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Aplicaciones continuas entre espacios topológicos
Carlos S. Chinea
Aplicaciones continuas entre espacios
topológicos
Introducción:
En lo que sigue intentaremos establecer la idea de función continua entre espacios
topológicos, considerando que toda aplicación del espacio topológico ( A, TA ) en el
espacio topológico ( B, TB ) induce aplicaciones entre los conjuntos de las partes de
−1
ambos espacios, f : p ( A) → p ( B ) y f : p ( B ) → p ( A) que conservan las uniones,
las intersecciones y la diferencia de partes:
∀M k ∈ P( B), ∀N k ∈ P( A), k ∈ K :


f −1  U M k  = U f −1 (M k )
 k ∈K
 k ∈K


f −1  I M k  = I f −1 (M k )
 k ∈K
 k ∈K
−1
f (M k − M j ) = f −1 (M k ) − f −1 (M j )
(
)
f f −1 ( M k ) ⊆ M k


f  U N k  = U f ( N k )
 k ∈K  k ∈K


f  I N k  = I f ( N k )
 k ∈K  k ∈K
f (N k − N j ) = f ( N k ) − f (N j )
N k ⊆ f −1 ( f ( N k ) )
Será obvia también la coincidencia de la idea de aplicación continua entre espacios
topológicos con la misma noción que manejamos en el análisis matemático
elemental. Para ello, recordemos algunas ideas básicas, muy resumidas, de la
topología.
- Topología en un conjunto X:
Es toda familia Tx de partes de X que verifica tres condiciones:
1_Que pertenezcan a Tx el conjunto vacío y el mismo X,
2_Que la unión de un número (finito o infinito) de elementos cualesquiera de
Tx, sea también un elemento de Tx,
3_Que la intersección de un número finito de elementos de Tx sea un elemento
de Tx.
Los elementos de Tx se denominan abiertos de X con respecto a esta topología.
Los cerrados de X con respecto a la topología Tx son los complementarios de los
abiertos.
- Base Bx de una topología Tx:
Es una familia de partes de X tal que todos los abiertos de Tx se obtienen como
unión de elementos de Bx. Obviamente, elementos de la familia Bx son
abiertos.
Espacio topológico:
- Es un par cuyos elementos son un conjunto y una topología definida en
dicho conjunto. Así, por ejemplo, (A,Ta) es un espacio topológico si A es un
conjunto y Ta es una topología definida en A.
- Clausura de un conjunto A de X:
Es la intersección de todos los cerrados que contienen a A. Si A es igual a su
clausura, es cerrado.
1
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- Interior de un conjunto A:
Es la unión de todos los abiertos que están contenidos en A. Si A está contenido
en su interior es abierto.
- Adherencia o frontera de un conjunto A:
Es la diferencia entre su clausura y su interior. Un abierto no tiene frontera
-
Entorno de un punto x0 ∈ X :
Es todo conjunto a cuyo interior pertenezca x0 . Un conjunto no es entorno de
los puntos de su frontera. Un entorno abierto de x0 es un abierto a cuyo interior
pertenece x0 . Un entorno cerrado de x0 es un cerrado a cuyo interior pertenece
x0 . Todo abierto es entorno de sus puntos.
-
Punto de acumulación de un conjunto A del espacio topológico ( X , Tx ) :
El punto p del espacio topológico se dice que es punto de acumulación de A si
pertenece a la clausura del conjunto A − {p}. Cualquier abierto que contenga a
p contiene otros puntos de A distintos de p. Cualquier entorno de p contiene
puntos de A distintos de p. El conjunto de todos los puntos de acumulación de
un conjunto A se denomina conjunto derivado de A.
-
Recubrimiento abierto de un espacio topológico ( X , Tx ) :
Es todo conjunto, finito o infinito, de abiertos del espacio,
que X ⊆
UG .
i
{Gi }i∈I , Gi ∈ Tx ,
tal
El espacio topológico ( X , Tx ) se dice compacto si de todo
i∈ I
recubrimiento abierto puede extraerse un recubrimiento finito.
Notaciones:
( X , Tx )
Familia de abiertos: Tx
Familia de cerrados: Fx
Espacio topológico:
__
Base de la topología del espacio topológico
( X , Tx ) : Bx Clausura del conjunto A: A
int( A)
Adherencia o frontera de A: Fr ( A)
Interior del conjunto A:
Familia de entornos abiertos de p en el espacio topológico
Familia de entornos de p:
( X , Tx ) : TX ( p )
E ( p)
Función definida del espacio topológico
Imagen por f de un conjunto A:
( X , TX )
en el espacio topológico
(Y , TY ) : f : X → Y
f ( A)
Imagen inversa por f de un conjunto B:
Conjunto derivado del conjunto A:
f −1 ( B)
A'
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Definición de aplicación continua:
Dados dos espacios topológicos ( A, TA ) y ( B, TB ) , una función definida desde el
primero hacia el segundo se dice continua en un punto x0 ∈ A sii la imagen inversa
de todo entorno abierto de f ( x0 ) es un entorno de x0 :
f : A → B continua en x0 ∈ A ⇔ ∀G ∈ TB ( f ( x0 )) → f −1 (G ) ∈ E ( x0 )
o bien:
f : A → B continua en x0 ∈ A ⇔ ∀G ∈ TB ( f ( x0 )), ∃M ∈ E ( x0 ) / f ( M ) ⊆ G
que puede enunciarse también así:
f : A → B continua en x0 ∈ A ⇔ ∃M ∈ E ( x0 ) / ∀G ∈ TB ( f ( x0 )), f ( M ) ⊆ G
Así, por ejemplo, en el espacio topológico de la recta real con la topología usual
formada por los intervalos abiertos de R, la definición de función continua se puede
enunciar de esta forma:
f : R → R continua en x0 ∈ R ⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0 /[x0 − δ , x0 + δ ]∈ E ( x0 ) → f ( x0 − δ , x0 + δ ) ⊆ ( f ( x0 ) − ε , f ( x0 ) + ε )
es decir:
f : R → R continua en x0 ∈ R ⇔
∀ε > 0, ∃δ > 0 / x ∈ [x0 − δ , x0 + δ ] → f ( x) ∈ ( f ( x0 ) − ε , f ( x0 ) + ε )
y usando la noción de distancia ( d ( a, b) = a − b ):
f : R → R continua en x0 ∈ R ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / x − x0 ≤ δ → f ( x) − f ( x0 ) < ε
Caracterizando a las aplicaciones continuas:
Existen varios resultados que son equivalentes a la definición de aplicación continua
en un punto de un espacio topológico y permiten, en definitiva, caracterizar la
continuidad. Tales resultados se refieren la imagen inversa de abiertos, de
cerrados, a la imagen de la clausura o del interior de un conjunto del espacio
topológico dado. Veamos esto en el siguiente teorema.
Teorema 01:
Las siguientes proposiciones son equivalentes
1) La función f : A → B es continua en el espacio ( A, TA ) .
∀U ∈ TB { f ( x0 )} → f −1 (U ) ∈ E{x0 }
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2) La imagen inversa de un elemento de una base BB de la topología
del
espacio topológico imagen es un abierto de la topología TA del espacio
topológico original.
∀U B ∈ BB , f −1 (U B ) ∈ TA
3) La imagen inversa de un elemento de la topología TB del espacio topológico
imagen es un abierto de la topología TA del espacio topológico original.
∀G ∈ TB , f −1 (G ) ∈ TA
4) La imagen inversa de un cerrado en la topología TB del espacio topológico
imagen es un cerrado en la topología TA del espacio topológico original.
∀H ∈ FB , f −1 ( H ) ∈ FA
5) La clausura en la topología TA de la imagen inversa de un conjunto
cualquiera M del espacio topológico imagen está contenida en la imagen
inversa de la clausura de M respecto a la topología TB .
________
−1
__
∀M ⊆ B, f ( M ) ⊆ f −1 ( M )
6) La imagen de la clausura de un conjunto N
en la topología TA está
contenida en la clausura en la topología TB de la imagen de N .
___
______
∀N ∈ A, f ( N ) ⊆ f ( N )
7) La imagen inversa del interior de un conjunto M en la topología TB está
contenida en el interior de la imagen inversa de M en la topología TA del
espacio original.
∀M ⊆ B, f −1 (int( M )) ⊆ int ( f −1 ( M ) )
Demostración:
- Veamos que 1) implica 2):
Si ∀U ∈ TY { f ( x0 )}, f
(U ) ∈ E{x0 } ⇒ ∀U B ∈ BB , f −1 (U B ) ∈ TA :
Como ∀U B ∈ BB → U B ∈ TB , por ser BB base de TB . Para probar que
−1
f −1 (U B ) ∈ TA probemos simplemente que está contenido en su interior
y por consiguiente ha de ser un abierto:
∀x0 ∈ f −1 (U B ) → f ( x0 ) ∈ U B ∧ U B abierto → U B ∈ TB { f ( x0 )} →
(
→ f −1 (U B ) ∈ E{x0 } ( por 1)) → x0 ∈ int f −1 (U B )
(
−1
-
−1
)
O sea, f (U B ) ⊆ int f (U B ) → f
Veamos que 2) implica 3):
(U B ) abierto → f −1 (U B ) ∈ TA
(U B ) ∈ TA ⇒ ∀G ∈ TB , f −1 (G ) ∈ TA :
−1
−1
Como ∀G ∈ TB , G = ∪ U Bi ,U Bi ∈ BB → f (G ) = ∪ U Bi = ∪ f (U Bi ) .
Si ∀U B ∈ BB , f
−1
−1
)
i∈ I
(
i∈ I
)
i∈ I
4
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Es decir,
f −1 (G ) = ∪ f −1 (U Bi ) ∧ f −1 (U Bi ) ∈ TA ( por 2)) → f −1 (G ) ∈ TA
i∈ I
-
Veamos que 3) implica 4):
(G ) ∈ TA ⇒ ∀H ∈ FB , f −1 ( H ) ∈ FA :
−1
Puesto que si H ∈ FB → B − H ∈ TB → f ( B − H ) ∈ TA ( por 3)) →
→ f −1 ( B) − f −1 ( H ) ∈ TA → A − f −1 ( H ) ∈ TA → f −1 ( H ) ∈ FA
Si ∀G ∈ TB , f
-
−1
Veamos que 4) implica 5):
__
________
∀H ∈ FB , f −1 ( H ) ∈ FA ⇒ ∀N ∈ A, f ( N ) ⊆ f ( N ) :
______
De ser f ( N ) ⊆ f ( N ) → N ⊆ f
−1
 _______ 
f ( N ) ⊆ f −1  f ( N )  , y como


______
 _______ 
f ( N ) ∈ FB , será f −1  f ( N )  ∈ FA ( por 4)), por tanto se tiene que


______
______
__




 ______ 
N ⊆ f −1  f ( N )  ∧ f −1  f ( N )  cerrado → N ⊆ f −1  f ( N )  →






__
______
→ f (N ) ⊆ f (N ) →
-
Veamos que 5) implica 6):
__
________
−1
________
Si ∀N ∈ A, f ( N ) ⊆ f ( N ) ⇒ ∀M ∈ B, f
Llamemos N = f
______
−1
___
__
( M ) ⊆ f −1 ( M ) :
( M ) → f ( N ) = f ( f −1 ( M )) ⊆ M →
______
___
___
______
→ f ( N ) ⊆ M → f ( N ) ⊆ M ∧ f ( N ) ⊆ f ( N ) ( por 5)) →
___
______
___
___
______
___
→ f ( N ) ⊆ f ( N ) ⊆ M → f −1 ( f ( N )) ⊆ f −1 ( f ( N )) ⊆ f −1 ( M )
O sea:
___
___
___
___
_________
___
___
N ⊆ f −1 ( f ( N )) ⊆ f −1 ( M ) → N ⊆ f −1 ( M ) → f −1 ( M ) ⊆ f −1 ( M )
-
Veamos que 6) implica 7):
________
−1
Si ∀M ∈ B, f
(
__
)
( M ) ⊆ f −1 ( M ) ⇒ f −1 (int( M )) ⊆ int f −1 ( M ) :
Como la unión del interior de un conjunto con la clausura de su
complementario es todo el espacio, se tiene que:
________
 ________ 
int( M ) U  B − M  = B → int( M ) = B − B − M , con lo cual:


________
________
________
f −1 (int( M )) = f −1 ( B − B − M ) = f −1 ( B) − f −1 ( B − M ) = A − f −1 ( B − M )
y por 6):
________________
−1
________
________
________________
f ( B − M ) ⊆ f −1 ( B − M ) → A − f −1 ( B − M ) ⊆ A − f −1 ( B − M )
por tanto:
−1
−1
________
_______________
−1
________________
−1
f (int( M )) = A − f ( B − M ) ⊆ A − f ( B − M ) = A − A − f ( M ) =
= int( f −1 ( M ))
-
Veamos que 7) implica 1):
(
)
(int( M )) ⊆ int f −1 ( M ) ⇒ ∀U ∈ TB { f ( x0 )}, f −1 (U ) ∈ E{x0 } :
Pues vemos que ∀U ∈ TB { f ( x0 )} → f ( x0 ) ∈ int(U ) →
Si f
−1
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→ x0 ∈ f −1 (int(U )) ⊆ int( f −1 (U )) ( por 7)) → f −1 (U ) es entorno de x0 →
→ f −1 (U ) ∈ E{x0 }
Composición de aplicaciones continuas:
Teorema 02:
Dados tres espacios topológicos, ( A, TA ) , ( B, TB ) y (C , TC ) , y dos aplicaciones
continuas, f : A → B
continua.
y g : B → C , la aplicación compuesta gof : A → C es también
Demostración:
Bastará aplicar las veces necesarias la proposición 3) del teorema anterior, es decir,
que la imagen inversa de un abierto en el espacio topológico imagen es un abierto
en el espacio topológico origen.
∀G ∈ Tc ∧ g continua → g −1 (G ) ∈ B → g −1 (G ) ∈ B ∧ f continua →
(
)
(
)
→ f −1 g −1 (G ) ∈ A → f −1 o g −1 (G ) = ( g o f ) (G ) ∈ A → g o f continua
−1
Restricción y extensión:
Dados dos espacios topológicos ( A, TA ) y ( B, TB ) , consideremos una aplicación
f : A → B del primero en el segundo, y sea ( D, TD ) un subespacio
topológico del espacio ( A, TA ) .
Llamamos inclusión de D en A a la aplicación iD : D → A definida por la condición
de que ∀x ∈ D, iD ( x ) = x ∈ A .
Llamamos restricción de f a D a la aplicación f / D : D → B tal que f / D = f o iD .
continua
Teorema 03:
Las aplicaciones inclusión y restricción de una aplicación continua, son ambas
continuas.
Demostración:
- Para ver que la inclusión iD es continua, veamos, por ejemplo, que la imagen
inversa de un abierto de TA es un abierto de TD :
∀G ∈ TA ∧ D ⊆ A → iD−1 (G ) ∈ D ∩ G ∈ TD
- Para ver que la restricción f / D es continua, apliquemos el teorema 02, por el que
la composición de aplicaciones continuas, es también aplicación continua.
f continua ∧ iD continua → f / D = f o iD continua
Teorema 04:
Sean dos espacios topológicos, ( A, TA ) y ( B, TB ) , y un recubrimiento abierto de A ,
{Gi }i∈I , existiendo para cada elemento
Gi del recubrimiento una aplicación continua
f i : Gi → B tal que ∀x ∈ Gi ∩ G j , f i ( x) = f j ( x) . Existe entonces una aplicación
f : A → B tal que su restricción a cada abierto Gi del recubrimiento
coincide con la aplicación continua f i , es decir, f / Gi = f i , i ∈ I .
continua
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Demostración:
Se trata de ver que: a) es posible definir una aplicación
efectivamente f / Gi
f : A → B tal que
= f i , i ∈ I , y, a continuación, b) comprobar que la aplicación f así
definida es continua.
a) Puesto que ∀x ∈ A , existe al menos un abierto Gl del recubrimiento al cual
pertenece x, bastará definir f : A → B por la condición de que ∀x ∈ A, f ( x ) = f l ( x ),
donde es f l : Gl → B . Si además existen otros abiertos, Gh , Gk ,... del recubrimiento
a los cuales pertenece x, se cumple, por hipótesis que f l ( x ) = f h ( x ) = f k ( x ) = ... , por
lo que f está bien definida.
b) Para comprobar que f es continua hemos de probar, por ejemplo, que la imagen
inversa de un abierto de B es un abierto de A (apartado 3º del teorema 01). O sea,
∀G 0 ∈ TB , f −1 (G 0 ) ∈ TA
∀G 0 ∈ TB , f −1 (G 0 ) = U f i −1 (G 0 ) ∧ f i continua ∀i ∈ I → f i −1 (G 0 ) ∈ TGi →
i∈I
−1
0
→ f i (G ) ∈ TGi ∧ ∃U ∈ TA / f i −1 (G 0 ) = Gi ∩ U → f i −1 (G 0 ) ∈ TA → U f i −1 (G 0 ) ∈ TA →
−1
0
i∈I
→ f (G ) ∈ TA
Teorema 05:
Sean dos espacios topológicos, ( A, TA ) y ( B, TB ) , y un recubrimiento cerrado finito
de A ,
{H i }i∈I , existiendo para cada elemento
H i del recubrimiento una aplicación
f i : H i → B tal que ∀x ∈ H i ∩ H j , f i ( x) = f j ( x) . Existe entonces una
continua
f : A → B tal que su restricción a cada cerrado H i del
recubrimiento coincide con la aplicación continua f i , es decir, f / H i = f i , i ∈ I .
aplicación continua
Demostración:
Es idéntica a la demostración del teorema anterior, solo que usando en la parte b)
el apartado 4º del teorema 01.
Topología inicial y topología final respecto a aplicaciones continuas
Teorema 06:
Dado un conjunto cualquiera, A, una familia de espacios topológicos
una familia de aplicaciones
{ f k }k∈K
{(B , T )}
k
Bkk
k∈K
y
de A en cada uno de los espacios topológicos,
f k : A → Bk , k ∈ K , se verifica que:
a) Existe una topología mínima, TA, en A, tal que cada una de las aplicaciones fk es
continua. A la topología TA se le denomina topología inicial en A respecto de las
y { f k }k∈K .
familias Bk , TBkk
k∈K
{(
)}
b) Para cualquier otro espacio topológico
(C, TC ) ,
una aplicación h : C → A será
continua si y solo si son continuas las aplicaciones compuestas f k oh : C → Bk .
Demostración:
a) Sea la siguiente familia de partes de A:
α = {f k−1 (U k ) / U k ∈ TB
k
}
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y sea T (α ) la mínima topología que contiene a
inicial en A respecto de las familias
{(B , T )}
k
Bkk
α . Veamos que T (α ) es la topología
k∈K
y
{ f k }k∈K .
Cada fk es continua, pues la imagen inversa de un abierto es también un abierto:
∀U k ∈ TBk → f k−1 (U k ) ∈ α ⊆ T (α ) → f k continua
Para ver que T (α ) es mínima, supongamos otra topología T A en A tal que cada f k
0
sea continua:
Sabemos que ∀w ∈ α , ∃U j ∈ TB j / f j (U j ) = w , y como fj es continua en la topología
−1
T A0 , w = f j−1 (U j ) ∈ TA0 → α ⊆ TA0 → T (α ) ⊆ TA0 y T (α ) es la mínima topología para la
que las fk son continuas.
b) Veamos la equivalencia:
1_Si h : C → A es continua → h continua ∧ f k .k ∈ K continua → f k oh continua (por
el teorema 02)
2_Si cada f k o h es continua, se tiene que ∀w ∈ α , ∃U k ∈ TBk / w = f k (U k ) , por lo
−1
−1
que es h ( w) = h
−1
(f
−1
k
)
(U k ) = ( f k o h) −1 (U k ) ∈ TC (por ser continua f k o h ). Entonces
se tiene que ∀G ∈ T (α ), G =
  ni
 ni


−1
−1 


 I wk   =
∈
→
=
w
/
w
α
h
(
G
)
h
U
I
U
k
k


 i∈I  k =1  
i∈I  k =1


 
 ni

= U  I h −1 ( wk )  ∈ TC → h continua
i∈I  k =1

Una consecuencia inmediata de este teorema es el siguiente enunciado:
Teorema 07:
Si es (M , TM ) un espacio topológico, y es A un conjunto cualquiera contenido en M,
A ⊂ M , entonces la topología inducida en A por la topología TM es la topología
inicial en A respecto a las familias {(M , TM )}, {i A } , donde i A : A → M es la inclusión
de A en M.
Demostración: es obvia.
El siguiente análogo del teorema 06 permite definir la idea de topología final.
Teorema 08:
Dado un conjunto cualquiera, A, una familia de espacios topológicos
una familia de aplicaciones
{ f k }k∈K
{(B , T )}
k
Bkk
k∈K
y
de cada uno de los espacios topológicos en A,
f k : Bk → A, k ∈ K , se verifica que:
a) Existe una topología mínima, TA, en A, tal que cada una de las aplicaciones fk es
continua. A la topología TA se le denomina topología final en A respecto de las
y { f k }k∈K .
familias Bk , TBkk
k∈K
{(
)}
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Aplicaciones continuas entre espacios topológicos
b) Para cualquier otro espacio topológico
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(C, TC ) ,
una aplicación h : A → C será
continua si y solo si son continuas las aplicaciones compuestas hof k : Bk → C
Demostración:
{
}
−1
a) La familia T A = U ⊆ A / f k (U ) ∈ TBk k ∈ K es obviamente una topología en A,
pues las f k son continuas.
0
Si es T A otra topología en A tal que las f k son continuas, se tiene que:
∀G ∈ T A0 , f k−1 (G ) ∈ TBk , k ∈ K → G ∈ T A → T A0 ⊆ T A , por tanto T A es la mínima
topología para la que las f k son continuas.
b) 1_Si h : A → C es continua, entonces hof k : Bk → C es también continua, pues
son continuas las aplicaciones f k y se verifica el teorema 02.
2_Si hof k : Bk → C es continua se cumple que ∀G ∈ TC , (h o f k ) (G ) =
0
(
−1
0
)
= f k−1 o h −1 (G 0 ) = f k−1 h −1 (G 0 ) ∈ TBk → h −1 (G 0 ) ∈ T A → h : A → C continua
La continuidad en un espacio métrico:
Si consideramos un espacio vectorial, A, dotado de una métrica o distancia, d A ,
podemos encontrar condiciones equivalentes a la continuidad de una aplicación f
desde el espacio ( A, d A ) en otro espacio métrico ( B, d B ) , en relación con las
métricas de ambos espacios.
El siguiente enunciado nos muestra dos condiciones métricas que son equivalentes
a la continuidad de una aplicación f : A → B , en un punto x 0 ∈ A , donde A y B son
espacios métricos, ( A, d A ) y ( B, d B ) .
Teorema 09:
Dados los espacios métricos, ( A, d A ) y ( B, d B ) , y una aplicación, f : A → B , son
equivalentes los siguientes enunciados:
1) La aplicación f es continua en x 0 ∈ A .
2) Para toda sucesión {x n }n ≥1 contenida en ( A, d A ) convergente en x 0 ∈ A ,
lim x n = x0 , se verifica que lim f ( x n ) = f ( x0 ) .
n →∞
n→∞
3) ∀ε > 0, ∃δ > 0 / d A ( x, x 0 ) < δ → d B ( f ( x ), f ( x 0 )) < ε
Demostración:
Veamos que 1) implica 2):
Si la aplicación f : A → B es continua en x 0 ∈ A y si la sucesión {x n }n ≥1 es
convergente a x 0 ( lim x n = x 0 ), se tiene que para probar que lim f ( x n ) = f ( x 0 )
n →∞
n→∞
hemos de probar que ∀ε > 0, ∃N 0 (ε ) / ∀n ≥ N 0 , d B ( f ( x n ), f ( x 0 ) ) < ε .
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Aplicaciones continuas entre espacios topológicos
Carlos S. Chinea
Consideremos en el espacio ( B, d B ) la bola GB =
radio
β d ( f ( x0 ); ε ) de centro f ( x0 )
B
y
ε , con lo que G B será entorno de f ( x0 ) , y, por ser f continua, la imagen
inversa de tal entorno de f ( x 0 ) será un entorno de x 0 :
f
−1
(G B ) ∈ E d A ( x0 )
Por tanto, existe al menos una bola de centro en x 0 contenida en f
−1
(GB ) :
∃δ > 0 / β d A ( x0 ;δ ) ⊆ f −1 (GB )
como, por hipótesis es lim x n = x 0 , se tiene que ∃N 0 ∈ N / ∀n ≥ N 0 , d ( xn , x0 ) < δ
n →∞
por consiguiente:
∃N 0 ∈ N / ∀n ≥ N 0 , xn ∈ β d A ( x0 ; δ ) ⊆ f −1 (GB ) → f ( xn ) ∈ GB = β d B ( f ( x0 ); ε ) →
→ d B ( f ( xn ), f ( x0 ) ) < ε
En definitiva, la sucesión
{ f ( xn )}n ≥1 converge a
f ( x0 ) , lim f ( x n ) = f ( x0 )
n→∞
Veamos que 2) implica 3):
Hemos de probar que
∀ε > 0, ∃δ (ε ) / d A ( x, x0 ) < δ → d B ( f ( x), f ( x0 ) ) < ε
Supongamos que no fuera cierto, es decir, supongamos que
∀δ > 0, d A ( x, x0 ) < δ → d B ( f ( x), f ( x0 ) ) ≥ ε
Si tomamos δ = 1 / n , existirá un xn ∈ A tal que
d A ( xn , x0 ) < 1 / n ∧ d B ( f ( xn ), f ( x0 ) ) ≥ ε
Es decir, la sucesión {x n }n ≥1 converge y sin embargo la sucesión
{ f ( xn )}n ≥1 no
converge, contra la hipótesis. Por tanto, ha de ser:
∀ε > 0, ∃δ (ε ) / d A ( x, x0 ) < δ → d B ( f ( x), f ( x0 ) ) < ε
Veamos que 3) implica 1):
Se trata de probar la continuidad de f : A → B en x 0 ∈ A , es decir, que
∀G ∈ TB ( f ( x0 )), f −1 (G ) ∈ E ( x0 )
Vemos que si G ∈ TB ( f ( x0 )) → ∃β d B ( f ( x0 ); ε ) ⊆ G
Y también, por hipótesis, si ∃δ / d A ( x, x0 ) < δ → d B ( f ( x ), f ( x0 ) ) < ε
Entonces, ∀z ∈ β d A ( x0 ; δ ) → d A ( z , x0 ) < δ → d B ( f ( z ), f ( x0 ) ) < ε →
→ f ( z ) ∈ β d B ( f ( x0 ); ε ) ⊆ G → z ∈ f −1 (G )
Por tanto, aplicando esto a x0 : x0 ∈ β d A ( x0 ; δ ) → x0 ∈ f −1 (G ) , es decir f −1 (G ) ∈ E ( x0 )
La continuidad uniforme:
Dados dos espacios métricos, ( A, d A ) y (B, d B ) , la aplicación f : A → B se dice que
es uniformemente continua si se verifica que
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x, y ∈ A, d A ( x, y ) < δ → d B ( f ( x), f ( y ) ) < ε
Teorema 10:
Si f : A → B es uniformemente continua, entonces también es continua en todo
punto x0 ∈ A.
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Aplicaciones continuas entre espacios topológicos
Carlos S. Chinea
Demostración:
Es obvio, pues llamando x0 = y se tiene:
∀ε > 0, ∃δ > 0 / d A ( x, x0 ) < δ → d B ( f ( x), f ( x0 ) ) < ε
que es el enunciado 3) del teorema anterior, equivalente a la continuidad en x0 ∈ A
La proposición inversa no siempre resulta ser cierta. En el siguiente teorema se
establece una condición para que la continuidad en un punto implique la
continuidad uniforme.
Teorema 11:
Sean los espacios métricos ( A, d A ) , (B, d B ) , y la aplicación continua f : A → B . Si el
espacio A es compacto, entonces f es uniformemente continua.
Demostración:
Sabemos que un espacio topológico es compacto si de todo recubrimiento abierto
puede extraerse un recubrimiento finito.
Si la aplicación f : A → B es continua en a ∈ A , se cumplirá que:
∀ε > 0, ∃ra > 0 / d A ( x, a) < ra → d B ( f ( x), f (a ) ) < ε
o bien, usando la noción de bola de centro en a:
∀ε > 0, ∃ra > 0 / x ∈ β d A (a; ra ) < ra → d B ( f ( x), f (a ) ) < ε
Consideremos la familia de todas las bolas de centro en cada uno de los puntos del
espacio: β d A ( a; ra / 2), ∀a ∈ A .
Tal familia obviamente recubre el espacio A, que, al ser, por hipótesis, compacto,
admitirá un recubrimiento finito:
A ⊆ β d A (a1; r1 / 2) U β d A (a2 ; r2 / 2) U ... U β d A (am ; rm / 2)
Es decir, el espacio A queda recubierto por un número finito de bolas centradas en
cada uno de los m puntos a1, a2,...,am , con radios respectivos r1 / 2, r2 / 2,..., rm / 2 .
Tomemos el mínimo de los radios de tales bolas:
δ = min{r1 / 2, r1 / 2,..., rm / 2}
y probemos que para este valor de δ se verifica la condición de continuidad
uniforme dada en la definición, es decir, probemos que:
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x, y ∈ A, d A ( x, y ) < δ → d B ( f ( x), f ( y ) ) < ε
si d A ( x, y ) < δ , existe al menos una bola β d A (ak ; rk / 2) a la que pertenece x:
∀ε > 0, x ∈ β d A (ak ; rk / 2) → d B ( f ( x), f (ak ) ) < ε / 2
por otra parte:
d A ( y, ak ) ≤ d A ( y, x) + d A ( x, ak ) < δ + rk / 2 ≤ rk → y ∈ β d A (ak ; rk )
por tanto: ∀ε > 0, y ∈ β d A (ak ; rk ) → d B ( f ( y ), f ( ak ) ) < ε / 2
y de ambas desigualdades:
d B ( f ( x), f ( y ) ) ≤ d B ( f ( x), f (ak ) ) + d B ( f (ak ), f ( y ) ) ≤ ε / 2 + ε / 2 = ε
en definitiva, es
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x, y ∈ A, d A ( x, y ) < δ → d B ( f ( x), f ( y ) ) < ε
y la continuidad de f : A → B es uniforme.
Teorema 12:
Dado el espacio métrico
( A, d A )
y el subconjunto M ⊆ A no vacío, la aplicación
f : A → R definida por ∀x ∈ A, f ( x) = d ( x, M ) es uniformemente continua.
Demostración:
Se trata de probar que se verifica la condición:
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Aplicaciones continuas entre espacios topológicos
Carlos S. Chinea
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x, y ∈ A, d A ( x, y ) < δ → d R ( f ( x), f ( y ) ) < ε → f ( x) − f ( y ) < ε
Se tiene:
∀x, y ∈ A, ∀z ∈ M , d A ( x, z ) ≤ d A ( x, y ) + d A ( y, z ) → d A ( x, M ) ≤ d A ( x, y ) + d A ( y, M ) →
→ d A ( x, M ) − d A ( y , M ) ≤ d A ( x, y )
O sea:
∀ε > 0, ∃δ = ε > 0 / d A ( x, y ) < δ → f ( x) − f ( y ) ≤ d A ( x, y ) < ε
Teorema 13:
Para tres espacios métricos,
( A, TA ) , ( B, TB ) y (C , TC ) , y dos aplicaciones
uniformemente continuas, f : A → B y g : B → C , se verifica que la aplicación
compuesta, g o f : A → C es también uniformemente continua.
Demostración:
Por ser g uniformemente continua:
∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x' , y '∈ B, d B ( x' , y ' ) < δ → d C ( g ( x' ), g ( y ' ) ) < ε
Por ser f uniformemente continua:
∃µ > 0 / ∀x, y ∈ A, d A ( x, y ) < µ → d B ( f ( x), f ( y ) ) < δ → d c ( g ( f ( x)), g ( f ( y ))) < ε
Por tanto:
∀ε > 0, ∃µ > 0 / d A ( x, y ) < µ → dC (( f o g )( x), ( f o g )( y )) < ε
Extensión elemental de las aplicaciones continuas
Teorema 14:
Dados los espacios métricos, ( A, d A ) y ( B, d B ) , y dos aplicaciones continuas,
f : A → B y f : A → B , se verifica:
1) El conjunto M ⊆ A definido por M = {x ∈ A / f ( x ) = g ( x )} es cerrado.
2) Si M es denso en A, entonces f = g .
Demostración:
1) Si x0 ∈ A − M → x0 ∉ M → f ( x0 ) ≠ g ( x0 ) → d B ( f ( x0 ), g ( x0 )) = ε > 0
Sin embargo, si ambas funciones, f y g, son continuas en x0, se tiene que
∃δ > 0 / d A ( x, x0 ) < δ → d B ( f ( x), f ( x0 )) < ε / 2 ∧ d B ( g ( x), g ( x0 )) < ε / 2
es decir, existe un entorno de x0 en donde se verifica que
d B ( f ( x), f ( x0 )) < ε / 2, d B ( g ( x), g ( x0 )) < ε / 2
En el supuesto de que ambas funciones fueran iguales, f ( x ) = g ( x ) , en dicho
entorno, llegaríamos a una contradicción, pues por la desigualdad triangular, sería:
d B ( f ( x0 ), g ( xo )) ≤ d B ( f ( x0 ), f ( x)) + d B ( g ( x), g ( x0 )) < ε / 2 + ε / 2 = ε
por tanto, ha de ser f ( x ) ≠ g ( x) , por lo que x ∉ M .
En definitiva vemos, pues, que si un punto x0 ∈ A − M existe un entorno que
pertenece también a A-M, por lo que A-M es abierto.
Si A-M es abierto, por definición M es cerrado.
2) Dado un espacio topológico ( A, TA ) se dice que un subconjunto M ⊆ A es denso
___
en A sii su clausura coincide con A, esto es, sii M = A . Es obvio que si M es
cerrado, entonces contiene a su clausura, y por tanto M=A.
Esto quiere decir que en todo el espacio A se verifica que ambas funciones son
iguales: f ( x ) = g ( x ), ∀x ∈ A .
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Aplicaciones continuas entre espacios topológicos
Carlos S. Chinea
La demostración anterior se ha hecho mediante el principio de que si un conjunto
cerrado es denso en un espacio la igualdad de funciones en el conjunto se puede
extender a la igualdad de funciones en todo el espacio. Esto se ha dado en llamar
principio de extensión de igualdades.
El siguiente teorema utiliza el mismo principio para las desigualdades. Se puede
llamar principio de extensión de desigualdades.
Teorema 15:
Sea el espacio métrico ( A, d A ) y dos aplicaciones continuas de A en la recta real
ampliada, f : A → R y g : A → R . Sea M el subconjunto de A formado por los
elementos cuya imagen por f es menor o igual a su imagen por g:
M = {x ∈ A / f ( x) ≤ g ( x)}
Se verifica:
1) M es cerrado en A.
2) Si M es denso en A, entonces f ( x ) ≤ g ( x ), ∀x ∈ A.
Demostración:
1) ∀x 0 ∈ A − M → x 0 ∉ M → f ( x 0 ) > g ( x 0 ) → ∃ϕ ∈ R / f ( x 0 ) > ϕ > g ( x 0 )
Sea G f = f
−1
(ϕ ,+∞) y G g = g −1 (−∞, ϕ )
Por ser f continua, Gf es entorno de x0, y por ser g continua, también Gg es entorno
de x0, por tanto G f I G g es entorno de x0, y se cumple para ∀x ∈ G f I G g que
f ( x) > ϕ > g ( x) → x ∉ M → x ∈ A − M → G f I G g ∈ Td A ( x 0 )
Es decir:
∀x0 ∈ A − M , ∃G f I G g ∈ Td A ( x0 ) / G f I G g ⊆ A − M → A − M abierto → M cerrado
2) Si el conjunto M es denso en A, entonces, por definición, M = A y como M es
cerrado en A coincide con su clausura, por lo que M = M = A : f ( x ) ≤ g ( x ), ∀x ∈ A.
Bibliografía:
Seifert, H.-Threfall, W.; A Textbook of topology, Academic Press, Inc., 1990
Hocking, J. G.-Young, G.S.; Topología, Editorial Reverté, Barcelona, 1975
Massey, William S.; Introducción a la Topología Algebraica, Editorial Reverté,
Barcelona, 1982.
N.Bourbaki; Topologie Générale, Ediciones Hermann, Paris, 1971
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