Download 3.3.4.1 Medida de los ángulos en una circunferencia.

o
3.3.4.1 Medida de los ángulos en una circunferencia.
Debemos recordar que la medida de un ángulo en una circunferencia se realiza en grados,
la circunferencia completa abarca 360º, media circunferencia 180º y un cuarto de
o
circunferencia 90º.

Ángulo central. Su medida está determinada por la magnitud en grados del arco que
abarcan sus lados.
A
o
≮O= AB
O
B
 AÁngulo inscrito. Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad
de la medida del arco comprendido entre sus lados.
B
O
B
≮A=
A
o
BC
2
C
Características de los ángulos inscritos.
1. Dos ángulos inscritos en cada uno de los arcos de una cuerda son suplementarios
(su suma es de 180º).
A
D
Cuerda CD
O
C
B
≮A+≮B= 180º
2. Todos los ángulos inscritos que abarquen un mismo arco son iguales.
B
A
D
D
C
B
O
Cuerda CD
≮A=≮B
o
B
A
3. En una circunferencia
los arcos cortados por cuerdas paralelas son iguales.
o
A
D
B
A
D
C
C
D
O
C
El AC = BD
O
B
O
O
B
D
EL ≮A=≮D
A
o
B
4. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia esAun ángulo recto.
Semicirculo
D
D
C
B

C
D
B
O
O
C
O
B
A D
O
Diámetro
CD
B
≮A=≮B= 90º
A
D
o
A
Ángulos interiores. La medida de un ángulo interior equivale a la semisuma del arco
E
que abarca éste y el arco que abarca la prolongación de sus lados.
B
A
D
O
B
O
A
B
E
C

≮A=
w
A
BC  DE
C2
o
Ángulo exterior. La medida de un ángulo exterior equivale a la semidiferencia de la
medida de sus arcos comprendido por sus lados.
D
B
B
B
A
D
A
O
O
C
E
≮A=
DE B BC
2
A
o
A
O
C
C
≮A=
BDC  BC
2
D
≮A=
BD  BC
2
o
o
C
E
C
D
o

Ángulo semi-inscrito. La medida de un ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del arco
comprendido entre sus lados.
B
A
o
D
o
o

≮A=
A
o
AB
2
C
B
E
AB
Ángulo ex – inscrito. La medida de un ángulo ex – inscrito es igual a la semisuma de
o
Alos arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de los lados y en la
prolongación odel otro.
B
O
B
w
A
o
o
C
≮W=
o
o
AB  AC
2
o
Ejemplos resueltos de ángulos en una circunferencia.
A
B1.
Semicirculo
B
O
B
Solución.
Como ≮A es un ángulo
inscrito tenemos que:
Hallar la medidaB del ≮ A si BC = 50º
A
B
A
C Semicirculo
o
O
o
C
C
o
80º
w
C
BC
≮D=
A
2
D
B
D
B
70º
C
A
A
O
o
≮D=
2
 40
E
BC =70º
B
B
Como el ≮D es un ángulo inscrito
entonces.
w D
C
O
≮D=
C
E
C 80º
Solución.
El ángulo central ≮A= BC por lo que
3. Hallar el valor del ≮D, si ≮A=70º
A
C
BC = 80º
Como el ≮DB es un ángulo inscrito
D
otenemos que:
A
D
B
o
Solución. El ángulo central ≮A= BC
B
C
A
D
E
2. Hallar el valor del ≮D, si ≮A=80º
o
B
≮A= 25º
C
B
BC
2
50º
≮A=
2
O≮A=
A
C
A
BC
2
A
70º
2
o
C
≮D=
O
≮D=35º
D
A
o
Semicirculo
E
4. Hallar el valor del ≮A, si DE =50º BC =100º
B
A
B
70º
D
o
A
D
C
C
Semicirculo
E
5. Hallar el valor del ≮A, si DE =70ºBBC =50º
D
A
B
70º
D
B
A
C
C
E
A
A
2
B
C
BA
A
o
O
A
B DE  BC
O
DE = 100º + 15º
AB
C
D
o
A
C
B
A
C
o
O
C
DE =115º
B
DE
≮B=
por lo que DE = 2≮B
2
B
E
B
Solución.
Como el ≮B es un ángulo inscrito.
7. Hallar el ≮A si el BCB=10º y ≮B=40º
O
Despejamos DE
DE = 2 ≮A + BC
Ow
C
C
A
O
B
DE = 2(50º) +A15º
E
A
C
Solución.
Como el ≮A es un ángulo exterior.
D
O
B
C
≮A=
B
E
Solución.
B
Como
B el ≮A es un ángulo exterior.
C
6. Hallar el DE si el BC =15º y ≮A=50º
B
D
DE  BC
w
2
oO70º A50º 20
A o

 10
≮A=
2
2
A
o
BC  DE
B
2
o w
100º 50º
C
≮A=
A 2
o
150º
≮A=
≮A=75º
2
≮A=
≮A=
C
O
Solución.
Como el ≮A es un ángulo interior.
C
DE =2 (40º)O
DE  BC
2
70º
80º 10º
≮A=
=
= 35º
2
2
AB
ComoCel ≮A=
O
DE =80ºA
C
D
o
A
D
o
C
E
o
Ejercicios para resolver en clase.
o
E
Solución.
1. Hallar la medida del ≮BAsi AC = 60º
A
B
O
B
w
B
C
A
B
o
o
C
Semicirculo
Solución.
2. Hallar el valor del ≮O, si AB =15º y CD =50º
B
C
B
B
A
O
A
O
O
O
B
C
A
D
o
A
E
E
B
B
80º
O
A C
o
w
C
C
A
B
o
Solución.
C
4. Hallar el ≮D y BC , si ≮A= 80º
AB
D
B
C
A
A
O
B
B
80º
C
O
A
O
B
D
B
o
C
Solución.
3. Hallar el valor del ≮A, si ≮O =80º
B
A
D
o
D
B
O
A
C
O
A
C