Download Importante: El denominador del exponente es el índice del radical y

Unidad 2: Exponentes y radicales
II. Radicales
1. Raíces cuadradas
Elevar al cuadrado un número es usar el número como factor dos veces. Por ejemplo:
4 2  4  4  16 . La operación inversa de elevar al cuadrado es extraer o hallar la raíz
cuadrada. O sea, que la raíz cuadrada de 16 es 4.
1
2
En la lección anterior vimos ejemplos como 16  4 . Quiere decir que elevar a la
1
es
2
1
2
equivalente a determinar la raíz cuadrada. Por lo tanto 16 se puede expresar como 16.
El símbolo
n
b se le llama radical y la expresión adentro del radical se le llama radicando
y el número afuera del radical el índice. Cuando el índice es dos lo podemos omitir.
1
En general, b n  n b , n natural mayor o igual que 2.
Se lee la raíz n-ésima de b.
Cambiar de forma de potencia a forma radical.
Ejemplos:
1
1) a 2  a
1
2)  xy  3  3 xy
2
3
3) 5  3 5 2  3 25
1
 x 2
4)   
2
Importante:
El denominador del exponente es el índice del
radical y el numerador del exponente es la
potencia de la base.
x
2
1
5) a  b  4  4 a  b
1
6) 3x 2  3 x
El exponente solo afecta a la variable, por lo
tanto, solo ella está en el radical.
Compara el ejemplo #2 con el #6. ¿Son iguales?
También es importante poder hacer la conversión de forma radical a forma de potencia.
Ejemplos:
1
x  x2
1)
Importante:
El índice es el denominador del exponente.
1
2)
4
3 p  3 p  4
3)
3
x x
2
2
3
1
a  a 2
 
b b
4)
5)
7
1
( x  y)  x  y  7
En esta lección vamos a buscar la raíz cuadrada. Las raíces que no sean exactas solo
vamos a determinar entre qué número se encuentran. En la siguiente lección veremos
como se buscan raíces que no son cuadradas.
Por ejemplo:
1
1) 4 2  4  2
1
2) 16 2  16  4
1
2
3)  9   9  3
1
4)  9  2   9
No es un número real.
Importante:
Es importante señalar:
1. Le podemos buscar la raíz cuadrada a un número positivo. En el ejemplo 3 la
base es positiva, el exponente solo afecta al 9. En el ejemplo 4, el exponente afecta a todo
lo del interior del paréntesis, quiere decir que la base es negativa.
2. Todo número tiene dos raíces, no necesariamente exactas. Una positiva y otra
negativa. Cuando escribimos
se indica la raíz negativa.
b , estamos hablando de la positiva. Observa el ejemplo 3,
1
Ya vimos que a 2  a . Ya viste la relación que hay entre los exponentes racionales y
los radicales. Ahora veremos algunos ejemplos para determinar la raíz cuadrada.
Ejemplos:
81
1)
Una forma de razonar el problema es buscar un
número que multiplicado por sí mismo sea 81.
¿Qué número multiplicado por el mismo, el resultado es 81?
9  9  81 Quiere decir que la raíz cuadrada de 81 es 9.
81  9
2)
36 Otra forma de razonar el problema es utilizando los números primos. En este
caso 36 = 2  2  3  3 . Si todos sus factores quedan en pareja, es que tiene raíz exacta. Esta
forma es conveniente cuando tenemos números muy grandes. Observa que el factor 2 está
dos veces y el factor 3 está dos veces. Están en parejas. Por lo tanto tiene raíz exacta.
¿Cuál es la raíz? Escoge uno de cada pareja y multiplícalos. En este caso 2 x 3 = 6
36  6
La raíz de 36 es 6.
3)
225 En este caso tal vez sea un poco más complicado pensar en dos números que
multiplicados sea 225. Sin embargo, si buscamos sus factores primos podremos
determinar si tiene raíz exacta o no y cual es.
225 Divide entre 5 porque termina en 5.
5
45
5
El 5 es primo, pero el 45 no.
9
El 5 es primo, pero el 9 no.
3
3
Quiere decir que 225 = 3  3  5  5 ¿Hay parejas? El 225 tiene raíz exacta.
¿Cuál es? 3  5  15
225  15
4)
90
Los factores primos para 90 son 2  3  3  5 ¿Tiene raíz exacta?
El 90 NO tiene raíz exacta. Observa que sus factores primos no están en parejas. Hay una
pareja, pero no están todos en pareja.
Los factores primos los utilizamos como una ayuda para poder decidir si un número tiene
raíz exacta.
Una buena aproximación para la raíz de 90 la podemos buscar con una calculadora. Por el
momento solo nos interesa saber entre que número está. ¿Cómo? Busca un número que
tenga raíz exacta antes de 90. Si el 81. Su raíz es 9. Luego busca un número que tenga
raíz exacta después de 90. Si el 100. Su raíz es 10.
Quiere decir que la raíz de 90 está entre 9 y 10. Si utilizas una calculadora para
determinar una buena aproximación de la raíz de 90, vas a ver un número decimal entre 9
y 10.
5) ¿La 150 es un número entre 12 y 13? ¿Por qué?
12  12  144
13  13  169
Como el 150 se encuentra entre 144 y 150 su raíz está entre 12 y 13.
6)
x2
Recuerda que los radicales surgen de las potencias racionales. Solo para explicarte lo que
ocurre, vamos a utilizar potencias racionales.
La
 
x  x
2
1
2 2
2
2
 x  x . El resultado, x, surge de la división entre el exponente de x y
el índice. 2  2  1 , el exponente del resultado es 1.
Así,
a 8  a 4 , porque 8  2 = 4.
Para extraer raíces cuadradas de con variables:
Primero: si el exponente es par, solo divide el exponente entre el índice.
Segundo: si el exponente es impar, lo veremos en la lección de simplificar
radicales.
7) ¿La 196 es exacta? Si no lo es, ¿entre qué números está?
8) Halla
p 10 :
Más información en:
http://profjserrano.wordpress.com/exponentes-racionales-y-radicales/
http://tutormatematicas.com/ALG/Radicales_exponentes_racionales.html
http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/3_eso/Potencias/Potencias33.htm