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Eje temático: Álgebra y funciones
Contenidos: Raíces cuadradas y cúbicas - Racionalización – Ecuaciones
irracionales.
Nivel: 3° Medio
Raíces
1. Raíces cuadradas y cúbicas
Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta:
Si el área de un cuadrado es 64 cm2, ¿cuál es la medida de su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número que multiplicado por sí
mismo dé cómo resultado 64. Este número se denomina raíz cuadrada de 64 y
es 8.
Y si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número que multiplicado por sí
mismo dé 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es
aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que:
se cumple solo si x > 0, ya que si
Por otro lado, la igualdad:
, esto no es igual a -3, porque el resultado de la multiplicación
tenemos
de dos números negativos es un número positivo.
Por lo tanto:
Para cualquier valor real de x.
¿Existe, entonces, la raíz cuadrada de un número negativo? Y si existe, ¿cómo
, a es negativo, entonces la raíz no es un número
se calcula? Si en la raíz:
real, y se debe determinar como un número imaginario.
Por ejemplo:
siendo
.
Las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en los números
reales y aunque en algunas calculadoras científicas al tratar de calcularlas
aparece ERROR, esto significa que no tiene valor en R (reales) porque es un
número imaginario.
Y si el volumen de un cubo es 64 cm3, ¿cuál es la medida de su arista?
Para responder esto debemos encontrar un número que multiplicado por sí
mismo tres veces, sea 64. Este número se denomina raíz cúbica de 64 y es 4,
puesto que 4 · 4 · 4 = 64.
Por lo tanto, si la raíz es cúbica, tenemos que:
En este caso, si a es negativo, entonces b resulta ser también negativo, porque
el resultado de la multiplicación de tres números negativos será otro negativo.
Por otro lado, si a es positivo, b también será positivo, debido que al
multiplicar tres números positivos, el resultado tendrá signo positivo.
Por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.
Definiendo en forma general:
2. Raíces y potencias de exponente fraccionario
La raíz de número se puede definir también mediante una potencia de
exponente fraccionario:
Donde n es el índice de la raíz, y m el índice de la cantidad sub radical.
Como vimos anteriormente, cuando no aparece n (índice de la raíz) se
entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).
Esta definición está sujeta a las siguientes restricciones:
- Las raíces de índice par están definidas solo para números reales
positivos.
- Las raíces de índice impar están definidas para todo número real.
Debido a que las raíces pueden convertirse en potencias de exponente
fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias.
3. Propiedades de las raíces
1. Multiplicación de raíces de igual índice
ya que
2. División de raíces de igual índice
ya que
3. Raíz de raíz
n m
a=
nm
⎯→
a⎯
n m
⎛
a = ⎜⎜ a
⎝
1
m
1
n
1
⎞
nm
⎟ = a = nm a
⎟
⎠
4. Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice
ya que
5. Propiedad de amplificación
ya que
6. Ingreso de un factor dentro de una raíz
ya que
Además :
ya que 0 n = 0 ;
y
ya que 1n = 1
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de
que las raíces estén definidas en los números reales. (recuerda la restricción
que si el índice es par entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual
que 0)
4. Operatoria con raíces
1. Adición y sustracción de raíces semejantes
Las raíces cuyo resultado no es un número entero representan números
irracionales, (números decimales infinitos no periódicos), por lo que se calculan
de manera aproximada.
Su expresión en forma de raíz representa al número irracional completo
considerando esta raíz como un símbolo.
Es por eso que para sumar o restar expresiones con raíces, se deben trabajar
como expresiones algebraicas, es decir, solo podemos reducir aquellas que son
semejantes.
Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical;
son términos con raíces semejantes y se pueden
por ejemplo,
sumar y/o restar.
Recuerda que se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el
literal, en este caso la raíz inexacta Î
En el caso de sumar o restar raíces no semejantes, se deben descomponer las
cantidades subradicales para convertirlas (si es posible) a raíces semejantes.
Ejemplo:
Se descomponen las cantidades subradicales en forma conveniente, de modo
que uno de los factores debe ser un número cuadrado perfecto:
Observa que las raíces cuadradas exactas corresponden a los cuadrados
perfectos {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, …n2}
2. Multiplicación y división de raíces de igual índice
En este caso aplicamos las propiedades (1) y (2) de las raíces,
descomponiendo las cantidades subradicales:
.
Ejemplo:
1)
Multiplicación:
*
*
2)
División:
*
*
3. Multiplicación y división de raíces de distinto índice
En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar
índices y luego las propiedades (1) y (2).
Ejemplo:
Observa que el mínimo común múltiplo entre los índices es seis, entonces
podemos amplificar igualando los índices a 6:
4. Multiplicación de polinomios con raíces
Como las raíces inexactas se consideran como símbolos literales, podemos
ejemplificar productos notables
Ejemplo:
*
*
(
)
(
2
2
3 + 5 2 = ⎛⎜ 3 + 2 3 5 + 5 ⎞⎟ = 3 + 2 15 + 5 = 8 + 2 15
⎝
⎠
2
2
2
8 − 2 = ⎛⎜ 8 − 2 8 2 + 2 ⎞⎟ = 8 − 2 16 + 2 = 10 − (2 × 4 ) = 2
⎝
⎠
)
*
Observa que el producto de la suma por su diferencia, siempre que tengas
raíces cuadradas, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado
del segundo término; por tanto, tenemos que el cuadrado de una raíz cuadrada
siempre será un número racional (sin raíces).
5. Racionalización
Se debe racionalizar una expresión fraccionaria si el denominador contiene
alguna expresión radical. El método consiste en eliminar las raíces que se
encuentran en el denominador de una fracción mediante la amplificación de
modo conveniente para que en el denominador se pueda extraer totalmente la
raíz.
Analicemos los casos más importantes:
Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador:
¿Cómo racionalizar la fracción
Si amplificamos la fracción por
2
?
, entonces el denominador quedará igual a
Por lo tanto tenemos que:
Caso 2: Raíces cuadradas en el denominador, con adiciones y
sustracciones.
Ejemplo: Racionalicemos la fracción
En este caso, amplificamos la fracción por
denominador una suma por su diferencia:
para formar en el
Caso 3: Una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones ni
sustracciones.
Ejemplo: Racionalizar:
con el objetivo de
En este caso, debemos amplificar la fracción por
obtener una raíz cúbica exacta. (Recuerda que los cubos perfectos son: {1, 8,
27, 64, 125, 216, …, n3}
6. Orden de expresiones radicales
Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar
fracciones que tengan raíces en el denominador.
Ejemplo:
Ordenar de menor a mayor las fracciones x, y, z:
Racionalizamos cada una de las fracciones:
De lo anterior se deduce que: y < x < z,
1)
puesto que y = x – 1
z = 3(x +
7. Ecuaciones irracionales
Una ecuación irracional es una ecuación que tiene la incógnita en alguna
cantidad subradical. Para resolverla se deben eliminar las raíces que
aparezcan. Después de obtenido el valor de la incógnita, se debe comprobar
reemplazando el valor obtenido en la ecuación original.
Ejemplo 1:
Calcular el valor de la incógnita x en :
Para resolver la ecuación, primero elevamos al cuadrado ambos lados de la
ecuación para eliminar la raíz exterior:
Comprobando en la ecuación original, tenemos:
Por lo tanto x = 5 es la solución de la ecuación.
Ejemplo 2:
Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Comprobando en la ecuación original, se obtiene:
es una igualdad verdadera puesto que 2 – 2 = 0.
Lo que es correcto, por lo tanto x = 3 es la solución de la ecuación.