Download Guia 3 - Geometria - DME-UFRO

Estimados Alumnos:
Pongo en sus manos esta recopilación de ejercicios que he usado y otros nuevos para que
ejerciten el eje temático de “GEOMETRÍA”, que corresponde al 30% de la PSU, eje que para
muchos resulta complejo, por tanto tendrán una batería de 401 ejercicios de nivel PSU y algo
más. Creo no haber dejado materia alguna fuera de este material, por tanto imagino nada les
resultará novedoso en la PSU al respecto de geometría.
Debo dejar constancia que la motivación principal de este es ayudar de mejor forma a los
alumnos del Liceo Nacional, que por la realidad del año no han tenido una formación regular y
por tanto me nació esta manera de ayudarles a competir de mejor forma con todos aquellos que
han tenido un año normal. Obviamente este material me nace compartirlo con todos aquellos que
se están preparando para el ingreso a la universidad, y para mí el hecho de que alguno lo utilice
es el mejor pago a este trabajo.
A mis alumnos particulares las gracias por haberme indicado su falencias, las cuales son las
de la gran mayoría por tanto orientaron la confección de este, agradezco la ayuda de ellos en la
confección de las respuestas y las correcciones en los ejercicios que ahora ustedes disponen.
Como ellos también lo usarán, es que incluí ejercicios nuevos, entretenidos y desafiantes, por
tanto no me cabe duda que será un material de apoyo importante en la preparación de ellos y
ustedes.
Debo agradecer de manera especial a David Painequeo, con quien disfrute mucho tiempo
hablando y ejercitando geometría, que en la actualidad no hemos podido encontrarnos para seguir
gozando de esta parte de las matemáticas que nos gusta en demasía. Para ti en parte es parte de
este trabajo David.
Finalmente agradezco a mi pequeña, SAVANE, quien me acompaña siempre indicándome
que no puedo olvidar a muchos niños que pretenden llegar lejos y entrar a estudiar las carreras
que anhelan. Ella es la que me empuja a hacer distintas cosas por el mejor entendimiento de las
matemáticas, por tanto es a quien debo agradecer todo lo que hago por mejorar el nivel de la
ciencia, mi querida matemática.
Bueno, dejo en sus manos este material que me tuvo un buen tiempo entretenido en esta
parte de las matemáticas que me encanta, sin más dejo en sus manos 401 ejercicios para que lo
disfruten resolviéndolos como yo me entretuve haciéndolos.
Sixto Maulén y Savane Emegu
2011
1
Guía Ejercicios Nº 3
Geometría
1.
En la figura Nº 1, L1 // L2, ¿Cuánto mide x?
134º
A)
B)
C)
D)
E)
2.
L2
xº
fig. 1
En un triángulo isósceles el ángulo interior distinto mide 40º, entonces uno de los ángulos
de igual medida, mide
A)
B)
C)
D)
E)
3.
L1
46º
66º
56º
134º
67º
40º
50º
60º
70º
140º
En la figura 2, OR y OT son bisectrices de los ángulos AOB y BOC respectivamente, si el
ángulo TOC mide 10º y el ángulo ROB mide 25º, entonces el ángulo AOT mide
C
A)
35º
B)
45º
C)
50º
D)
60º
E)
4.
T
B
R
fig. 2
O
70º
A
En la figura 3, el triángulo JKL es isósceles de base LJ, ¿cuánto mide el ángulo KLJ?
L
A)
B)
C)
D)
E)
22,5º
25º
35º
45º
135º
fig. 3
J
45º
K
2
5.
En la figura 4, r // s, ¿cuánto mide el ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)
160º
130º
110º
100º
80º
80º
x
¿Cuál es la medida del ángulo x en términos de m, en la figura 5?
A)
B)
C)
D)
E)
m
2m
3m
8m
No se puede determinar
x
4m
En la figura 6, AB // CD, si el ángulo CDB = 150º y el ángulo ABC = 25º, entonces ¿cuánto
mide el ángulo DBC?
C
A)
B)
C)
D)
E)
D
30º
25º
15º
5º
0º
fig. 6
A
8.
fig. 5
3m
m
7.
fig. 4
50º
s
6.
r
30º
B
Si L1 // L2, entonces ¿cuánto mide x en la figura 7?
A)
B)
C)
D)
E)
16º
20º
30º
45º
100º
L1
3x - 10
2x
L2
fig. 7
3
9.
El triángulo ADC de la figura 8 es isósceles de base AD. La medida del ángulo BAD es 12º y
el ángulo ABC mide 20º, ¿cuánto mide el ángulo BCA?
C
A)
B)
C)
D)
E)
32º
36º
106º
116º
132º
D
A
10.
fig. 8
B
En la figura 9, ED // BC, ¿Cuánto mide el ángulo AED?
A
A)
B)
C)
D)
E)
11.
45º
65º
70º
100º
110º
80º
D
E
30º
fig. 9
B
C
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto del triángulo ABC
de la figura 10?
I)
II)
El triángulo ABC es isósceles.
Si p = 60º, entonces es equilátero.
III)
Si 2p = 90º, entonces el área del triángulo es
C
A)
B)
C)
D)
E)
12.
Sólo I
Sólo I y II
Sólo II y III
Todas
Ninguna
p
CB2
.
2
2p
A
fig. 10
B
El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB (BC = CA), luego m =
C
A)
B)
C)
D)
E)
18º
30º
36º
72º
108º
m
fig. 11
2m
A
B
4
13.
¿Cuántos triángulo hay en la figura 12?
A)
B)
C)
D)
E)
14.
3
4
5
6
más de 6
fig. 12
En la figura 13, PATO es un cuadrado de área 20 cm2. Los puntos L, E y N son puntos
medios de OM, MT y TO, luego el área achurada mide
N
O
A)
B)
C)
D)
E)
15.
16.
0,125 cm2
1,25 cm2
2 cm2
4 cm2
8 cm2
L
T
E
M
fig. 13
A
P
¿Con cuál(es) de las siguientes informaciones se puede construir un triángulo?
I)
II)
III)
Si se conocen sus tres ángulos interiores.
Si se conocen sus tres lados.
si se conocen dos de sus lados y el ángulo que forman dichos lados.
A)
B)
C)
D)
D)
Sólo I
Sólo II
Sólo II y III
Sólo I y II
I, II y III
En la figura 14, los ángulo CAB y ABC miden 70º y 40º, si AD es altura y CE bisectriz,
entonces la medida del ángulo DFE es
C
A)
B)
C)
D)
E)
125º
115º
55º
35º
20º
D
F
fig. 14
A
E
B
5
17.
18.
En la figura 15, un paralelepípedo recto de base cuadrada (sombreadas) se ha extendido
en el plano, si el lado del cuadrado es 4 cm. y los largos de los rectángulos miden el doble
del lado del cuadrado, entonces el volumen del paralelepípedo es
A)
160 cm3
B)
128 cm3
C)
120 cm3
D)
64 cm3
E)
32 cm3
En un heptágono (polígono de 7 lados), ¿cuántas diagonales se puede trazar desde un
vértice?
A)
B)
C)
D)
E)
19.
7
6
5
4
3
Si OP es bisectriz de
A)
B)
C)
D)
E)
20.
fig. 15
AOB (figura 16), entonces xº =
B
40º
30º
20º
10º
5º
P
yº-10º
2yº
fig. 16
xº+30º
O
A
En la figura 17, L1 // L2 y L3 // L4, luego la medida de x es
L1
L2
A)
10º
B)
50º
C)
70º
D)
110º
E)
170º
110º
L3
xº
L4
fig. 17
6
21.
Las medidas de dos lados de un triángulo son 12 cm y 13 cm, si el tercer lado tiene como
medida un número entero, ¿cuántos triángulos se pueden construir?
A)
B)
C)
D)
E)
22.
ninguno
23
24
25
26
En el triángulo de la figura 18, AF y CE son bisectrices de los ángulos respectivos, ¿Cuánto
A
mide el ángulo ABC?
A)
45º
B)
50º
E
23.
C)
60º
D)
80º
E)
100º
fig. 18
B
F
C
¿Cuánto mide el ángulo que excede a su suplemento en 66º?
A)
B)
C)
D)
E)
24.
120º
66º
123º
133º
132º
144º
En la figura 19, ¿cuánto mide el ángulo ADC?
B
A)
B)
C)
D)
E)
163º
153º
88º
75º
60º
72º
20º
85º
A
20º
C
fig. 19
D
25.
Si los radios de los círculos son 10 cm. y 5 cm., entonces ¿cuál es el área de la figura
sombreada (figura 20)?
A)
B)
C)
D)
E)
25  cm2
75  cm2
100  cm2
125  cm2
175  cm2
10 cm
5 cm
fig. 20
7
26.
En la figura 21, M es el punto medio del segmento AB y P es un punto cualquiera entre M y
B, ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
27.
M
A
MP = PB
AM = 2·PB
PA  PB
PM =
2
AB
MP =
2
B
P
fig. 21
BP = 2·MP
OP es bisectriz del ángulo AOB de la figura 22, ¿cuánto mide y?
B
A)
B)
C)
D)
E)
28.
10º
20º
30º
50º
60º
P
y-10º
2y
fig. 22
x+30º
A
O
En la figura 23; AB = BF = FA y CD = DE, ¿Cuánto mide el ángulo x?
E
F
A)
B)
C)
D)
E)
45º
60º
75º
105º
115º
B
A
C
D
fig.23
x
29.
Las rectas r y s son paralelas, figura 24, luego y =
A)
B)
C)
D)
E)
150º
120º
30º
10º
7º
70º
y
r
fig. 24
4x
3x
s
8
30.
31.
El triángulo ABC de la figura 25 es isósceles de base AB, CD es paralelo a AB y AD es
bisectriz del ángulo CAB, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
C
D
I)
II)
III)
AC = CD
CE = EB
AD  BC
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Todas
E
B
A
fig. 25
En el rectángulo ALTI de la figura 26 se ha inscrito el trapecio ALTO, si el largo del
rectángulo es el triple de su ancho y AI = IO, entonces, ¿qué parte del área del rectángulo
es el área del trapecio?
O
I
A)
B)
C)
D)
E)
32.
la mitad
los dos tercios
los tres cuartos
los cinco sextos
los cinco octavos
T
fig. 26
A
L
En el triángulo ABC de la figura 27, las líneas punteadas son bisectrices de los ángulos
respectivos, ¿cuánto mide x?
D
33.
A)
40º
B)
30º
C)
20º
D)
10º
E)
No se puede determinar
x
C
40º
A
B
fig. 27
Un tablón de 3,2 metros se divide en tres trozas que están en razón 1 : 3 : 4. ¿Cuánto
mide cada trozo?
A)
B)
C)
D)
E)
40
40
60
80
10
cm.
cm.
cm.
cm.
cm.
100 cm.
120 cm.
120 cm.
100 cm.
30 cm.
100 cm.
160 cm.
140 cm.
140 cm.
40 cm.
9
34.
Al trazar la altura en un triángulo equilátero el menor ángulo que se forma mide
A)
B)
C)
D)
E)
35.
20º
30º
60º
90º
120º
En el triángulo UPA se han trazado las alturas AM y AL, figura 28, ¿cuánto mide el ángulo
APL?
A
L
A)
B)
C)
D)
E)
36.
15º
fig. 28
30º
U
M
P
En la figura anterior (figura 1), ¿cuánto mide el mayor ángulo formado por las alturas AM y
PL?
A)
B)
C)
D)
E)
37.
10º
15º
30º
45º
75º
30º
60º
120º
145º
150º
En el triángulo PQR de la figura 29, se han dibujado las bisectrices PM y QN si los ángulos
PQR y QRP miden 50º y 60º respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo QPM?
R
A)
B)
C)
D)
E)
38.
35º
40º
45º
50º
55º
N
M
fig. 29
P
Q
En la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo PMR?
A)
B)
C)
D)
E)
75º
85º
95º
105º
135º
10
39.
1
del ángulo recto, luego
5
En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide
¿cuánto mide el otro ángulo agudo?
A)
B)
C)
D)
E)
40.
¿En qué triángulo al trazar una altura no se forman dos triángulos congruentes?
A)
B)
C)
D)
E)
41.
18º
36º
60º
72º
82º
Triángulo
Triángulo
Triángulo
Triángulo
Triángulo
equilátero
isósceles
escaleno
rectángulo isósceles
isósceles obtusángulo
En la figura 30, L1 // L2, si las líneas punteados son bisectrices de los ángulos respectivos,
entonces el ángulo formado por las líneas punteadas mide
A)
B)
C)
D)
E)
90º
75º
60º
45º
No se puede determinar
L1
fig. 30
L2
42.
Si dos ángulos son suplementarios y uno es cinco veces el otro, entonces el menor de ellos
mide
A)
B)
C)
D)
E)
43.
30º
45º
60º
150º
En la figura 31, L1 // L2, si la línea segmentada es bisectriz, entonces el ángulo x mide
A)
B)
C)
D)
E)
x
140º
120º
100º
90º
40º
L1
fig. 31
20º
L2
11
44.
Si dos ángulos exteriores de un triángulo miden cada uno 135º, entonces el triángulo es
A)
B)
C)
D)
E)
45.
46.
El triángulo ABC de la figura 32 es isósceles de base CA, AE y BE son bisectrices de los
ángulos BAC y DBC respectivamente, si el ángulo ABC mide 80º, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
C
E
I)
II)
III)
AB = BE
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
Todas
A
B
D
fig. 32
La hipotenusa se opone al ángulo recto
Un cateto mide menos que la hipotenusa
La suma de las medidas de los catetos es mayor que la hipotenusa
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la resta de los cuadrados de los catetos
La mitad de la hipotenusa es igual a uno de los catetos
El paralelogramo que no es rectángulo ni rombo es
A)
B)
C)
D)
E)
48.
BEA  25º
DBE  50º
En un triángulo rectángulo es falso que
A)
B)
C)
D)
E)
47.
Isósceles
Rectángulo isósceles
Escaleno
Obtusángulo
Acutángulo isósceles
cuadrado
romboide
trapecio
trapezoide
deltoide
Si en un triángulo las medidas de dos sus lados son; 3 cm y 5 cm, entonces el tercer lado
no puede medir
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
6
7
9
cm.
cm.
cm.
cm.
cm.
12
49.
Al efectuar una rotación de 180º al cuadrado
A)
50.
B)
C)

D)
se obtiene
E)
El triángulo ABC de la figura 33, es equilátero. Si
ABC = 2
ABE, entonces el
x=
C
A)
B)
B)
C)
D)
60º
70º
80º
90º
110º
E
x
fig. 33
A
51.
B
La figura 34 muestra la planta de una casa (vista de arriba) si a esta se le desea poner una
huincha adhesiva por todo el borde para que las hormigas no entren a la casa, ¿cuántos
metros de huincha se necesitan?
A)
B)
C)
D)
E)
29
32
42
62
72
m
m
m
m
m
5m
10 m
8m
fig. 34
16 m
52.
Si el perímetro de un triángulo equilátero aumenta de 100 a 169 cm, ¿en cuánto aumenta
cada lado?
A)
B)
C)
D)
E)
3 cm
13 cm
23 cm
33 cm
69 cm
13
53.
¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a una traslación de la figura original?
A)
54.
C)
En la figura 35. L1 // L2, luego xº =
A)
B)
C)
D)
E)
55.
B)
80º
90º
100º
110º
120º
D)
L1
20º
120º
fig. 35
xº
L2
Los triángulos ABC y ADE son congruentes, si el ángulo BAE mide 90º, entonces el ángulo
TAB mide
E
C
A)
B)
C)
D)
E)
20º
30º
45º
60º
80º
D
70º
T
fig. 36
50º
A
56.
D)
B
ALTO es rectángulo y los triángulo ARE y TER son equiláteros congruentes, luego ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (figura 37)
I)
II)
III)
ARTE es rombo
LRT  60º
OAE  LTR
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
Ninguna
O
A
E
T
R
L
fig. 37
14
57.
El triángulo ABC es equilátero y se a rotado respecto del vértice C como lo muestra la
figura 38 de manera que CE es perpendicular a AB, luego es falso que:
A)
B)
C)
D)
E)
C
DE es perpendicular a AC
El ángulo ACD mide 30º
CD = AB
DF = FE
Todas son falsas
fig. 38
D
F
A
B
E
58.
En la figura 39, LUNA es cuadrado y LUZ es un triángulo equilátero, ¿cuánto mide el ángulo
TZU?
A
N
Z
A)
15º
T
B)
30º
C)
45º
D)
75º
E)
No se puede determinar
fig. 39
L
59.
U
En la figura 41. L3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L1 y L2, ¿cuánto
L3
mide el ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)
96º
98º
84º
82º
49º
xº
L1
49º
fig. 41
L2
60.
En la figura 42,
AOC +
A)
30º
B)
50º
C)
70º
D)
90º
E)
Falta información
BOD = 230º, luego el
C
D
COB mide:
B
O
A
fig. 42
15
61.
El triángulo ABD es rectángulo en B. En la hipotenusa AD esta el punto C tal que AC = CD y
AB = BC, ¿cuánto mide el ángulo DAB
A)
B)
C)
D)
E)
62.
En el triángulo ABC se ha trazado la altura CD, figura 43, luego la suma de las medidas de
C
los ángulos CAD y BCD es
A)
B)
C)
D)
E)
63.
64.
67,5º
60º
45º
30º
22,5º
55º
68º
90º
113º
123º
22º
35º
D
A
En la figura 45, BD, DF, EF y AE son bisectrices, luego
C
A)
80º
B)
100º
C)
120º
D)
140º
E)
No se puede determinar
fig. 43
B
DFE 
D
60º
E
F
B
A
fig. 45
En la figura 46, AE y CE son bisectrices de los ángulos BAC y BCF respectivamente, si el
ángulo ABC mide 50º, entonces el ángulo AEC mide
F
A)
B)
C)
D)
E)
25º
30º
40º
50º
no se puede determinar
C
E
fig. 46
A
B
16
65.
66.
En la figura 47, YUIN es cuadrado, los triángulo UTI y NGY son rectángulos isósceles, si los
ángulos en T y G son rectos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
falsa(s)?
I)
II)
III)
GY // UN // TI
UNGY y NUTI son trapecios rectángulos
GT = 2·YU
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II y III
Sólo III
I, II y III
ninguna
En un triángulo ABC,
A)
B)
C)
D)
E)
67.
CA
CA
BA
BA
BC
>
>
>
>
>
AB
BC
CA
BC
CA
>
>
>
>
>
I
G
T
Y
A = 40º,
B = 80º y
U
fig. 47
C = 60º, luego es verdadero
BC
AB
BC
CA
AB
En un triángulo los ángulos exteriores están en razón 2 : 3 : 4, entonces ¿qué tipo de
triángulo es?
A)
B)
C)
D)
E)
68.
N
equilátero
isósceles
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros tiene sus diagonales distintas perpendiculares y se
dimidian (dividirse en dos partes iguales)?
A)
B)
C)
D)
E)
cuadrado
rectángulo
rombo
romboide
deltoide (trapezoide simétrico)
17
69.
70.
En el cuadrado de la figura Nº 48, L y N son los puntos medios de los lados, ¿qué parte del
cuadrado es el área achurada?
A)
1
4
B)
3
8
C)
3
16
D)
5
32
E)
5
8
fig. 48
Tienen la misma forma.
Sus ángulos correspondientes son iguales.
Tienen el mismo perímetro
Tienen los mismos ejes de simetría
Ninguna
Si las medidas de dos ángulos consecutivos suman 72º, entonces ¿cuánto mide el
complemento del ángulo formado por las bisectrices de dichos ángulos?
A)
B)
C)
D)
E)
72.
L
Si dos triángulos son congruentes, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)
71.
N
54º
36º
18º
72º
108º
En el triángulo de la figura 49, DA = AB, si
A)
B)
C)
D)
E)
10º
15º
30º
45º
60º
ABC -
ACB = 30º, entonces
DBC =
A
D
C
B
fig. 49
18
73.
Al respecto del triángulo equilátero se afirma que:
I)
II)
III)
Tiene 3 ejes de simetría.
No tiene simetría central.
Al rotarlo 120º con respecto al ortocentro, coincide con la figura original.
De estas afirmaciones es(son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
74.
En un mismo triángulo se han trazado las transversales de gravedad y las medianas, si el
área del triángulo formado por las tres medianas es a, luego el área de uno de los 6
triángulos que se forman al trazar las transversales es
A)
B)
C)
D)
E)
75.
a
2
a
3
3
a
4
a
2
3a
Al unir los puntos medios de un rombo se forma un cuadrilátero, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es la más precisa al respecto de dicho cuadrilátero?
A)
B)
C)
D)
E)
76.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
es
es
es
es
es
un
un
un
un
un
rombo
rectángulo
paralelogramo
cuadrado
romboide
La figura 50 representa una sucesión de triángulos rectángulos, luego x =
4
A)
B)
C)
5
2 6
D)
E)
20
10
30
3
x
fig. 50
2
1
19
77.
¿Cuánto mide el ángulo x (figura 51), si las rectas horizontales son paralelas?
A)
B)
C)
D)
E)
120º
130º
140º
150º
160º
40º
x
fig. 51
100º
78.
El cuadrilátero de la figura 52, tiene dos ángulos rectos, en los vértices B y D, ¿cuál es el
D
área de ABCD?
4
A)
B)
C)
D)
E)
79.
8
6 6
8,5
17
12  2 6
C
3
1
A
B
En la figura 53, L1 // L2, si CD = AB, entonces es siempre verdadero que
A)
AD  BC
B)
AC  BD
C)
AE  EC
D)
BC  ED
E)
AD  BC
C
L1
L2
B
fig. 53
Desde las 14:30 a las 14:50, el ángulo descrito por el horario de un reloj análogo es (no
considerando el sentido de rotación)
A)
B)
C)
D)
E)
81.
D
E
A
80.
fig. 52
5º
10º
15º
20º
25º
¿Cuánto mide el ángulo CAB de la figura 54?
A)
B)
C)
D)
E)
45º
55º
135º
125º
235º
C 105º
fig. 54
130º
A
B
20
82.
83.
En el triángulo ABC de la figura 55, se han dibujado la altura CD y la bisectriz AE, luego el
ACB 
C
A)
30º
B)
40º
C)
70º
D)
80º
E)
100º
60º
20º
A
D
B
fig. 55
Los triángulos ABC y MNP de la figura 56 son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
P
C
I)
AC = MP
II)
ABC  NPM
III)
CAB  PMN
A)
B)
C)
D)
E)
84.
E
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y II
I y III
B
A
N
M
fig. 56
Los triángulos de la figura 57, son isósceles con AB = AC = BD, si BD  AC entonces los
A
ángulos ACB y ADB suman
A)
115º
B)
120º
C)
130º
D)
135º
E)
no tiene solución única
D
E
fig. 57
B
C
21
85.
Los cinco ángulos interiores de un pentágono están en una progresión aritmética (la
diferencia entre dos consecutivos, siempre es constante), si el menor mide 100º, entonces
el mayor de ellos mide
A)
B)
C)
D)
E)
86.
104º
108º
116º
120º
124º
Tres lados de un cuadrilátero son iguales, si los dos ángulos interiores formado por dichos
lados miden 60º y 70º, entonces ¿cuánto mide el ángulo interior mayor del cuadrilátero?
A)
B)
C)
D)
E)
87.
88.
145º
150º
155º
160º
165º
En la figura 58, aparecen un hexágono regular y un cuadrado, luego el ángulo x mide
A)
15º
B)
30º
C)
45º
D)
60º
E)
no se puede determinar
x
fig. 58
En el triángulo ABC de la figura 59, se han dibujado las bisectrices AC y BD, luego el
ángulo ADB mide
C
80º
A)
B)
C)
D)
E)
160º
150º
130º
120º
100º
D
A
B
fig. 59
22
89.
En la figura 60, AB = CD, luego m =
B
7m
m
A)
B)
C)
D)
E)
90.
10º
15º
18º
20º
9º
D
A
2m
3m
m
fig. 60
En la figura 61, AB = BD = CD, luego la relación correcta es
A)
B)
C)
D)
E)
y
y
x
x
x
=
=
+
=
+
D
3x
2x
y = 180º
y
y = 90º
y
fig. 61
x
A
91.
C
B
C
El triángulo ABC de la figura 62 es equilátero, si los ángulos EDF y FHG son iguales,
entonces la medida del ángulo GED es
C
H
A)
B)
C)
D)
E)
G
E
30º
40º
50º
60º
Falta información
F
D
A
92.
B
¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 63?
A)
B)
C)
D)
E)
93.
fig. 62
20º
40º
50º
70º
120º
70º
x
fig. 63
50º
En el triángulo ABC de la figura 2 se verifica que; AC = CD = DB, luego la medida del
C
ángulo x es
A)
B)
C)
D)
E)
25º
50º
60º
A
80º
No se puede determinar
x
25º
D
B
fig. 64
23
94.
En la circunferencia de la figura 65, O es centro, ¿cuánto mide el ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)
95.
x
O
fig. 65
1
1
2
1
5
:
:
:
:
:
2
4
3
25
15
La altura de un cono es igual al radio de la base, luego el ángulo del sector circular que
corresponde al manto del cono es
A)
B)
C)
D)
E)
97.
110º
¿En qué razón están las áreas de dos círculos, si sus radios son 5 cm y 10 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
96.
125º
110º
70º
65º
55º
45º
90º
Obtuso
Extendido
Cóncavo
En la figura Nº 66, AB // CD, luego  mide
A
B

A)
B)
C)
D)
E)
122º
112º
102º
78º
58º
136º
fig. 66
122º
C
98.
E
D
Tres rectas concurrentes (las tres se intersectan en el mismo punto) forman 6 ángulos
consecutivos, si dos de ellos miden 18º y 52º, ¿qué medida no corresponde a uno de los
ángulos que genera la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
110º
128º
144º
162º
70º
24
99.
El rectángulo ZYXW de la figura 67, esta inscrito en el triángulo ABC. Si
CXY = 65º, entonces BAC =
A
A)
B)
C)
D)
E)
87º
82º
90º
93º
97º
B
100.
X
W
Z
BWZ = 22º y
fig. 67
C
Y
En la figura 68, las rectas L1 y L2 son paralelas, separadas d unidades, si la flecha se reflejó
primero con respecto a L1 y luego se reflejó con respecto a L2, entonces las dos reflexiones
sucesivas corresponde a
A)
B)
C)
D)
E)
Una
Una
Una
Una
Una
traslación de d unidades
rotación de -180º
traslación de 2d unidades
traslación de 3d unidades
rotación de 180º
fig. 68
L1
101.
L2
En la figura 69, se muestra un adminículo mecánico en cual aparecen tres discos tangentes
exteriores unidos por sus centros mediante una barra fija, la rotación de uno de ellos se
transmite totalmente al otro (no resbalan), los diámetros de los discos son; 6 cm, 8 cm y
10 cm, si el disco menor se gira en el sentido de la flecha 120º, considerando el sentido de
rotación, el disco mayor gira
A)
-120º
B)
-90º
C)
-72º
D)
72º
E)
90º
fig. 69
25
102.
En la figura 70, ABCD es un trapecio de bases AB y CD, si E es punto medio de AB,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
El área de AECD y EBCD son iguales.
El área del triángulo DEC es la cuarta parte del trapecio ABCD
Las áreas de los triángulos AED y EBC son iguales
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
fig. 70
A
103.
E
B
El cuadrilátero IJKL de la figura 7 es rectángulo, IK y JL son diagonales, entonces xº =
A)
B)
C)
D)
E)
26º
36º
44º
64º
52º
L
K
xº
64º
fig. 71
I
104.
J
En la figura 72, BO  OD , OB bisectriz del ángulo COA, si
105.
40º
50º
80º
90º
100º
COD 
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
AOD  140º , entonces
B
O
A
fig. 72
¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 73?
A)
B)
C)
C)
D)
20º
35º
70º
110º
140º
70º
x
fig. 73
26
106.
En la figura 74, la medida del a es:
A)
B)
C)
D)
E)
107.
6,25
1,666…
6
16,666…
3,25
10
a
45º
45º
5
fig. 74
3
Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar un espejo en el suelo y
después situarse de manera que la parte más alta del objeto pueda verse en el espejo.
¿Qué altura tiene una torre si una persona de 150 cm de altura observa la parte superior
de la torre cuando el espejo esta a 6 m de la torre y la persona esta a 120 cm del espejo?
A)
B)
C)
D)
E)
75 m
7,5 m
4,8 m
3m
2 m.

108.
En la figura 75, ABCD es paralelogramo, si E esta en la prolongación de CD, entonces,
es(son) falsa(s) las siguientes afirmaciones,
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
109.

ABF es semejante al DEF
EFD es semejante al EBC
ABF es semejante al EBC
Sólo
Sólo
Sólo
Solo
Sólo
I
II
I y II
II y III
III
D
E
C
F
fig. 75
A
B
En la figura 76, L1 // L2 // L3, luego x + y =
A)
ac
bd
B)
ac
bd
C)
c
d
D)
d
c
E)
bc2  ad2
cd
c
a
x
b
y
L1
d
L2
fig. 76
L3
27
110.
¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión (simetría axial) del triángulo A al
triángulo B, con respecto a uno de los ejes coordenados?
A
A
B
A
B
B
I)
A)
B)
C)
D)
E)
111.
I
II
III
I y II
II y III
9
7
6
5
4
¿Cuánto mide el ángulo x en el ABC de la figura77?
A)
B)
C)
D)
E)
113.
III)
El número de segmentos distintos necesarios para representar las alturas, transversales de
gravedad y bisectrices de un triángulo isósceles no equilátero es
A)
B)
C)
D)
E)
112.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
II)
20º
30º
50º
60º
70º
2
x
3
100º

fig. 77
El volumen de un cubo es igual al de un paralelepípedo recto, si el ancho del paralelepípedo
es igual a la arista del cubo y el largo es igual al doble de la arista del cubo, entonces la
altura del paralelepípedo recto es
A)
B)
C)
D)
E)
la mitad de la arista del cubo
el doble de la arista del cubo
el cuádruplo de la arista del cubo
igual a la arista del cubo
igual a la diagonal del cubo
28
114.
Los puntos de la figura 78 son los vértices de cuadrados de lado 1 cm., ¿cuál es el área de
la figura sombreada?
A)
B)
C)
D)
E)
115.
30,0
30,5
31,0
34,0
36,0
cm2
cm2
cm2
cm2
cm2
fig. 78
En la figura 79, L1 // L2, luego al ordenar los ángulos; m, n y p de manera decreciente de
acuerdo a sus medidas, se obtiene
70º
A)
B)
C)
D)
E)
116.
p, n, m
p, m, n
m, p, n
m, n, p
n, m, p
p
L1
60º
n
m
En la figura 80, AT es la bisectriz del ángulo LAO del triángulo ALO, si OT es paralelo a AL,
entonces al ángulo ATO mide
O
A)
B)
C)
D)
E)
95º
85º
55º
45º
70º
T
40º
E
30º
A
117.
fig. 81
L
La reflexión del punto (-5, 4) respecto del punto (2, -4) da como resultado el punto
A)
B)
C)
D)
E)
118.
L2
fig. 79
(9, -12)
(4, -5)
(-3, 0)
(-7, 8)
(-12, 12)
Si un paralelepípedo recto tiene por altura 5 cm. y un volumen de 100 cm 3, entonces al
suma de las áreas basales es
A)
B)
C)
D)
E)
10 cm2
20 cm2
30 cm2
40 cm2
falta información
29
119.
En la figura 82, CD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores, luego x =
A)
B)
C)
D)
E)
120.
1
(90º aº )
2
90º - aº
180º - aº
180º - 2aº
1
(180º aº )
2
C
x
D
fig. 82
aº
A
B
¿Con cuál(es) de las siguientes baldosas se puede cubrir completamente el patio, si todas
las figuras están formadas por cuadrados iguales?
I)
II)
III)
Patio
A)
B)
C)
D)
E)
121.
Sólo con I
Sólo con II
Sólo con I ó II
Con I ó II ó III
Con ninguna
Si se quiere llegar del punto (1,2) al punto (-2,1) se debe hacer:
I)
II)
Una traslación de vector (-3,-1)
Una rotación de 90º respecto de (0,0)
III)
Un simetría respecto del punto (0,
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I o II
I o II o IIII
3
)
2
30
122.
En la figura 83, L1 // L2, ¿cuál es la medida de a?
A)
10º
B)
20º
C)
30º
D)
40º
E)
no se puede determinar
180º -2a
123.
fig. 83
ACTO es rectángulo, MIEL es cuadrado TIC es triángulo isósceles de base CT, si el área
achurada mide 24 cm2, entonces el área de ACTO es (figura 84)
A)
B)
C)
D)
E)
125.
L2
a+10º
O
124.
L1
30
36
40
48
no
cm2
cm2
cm2
cm2
se puede determinar
En la figura 85, CA // BD, si
A)
2
3
B)
1
3
C)
3
5
D)
1
5
E)
2
5
T
E
L
I
A
C
M
fig. 84
OC 2
 , entonces CA : BD como
CD 3
D
C
O
A
B
fig. 85
Al hacer una reflexión respecto de O de la figura se obtiene
O
A)
B)
C)
D)
E)
31
126.
Si el punto (-4,1) se rota 180º con respecto al punto (0,1) y después se refleja respecto
del origen (0,0), entonces el punto final resulta lo mismo que
A)
B)
C)
D)
E)
127.
reflejar el punto original respecto el eje y
rotar 45º el punto original respecto del punto (0,0)
reflejar el punto original respecto de la recta y = x
reflejar el punto original respecto de la recta y = -x
reflejar el punto original respecto de la recta y = 0
Si queremos determinar si el triángulo ABD inscrito en el pentágono de la figura 86, es
isósceles, necesitamos saber que:
(1)
(2)
D
que el ángulo BCD mide 108º
que el pentágono es regular
E
A)
B)
C)
D)
E)
128.
B
fig. 86
40º
60º
100º
120º
160º
Dos ángulos son tales que; ambos son suplementarios y el complemento de uno de ellos es
igual al suplemento del otro, luego el menor de ellos mide
A)
B)
C)
D)
E)
130.
A
Cuatro rayos de origen común forman 4 ángulo que están en razón 2 : 3 : 5 : 8, ¿cuánto
mide el mayor de los ángulo?
A)
B)
C)
D)
E)
129.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
135º
120º
90º
60º
45º
En el triángulo ABC de la figura 88, H es ortocentro y D es punto medio de AB, luego el
ángulo CAE mide
C
E
A)
B)
C)
D)
E)
50º
40º
30º
20º
10º
H
50º
A
D
B
fig. 88
32
131.
El triángulo de la figura 89 es equilátero, SI es altura, VA es simetral, luego el ángulo SEA
mide
V
A)
B)
C)
D)
E)
132.
30º
45º
60º
90º
120º
I
E
S
N
A
fig. 89
Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde
el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que
I)
II)
III)
La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.
La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.
Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz
trazada.
¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
133.
Sólo I
Sólo I y II
Sólo III
I, II y III
ninguna
En la figura 89, ABCDE es un pentágono regular, entonces, ¿cuál de las afirmaciones es la
D
más completa respecto del cuadrilátero ABCF?
A)
B)
C)
D)
E)
Es un cuadrilátero
Sus lados opuestos son iguales
Sus ángulos opuestos son iguales
Es un paralelogramo
Es un rombo
F
E
C
fig. 89
A
B
33
134.
¿Qué figura muestra una rotación de 45º respecto al punto O?
O
A)
B)
O
C)
O
O
D)
135.
136.
O
En la figura 90, ABCD es rectángulo y FBE es triángulo equilátero, para encontrar el área
del rectángulo es necesario conocer:
E
D
(1)
(2)
AF
EC
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
C
F
A
B
fig. 90
En la figura 1, L1 // L2, si AB = BC, entonces x =
xº
L1
A)
B)
C)
D)
E)
137.
O
E)
30º
35º
37,5º
40º
45º
70º
B
L2
fig. 91
C
Q
A
En la figura 92, aº + bº =
aº
A)
B)
C)
D)
E)
55º
70º
75º
80º
90º
P
125º
R
55º
A
fig. 92
bº
M
N
34
138.
En la figura 93, L1 // L2, el ángulo CAE mide 18º, si DE = 2·AB, entonces ¿cuánto mide el
ángulo x?
B
E
L1
A)
B)
C)
D)
E)
139.
18º
36º
42º
54º
72º
x
A
D
L2
C
fig. 93
El cuadrilátero de la figura 94 es un deltoide (DA = AB y BC = CD), luego el ángulo x =
A
A)
140º
B)
110º
C)
100º
D)
80º
E)
70º
100º
D
B
x
40º
fig. 94
C
140.
Las circunferencias de centros O y O’ son tangentes exteriores en Q, PB es tangente en B y
PA tangente en A, si PQ es tangente común y el ángulo APB mide 80º, entonces el ángulo
AQB mide
A)
no se puede determinar
B)
140º
C)
120º
D)
100º
E)
90º
O
Q
O’
B
A
fig. 95
P
141.
En la circunferencia de la figura 96 de centro O, si el
BAC  15º , entonces
OBC 
A
A)
30º
B)
45º
C)
60º
D)
75º
E)
80º
O
B
C
fig. 96
35
142.
Los segmentos dibujados dentro del cuadrado van desde un vértice al punto medio del lado
opuesto, como lo muestra la figura 97, si el lado del cuadrado es 1, entonces el área del
cuadrilátero ABCD es
A)
B)
C)
D)
E)
143.
A
B
D
8
C
1
5
fig. 97
¿Cuánto mide el ángulo x de la figura 98?
A)
B)
C)
D)
E)
144.
2
9
1
4
3
9
1
45º
30º
60º
75º
105º
x
12
fig. 98
45º
En el cuadrilátero ALPE de la figura 99, AL // PE, EA es bisectriz del ángulo TAK y LE es
bisectriz del ángulo PLA, si AU = 9 cm y PE = 12 cm, entonces UP mide
K
A)
1 cm
B)
2 cm
C)
3 cm
D)
4 cm
E)
T
A
falta información para determinarlo
E
145.
12 2
U
P
L
fig. 99
Para conocer el área de un triángulo rectángulo isósceles, es necesario saber:
(1)
(2)
la medida de uno de sus catetos
la medida de la altura que intersecta a la hipotenusa
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
36
146.
¿Cuánto mide el ángulo que sumado con el triple de su complemento da como resultado
210º?
A)
B)
C)
D)
E)
147.
60º
40º
30º
20º
10º
En la figura 100, los triángulos AED y CEB son congruentes, luego es falso que
D
A)
B)
C)
D)
E)
AD // BC
y = 10
x = 14
DE = 15
BE = 12
C
22
3y+5
35
E
fig. 100
2x-6
A
148.
¿Cuánto suman los ángulos de la figura 101, marcados con arcos?
A)
B)
C)
D)
E)
149.
180º
270º
360º
720º
900º
fig. 101
El triángulo MNP de la figura 102 es isósceles de base NP, si MO = OP = PN, entonces la
P
medida del ángulo PMN es
A)
B)
C)
D)
E)
150.
B
18º
30º
36º
72º
M
No se puede determinar
N
O
fig. 102
La circunferencia de la figura 103 está inscrita en el trapecio isósceles, luego el perímetro
del trapecio es
10
A)
B)
C)
D)
E)
12
38
50
62
150
13
fig. 103
15
37
151.
El complemento de un ángulo es 30º, luego su suplemento es
A)
B)
C)
D)
E)
152.
El triángulo MNQ de la figura 104 es equilátero, el triángulo MNP es rectángulo en N, si
NP 
153.
154.
60º
90º
100º
150º
120º
MN 3
, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
3
I)
II)
III)
MP es perpendicular a NQ
El ángulo QMP mide 30º
T es punto medio de NQ
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
Q
P
T
N
M
fig. 104
El hexágono ABCDEF de la figura 105 es regular, ¿qué parte del área de él esta achurada?
A)
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
E
D
C
F
A
B
fig. 105
En el rectángulo RATO de la figura 106, AN y OI son perpendiculares a la diagonal RT,
luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsa(s)?
I)
T A N es semejante al RT O
O
N
2
II)
A N  RI  T I
III)
T A  RI  RT
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo II y III
ninguna
T
2
R
I
A
fig. 106
38
155.
156.
El poliedro de la figura 107 es un prisma cuyas bases son rombos de diagonales 12 y 6
cm., si la altura del prisma es el doble de la diagonal mayor, entonces su volumen es
A)
1.728 cm3
B)
864 cm3
C)
648 cm3
D)
432 cm3
E)
Ninguna de la anteriores
En la figura 108, se ha dibujado un cubo, luego el seno del ángulo ABC es
A)
3
B)
3
3
C)
D)
E)
157.
A
3
B
2
2
C
3
depende de la arista del cubo
fig. 108
El perímetro de un triángulo es 11 cm, si sus lados son todos números naturales , ¿cuál
es el mayor valor que puede tomar uno de sus lados?
A)
B)
C)
D)
E)
158.
fig. 107
7
6
5
4
3
cm
cm
cm
cm
cm
Un cuadrado y un rectángulo tienen igual área. Si el ancho del rectángulo
del lado del cuadrado, entonces el largo del rectángulo es:
A)
B)
C)
D)
E)
es la mitad
El doble del lado del cuadrado
El triple del lado del cuadrado
Igual al lado del cuadrado
La mitad del lado del cuadrado
El cuádruplo del lado del cuadrado
39
159.
160.
La razón de las áreas de dos círculos concéntricos es 1 : 3, si el radio del menor es r,
entonces la diferencia entre el radio del círculo mayor y el menor es
A)
2r
B)
C)
D)
2r
4r
8r
E)
( 3  1) r
Los triángulo ABC y DEF de la figura 109 no son congruentes, D y G son puntos medios de
los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE =
C
A)
B)
80º
F
70º
E
60º
G
161.
162.
C)
60º
D)
65º
E)
A
no se puede determinar
40º
B
D
fig. 109
El triángulo MNP de la figura 110 es rectángulo en P, si MR = RN, entonces ¿cuál(es de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
NR = RP
PR es bisectriz de NPM .
Si NRP  50º , entonces MPR  25º .
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
M
P
R
N
fig. 110
El triángulo achurado de la figura 111, está inscrito en un octógono regular, ¿qué tipo de
triángulo lo representa mejor?
A)
equilátero
B)
isósceles
C)
isósceles acutángulo
D)
isósceles rectángulo
E)
rectángulo
fig. 111
40
163.
En la circunferencia de centro O de la figura 112, TP es tangente en P,
SPR  30º , ¿cuánto
mide el ángulo PRS?
164.
A)
150º
B)
120º
C)
90º
D)
60º
E)
30º
166.
R
O
T
P
fig. 112
En un triángulo de lados 20, 21 y 29, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita?
A)
B)
C)
D)
E)
165.
S
4
7 3
5
5 3
6
Las tres circunferencias de la figura 113, son tangentes entre si y tangentes a la recta, las
dos mayores tienen igual radio y la menor tiene radio 3, entonces el radio de las mayores
es
A)
6
B)
8
C)
10
D)
12
E)
ninguno de las anteriores
fig. 113
Los lados de un triángulo están en la razón 4 : 6 : 11, ¿qué tipo de triángulo es?
A)
B)
C)
D)
E)
rectángulo
obtusángulo
isósceles
acutángulo
no existe tal triángulo
41
167.
168.
En el cuadrilátero de la figura 114, una medida posible de la diagonal AC es
A)
9
B)
10
C)
13
D)
15
E)
20
B
10
A
9
5
D
19
C
fig. 114
En la figura115, I es el incentro del triángulo ABC, ¿Cuánto mide el ángulo x?
C
A)
B)
C)
D)
E)
169.
30º
40º
50º
60º
No se puede determinar
I
x
50º
A
B
fig. 115
El triángulo VAN de la figura 116 es equilátero, si el ángulo ENS mide 15º, entonces el
ángulo EAS mide
N
A)
B)
C)
D)
E)
15º
25º
30º
45º
50º
30º
E
V
170.
30º
fig.116
S
A
Al aumentar la longitud de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un A %. ¿Cuál es
la medida del lado del cuadrado original?
(1)
A = 25
(2)
el área final es 125 cm2
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
42
171.
172.
En la figura 117, todos los lados interiores al ángulo PQR son iguales, si dicho ángulo mide
18º, ¿cuántos triángulos isósceles se pueden formar?
P
A)
2
B)
3
C)
4
D)
5
E)
infinitos
174.
R
fig. 117
De un polígono regular de vértices A, B, C, D, … se sabe que el ángulo ACB mide 10º,
luego ¿cuántas diagonales diferentes pasan por el centro de el?
A)
B)
C)
D)
E)
173.
Q
8
9
10
11
18
En la circunferencia de la figura 118, las cuerdas miden 6 cm. y 8 cm., si ellas están a una
distancia de 1 cm., entonces el radio de la circunferencia mide
A)
2 cm.
B)
3 cm.
C)
4 cm.
D)
5 cm.
E)
no se puede determinar
fig. 118
El triángulo ABC es rectángulo en A, si AD es altura (figura 119), entonces BC =
A)
B)
C)
D)
E)
26
3
52
10 3
3
8 13
3
13
3
C
A
4
D
6
B
fig. 119
43
175.
176.
El área del triángulo isósceles de la figura 120 es b. Si uno de sus lados iguales es b,
entonces su perímetro es
A)
b+4
B)
2b – 4
C)
3b
D)
2b + 4
E)
4
fig. 120
54º
116º
126º
136º
154º
El triángulo de la figura 121 es escaleno, AT es bisectriz, MP es simetral y AT = TB, si el
ángulo AQM mide 65º, entonces el ángulo BCA mide
A)
B)
C)
D)
E)
178.
b
El complemento de un ángulo es 36º, ¿cuánto mide el suplemento de dicho ángulo?
A)
B)
C)
D)
E)
177.
b
2
C
115º
105º
95º
75º
25º
P
Q
T
fig.121
A
M
B
En la circunferencia de centro O de la figura 122, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones
B
es(son) falsa(s)?
I)
II)
III)
ACO 
CAO
BOA  2  BCA
BOC  2  BOA
A
C
O
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo III
Ninguna
fig. 122
44
179.
180.
181.
El rectángulo de la figura 123, tiene por ancho 5 cm. y por largo 7 cm., si los cuadrados
achurados tienen área de 1 cm2, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I)
El perímetro de la figura sombreada es 8 cm. mayor que el perímetro del
rectángulo.
II)
El área achurada es
III)
A)
Al sacar 2 cuadrados achurados, el perímetro de lo achurado sería igual al del
rectángulo.
C
D
Sólo I
B)
Sólo II
C)
Sólo III
D)
Sólo I y II
E)
Todas
8
del área del rectángulo.
35
A
B
fig. 123
En el cuadrado ABCD de la figura 124 se ha inscrito el rectángulo MNPQ. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I)
AMQ  CPN
II)
NPC
P
D
C
MNB
III)
MNB 
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
PQD
Q
N
A
M
B
fig. 124
El triángulo ABC de la figura 125, se ha reflejado respecto del eje y obteniéndose el
triángulo A’B’C’, si los vértices A y C del triángulo ABC están en los ejes, entonces ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
C = C’
Ambos triángulos son congruentes.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
ABC 
A 'B'C'
B’
y
C’ 3 C
B
2
A
A’
1
2
3
x
fig. 125
45
182.
Si dos triángulos son congruentes, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)
183.
Tienen la misma forma.
Sus ángulos correspondientes son iguales.
Sus lados homólogos son iguales.
Tienen el mismo perímetro
Sus áreas están en razón 1 es a 2.
En la figura 126, ABCD es trapecio isósceles, AC y BD son sus diagonales, ¿cuál(es) de los
siguientes pares de triángulos son congruentes?
I)
ABC y BAD
II)
AED y BEC
III)
ABE y DCE
D
C
E
A)
B)
C)
D)
E)
184.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
A
B
fig. 126
En la figura 127, el ABC es simétrico (reflejo) con el MNP respecto de la recta L,
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
L
185.
I)
II)
III)
MA  L
MN // AB
MB = NA
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
N
B
P C
M
fig. 127
A
La flecha sombreada achurada se traslada como lo muestra la figura 128, luego el vector
de la traslación mostrada es
y
A)
(-2,0)
B)
(4,-2)
C)
(-4,2)
D)
(0,-2)
E)
(-4,-2)
2
-1
3
x
fig. 128
46
186.
Las figuras; A, B, C y D son; cuadrado, rombo, triángulo equilátero y trapecio isósceles
respectivamente. Luego si las ordenamos en orden creciente de acuerdo al número de ejes
de simetría tenemos
B
A
A)
B)
C)
D)
E)
187.
D, C, B, A
A, C, B, D
D, B, C, A
D, C, A, B
A, B, C, D
La figura I) está formada por 5 cuadrados congruentes, la figura II) es un cuadrado y la
figura III) es un triángulo equilátero. ¿En cuál(es) de ella(s) al rotarlas 90º respecto de su
centro, la figura resultante coincide con la inicial?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
188.
D
C
II)
III)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo III
Ninguna
En la figura 129, L1 // L2 // L3, luego x + y =
A)
4
B)
8
C)
12
D)
16
E)
20
2
1
12
x
y
3
L1
L2
L3
fig. 129
47
189.
¿Cuál es la conclusión más precisa respecto del perímetro y el área de un círculo cuando su
radio se duplica?
A)
B)
C)
D)
E)
190.
perímetro y el área se duplican.
perímetro se cuadriplica y el área se duplica
perímetro y el área aumentan.
área aumenta en mayor proporción que el perímetro.
perímetro se duplica y el área se cuadriplica.
En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 130, el
C
CAB 
A)
B)
C)
D)
E)
191.
El
El
El
El
El
75º
60º
45º
30º
15º
A
CAB  5  ABC , luego
B
O
fig. 130
En la figura 131, ¿cuál es la medida del radio de la circunferencia de centro O?
C
A)
B)
C)
D)
E)
192.
4
4
3
3
2
3
3
1
3
3
2
O
A
60º
B
2
fig. 131
En el paralelogramo ABCD de la figura 132, si AB = 15, CE = 5 y EF = 3 entonces el área
del paralelogramo ABCD es
E
C
D
F
A)
B)
C)
D)
E)
144
120
80
60
Ninguna de las anteriores
A
B
fig. 132
48
193.
En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos es 
y cos  
5
, entonces
13
tg  sen =
194.
A)
96
65
B)

C)
131
65
D)
12
5
E)
5
13
13
65
En una circunferencia de diámetro 8 10 cm., una cuerda esta a una distancia de 4 cm. del
centro, ¿cuál es la medida de la cuerda?
A)
B)
C)
D)
E)
195.
cm.
cm.
cm.
cm.
cm.
Al rotar el triángulo equilátero de lado 6 (figura 133) en torno a la recta L, se genera un
L
volumen de
A)
B)
C)
D)
E)
196.
12
16
20
24
30
27 
54 
81 
162 
Otro valor
fig. 133
Se desea embaldosar un patio cuadrado de 2m de lado, luego ¿con cuál de las siguientes
baldosas no podrá cubrirse completamente el patio si no se puede transformar ninguna de
las baldosas?
A)
B)
C)
D)
E)
baldosas
baldosas
baldosas
baldosas
baldosas
cuadradas de lado 50 cm.
rectangulares de 20cm. por 25 cm.
de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm y 10 cm.
de forma de triángulo equilátero de lado 20 cm.
rectangulares de 40 cm. por 8 cm.
49
197.
En el cuadrilátero ABCD de la figura 134, AC es diagonal que intersecta a BF en E, luego el
ABE es semejante al CFE si:
F
D
198.
(1)
ABCD es paralelogramo.
(2)
AE BE

EC EF
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
A
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A)
B)
C)
D)
E)
B
fig. 134
AC = 20
AT = TO = OQ = QC = 5
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
Q
T
O
P
C
fig. 135
El complemento del complemento de un ángulo de 5º es
A)
B)
C)
D)
E)
200.
E
En la circunferencia de centro O de la figura 135, PQRT es rombo, el área achurada se
puede determinar si:
R
(1)
(2)
199.
C
5º
10º
15º
45º
85º
¿En qué triángulo el ortocentro está en la circunferencia circunscrita a él?
A)
B)
C)
D)
E)
equilátero
isósceles acutángulo
obtusángulo
rectángulo
en ningún triángulo
50
201.
En
la
figura
136,
FCD 
FAB y
BAE ,
CAE 
luego
¿cuál(es)
de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
202.
AC = CD
CE = EB
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
204.
CBA 
C
BCD
D
E
A
fig. 136
B
En un triángulo escaleno al trazar del mismo vértice; la altura, la bisectriz, la transversal
de gravedad y la simetral, ¿cuántos triángulos se forman en total?
A)
B)
C)
D)
E)
203.
F
I)
II)
III)
2
3
4
12
no se puede determinar
En la figura 137, L es tangente en B a la circunferencia de centro O. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones hace(n) que DC sea paralelo a L?
D
I)
BC  DB
II)
III)
BC  CD  DB
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
CBA 
DCB
C
O
B
A
L
fig. 137
¿Cuántos triángulos se forman al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice en un
dodecágono (12 lados) regular?
A)
B)
C)
D)
E)
12
10
8
6
más de 12
51
205.
¿Cuál es el cuadrilátero que tiene 4 ejes de simetría?
A)
B)
C)
D)
E)
206.
el
el
el
el
el
rombo
rectángulo
deltoide (trapezoide simétrico)
trapecio isósceles
cudrado
¿Cuál es la mejor figura que representa una reflexión respecto a L de la figura original?
L
A)
207.
C)
D)
E)
Dos triángulos equiláteros iguales se unen por un lado. Después todas las esquinas de la
figura obtenida se juntan en el centro. ¿Qué figura se obtiene?
A)
B)
C)
D)
E)
208.
B)
un
un
un
un
un
triángulo
cuadrado
rectángulo
hexágono
rombo
¿Con cuál o cuáles de los triángulos se puede cubrir completamente el pentágono de la
figura?
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo con I
Sólo con II
Sólo con III
Con I y con III
Con I y II
I)
II)
III)
52
209.
Los triángulos ADE y ACB son congruentes (figura 138), ¿cuál(es) de las siguientes
E
afirmaciones es(son) falsa(s)?
I)
II)
III)
CF = FD
DFB  CFE
F es punto medio de ED y BC
C
A)
B)
C)
D)
E)
210.
211.
Sólo I
Sólo I y II
Sólo III
Sólo I y III
todas
F
B
D
A
fig. 138
En la figura 139, la circunferencia mayor está inscrita al cuadrado mayor y pasa por los 4
vértices del cuadrado menor, la circunferencia menor está inscrita al cuadrado menor,
luego ¿en qué razón están los radios de las circunferencias?
A)
B)
1:2
2:3
C)
1:
D)
E)
2: 2
no se puede determinar
2
fig. 139
En la figura 140, ABCD es rombo, E es un punto de BC tal que
BE r
 , entonces las área
EC
t
del triángulo ABE y el rombo ABCD están en una razón de
A)
r
2(r  t)
B)
t
2(r  t)
 t 


r  t 
2
C)
 r 


r  t 
2
D)
E)
r 
 
t
D
C
E
fig. 140
A
B
2
53
212.
Si F es el punto medio de AC (figura 141), entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
C
 FDG es isósceles.
 ABC es semejante con  BED.
D
G es punto medio de ED.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Ninguna
F
G
A
E
B
fig. 141
213.
Sobre los lados AB y AC del triángulo ABC, se han dibujado triángulos equiláteros, como lo
muestra la figura 142. Si F y G son los puntos medios de AC y AE respectivamente,
E
FG
entonces
=
BD
G
1
D
A)
2
A
B)
1
3
C)
F
2
1
D)
4
E)
no se puede determinar
fig. 142
C
B
214.
Si en la figura 143, los lados de los cuadrados están en razón 4 : 3 : 2, entonces si el área
no achurada es 17 cm2, entonces el lado del cuadrado mayor es
A)
B)
C)
D)
E)
215.
1
2
3
4
8
cm.
cm.
cm.
cm.
cm.
fig. 143
En la circunferencia de centro O y radio r (fig. 144), se ha inscrito el  PQR. Entonces la
longitud del segmento PQ esta representada por
R

A)
B)
C)
D)
E)
r·sen 
r·cos 
2r· sen 
2r· cos 
r·sen
2
.O
P
Q
fig. 144
54
216.
Al rotar la figura sombreada en torno a la recta L, el cuerpo engendrado es similar a:
L
A)
D)
B)
C)
217.
218.
219.
E)
Para teselar un cuadrado con una pieza esta puede tener la forma de un:
I)
II)
III)
triángulo equilátero
rectángulo
pentágono regular
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
Si se quiere saber el seno de un ángulo, se requiere
(1)
(2)
conocer los lados del triángulo rectángulo donde está el ángulo en cuestión.
conocer el coseno del mismo ángulo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por si sola
(2) por si sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En la circunferencia de la figura 145, las cuerdas AB y CD son perpendiculares, para
encontrar el diámetro de la circunferencia es necesario conocer
C
(1)
(2)
m
n
n
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2).
A
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
2
E
m
6
B
fig. 145
D
55
220.
En la figura Nº 146, se muestran un rectángulo y un romboide traslapados, el área
achurada en términos de a es
a
A)
a2
B)
a2
2
C)
2a2
D)
3a2
E)
No se puede determinar
a
a
45º
fig. 146
a
221.
En la figura 147, p  q y r
s , luego el ángulo x mide
p
A)
B)
C)
D)
E)
222.
r
x
s
25º
fig. 147
0º
10º
20º
50º
90º
En el triángulo rectángulo en C de la figura 148, se ha trazado la altura CD, que divide a la
hipotenusa en dos segmentos; AD = 2 y DB = 16, luego el perímetro del triángulo ABC
mide
A
224.
q
El suplemento de un ángulo es 130º y el complemento del otro es 40º, entonces la
diferencia entra las medidas de ellos es
A)
B)
C)
D)
E)
223.
25º
90º
115º
155º
165º
A)
24  4 14
B)
C)
D)
18  2 7  12 2
36
E)
16  2 14
2
D
16
24  12 2
C
B
fig. 148
La suma de las medidas de las tres transversales de gravedad es
A)
B)
C)
D)
E)
Igual al perímetro del triángulo
Igual a la mitad del perímetro del triángulo
Mayor que el perímetro del triángulo
Menor que el perímetro del triángulo
Igual a un tercio del perímetro del triángulo
56
225.
Para ubicar el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo se deben trazar
A)
B)
C)
D)
E)
226.
dos
dos
dos
dos
dos
medianas
bisectrices
alturas
simetrales
transversales de gravedad
En la figura 149, ABCD es paralelogramo y
ADE = EDC =
BCD. Sabiendo que
AD = 5 y DC = 6, ¿cuánto, mide el perímetro del trapecio EBCD?
D
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 149
A
227.
B
E
En la circunferencia de la figura 150, CD es altura. Para que D divida aureamente al
diámetro AB, AD es igual a
C
A)
B)
C)
D)
E)
228.
C
17
18
19
20
21
a
b–a
a·b
b
a
b
a
A
fig. 150
a 5
El trapecio de la figura 151 es isósceles, luego, es(son) verdadera(s) la(s) siguientes
afirmación(es)
D
229.
B
D
O
I)
II)
III)
AE : ED = AB : CD
 BEC   AED
 ABE
 CDE
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
C
E
A
B
fig. 151
Tres cuadrados de lados; 10 cm, 8 cm y 6 cm, respectivamente (fig. 151), si se colocan
uno al lado del otro, entonces ¿cuál es el área sombreada?
A)
B)
C)
D)
E)
100 cm2
90 cm2
120 cm2
80 cm2
240 cm2
fig. 151
57
230.
Si con un triángulo isósceles de área 5 se forma un rombo, entonces el producto de las
diagonales es
A)
B)
C)
D)
E)
231.
5
10
12
20
40
`
En la figura 152, ABCD es paralelogramo, F esta en la prolongación de AD. Si EF = 32 y GF
= 24, entonces BE es igual a
F
A)
B)
C)
D)
E)
4
8
10
12
16
G
D
C
fig. 152
E
A
232.
B
En la figura 153,  DBC isósceles de base DB, AD · AB =
C
A)
B)
C)
D)
E)
233.
1
2
1
2
3
5
40º
2
1
A
1
B
D
fig. 153
En el cuadrado ABCD de la figura 154, se han prolongado las diagonales de manera tal que
EA = AC = CG y FB = BD = DH, si el lado del cuadrado es a, entonces el área del octógono
G
H
AFBGCHDE es
A)
a2
B)
2a
C)
3a2
D)
E)
3 2
a
2
no se puede determinar
C
D
2
A
E
B
F
fig. 154
58
234.
La figura que mejor representa la reflexión de la flecha con respecto a L1 y luego respecto
de L2 es
L1
A)
235.

E)
C)
D)
E)

(0,2)
(0,4)
(4,0)
(2,0)
 2, 2 3 
Un patio cuadrado se desea embaldosar, si este mide 5 metros de lado, ¿con cuál de las
siguientes baldosas no se podrá embaldosar completamente, sin cortar ninguna baldosa?
A)
B)
C)
D)
E)
237.
B)
Si el punto 2,2 3 se rota 30º con respecto al origen (0,0), el punto resultante es
A)
B)
C)
D)
236.
L2
baldosas
baldosas
baldosas
baldosas
baldosas
cuadradas de 50 cm. de lado.
rectangulares de 50 cm. por 25 cm..
de forma de triángulo rectángulo de catetos 50 cm. y 25 cm..
cuadradas de 40 cm. de lado.
de forma de triángulo rectángulo de catetos 25 cm. y 12,5 cm..
3
, entonces el perímetro del triángulo rectángulo que tiene el ángulo  y cuya
4
hipotenusa mide 50 cm. mide
Si
A)
B)
C)
D)
E)
tan  
100 cm.
110 cm.
120 cm.
70 cm.
no se puede determinar
59
238.
239.
La figura 155 muestra parte de un cubo, el corte sombreado es un triángulo formado por
las diagonales de las caras, si el cubo original tiene arista 1 cm, entonces el volumen del
cuerpo resultante es
1
A)
cm3
2
1
B)
cm3
3
C)
2
cm3
3
D)
5
cm3
6
E)
1
cm3
6
Si el volumen de un cilindro es V y el área del manto (superficie curva que lo envuelve) es
S, entonces el volumen expresado en términos del radio y la superficie del manto es
A)
V  Sr
B)
V
C)
D)
E)
240.
fig. 155
2S
r
S
V
2r
r
V
2S
V
Sr
2
Para saber el número de lados de un polígono convexo se necesita saber
(1)
(2)
El número de diagonales que se pueden dibujar en él.
La suma de los ángulos exteriores.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
60
241.
En la figura 156, aparecen tres cuadrados dentro de un rectángulo, dos de ellos de lado a y
el otro de lado b, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
El área achurada es 2a2  2ab  b2
II)
III)
El perímetro de la zona sombreada es 12a
El perímetro del rectángulo es 8a + 2b
a
A)
B)
C)
D)
E)
242.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
b
a
En la figura 157, CDB    6º y
fig. 156
BEC  12º  , luego ¿cuánto mide el ángulo CAB?
D
A)
3º
B)
9º
C)
39º
D)
18º + 2
E)
2  18º
24º
E
A
B
36º
fig. 157
C
243.
244.
¿Cuánto mide el ángulo x en la figura 158, si L1 // L2 y L1  L3 ?
A)
24º
B)
64º
C)
66º
D)
76º
E)
114º
L1
L3
24º
xº
L2
fig. 158
En el triángulo MNP de la figura 159, PT es altura y PQ es bisectriz, ¿cuánto mide el ángulo
P
x?
A)
B)
C)
D)
E)
0º
x
5º
15º
40º
35º
M
T Q
falta información para determinarlo
30º
N
fig. 159
61
245.
Sea un triángulo ABC de lados a, b, c y alturas ha, hb y hc, luego
I)
II)
III)
aha = bhb = chc
Si a > b > c  ha < hb < hc
h a : hb : hc = a : b : c
Es(son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
246.
247.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
¿Cuál es el valor de x en la figura 160?
A)
10
B)
1,5
C)
7,5
D)
4,5
E)
6,5
10
x
6
fig. 160
En al rectángulo ABCD de la figura 161, el ángulo en C es trisectado por CE y CF, luego el
área de dicho rectángulo es
A)
108 3  36
B)
6 3
C)
18 3  2
F
A
D)
151
E)
120
C
D
2
6
E
B
fig. 161
62
248.
249.
En la figura 7, AF // BG // CH, si OA : AB : BC = 2 : 4 : 1, entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
2 · GH = FG – OF
Los triángulos OFA y OHC son semejantes.
AF : BG = 2 : 4
B
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo II y III
I. II y III
C
A
O
F
H
G
fig. 162
En la figura 163, ¿cuál es el seno del ángulo ACB?
C
A)
B)
C)
D)
E)
250.
no se puede determinar
5
13
12
13
13
15
15
26
5
A
13
D
fig. 163
B
Los triángulos ABF y BCE de la figura 164 son congruentes, ACDG es rectángulo. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
EFB  BCE
El área del AFG más el área de EDC es igual al área del ABF .
ABEF es paralelogramo. G
F
E
D
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
fig. 164
A
251.
15
E
B
C
En el triángulo ABC e la figura 165, se han trazado las alturas AD y BF, si AD = 8, BD = 6 y
CD = 4, entonces ED =
A
A)
B)
1
2
F
5
2
C)
2
D)
5
2
E)
3
C
E
D
B
fig. 165
63
252.
La figura 166, presenta un cono recto invertido, de diámetro 8 cm y altura 24 cm y dentro
de él una esfera de radio 1 cm, si la esfera es no puede descender más por el interior del
cono, entonces ¿a qué distancia del vértice del cono queda el centro de la esfera?
8
A)
B)
C)
253.
2,3 cm
6,0 cm
8,0 cm
D)
37 cm
E)
2 37 cm
24
fig. 166
El cubo de la figura 167 tiene el punto de intersección de las diagonales en el origen del
sistema coordenado, si las caras del cubo son paralelas a los planos xy, yz y zx, además
las coordenadas del vértice A(1,1,1), entonces las coordenadas del vértice B son
z
A)
B)
C)
D)
E)
(-1,-1,-1)
(-1,-1,0)
(-1,1,-1)
(1,-1,-1)
(-1,-1,1)
A
y
x
254.
fig. 167
B
El pentágono SELIM de la figura 168, está formado por un cuadrado y un triángulo
equilátero de igual lado, el triángulo ELF es equilátero de igual lado que el pentágono
SELIM, si el perímetro del pentágono es 40 cm., entonces el área del triángulo achurado es
I
A)
32 cm2
B)
24 cm2
C)
20 cm
2
D)
18 cm2
E)
no se puede determinar
L
M
F
S
E
fig. 168
64
255.
256.
En la circunferencia de la figura 169, los arcos AB y BD son iguales, ¿cuánto mide el ángulo
BCD?
A)
30º
B)
40º
C)
50º
D)
60º
E)
80º
258.
E
C
50º
B
fig. 169
A
El pentágono SELIM de la figura 168, ¿cuántos ejes de simetría tiene?
A)
B)
C)
D)
E)
257.
D
5
4
3
1
0
Para embaldosar un patio de forma de rombo, las baldosas de forma de rombo a usar de
manera de no cortar ninguna deben cumplir con:
I)
II)
III)
la medida de su lado debe ser divisor de la medida del lado del patio.
sus diagonales deben ser perpendiculares.
deben tener los mismos ángulos interiores que el patio a embaldosar.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
III
I y III
I y II
II y III
Un cubo se a cortado como lo muestra la figura 170, si A, B, C y D son los puntos medios
de las aristas del cubo original, si lo cortado tiene un volumen de 8 cm 3, entonces la arista
D
del cubo mide
A)
B)
C)
4 cm.
6 cm.
8 cm.
D)
2 2 cm.
E)
4 2 cm.
A
C
B
fig. 170
65
259.
Si se disponen de varios rectángulos cuyo largo mide el cuádruplo del ancho, entonces el
menor número de rectángulos que permiten formar un cuadrado es
A)
B)
C)
D)
E)
260.
3
4
6
8
12
¿Cuál de las siguientes figuras representan mejor a la reflexión de la figura achurada
respecto de la recta L?
L
A)
261.
B)
C)
D)
E)
¿Cuánto mide el área del cuadrilátero de la figura 171?
A)
B)
C)
D)
E)
2 cm2
3 cm2
4 cm2
5 cm2
(1  5) cm2
fig. 171
1 cm
262.
¿Cuál de los siguientes polígonos tiene menor número de ejes de simetría?
A)
B)
C)
D)
E)
triángulo equilátero
rectángulo
triángulo isósceles
hexágono regular
trapecio rectángulo
66
263.
Si se tiene un octógono regular (8 lados) y se quiere teselar el plano con otro polígono
regular, este puede ser un
A)
B)
C)
D)
E)
264.
La circunferencia de centro O es tangente interior a la mayor, LB y LA son tangentes en M
y N respectivamente a la circunferencia de centro O, figura 172. Para encontrar la longitud
del arco AB, se requiere
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
265.
266.
triángulo equilátero
cuadrado
pentágono regular
hexágono regular
heptágono regular
La longitud del arco MN y el radio de la
circunferencia mayor.
El radio de la menor, la medida del ángulo MON el
radio de la mayor.
M
L
B
O
N
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
fig. 172
El cuadrilátero ARTU (figura 173) esta inscrito en el cuadrado PREU, ¿en qué razón están
las áreas de ARTU y PREU?
T
U
E
(1)
(2)
PA : AR = UT : TE = 4 : 1
el lado del cuadrado mide 5 cm.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
A
R
fig. 173
Para obtener la medida del ángulo ISU en la figura 174, se requiere conocer que:
(1)
(2)
el triángulo PSU es rectángulo en S
SI es altura
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
U
I
P
40º
S
fig. 174
67
267.
¿Cuánto mide el ángulo CAB, en la figura 175?
A)
54º
B)
108º
D
5x
G
4x
268.
C)
120º
D)
144º
E)
162º
C
6x
3x
A
2x
B
F
fig. 175
En un triángulo isósceles el ángulo interior menor es la cuarta parte del mayor, el mayor
de los ángulos interiores puede medir
A)
B)
C)
D)
E)
269.
E
145º
120º
100º
30º
20º
Un rayo de luz nace del punto S (figura 176), se refleja en un espejo en el punto P, y llega
al punto T, para que PT sea perpendicular a RS, x debe medir
T
A)
B)
C)
D)
E)
32º
37º
45º
26º
38º
x
P
x
fig. 176
26º
R
270.
S
En el diagrama de la figura 177, ¿cuánto mide a?
A)
B)
C)
D)
E)
50º
65º
70º
105º
110º
40º
aº
110º
2aº
fig. 178
68
271.
El triángulo ABC de la figura 178 es rectángulo en B, AX = AD y CY = CD, la medida del
ángulo XDY es
A
272.
A)
35º
B)
40
C)
45º
D)
50º
E)
60º
D
X
B
C
Y
fig. 178
Los triángulos ABC y AED son equiláteros (figura 179), si el ángulo DAC mide 15º,
entonces el ángulo DFB mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
D
120º
105º
95º
85º
45º
F
A
B
fig. 179
E
273.
En el triángulo de la figura 180, xº =
A)
274.
F
15º
B)
20º
C)
30º
D)
35º
E)
50º
A
70º
G
E
B
xº
20º
xº
20º
C
fig. 180
¿Cuánto miden la suma de las medidas de los ángulos; aº, bº, cº y dº?
A)
360º
B)
440º
C)
540º
D)
720º
E)
900º
aº
bº
dº
cº
fig. 181
69
275.
En un triángulo, uno de los ángulos interiores es tres veces otro y el tercero mide 20º más
que la suma de los dos anteriores, ¿cuáles son las medidas de los ángulos?
A)
B)
C)
D)
E)
276.
5º, 15º, 160º
10º, 30º, 140º
20º, 60º, 100º
25º, 75º, 80º
30º, 60º, 90º
Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura desde
el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que
I)
II)
III)
La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.
La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.
Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la bisectriz
trazada.
¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
277.
Sólo I
Sólo I y II
Sólo III
I, II y III
ninguna
En la figura 182, el triángulo ABC es rectángulo en C y el triángulo ABD es isósceles de
base AD, luego cuál de las afirmaciones es falsa.
C
A)
B)
C)
D)
E)
278.
ADB 
DAB
D
BD > AC
BD > BC
DA  BA
AC + CB < AB + BD
B
A
fig. 182
Las medidas de los ángulos x e y en la figura 183 miden respectivamente
A)
40º y 20º
B)
20º y 40º
C)
30º y 60º
xº
130º
D)
30º y 40º
E)
los dos miden 30º
100º
40º yo
150º
fig. 183
70
279.
En la figura 184, PT es paralela a QR, la medida del
A)
116º
B)
122º
C)
138º
D)
144º
P
T
2xº
xº
128º
R
Q
E)
280.
PQR es
168º
fig. 184
El triángulo ABC de la figura 185 es isósceles de base CB, si BC = CD = DE = EF = FA,
entonces la medida del ángulo BAC
A
281.
A)
10º
B)
20º
C)
25º
D)
36º
E)
18º
F
E
D
C
B
fig. 185
La medida del ángulo x en la figura 186 se puede conocer si:
(1)
(2)
se conoce el ángulo en A
se conoce el ángulo en B
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
3m
x
2m
m
B
fig. 186
71
282.
Los ángulos exteriores de un cuadrilátero están en razón 2 : 3 : 5 : 8, luego el menor
ángulo interior mide
A)
B)
C)
D)
E)
283.
¿Qué cuadrilátero no tiene ningún ángulo interior igual a otro ángulo interior?
A)
B)
C)
D)
E)
284.
285.
20º
40º
60º
100º
160º
cuadrado
rectángulo
trapecio isósceles
deltoide
trapezoide no simétrico
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
No existe cuadrilátero de diagonales distintas y perpendiculares.
Sólo los rectángulos tienen sus diagonales iguales.
En todos los paralelogramos las diagonales son iguales.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
ninguna
En el cuadrilátero de la figura 187, AE y CE son bisectrices, si aº > bº entonces xº =
A)
B)
C)
D)
E)
aº - bº
aº bº
2
aº
 bº
2
bº
aº 
2
aº bº
2
D
bº
E
xº
C
A
aº
fig. 187
B
72
286.
287.
288.
En la figura 188, TELA es rectángulo, si el ángulo a es el doble del ángulo b, entonces
es(son) verdadera(s) las siguientes proposiciones
I)
II)
III)
IV)
AT = ML
El triángulo TAM es equilátero.
LAM isósceles de base AL.
TE = 2·AT
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo IV
Sólo I, II y III
todas
A
L
b
a
M
T
E
fig. 188
MNPQ es paralelogramo cualquiera (figura 189), R es punto medio de PQ, luego si
= 2 · NP ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
MNR es isósceles
NPR es equilátero
MNR es rectángulo
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
R
Q
M
MN
P
N
fig. 189
En la figura 190, KERY es rombo, LUPA es rectángulo y los puntos E e Y son puntos medios
de LU y PA respectivamente, si el ángulo ERY mide 50º entonces el ángulo KEL mide
A
A)
B)
C)
D)
E)
130º
60º
45º
30º
25º
Y
P
K
R
fig. 190
L
E
U
73
289.
En el rectángulo de la figura 191, AE es bisectriz del BAD , EF es perpendicular a la
diagonal BD, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
Si
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
E
EAC  15º , entonces BCG es equilátero
CAB 
BCF
ACE es isósceles
D
C
fig. 191
G
F
A
290.
B
En la figura 192, ABCD es cuadrado, DAPQ es rombo, si P esta en la prolongación de la
diagonal CA, entonces xº =
D
A)
17,5º
B)
22,5º
C)
45º
D)
90º
E)
135º
Q
C
xº
A
B
fig. 192
P
291.
En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la figura 193, AD = BD, si
CBD  30º , entonces ADB 
A)
80º
B)
90º
C)
100º
D)
110º
E)
120º
D
A
DCB  110º y
C
B
fig. 193
74
292.
293.
El cuadrilátero de la figura 194 es cóncavo, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
respecto a él es(son) falsa(s)?
I)
II)
III)
Sus ángulos interiores suman 360º.
Sus ángulos exteriores suman 360º.
Se pueden trazar dos diagonales en el.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
La diferencia entre los ángulos interiores distintos de un deltoide es 20º y la suma de ellos
es 140º, luego la medida de los ángulos que son iguales es
A)
B)
C)
D)
E)
294.
fig. 194
60º
80º
110º
220º
otra medida
En rectángulo VANE de la figura 195, se ha inscrito el triángulo equilátero AMO, si el ángulo
VAE mide 15º, entonces el ángulo OTE mide
E
A)
B)
C)
D)
E)
75º
85º
95º
120º
125º
N
T
15º
V
295.
M
A
O
fig. 195
Sobre los lados del triángulo de la figura 196, se han dibujado dos cuadrados congruentes,
entonces la medida del ángulo x es
A)
110º
B)
120º
C)
130º
D)
140º
E)
160º
xº
70º
fig. 196
75
296.
297.
298.
El polígono ABCDEFGH de la figura 197 es un octógono regular, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) falsa(s)?
G
F
I)
ACE es rectángulo isósceles.
II)
III)
Desde H se pueden trazar 5 diagonales.
AF es perpendicular a EF.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
ninguna
E
H
A
D
B
C
fig. 197
En la figura 1198, ANGLE es pentágono regular, SEAT es cuadrado y OAT es triángulo
equilátero, la medida del ángulo TON es
A)
39º
B)
99º
C)
117º
D)
139º
E)
151º
O
N
A
T
G
E
S
fig. 198
L
En el cuadrilátero de la figura 199, AD = DC y CB = BA, si el ángulo ADC es el doble del
ángulo DAB y el cuádruplo del ángulo ABC, entonces el ángulo DCB mide
D
A)
B)
C)
D)
E)
40º
60º
80º
100º
160º
C
A
fig. 199
B
76
299.
En el polígono de la figura 200, AB // PC, AP // BC, si AP y CP son bisectrices de los
ángulos interiores respectivos, entonces el ángulo x mide
A)
60º
B)
100º
C)
120º
D)
140º
E)
160º
A
P
E x
120º
B
C
80º
fig. 200
D
300.
301.
Para conocer ¿cuántos lados tiene un polígono convexo?, es necesario:
(1)
(2)
Saber la suma de los ángulos interiores.
la medida de un ángulo exterior.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
En la figura 201, el triángulo DBG es equilátero si
(1)
(2)
ABCD es rectángulo y BFGE es cuadrado.
DC es bisectriz del ángulo BDG.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
D
A
G
C
E
F
B
fig. 201
77
302.
En la circunferencia de centro O de la figura 1, CA  AB y D es punto medio, luego el
CBD mide
B
A)
B)
C)
D)
E)
15º
30º
40º
45º
60º
C
O
D
A
303.
fig. 202
El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro O (fig. 203), si CD es bisectriz
del ángulo BCA, luego el ángulo BAD mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
15º
22,5º
25º
45º
60º
O
A
B
fig. 203
D
304.
En la figura 204, ¿cuánto mide el arco BC?
A)
30º
B)
45º
C)
60º
C
E
A
15º
30º
F
D)
90º
E)
15º
B
fig.204
78
305.
306.
En la figura 205, BE y CE son bisectrices de los ángulos ABD y ACD respectivamente, si
ABE  25º , entonces ACD 
25º
B)
35º
C)
40º
D)
50º
E)
No se puede determinar
E
C
fig. 205
D
Las dos circunferencias de la figura 206 son congruentes, si MN contiene a los centros O y
O’, entonces el ángulo NPM es igual a
P
A)
B)
C)
D)
E)
307.
A
B
A)
90º
110º
120º
135º
140º
M
O
N
O’
fig. 206
En la figura 207, las tres circunferencias son secantes entre si, cada una de ellas contienen
a los centros de las otras dos, luego AOB =
A
A)
Falta información para determinarlo
B)
60º
C)
90º
D)
120º
E)
150º
O”
O’
B
O
fig. 207
79
308.
309.
El triángulo TRO tiene uno de sus vértices en el centro O de la circunferencia de la figura
208, si TP = OR y TR es tangente a circunferencia en R, entonces el arco menor RP mide
R
A)
30º
B)
45º
C)
60º
D)
75º
E)
no se puede determinar
P
T
O
fig. 208
En el cuadrilátero VASI de la figura 209, el ángulo exterior SIM mide lo mismo que el
ángulo VAS, luego VSI =
M
A)
25º
B)
45º
C)
50º
D)
55º
E)
No se puede determinar
I
V
S
25º
fig. 209
A
310.
Sean; P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 y P8 los vértices de un octógono regular, luego el ángulo
formado por los vértices P2P4P8 mide
A)
B)
C)
D)
E)
311.
45º
90º
135º
180º
215º
El cuadrilátero PTRU de la figura 210 está inscrito en la circunferencia de centro O. Si
UPT  2  TRU y PUR  3  PTR , entonces el cuadrilátero es
A)
B)
C)
D)
E)
trapecio
romboide
trapezoide
trapezoide simétrico (deltoide)
trapecio escaleno
T
R
O
fig. 210
U
P
80
312.
En la figura Nº 211, la circunferencia de centro O esta inscrita al triángulo FEG, si M, N y P
son los puntos de tangencia, FM = 5 cm. y NG = 9 cm., entonces FG =
G
A)
B)
C)
D)
E)
14 cm.
10 cm.
7,5 cm.
4 cm.
falta información para determinarlo
P
N
F
313.
fig. 211
M
E
Las cuerdas AB, FC y ED de la figura 212 son paralelas, ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) falsa(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
314.
O
C
EF  FA
DFC 
CAB
DEB 
EBA
B
D
Sólo I
Sólo I y II
Sólo III
I, II y III
ninguna
A
E
F
fig. 212
El triángulo HJK de la figura 213 es isósceles de base HK, si KI = IJ, entonces el arco IK
mide
A)
B)
C)
D)
E)
30º
45º
75º
120º
150º
K
30º
H
I
J
fig. 213
81
315.
316.
317.
En la figura 214 la circunferencia menor es tangente a la mayor en A, si AB es diámetro de
la mayor y contiene al diámetro de la menor, entonces para que AD sea igual a DC, debe
suceder que
(1)
(2)
El radio de la mayor sea igual al diámetro de la menor.
A
El ángulo BAC mida 30º.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 214
C
B
Para que un cuadrilátero este inscrito en una circunferencia debe cumplir con que
(1)
(2)
tenga dos lados paralelos
tenga dos ángulos interiores opuestos suplementarios.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Los puntos A, B, C y D son colineales tales que AB = 6 cm, BC = 2 cm, AC = 8 cm y BD =
1 cm. Dadas estas condiciones, una posible disposición de esos puntos es
A)
B)
C)
D)
E)
318.
D
ADBC
ABCD
ACBD
BACD
BCDA
En un triángulo ABC, los ángulos en los vértices B y C miden 50º y 70º respectivamente.
La bisectriz trazada desde el vértice A, forma con el lado BC dos ángulos que están en la
razón
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
4
5
es
es
es
es
es
a
a
a
a
a
2
3
4
5
6
82
319.
En la figura 215, MN es paralelo a AB, entonces x =
A)
B)
C)
D)
E)
C
25
28
30
18
12
x
30
N
M
10
A
320.
fig. 215
12
B
En la figura 216 los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, AD y A’D’ son bisectrices,
luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
C’
C
D’
D
A
I)
III)
ACB  A 'C'B'
AC
AD

A 'C ' A 'D'
ADC  A 'D'C'
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
I, II y III
ninguna
II)
321.
322.
B
B’
A’
fig. 216
En la figura 217, ABC es semejante con QPR , luego x =
A)
20
7
B)
14
C)
16
D)
22
E)
25
R
C
10
x
Q
A
20
B
8
P
fig. 217
¿En qué razón están las áreas de los triángulos de la figura 217?
A)
B)
C)
D)
E)
25
25
22
22
25
:
:
:
:
:
2
7
1
4
4
83
323.
¿Cuál es el valor de x en la figura 218?
A)
B)
C)
D)
E)
324.
10
1,5
7,5
4,5
6,5
10
x
6
fig. 218
En la figura 219, CONI es un rectángulo, si OT es perpendicular a CN, entonces es falso
16
I
A)
B)
C)
D)
E)
CT : TO = 4 : 1
CN = 4 17
ICN 
TOC
N
T
4
NT : TO = 4 : 1
OT2 = NT · TC
fig. 218
C
325.
O
El diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB, figura 219, si CD = 10, entonces x =
A)
B)
C)
D)
E)
4
6
8
9
10
D
A
2
x
O
B
fig. 219
C
326.
Si un segmento de 24 cm. es dividido interior y exteriormente en la razón 5 es a 1,
entonces la distancia entre los puntos de división interior y exterior es
A)
B)
C)
D)
E)
327.
6 cm.
10 cm.
12 cm.
20 cm.
24 cm.
En un triángulo de lados 5, 12 y 13, la bisectriz del mayor ángulo interior agudo divide al
P

triángulo en dos triángulos de áreas P y Q, si P < Q, entonces
Q
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
5
13
6
13
1
2
7
13
84
328.
Dos circunferencias tienen sus radios en razón 3 es a 2, si la mayor tiene un perímetro de
12 , luego el área de la menor es
A)
B)
C)
D)
E)
329.
36
24
18
16
81
Las dos circunferencias de la figura 220 son tangentes a la recta, si A y B son los puntos de
tangencia y la distancia entre los centros es 15, entonces AB =
B
6
A)
B)
C)
D)
E)
330.
4
8
12
16
18
3
A
fig. 220
En la figura 221, los triángulos ABC y LOC son rectángulos y semejantes, si sus
hipotenusas son AB y LO, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
falsa(s)?
I)
E es punto medio de CB y LO.
II)
(LO + CO)(LO – CO) = AL · LB
III)
El triángulo LEC es equilátero.
C
A)
B)
C)
D)
E)
331.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo III
ninguna
O
E
A
L
B
fig. 221
Si los lados de dos octógonos semejantes están en razón 3 : 5 y el área del menor es 18
cm2, entonces el área del mayor es
A)
B)
C)
D)
E)
5 cm2
15 cm2
30 cm2
50 cm2
75 cm2
85
332.
En la figura 222, L 1 //L 2 //L 3 luego x mide
A)
B)
C)
D)
E)
333.
L1
2
L2
12
3
fig. 222
L3
x
Si la sombra generada por un árbol es 12 m. y por un poste cercano a el es 8 m., entonces
sus alturas pueden ser
A)
B)
C)
D)
E)
334.
8
10
16
18
15,5
20
árbol
36 m.
24 m.
48 m.
15 m.
10 m.
poste
16 m.
8 m.
24 m.
10 m.
6 m.
En la figura 223, PELO y CUAL son cuadrados, las medidas de sus lados son 4 cm. y 3 cm.
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?
I)
II)
III)
PL es perpendicular a LU
Los perímetros de los triángulos PEL y LUA están en razón 4 : 3
El área del triángulo LOP es al área cuadrado CUAL como 16 es a 9
L
O
A
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo III
I, II y III
ninguna
C
P
U
E
fig. 223
335.
ABCD es paralelogramo, N es el punto de intersección de los segmentos AM y DB, si M es
punto medio de DC y AN = 16 (figura 224), entonces MN =
D
M
A)
4
B)
6
C)
8
D)
10
E)
Falta información para determinarlo
C
N
16
A
B
fig. 224
86
336.
En la figura 225 AT es bisectriz del ángulo BAC, luego AB =
A)
30
B)
28
C)
26
D)
24
E)
22
T
fig. 225
6
B
En el rectángulo ARTE de la figura 226, RM es perpendicular a la diagonal AT, si RT =
1,3 m. y TM = 0,5 m., entonces la menor distancia que hay entre el vértice E y la diagonal
AT es
E
A)
B)
C)
D)
E)
338.
8
40
A
337.
C
12 m.
1,2 m.
0,12 m.
1 m.
0,8 m.
T
M
A
fig. 226
R
Los cuadriláteros ABCD y BEFG son rectángulos, el triángulo ABF es isósceles de base AF,
GD es perpendicular a AF, si AD : DC = 1 : 4, entonces ¿en qué razón están las áreas de
los rectángulos ABCD y BEFG? (figura 227)
F
C
D
G
A)
B)
C)
D)
E)
339.
1 : 16
15 : 16
17 : 16
5:4
A
ninguna de las anteriores
E
B
fig. 227
En la figura 228 CD es diámetro de medida 26, entonces el coseno del
B
A)
B)
C)
D)
E)
5
13
12
13
1
2
3
2
ABC es
D
A
24
C
fig. 228
no se puede obtener pues ABC no es rectángulo
87
240.
¿En qué triángulo el coseno de un ángulo y el seno del mismo ángulo son iguales?
A)
B)
C)
D)
E)
341.
B)
C)
D)
E)
343.
un triángulo de 30º, 60º y 90º
un triángulo rectángulo escaleno
un triángulo equilátero
un triángulo rectángulo isósceles
ningún triángulo
En la figura 229, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces
ER =
T
E
A)
342.
en
en
en
en
en
5
5
3
3
5
5
4
ninguna
R
A
fig. 229
Un segmento está dividido en razón áurea si:
(1)
(2)
su medida se expresa con una raíz cuadrada de cinco.
si el mayor trozo es media proporcional.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura desde el ángulo recto y esta divide a la
hipotenusa en dos segmentos en razón 1 : 3, entonces para determinar la hipotenusa si
(1)
(2)
El cateto mayor mide 12
La altura es múltiplo de 3
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
88
344.
¿Cuál es el volumen de un prisma de base cuadrada de área 25 cm 2 y sus caras laterales
son rectángulos de perímetro 40 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
345.
Una esfera está inscrita en un cubo. ¿Cuál es la razón entre el área de la esfera y el área
del cubo?
A)
B)
C)
D)
E)
346.
1.000 cm3
500 cm3
400 cm3
375 cm3
200 cm3
2
3

6
4
3

12
8
3
En la figura 230, ABCDEFGH es paralelepípedo recto, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
H
347.
I)
II)
III)
MN // FB
MN // BE
AH // BG
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
M
F
E
D
A
G
N
C
B
fig. 230
La figura 231 muestra un paralelepípedo recto de base cuadrada inscrito en un cilindro, ¿en
qué razón está el volumen del paralelepípedo y el cilindro?
A)
B)
C)
D)
E)

2

4

8
2

8

fig. 231
89
348.
¿Cuál es el área total de una pirámide de base cuadrada de arista 4 cm. y cuyas caras
laterales son triángulos equiláteros?
A)
B)
64 cm2
C)
16  12 3 cm2
D)
16  16 3 cm2
32
2 cm2
3
E)
349.
16  4 3 cm2
Al rotar el trapecio ABCD respecto a la recta L, ¿qué cuerpo representa mejor el volumen
L
engendrado?
A)
D)
350.
C)
B)
E)
¿Cuál de las rectas en la figura 232, no sería eje de simetría?
O
A)
L
P
N
B)
M
M
C)
N
L
D)
O
E)
P
fig.232
90
351.
Al respecto de polígonos regulares se hacen las siguientes afirmaciones:
I)
Los polígonos de una cantidad par de lados tienen por ejes de simetría las
diagonales que son bisectrices y las rectas que pasan por los puntos medios de los
lados opuestos.
En los pentágonos no hay eje de simetría que contenga a los puntos medios de los
lados.
El hexágono tiene igual cantidad de ejes de simetría que lados.
II)
III)
Es(son) falsa(s):
A)
B)
C)
D)
E)
352.
Solo I
Sólo II
Sólo III
I. II y II
ninguna
¿Cuál de las alternativas representa mejor la reflexión de la figura principal respecto a L?
L
A)
B)
C)
L
L
L
D)
L
353.
E)
L
El punto de coordenadas (1,2) se traslada 5 unidades a la derecha horizontalmente y luego
se le refleja con respecto al origen (0,0), resultando el punto
A)
B)
C)
D)
E)
(-6,-2)
(-2,-6)
(-6,2)
(2,-6)
(6,2)
91
354.
La figura 233 muestra una mesa de billar, B es el punto medio entre la bola 2 y M, C es el
punto medio entre la bola 1 y N, si queremos que la bola 1 choque a la bola 2 y no existe
ningún efecto, en que puntos del borde puede rebotar para lograr el impacto
M
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
en
en
en
en
en
A
B
E
C
A y en D
A
B
2
1
E
D
fig. 233
C
N
355.
El paralelogramo 1 de la figura 234 se ha transformado, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
El paralelogramo 2 es una reflexión de 1 respecto al eje y.
El paralelogramo 3 es una reflexión del 2 respecto al eje y.
El paralelogramo 3 es una rotación de 180º respecto al punto (0,0) del
paralelogramo 1
y
A)
Sólo I
B)
Sólo II
C)
Sólo III
D)
Sólo I y III
E)
I, II y III
2
1
2
-2
2
x
-2
3
356.
fig. 234
¿Con cuál de las siguientes figuras no se puede teselar el plano?
A)
B)
C)
D)
E)
triángulo equilátero
triángulo escaleno
cuadrado
trapecio isósceles
dodecágono regular
92
357.
358.
Un patio rectangular se desea embaldosar, si dicho patio tiene medida de 2 m. por 3 m.,
entonces se podrá embaldosar con
I)
II)
III)
Baldosas cuadradas de 50 cm. de lado.
Baldosas de rectangulares de 1 m. por 1,5 m.
Baldosas cuadradas de 75 cm. de lado.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo III
I, II y III
Las tres figuras siguientes se generan de polígonos regulares (líneas punteadas), en las
cuales se ha modificado cada lado con la misma figura. ¿En cuál(es) de ellas se genera(n)
una baldosa que tesela el plano?
II)
I)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
359.
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
Un hexágono regular se puede teselar con un triángulo equilátero si
I)
II)
El lado del triángulo es igual al del hexágono.
La medida del lado del triángulo es un divisor de la medida del lado del hexágono.
3
III)
La medida del lado del hexágono es
de la medida del lado del triángulo.
4
¿Con cuál(es) de las condiciones es posible la teselación?
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I o II
I o II o III
93
360.
Una muralla rectangular se la quiere cubrir con azulejos triangulares, estos azulejos son
triángulos rectángulos. El maestro no puede cortar los azulejos, entonces para poder cubrir
la muralla estos deben cumplir con
I)
361.
II)
III)
Ser triángulos rectángulos isósceles de lado igual al máximo común divisor del largo
y ancho de la muralla.
Un cateto debe ser divisor del ancho y el otro cateto divisor del largo.
Un cateto debe ser el doble del otro.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I o II
I o II o III
Si un cuadrado cuyos vértices son; (1,1), (1,3), (3,1) y (3,3), se rota 90º respecto al
origen (0,0), entonces las coordenadas de la intersección de las diagonales del cuadrado
transformado son
A)
B)
C)
D)
E)
362.
363.
(-2,2)
(2,-2)
(-3,3)
(3,-3)
ninguna de las anteriores
Si una esfera está inscrita en un cilindro, entonces podemos conocer el volumen de la
esfera si
(1)
(2)
conocemos el volumen del cilindro
conocemos el radio del cilindro
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Se desea embaldosar un piso cuadrado de un baño, si disponemos de varios tipos de
baldosas cuadradas, ¿cuál debemos escoger para no cortar ninguna de ellas?
(1)
(2)
aquella que su lado sea divisor del lado del baño
aquella cuyo lado es el más grande
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
94
364.
El segmento AM se ha dividido interiormente como lo muestra la figura 235, ¿cómo se debe
desplazar N para que la razón entre AN y NM se invierta?
A)
B)
C)
D)
E)
365.
366.
367.
4
4
2
2
8
cm.
cm.
cm.
cm.
cm.
hacia
hacia
hacia
hacia
hacia
la
la
la
la
la
derecha
izquierda
derecha
derecha
izquierda
12 cm.
8 cm.
A
N
M
fig. 235
En el triángulo MNP de la figura 236, RTP  MNP , NP = 10, TR = 2, MN = 5, MT = 7 y
PT = 4, si RN = x, entonces la proporción que permite encontrar RN es
P
A)
2
x

5 10
B)
5
x

2 10
C)
10  x 11

10
4
D)
10  x 2

11
5
E)
10  x 10

11
4
T
R
fig. 236
M
N
Las caras del cubo de la figura 237, están sobre los planos xy, yz y zx, las coordenadas del
punto A son (0,2,0), luego la distancia entre los vértices B y C son
z
A)
3
B)
2 2
C)
3 2
D)
2 3
E)
4
C
A
B
y
x
fig. 237
En la circunferencia de centro O de la figura 238, AE // CD, AB y CD son diámetros, si
AEC  20º , entonces BOD 
E
D
A)
B)
C)
D)
E)
20º
40º
60º
70º
90º
A
O
B
fig. 238
C
95
368.
369.
En la circunferencia de centro O de la figura 15, AE = EO = OF = FB, si CF = 2, ¿cuál es el
C
área del círculo?
A)
16

3
B)
4

3
E
O
C)
D)
3
E)
falta información para determinar el área
F
B
4
D
fig. 239
Una caja de zapatos se desea forrar completamente, si las medidas de las aristas son; 20
cm., 30 cm. y 40 cm., entonces ¿cuál es área a forrar?
A)
B)
C)
D)
E)
370.
A
5.200 cm2
2.400 cm2
3.000 cm2
2.800 cm2
Ninguna de las anteriores
El cuadrado de la figura 240 tiene un área de 121 cm 2, E es el centro del cuadrado,
GEF
= 90º y FC = 3. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero GEFC?
A
371.
A)
18 cm2
B)
25,5 cm2
C)
81 cm2
D)
62
1
cm2
8
E)
30
1
cm2
4
B
E
F
D
G
C
fig. 240
En la figura todos los puntos están separados horizontal y verticalmente 1 cm., si los
puntos A y B son los vértices de un triángulo isósceles, entonces ¿cuántos de los puntos
dibujados pueden ser el tercer vértice del triángulo?
A
A)
B)
C)
D)
E)
7
6
5
4
3
B
fig. 241
96
372.
Si definimos como ejes de simetrías principales a aquellos que unen dos vértices opuestos
y los denominamos con la letra “a” y a los ejes de simetrías que unen los puntos medios de
lados opuestos los nombramos como ejes secundarios y los denominamos por “b”. Si
aparecen tantas letras como ejes de simetría, entonces a que figura corresponde (a,a,b,b)
A)
B)
C)
D)
E)
373.
un
un
un
un
un
rectángulo
rombo
trapecio isósceles
cuadrado
deltoide
En la figura 242, PATO es cuadrado, EF y NM son paralelas a los lados del cuadrado, si los
cuadriláteros achurados son cuadrados, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
Los perímetros de los cuadriláteros achurados y no achurados son iguales.
El área achurada corresponde a la mitad del cuadrado PATO.
El perímetro de los cuadriláteros achurados es igual al del cuadrado PATO.
T
O
N
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
F
E
fig. 242
P
374.
375.
A
M
En el rectángulo de la figura 243, AC = 2·BC, si AC = 4 cm., entonces el área del
rectángulo es
C
D
A)
4 cm2
B)
2 3 cm
C)
D)
8 cm2
16 cm2
E)
4 3 cm
2
2
A
B
fig. 243
En la circunferencia de centro O de la figura 244, MN  PQ, luego ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
P
I)
II)
III)
Los arcos QN y NP son iguales.
M dimidia al arco PQ.
OQ = QN
M
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
N
O
Q
fig. 244
97
376.
El hexágono KASPER de la figura 245 es regular, luego ¿cuál(es) de las siguientes
P
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
E
I)
II)
III)
ULTIMO es hexágono regular.
El triángulo TIP es equilátero.
Los triángulos KER y PIE son semejantes.
IV)
El área del RIE es
A)
B)
C)
D)
E)
377.
R
2
del área del KAS .
3
T
O
L
S
U
Sólo I y II
Sólo II y III
Sólo I, II y III
Sólo I, II y IV
todas
K
A
fig. 245
Si un segmento se divide en una razón 3 : 8 y tiene por medida un número entero de cm.,
entonces ¿cuál de las alternativas siguientes es siempre verdadera?
A)
B)
C)
D)
E)
378.
I
M
la
la
el
el
la
medida de todo el segmento es múltiplo de 11
medida del segmento termina en cifra par
trazo mayor es múltiplo de 5
segmento queda dividido aéreamente
menor medida de todo el segmento es 8 cm.
El pentágono BLIGE es inscrito en la circunferencia de centro O, figura 246, luego la suma
de las medidas de los ángulos LIG y GEB es
G
A)
B)
C)
D)
E)
150º
185º
190º
210º
250º
60º
B
379.
I
O
E
fig. 246
L
En la figura 247, los triángulos ABC y ADE son rectángulo en B y D respectivamente, si BE
es perpendicular a AC, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se verifican?
I)
II)
sen DAE  sen BED
III)
tg AED  tg EBA
A)
B)
C)
D)
E)
todas
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
ninguna
C
E
cos EBD  sen CBE
A
D
B
fig. 247
98
380.
Los vértices de un rectángulo son A(0,0), B(3,0), C(3,2) y D(0,2), si el rectángulo se rota 90º respecto del vértice C, entonces las coordenadas del nuevo vértice D son
A)
B)
C)
D)
E)
381.
(3,5)
(1,5)
(3,-1)
(-2,0)
(1,2)
¿Con cuál(es) de las siguientes piezas se puede teselar el rectángulo grande?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
382.
III)
II)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
En la circunferencia de la figura 248, F es el punto medio del arco DA, ¿cuánto mide el
ángulo FGA?
D
C
A)
B)
C)
D)
E)
30º
35º
40º
50º
10º
20º
G
E
F
50º
A
B
fig. 248
99
383.
La figura 249 es un paralelepípedo recto de aristas 3 cm., 4 cm. y 5 cm., luego su diagonal
mide
A)
B)
C)
D)
5 2 cm.
5 cm.
5
41 cm.
25 cm.
E)
34 cm.
fig. 249
4
3
384.
La pirámide de la figura 250 tiene base cuadrada y una de las caras en el plano xz, si las
coordenadas de A es (2,2,0) y las del vértice B son (1,0,2), entonces el volumen de la
z
pirámide es
A)
8
3
B)
C)
D)
E)
4
8
6
3
B
fig. 250
y
A
x
385.
En el triángulo LON está inscrito el rombo VANE, figura 251, si LN = 12 m, LO = 8 m y
ON = 6 m, entonces el lado del rombo mide
N
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
8
m
m
m
m
m
E
A
fig, 251
L
V
O
100
386.
387.
El triángulo ABC está formado por los puntos A(8,3), B(4,1) y C(-5,4). ¿Cuál es la medida
de la altura que llega al lado AB?
A)
3 5
B)
5 5
C)
7 5
D)
4 5
E)
2 5
El segmento AB de la figura 252 se ha dividido interiormente y exteriormente en la razón 3
: 2,los puntos de división interior y exterior son E y E’, si AB = 5, entonces EE’ =
A)
B)
C)
D)
E)
388.
A
E
E’
B
fig. 252
Una pirámide tiene su base cuadrada de lado 12 cm. y su altura de 8 cm. llega al punto de
intersección de las diagonales del cuadrado. ¿Cuál es la suma de las áreas de todas sus
caras laterales?
A)
B)
C)
D)
E)
389.
8
12
20
48
60
30 cm2
40 cm2
60 cm2
120 cm2
240 cm2
Al reflejar el cuadrilátero sombreado respecto del punto O, se obtiene
O
A)
B)
D)
C)
E)
101
390.
391.
En una circunferencia se a inscrito un cuadrado, los arcos AB, BC, CD y DA se han reflejado
respecto de los lados respectivos del cuadrado, generando la figura 253, si el área de la
circunferencia es x y la del cuadrado es y, entonces el área achurada es
A)
x–y
B)
2x – y
C)
2x – 2y
D)
2y – x
E)
3x – y
D
C
A
B
fig. 253
El rectángulo CATO de la figura 254, tiene por medidas de lados 4 cm. y 2 cm., los
triángulos TIA y TON son equiláteros, luego NI mide
A)
B)
2 cm.
2 3 cm.
C)
2 5  2 3 cm.
D)
4 2  3 cm.
E)
otro valor
T
O
I
fig. 254
A
C
N
392.
El triángulo ABC de la figura 255 es equilátero, si AM = MB = 5 y CD = 6, entonces AE =
A)
76
11
B)
77
11
C)
78
11
D)
79
11
E)
80
11
A
M
B
E
D
C
fig. 255
102
393.
En un trapecio sus bases miden 4 y 6 cm., sus diagonales se intersectan de manera los
menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3 cm. La medida de la
diagonal mayor es
A)
B)
C)
D)
E)
394.
3 cm.
4 cm.
4,5 cm.
5 cm.
7,5 cm.
El triángulo ABO es rectángulo en O, OA = a y OB = b, si AP = PQ = QB = x (figura 256),
entonces x =
O
A)
ab  a  b
B)
a  b  2ab
D)
a  b  2ab
E)
ab  a  b
A
B
fig. 256
En la figura 257, el triángulo SET es equilátero de lado 8, TU es altura, si R es punto medio
de TU, entonces ER =
T
A)
396.
Q
a2  b2
C)
395.
P
1
2
B)
3
2
C)
7
D)
2 7
E)
2
2
R
S
E
U
fig. 257
La figura 258, muestra una barra rígida AB apoyada sobre un triángulo equilátero de lado 1
m, si AP = 1,2 m. y PB = 1,8 m., entonces cuando el extremo B toca el piso, ¿a qué altura
del piso queda el extremo A?
B
A)
B)
3 m.
3
3
m.
C)
6 3
m.
5
D)
5 3
m.
6
E)
2 2 m.
P
A
fig. 258
103
397.
398.
El ángulo interior distinto de un triángulo isósceles mide 120º, si el lado mayor mide 12
cm., entonces el perímetro del triángulo en centímetros es
A)
B)
36
18
C)
4(2 3  3)
D)
4( 3  12)
E)
2( 3  6)
El trapecio de la figura 259 tiene una altura 4, ¿cuál es la diferencia de las áreas de los
triángulos achurados?
3
A)
B)
C)
D)
E)
399.
fig. 259
5
Con 4 palitos de fósforos se forma un cuadrado de a cm2 y p cm. de perímetro. Si a + p =
21, entonces la medida de cada palito es
A)
B)
C)
D)
E)
400.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
cm.
cm.
cm.
cm.
cm.
Las tres circunferencias de la figura 260 son tangentes entre sí, la cuerda AB es tangente a
las dos circunferencias menores y mide t, si r es el radio de la mayor, entonces el área
achurada es igual a
A
A)
r2
8
B)
rt
8
C)
t2
8
D)
(t  r)2
8
E)
ninguna de las anteriores
B
fig. 260
104
401.
Un trapecio isósceles tiene su base mayor igual a 6 cm. y altura 2 cm. Una circunferencia
tiene por radio la base menor del trapecio. Si el área del trapecio es igual al 62,5· 1 % del
área de la circunferencia, luego el perímetro del trapecio en cm es
A)
6 6
B)
6 5
C)
5 5
D)
2(6  6)
E)
2(5  5)
Sixto Maulén y Savane Emegu
2011
105
RESPUESTAS
Nº Ejerc.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Clave
A
D
D
A
D
B
D
B
D
E
D
C
C
B
C
A
B
D
D
C
B
C
B
A
B
C
D
D
A
A
D
C
B
B
B
E
A
B
D
C
Nº Ejerc.
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
Clave
A
A
A
B
E
D
B
E
A
C
D
C
D
C
B
D
E
C
D
B
B
E
C
A
E
A
E
C
C
D
A
B
E
B
B
A
A
B
E
B
Nº Ejerc.
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
Clave
B
D
E
D
C
A
B
C
A
A
A
E
D
A
B
C
C
C
A
C
D
D
A
A
C
A
B
E
E
B
B
D
A
B
D
C
A
D
E
A
Nº Ejerc.
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
Clave
D
A
D
E
E
E
B
E
E
E
C
B
E
C
C
B
B
B
E
B
D
E
E
C
D
C
E
E
C
C
E
E
D
E
B
B
C
A
E
A
106
Nº Ejerc.
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
Clave
D
D
E
E
D
E
D
C
A
C
C
B
D
A
D
C
B
D
E
E
E
E
C
D
B
C
C
D
E
A
C
A
A
D
B
D
D
C
A
D
Nº Ejerc.
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
Clave
D
D
E
B
E
D
C
D
C
C
A
C
A
D
C
C
B
D
D
A
D
A
D
D
D
A
A
E
D
D
E
D
C
B
B
D
C
D
E
A
Nº Ejerc.
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
Clave
E
C
C
B
D
C
A
C
C
E
E
D
C
A
B
D
C
A
B
E
E
E
B
C
A
C
B
B
A
C
C
B
A
C
C
B
D
E
A
B
Nº Ejerc.
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
Clave
D
A
E
E
E
D
C
E
E
C
C
D
C
A
D
E
B
C
B
A
E
B
D
D
D
C
C
C
A
A
C
A
B
E
A
B
A
D
A
D
107
Nº Ejerc.
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
Clave
E
E
C
D
A
B
B
D
C
D
D
C
D
C
C
A
A
C
B
D
B
E
A
D
B
D
D
D
A
B
B
C
A
E
D
E
C
D
D
D
Nº Ejerc.
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
Clave
A
D
A
B
D
D
B
A
A
E
A
D
D
E
D
E
A
A
A
C
D
A
A
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C
A
B
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A
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C
E
E
B
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C
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C
C
E
108