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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 7
PRÁCTICA 7 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, el estudiante tendrá la oportunidad de utilizar la Aplicación Principal
de la calculadora ClassPad 300 PLUS, para resolver algunos problemas de rectas y planos
en R3.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber resuelto en su totalidad la
práctica anterior.
7.1 Rectas y planos en R3.
1.
Operaciones de mantenimiento en la ClassPad.
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque el botón
para acceder directamente al administrador de variables. Toque main dos
veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.]
[Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.
Para los problemas que resolveremos en esta práctica conviene tener presente el siguiente resumen de
fórmulas:
ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (RECTAS Y PLANOS EN R3)
1 Ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto Q(x 0 , y 0 , z 0 ) y tiene vector director

v  (a, b, c) : L : (x, y, z)  (x 0 , y0 , z 0 )  t(a,b, c) ; t  R
2 Ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el punto Q(x 0 , y0 , z 0 ) y tiene vector
x  x 0  ta


director v  (a, b, c) : L :  y  y 0  tb ; t  R
 z  z  tc
0

3 Ecuación en forma simétrica de la recta L que pasa por el punto Q(x 0 , y0 , z 0 ) y tiene vector

x  x 0 y  y0 z  z 0


director v  (a, b, c) , donde a  0 , b  0 y c  0 : L :
a
b
c
4 Ecuación vectorial del plano  que pasa por el punto Q(x 0 , y0 , z 0 ) y tiene vectores directores


v 1  ( a 1, b 1, c 1 ) y v 2  (a 2 , b 2 , c 2 ) :
 : (x, y, z)  (x 0 , y0 , z 0 )  t(a1, b1, c1)  s(a 2 , b 2 , c 2 );
t, s  R
5 Ecuaciones paramétricas del plano  que pasa por el punto Q(x 0 , y0 , z 0 ) y tiene vectores


directores v1  (a1, b1, c1) y v 2  (a 2 , b 2 , c 2 ) :
 x  x0  ta1  sa 2

 :  y  y0  tb1  sb 2
 z  z  tc  sc
0
1
2

Prof. Robinson Arcos
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; t, s  R
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Práctica 7
ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (RECTAS Y PLANOS EN R3)
6
Ecuación cartesiana del plano  que pasa por el punto Q(x 0 , y0 , z 0 ) y tiene vector normal

N  ( A, B, C) :
 : A(x  x 0 )  B(y  y0 )  C(z  z 0 )  0
7
8


Medida del ángulo  entre dos rectas con vectores directores v 1 y v 2 :
 
 v v 
m()  arccos   1 2   0,  / 2
 v1 v 2 




Medida del ángulo  entre dos planos con vectores normales N1 y N2 :


m()  arccos 


9
 
N1  N2


N1 N2


  0,  / 2



Medida del ángulo  entre un plano con vector normal N y una recta con vector director

v:
   
 N v 
m()  arcsen      0,  / 2
 N v 


10
11

Distancia del punto P a la recta L que pasa por el punto Q y tiene vector director v :

v  (QP )
d( P, L)  (QP )  Pr oy v (QP ) 

v

La recta L 1 pasa por el punto Q 1 y tiene vector director v 1 , la recta L 2 pasa por el punto Q 2

y tiene vector director v2 , entonces la distancia entre ellas viene dada por:


Q 2 Q 1  (v1  v 2 )


para v1  v 2  O
d( L1, L 2 ) 


v1  v 2
12
Distancia del punto P(x 0 , y0 , z 0 ) al plano de ecuación cartesiana  : Ax  By  Cz  D  0 :
d( P, ) 
Ax 0  By 0  Cz 0  D
A 2  B2  C2
OBSERVACIÓN:
En cada uno de los siguientes problemas se presenta una serie de datos geométricos y una
situación problemática dividida en partes. Cada parte dispone, a la derecha, de un espacio en blanco
para que el estudiante represente geométricamente los datos y los elementos incógnitos pedidos. Utilice
la calculadora, lápiz y papel para resolver el problema y coloque la respuesta al final de cada parte:
2.
Situación 1: Considere la recta de ecuación R 1 :
x4 y4 z5


y el plano de
2
3
2
ecuación 1 : 2x  3y  4z  19  0 . Encuentre:
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a) La ecuación vectorial de la recta R 2 que
pasa por el punto P de intersección de la
recta R 1 y el plano 1 y es ortogonal a la
recta R 1 y paralela al plano 1 .
Solución: Encontremos primeramente el punto
P de intersección de la recta R 1 con el plano
1 . Para ello, se escriben las ecuaciones
Figura 1
paramétricas de R 1 :
 x  4  2t

R 1 :  y  4  3t ; t  R y se sustituyen en la ecuación del plano
 z  5  2t

Resolviendo la ecuación para t se obtiene:
1 : 2x  3y  4z  19  0 .
(5) Active el teclado virtual presionando [Keyboard].
(6) En la línea de entrada escriba la ecuación resultante y toque [Ejec.].
(7) Utilice el comando [solve] para resolver la ecuación en la variable t (ver
Figura 2).

Sustituyendo el valor t  1 en las ecuaciones paramétricas de la
recta R 1 encontramos las coordenadas del punto P.
Figura 2
3.
Coordenadas del punto P:
De las condiciones R 2  R 1 y R 2



v 2  v1  N1  (2,  3, 2)  (2,  3, 4) .
(8)
1 , se deduce que un vector director de la recta R 2 será:
Borre la pantalla.
(9)
Asigne a las variables V1 y N1 a los vectores
respectivamente.



(10) Encuentre el vector v 2  v1  N1 .

v1

y N1

Del resultado obtenido en pantalla podemos tomar como vector

director para la recta R 2 al vector v 2  (3, 2, 0) .

(11) Asigne a la variable V2 el vector v 2  (3, 2, 0) .

 Con las coordenadas del punto P y el vector director v 2 se puede
Figura 3
escribir la ecuación vectorial de la recta R 2 .
4.
Ecuación vectorial de la recta R 2 :
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b) La ecuación vectorial de la recta R 3 que se
obtiene al proyectar la recta R 1 sobre el
plano 1 .
Solución: Un vector director de R 3 es el



 v
vector v 3  v1  proyN
1. Con este vector y
1
las coordenadas del punto P se obtiene la
ecuación vectorial de la recta R 3 .
(12) Borre la pantalla.
(13) Calcule el vector


Figura 4
 v N 

 v
proy N
   1  1  N1 .
1
 N N 
1
 1 1


Se obtiene:

 42 63 84 
 v
proy N

,
, .
1
1
 29 29 29 



 v
(14) Encuentre el vector v 3  v1  proyN
1.
Figura 6
Figura 5
1

5.
Del resultado en pantalla podemos tomar como vector director de la recta R 3 al vector

v 3  (8,  12,  13 ) .
Ecuación vectorial de la recta R 3 :
c) Los puntos Q1 y Q 2 de la recta R 1 que
distan 42 / 29 unidades del plano 1 .
Solución: cualquier punto Q sobre la recta R 1
tiene coordenadas Q(4  2t,  4  3t, 5  2t)
para t  R . Esto se deduce de las ecuaciones
paramétricas de R 1 .
Sustituyendo las coordenadas de Q en la
ecuación de la distancia de Q al plano 1 e
igualando al valor 42 / 29 se obtiene la
ecuación:
2(4  2t )  3(4  3t )  4(5  2t )  19
2 2  (  3) 2  4 2
Figura 7

42
29
(15) Borre la pantalla.
(16) Utilice las plantillas
,
,
del teclado 2D y edite la ecuación anterior en la línea de
entrada. Al finalizar Toque [Ejec].
(17) Toque [Acción] [Transformación ►] [simplify] [ans] [Ejec].
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
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Para dividir la ecuación por el factor
29 / 29 procedemos del siguiente
modo:
(18) Toque
.

Se obtiene la ecuación con valor
absoluto mostrada en la pantalla de
la Figura 9.
Figura 9
Figura 8

Esta ecuación se puede resolver por
simple inspección, pero podemos
usar los siguientes comandos para
resolverla:
(19) Toque
[Acción] [Ecuación / Desigualdad ►]
[absExpand] [ans] [ejec].

Se obtiene dos ecuaciones.
Figura 11
Figura 10
(20) Copie la primera ecuación y péguela en la línea de entrada.
(21) Seleccione la ecuación y toque [Interactivo] [Ecuación/Desigualdad
►] [solve].
(22) En el cuadro de diálogo, en la opción variable: toque
(23) Toque [Acep.].

..
Se obtiene el primer valor t  1 (Figura 11).
(24) Resuelva de manera análoga la segunda ecuación.

Figura 12
Se obtiene el segundo valor t  3 (Figura 12).
Sustituyendo cada uno de estos valores en las coordenadas del punto Q(4  2t,  4  3t, 5  2t) se
obtienen las coordenadas de los puntos Q1 y Q 2 .
6.
Coordenadas de los puntos Q1 y Q 2 :
d) La ecuación cartesiana del plano 2 que
contiene a los puntos Q1 y Q 2 y la recta
R2 .
Solución: Observe que el plano 2 tiene como



vector director a N2  v1  v 2 y además 2
pasa por el punto P.
Figura 13
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(25) Borre la pantalla.

(26) Asigne la variable V2 al vector v 2  (3, 2, 0) y toque [Ejec].



(27) Calcule el vector N2  v1  v 2 .

 .Se obtiene N2  (4, 6, 13 ) .

Con este vector y el punto P se obtiene la ecuación del plano 2 .

(28) Asigne las variables N2 al vector N2 , OP al vector OP y OX al vector
Figura 14
de componentes (x, y, z) .
(29) En la línea de entrada toque [Acción] [Vector ►] [dotP]
.
(30) Toque [Acción] [Transformación ►] [expand] [ans] [ejec] para
realizar el desarrollo de los términos del primer miembro de la ecuación.

Obtendrá la ecuación del plano 2 .
Figura 15
Ecuación cartesiana del plano 2 :
7.
e) La distancia de la recta R 2 a la recta R 4 que es
paralela a la recta R 2 y pasa por el origen.
Solución: Dado que R 4
R 2 podemos tomar como


vector director de R 4 el vector v 4  v 2 . La ecuación
vectorial de R 4 será: R 4 : (x, y, z)  s(3, 2, 0) ; s  R .



Dado que R 4 R 2 tenemos que v 2  v 4  o . En
consecuencia d(R 2 ,R 4 )  d(O,R 2 ) .
Figura 16

v 2  OP
Aplicando la fórmula 10 tenemos d(R 2 , R 4 )  d(O, R 2 ) 
donde P(2,  1, 3) está en R 2 y

v2
O(0, 0, 0) está en R 4 .
(31) Borre la pantalla.
(32) Alternado los teclados 2D y abc, calcule el cociente

.Se obtiene d(R 2 ,R 4 ) 

OP  v 2
.

v2
2158
13
Figura 17
8.
Distancia de la recta R 1 a la recta R 4 :
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Situación 2: Un plano  pasa por el origen y el punto Q(1,1,0). Contiene una circunferencia
de radio 5 unidades con centro en el punto C(0,3,4).
a) Determine la ecuación cartesiana del plano
 que contiene a la circunferencia.
10.
Ecuación cartesiana del plano:
b) Verifique que la circunferencia pasa por
el origen y encuentre las ecuaciones
vectoriales de las rectas tangente y normal
a la circunferencia en el origen.
11.
Ecuaciones vectoriales de las rectas tangente y normal:
c) Encuentre la proyección ortogonal del
vector OQ sobre la recta normal.
12.
Proyección ortogonal del vector OQ sobre la recta normal:
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Situación 3: En el siguiente problema:
a) Compruebe que las rectas R1 y R2 de
ecuaciones:
x y1 z 1
y
R1 : 

3
2
2
x3 y3 z3
R2 :


2
1
4
se cortan perpendicularmente.
14.
Punto de intersección y medida del ángulo de corte:
b) Encuentre la ecuación cartesiana del plano
 que contiene a las rectas R1 y R2.
15.
Ecuación cartesiana del plano  :
c) Encuentre la distancia del origen al plano
.
16.
Distancia del origen al plano  :
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d) Encuentre la proyección ortogonal del vector
normal al plano sobre el eje OZ.
17.
Vector proyección ortogonal:
18.
Situación
R2 :
4:
Considere
las
rectas
de
ecuaciones
R1 :
x 1 y2 z 3


2
1
3
y
x1 y2 z3


. Encuentre:
1
1
1
a) La distancia entre las rectas R 1 y R 2 .
19.
Distancia entre las rectas R 1 y R 2 :
b) La ecuación vectorial del plano  1 que
contiene a R 1 y pasa por el origen O.
20.
Ecuación vectorial del plano  1 :
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c) Las coordenadas de los puntos Q1 y Q2 de
3
R2 que distan
unidades del plano
115
1 .
21.
Coordenadas de los puntos Q1 y Q 2 de R 2 :
d) Los puntos P de R 1 tales que el volumen
del tetraedro definido por los vectores
OQ 1, OQ 2
cúbicas.
22.
y OP
sea de 6 unidades
Puntos P de R 1 :
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