema
de Pitágoras reciben el nombre de ternas
pitagóricas; de ellas hablamos en el Cuaderno 6.
b) Otros resultados de interés
De las dos series de proporciones
b
m
=
a
h
=
c
b a c
= =
se deducen otros
h n a
y
b
resultados de interés:
1. Como acabamos de ver, b2 = c x
m y a2 = c x n. Si hacemos una lectura
conjunta podemos establecer que en un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de un cateto es igual a la longitud de la hipotenusa por la longitud
de la proyección de ese cateto sobre
la hipotenusa. Por proyección de un cateto sobre la hipotenusa entendemos el
segmento que se forma sobre ésta, entre
los pies de las perpendiculares trazadas
desde los extremos de los catetos (m y
n en cada caso).
2. Si tomamos las proporciones
b
h
=
a
n
y
b
m
=
a
h
, deducimos, respectiva-
mente: h = bxn y h = axm . Al multia
b
plicar miembro a miembro ambas igualdades obtenemos: h x h =
bxn
a
bxnxaxm
= m x n. Es decir, h2 = m x n: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de
axb
la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las
longitudes de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
3. Y si ahora tomamos cualquiera de estas dos proporciones: a = c
h
despejar h se obtiene: h =
axb
c
b
ó b = c , al
h
a
: En un triángulo rectángulo, la longitud de la altura co-
rrespondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de los dos catetos,
dividido entre la longitud de la hipotenusa.
¿Para qué presentamos toda esta abundancia de relaciones? En primer lugar, para
darnos cuenta de su riqueza, de cómo pueden descubrirse tantas relaciones entre los
elementos de una figura tan particular como un triángulo rectángulo. Y, en segundo lugar,
para facilitarnos la obtención del valor de elementos desconocidos a partir de unos pocos
conocidos, por la vía de utilizar las fórmulas o relaciones anteriores.
17. Halle la medida de un cateto de un triángulo rectángulo, si el otro cateto mide 9
cm y la hipotenusa, 41 cm.
18. Halle la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo si los catetos miden 6 cm y 8 cm.
19. Halle la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo y de la altura correspondiente a la hipotenusa, si ésta mide 20 cm y las proyecciones de los catetos sobre ella,
7,2 cm y 12,8 cm.
Pero no podemos limitarnos al establecimiento de esas dos conclusiones. También
podemos leer las relaciones “al revés”, es decir, caracterizar a un triángulo rectángulo
por esas relaciones de igualdad.
Pero más aún, si llamamos:
c al lado mayor de un triángulo,
a y b a los otros dos lados,
h a la altura correspondiente al lado c,
n y m a las proyecciones de los lados a y b sobre c, respectivamente,
también podemos caracterizar a cualquier triángulo tomando en cuenta las relaciones descritas en la siguiente tabla:
x axm =
b
21
∆ acutángulo
∆ rectángulo
∆ obtusángulo
c2 < a2 + b2
c2 = a2 + b2
c2 > a2 + b2
b2 > c x m y a2 > c x n
b2 = c x m y a2 = c x n
b2 < c x m y a2 < c x n
h2 > m x n
h2 = m x n
h2 < m x n
h>
axb
h=
c
axb
h<
c
axb
c
Construya un triángulo de cada uno de los tres tipos indicados, haga las mediciones
señaladas y verifique las relaciones anteriores en cada caso.
De acuerdo con los siguientes datos, determine en cada caso la naturaleza del triángulo (escríbalo en la última casilla). Si no es posible construir un triángulo que se ajuste a los
datos, indique que no existe.
Casos
/ Datos
a
b
c
a)
7
8
8
b)
c)
12
d)
e)
4
f)
7,3
g)
5
5
13
5,4
10
3
9
h
m
n
3,2
1,8
6,2
9
4,5
7
M
N
2
20. En un triángulo cuyos lados miden 3, 7 y 9 cm, ¿cuál es el valor que no puede
exceder la altura correspondiente al lado mayor?
Si nos damos cuenta, las relaciones que se verifican en un triángulo rectángulo son
sólo un caso particular (el de la igualdad entre los términos relacionados) entre todas las
22
Por otro lado, así como antes veíamos
que para determinar la congruencia de pares de segmentos y de ángulos resultaba
útil considerarlos como partes de sendos
triángulos congruentes o semejantes, ahora
también podemos observar que para determinar la longitud de un segmento resulta
útil considerarlo como una parte de un
triángulo rectángulo (que quizá haya que
construir), con el fin de servirnos de todas
las relaciones de igualdad que se dan en él.
Veamos un caso práctico.
Dado el ∆ ABC (rectángulo) de la figura,
en el que CA = 8 cm y AB = 6 cm, hallar la
longitud de la mediana que va desde A al
punto medio M del lado BC.
B
3
12
6
∆
relaciones posibles. Lo importante es, además, percibir que podemos caracterizar la
naturaleza de los ángulos de un triángulo
a partir del conocimiento de las medidas
de sus lados. Estamos a las puertas de un
capítulo de la matemática que se conoce
como trigonometría (trigonon [triángulo]
+ metron [medida] = medidas de los elementos de un triángulo), que no vamos a
franquear ahora.
C
A
Como puede observarse, AM no forma
parte de ningún triángulo rectángulo, ya
que la mediana no es perpendicular a BC.
Pero si construimos el segmento MN, sien-
do N el punto medio de AB, la situación
cambia: aparece el ∆ AMN.
¿Cómo es este triángulo? MN es paralelo a CA y mide la mitad de CA, porque
une los puntos medios de CB y AB. Por ser
paralelo a CA, es perpendicular a AB. Por
consiguiente, el ∆ AMN es rectángulo. Además, MN mide 4 cm y NA, 3 cm. AM es
la hipotenusa, cuyo valor se obtiene por la
relación pitagórica: AM = 4 2 + 3 2 = 25 =
5 cm. Ahora, ¿puede demostrar que ∆ AMB
y ∆ AMC son isósceles? ¿Podemos generalizar este último resultado a cualquier triángulo rectángulo?
Sea un triángulo rectángulo, uno de cuyos ángulos agudos mide 30o. Demostrar
que las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa están en razón 1 : 3.
B
A
D
C
En la figura aparece ∆ ABC, que es
rectángulo; < ACB mide 30o; y BD es perpendicular a AC. Se trata de demostrar que
AD
DC
=
1
3
Si igualamos las dos expresiones equivalentes a AB2 llegamos a: AC x AD = 1⁄4
(AC2); y de aquí a: AD = 1⁄4 (AC). Pero si
AD es la cuarta parte de la hipotenusa AC,
esto significa que DC representa los 3⁄4
de dicha hipotenusa, de donde se deduce
que AC es la tercera parte de DC; es decir:
AD 1 .
DC
=
3
2.8. Perímetro y área de un triángulo
a) El perímetro de un triángulo se define como la suma de las medidas de los
tres lados.
21. Halle el perímetro de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm.
22. En un triángulo obtusángulo, los lados menores miden 5 y 10 cm. ¿Puede su
perímetro ser menor que 26 cm?
23. En un triángulo acutángulo, los lados menores miden 6 y 7 cm. ¿Puede su
perímetro ser mayor que 23 cm?
24. Obtenga el perímetro externo de
esta figura, formada por 12 triángulos equiláteros cuyos lados miden 1 cm, adosados
unos a otros como se muestra. ¿Cuál será
el perímetro externo de una figura similar,
formada por 48 triángulos equiláteros del
mismo tamaño?
. Observamos que el ∆ ABC pue-
de ser considerado como la “mitad” de un
triángulo equilátero, de donde deducimos
que AB = ½ (AC). Además, AB2 = AC x AD
(¿por qué?). Pero de la igualdad AB = ½
(AC) obtenemos también: AB2 = ¼ (AC2).
b) El área de un triángulo se define
como la medida de la superficie de su región interior. Para llegar a una expresión
que relacione esta medida con la de los
elementos de un triángulo, empezamos por
considerar un cuadrado cuyo lado mide 1
unidad (u) de longitud (puede ser 1 cm, 1
m, etc.). Se dice que este cuadrado unitario
tiene un área de 1 unidad cuadrada (1 u2).
Esta es la unidad para medir las áreas de
cualquier superficie plana y, en particular,
de cualquier polígono. Medir el área de un
polígono consiste en averiguar cuántas veces su superficie contiene a un cuadrado
unitario, en las unidades dadas.
Las figuras cuya área resulta más sencilla
de medir son los rectángulos (cuadriláteros
con los lados opuestos paralelos y ángulos
internos rectos). Para calcular, por ejemplo,
el área de un rectángulo cuyos lados miden
4 y 3 cm, nos imaginamos la figura “fraccionada” en 12 cuadrados unitarios de 1 cm de
lado y 1 cm2 de área:
El área del rectángulo es de 12 cm2. E
inferimos que si las dimensiones de sus lados son a y b, su área vendrá dada por A =
a x b. Si ahora consideramos un paralelogramo (cuadrilátero con los lados opuestos
paralelos y ángulos internos no necesariamente rectos) como el de la primera figura,
observamos que siempre es posible “pasar”
a un rectángulo como el de la segunda figura, cuya área es la misma que la de la
primera.
h
b
23
El área del paralelogramo viene dada,
pues, por A = b x h, que describe el producto de su base por su altura. Observemos también que si se traza cualquiera de
las dos diagonales de un paralelogramo, su
región interior queda dividida en dos triángulos congruentes (los tres pares de lados
correspondientes son congruentes).
En algunas oportunidades podemos no
conocer la medida de la altura de un triángulo. Pero, a veces, es posible deducirla a
partir de las medidas de otros lados, utilizando la relación pitagórica.
Tenemos dos triángulos isósceles, de
medidas 5, 5 y 6 cm, y 5, 5 y 8 cm, respectivamente. ¿Cuál de los dos posee mayor
Ahora bien, todo triángulo –sea acu- área?
tángulo, rectángulo u obtusángulo- puede
considerarse derivado de la bisección de un
Haga las figuras correspondientes. En
paralelogramo en la forma descrita (com- el primer triángulo, la base mide 6 cm. Al
pruébelo). Por consiguiente, el área de un trazar la altura se forma un triángulo rectántriángulo viene expresada por la mitad del gulo, cuya hipotenusa mide 5 cm, y el otro
producto de la longitud de un lado, por la cateto, 3 cm (mitad de la base); la altura
longitud de la altura correspondiente a ese
lado. Abreviadamente, se dice que viene mide: 25 − 9 = 16 = 4 cm. Por consiexpresada por la mitad del producto de la guiente, A = ½ (6 cm x 4 cm) = 12 cm2.
longitud de su base por la longitud de su
altura.
Análogamente, en el segundo triángulo, la base mide 8 cm. Al trazar la altura se
Y simbólicamente: A = 1⁄2 (b x h) ó bxh
forma un triángulo rectángulo, cuya hipote2
nusa mide 5 cm, y el otro cateto, 4 cm (miEn un triángulo rectángulo de catetos tad de la base); la altura mide: 25 − 16 =
a y b, de hipotenusa c, y de altura h (correspondiente a la hipotenusa), el área tam9 = 3 cm. Por consiguiente, A = ½ (8 cm
bién puede obtenerse dividiendo por 2 el x 3 cm) = 12 cm2. Ambos triángulos tienen
producto de las longitudes de sus catetos. la misma área, a pesar de no tener el mismo
perímetro.
Hay, pues, dos vías para calcular el área:
c) Relaciones entre perímetros y áreas
axb y hxc . Al igualar ambas expresiones
de triángulos.
2
2
25. ¿Es cierto que si un triángulo tiene
tenemos: a x b = h x c. De aquí se sigue un
resultado ya conocido: h = axb . Esta es un perímetro mayor que el de otro triánguc
lo, el área del primero es mayor que la del
una segunda vía para demostrar la misma segundo?
26. ¿Es cierto que si un triángulo tiene
relación.
24
un área menor que la de otro triángulo, el
perímetro del primero es menor que el del
segundo?
27. De todos los triángulos que tienen
un perímetro de 30 cm, ¿cuál es el que tiene la mayor área? ¿Se puede generalizar ese
resultado para cualquier otro perímetro?
28. De todos los triángulos que tienen
un área dada, ¿cuál es el que tiene siempre
el menor perímetro?
Un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 14 cm. Si la hipotenusa mide 6
cm, ¿cuánto mide el área del triángulo?
Si intentamos dibujar el triángulo nos
encontramos con la dificultad de no saber
la medida de los dos catetos. Si las conociéramos, el problema estaría resuelto. Sin
embargo, es bueno observar que, en realidad, no necesitamos conocer las medidas
exactas de ambos, sino su producto, ya que
A = 1⁄2 (a x b).
De los datos se deducen dos relaciones:
a + b = 8 cm [1]. Y por otro lado, a2 + b2
= 62 = 36 [2]. De [1] deducimos: (a + b)2
= 64. Pero (a + b)2 = a2 + b2 + 2 x a x b
(como vimos en el Cuaderno 6), con lo que
llegamos a: a2 + b2 + 2 x a x b = 64. Si
utilizamos el resultado [2], la relación anterior nos queda como: 36 + 2 x a x b = 64.
Si restamos 36 en ambos miembros de esta
igualdad, se deduce que 2 x a x b = 28. Y
que a x b = 14. Y, finalmente, ½ (a x b) = 7.
El área del triángulo es 7 cm2.
Existe una fórmula para calcular el área
de un triángulo a partir del conocimiento
de las medidas de sus lados. Esta fórmula se
atribuye a Herón de Alejandría (matemático e ingeniero griego del s. I d. C.) y establece
que si los lados miden a, b y c unidades, y llamamos s al semiperímetro [s = ½ (a + b + c)],
entonces el área viene dada por la expresión (en unidades cuadradas):
A=
MN
sx ( s − a ) x ( s − b ) x ( s − c )
qué?) y como la razón CB
Así, por ejemplo, si los lados de un triángulo miden 5, 7 y 8 cm, respectivamente, su
semiperímetro es: s =½ (5 + 7 + 8) = ½ x 20 = 10 cm; y su área viene dada por la raíz
cuadrada de 10 x 5 x 3 x 2, es decir: A = 300 cm2.
d) Área de cualquier polígono
Para obtener el área de cualquier polígono, una idea útil es la de considerarlo fraccionado internamente en triángulos, cuya unión cubra exactamente la región interior del
polígono.
Calcular el área del cuadrilátero de
la figura, en el que:
D
AD = 12 cm, AB = 13 cm, BC = 3 cm,
CD = 4 cm; y BC es perpendicular a CD.
A
C
B
Podemos fraccionar la región interior mediante el trazado de la diagonal BD. Como el
∆ DBC es rectángulo, la hipotenusa DB mide 5 cm, y su área es A = ½ (a x b) = ½ (3 cm x
4 cm) = 6 cm2. Por otro lado, el ∆ DBA también es rectángulo, ya que 122+52=132; su área
es A = ½ (a x b) = ½ (12 cm x 5 cm) = 30 cm2. El área del cuadrilátero es 6 cm2 + 30 cm2
= 36 cm2. Trate de obtener este resultado aplicando la fórmula de Herón de Alejandría a
ambos triángulos y sumando posteriormente sus áreas respectivas.
2.9. Semejanza de triángulos: la razón entre las áreas
En el ∆ ABC de la figura tenemos como datos: AB = 12, BC = 6, AC = 9. M y N son los
puntos medios de AC y AB, respectivamente.
Como sabemos, ∆ AMN ~ ∆ ABC y la
razón de proporcionalidad entre los lados correspondientes es ½. Obtener la razón entre
las áreas de ambos triángulos.
En la figura aparecen las dos alturas,
MH y CI. Ambas forman parte, respectivamente, de los ∆ HNM y ∆ IBC. Estos dos
triángulos rectángulos son semejantes (¿por
C
M
B
A
H
N
MH
CI
=
1
2
=
1
2
, entonces
. Es decir, MH = ½ (CI).
El área de ∆ ANM es ½ (AN x MH). Y el
área de ∆ ABC es ½ (AB x CI). Ahora bien,
AN = ½ (AB) y MH = ½ (CI). De donde, el
área de ∆ ANM es ½ (AN x MH) = ½ x ½
(AB) x ½ (CI) = ⅛ (AB x CI). Ahora calculamos la razón entre las áreas de ambos triángulos: área de ∆ ANM / área de ∆ ABC = [⅛
(AB x CI)] / [1⁄2 (AB x CI)] = ⅛ : ½ = ⅛ x 2
= ¼. Pero ¼ = (½) 2. Es decir, la razón entre
las áreas de los dos triángulos semejantes
es igual al cuadrado de la razón que existe
entre sus lados correspondientes.
En términos generales podemos decir
que si la razón entre los lados correspondientes de dos triángulos semejantes es r,
la razón entre las áreas de ambos triángulos es r2 ; y viceversa. Es fácil establecer este
resultado general siguiendo una vía similar
a la desarrollada en el problema anterior.
29. Tenemos dos triángulos equiláteros
cuyos lados miden, respectivamente, 6 y 8
cm. ¿Cuáles son las razones entre: a) sus
lados; b) entre sus medianas; y c) entre sus
áreas?
30. Las áreas de dos triángulos semejantes son 16 y 36 cm2. ¿Cuál es la razón
entre los perímetros de ambos triángulos?
I
25
2.10 Y ahora, otros ejercicios “para la casa”...
31. Dada la figura anexa, trace las bisectrices de los ángulos < DAE, < DBC y
< ECB. Observe qué ocurre.
Construya, con regla y compás, un
triángulo isósceles, si le dan la base y su
altura correspondiente.
E
C
Construya, con regla y compás, un
triángulo equilátero, dada su altura.
A
D
B
32. ¿Qué relación existe entre las áreas de los ∆ ABC y ∆ ABD de la figura, si las rectas
AB y CD son paralelas?
D
C
A
B
33. ¿Cuál es el área de la punta de flecha que aparece en la figura?
8
4
10
34. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo miden 5,5
cm, 7 cm y 3,5 cm. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
35. En la figura, el punto M es el punto
medio del lado AB, y N es el punto medio
del segmento AM. ¿Qué razón existe entre
las áreas de los ∆ ABC y ∆ CNM?
26
C
A
N
M
B
Referencias Bibliográficas y electrónicas
- Fendt, W. (2003). Applets Java de Matemáticas. Disponible en:
http://www.walter-fendt.de/m11s/index.html
- Gardner, M. (1986). Miscelánea matemática. Barcelona: Salvat.
Respuestas de los ejercicios propuestos
1. No; los ángulos internos no pueden ser todos congruentes
2. 12 lados
3. Sí.
Infinitos triángulos 4. 13 triángulos 5. La 2a es verdadera 6. No. Sí. No. No 7. 4
monedas 8. 2; 3 9. Isósceles 10. Ana: 3 triángulos 11. 180o 12. 360o 13.
80o, 60o y 40o 14. 40 15. 29o 16. 65o 17. 40 cm 18. 4,8 cm 19. 12 y 16
cm; 9,6 cm 20. 7/3 cm 21. 24 cm 22. No 23. No 24. 14 cm; 50 cm 25.
No 26. No 27. El triángulo equilátero de 10 cm de lado. Sí se puede generalizar 28.
El triángulo equilátero 29. a) y b) ¾; c) 9/16 30. ⅔ 31. Se intersectan en un punto
que equidista de las semirrectas AD y AE, y del segmento CB 32. Son iguales 33. 40
u2 34. 32 cm 35. ¼
27
Postdata: Las raíces cuadradas
El resultado establecido en el teorema de Pitágoras nos introduce en el tema de las
raíces cuadradas de los números. Se observa con claridad que la operación de extraer la
raíz cuadrada de un número es opuesta a la operación de elevar al cuadrado un número.
Así, por ejemplo:
elevar al cuadrado
8
64
extraer la raíz cuadrada
y escribimos: 82 = 64 y
64 = 8. Y también:
elevar al cuadrado
2
extraer la raíz cuadrada
2
Nuestras calculadoras nos permiten extraer la raíz cuadrada de cualquier número,
entero o decimal. Y, salvo en los casos en que tal raíz cuadrada es exacta (sea entera o
decimal), el resultado tiene infinitas cifras decimales. Por ejemplo, 2 nos da como
resultado 1,4142135...
¿Qué diferencia existe entre esta serie de números decimales y la que se obtiene, por
ejemplo, al representar la fracción 8/7 en forma decimal (8/7 = 1,1428571...), que también
nos aporta una serie infinita de cifras decimales? La diferencia está en que, en el caso de
las fracciones, la parte decimal se presenta por lotes que se van repitiendo ininterrumpidamente: son los “períodos”, de los que hablamos en el Cuaderno 9. Así, en el caso de 8/7,
el período que se repite indefinidamente es 142857.
En cambio, estos períodos regulares no se presentan en el caso de la parte decimal
de las raíces cuadradas no exactas. Esta es la diferencia fundamental que existe entre la
naturaleza de las fracciones y la de las raíces cuadradas no exactas. Estas últimas pertenecen a una clase de números que no pueden representarse como fracciones; o como
razones, según la concepción de los griegos. Por ello, los pitagóricos los denominaron
“irracionales” (no reducibles a una razón) [Véase en el Cuaderno 11 la referencia histórica correspondiente a
2 ].
Por lo que sabemos,
28
2 parece ser el primer ejemplo de número calificado como
irracional por los griegos. ¿Cómo aparece
en la historia de la matemática? Pues precisamente al intentar calcular la medida de la
diagonal de un cuadrado cuyo lado medía 1
unidad. Y para este cálculo, los griegos utilizaron la relación establecida en el teorema
de Pitágoras: AC = AB 2 + BC 2 = 1 + 1
= 2.
C
2
A
1
1
B
dradas de los números como medidas de segmentos, sólo tenemos que construir triángulos
rectángulos, colocando en los dos catetos, o en un cateto y en la hipotenusa, segmentos
de medidas apropiadas a cada caso.
Por ejemplo, para obtener un segmento cuya medida sea 3 , podemos construir un
triángulo rectángulo cuya hipotenusa y uno de los catetos midan 2 y 1 unidad, respectivamente; la medida del otro cateto será 3 . También podemos construir otro triángulo
rectángulo cuyos catetos midan 2 (obtenido previamente) y 1 unidad, respectivamente;
ahora la medida de la hipotenusa será 3 .
De más está decir que, de este modo, las raíces cuadradas de los números, así no
sean exactas, pueden llevarse sobre la recta numérica, de un modo similar a los números
naturales y a las fracciones; a cada una de ellas les corresponde también un punto sobre
tal recta.
Obtenga un segmento cuya medida sea exactamente:
Lo importante es ver que el teorema
de Pitágoras nos permite dar un sentido
a) 6 ; b) 15 ; c) 2 2 ; d) 17
geométrico a las raíces cuadradas de los
números. Así, 2 no sólo es un número
cuyo valor es 1,4142135..., sino que tamTodos los triángulos de la figura son rectángulos. Halle las medidas de los segmentos
bién representa la medida de un segmento,
en este caso, de la diagonal de un cuadrado a, b, c, d, e.
¿Qué números se van obteniendo progresivamente como medidas de los segmentos
cuyo lado mide 1 unidad: Estamos viendo
el objeto matemático 2 desde las pers- construidos de esa manera?
1
pectivas aritmética y geométrica, respectivamente.
e
Desde la perspectiva aritmética, para
2 resultaba “inconmensuralos griegos
ble” con la unidad [Véase el Cuaderno 11
al respecto] y fastidioso de manejar, porque
no podía representarse como una razón.
Pero desde la perspectiva geométrica, 2
era un objeto limpio y elegante: la medida
de un segmento muy fácil de trazar. Por esta
razón, los griegos “metieron” la aritmética
en la geometría y, para ellos, los números
pasaron a ser medidas de segmentos.
1
d
c
1
a
1
b
1
1
Para representar, pues, las raíces cua-
29
Índice
Índice
A modo de Introducción
5
1. ¿Qué es un polígono?
6
2. Triángulos
7
2.1. Construcción de un triángulo
8
2.2. Clasificación de los triángulos
8
2.3. Elementos notables de un triángulo
10
2.4. La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo
12
2.5. La congruencia de triángulos
15
2.6. La semejanza de triángulos
17
2.7. Algunas relaciones entre las medidas de lados y
segmentos de un triángulo
20
2.8. Perímetro y área de un triángulo
23
2.9. Semejanza de triángulos: la razón entre las áreas
25
2.10. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”...
26
Referencias Bibliográficas y electrónicas
27
Respuestas de los ejercicios propuestos
27
Postdata: Las raíces cuadradas
28