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º
UNIVERSIDAD DE CHILE
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Matemática
MA1102 – Álgebra Lineal
Semestre Otoño 2011
PAUTA AUXILIAR Nº4
1. Sean los puntos
,
,
. Pruebe que no son colineales y encuentre la ecuación
vectorial del plano que definen.
Pauta.
Encontramos 2 vectores directores:
Para ver si son colineales o no, creamos la ecuación vectorial de una recta con vector director
pasa por alguno de los valores que crearon ( o ), y vemos si es posible crear a partir de ella:
y que
Luego:
Al existir una contradicción ( debiese tener un único valor), los puntos son no colineales. Finalmente,
usando los vectores directores obtenidos y cualquiera de los tres puntos iniciales, es posible hallar la ecuación
vectorial del plano:
2. Muestre que las rectas siguientes se intersectan sólo en un punto. Encuéntrenlo.
Profesor:
Profesores Auxiliares:
1
Felipe Célèry
Rodrigo Arce
Gonzalo Flores
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Semestre Otoño 2011
Pauta.
Supongamos que existe un punto,
, en el cual ambas rectas se igualan. Por ende, deben
existir
tal que ambas ecuaciones vectoriales se igualen:
Igualando la primera y segunda ecuación, es posible despejar :
Al igualar estos valores en todas las ecuaciones, es posible percatarse que no existen inconsistencias,
por lo que el punto en común existe. Para encontrarlo, basta reemplazar el valor obtenido para o en la
ecuación de la recta respectiva:
3. Sea
el plano con vectores directores
la recta con vector director
y
, que pasa por el punto
que pasa por el punto
, donde
, y sea
. Encuentre los
valores de los parámetros
tales que:
i.
esté contenida en
ii.
y no tengan puntos en común (
)
iii.
contenga exactamente un solo punto.
Pauta.
Primero encontramos las ecuaciones vectoriales del plano y de la recta:
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2
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Lo primero que corresponde es igualar ambas ecuaciones vectoriales, dejando a un lado solo
constantes (las variables correspondes a
y ) y al otro las variables. De esta forma:
Esta última ecuación se puede escribir de forma matricial como sigue:
Usamos la matriz aumentada y escalonamos el sistema:
Finalmente se encuentran las condiciones para que no exista solución, existan infinitas soluciones y
exista una única solución.



4. [Control 4, 2006].
i.
Considere los puntos
. Verifique que son puntos no colineales y
encuentre la ecuación vectorial (o paramétrica) y cartesiana del plano
ii.
Dadas las rectas
y
que los contiene.
definidas por:
Verifique que
y
son paralelas y distintas y encuentre la ecuación vectorial (o paramétrica) y
cartesiana del plano que las contiene.
iii.
Encuentre la ecuación vectorial de la recta
(
)
que se obtiene como la intersección de los planos
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y
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iv.
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Encuentre el punto
cartesiana del plano
de intersección de las rectas
y
y verifique que
satisface la ecuación
Pauta.
i.
Se actúa igual que en la pregunta 1.
Luego:
Como existe contradicción, ya que debería ser único, los puntos son no colineales. Luego, la ecuación
vectorial del plano es:
Para encontrar la ecuación cartesiana, procedemos a despejar en la primera ecuación:
(1)
En la segunda, despejamos :
(2)
Reemplazando (2) en (1), se encuentra en función de
e :
(3)
En la última ecuación paramétrica del plano
, se reemplazan (2) y (3):
(4)
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ii.
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Procedemos a encontrar la ecuación vectorial de
Tanto
como
comparten igual vector director, por lo que son paralelas. Para verificar que no son
iguales, basta con mostrar que un punto cualquiera de una no pertenece a la otra (si un punto pertenece a
ambas rectas, las rectas DEBEN ser iguales). Tomando en ,
:
Con lo que las rectas son distintas. Luego, es necesario encontrar un nuevo vector director para .
Para ello, basta con restar dos puntos, uno perteneciente a cada recta. Para ello, se toma
en ambas
rectas:
Con lo que se obtiene la ecuación vectorial del plano . A continuación, se utilizan las primeras dos
ecuaciones paramétricas de
para encontrar en función de e :
(5)
Reemplazando (5) en la última ecuación paramétrica de
, se obtiene la ecuación cartesiana del
plano:
(6)
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Para encontrar la ecuación vectorial de la recta , la forma más fácil corresponde a encontrar dos
puntos comunes a ambos planos. En las ecuaciones cartesianas es más fácil ver esto:
De esta forma, elejimos un punto cualquiera, con lo que obtenemos . Tras ello, para obtener
bastan con reemplazar los valores de e en cualquiera de las ecuaciones cartesianas iniciales.
Conisderando
e
, se obtienes los siguientes vectores:
Con lo que la ecuación vectorial de
queda:
(7)
iv.
Encontramos la intersección de
con igualando sus ecuaciones vectoriales:
Matricialmente:
Resolviendo el problema como un sistema de ecuaciones:
Con ello se obtiene
, que al ser reemplazado en la ecuación de la recta
Finalmente, reemplazando los valores de en la ecuación cartesiana del plano
:
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se obtiene:
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Gonzalo Flores