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Tema 5
Cosmología
Gravitación
Universal
Profesor.-- Juan J. Sanmartín Rodríguez
Profesor.
Introducción
Tycho Brahe (1546
(1546--1601)
Danés notable, perdió la vida en un
duelo El Rey Federico II le dio una isla
pequeña para que construyera el mejor
observatorio del mundo.
Diseñó, construyó y usó instrumentos muy precisos
para medir las posiciones del cielo.
cielo Mantuvo grandes
marcas por años. Ayudó a Kepler a tratar de entender
el movimiento de Marte. Construyó un modelo con el
Sol girando alrededor de la Tierra,
Tierra pero los planetas
orbitando al Sol. Encontró que los cometas se mueven
entre las órbitas de los planetas (no Tolemaico). El
movimiento
o
e o de Marte
a e aú
aún no
o se e
explica
p ca
completamente.
Galileo Galilei (1564
(1564--1642)
1609 Galileo
G lil Galilei
G lil i (1564-1642)
(1564 1642) observa
b
ell cielo
i l con
el telescopio e inicia la etapa de la astronomía
instrumental. En los años siguientes observó:
montañas en la Luna,
Luna manchas en el Sol,
Sol fases en el
planeta Venus. De manera similar detectó que la Vía
Láctea estaba compuesta por numerosas estrellas.
Uno de los primeros en usar
experimentos para deducir leyes
físicas: leyes de movimiento, velocidad,
aceleración, inercia, péndulo, cuerpos
cayendo.
• Usó telescopios para la astronomía.
• Después de su excepticismo inicial,
p el modelo de Copérnico
p
ya q
y
que
adoptó
las evidencias empíricas lo apoyaban.
4
Descubrimientos de Galileo
Los cuerpos celestes no son
perfectos: montañas sobre la luna,
manchas solares.
La Tierra no es solamente el centro
d rotación
de
ió (p.ej.
( j Lunas
L
d Jupiter).
de
J i )
Venus pasa por el frente y por
d t ás del
detrás
d l Sol
S l (no
(n puede
pu d ocurrir
cu i si ell
sistema de Tolomeo es correcto).
Johannes Kepler 1571
1571--1630
Nació enfermo y pobre.
Johannes Kepler (1571-1630) publica su obra “El
misterio del Universo” obra de enfoque casi místico.
E ib su frase
Escribe
f
célebre
él b
" t
"entre
M t y Jú
Marte
Júpiter
it
yo
coloco un planeta“.
1604: Reporta la presencia de una "estrella nueva" en
la constelación del Serpentario.
1609: Publica las dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas en
el Sistema Solar en el libro "Astronomia nova".
1611: Publica “Dioptrik” el primer tratado sobre las bases numéricas de la
óptica.
1619 Johannes Kepler (1571-1630) publica la tercera ley del movimiento
planetario en su libro "Harmonices mundi".
Johannes Kepler 1571
1571--1630
1621 Willebrod
Will b d Snell
S ll (1591-1626)
(1591 1626) descubre
d
b la
l refracción
f
ió de
d la
l luz.
l
1627 Johannes Kepler (1571-1630) publica
sus Tabulae
T b l Rudolphinae
R d l hi
(T bl Rodolfinas),
(Tablas
R d lfi
)
que constituyeron la base para el cálculo de
los movimientos planetarios. Estas tablas
obtienen su nombre del Emperador Rodolfo II
de Alemania, al cual fueron dedicadas. En
ellas se predice por primera vez el tránsito de
Venus y Mercurio por el disco del Sol para
1631
1631.
1619 Johannes Kepler (1571-1630) postula
la existencia de un viento solar en su
explicación de la dirección de la cola de los
cometas.
Leyes de Kepler
Elipses
Una elipse es un ejemplo de una “sección
cónica”.
ó i ”
L
Los
círculos
í l
y las
l
hi é b l
hipérbolas
pertenecen a otra familia. Todas son formas
posibles de órbitas.
Una elipse se puede hacer con dos
cuerdas un lápiz.
lápiz Las cuerdas están en el
foco y si se alejan uno del otro, la elipse
es mas excéntrica (una sola cuerda hace
un circulo.
Leyes de Kepler – Primera Ley
Los planetas se mueven en órbitas elípticas,
elípticas con el Sol en uno de los focos
focos..
Nota: no hay nada en el otro foco o en el centro
Leyes de Kepler – Segunda Ley
El radiovector (línea imaginaria que uniría el sol con cada planeta) barre áreas
iguales en tiempos iguales
De esto tenemos q
que deducir q
que si el
Sol está en uno de los focos de la elipse
(Primera Ley), habrá un momento en
que el planeta esté más cerca del Sol y
por lo tanto tendrá que ir más rápido en
su órbita para barrer un área igual
Segunda Ley quiere decir que los planetas
giran alrededor del Sol mas rápido cuando
están mas cerca de él. Estas leyes valen para
cualquier
q
cosa q
que esté orbitando alrededor
de cualquier cosa debido a la gravedad.
Segunda Ley de Kepler Animada
Leyes de Kepler – Tercera Ley
Que los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas dividido
entre el cubo de sus radiovectores permanece constante
constante..
La forma mas general de esta ley es
es::
2
T planeta
R
3
planeta
= Cte.
T.- periodo del planeta, tiempo que tarda en dar una
vuelta a su órbita.
R.- radiovector,, linea q
que une el Sol con cada p
planeta.
Según esto podemos expresar:
2
Tierra
3
Tierra
T
R
2
Marte
3
Marte
T
=
R
=
2
TJupiter
R
3
Jupiter
= ...
Sabemos q
que la distancia de la Tierra al Sol son aprox.
p
150.000.000 Km y
su periodo es de 1 año = 365,25 dias
Problema: El planeta Saturno, es el Sr. de los anillos del Sistema solar y el
sexto en su p
posición con respecto
p
al sol. Dados los siguientes
g
datos calcula el
periodo de Saturno. Consideramos el periodo de la Tierra como 365 días
DSATURNO-SOL=1.429.400.000 km.
DTIERRA
TIERRA-SOL
SOL= 149.000.000 km.
¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.
RSaturno − Sol = 1.429 .400 .000 km = 1,4 ⋅1012 m.
RTierra − Sol = 149 .000 .000 km = 1,49 ⋅1011 m.
Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)
2
2
(
TTierra
TSaturno
365)
= 3
⇒
3
RTierra RSaturno
1,49 ⋅1011
2
(
(365)
2
Tsaturno =
(
)
12 3
⋅ 1,4 ⋅10
(1,49 ⋅10 )
11 3
=
2
TSaturno
) (1,4 ⋅10 )
3
12 3
= 10512,5dias
di
Problema: Supongamos ahora un planeta que tarda 200 días en dar una vuelta
al Sol,, Calcula a q
que distancia se encuentra de este.
DTIERRA-SOL= 149.000.000 km.
Consideramos el periodo de la Tierra como 365 dias
¡¡Cuidado con los datos!!
datos!!. Tienen que estar en el S
S.I.
I
RTierra − Sol = 149 .000 .000 km = 1,49 ⋅1011 m.
Entonces: (Aplicando la Tercera Ley de Kepler)
2
Tierra
3
Tierra
T
R
=
2
Tplaneta
R
3
planeta
R pplaneta =
(365)
2
⇒
(1,49 ⋅10 )
11 3
R 3planeta
(1,49 ⋅10 ) ⋅ (200)
11 3
3
(
200 )
=
2
2
(365)
2
=
Leyes de Kepler – Ampliación
La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las
masas en astronomía)
t
í ) es
es::
T2 ∝
a3
M central
Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central),
central) si las
unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en
años, la constante de proporcionalidad es 1.
Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?
T 2 = 53 = 125; T = 125 = 11.2
Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que
surgían debido a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de
un magnetismo.
Leyes
y de Kepler
p
Ley de la Gravitación Universal
La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de
Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.
r
m1 ⋅ m2
Fgravitatoria = G ⋅
d2
La g
gravedad es relativamente débil debido al valor
constante de la gravitación G, en unidades métricas,
G = 6,7 ⋅10 −11
tan p
pequeño
q
de la
N ⋅ m2
Kg
Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza
apreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 5,98x1024 kg.
Ap
pesar de la masa g
grande de la Tierra,, la fuerza g
gravitacional q
que sientes en la
superficie de la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.
Para el calculo de la fuerza gravitatoria de un objeto o persona sobre la
superficie de un planeta, la distancia d entre ambos cuerpos es el radio del
planeta.
r
M planeta ⋅ mobjeto / persona
m1 ⋅ m2
Fgravitatoria = G ⋅
= G⋅
2
2
d
R planeta
En el caso de un satélite girando alrededor del planeta, al radio del planeta
tenemos que sumarle la altura, es decir, d=Rplaneta+h
+h..
r
M planeta ⋅ msatélite
m1 ⋅ m2
Fgravitatoria = G ⋅
= G⋅
2
d
( R planeta + h) 2
Y para el caso de dos cuerpos celestes..
r
M cuerpo1 ⋅ M cuerpo 2
m1 ⋅ m2
= G⋅
Fggravitatoria = G ⋅
2
2
d
d separa
Problema: Calcula la fuerza gravitatoria con la que la tierra atrae a una persona
d 70 kg.
de
k de
d masa.
Datos necesarios: MTIERRA= 5,98x1024 Kg ; RTIERRA=6400 Km.
¡¡Cuidado con los datos!!. Tienen que estar en el S.I.
24
r
M Tierra ⋅ m persona
−11 5,98 ⋅10 × 70
Fgravitatoria = G ⋅
= 681,7 N
= 6,67 ⋅10 ⋅
2
2
6
RTierra
6,4 ⋅10
(
)
Muy parecido a si calculamos el peso por la fórmula de los temas anteriores.
Peso = m ⋅ g = 70 ⋅ 9,81 = 686,7 N
Es por lo que definimos…
Intensidad de campo gravitatorio
Si igualamos las dos formas de calcular la atracción de un cuerpo por un
planeta.
r
M planeta ⋅ m persona
Fgravitator
= m persona ⋅ g = Peso
i
i = G⋅
ia
2
d planeta
Entonces se deduce q
que:
M planeta
r
g = G⋅ 2
d planeta
Definimos entonces g como intensidad de campo, que en la superficie
terrestre será…
24
r
−11 5,98 ⋅10
= 9,74 ≈ 9,81 m
g terrestre = 6,67 ⋅10
2
s
6,4 ⋅10 6
(
)
La diferencia está en la aproximación de las cantidades.
Problema: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más pequeño.
Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km. Calcula:
a. El peso de
d una persona de
d 87 kg.
k en la
l superficie
fi i de
d Mercurio.
M
i
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio.
c. ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg. situado a 400 km. de
altura.?
d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite.
Apartado a).- Como en el problema anterior…
23
r
M mercurio ⋅ m persona
3
,
3
10
⋅
× 87
−11
Fgravitatoria = G ⋅
= 6,67 ⋅10 ⋅
= 79,75 N
2
2
6
Rmercurio
4,9 ⋅10
(
)
Apartado b).- Para el cálculo de la intensidad de campo, es decir, para la g en
Mercurio…
r
M mercurio
3,3 ⋅10 23
−11
g = G⋅ 2
= 6,67 ⋅10 ⋅
= 0,92 m
2
s
Rmercurio
4,9 ⋅10 6
(
)
Apartado c).- Ahora vamos a calcular la fuerza con que Mercurio atrae al satélite, al ser
la altura a la que orbita considerable frente al radio de Mercurio tenemos que
considerarla…
23
r
M mercurio ⋅ msatélite
⋅
⋅ 400
3
,
3
10
−11
Fgravitatoria = G ⋅
=
⋅
⋅
6
,
67
10
( Rmercurio + hsatélite ) 2
4,9 ⋅106 + 4 ⋅105
(
)
2
= 313,43N
Apartado d).d) Y para finalizar calculamos la intensidad de campo a esa altura…
altura
r
g = G⋅
23
M mercurio
3
,
3
⋅
10
−11
=
6
,
67
⋅
10
⋅
2
( Rmercurioi + hsatélite
4,9 ⋅106 + 4 ⋅105
télit )
(
)
2
= 0,78 m
s
¿Porqué no se caen los Satélites?
Hasta ahora vimos la fuerza con la que atrae un planeta a los cuerpos, en el
caso de un satélite
r
M planeta ⋅ msatélite
m1 ⋅ m2
Fgravitatoria = G ⋅
= G⋅
2
2
d
( R planeta + h)
Tiene que haber una fuerza igual a esta que evite que el satélite caiga.
¿Cuál es esta Fuerza?
Para explicarlo nos tenemos que ir al Tema I - Cinemática
¿Os acordáis?
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe
aceleración, la aceleración centrípeta.
v2
ac =
R
Cuando viajamos en un vehículo y toma una
curva, la tendencia es a salirnos de la curva. La
aceleración centrípeta lo impide al tirar de
nosotros hacia dentro de la curva.
Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la
aceleración centrípeta.
Tenemos una Fuerza centrípeta que evita
que nos salgamos de la curva en
contraposición con una Fuerza Centrífuga.
Centrífuga
Fuerza Centrífuga
g
La fuerza centrífuga (F) no es una fuerza propiamente tal, sino que es
producida por la inercia de los cuerpos al moverse en torno a un eje, pues estos
tienden a seguir una trayectoria tangencial a la curva que describen. La fuerza
centrífuga aumenta con el radio del giro (r) y con la masa (m) del cuerpo.
2
r
v giro
Fcentrífuga = mcuerpo ⋅ acentrífuga = mcuerpo ⋅
Rggiro
Y por lo tanto, la Fuerza Gravitatoria es contrarrestada por esta Fuerza
Centrífuga, de modo que al igualar ambas fuerzas.
r
r
Fcentrífuga = Fgravitatoria
Obtenemos lo siguiente…
2
r
v giro
M planeta ⋅ mcuerpo r
Fcentrífuga = mcuerpo ⋅
= G⋅
= Fgravitatoria
2
Rgiro
d
Como el Radio de Giro y la Distancia son iguales, obtenemos…
mcuerpo ⋅
Y deducimos
v giro
d
2
= G⋅
M planeta ⋅ mcuerpo
d2
Velocidad Orbital
v giro = G ⋅
M planeta
d
Problema anterior: El planeta MERCURIO, es el planeta más próximo al sol y el más
pequeño. Dados los siguientes datos: MMERCURIO=3,3 1023 Kg.; DMERCURIO=4.879,4 km.
Calcula:
a. El peso de una persona de 87 kg. en la superficie de Mercurio. anterior
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de Mercurio. anterior
c ¿Con que fuerza atraerá Mercurio a un satélite de 400 kg.
c.
kg situado a 400 km.
km de
altura?. anterior
d. Calcula la intensidad de campo gravitatorio a la altura del satélite. anterior
e. Velocidad de giro del satélite.
2
r
r
vgiro
M mercurio ⋅ msatélite
Fgravitatoria = G ⋅
= msatélite ⋅
= Fcentrífuga
2
( Rmercurio + hsatélite )
( Rmercurio + hsatélite )
Entonces…
vgiro
vgiro
M mercurio
= G⋅
(Rmercurio + h)
23
3
,
3
⋅
10
m ≈ 7336,4 Km
= 6,67 ⋅10−11 ⋅
=
2037
,
9
s
h
4,9 ⋅106 + 4 ⋅105
(
)
Problema: La Luna es el satélite natural de la Tierra. Conociendo los siguiente datos:
MLUNA=7,2x1022 Kg.; RLUNA= 1740 km. ; MTIERRA=5,98x1024 Kg.; DTIERRA-LUNA= 384000 km.
Calcula:
a. El peso de una persona de masa 80 Kg. en la superficie lunar.
b. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en la superficie lunar.
c. ¿
¿Con q
que fuerza atraerá la Tierra a la Luna y viceversa?.
d. Velocidad de giro lunar.
e. Tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta alrededor de la Tierra.
A t d a).Apartado
)
22
r
M luna ⋅ m persona
−11 7,2 ⋅10 × 80
Fgravitatoria = G ⋅
= 6,67 ⋅10 ⋅
= 126,9 N
2
2
6
Rluna
1,74 ⋅10
(
)
Apartado b).22
r
M luna
7
,
2
10
⋅
m
g = G ⋅ 2 = 6,67 ⋅10 −11 ⋅
=
1
,
59
s
6 2
Rluna
1,74 ⋅10
(
)
r
M Tierra ⋅ M Luna
Fgravitatoria = G ⋅
2
dTierra
− Luna
Apartado c).-
r
F gravitator
ia
= 6 , 67 ⋅ 10 −11 ⋅
5 ,98 ⋅ 10 24 × 7 , 2 ⋅ 10 22
(3,84 ⋅ 10 )
8 2
= 1,9 ⋅ 10 20 N .
Apartado d).-
vgiro = G ⋅
M Tierra
dTierra− Luna
= 6,67 ⋅10
−11
5,98 ⋅1024
⋅
= 1019,2 m
8
s
3,84 ⋅10
Apartado e).e) Calculamos la longitud de la órbita de la luna…
luna
Lorbita _ luna = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 3,84 ⋅108 = 2,4 ⋅109 m
t periodo
6
Lorbita 2,4 ⋅109
⋅
s.
2
,
35
10
6
=
=
= 2,35 ⋅10 s. =
= 27,4d
vgiro
1019,2
3600 s ⋅ 24 h
h
d
Velocidad de Escape
La velocidad
L
l id d de
d escape
depende de la masa y del
tamaño del cuerpo. Para
la Tierra es cerca de 11
km/s. Cuando la velocidad
de escape es la velocidad
de la luz,
luz el cuerpo central
será un agujero negro.
Es importante notar que
ninguna
de
estas
velocidades depende
p
de
la masa del cuerpo que
está
orbitando
o
escapando.
p
31
Ampliación
p
- Movimiento Orbital
La fuerza de gravedad siempre
hace que las cosas caigan.
caigan La
pregunta es si la trayectoria de
la caída coincide con cualquier
superficie. La forma de la órbita
depende de la velocidad que el
cuerpo tenga en un punto dado.
Velocidades bajas recorrerán distancias
menores, mientras que velocidades grandes
recorrerán distancias mayores. En estos
casos se puede decir que las trayectorias son
cerradas. Sí la velocidad es bastante grande
(mayor o igual a la velocidad de escape), la
orbita será una hipérbola en lugar de una
elipse y el cuerpo no regresará.
Leyes de Kepler
Gravitación
34
Explicación de las Leyes de Kepler
Newton
N
t pudo
d explicar
li
matemáticamente
t áti
t (usando
(
d su calculo)
l l ) que las
l órbitas
ó bit
de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que
estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar
que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:
2
4
π
a3
P2 =
G ( M Sol + M Planeta )
Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante
gravitacional.
Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de
cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del
cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).
Tierra-Luna)
Cálculo de la Masa de la Tierra
Sabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna,
luna y a la
luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca
de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.
1
3
a3
144
−6
400
M∝ 2∝
=
=
2
.
25
x
10
2
P
64 x106
1
12
Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así
que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol.
Sol Para
poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de
Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a
(metros), G (unidades mks).
Ejercicios - Ampliación
¿Cuál sería el periodo orbital de la Tierra si la masa del Sol fuera 9 veces
mayor? Discuta las implicaciones si esto fuera cierto
Suponga que se descubrió un nuevo cometa y que las observaciones
indican que su periodo es de 1000 años,
años ¿A qué distancia (promedio) se
encuentra del Sol?