Download Topología General

Document related concepts

Topología wikipedia , lookup

Conjunto cerrado wikipedia , lookup

Espacio métrico wikipedia , lookup

Conjunto conexo wikipedia , lookup

Transcript
TOPOLOGIA GENERAL
José Darío Sánchez Hernández
Bogotá-Colombia, Junio del 2005
[email protected]
[email protected]
El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación encontrará
más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y
algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces
hágalo de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones es indispensable el uso
de una biblioteca con un buen número de textos de topología general, en esta forma el estudiante
utiliza tácticas de investigación y empleará la biblioteca. Luego encontrará resultados en donde se
ha dado una posible demostración, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de
que haya algunos errores; el lector deberá revisarlas analizando cual de los resultados básicos se
han utilizado en la prueba.
§1. RESULTADOS BASICOS
1Þ Una
métrica en un conjunto Q es una función . À Q ‚ Q d que asocia a cada
par de puntos Bß C − Q un número real . Bß C llamado la distancia del punto B al
punto C de tal modo que:
ESM" . . Bß B œ !ß . Bß C  !ß si B Á C
ESM# . . Bß C œ . Cß B
ESM$ . . Bß D Ÿ . Bß C  . Cß D à cualquiera que sean Bß Cß D − Q Þ
ì Un espacio METRICO es un par Q ß . formado por un conjunto Q y una métrica .
en Q .
ì Todo subconjunto \ de un espacio métrico Q posee una estructura natural de
espacio métrico. Basta definir la distancia entre dos puntos Bß C − \ como la misma
distancia entre ellos considerados como puntos de Q . La métrica así definida en \
se llama la METRICA INDUCIDA en \ por Q .
ì Sea Q ß . un espacio métrico y E § Q no vacío, B − Q se define la distancia de B
a E por
. Bß E œ 380 Ö. Bß + à + − E×
si B − E entonces . Bß E œ !Þ
2. Sea E un subconjunto no vacío de un espacio métrico Q . Cualesquiera que sean
se tiene
l. Bß E  . Cß E l Ÿ . Bß C
ì Cualesquiera sean Bß Cß D − Q , se tiene
l. Bß D  . Cß D l Ÿ . Bß C
ì Si E, F son dos subconjuntos no vacíos de Q , se define la distancia entre ellos
por
Bß C − Q
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
2
. Eß F œ 380 Ö. +ß , à + − Eß , − F×
ì Una aplicación 0 À Q R de un espacio métrico Q en un espacio métrico R , se
llama una inmersión isométrica cuando
. 0 B ß 0 C œ . Bß C
cualesquiera sean Bß C − Q . Si además, 0 es una aplicación de Q sobre R , entonces
se dice que 0 es una isometría de Q sobre R , o una isometría entre Q y R .
ì En un espacio métrico Q ß . se denomina bola abierta con centro α − Q y
radio <  !ß al siguiente subconjunto de Q
U αß < œ ÖB − Q Î. +ß B  <×
ì Dados dos puntos distintos +ß , en un espacio métrico Q , entonces existen en
Q dos bolas disyuntas con centros en + y , , respectivamente. (Más adelante se
dirá que todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff).
ì Un conjunto \ de un espacio métrico se dice limitado o acotada cuando
existe un número real < ! tal que . Bß C Ÿ < cualquiera que sean Bß C − \ . El
menor de esos números < se conoce con el nombre de diámetro del conjunto \
y se representa por $ \ œ supÞÖ. Bß C à Bß C − \×à $ 9 œ !Þ
ì Una función 0 À \ Q de un conjunto \ en un espacio métrico Q se llama
limitada o acotada cuando 0 \ es un conjunto limitado o acotado de Q . En
particularß si Q posee una métrica limitada esto es, $ Q  ∞ entonces toda
aplicación 0 À \ Q es limitada o acotada.
ì Sea
U \ß Q œ Ö0 À \ Q Î0 es limitada× e introduzcamos una métrica
definiendo la distacia entre dos aplicaciones limitadas 0 ß 1 À \ Q como:
. 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \ ×
ì Una seudométrica en un conjunto Q es una función real . À Q ‚ Q d tal que
. Bß C œ . Cß B !ß . Bß B œ ! y . Bß D Ÿ . Bß C  . Cß D
para cualesquiera sean Bß Cß D − Q .
ì Una seudométrica es una métrica si y sólo si . Bß C  ! siempre que B Á C.
ì Un espacio seudométrico es un par Q ß . , donde Q es un conjunto y . es una
seudométrica en Q .
3 . Sean
0 À Q R una aplicación de un espacio métrico Q en un espacio métrico
R y + un punto de Q . Se dice que 0 es continua en el punto +, cuando dado
arbitrariamente un número %  !, es posible determinar otro número $  ! tal que
. Bß +  $ implica que . 0 B ß 0 +  %Þ
ì Diremos, simplemente, que 0 À Q R es continua si 0 es continua en todos
los puntos de Q Þ
ì Sea 0 À Q R una aplicación de un espacio métrico Q en un espacio métrico R ,
una contracción débil es una función tal que . 0 B ß 0 C Ÿ . Bß C para
cualesquiera Bß C − Q
ì La compuesta de dos aplicaciones continuas es continua.
ì Sea 0 À Q R una aplicación continua. Para cada subconjunto \ § Q , la
restricción 0 l\ À \ Q es continua.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
3
ì Sea 0 À Q ‚ R T una función continua. Para cada + − Q y cada , − R las
aplicaciones parciales 0+ À R T y 0, À Q T ß definidas por 0+ C œ 0 +ß C y
0, B œ 0 Bß , son continuas.
ì Sea I un espacio vectorial real normado. Las aplicaciones α À I ‚ I I y
7 À d ‚ I I , dadas por α Bß C œ B  C y 7 -ß B œ - † B son continuas. También es
continua la función real 0 À d  Ö!× d definida por 0 > œ "> .
ì Sean 0 ß 1 À Q d funciones reales continuas en un espacio métrico Q Þ La suma
0  1, la diferencia 0  1, y el producto 0 † 1 son funciones reales continuas en Q .
Además de eso si \ § Q es el conjunto de los puntos B − Q tales que 1 B Á !, el
cociente 01 es una función continua.
ì Una aplicación 0 À \ Q" ‚ â ‚ Q8 de un conjunto \ en el producto cartesiano
de los conjuntos Q" ß á ß Q8 equivale a dar 8 aplicaciones
0" À \ Q" ß á ß 08 À \ Q8 tales que 0 B œ 0" B ß á ß 08 B , B − \Þ
Las aplicaciones 03 À \ Q3 se llaman las aplicaciones coordenadas de 0 .
4 . Sean
Q ß Q" ß Q# ß á ß Q8 espacios métricos. Una aplicación
0 À Q Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 es continua en el punto + − Q si y solamente si, cada
una de las coordenadas 03 À Q Q3 es continua en el punto +.
ì Sean 0 À Q T ß 1 À R U aplicaciones continuas. Entonces, la aplicación
: À Q ‚ R T ‚ U definida por : Bß C œ 0 B ß 1 C es continua.
ì Un HOMEOMORFISMO es una aplicación continua y biunívoca 0 À Q R de un espacio
métrico Q sobre un espacio métrico R , tal que su aplicación inversa 0 " À R Q
también es continua. En este caso, 0 " es un homeomorfismo.
ì La compuesta de homeomorfismos también es un homeomorfismo.
ì Si existe un homeomorfismo de Q sobre R , los espacios Q y R se dicen
homeomorfos.
ì La bola F +ß < de d 8 es homeomorfa a todo d 8 . Como la translación y las
homotecias son homeomorfismos, basta observar que la bola F !ß " es
B
homeomorfa a d 8 , tomando 0 À F !ß "
d 8 como 0 B œ "lBl
; la cual tiene a
1 À d8
F !ß " , donde 1 C œ
C
"lCl ,
como inversa y 0 ß 1 son continuas. Lo mismo es
verdadero en un espacio vectorial normado I .
ì Sea 0 À Q R una aplicación, el gráfico de 0 es K 0 œ Ö Bß 0 B à B − Q ×. Con la
métrica inducida por Q ‚ R el gráfico K 0 es homeomorfo a Q Þ
5.Sean
. y . w métricas definidas en el mismo conjunto Q . Decimos que . es más
fina que . w notamos este hecho por . ¢ . w cuando la aplicación
3. À Q ß .
Q ß .w
es continua.
ì Sean . y . w métricas definidas en el mismo conjunto Q , . ¢ . w si y sólo si, para
cada + − Q ß cualquier bola abierta de centro en + según . w contiene alguna bola
abierta de centro + según .Þ
ì Dos métricas .ß . w en el mismo conjunto Q se dicen equivalentes . µ . w cuando
. ¢ . w y . w ¢ . . En otras palabras cuando la aplicación identidad
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
4
3. À Q ß .
Q ß .w
es un homeomorfismo.
ì Las métricas . y . w son equivalentes si y sólo si, toda bola abierta según una
cualesquiera de esas métricas contiene otra bola de mismo centro según la otra
métrica.
ì Si existen números reales 7ß 8  ! tales que . Bß C Ÿ 8. w Bß C y . w Bß C Ÿ 7. Bß C
cualesquiera
sean los puntos
Bß C − Q entonces las métricas . y . w son
equivalentes.
La recíproca de esta afirmación es falsa, para eso tome en d la métrica
. w Bß C œ lB$  C$ lß . w es equivalente a la métrica usual de d y no existen 7ß 8 tales
que . Bß C Ÿ 8. w Bß C y . w Bß C Ÿ 7. Bß C .
ì Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación biunívoca. Sea
. w la métrica inducida por 0 en Q , esto es, . w Bß C œ ." 0 B ß 0 C , Bß C − Q Þ
Entonces . y . w son equivalentes si y sólo si, 0 es un homeomorfismo de Q
sobre 0 Q .
ì Sean Q ß . y R ß ." espacios métricos y 0 À Q R una aplicación biunívoca. La
métrica definida en Q por 3 Bß C œ . Bß C  ." 0 B ß 0 C es equivalente a .Þ
. BßC
ì Sea Q ß . un espacio métrico. La métrica . w w Bß C œ ".
nos da una prueba
BßC
de que todo espacio métrico es homeomorfo a un espacio métrico acotado, pues
. w w Bß C  " cualquiera que sean Bß C − Q .
6. Sean
Iß J espacios vectoriales normados y 0 À I J una aplicación lineal. Las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
3) 0 es continua
33) 0 es continua en el punto ! − I
333) existe un número 7  ! tal que l0 B l Ÿ 7lBlß aB − I
ì Una aplicación lineal biunívoca 0 À I J de I sobre J es un homeomorfismo si
y sólo si, existen números reales 7  !ß 8  !, tales que 8lBl Ÿ l0 B l Ÿ 7lBl para
todo B − IÞ
ì Dos normas l l y l l" en un espacio vectorial I son equivalentes si y sólo si,
existen números reales 7ß 8  ! tales que lBl Ÿ 8 † lBl" y lBl" Ÿ 7 † lBl cualquiera
que sea B − I .
7. Un subconjunto E de un espacio métrico Q
se dice abierto si para cada + − E
existe %  ! tal que si B − Q y . Bß +  % , entonces B − E.
ì Toda bola abierta F +à < en un espacio métrico Q es un subconjunto abierto
de Q .
ì Indicaremos con µÐ\à Q Ñ œ Ö0 À \ Q à 0 \ es un conjunto acotado× con la
métrica . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − Q ×ß siendo Q ß . un espacio métrico.
ì Sean Q ß R espacios métricos, las aplicaciones de Q en R que estan a una
distancia finita de 0 y que son discontinuas en un punto dado + − Q , forman un
subconjunto abierto del espacio µ0 Q à R .
ì Las aplicaciones discontinuas pertenecientes a µ0 Q à R forman un subconjunto
abierto de este espacio.
Darío Sánchez H.
5
TOPOLOGIA GENERAL
ì Sean Q un espacio métrico y \ § Q un subespacio. Un subconjunto Ew § \ es
abierto en \ si y sólo si, Ew œ E ∩ \ß donde E es un subconjunto abierto de Q .
ì Sea \ § Q abierto. Un subconjunto Ew § \ es abierto en \ si y sólo si Ew es
abierto en Q .
8. Sean Q ß R espacios métricos. Para que una aplicación 0 À Q
R sea continua, es
E de todo subconjunto abierto
necesario y suficiente que la imagen inversa 0
Ew § R , sea un subconjunto abierto de Q .
ì Para que la aplicación 0 À Q R sea continua en un punto + − Q es necesario y
suficiente que para cada abierto Ew § R , con 0 + − Ew , exista un abierto E § Q ß
con + − Q tal que 0 E § Ew Þ
ì Sean Q" ß á ß Q8 espacios métricos y E" § Q" ß á ß E8 § Q8 subconjuntos abiertos.
Entonces E" ‚ E# ‚ â ‚ E8 es un subconjunto abierto del producto cartesiano
Q" ‚ Q# ‚ â ‚ Q8 Þ
ì Sean 0" ß á ß 08 À Q R aplicaciones continuas y +" ß á ß +8 − R . El conjunto de los
puntos B − Q tales que 0" B Á +" ß á ß 08 B Á +8 es abierto en Q . Si 0" ß á ß 08 À Q d
son funciones reales continuas el ÖB − Q à 0" B  !ß á ß 08 B  !× es aún un
subconjunto abierto Q .
ì Una aplicación 0 À Q R que transforma cada subconjunto abierto E § Q en un
subconjunto abierto 0 E § R es llamada una aplicación abierta.
ì Sean Q y R espacios métricos y 2 À Q R una aplicación biunívoca de Q sobre
R . La condición necesaria y suficiente para que 2 sea un homeomorfismo de Q
sobre R es: Para cada \ § Q ß 2 \ es abierto en R si y sólo si, \ es abierto en Q .
ì Sean . y . w métricas en el mismo conjunto Q . Para que . y . w sean equivalentes
es necesario y suficiente que los espacios métricos Q ß . y Q ß . w posean los
mismos subconjuntos abiertos.
ì Sea Q œ Q" ‚ â ‚ Q8 un producto cartesiano de espacios métricos. Cada
proyección :3< À Q Q3 3 œ "ß #ß á ß 8 es una aplicación continua abierta.
"
9.
w
Una topología en un conjunto \ es una colección T de subconjuntos de \
llamados abiertos (según la topología) satisfaciendo las siguientes condiciones
ET" : \ y el subconjunto vacío ø son abiertos
ET# : La reunión de una familia cualquiera de subconjuntos abiertos es un
subconjunto abierto.
ET$ : La intersección de una familia finita de subconjuntos abiertos es un
subconjunto abierto.
ì Un espacio topológico es una pareja \ß T donde \ es un conjunto y T es una
topología en \ .
ì Una aplicación 0 À \ ] de un espacio topológico \ en un espacio topológico ] ,
de dice continua cuando la imagen inversa 0 " F de todo abierto F § ] es un
subconjunto abierto de \ .
ì Sean \ y ] espacios topológicos. Una aplicación 0 À \ ] es continua, si y sólo
si, 0 es continua en cada punto D − \ .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
6
ì Un homeomorfismo 2 À \ ] , de un espacio topológico \ sobre un espacio
topológico ] es una aplicación continua y biunívoca de \ sobre ] cuya inversa
2 " À ] \ es también continua.
ì Un espacio topológico \ se dice metrizable cuando es posible definir una
métrica . en \ tal que los abiertos definidos por .ß de acuerdo con la métrica,
coincidan con los abiertos de la topología de \ .
Nota. No todo espacio topológico es metrizable, por ejemplo \ß T con T œ Ö\ß ø×
no es metrizable.
10.
Sean T y Tw dos topologías en el mismo conjunto \Þ Diremos que T es más
fina que Tw cuando T ¨ Tw esto es cuando todo abierto según Tw es necesariamente
abierto según T.
ì Dadas las topologías T y Tw en un conjunto \ , para que T sea más fina que Tw es
necesario y suficiente que la aplicación identidad 3 À \ß T
\ß Tw sea continua.
ì Para que dos métricas . y . w en el mismo conjunto Q definan la misma
topología es necesario y suficiente que ellas sean equivalentes.
ì Una aplicación 0 À \ ] , de un espacio topológico \ en un espacio topólogico ]
se dice abierta cuando, para cada abierto E § \ß 0 E es abierto en ] .
ì Una aplicación biunívoca 0 À \ ] , de un espacio topológico \ sobre el espacio
topológico ] es un homeomorfismo si y sólo si, es continua y abierta.
ì EH. Un espacio topológico \ es llamado un espacio de Hausdorff
o espacio separado cuando, dados dos puntos arbitrarios B Á C en \ , existen
abiertos E, F § \ tales que B − Eß C − Fß y , E ∩ F œ ø.
ì Un espacio métrico es un espacio de Hausdorff, por tanto todo espacio
metrizable es un espacio de Hausdorff, la recíproca es falsa.
ì Resulta de la definición EH que en un espacio de Hausdorff \ , para cada punto
de B − \ , el conjunto \  ÖB× es un abierto de \ . La recíproca es falsa, por
ejemplo, tome \ , un conjunto infinito con la topólogia de los complementos de
los subconjuntos finitos de \ , aquí \  ÖB× es abierto y \ß T no es Hausdorff ni
metrizable.
11.
Sea 0 À W \ una aplicación de un conjunto arbitrario W en un espacio
topólogico \ . La colección T de las imágenes inversas 0 " E de los abiertos
E § \ por la aplicación 0 es una topología en W . La topología T así construida es
llamada, topología inducida en W por la aplicación 0 À W \Þ
ì La topología inducida por 0 À W \ es la menos fina dentro de todas las
topologías en W que dejan a la aplicación 0 À W \ continua.
ì Sea W § \ , la inclusión 3 À W \ es tal que, si E § \ es un abierto, se tiene que
3" E œ E ∩ W ; de modo que la topología inducida por 3 en W tiene por abiertos las
intersecciones E ∩ W de los abiertos E § \ con el subconjunto W . W con ésta
topología es llamado un subespacio del espacio topológico \ .
ì Sean \ un espacio topológico, U un conjunto cualquiera y : À \ U una
aplicación de \ en U. Indiquemos por T la colección de los subconjuntos F § U
tales que :" F es abierto en \ . T es una topológia en U llamada co-inducida
por la aplicación :.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
7
ì La topología co-inducida es la más fina topología en U con la propiedad de
dejar la aplicación : À \ U continua.
ì Sean \ß ^ espacios topológicos 1 À U ^ß 0 À \ U donde U posee la topología
co-inducida por 0 . Entonces 1 À U
^ es una aplicación continua si sólo si,
1 ‰ 0 À \ ^ es continua.
ì Sean : À \ U y U con la topología co-inducida. Entonces con respecto a la
topología co-inducida U  : \ es un subespacio discreto, esto es, los puntos
son abiertos.
12.
Sea \ un espacio topológico y : À \
U una aplicación de \ sobre un
"
conjunto U. Para todo X § U se tiene :Ò: X Ó œ X , pero dado W § \ en general
cuando : no es sobre, apenas se tiene :" Ò: = Ó ¨ W .
ì Un subconjunto W § \ se dice saturado
relativamente a :
cuando
"
: Ò: W Ó œ W .
ì El menor conjunto saturado que contiene a W es llamado el saturamiento de W .
ì Supongamos ahora que U tiene la topología co-inducida por : À \ U. Entonces,
para todo W § \ , el conjunto : W es abierto en U si y sólo si, su saturamiento
:" Ò: W Ó es abierto en \ .
ì Sea \ un espacio topológico y I una relación de equivalencia en \ . En el
conjunto U œ \ÎI cociente de \ por la relación I , consideremos la topología coinicial dada por la aplicación canónica : À \ \ÎI , que asocia a cada B − \ la
clase de equivalencia que lo contiene. Esta es la topología cociente en \ÎI .
El espacio topológico \ÎI es el espacio cociente de \ por la relación I .
: es llamada aplicación cociente.
ì Sean \ , ] espacios topológicos y 0 À \ ] una aplicación continua sobre ] . Se
define la relación I por:
BIBw Í 0 B œ 0 Bw . Consideremos la aplicación
cociente : À \ \ÎI , existe una única aplicación 0 À \ÎI ] tal que
0 : B œ 0 B . No siempre 0 À \ÎI ] es un homeomorfismo. Para que eso se
tenga es necesario y suficiente que la topología de ] sea co-inducida por 0 .
ì Si 0 À \ ] es una aplicación continua y abierta de \ sobre ] , entonces la
topología de ] es co-inducida por 0 .
ì Una aplicación 0 À \ ] es un homeomorfismo local cuando todo punto
B − \ pertenece a un abierto Y tal que 0 Y œ Z es abierto en ] y 0 es un
homeomorfismo de Y sobre Z .
ì Dada una relación de equivalencia I en un espacio topológico \ , la aplicación
cociente : À \ \ÎI es abierta si y sólo si, el saturamiento :" Ò: E Ó de todo
subconjunto abierto E § \ , es aún abierto.
ì Cuando : À \ \ÎI es una aplicación abierta, la relación de equivalencia I se
dice una relación abierta.
13. Una base
de abiertos, o simplemente, una base en un espacio topológico \
es una colección µ de subconjuntos abiertos de \ llamados abiertos básicos
con la siguiente propiedad: Todo subconjunto E § \ se expresa como reunión de
abiertos F- ŠE œ ∪ F- ‹ pertenecientes a µ.
-
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
8
ì Sea \ un espacio topológico. Una colección µ de abiertos de \ constituyen una
base de \ si y sólo si, para cada abierto E § \ y cada punto B − E existe un
conjunto FB − µ tal que B − FB § E.
ì Sea µ una colección de subconjuntos de un conjunto \ , para que µ sea una
base de una topológia sobre \ es necesario y suficiente que se cumplan las
siguientes condiciones:
" para cada B − \ , existe F − µ tal que B − F
# si B − F" ∩ F# donde F" ß F# − µ entonces existe F − µ tal que
B − F § F" ∩ F# (esta condición se cumple en particular cuando F" ∩ F# − µ)Þ
ì Sean \" ß \# ß á ß \8 espacios topológicos. En el conjunto \ œ \" ‚ â ‚ \8
producto de los \3 , consideremos la colección µ, formado por los abiertos
elementales E œ E" ‚ â ‚ E8 donde E" § \" ß á ß E8 § \8 son abiertos. Como
E" ‚ â ‚ E8 ∩ F" ‚ â ‚ F8 œ E" ‚ F" ∩ â ∩ E8 ‚ F8
se sigue que µ es base de una topología en \ , llamada topología producto.
ì La topología producto en \ œ \" ‚ â ‚ \8 tiene las siguientes propiedades:
+ Las proyecciones son continuas y abiertas.
,
Dado un espacio topológico ^ , una aplicación 0 À ^ \ con
0 D œ 0" D ß á ß 08 D , es continua en el punto , − ^ si y sólo si, cada coordenada
03 œ :3< ‰ 0 À ^ \3 es continua en el punto ,.
- Si \" ß á ß \8 son metrizables, entonces \ es metrizable y su topología
puede ser determinada por cualquiera de las tres metricas usuales en el producto.
14.
Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Un punto B − W se llama
punto interior de W cuando existe un abierto E de \ tal que B − E § W .
‰
ì El interior de W es el conjunto 38> W œ W formado de todos los puntos interiores
de W .
ì El interior de un conjunto W , en un espacio topológico \ , es la reunión de todos
los subconjuntos abiertos de \ que estan contenidos en W . En particular, 38> W es
abierto en \ .
ì W es abierto si y solamente si W œ 38> W .
ì Un punto B − \ tiene interior vacío si y sólo si, B es un punto aislado.
ì Todo subespacio vectorial P de un espacio vectorial normado I , con P Á I , tiene
interior vacío.
ì En un espacio topológico \ se dice que un conjunto Z es una vecindad de un
‰
punto B − \ cuando B − 38> Z œ Z . Esto quiere decir naturalmente que Z contiene
un abierto que contiene a B como elemento.
ì + Un conjunto E es abierto en un espacio topológico \ si y sólo si, es una
vecindad de cada uno de sus puntos.
, Sean \ , ] espacios topológicos. Una aplicación 0 À \ ] es continua en el
punto + − \ si y sólo si, para cada vecindad Z del punto 0 + en ] existe una
vecindad Y del punto + en \ tal que 0 Y § Z .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
9
ì La frontera de un subconjunto W de un espacio topológico \ es un conjunto
fr W formado por todos los puntos B − \ tales que toda vecindad de B contiene
puntos de W y del complementario \  W , esto es,
fr W œ ÖB − \à B  38> \  W • B  38>W× œ W ∩ C\ W .
ì Si 38> W œ ø entonces W § fr W .
ì Sea ] un espacio topológico, \ un subespacio de ] y B un punto de \ . Las
vecindades de B son las intersecciones Z ∩ \ donde Z es una vecindad de B
en ] .
15.
Un subconjunto J de un espacio topológico \ se dice cerrado cuando su
complementario \  J es abierto.
ì A fin de que J sea un subconjunto cerrado de \ , es necesario y suficiente que
para cada B − \  J exista un abierto YB con B − YB § \  J , esto es, B − YB y
YB ∩ J œ ø .
ì Los subconjuntos cerrados de un espacio topológico \ gozan de las siguientes
propiedades:
" El conjunto vacío ø y el espacio entero \ son cerrados.
#
La intersección J œ ∩ J- de una familia cualquiera ÖJ- ×-−A
-
finita o infinita de subconjuntos cerrados
J- § \ es un subconjunto cerrado
de \ .
$ La reunión J œ J" ∪ â ∪ J8 de un número finito de subconjuntos
cerrados J" ß á ß J8 § \ es un subconjunto cerrado de \ .
ì Sean \ y ] espacios topológicos. Para que una aplicación 0 À \ ] sea continua
es necesario y suficiente que la imagen inversa 0 " J w de todo subconjunto
cerrado J w § ] sea un subconjunto cerrado en \ .
ì Sea 0 À \ ] una aplicación biunívoca de \ sobre ] . A fin de que 0 sea un
homeomorfismo es necesario y suficiente que la siguiente condición sea
satisfecha: Dado T § \ , 0 T es cerrado en ] si y sólo si, T es cerrado en \ .
ì En un espacio de Hausdorff \ , todo punto B es un subconjunto cerrado de \ . La
recíproca es falsa, como ejemplo tome la topología de los complementos finitos
sobre un espacio infinito \ .
ì Una aplicación 0 À \ ] \ß ] espacios topológicos se dice cerrada cuando
la imagen 0 J de todo subconjunto cerrado J § \ es un subconjunto cerrado de
].
ì Sean \ , ] espacios topológicos, ] un espacio de Hausdorff. El gráfico de una
aplicación continua 0 À \ ] es un subconjunto cerrado
G J œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] à B − \×
del espacio producto \ ‚ ] .
ì Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Dada 0 À \ Q , las
aplicaciones que estan a una distancia finita de 0 y son continuas en un punto
dado + − \ forman un subconjunto cerrado del espacio µ0 \à Q .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
10
ì Las aplicaciones continuas forman un subconjunto cerrado de µ0 \à Q . En
particular, las aplicaciones continuas acotadas forman un subconjunto cerrado de
µ \à Q .
16.
Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ , un punto B − \ se dice
adherente a W cuando toda vecindad de B en \ contiene por lo menos un
punto de W .
ì El conjunto de los puntos de \ que son adherentes a W es llamado la cerradura
o adherencia de W y es indicado por W .
ì Así B − W si y sólo si, para todo abierto E del espacio \ con B − E implica
E ∩ W Á ø.
ì Evidentemente, W § W cualquiera que sea W § \ .
ì La adherencia de un subconjunto W en un espacio topológico \ , es la
intersección de todos los subconjuntos cerrados de \ que contienen a W .
ì J § \ es cerrado si y solamente si J œ J .
ì La adherencia de un conjunto W en un espacio topológico \ es el menor
subconjunto cerrado de \ que contiene a W . Más exactamente
" W es cerrado en \
# W¨W
$ si J es un subconjunto cerrado de \ que contiene a W , entonces J ¨ W .
ì Sea \ un subespacio de un espacio topológico ] . La adherencia
relativamente a \ de un subconjunto W § \ es la intersección de \ con la
\
]
adherencia de W en ] ŠW œ \ ∩ W ‹.
ì Sea W un subconjunto de un espacio métrico Q ß . . Entonces B − W si y sólo si,
. Bß W œ !.
ì Para que un subconjunto J de un espacio métrico Q ß . sea cerrado es
condición necesaria y suficiente que . Bß J œ ! implique que B − J .
17.
Dados dos subespacios cerrados distintos J ß K en un espacio métrico Q ß . ,
!ß si B − J
existe una función real continua : À Q Ò!ß "Ó tal que : B œ œ
"ß si B − K
ŠBasta definir : B œ
. BßJ
. BßJ . BßK
‹
ì Sean J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico Q ß . .
Existen abiertos Y ß Z en Q tales que J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø.
ì Un espacio topológico \ se llama normal
cuando dados dos cerrados
J , K § \ , con J ∩ K œ ø existen abiertos Y ß Z § \ con J § Y , K § Z y
Y ∩ Z œ ø.
ì Todo espacio topológico métrizable es un espacio normal.
ì TEOREMA DE URYSOHN: En todo espacio normal \ , dados dos cerrados disyuntos
J ß K, existe siempre una función real continua : À \ Ò!ß "Ó tal que
!ß si B − J
: B œœ
"ß si B − K
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
11
ì Sean J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio topológico \ . Una
función continua : À \ Ò!ß "Ó con : J œ !, : K œ " es llamada una función de
Urysohn del par J ß K .
ì W § \ es cerrado si y solamente si W ¨ fr W .
18. Sea W
un subconjunto de un espacio topológico \ . Un punto B − \ es llamado
un punto de acumulación de W cuando toda vecindad Z de B en \ contiene
algún punto = − W , distinto del punto B. El conjunto de todos los puntos de
acumulación de W se llama derivado y es indicado con W w .
ì Sea \ un espacio topológico. Para todo subconjunto W § \ß se tiene W œ W ∪ W w .
ì Un conjunto J § \ es cerrado si y sólo si, contiene todos sus puntos de
acumulación.
ì Si W § \ no posee puntos de acumulación, entonces, todo subconjunto de W es
cerrado en \ .
ì Sea \ un espacio de Hausdorff. Para que un punto B − \ sea de acumulación de
un subconjunto W § \ es necesario y suficiente que toda vecindad de B contenga
una infinidad de puntos de W .
ì En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito tiene derivado vacío.
ì En un espacio de Hausdorff \ , el derivado de cualquier subconjunto W es
cerrado, esto es, W w ¨ W ww .
19.
Un espacio topológico \ se llama conexo cuando \ y ø son los únicos
subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados.
ì Un espacio topológico \ es conexo si y solamente si, no puede ser expresado
como reunión de dos subconjuntos abiertos, disyuntos y no vacíos.
ì Un conjunto W es abierto y cerrado simultáneamente si y sólo si, su frontera es
vacía.
ì Todo intervalo de la recta es un espacio conexo.
ì Todo subconjunto conexo de la recta es un intervalo.
ì La imagen de un conjunto conexo W por una aplicación continua 0 À \ ] , es un
conjunto conexo 0 W Þ
ì Sean \ un espacio topológico conexo y 0 À \ d una función real continua. La
imagen 0 \ es un intervalo.
ì Sea 0 À Ò+ß ,Ó d una función real continua definida en el intervalo Ò+ß ,Ó. Si
0 +  -  0 , entonces existe B − Ò+ß ,Ó tal que 0 B œ - .
ì Un camino en un espacio topológico \ es una aplicación 0 À M \ , donde M es
el intervalo cerrado Ò!ß "Ó. Los puntos + œ 0 ! y , œ 0 " son llamados los extremos
del camino 0 , + œ 0 ! es el punto inicial y , œ 0 " el punto final.
ì Un espacio topológico \ se dice conexo por camino o por arcos, cuando
dados dos puntos cualesquiera +ß , − \ existe siempre un camino 0 À M \ con
0 ! œ + y 0 " œ ,.
ì Sea I un espacio vectorial normado, un subconjunto W § I se dice convexo
cuando, dados dos puntos cualesquiera +ß , − W el segmento de recta
Ò+ß ,Ó œ Ö "  > +  >,à ! Ÿ > Ÿ "× está enteramente contenida en W .
Darío Sánchez H.
12
TOPOLOGIA GENERAL
20. Si los caminos 0 ß 1 À M \ en el mismo espacio topológico \ son tales que
0 " œ 1 ! , se puede definir un camino yuxtapuesto, 0 ” 1 À M \ del siguiente
modo
0 #> ß
si ! Ÿ > Ÿ "#
0 ”1 > œ
1 #>  " ß si "# Ÿ > Ÿ "
ì Todo espacio topológico conexo por arcos, es conexo.
ì La recíproca de la afirmación anterior es falsa, tome como ejemplo el llamado
espacio peinilla, esto es, la reunión en d # de los siguientes conjuntos:
"Ñ El segmento unitario N œ Ö Bß ! à ! Ÿ B Ÿ "× del eje de las abscisas,
#Ñ segmentos verticales unitarios N8 œ Öˆ 8" ß C‰à ! Ÿ C Ÿ "×, levantados sobre los
puntos de N los cuales tienen abscisa de la forma 8" ß 8 − ß
$Ñ el punto + œ ˆ!ß "# ‰
ì Sea \ un espacio topológico y W un subconjunto de \ se dice denso cuando
W œ \ . Si W es además conexo, también \ es conexo.
ì Sea W un subconjunto conexo del espacio topológico \ . Si W § X § W entonces
X es conexo.
ì Si W § d , 2 À W d # es un homeomorfismo de W sobre 0 W entonces 0 W tiene
interior vacío en d # . Procediendo por absurdo se llega a que un intervalo es
homeomorfo a un disco, lo cual es po contradictorio.
ì Sea N § d un intervalo. Una función continua 0 À N d es un homeomorfismo de
N sobre 0 N si y solamente si 0 es estrictamente monótona.
ì Sea ÖW- ×- una familia de subconjuntos conexos de un espacio topológico. Si
existe un punto B! , común a todos los W- , entonces W œ ∪ W- es conexo.
-
ì La reunión de todos los subconjuntos conexos de un espacio topológico \ que
contienen un punto B − \
es un conjunto conexo GB el cual llamaremos
componente conexa de B en el espacio.
ì La componente conexa GB es un subconjunto conexo maximal de \ .
ì Toda componente conexa GB es un conjunto cerrado.
ì \ es conexo, si y solamente si, es la componente conexa de cada uno de sus
puntos.
ì Nótese que el conjunto de los números racionales  es un espacio no discreto.
21.
Un espacio topológico \ se dice totalmente disconexo cuando sus únicos
subconjuntos conexos son ø y sus puntos. Esto equivale a decir que sus
componentes conexas son puntos.
ì Un espacio topológico \ se dice localmente conexo cuando para todo B − \ y
toda vecindad Y de B, existe una vecindad conexa Z de B tal que Z § Y .
ì El conjunto de los números racionales no es conexo ni localmente conexo.
ì Todo espacio vectorial normado es localmente conexo, pues toda bola es
conexa.
ì Un espacio conexo puede no ser localmente conexo, tome por ejemplo el
espacio peinilla.
Darío Sánchez H.
13
TOPOLOGIA GENERAL
ì A fin de que un espacio topológico \ sea localmente conexo es necesario y
suficiente que para cada abierto E § \ , las componentes conexas de E sean
subconjuntos abiertos de \ .
ì Una componente conexa por caminos
de un punto B en un espacio
topológico \ es la reunión de todos los subconjuntos conexos por caminos de \
que contienen a B.
ì Un espacio topológico \ se dice localmente conexo por caminos cuando
para todo B − \ y toda vecindad Y de B existe una vecindad Z de B conexa por
caminos con Z § Y .
ì Sea \ un espacio localmente conexo por caminos. Si por otra parte \ es conexo
entonces también es conexo por caminos.
ì Sea G un subconjunto conexo de un espacio topológico \ . Si para algún W § \ ,
‰
se tiene que G ∩ W Á ø y G ∩ \  W Á ø entonces G ∩ fr W Á ø. O sea si un
conjunto conexo G contiene un punto interior de W y un punto fuera de W ,
entonces G contiene algún punto de la frontera de W .
22. Límites: En
un espacio métrico Q para una sucesión ÖB8 ×8 § Q , se tiene que
B œ lim B8 si y solamente si, para todo subconjunto abierto E conteniendo al punto
8Ä∞
B, existe un índice 8! tal que si 8  8! implica que B8 − E. En este caso se dice que
la sucesión ÖB8 ×8 es convergente y que converge a B.
ì En un espacio métrico \ , lim B8 œ B si y solamente si para cada vecindad Z del
8Ä∞
punto B existe un indice 8! tal que B8 − Z para todo 8  8! .
ì En un espacio métrico Q , una sucesión convergente posee un único límite.
ì Para que una sucesión ÖB" ß B# ß á ß B8ßá × en un espacio métrico Q , posea una
subsucesión convergente para un punto + − Q es necesario y suficiente que toda
vecindad de + contenga términos B8 con índices 8 arbitrariamente grandes.
ì Si B8 +, entonces toda subsucesión de ÖB8 ×8− converge para +.
ì Sea + − Q un punto aislado. Entonces B8 + si y sólo si, existe 8! −  tal que
B8 œ + para todo 8  8! .
ì Toda sucesión convergente en un espacio métrico Q es acotada. La recíproca es
falsa.
ì Dado un subconjunto no vacío acotado E, de un espacio métrico Q , existen
sucesiones de puntos B8 ß C8 − E tales que
lim . B8 ß C8 œ $ E . (Nótese que
8Ä∞
ÖB8 ×8 ß ÖC8 ×8 no necesariamente son sucesiones convergentes). Análogamente,
dado + − Q existe una sucesión de puntos +8 − E con
lim . +8 ß + œ . +ß E .
8Ä∞
Finalmente, dados Eß F § Q , existen sucesiones de puntos +8 − Eß ,8 − F con
. + 8 ß ,8
. Eß F .
‡
ì Sea T œ Ö!ß "ß "# ß á ß 8" ß á × con la métrica inducida de la recta. Dada una sucesión
ÖB8 ×8 en un espacio métrico Q , se tiene lim B8 œ B − Q si y sólo si, la aplicación
0 ÀT
Q ß definida por 0 ˆ 8" ‰ œ B8 ß 0 ! œ B es continua.
ì Sea Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 un producto de espacios métricos. Dar una sucesión
ÖB8 ×8 en Q equivale a dar 5 sucesiones coordenadas ÖB8" ×8− en Q" ,á ,ÖB85 ×8− en
8Ä∞
‡
Darío Sánchez H.
14
TOPOLOGIA GENERAL
Q5 de modo que B8 œ B8" ß B8# ß á ß B85 . Sea + œ +" ß +# ß á ß +5 − Q ,
lim B8 œ + si y sólo si, para cada 3 œ "ß #ß á ß 5 se tiene lim B83 œ +3 .
8Ä∞
23. Sean Q
se tiene
8Ä∞
y R espacios métricos. Para que una aplicación 0 À Q R sea continua
en el punto + − Q es necesario y suficiente que si B8 + en Q entonces 0 B8 0 +
en R Þ
ì Para que 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es suficiente que si B8 + en
Q implique que Ö0 B8 ×8− sea convergente en R .
ì Para que 0 À Q R sea continua es necesario y suficiente que la imagen
Ö0 B8 ×8− de toda sucesión convergente ÖB8 ×8− en Q , sea convergente en R .
ì A fin de que 0 À Q R sea continua en el punto + − Q es suficiente que para
toda sucesión ÖB8 ×8− en Q convergente para +, entonces la sucesión imagen
Ö0 B8 ×8− admita una subsucesión convergente a 0 + .
ì Sea W un subconjunto de un espacio métrico Q . Para que B − W en Q es
necesario y suficiente que B sea límite de una sucesión de puntos B8 − W .
ì Un punto B − Q pertenece a la frontera de W si y sólo si,
B œ lim B8, B8 − W y
B œ lim C8 ß C8 − Q  W .
8Ä∞
8Ä∞
ì Sean 0 ß 1 À Q R aplicaciones continuas. Dado W § Q si 0 B œ 1 B para todo
B − W entonces 0 B œ 1 B para todo B − W .
ì Para que un subconjunto J de un espacio métrico Q sea cerrado es necesario y
suficiente que él contenga el límite de toda sucesión de puntos B8 − J .
ì Sea Q un espacio métrico. Para que un subconjunto E § Q sea abierto es
necesario y suficiente que si toda sucesión ÖB8 ×8− que converge para un punto
+ − E, se tenga que B8 − E para todo 8 suficientemente grande.
ì Sea Q un espacio métrico. Para que B − Q sea punto de acumulación de un
subconjunto W § Q es necesario y suficiente que exista una sucesión de puntos
B8 − W con B8 Ä B y B7 Á B8 para 7 Á 8.
24.Sucesiones de funciones.
Sea \ un conjunto cualquiera y Q un espacio métrico.
Se dice que una sucesión de aplicaciones 08 À \ Q converge simplemente para
una
aplicación
0 À\ Q
cuando,
para
cada
B − \,
la
sucesión
Ö0" B ß 0# B ß á ß 08 B ß á × de puntos 08 B − Q converge para el punto 0 B − Q .
ì Así 08 Ä 0 simplemente, si y solamente si, para cada B − \ y cada %  ! existe
un número positivo 8! œ 8! Bß % tal que 8  8! Bß % implica . 08 B ß 0 B  %.
ì Se dice que 08 Ä 0 uniformemente, si y sólo si, cuando dado %  ! es posible
obtener 8! œ 8! % (dependiendo sólo de %) tal que 8  8! implica . 08 B ß 0 B  %ß
para todo B − \ .
ì Si 08 Ä 0 uniformemente, entonces 08 Ä 0 simplemente, la recíproca es falsa.
ì Si 08 Ä 0 uniformemente, entonces para todo 8 suficientemente grande, 08 está
a una distancia finita de 0 y 08 Ä 0 en el espacio µ0 \à Q . Recíprocamente si
08 Ä 0 en µ0 \à Q entonces 08 converge uniformemente para 0 .
ì El límite de una sucesión uniformemente convergente de aplicaciones 08 À \ Q
es una aplicación acotada 0 À \ Q
Darío Sánchez H.
15
TOPOLOGIA GENERAL
ì Se tiene que 08 Ä 0 uniformemente si y sólo si, 08 Ä 0 como puntos del espacio
µ \à Q .
ì Si 08 Ä 0 simplemente, entonces se puede tener cada 08 acotada sin que 0 lo
sea.
Tome para cada 8 − , 08 À d d la función dada por
! para lBl Ÿ 8
08 œ œ
Ê 08 Ä 0 À d d dada por 0 B œ B. Cada 08 es acotada,0 no.
8 para lBl>8
ì Sean \ un espacio topológico, Q un espacio métrico y Ö08 ×8− una sucesión de
funciones de \ en Q convergiendo uniformemente para una aplicación 0 À \ Q .
Si cada 08 es continua en un punto dado + − \ entonces 0 es continua en el
punto +.
ì Dados un conjunto \ y un espacio métrico Q , fijamos una colección G de
partes de \ . Se dice que una sucesión de aplicaciones 08 À \ Q converge para
una aplicación 0 À \ Q uniformemente en los subconjuntos de G cuando, para
cada W − G, la sucesión de las restricciones 08 lW À W Q converge uniformemente
para la restricción 0 lW À W Q . Esto significa que para cada W − G y cada %  !
existe un entero 8! œ 8! Wß % tal que 8  8! implica . 08 B ß 0 B  % para todo
B − W.
ì Dada una sucesión de aplicaciones continuas 08 À Q R y una aplicación 0 À Q
R , supongamos que cada punto B − Q posea una vecindad Z tal que 08 lZ converge
uniformemente
(esto es, 08 converge uniformemente para 0 , localmente)
entonces 0 À Q R es continua.
ì Sea 0 À d d una función y - un número real. Se dice que 0 tiene límite - en
infinito cuando, para cada %  !, existe 5  ! tal que lBl  5 implica l0 B  -l  %.
Se escribe entonces
lim 0 B œ - .
lBlÄ∞
ì
Si 08 Ä 0 uniformemente en cada uno de los subconjuntos W" ß á ß W5 § \
entonces 08 Ä 0 uniformemente en W œ
5
∪ W3 .
3œ"
ì Si 08 Ä 0 uniformemente en W , entonces 08 Ä 0 uniformemente en cualquier
parte de W .
25.Límite de una función.- Sea
0 À Q R una aplicación del espacio métrico Q en
el espacio métrico R . Dado un punto + − R se dice que el punto , − R es el límite
de 0 B cuando B tiende para +, y escribimos , œ lim 0 B cuando todo %  ! existe
BÄ+
$  ! tal que . Bß +  $ implica . 0 B ß ,  %.
ì Sean E un subconjunto del espacio topológico \ , 0 À E ] una aplicación
definida en E y tomando valores en un espacio topológico ] y + − E un punto de
\ , adherente al conjunto E. Diremos que el punto , − ] es límite de 0 B cuando B
tiende para + si para cualquier Z − µ , ß bY − µ B tal que B − Y ∩ E implica
0 B − Z . Se escribe entonces , œ lim 0 B .
BÄ+
ì Cuando el espacio ] es Hausdorff, se tiene unicidad cuando el límite existe.
Darío Sánchez H.
16
TOPOLOGIA GENERAL
ì Sean Q ß R espacios métricos, E § Q , 0 À E
R y + − E. Para que exista
, œ lim 0 B es necesario que lim 0 B8 œ , para toda sucesión de puntos B8 − E
BÄ+
BÄ∞
con B8 Ä + y es suficiente que Ö0 B8 ×8− sea convergente en R , siempre que
B8 − E,
B8 Ä +Þ
ì Sean Q ß R espacios métricos, E un subespacio de Q y 0 À E R una aplicación
continua. Si para cada + − E existe el límite lim 0 B entonces la aplicación J À E
BÄ+
R definida por J + œ 0 + para + − E y J + œ lim 0 B
26.
BÄ+
para + − E  E, es continua.
Un sistema fundamental de vecindades de un punto B en un espacio
topológico \ es una colección µ B de vecindades de B con la siguiente
propiedad: Dada cualquier vecindad Y de B en el espacio \ , existe una vecindad
Z − µ B tal que Z § Y .
ì El sistema se dice sistema fundamental enumerable cuando µ B es un conjunto
enumerable.
ì + Sea µ B un sistema fundamental de vecindades de un punto B en un espacio
topológico \ . A fin de que B pertenezca al interior de un conjunto W § \ es
necesario y suficiente que exista Z − µ B tal que Z § WÞ Análogamente B − W si y
sólo si, para toda Z − µ B se tiene Z ∩ W Á ø.
, Sean \ , ] espacios topológicos 0 À \ ] una aplicación, µ + un sistema
fundamental de vecindades de un punto + − \ y À , un sistema fundamental de
vecindades del punto , œ 0 + − ] . Para que 0 sea continua en el punto + es
necesario y suficiente que para cualquier [ − À , existe Z − µ + tal que
0 Z § [.
ì En un espacio métrico todo punto B posee un sistema fundamental de
vecindades enumerable.
ì Sean >" ß ># ß á ß >8 − dß N" ß N# ß á ß N8 § d , 8 intervalos y constrúyase los conjuntos
E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 œ Ö0 À d dà 0 >" − N" ß á ß 0 >8 − N8 ×
En esta forma toda función 0 − ¹ dß d œ \ pertenece a alguno de los conjunto de
la forma E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 . Se sigue entonces que estos conjuntos
E >" ß á ß >8 ß N" ß á ß N8 forman una base de una topología para \ llamada topología
de la convergencia simple.
ì La topología así definida brinda un ejemplo de un espacio topológico donde los
puntos no admiten un sistema fundamental de vecindades enumerables.
ì Un espacio topológico \ es un espacio I" cuando todo punto B − \ posee un
sistema fundamental de vecindades enumerable.
ì En un espacio de Hausdorff, una sucesión convergente posee un único límite.
Recíprocamente, si \ es un espacio I" en el cual toda sucesión convergente posee
un único límite, entonces \ es un espacio de Hausdorff.
ì En un espacio topológico \ para que una sucesión ÖB8 ×8− posea una
subsucesión convergente para un punto D − \ es necesario que toda vecindad de D
contenga términos B8 con índices arbitrariamente grande. Si \ es un espacio I" ,
esta condición es también suficiente.
Darío Sánchez H.
17
TOPOLOGIA GENERAL
ì Sean \ y ] espacios topológicos, ] de Hausdorff. Para que una aplicación
0 À \ ] sea continua en el punto + − \ es necesario que B8 Ä + implique
0 B8 Ä 0 + en ] . Cuando \ es un espacio I" esta condición también es
suficiente (aunque ] no sea I" ) .
ì Sea W un subconjunto de un espacio topológico \ . Para que B − W es suficiente
que exista una sucesión de puntos B8 − W con B œ lim B8 . Cuando \ es un espacio
8Ä∞
I" esta condición también es necesaria.
ì Un espacio topológico \ se dice regular si todo punto posee un sistema
fundamental de vecindades cerradas.
ì Sea 0 À E ] una aplicación continua, definida en un subespacio E de un
espacio topológico \ y tomando valores en un espacio de Hausdorff regular ] . Si
para cada + − E existe el límite lim 0 B entonces la aplicación J À E ] definida
BÄ+
por J + œ lim 0 B , + − E es continua.
27.Sean
BÄ+
Q , R espacios métricos. Una aplicación 0 À Q R se dice uniformemente
continua cuando, para todo %  ! dado arbitrariamente se puede obtener un $  !
tal qu Bß C  $ implica que . 0 B ß 0 C  %, cualesquiera sean Bß C − Q .
ì Sean Q ß R ß T espacios métricos. Si 0 À Q R y 1 À R T son funciones
uniformemente continuas entonces 1 ‰ 0 À Q T es uniformemente continua.
ì Si 0 À Q R es uniformemente continua y E § Q entonces la restricción 0 lE es
uniformemente continua.
..
ì Decimos que una aplicación 0 À Q R satisface a una condición de Ho lder de
orden α, cuando para cualquier Bß C − Q , se tiene
. 0 B ß 0 C Ÿ - † . Bß C α
donde - y α son constantes. Si esto ocurreß 0 es uniformemente continua.
ì 1Àd d
, 0 À d d
son homeomorfismos uniformemente continuos
$
B È ÈB
B È ÈB
cuyos inversos no son uniformemente continuos. También nos brindan un ejemplo
de funciones que son uniformemente continuas y no cumplen la condición de
Lipschitz.
28.
Sean . y . w respectivamente ." y ."w métricas uniformemente equivalentes en
un espacio métrico Q resp. un espacio métrico R . Si 0 À Q ß .
R ß ." es
w
w
uniformemente continua, entonces 0 À Q ß .
R ß ." también lo es.
ì Sean Q ß R espacios métricos y \ un conjunto. Para que una aplicación : À Q
R
induzca
una
aplicación
continua
:‡ À ¹ \à Q
¹ \à R
definida por :‡ 0 œ : ‰ 0 , es suficiente que : sea uniformemente continua. Si
\ es infinito, esta condición también es necesaria.
ì Si una secuencia de aplicaciones 08 À \ Q converge uniformemente para
0 À \ Q y si : À Q R es uniformemente continua, entonces : ‰ 08 À \ R
converge uniformemente para : ‰ 0 À \ R .
ì Si : À Q R es un homeomorfismo uniforme, entonces :‡ À ¹ \à Q
¹ \à R es
"
un homeomorfismo cuyo inverso es dado por : ‡ À ¹ \à R
¹ \à Q .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
18
ì Si : À Q R a más de ser uniformemente continua es una aplicación acotada
en particular, si la métrica de R es acotada
entonces :‡ ¹ \à Q § µ \à R y
una restricción de :‡ a cada µα \à Q es una aplicación uniformemente continua
µα \à Q µ \à R .
ì Dos métricas uniformemente equivalente en un espacio métrica Q definen la
misma topología en ¹ \à Q . Si ambas métricas son acotadas, ellas definen en
¹ \à Q œ µ \à Q métricas uniformemente equivalentes.
ì Sean cuales fueren el conjunto \ y el espacio métrico Q , el espacio topológico
¹ \à Q es métrizable.
ì Dado un espacio métrico Q ß . , las métricas . w y . ww definidas por
. BßC
. w œ 738Ö"ß . Bß C × y . ww œ ".
son uniformemente equivalentes a . .
BßC
29. Sea
R œ R" ‚ â ‚ R5 el producto cartesiano de los espacios métricos R3 con la
métrica dada por
. ww Bß C œ 7+BÖ. B" ß C" ß á ß . B5 ß C5 ÎB œ B" ß á ß B5 ß C œ C" ß á ß C5 ×.
Sea Q otro espacio métrico, una aplicación 0 À Q R es uniformemente continua
si y sólo si, las aplicaciones coordenadas 03 À Q R3 definidas por
0 B œ 0" B ß á ß 05 B ß B − Q son uniformemente continuas.
ì Se dice que un espacio topológico ] es suma topológica de una familia de
subespacios Ö]α ×α−E ß cuando ] œ ∪ ]α los ]α son dos a dos disyuntos y cada uno
de ellos es abierto y por lo tanto cerrado en ] .
ì Un ejemplo es ¹ \à Q œ w∪ µαw \à Q ,
α Áα
α − E œ Örepresentante α:\
30. Una sucesión
si lim $ \8
8Ä∞
Q de los µ0 \à Q ×
ÖB8 ×8− en un espacio métrico Q es de Cauchy
œ ! donde \8 œ ÖB8 ß B8" ß á ×.
si y solamente
ì Toda sucesión de Cauchy es acotada.
ì En un espacio métrico: + Toda subsucesión de una sucesión de Cauchy es
también una sucesión de Cauchy. , Toda sucesión convergente es una sucesión
de Cauchy. - La imagen de una sucesión de Cauchy, por una aplicación
uniformemente continua, es una sucesión de Cauchy.
ì Dos métricas uniformemente equivalentes en el mismo espacio métrico Q
determinan las mismas sucesiones de Cauchy en Q .
ì Sean T œ Ö"ß "# ß "$ ß á ß 8" ß á ×, Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 el producto cartesiano de 5
espacios métricos, 0 À T
Q una función definida por
"‰
ˆ
0 8 œ B8 œ B8" ß B8# ß á ß B85 .
Se tiene que ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy si cada una de las sucesiones
ÖB"3 ß B#3 ß á ß B83 ß á × es de Cauchy para cada 3 œ "ß #ß á ß 5 . Además tenemos que las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
3 ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en el espacio métrico Q .
33 0 À T Q es uniformemente continua.
333 Para cada 03 À T Q3 , determinada por 03 ˆ 8" ‰ œ B83 , es uniformemente continua.
[email protected] Cada sucesión de coordenadas ÖB83 ×8− es de Cauchy en Q3 .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
19
31.Sea
ÖB8 ×8− una sucesión de Cauchy en un espacio métrico Q . Si alguna
subsucesión ÖB85 ×5− converge para un punto B − Q entonces ÖB8 ×8− también
converge para el punto B.
ì Se dice que un espacio métrico Q es completo cuando toda sucesión de
Cauchy en Q es convergente.
ì El producto cartesiano Q œ Q" ‚ â ‚ Q5 es completo, si y solamente si, cada
uno de los factores Q" ß Q# ß á ß Q5 es un espacio métrico completo.
ì El espacio euclidiano d 8 es completo.
ì Dado α À \ Q , sea ¶α \à Q el conjunto de las aplicaciones continuas
0 À \ Q tales que . 0 ß α  ∞. Si Q es completo, ¶α \à Q también es completo
en relación a la métrica uniforme . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×.
32.Llámase
espacio de Hilbert
a todo espacio vectorial I , provisto de un
producto interno <B,C> y completo relativamente a la norma lBl œ È  Bß B  .
ì El espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. Sea H el
conjunto de las sucesiones B œ ÖB" ß B# ß á ß B8ßá × de números reales tales que
∞
8œ"
B#8  ∞.
ì
Dados B œ ÖB3 ×ß C œ ÖC8 × en H
absolutamente convergente y l
la serie de números reales
B3 C3 l Ÿ
B3 C 3
3
es
lB3 C3 l Ÿ lBl † lCl.
s ß 0 ‰, donde 0 À Q Q
s es
de un espacio métrico Q es un par ˆQ
s es completo y 0 Q es denso en Q
s.
una inmersión isometrica, Q
µ
s ß 0 ‰ y Š Q ß 1‹ completados del mismo espacio métrico Q . Existe una
ì Sean ˆQ
µ
s
única isometría : À Q
Q tal que : ‰ 0 œ 1.
ì Todo subconjunto abierto E de un espacio métrico completo Q , es homeomorfo
a un espacio métrico completo. Tómese 0 À Q d función continua que se anula en
Q  E 0 B œ . Bß Q  E . : À E d ; : B œ 0 "B
33. Un completado
3
3
ì Teorema de Cauchy: El conjunto d de los números reales con la métrica usual
. Bß C œ lB  Cl es un espacio métrico completo.
ì Todo subespacio cerrado de un espacio métrico completo es también completo.
Recíprocamente, un subespacio completo de cualquier espacio métrico es cerrado.
34.
Sea \ un conjunto cualquiera y Q un espacio métrico completo. Dada
cualquier aplicación α À \ Q , el espacio µα \à Q œ Ö0 À \ Q à . 0 ß α  ∞× es
completo relativamente a la métrica . 0 ß 1 œ supÞÖ. 0 B ß 1 B à B − \×.
ì Todo subconjunto abierto E de un espacio métrico completo Q es homeomorfo
a un espacio métrico completo.
ì Sea W un subconjunto denso de un espacio métrico Q y 0 À W R una aplicación
uniformemente continua, donde R es un espacio métrico completo. Existe una
única extensión continua 0 À Q R la cual es uniformemente continua.
ì Todo espacio métrico Q posee un completado.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
20
35.Un
subconjunto W de un espacio topológico \ se dice magro cuando es una
reunión enumerable W œ ∪ W8 tal que para cada 8, 38>ˆW 8 ‰ œ ø
ì Llámase espacio de Baire un espacio topológico en el cual todo subconjunto
magro tiene interior vacío.
ì Para que un espacio topológico \ sea un espacio de Baire es necesario y
suficiente que toda intersección W œ ∩ E8 de una familia enumerable de abiertos
E8 densos en \ sea un subconjunto denso de \ .
ì Se dice que una familia de cerrados J8 tiene la propiedad del interior vacío si
38> J8 œ ø para todo 8.
ì Un espacio topológico \ es un espacio de Baire si ¹ œ ÖJ- ×-−A es una familia de
cerrados con la propiedad del interior vacío entonces
X œ ∪ J8 tiene la
8−
propiedad de interior vacío.
ì Teorema de Baire: Todo espacio métrico completo es un espacio de Baire.
ì Todo subconjunto abierto E de un espacio de Baire \ es un espacio de Baire.
ì Si todo punto B − \ posee una vecindad que es un espacio de Baire, entonces
\ es un espacio de Baire.
ì El complemento de un subconjunto magro de un espacio de Baire es un espacio
de Baire.
ì Dados los espacios métricos Q y R , siendo Q completo y una sucesión de
aplicaciones continuas 08 À Q R la cual converge simplemente para una
aplicación 0 À Q R ß entonces el conjunto de los puntos de discontinuidad de 0
es un conjunto magro de Q .
36.
Toda contracción 0 À Q Q de un espacio métrico completo Q , posee un
único punto fijo. Dado cualquier punto B! − Q ß la sucesión
0 B! ß 0 # B! ß á ß 0 8 B! ß á
converge para el punto fijo de 0 .
ì Sea E un subconjunto abierto del espacio euclidiano d 8 . Sea 0 À E d 8 una
aplicación de la forma 0 B œ B  : B , donde : À E d 8 es una contracción.
Entonces 0 es un homeomorfismo de E sobre un subconjunto abierto de d 8 .
ì Ser espacio de Baire es una propiedad topológica, luego se sigue del teorema de
Baire que todo espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo es
un espacio de Baire.
ì El conjunto  de los números racionales es un conjunto magro de la recta pero
no es magro en sí mismo.
ì Todo subconjunto cerrado enumerable del espacio euclidiano d 8 posee una
infinidad de puntos aislados.
ì El teorema de Baire proporciona también una demostración del hecho de que el
conjunto de los números reales no es enumerable, por ser un espacio métrico
completo sin puntos aislados.
ì Sea ^ el conjunto de Cantor: ^ es un conjunto magro en la recta, esto es,
38> ^ œ ø , pero no es magro en sí mismo, es un espacio de Baire que no posee
puntos aislados luego no es numerable. Todo homeomorfismo de ^ sobre ^ tiene
puntos fijos. ^ µ
 Ö!ß #× , ^ no posee puntos aislados, por tanto ^ es compacto.
Darío Sánchez H.
21
TOPOLOGIA GENERAL
37.
Teorema de Bolzano-Weierstrass : Todo conjunto infinito y acotado de
números reales posee un punto de acumulación.
ì Teorema de Borel-Lebesgue: Sea ÖM- ×-−A una familia de intervalos abiertos M- tal
que todo punto del intervalo cerrado Ò+ß ,Ó pertenece a uno de los M- , esto es,
Ò+ß ,Ó § ∪ M- . En estas condiciones es posible escoger un número finito de
-−A
intervalos M- de tal forma que Ò+ß ,Ó § M-" ∪ M-# ∪ â ∪ M-8 .
ì Un espacio topológico \ se dice compacto cuando todo recubrimiento abierto
de \ posee un subrecubrimiento con un número finito de abiertos.
ì Un espacio topológico \ es compacto si y sólo si ÖJ- ×-−A es una colección de
cerrados con la propiedad de la intersección finita entonces ∩ J- Á ø.
-−A
ì En un espacio compacto todo subconjunto infinito posee un punto de
acumulación.
ì En un espacio compacto \ todo subconjunto cerrado J es compacto.
ì Se dice que un subconjunto W de un espacio topológico es relativamente
compacto cuando W es un subconjunto compacto de \ .
ì Sea \ un espacio de Hausdorff. Todo subconjunto compacto O § \ es cerrado
en \ . En particular la intersección cualquiera de compactos es compacta.
ì La imagen de un conjunto compacto por una aplicación continua es un conjunto
compacto.
ì Toda aplicación continua 0 À O ] de un espacio compacto O en un espacio de
Hausdorff ] es cerrada.
ì Toda aplicación 0 À O ] continua y biunívoca, de un espacio compacto O sobre
espacios Hausdorff ] es un homeomorfismo.
ì Toda función real continua 0 À O d , definida en un espacio compacto O , es
acotada y alcanza sus
extremos. Esto es, existen B! ß B" − O tales que
0 B! œ infÞÖ0 B à B − \× y 0 B" œ supÞÖ0 B à B − O×.
ì Sea \ ‚ O el producto cartesiano de un espacio topológico arbitrario \ por un
espacio compacto O . Dado un punto B − \ y sea Y § \ ‚ O un abierto tal que
B ‚ O § Y . Entonces existe un abierto E en \ con B − E y E ‚ O § Y .
ì Sea \ un espacio topológico cualquiera. Si O es compacto, entonces la
proyección :"< À \ ‚ O \ es una aplicación cerrada.
ì Para que una función 0 À \ O de un espacio topológico arbitrario \ en un
espacio compacto O , sea continua es suficiente que su gráfico K 0 sea un
subconjunto cerrado del producto \ ‚ O . Si además \ es un espacio de Hausdorff,
la condición también es necesaria.
ì El producto cartesiano \ ‚ ] es compacto si y sólo si, \ y ] son espacios
compactos.
38.
Se dice que una familia ÖJ- ×-−A tiene la propiedad de la intersección
finita cuando cualquier subfamilia finita ÖJ-" ß J-# ß á ß J-8 × tiene intersección no
vacía.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
22
ì Un espacio topológico \ es compacto si y sólo si una familia ÖJ- ×-−A de
subconjuntos cerrados en \ posee la propiedad de la intersección finita entonces
∩
J- Á ø.
-−A
ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \8 es compacto si y sólo si cada uno de
los factores \" ß \ # ß á ß \8 es compacto.
39.
Un espacio topológico \ se dice normal cuando dados dos cerrados
J ß K § \ con J ∩ K œ øß existen abiertos Y ß Z § \ con J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø
ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal.
ì Un espacio topológico \ sea normal si y sólo si, dados en \ un cerrado J y un
abierto E con J § E, existe un abierto Y en \ , tal que J § Y y Y § E.
40. Si la topología de ]
es co-inducida (esto es, F § ] es un abierto Í :" F es
un abierto es \ ) por una aplicación : À \ ] , entonces dado cualquier espacio
topológico ^ , una aplicación 0 À ] ^ es continua si y sólo si, la aplicación
0 ‰ : À \ ^ es continua.
ì Diremos que una aplicación : À \ ] de un espacio topológico \ sobre un
espacio topológico ] , es una aplicación cociente cuando la topología de ] es
co-inducida por :.
ì Sean \ß ] dos espacios topológicos, toda aplicación sobre, continua y cerrada
o abierta : À \ ] es una aplicación cociente.
ì Cuando \ es un espacio compacto y ] es un espacio de Hausdorff , toda
aplicación sobre y continua : À \ ] es una aplicación cociente.
41.
Todo subconjunto compacto convexo O § d 8 tal 38> O Á ø es homeomorfo a
una bola cerrada H § d 8 .
ì Teorema de Borel-Lebesgue: Un subconjunto W del espacio euclidiano d 8 es
compacto si y sólo si, es cerrado y acotado.
ì Un subconjunto de un espacio euclidiano d 8 es relativamente compacto si y sólo
si, es acotado.
ì Si I y J son espacios vectoriales normados un isomorfismo 0 À I J es una
aplicación lineal continua, biunívoca y sobreyectiva, cuya inversa 0 " À J I es
continua (y es necesariamente lineal).
ì Todo espacio vectorial normado I de dimensión finita 8 es isomorfo al espacio
euclidiano d 8 Þ
ì Sean I y J espacios vectoriales normados. Si I tiene dimensión finita entonces
toda aplicación lineal 0 À I J es continua.
ì Dos normas cualesquiera de un espacio vectorial de dimensión finita I son
siempre equivalentes y I es completo en relación a cualquiera de ellas.
ì Todo subespacio de dimensión finita I , de un espacio vectorial normado J , es
cerrado.
ì Un espacio métrico Q se dice totalmente acotado cuando para todo %  ! se
puede expresar Q œ W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 como una reunión de un número finito de
subconjuntos, cada uno de los cuales tiene diámetro menor que %.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
23
ì Si un subconjunto W de un espacio métrico Q es totalmente acotado, su
adherencia (o cerradura) W también lo es.
ì En un espacio métrico Q el diámetro de un conjunto W es igual al diámetro de
su cerradura W .
ì Las siguientes afirmaciones son equivalentes en un espacio métrico Q :
3 Q es compacto.
33 Todo subconjunto infinito de Q posee un punto de acumulación.
333 Toda sucesión en Q posee una subsucesión convergente.
[email protected] Q es completo y totalmente acotado.
42.
Un espacio topológico \ es llamado secuencialmente compacto cuando
toda sucesión en \ posee una subsucesión convergente.
Þ ì Existen espacios topológicos que no son secuencialmente compactos como
Ò!ß "ÓÒ!ß"Ó esto es el conjunto de todas las funciones 0 À Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó es compacto y no
es secuencialmente compacto.
ì Para que un espacio métrico Q sea totalmente acotado es necesario y suficiente
s sea compacto.
que su completado Q
ì Un subconjunto de un espacio métrico completo es totalmente acotado si y sólo
si, es relativamente compacto.
ì Sea G œ ÖG- ×-−A un recubrimiento de un espacio métrico Q . Se dice que un
número %  ! es un número de Lebesgue del recubrimiento G cuando se cumple
la siguiente afirmación: Para todo subconjunto W § Q con $ W  %, existe un
- − A tal que W § G- .
ì Todo recubrimiento abierto G œ ÖY- ×-−A de un espacio métrico compacto Q
posee un número de Lebesgue.
43.
Sean Q ß R espacios métricos. Si Q es compacto, entonces toda aplicación
continua 0 À Q R es uniformemente continua.
ì Un espacio topológico \ se dice localmente compacto cuando todo punto
B − \ posee una vecindad compacta.
ì Para que un espacio métrico Q sea localmente compacto es necesario y
suficiente que todo punto B − Q sea el centro de una bola cerrada compacta.
ì Para que un espacio de Hausdorff \ sea localmente compacto es necesario y
suficiente que todo punto B − \ este contenido en un abierto E cuya adherencia E
es compacto.
ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ , las vecindades compactas
de cada punto constituyen un sistema fundamental vea numeral 26 .
ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ , las vecindades compactas
de un subconjunto compacto O constituyen un sistema fundamental de vecindades
de O .
44.
Un subconjunto W de un espacio topológico \ se dice localmente cerrado
en \ cuando todo B − W posee una vecindad Y en \ tal que Y ∩ W es cerrado en
Y . Esto significa que existe un subconjunto cerrado J en \ tal que Y ∩ J œ Y ∩ W .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
24
ì W es localmente cerrado en \ si y sólo si, W es un subconjunto cerrado de un
conjunto E abierto en \ .
ì En un espacio de Hausdorff localmente compacto \ todo subespacio cerrado W
es localmente compacto. Recíprocamente en cualquier espacio de Hausdorff, todo
subconjunto localmente compacto W , es localmente cerrado en \ .
ì Todo subconjunto localmente compacto W denso de un espacio Hausdorff \ es
abierto en \ .
ì Todo espacio métrico localmente compacto es homeomorfo a un espacio
métrico completo Ðo sea su topología puede ser definida por una métrica en
relación a la cual el espacio es completoÑ.
ì Todo espacio localmente compacto Q es un subconjunto abierto de su
s.
completado Q
45.Teorema de Riesz:
Todo espacio vectorial normado localmente compacto tiene
dimensión finita.
ì Todo espacio de Hausdorff locamente compacto es un espacio de Baire.
ì Si un espacio vectorial normado I no es localmente compacto, entonces todo
subconjunto compacto de I tiene interior vacío (ver 35).
ì El producto cartesiano \ ‚ ] es localmente compacto, si y sólo si, cada uno de
los factores \ß ] es localmente compacto.
ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \8 es localmente compacto, si y sólo si,
cada uno de los factores \" ß \# ß á ß \8 es localmente compacto.
46.Una
compactificación del espacio topológico \ es una aplicación continua
: À \ ] tal que ] es compacto, : \ es denso en ] y : es un homeomorfismo de
\ sobre : \ .
ì Una compactificación de Alexandroff de un espacio topológico \ es una
aplicación : À \ \ ‡ tal que
3 \ ‡ es un espacio compacto de Hausdorff
33 : es un homeomorfismo de \ sobre : \
333 \ ‡ œ : \ ∪ ÖA×, donde A  : \ .
ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto posee una compactificación de
Alexandroff.
ì Solamente los espacios de Hausdorff localmente compactos poseen
compactificación de Alexandroff.
ì Si : À \ \ ‡ y < À \ \ # son campactificaciones de Alexandroff del mismo
espacio de Hausdorff localmente compacto \ , con \ ‡ œ \ ∪ ÖA‡ × y
\ # œ \ ∪ ÖA# ×, entonces existe un homeomorfismo 2 À \ ‡ \ # tal que 2 ‰ : œ < y
2 A‡ œ A# .
ì Sean : À \
\‡ y
<À] ]‡
campactificaciones de Alexandroff. Todo
homeomorfismo 2 À \ ] se extiende a un homeomorfismo 2 ‡ À \ ‡ ] ‡ el cual
transforma el punto al infinito de \ ‡ en el punto en el infinito de ] ‡ .
47.Un
espacio de Hausdorff localmente compacto se dice enumerable en el
infinito cuando su compactificación de Alexandroff \ ‡ œ \ ∪ ÖA× en el punto en
el infinito A posee un sistema fundamental de vecindades enumerable.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
25
ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio de Hausdorff localmente
compacto son equivalentes
3
\ es enumerable en el infinito
33 \ œ ∪ P8 es una reunión enumerable de partes compactas
8−
333 \ œ
∪
O8 es reunión enumerable de partes compactas tales que para
8−
todo 8 œ "ß #ß á ß 8ß á O8 § 38> O8" .
ì Un espacio discreto \ conteniendo una infinidad no enumerable de puntos,
brinda un ejemplo de un espacio metrizable localmente compacto que no es
enumerable en el infinito. En particular la compactificación de Alexandroff \ ‡ no
es metrizable.
ì El conjunto  de los números racionales muestra que un espacio topológico
puede ser reunión enumerable de partes compactas sin ser localmente compacto.
48.Una colección µ de abiertos es una base
de \ si y sólo si, para cada B − \ , los
conjuntos F − µ que contienen a B forman un sistema fundamental de vecindades
de B.
ì Si un espacio topológico \ tiene base enumerable, todo subespacio W § \ tiene
base enumerable.
ì En un espacio \ con base enumerable, todo subconjunto no enumerable W
contiene un punto de acumulación.
ì El producto cartesiano \" ‚ \# ‚ â ‚ \5 tiene base enumerable si y sólo si, cada
uno de los espacios factores \" ß \# ß á ß \5 tiene base enumerable.
ì Si \ es un espacio topológico con base enumerable y 0 À \ ] es una aplicación
continua, abierta de \ sobre ] , entonces el espacio topológico ] también tiene
base enumerable.
ì Sea \ un espacio topológico con base enumerable, entonces
3 todo recubrimiento abierto de \ admite un subrecubrimiento
enumerable
33 existe un subconjunto enumerable denso en \ .
..
ì Un espacio topológico \ es un espacio de Lindelo f cuando todo
recubrimiento abierto de \ admite un subrecubrimiento enumerable.
48.Un
espacio topológico \ el cual posee un subconjunto enumerable denso es
llamado separable.
ì El espacio de Hilbert L es un espacio separable.
ì En un espacio con base enumerable toda colección de abiertos no vacíos dos
a dos disyuntos es enumerable.
ì Todo espacio métrico totalmente acotado Q es separable.
ì Todo espacio métrico compacto es separable.
s también es separable.
ì Si un espacio métrico Q es separable, su completado Q
ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio métrico Q son
equivalentes:
3 Q tiene base enumerable
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
26
..
33 Q es un espacio de Lindelof
333 Q es separable.
ì El resultado de arriba es falso para espacios topológicos cualesquiera.
ì Sea I un subconjunto denso de un espacio métrico Q . Las bolas abiertas
F ˆBà 8" ‰ con B − I y 8 −  constituyen una base de Q .
49.Sea
O un espacio métrico compacto y Q un espacio métrico con base
enumerable. El espacio ¶ Oà Q de las aplicaciones continuas 0 À O Q con la
métrica de la convergencia uniforme, tiene base enumerable.
ì Sin embargo ¶ Q à O no posee base enumerable, como ejemplo ¶ dà Ò!ß "Ó .
ì Sea µ una base de abiertos en un espacio métrico Q . Dados B − Q y %  !
arbitrarios, existe un conjunto F − µ con B − F y $ F  %.
50.Un
espacio métrico Q se dice localmente separable cuando todo B − Q
posee una vecindad separable. Esto equivale a decir que todo punto B − Q es
centro de una bola abierta F Bà < en la cual existe un subconjunto denso
enumerable.
<
ì Sea Q un espacio métrico localmente separable. Dados Bß C − Q ß . Bß C  #C
implica C − F Bà <B donde <B œ supÞÖ<  !à F Bà < es separable×.
ì Todo espacio métrico Q conexo y localmente separable es separable.
ì Todo espacio métrico conexo y localmente compacto tiene base enumerable.
ì En la afirmación anterior la conexidad es esencial. Tome como ejemplo un
espacio métrico discreto no enumerable.
ì Todo espacio métrico compacto es separable.
ì Las siguientes afirmaciones con respecto de un espacio métrico localmente
compacto Q son equivalentes
3 Q tiene base enumerable
33 Q es enumerable en el infinto
333 La topología de Q puede ser definida por una métrica, en relación a la
cual un subconjunto W § Q es compacto si y sólo si, es acotado y cerrado en Q .
[email protected] La compactificación de Alexandroff Q ‡ œ Q ∪ ÖA× es separable.
51.
Sea L un espacio de Hilbert, G œ Ö B" ß B# ß á ß B8 ß á Î! Ÿ B3 Ÿ "3 ß a3 − × § L . G
es un espacio métrico con base enumerable, llamado el cubo de Hilbert. G es un
espacio métrico completo que es universal para espacios métricos con base
enumerable,
esto es todo espacio metrizable con base enumerable es
homeomorfo a un subespacio de G .
ì Para que una aplicación 0 À \ G de un espacio topológico arbitrario \ en el
cubo de Hilbert G , sea continua en un punto + − \ es necesario y suficiente que
cada una de sus coordenadas 03 œ :3< ‰ 0 À \ Ò!ß "3 Ó sea una función continua en el
punto +.
ì Una sucesión ÖB8 ×8− en el cubo de Hilbert G converge para un punto
+ œ Ö+3 ×3− − G si y sólo si, para cada 3 −  la sucesión de las 3-ésimas coordenadas
ÖB"3 ß B#3 ß á ß B83 á × converge para +3 .
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
27
ì El cubo de Hilbert es compacto.ŒG œ # Ò!ß "3 Ó
∞
3œ"
ì Sea W un subconjunto denso de un espacio métrico Q . Dada una sucesión
ÖB8 ×8− en Q , para que se tenga lim B8 œ B − Q es necesario y suficiente que
lim . B8 ß = œ . Bß = para cada = − W .
8Ä∞
8Ä∞
ì Todo espacio métrico Q con base enumerable es homeomorfo a un subespacio
del cubo de Hilbert.
ì Todo espacio de Hausdorff normal con base enumerable es métrizable.
ì Un espacio de Hausdorff compacto es metrizable si y sólo si, posee una base
enumerable.
ì Un espacio de Hausdorff conexo y localmente compacto es metrizable, si y sólo
si, posee base enumerable.
52.Dados
dos subconjunto cerrados disyuntos J ß K en un espacio métrico Q ,
! si B − J
existe una función real continua : À Q Ò!ß "Ó tal que : B œ œ
" si B − K
. BßJ
Si J Á ø Á K entonces tómese : B œ . BßJ . BßK .
ì Sea J ß K subconjuntos cerrados disyuntos en un espacio métrico Q . Existen
abiertos Y ß Z ß en Q tales que J § Y ß K § Z y Y ∩ Z œ ø.
ì Teorema de Urysohn: En todo espacio normal \ , dado dos cerrados disyuntos
J ß K existe siempre una función real continua : À \ Ò!ß "Ó tal que
! si B − J
: B œ œ
.
" si B − K
Esta función es conocida como una función de Urysohn.
ì Sea \ un espacio topológico e M œ Ò!ß "Ó el intervalo unitario de la recta. Dada una
función 0 À \ M , tal que para cada > − M se considera
Y > œ ÖB − \à 0 B  >×.
Los conjuntos Y > gozan de las siguientes propiedades:
3 Cada Y > es abierto en \ ;
33 Si =  > entonces Y = § Y >
333 Dado B − \ß o 0 B œ " o existe > − M tal que B − Y > . En este último
caso, se tiene 0 B œ infÞÖ> − Mà B − Y > ×
ì Sean \ un espacio topológico y H un subconjunto denso del intervalo M œ Ò!ß "Ó
supongamos dado, para cada < − H, un subconjunto Y < § \ , de tal modo que
3 Cada Y < es abierto en \
33 Si <  = entonces Y < § Y = .
Definamos una función 0 À \ M , tomando
infÞÖ< − Hà B − Y < × si B − Y <
0 B œœ
"
si B Â Y < para algún Y <
esta función es continua.
ì Lema de Urysohn: Sea \ un espacio normal. Todo par de subconjuntos cerrados
en \ posee una función de Urysohn.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
28
ì Sea J un subconjunto cerrado y Y un subconjunto abierto de un espacio normal
\ , con J § Y . Existe una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que
" si B − J
0 B œœ
.
! si B − \  Y
53.
Sea µ una base de abiertos en un espacio de Hausdorff normal \ . Dados
F − µ y un punto B − Fß existe F" − µ tal que B − F" y F" § F .
ì Para que un espacio topológico \ sea normal, es necesario y suficiente que se
cumpla la siguiente condición: Dados en \ un cerrado J y un abierto E, con
J § Eß existe un abierto Y en \ , tal que J § Y y Y § E.
ì Todo espacio de Hausdorff compacto es normal.
ì Teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff normal \ , con
base enumerable, es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert G . En
consecuencia, \ es metrizable.
ì Sea µ œ ÖF8 ×8− una base enumerable de un espacio topológico \ . Diremos que
una pareja T œ F7 ß F8 es admisible cuando F7 § F8 . El conjunto de las parejas
admisibles es enumerable.
ì Para que un espacio compacto de Hausdorff sea metrizable es condición
necesaria y suficiente que \ tenga una base enumerable.
54.Un
espacio topológico \ se llama regular cuando todo B − \ posee un
sistema fundamental de vecindades cerradas. Esto es equivalente a decir que para
todo cerrado J en \ y todo punto B Â J , existe un abierto Y tal que B − Y y
Y ∩ J œ ø.
ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es regular.
ì Todo espacio regular \ con base enumerable es normal.
ì Forma fuerte del teorema de metrización de Urysohn: Todo espacio de Hausdorff
regular con base numerable es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert y
por lo tanto es metrizable.
ì Todo espacio de Hausdorff localmente compacto con base numerable es
metrizable.
ì Es falso en general que un espacio de Hausdorff localmente compacto con base
numerable pueda ser normal, pues en general un espacio localmente compacto
puede no ser normal, aun que se satisfaga el axioma de Hausdorff, como se ve en
el contraejemplo que sigue.
ì Sea \ œ Òαß HÓ con su topología del orden bien conocida. \ y \ ‚ \ son
espacios de Hausdorff normales. Pero el subconjunto abierto ] œ \ ‚ \  Ö Hß H ×
del producto cartesiano \ ‚ \ no es normal. En efecto los subconjuntos disyuntos
J œ \ ‚ ÖH× ∩ ] , K œ ÖH× ‚ \ ∩ ] son cerrados en ] pero no estan contenidos
en abiertos disyuntos.
ì El ejemplo anterior también muestra que un espacio regular en general no es
normal.
ì No es verdad que un subespacio de un espacio normal sea normal, ni aún
cuando \ sea de Hausdorff compacto.
Darío Sánchez H.
29
TOPOLOGIA GENERAL
55. Sea A un conjunto
y Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos con índices
en Aß esto significa que a cada - − A corresponde un espacio topológico \- .
Consideremos el conjunto \ œ # \- el producto cartesiano de los \- . Los
- −A
elementos de \ son todos familias B- -−A œ Bß tales que para cada - − A, B- − \- .
En otras palabras un punto B − \ es una función B À A
∪ \- expuesto a las
-−A
condiciones de que para cualquier - − A, B - œ B- − \- son llamadas las
coordenadas del punto B.
ì En el producto cartesiano \ œ #\- se destacan las proyecciones sobre los ejes
-
\- . Cada proyección es una aplicación de \ sobre \- , :-< À \
\- definida por
<
:- B œ B- œ --ésima coordenada de B. Dados Bß C − \ß B œ C Í :-< B œ :-< C
cualquiera que sea - − A.
ì Una topología definida en \ œ # \- debe ser tal que por lo menos las
- −A
proyecciones sean continuas. Sea Y. un abierto en \. , para que :.< sea continua
es necesario y suficiente que :.<" Y. sea abierto en \ para toda elección del
abierto Y. en \. . Ahora :.<" Y. es considerado como el producto de los \< "
donde se sustituye \. por Y. .Šaquí :.<" œ
 ˆ:. ‰ ‹
Luego :.<" Y. œ Y. ‚ # \- œ franja de anchura Y. .
ì Así la topología en \ œ # \- deja a :.< continua, si y sólo si, para cada abierto
- Á.
- −A
Y. § \. la franja :.<" Y. es abierta en \ .
ì Como la intersección de un número finito de abiertos es un abierto, una
topología en \ œ # \- que deja todas las proyecciones :-< À \ \- continuas
- −A
deberá contener como abiertos por lo menos las intersecciones finitas
:-<" Y-" ∩ â ∩ :-<"
Y -5 œ Y -" ‚ â ‚ Y -5 ‚ # \ ‡
5
"
- Á- 3
donde Y-" § \-" ß á ß Y-5 § \-5 son abiertos. Aquí por simplicidad se escribe - Á -3
para indicar que - − A  Ö-" ß á ß -5 ×. Estos elementos ‡ son llamados abiertos
elementales.
ì Los abiertos elementales constituyen una base para la topología 7 en el
producto cartesiano \ œ # \- . Un abierto de 7 es por definición una reunión de
- −A
abiertos elementales.
ì Sea Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos. La topología menos fina en el
producto cartesiano \ œ # \- que deja continuas todas las proyecciones
- −A
:-< À \ \- ß es la que tiene una base formada por los abiertos elementales
:-<" Y-" ∩ â ∩ :-<" Y-5 œ Y-" ‚ â ‚ Y-5 ‚ # \"
5
- Á- 3
donde cada Y-3 § \-3 es abierto. Esta es la llamada topología producto.
Darío Sánchez H.
30
TOPOLOGIA GENERAL
56.
Sea A un conjunto arbitrario y \ un espacio topológico. El conjunto
\ A œ ¹ Aà \ de todas las aplicaciones de A en \ puede, como vimosß ser
considerado como producto cartesiano # \- , donde \- œ \ para todo - − A. La
-−A
topología producto así definida se conoce como topología de la convergencia
simple en \ A .
ì La topología producto en \ œ # \- posee las siguientes propiedades:
- −A
+ Las proyecciones :-< À \ \- son continuas y abiertas.
, Dado un espacio topológico ^ , para que una aplicación 0 À ^ \ sea continua
en un punto , − ^ es necesario y suficiente que para cada índice -, la aplicación
0- œ :-< ‰ 0 À ^ \- sea continua en el punto ,.
- Si para cada -, J- es un subconjunto cerrado de \- , entonces
J œ # Jes cerrado en \ œ # \- .
- −A
ì Un producto E œ # E- de subconjuntos abiertos E- § \- no es en general un
- −A
subconjunto abierto de \ œ # \- .
- −A
ì E œ # E- es abierto en \ œ # \- si y sólo si E- Á \- salvo para un número finito
- −A
- −A
-−A
de valores de -.
ì En particular el producto cartesiano de una familia de espacios discretos no es
un espacio discreto (salvo en el caso de espacios reducidos a un punto para un
número finito de ellos)
ì Una sucesión ÖB8 ×8− en el espacio producto \ œ # \- converge para un punto
- −A
+ − \ si y sólo si, para cada índice -, se tiene lim B8- œ +- , donde B8- œ :-< ÖB8 × y
8Ä∞
+- œ :-< + .
ì En particular en el espacio \ A œ ¹= Aà \ una sucesión de aplicaciones 08 À A \
converge para una aplicación 0 À A \ si y sólo si, para cada - − A, se tiene
lim 08 - œ 0 - . Esto justifica la denominación de topología de convergencia
8Ä∞
Sea \ œ # \- un producto de espacios topológicos. Si A es numerable y cada
simple.
57.
- −A
\- es un espacio I" , entonces \ es un espacio I" . Recíprocamente, si \ es un
espacio I" entonces cada \- es un espacio I" y A es numerable siempre que
ningún \- sea un espacio grosero.
(Aquí se entiende que un espacio topológico es I" cuando todo punto B − \ posee
un sistema fundamental de vecindades enumerables. Como espacio grosero se
entenderá a un espacio topológico cuyos únicos abiertos son el espacio total y el
conjunto vacío)
Darío Sánchez H.
31
TOPOLOGIA GENERAL
ì Si A no es numerable, para cada - − Aß todo punto B- − \- posee una vecindad
diferente del espacio entero, entonces ningún punto B del producto \ œ # \- −A
posee un sistema fundamental de vecindades enumerables.
∞
ì Sean \" ß á ß \8 ,á espacios I" . Introducimos en \ œ #\8 una nueva topología
3œ8
e indicamos con \ el espacio resultante. Supongamos que \ ‡ sea un espacio I" ,
se tiene que una sucesión ÖB8 ×8− en \ ‡ converge para un punto + œ Ö+3 ×3− si y
sólo si para cada 3 −  lim B83 œ +3 , donde B83 œ :3< ÖB8 × . Entonces, \ ‡ œ \ , esto es
‡
8Ä∞
la topología de \ ‡ , es la topología producto.
ì Sea Ö\- ×-−A una familia de espacios topológicos no groseros. A fin de que el
producto \ œ # \- tenga base enumerable es necesario y suficiente que A sea
- −A
enumerable y cada uno de los factores \- tengan base enumerable.
58. Sea ÖQ- ×-−A una familia de espacios métricos cada uno de los cuales posee por
lo menos dos puntos. La topología producto en Q œ # Q- es metrizable si y sólo
- −A
si, A es enumerable.
ì Para mostrar el recíproco de la afirmación de arriba tómese A œ  y defínase
. ÀQ ‚Q
d tomando
∞
. Bß C œ
.
" . B3 ßC3
#3 ". B3 ßC3
ì Sean Q" ß á ß Q3 ß á espacios métricos. El producto cartesiano Q œ #Q3 , es un
3œ"
3−
espacio métrico completo si y sólo si, cada Q3 es completo.
59.Sea
Q un espacio métrico completo. Si W œ ∩ E3 es la intersección de una
familia enumerable de abierto E3 § Q , entonces W es homeomorfo a un espacio
métrico completo.
ì El producto cartesiano Q œ #Q3 de una sucesión de espacios métricos
3−
compactos es un espacio métrico compacto.
ì Sea O el conjunto de Cantor : À Ö!ß #× O
∞
: B" ß B# ß á œ !ß B" B# á B8 á œ
8œ"
donde la métrica en Ö!ß #×

definida por
B8
$8
esta dada por . Bß C œ
entonces : es un homeomorfismo.
∞
8œ"
lB8 C8 l
$8 ,
B œ ÖB8 ×ß C œ ÖC8 ×,
60. Existencia de una curva de Peano, en el cubo de Hilbert M 8 œ M ‚ â ‚ M
M œ Ò!ß "Ó
3 Existe una aplicación continua 1 À O M ,
intervalo M œ Ò!ß "Ó.
Basta definir una
∞
< B" ß B# ß á ß B8 ß á œ
8œ"
, donde
del conjunto de Cantor O sobre el
aplicación < À Ö!ß "× M mediante
B8
#8 .
33
Para todo 8 − ,
8
O œ O ‚ O ‚ â ‚ O.
el
conjunto
de
Cantor
O
es
homeomorfo
a
Darío Sánchez H.
32
TOPOLOGIA GENERAL
333 Toda aplicación continua 0! À O \ se extiende continuamente a una
aplicación 0 À M \
ì El producto cartesiano \ œ # \- es un espacio de Hausdorff si sólo si, para cada
- −A
- − A, \- es un espacio de Hausdorff.
ì El producto cartesiano \ œ \" ‚ â ‚ \8 es conexo si y sólo si, cualquier factor
de \ es conexo.
ì El producto cartesiano \ œ # \- es conexo si y sólo si, cada factor \- es
conexo.
- −A
61. Sea
ÖW- ×-−A una familia de subespacios conexos de un espacio topológico. Si
existe un punto B! , común a todos los W- , entonces la reunión W œ ∪ Wes
también conexa.
ì En el producto cartesiano \ œ # \- las componentes conexas son los productos
# G- , donde G- es una componente conexa de \- .
- −A
ì Para que el producto cartesiano \ œ # \- sea localmente conexo es necesario y
-−A
- −A
suficiente que todos los factores \- sean localmente conexos con excepción de un
número finito de ellos los cuales son conexos.
ì El producto de una infinidad de espacios localmente conexos puede no ser
localmente conexo, como contra-ejemplo el espacio Ö!ß #× es el producto de una
infinidad de copias del espacio conexo Ö!ß #× pero no es localmente conexo pues es
homeomorfo al conjunto de Cantor.
62. Decir que una colección À de subconjuntos de \
es máxima con la propiedad
de la intersección finita de toda colección de partes de \ que contienen a À y
goza de la propiedad de la intersección finita, coincide necesariamente con À.
Esto equivale a decir que si W § \ es tal que W ∩ Q Á ø para todo Q − À entonces
W − À.
ì Si una colección À de partes de \ es máxima con la propiedad de la
intersección finita entonces, dados J" ß J# ß á ß J8 − À se debe tener que
J" ∩ J# ∩ â ∩ J8 − À.
ì Lema: Sea ¹ una colección de partes de un conjunto \ , con la propiedad de la
intersección finita. Existe una colección À de partes de \ máxima con la
propiedad de la intersección finita y conteniendo a ¹.
62.Teorema de Tychonoff: El producto cartesiano \ œ #\- es compacto, si y sólo
- −A
si, cada factor \- es compacto.
ì Pasos de la demostración: É ) " Tómese ¹ como la familia de todos los
subconjuntos cerrados en \ con la propiedad de la intersección finita.
# Existe una colección À de partes de \ conteniendo a ¹ y máxima en relación a
la propiedad de intersección finita (los subconjuntos de À no necesariamente son
cerrados)
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
33
$ Para todo -, :-< À œ Ö:-< Q à Q − À× tiene la propiedad de la intersección
finita.
% Ö:-< Q à Q − À× forman una colección de cerrados en \- con la propiedad de la
intersección finita.
& \- es compacto para todo - entonces existe B- − \- tal que B- − :-< Q para
todo Q − À.
' Sea B œ ÖB- × el punto de \ que posee por coordenadas los B- obtenidos en & .
( B − Q para todo Q − ÀÞ
) B − J para todo J − ¹.
ì El producto cartesiano \ œ # \- es localmente compacto si y sólo si, los
- −A
factores \- son compactos salvo para un número finito de ellos los cuales son
localmente compactos.
63.
Sea Æ una colección de subconjuntos W § \ . Definiremos en ¹ \à Q una
topología la cual llamaremos la topología de la convergencia uniforme en
las partes de Æ. Consideremos ahora la familia de espacios topológicos
Ö¹Y Wà Q ×W−Æ y el producto ] œ # ¹Y Wà Q . La aplicación : À ¹ \à Q
] definida
W−Æ
por : 0 œ Ö0 lW×W−Æ , donde 0 lW es la restricción de 0 À \ Q a W , induce en
¹ \ß Q una topología. El espacio topológico resultante será indicado con
¹Æ \à Q .
ì Resulta de la definición que 08 0 en ¹Æ \à Q si y sólo si, 08 lW 0 lW
uniformemente para cada W − Æ.
ì Un sistema fundamental de vecindades de una aplicación 2 − ¹Y Wà Q está
formada por los conjuntos:
Z 2à % œ Ö5 À W Q à . 2ß 5  %× œ Ö5 À W Q à sup . 2 B ß 5 B  %×
B−W
donde %  ! es arbitrario.
ì Podemos obtener un sistema fundamental de vecindades de un punto
2 œ Ö2W ×W−Æ en ] œ # ¹Y Wà Q considerando los abiertos elementales:
W−Æ
Z 2à W" ß á ß W8 ß % œ Ö5 œ Ö5W × − ] à . 2W3 ß 5W3  %ß 3 œ "ß á ß 8×
donde W" ß á ß W8 − Æ son abiertos y %  !.
ì Se concluye que para cada 0 À \ Q , un sistema fundamental de vecindades de
0 en el espacio ¹Æ \à Q esta formado por los conjuntos de la forma
Z 0 à W" ß á ß W8 ß % œ Ö1 À \ Q à . 1lW3 ß 0 lW3  %ß 3 œ "ß #ß á ß 8×
donde W" ß á ß W8 − Æ y %  ! son arbitrarios y . 1lW ß 0 lW œ =?: Ö. 1 B ß 0 B ×.
B−W
64. ¹Æ \à Q es un espacio de Hausdorff si y sólo si, Æ es un recubrimiento
de \ .
ì
Casos particulares:
+
La topología de la convergencia simple
¹Æ \à Q œ ¹S \à Q cuando Æ es la colección de las partes finitas de \ o sea Æ,
consiste de las partes de \ que se reducen a un punto.
Darío Sánchez H.
34
TOPOLOGIA GENERAL
, La topología de la convergencia uniforme ¹Y \à Q œ ¹Æ \à Q cuando Æ es
el conjunto de todas las partes de \ .
- La topología de la convergencia uniforme en las partes compactas, cuando \ es
un espacio topológico y Æ es la colección de las partes compactas de \ entonces
¹G \à Q œ ¹Æ \à Q
. La topología de la convergencia uniforme en las partes acotadas, cuando \ es
un espacio métrico y Æ es la colección de las partes acotadas de \ . Notamos
entonces que ¹, \à Q œ ¹Æ \à Q .
ì Indicaremos con ¶Æ \à Q al subconjunto de ¹Æ \à Q formado por las
aplicaciones continuas
0 À \ Q,
del espacio topológico \ en el espacio
métrico Q .
65. Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Dada una colección Æ de
partes de \ , si las adherencias de los conjuntos W − Æ cubren a \ , entonces
¶Æ \à Q es un subconjunto cerrado de ¹Æ \à Q .
ì Pasos de la demostración:
" ¶Æ \à Q
es un subconjunto cerrado de
¹Y \à Q .
# Para cada W − Æ, ¶Y Wà Q es un subconjunto cerrado de ¹Y \à Q
$ H œ #¶Y Wà Q es un subconjunto cerrado de ] œ # ¹Y Wà Q .
W
W−Æ
% :" H es un subconjunto cerrado de ¹Æ \à Q donde
: À ¹Æ \à Q
]
0 È : 0 œ 0 lW W−Æ
& Ahora :" H œ Ö0 À \ Q à 0 lW es continua, W − Æ×
' Cada punto B − \ pertenece al interior de algún W − Æ se sigue que
0 À \ Q es continua si y sólo si, 0 lW es continua para cada W − Æ.
( :" H œ ¶Æ \à Q .
ì Si \ es localmente compacto, entonces ¶Y \à Q es un subconjunto cerrado
de ¹G \à Q .
ì Cuando S es un recubrimiento enumerable, el espacio ¹S \à Q es metrizable.
ì Sea \ un espacio de Hausdorff localmente compacto enumerable en el infinito,
entonces ¹G \à Q es metrizable.
66.Sea
Æ una colección de subconjuntos W § \ . Indicaremos con Ƈ la colección
formada por todas las reuniones finitas W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 de elementos W3 − Æ junto
con todas las partes X § W de elementos W − Æ, entonces tenemos
¹Æ \à Q œ ¹Æ‡ \à Q . La colección Ƈ será llamada el saturamiento de Æ y
diremos que Æ es saturado cuando Ƈ œ Æ.
ì Cuando existe un recubrimiento enumerable Æ! œ ÖW" ß W# ß á ß W8 ß á × tal que
¹Æ \à Q œ ¹Æ! \à Q entonces la topología de ¹Æ \à Q puede ser definida por la
métrica
∞
. 0ß 1 œ
8œ"
"
#8
=?:
B − W8
. 0 B ß1 B
". 0 B ß1 B
‡
Darío Sánchez H.
35
TOPOLOGIA GENERAL
ì Considerando S œ Ö Ò  8ß 8Ó § dà 8 −  × vemos que la topología de ¹G \à Q
puede ser definida por la métrica . 0 ß 1 œ
∞
8œ"
"
#8
=?:
8Ÿ>Ÿ8
l0 > 1 > l
"l0 > 1 > l
ì Si Q es un espacio métrico completo entonces (dentro de las hipótesis hechas
sobre Æ! Ñ la métrica ‡ trasforma a ¹Æ \à Q en un espacio métrico completo.
67.
El
conjunto
J,
imagen
] œ # ¹Y Wà Q y : 0 œ 0 lW
W−Æ
W−Æ ,
de
la
aplicación
es cerrado en ] .
: À ¹Æ \à Q
] ß donde
ì Si \ es un espacio de Hausdorff localmente compacto enumerable en el infinito
y Q es un espacio métrico completo, la métrica ‡ arriba definida, transforma
¶G \à Q en un espacio métrico completo. Si además \ es metrizable y Q tiene
base enumerable, entonces ¶ \à Q tendrá base enumerable.
ì Supóngase que W" ß á ß W8 − Æ implica que W" ∩ W# ∩ â ∩ W8 − Æ. Dado un
subconjunto T § ¹Æ \à Q se tiene 0 − T si sólo si, para cada W − Æ existe una
secuencia de aplicaciones 08 − T convergiendo para 0 uniformemente en W . [La
sucesión Ö08 ×8− depende del conjunto W ].
68.
Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Un conjunto I de
aplicaciones 0 À \ Q se dice equicontinuo en el punto B! − \ cuando para todo
%  !, existe una vecindad Z de B! en \ tal que para todo B − Z ß . 0 B ß 0 B!  %,
cualquiera que sea 0 − IÞ
ì Si I es equicontinuo en el punto B! , entonces todas las aplicaciones 0 − I son
continuas en el punto B! y todo subconjunto de I es equicontinuo en el punto B! .
ì Se dice que un conjunto I de aplicaciones 0 À \ Q es equicontinuo cuando I
es equicontinuo en todo punto de \ .
ì Si \ también es un espacio métrico, un conjunto I de aplicaciones 0 À \ Q se
dice uniformemente equicontinuo si para cada %  !, existe $  ! tal que
. Bß C  $ , Bß C − \ implica . 0 B ß 0 C  % cualquiera que sea 0 − I .
ì La notación usada aquí nos dice que
T À \ ¶ Ià Q
B È T B œµ
B
µ
siendo B 0 œ 0 B , 0 − I § ¹Æ \à Q
69.
Un conjunto I § ¹ \à Q es equicontinuo en el punto B! − \ si y sólo si, la
aplicación T À \ ¶Y Ià Q es continua en el punto B! . Si \ es un espacio
métrico, entonces I es uniformemente equicontinua si y sólo si,
T es
uniformemente continua.
ì Sea \ un espacio métrico compacto. Todo conjunto equicontinuo I § ¹ \à Q
es uniformemente equicontinuo.
70.Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. Sobre un conjunto
equicontinuo I § ¶ \à Q la topología de la convergencia simple coincide con la
topología de la convergencia uniformemente en las partes compactas.
Darío Sánchez H.
36
TOPOLOGIA GENERAL
ì Pasos de la demostración. " Sean IW ß IG los espacios topológicos obtenidos
sobre I al considerarlos como subespacio de ¹S \à Q
y
¹G \à Q
respectivamente.
# La aplicación identidad IG IW es claramente continua. Basta mostrar que la
aplicación identidad IW IG es continua.
$ Para 0 − IG considerese Z œ Z 0 ß Oß I œ Ö1 − IÎ =?: . 0 B ß 1 B  %× una
B−O
vecindad básica de 0 , siendo O compacto y %  ! arbitraria.
% B − O , posee una vecindad [B tal que si C − [B implica que . 1 C ß 1 B  $% ,
cualquiera que sea 0 en IW .
& O § ∪ [B admite un recubrimiento finito O § [" ∪ â ∪ [8 donde [3 œ [B3 ,
B
3 œ "ß #ß á ß 8Þ
' Y œ Ö1 − Ià . 1 B3 ß 0 B3  $% ß 3 œ "ß #ß á ß 8×.
( Y es una vecindad de 0 en IW .
) Se muestra que Y § Z
B − O Ê B − [3 œ [B3 para algún 3 œ "ß #ß á ß 8. Luego . 1 B ß 0 B  $% y
. 0 B ß 0 B3  $% pues 0 ß 1 − I . Como 1 − Y Ê . 1 B ß 0 B3  $% , se sigue que
. 1 B ß 0 B Ÿ . 1 B ß 1 B3  . 1 B 3 ß 0 B 3  . 0 B 3 ß 0 B  %
Como 0 ß 1 son continuas y O es compacto se sigue que
=?: . 1 B ß 0 B  % de ahí 1 − Z .
71.
B−O
Sea \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. La adherencia de un
conjunto equicontinuo I § ¹S \à Q es aún un conjunto equicontinuo.
ì Pasos de la demostración. " Sean B! − \ arbitrario y %  !. Existe una vecindad
Z del punto B! en \ tal que . 0 B ß 0 B!  $% , aB − Z ß a0 − I I es equicontinuo
# B − Z implica . 1 B ß 1 B!  %ß
a1 − I .
$ Y œ Ö0 − ¹S \à Q à . 0 B ß 1 B  $% ß . 0 B! ß 1 B!  $% × es una vecindad de 1
en ¹S \à Q
% 1 − I Ê b0 − I ∩ Y
& Se sigue que . 1 B ß 1 B! Ÿ . 1 B ß 0 B  . 0 B ß 0 B!  . 0 B! ß 1 B!  %
Luego I es equicontinuo ya que B! es arbitrario.
72.
Sea I § ¹ \à Q equicontinuo. Entonces la adherencia de I en ¹S \à Q
coincide con la adherencia de I en ¹G \à Q .
ì Si 08 B Ä 0 B para todo B − \ y
I œ Ö0" ß 0# ß á ß 08 ß á × es equicontinuo
entonces 0 es continua y 08 Ä 0 uniformemente en cada parte compacta de Q .
73.
Teorema de Dini: Sea 0" Ÿ 0# Ÿ â Ÿ 08 Ÿ â una sucesión creciente de
funciones reales continuas 08 À \ d . Si Ö08 ×8− converge simplemente para una
función continua 0 À \ d , entonces 08 Ä 0 uniformemente en cada parte
compacta de \ .
ì Pasos de la demostración.- Basta mostrar que I œ Ö0" ß 0# ß á ß 08 ß á × es un
conjunto equicontinuo.
" B! − \ y %  !, existe R  ! tal que l0R B!  0 B! l  &%
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
37
# Existe una vecindad Z de B! tal que l0R B  0R B! l  &% y l0 B  0 B! l  &% para
todo B − Z esto se tiene por la continuidad de 0R y de 0 .
$ Para todo B − \ y todo 8  R tenemos l08 B  0 B l Ÿ l0R B  0 B l (pues 08
converge crecientemente hacia 0 ).
% Para B − Z ß
l0R B  0 B l Ÿ l0R B  0R B! l  l0R B!  0 B! l  l0 B!  0 B l Ÿ $&%
& Se sigue entonces para todo B − Z y 8  R que
l08 B  08 B! l Ÿ l08 B  0 B l  l0 B  0 B! l  l0 B!  08 B! l
Ÿ l0R B  0 B l  l0 B  0 B! l  l0 B!  0R B! l  $&%  &%  &% œ %.
Å
$
ì Dados I § ¹ \à Q y B − \ indicaremos con I B el conjunto de los valores
0 B , cuando 0 recorre I .
74. Teorema de Ascoli.
Sea I un conjunto de aplicaciones continuas de un espacio
topológico \ en un espacio métrico Q . A fin de que I sea relativamente
compacto en ¶G \à Q es suficiente:
3ÑÞ I B § Q sea relativamente compacto, para todo B − \ .
33Ñ I sea equicontinua.
Cuando \ es localmente compacto de Hausdorff, estas condiciones son también
necesarias.
ì Pasos de la demostración. Supóngase que I satisface las condiciones 3) y 33).
" B − Q ß I B § Q es un subconjunto compacto.
# # I B es un subconjunto compacto del espacio de Hausdorff ¹S \à Q y por lo
B−\
tanto cerrado en este espacio.
$ I § # I B ß entonces IW § # I B de aquí IW es compacto.
B−\
B−\
% Pero I es equicontinuo, por lo tanto IW œ IG , luego IG es compacto.
& IG − ¶G \à Q luego IG es la cerradura de I en ¶G \à Q .
ì De estos cinco pasos se demuestra la suficiencia del teorema.
Sea ahora \ localmente compacto, de Hausdorff y supongamos que I es
relativamente compacto, esto es que I en ¶G \à Q es compactoÞ
" Como ¶G \à Q es cerrado en ¹ \à Q , I también es la cerradura de I en
¹S \à Q .
# Para cada B − \ la aplicación µ
B À ¶G \à Q
Q definida por µ
B 0 œ 0 B es
µ
ˆ
‰
continua. Luego I B œ B I es compacto en Q .
$ I B § I B , entonces I B § I B , de donde I B § Q es compacto, lo cual
prueba la primera afirmación del enunciado del teorema.
% Sea B! − \ y %  !, como cada 0 − I es continua en B! − \ß dada 0 − I existe
una vecindad compacta O0 de B! en \ tal que si B − O0 implica . 0 B ß 0 B!  $% .
& Para cada 0 − I supongamos también que
Z0 œ Z ˆ0 ß O0 ß #% ‰ œ Ö1 − ¹G \à Q à =?: . 1 B ß 0 B  $% ×
B − O0
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
38
' Dado el recubrimiento abierto I § ∪ Z0 podemos extraer un subrecubrimiento
finito I § Z" ∪ â ∪ Z8 , donde Z3 œ Z03 . Escribimos también O3 œ O03 , 3 œ "ß #ß á ß 8.
( La intersección Y œ O" ∩ O# ∩ â ∩ O8 es una vecindad de B! .
) Dados B − Y y 1 − I cualquiera, tenemos 1 − Z3 para algún 3.
* Como Bß B! − O3 se tiene
. 1 B ß 1 B! Ÿ . 1 B ß 0 3 B  . 0 3 B ß 0 3 B !  . 0 3 B ! ß 1 B !  %
Por lo tanto I es equicontinuo y por consiguiente I también lo es.
75.Teorema de Hausdorff. Sea ¹
Q el conjunto de las partes acotadas, cerradas y
no vacías de un espacio métrico Q Þ Si Q es un espacio compacto entonces ¹ Q es
compacto.
ì Pasos de la demostración. " I œ Ö0J à J − ¹ Q × es equicontinuo ¾
0J À B È . Bß J
# aB − Q ß I B œ Ö. Bß J à J − ¹ Q × § Ò!ß $ Ó donde $ œ .3+7ÞQ ß de donde I B es
relativamente compacto.
$
Por el teorema de Ascoli aplicable porque ¶Y Q à d œ ¶G Q à d I es un
subconjunto relativamente compacto de ¶Y Q à d
% Finalmente se prueba que I § ¶Y Q à d es cerrado.
& I œ ¹ Q es cerrado en ¶Y Q à d y por lo tanto es compacto.
76. El
conjunto de las isometrías de un espacio métrico compacto es un conjunto
compacto en la topología de la convergencia uniforme.
77. Topología compacto abierta. Sea \ un espacio topológico. Dada una colección Æ
de partes de \ se dice que la topología de \ es generada por Æ cuando \ y las
intersecciones finitas K" ∩ â ∩ K8 de los subconjuntos K3 − Æ constituyen una
base de \ .
ì Dados los espacios \ß ] si la topología de ] es generada por una colección de
abiertos de Æ, entonces una aplicación 0 À \ ] es continua en un punto B − \ si
y sólo si, para cada generador K − Æ conteniendo C œ 0 B existe una vecindad Z
de B en \ tal que 0 Z § K.
ì Sean \ß ] espacios topológicos. Dados T § \ y U § ] indiquemos con E T à U
al conjunto de todas las aplicaciones continuas 0 À \ ] tales que 0 T § Uß así
E T à U œ Ö0 − ¶ \à ] à 0 T § U×.
ì Sean \ un espacio topológico y Q un espacio métrico. La topología del espacio
¶G \à Q es generada por los conjuntos E Oà Z donde O § \ es compacto y
Z § Q es abierto.
ì Sean \ß ] espacios topológicos. Indicaremos como de costumbre con ¶ \à ] al
conjunto de las aplicaciones de \ en ] . La topología en ¶ \à ] generada por los
conjuntos E Oà Z œ Ö0 − ¶ \à ] à 0 O § Z × donde O es compacto en \ y Z
abierto en ] , se llama topología compacta-abierta y el espacio topológico
correspondiente será indicada con ¶-+ \à ] Þ
Darío Sánchez H.
39
TOPOLOGIA GENERAL
78. La topología compacto abierta es más fina que la topología de la convergencia
simple. En otras palabras, sean cuales fueren los espacios topológicos \ß ] la
aplicación identidad de ¶-+ \à ]
¶S \à ] es continua.
ì Si ] es un espacio de Hausdorff, entonces ¶-+ \à ] es espacio de Hausdorff sea
cual fuere el espacio \Þ
ì ¶S \à ] œ ] \ œ #] es Hausdorff como ¶-+ \à ] ¤ ¶S \à ] se sigue que
\
¶-+ \à ] es Hausdorff.
79. Sean 0 − ¹
\à ] , J § ¹ \à ] , B − \ y W § \ . Por simplidad se escribe 0 † B o
0 B en vez de 0 B à 0 † W o 0 W en vez de 0 W y J † B o J B en vez de
J B œ Ö0 B à 0 − J ×Þ
ì Dados \ß ] ß ^ y una aplicación 0 À \ ¹ ] à ^ usaremos la notación
µ
µ
0 À \ ‚ ] ^ para indicar la aplicación definida por 0 Bß C œ 0 B † C
80. Sean
\ß ] ß ^ espacios topológicos, donde ] es un espacio de Hausdorff. Una
aplicación 0 À \ ¶-+ ] à ^ es continua si y sólo si, para cada compacto P § ] , la
µ
µ
restricción 0 À \ ‚ P ^ de 0 a \ ‚ P es continua.
ì Dados los conjuntos \ß ] ß indicaremos por @ À ¶-+ \à \ ‚ ] ] definida por
@ 0 ß B œ 0 B ß que asocia a cada par 0 ß B el valor 0 B de 0 en B, llamada
valuación.
81.Si
\ es un espacio de Hausdorff, entonces ¶-+ \à ] ‚ O
@ 0 ß B œ 0 B ß es continua para cada compacto O § \Þ
] definida por
ì Sean \ß ^ espacios topológicos arbitrarios y ] un espacio localmente compacto
de Hausdorff. Para que 0 À \ ¶-+ ] à ^ sea continua es necesario y suficiente que
µ
0 À \ ‚ ] ^ sea continua.
ì Sea \ un espacio de Hausdorff localmente compacto. La aplicación
@ À ¶-+ \à ] ‚ \ ] definida por @ 0 ß B œ 0 B ß es continua.
ì Obervación: Dados un espacio de Hausdorff localmemente compacto \ y un
espacio topológico cualquiera ] , la topología compacta-abierta es la menos fina
en ¶ \à ] que deja continua la aplicación @ À ¶ \à ] ‚ \ ] . Cuando ] no es
localmente compacto una tal topología no existe.
82.Sean
\ß ] espacios de Hausdorff y ^ un espacio topológico cualquiera.
Entonces W À ¶-+ \ ‚ ] à ^
¶-+ \à ¶-+ ] à ^
es un homeomorfismo sobre un
subespacio de ¶-+ \à ¶-+ ] à ^
ì Ley exponencial: Sean \ un espacio de Hausdorff, ] localmente compacto de
µ
Hausdorff y ^ arbitrario. La aplicación definida por W Š 0 ‹ œ 0 , donde
µ
0 B † C œ 0 Bß C es un homeomorfismo de ¶-+ \ ‚ ] à ^ sobre ¶-+ \à ¶-+ ] à ^ .
83.Teorema de extensión de Tietze. Sea \
siguientes afirmaciones
" Dados J § \ cerrado y 0 À J
tal que :lJ œ 0 Þ
un espacio topológico. Considérese las
d continua, entonces existe : À \
d continua
Darío Sánchez H.
40
TOPOLOGIA GENERAL
# Dados J ß K § \ cerrados disyuntos, entonces existe : À \ d tal que : J œ !ß
: K œ ".
$ \ es normal.
Entonces se puede mostrar que " Ê # Ê $ .
ì Sea J un subconjunto cerrado de un espacio normal \ y N un intervalo de la
recta N puede ser abierto o no, acotado o no . Dada una función real continua
0 À J N existe una función continua : À \ N
tal que : B œ 0 B para todo
B − J.
ì Sea J un subconjunto cerrado de un espacio normal \ . Toda aplicación
0 À J d 8 puede ser continuamente extendida a una aplicación : À \ d 8 .
ì Sean J un subconjunto cerrado de un espacio normal \ y W 8 la esfera unitaria
8-dimensional. Toda aplicación continua 0 À J W 8 puede ser extendida
continuamente a una vecindad de J en \ .
ì No es verdad que toda aplicación continua 0 À J W 8 pueda extenderse
continuamente a una aplicación : À \ W 8 . Por ejemplo la función identidad 0 À W "
W " no se puede extender continuamente como una función : À d # W " .
84. Sean \ un espacio topológico
y ] \ § ] un espacio de Hausdorff, dada una
función real acotada digamos 0 À \ Ò!ß "Ó existe una compactificación : À \ ] tal
que 0 se extiende a una función continua 0 À ] Ò!ß "Ó.
ì Un espacio topológico \ es llamado completamente regular cuando, dados
arbitrariamente un punto B − \ y Y un abierto en \ con B − Y ß entonces existe
siempre una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que 0 B œ " y 0 \  Y œ !Þ
ì Todo espacio métrico Q es completamente regular, pues tómese B! − Y , Y § Q
Y
abierto y 0 À Q Ò!ß "Óß definida por 0 B œ . BßB.! BßQ
. BßQ Y .
ì Todo espacio completamente regular es regular. La recíproca es falsa pues todo
espacio de Hausdorff regular no es completamente regular.
ì Todo espacio de Hausdorff compacto es completamente regular.
ì Para que un espacio de Hausdorff \ posea una compactificación : À \ ] donde
] es Hausdorff es necesario que \ sea completamente regular.
ì La recíproca también es verdadera pues todo espacio localmente compacto de
Hausdorff es completamente regular, en ese caso existe la compactificación
de Alexandroff .
85.
Sea \ un espacio topológico. Indiquemos con M œ Ò!ß "Ó y con ¶ œ ¶ \à M ,
M œ # M0 que es un espacio de Hausdorff. Existe una aplicación natural
¶
0 −¶
: À \ M ¶ definida tomando para cada B − \ , : B œ ÖB0 ×0 −¶ donde B0 œ 0 B .
ì La aplicación : À \ M ¶ es continua, porque, para cada 0 − ¶ , la aplicación
compuesta 10 ‰ : À \ M (donde 10 À M ¶ M es la proyección sobre el 0 -ésimo factor)
coincide con la propia aplicación 0 À \ M donde 10 ‰ : es continua.
86.
Para
que
la
aplicación
continua
:À\
M¶,
así
definida
sea
un
homeomorfismo de \ sobre : \ es necesario y suficiente que \ sea un espacio
de Hausdorff completamente regular.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
41
87.
Compactificación de Stone-Cech:
Dado el espacio de Hausdorff
completamente regular \ indiquemos con " \ œ : \ la imagen de la aplicación
: À \ M ¶ . Entonces " \ es un espacio de Hausdorff compacto y : À \ " \
es
una compactificación de \ , llamada la compactificación de Stone-Cech del
espacio \ .
ì Muchas veces el espacio " \ es llamado la compactificación de Stone-Cech del
espacio \ , queda subentendida la aplicación natural
:À\ " \ ,
: \ œ Ö0 B ×0 −¶ .
88.
Un espacio de Hausdorff \ es completamente regular si y sólo si, es
homeomorfo al cubo, M A œ # M- , M- œ M ß a- − AÞ
-−A
ì Evidentemente un espacio de Hausdorff compacto \ es homeomorfo a su
compactificación de Stone-Cech " \ y por lo tanto puede siempre ser
naturalmente identificado a un subconjunto cerrado M ¶ de ¶ œ ¶ \à M .
ì Diremos que dos compactificaciones : À \ ] ß :w À \ ] w del mismo espacio
topológico \ son isomorfas cuando existe un homeomorfismo 2 À ] ] w tal que
2 ‰ : œ :w .
89.
Sea \ un espacio completamente regular de Hausdorff. Dada una
compactificación < À \ ] , las siguientes afirmaciones son equivalentes
" < À \ ] es isomorfa a la compactificación de Stone-Cech : À \ " \ .
# Para toda función real continua, acotada 0 À \ d existe una única función 0 À ]
d tal que 0 ‰ < œ 0 à si 0 \ § Ò+ß ,Ó entonces 0 ] § Ò+ß ,Ó.
$ Para toda aplicación continua 1 À \ ^ en un espacio de Hausdorff compacto ^ ,
existe una única aplicación 1 À ] ^ tal que 1 ‰ < œ 1.
90.
La compactificación de Stone-Cech es un proceso natural o funcional en el
siguiente sentido: Dados espacios de Hausdorff completamente continuos
regulares
\ß ] ß ^
sean
:À\ " \ ß
<À] " ] ß
6À^ " ^
las
compactificaciones de Stone-Cech respectivas. Toda aplicación continua -‡ À " \
" ] caracterizada por el diagrama
que es conmutativo. Si . À ] ^ es otra aplicación, considérese .‡ À " ]
" ^ , se
tiene . ‰ - ‡ œ .‡ ‰ -‡ À " \ " ^ . Si + À \ \ es la aplicación idéntica entonces
+‡ À " \ " \ también es la identidad. Se sigue que si - À \ ] es un
homeomorfismo, entonces -‡ À " \ " ] también es un homeomorfismo y se
tiene el siguiente diagrama conmutativo
Darío Sánchez H.
42
TOPOLOGIA GENERAL
§2. RESULTADOS PROBADOS
1..Sea Q
un espacio métrico. Indiquemos con ¹ Q el conjunto de todas las partes
\ § Q que gozan de las siguientes propiedades:
3 Q es acotado,
33 . Bß \ œ ! entonces B − Q .
Para \ß ] − ¹ Q sea 3 \ß ] el mayor de los números
supÞÖ. Bß \ à B − \×, o, supÞÖ. Cß ] à C − ] ×
Entonces 3 es una métrica en ¹ Q , llamada la métrica de Hausdorff. Para \ § Q
cualquiera y <  ! sea Y \à < œ ∪ F Bß < la reunión de las bolas abiertas de radio
B−\
< y centro en un punto de B. Entonces si
muestre que 3 \ß ]  <
y ] − Y \à < . Por otra parte estas dos inclusiones
\ß ] − ¹ Q
implica que \ § Y ] à <
implican que 3 \ß ] Ÿ <.
3 \ß ] es una función a valor real ya que
SOLUCIÓN. Primera parte. 3Ñ 3 À \ß ]
3 \ß ]   ∞, en efecto sabemos que \ß ] − ¹ Q o sea existe Eß F − d tal que
$ \ Ÿ Eß $ ] Ÿ F.
Sean B! , C! elementos de \ y ] respectivamente fijos entonces de la desigualdad
triangular en Q ß . se tiene
. Bß C Ÿ . Bß B!  . B! ß C!  . C! ß C ß aBß aC
ahora
. Bß C Ÿ E  . B! ß C!  Fß
aBß aC.
Sea . Bß C œ - entonces se tiene que
. Bß C Ÿ E  F  -ß
aBß aC
entonces
. Bß ] Ÿ E  F  -ß aB ß • ß . \ß C Ÿ E  F  -ß aC
Luego
sup Bß ] Ÿ E  F  -ß • ß sup \ß C Ÿ E  F  B−\
C−]
por lo tanto
3 \ß ] Ÿ E  F  -
Darío Sánchez H.
43
TOPOLOGIA GENERAL
33Ñ 3 \ß \ œ maxÞÖ
sup
B−\œ]
. Bß ] ß
sup
C−] œ\
. Cß \ × œ sup . Bß \ œ !
B−\
ya que
. Bß \ œ !ß aB − \Þ
333Ñ 3 \ß ] œ maxÞÖ sup . Bß ] ß sup . Cß \ × œ !, esto equivale a decir que
B−\
C−]
sup . Bß ] œ !ß • ß sup . Cß \ =!
o sea que
B−\
C−]
aB − \ß . Bß ] œ !ß • ß aC − ] ß .
Por la propiedad 33Ñ de los conjuntos de ¹ Q
aB − \ß B − ] ß • ß aC − ] ß C − \ , de donde \
[email protected]Ñ 3 \ß ] œ maxÞÖsup . Bß ] ß sup . Cß \ ×
B−\
C−]
Cß \ œ !
dada en la hipótesis, se tiene
§ ] ß • ß ] § \ , o sea que \ œ ] .
y como . Bß ]  !ß . Cß \  !,
se
sigue que 3 \ß ]  ! cuando \ Á ] .
@Ñ Veamos ahora que 3 \ß ] Ÿ 3 \ß ^  3 ^ß ] . Esto es equivalente a mostrar
que para todo B − \ , y todo C − ] se tiene
MÞ . Bß ] Ÿ 3 \ß ^  3 ^ß ]
MMÞ . Cß \ Ÿ 3 \ß ^  3 ^ß ]
Sabemos que en el espacio métrico Q
. Bß C Ÿ . Bß D  . Cß D ß aBß aCß aD
"
De la definición de
380 se tiene
C−]
. Bß ] œ 380 . Bß C Ÿ . Bß D  380 . Cß D œ . Bß D  . Dß ]
C−]
C−]
la cual es válida para cualquier B − \ß y cualquier D − ^ por lo tanto
. Bß ] Ÿ . Bß D  3 Dß ] ß
aB − \ß aD − ^
de donde
. Bß ] Ÿ . Bß ^  3 ^ß ] ß
aB − \
esto según la definición de . Bß ^ . Luego
. Bß ] Ÿ 3 \ß ^  3 ^ß ]
#
Ahora de " tomando 380 tenemos
B−\
. Cß \ Ÿ . Dß \  . Cß D Ÿ 3 ^ß \  . Cß D
la cual es válida para todo C − ] y todo D − ^Þ
Tomando 380 se tiene que
D−^
. Cß \ Ÿ 3 ^ß \  . Cß ^ Ÿ 3 ^ß \  3 ] ß ^
de donde hemos probado " ß # y se tiene
3 \ß ] Ÿ 3 \ß ^  3 ^ß ] .
Segunda parte: 3 \ß ]  < implica que
maxÞÖ sup . Bß ] ß sup . Cß \ ×  <
B−\
C−]
$
Existe
B−\
tal
que
aC − ] ß . Bß C  < ‡ ß • ß existe
C−]
tal
que
aB − \ß . Bß C  <, entonces aC − ] ß bC − \ tal que C − F Bà < ß • ß aB − \ß bC − ] tal
que B − F Cà < , o sea
aC − ] à C − ∪ F Bà < , • , aB − \à B − ∪ F Cà <
B−\
C−]
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
lo cual es equivalente a
] § ∪ F Bà < ß • ß \ §
B−\
∪
C−]
44
F Cà < œ Y ] ß <
Notese que existe B − \ tal que aC − ] , . Bß C  < ya que si aB − \ß bC − ] à
. Bß C < entonces bC − ] à . Cß \ < o sea que 3 \ß ] < que es po contra la
hipótesis.
Por otra parte supongamos que \ § Y ] à < ß • ß ] § Y \à < esto significa que
aB − \ß bC − ] ß . Bß C Ÿ <ß • ß aC − ] ß bB − \à . Bß C Ÿ <
entonces
. Bß ] Ÿ <ß aB − \
Ê 3 \ß ] Ÿ <
œ . Cß \ Ÿ <ß aC − ]
…
2. Sea s. la aplicación que asocia a cada parte \ § Q de un espacio métrico Q la
‡
función real .\ À Q d , definida por .\ D œ . Dß \ , D − Q (o sea . \ es la función
distancia de un punto variable de Q al conjunto fijo \ ). Si nos restringimos a
considerar .\ apenas para los \ − ¹ Q
obtenemos una aplicación
s
. À ¹ Q ¹ Q à d de ¹ Q en el conjunto ¹ Q à d de las funciones reales en el
espacio métrico Q Þ Tenemos entonces
+ Para cualesquier \ß ] − ¹ Q , las funciones .\ y .] estan a una distancia
finita en ¹ Q à d .
, La aplicación s
. :\ .\ es una inmersión isométrica de ¹ Q en el espacio de
las funciones ¹ Q à d .
Sean \ß ] subespacios acotados de un espacio métrico
SOLUCIÓN. Afirmación :
Q . Sea α \ß ] œ supÞÖ. Bß C à B − \ß C − ] ×. Entonces α \ß ]   ∞ y para
cualquier D − Q , se tiene l. Dß \  . Dß ] l Ÿ α \ß ] .
En efecto, sea $ \  Eß $ ]  F para algún E y algún F números reales positivos
(estos existen, dado que \ß ] son acotados), sea B! − \ß C! − ] elementos fijos así
que . B! ß C! œ - está bien determinada. En Q se tiene que
. Bß C Ÿ . Bß B!  . B! ß C!  . C! ß C  E  F  - aB − Q ß aC − Q
Por lo tanto
supÞ
. Bß C œ α \ß ] Ÿ E  F  -   ∞
B − \ß C − ]
Se debe mostrar ahora que l. Dß \  . Dß ] l Ÿ α \ß ] , lo cual es equivalente a
-α \ß ] Ÿ . Dß \  . Dß ] Ÿ α \ß ]
o sea veamos que
MÞ
. Dß \ Ÿ α \ß ]  . Dß ]
MMÞ
. Dß ] Ÿ . Dß \  α \ß ] .
Sabemos que
l. Dß B  . Dß C l Ÿ . Bß C o sea que
 . Bß C Ÿ . Dß B  . Dß C Ÿ . Bß C
aBß aCß aD
de aquí tenemos que
. Dß B Ÿ . Bß C  . Dß C
aBß aCß aD
. Dß C Ÿ . Dß B  . Bß C
aBß aCß aD
Darío Sánchez H.
45
TOPOLOGIA GENERAL
de donde se tiene que
380 . Dß B Ÿ 380 . Bß C  . Dß C
B−\
B−\
380 . Dß C Ÿ . Dß B  380 . Bß C
C−]
o sea que
C−]
aCß aD
aBß aD
. Dß \ Ÿ . \ß C  . Dß C
aCß aD
. Dß ] Ÿ . Dß B  . Dß ]
aBß aD
recibiéndose
. Dß \ Ÿ 3 \ß ]  . Dß C Ÿ α \ß ]  . Dß C ß
aC − ]
. Dß ] Ÿ 3 \ß ]  . Dß B Ÿ α \ß ]  . Dß B ß
aB − \Þ
Por lo tanto
. Dß \ Ÿ α \ß ]  . Dß ]
aD − Q
. Dß ] Ÿ α \ß ]  . Dß \
aD − Q Þ
Obteniéndose
l. Dß \  . Dß ] l Ÿ α \ß ]
Resta mostrar que 3 \ß ] Ÿ α \ß ] , en efecto, se conoce que
l. Bß E  . Cß E l Ÿ . Bß C
para cualquier subconjunto no vacío EÞ En particular para E œ \ se tiene
l. Bß \  . Cß \ l Ÿ . Bß C
aBß aC
para B − \ se tiene
. Cß \ Ÿ . Bß C
aB − \ß aC − Q
o sea que
sup . Bß ] Ÿ α \ß ] .
C−]
Análogamente tomando E œ ] se tiene
sup . Bß ] Ÿ α \ß ]
B−\
por lo tanto
+
3 \ß ] Ÿ α \ß ]
HIJ
 Þ ll.
s
s
s\  .
s] ll œ supÖ.\ D  .] D à D − Q ×.
. Š. \ ß . ] ‹Þ œ
De esta definición se recibe
l.\ D  .] D l œ l. Dß \  . Dß ] l Ÿ α \ß ] aD − Q .
Por lo tanto
sup l.\ D  .] D l œ sup l. Dß \  . Dß ] l Ÿ α \ß ] .
D−Q
D−Q
s\  .
s] ll   ∞ o sea
Se sigue de la afirmación que α \ß ]   ∞, por lo tanto ll.
que .\ y .] están a una distancia finita en ¹ Q à ‘ .
s\  s
, Probemos ahora que ll.
. ] ll œ 3 \ß ]
Se sabe que si B − \ Ê . Bß \ œ !, por lo tanto
s\  .
s] ll
sup . Bß ] œ sup l. Bß \  . Bß ] l Ÿ sup l. Bß \  . Bß ] l œ ll.
B−\
B−\
Å B−Q
\§Q
también
s\  .
s] ll
sup . Cß \ œ sup l. Cß \  . Cß ] l Ÿ sup l. Cß \  . Cß ] l œ ll.
C−]
C−]
Å C−Q
] §Q
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
46
de donde se tiene
s\  .
s] ll.
3 \ß ] œ maxÞÖ sup . Cß \ ß sup . Bß ] × Ÿ ll.
C−]
B−\
s\  s
Mostremos ahora ll.
. ] ll Ÿ 3 \ß ] o sea que
l. Dß \  . Dß ] l Ÿ 3 \ß ]
aD − Q
lo cual es equivalente a
 3 \ß ] Ÿ . Dß \  . Dß ] Ÿ 3 \ß ]
aD − Q
esto es, mostrar la veracidad de las dos desigualdades siguientes:
. Dß \ Ÿ 3 \ß ]  . Dß ]
aD − Q
. Dß ] Ÿ 3 \ß ]  . Dß \
aD − Q .
Para esto se sabe que
. Dß B Ÿ . Bß C  . Dß C
aBß aCß aD
. Dß C Ÿ . Dß B  . Bß C
aBß aCß aD
de donde se obtiene
. Dß \ Ÿ . \ß C  . Dß C
aCß aD
. Dß ] Ÿ . Dß B  . Dß ]
aBß aD
de manera que tenemos
. Dß \ Ÿ 3 \ß ]  . Dß ]
aD − Q
. Dß ] Ÿ 3 \ß ]  . Dß \
aD − Q Þ
…
3.Sea W 8 œ ÖB − d8" à lBl œ "× la esfera unitaria 8-dimensional, con la métrica lB  Cl,
inducida de d 8" . Para cada
B œ B" ß B# ß á ß B8" − W 8
se tiene también
 B œ  B" ß  B# ß á ß  B8" − W 8 .
Sea 8 el conjunto cociente de W 8 por la relación de equivalencia que identifica B
con  B los elementos de 8 son las parejas : œ ÖBß  B×, B − W 8 . Indiquemos con
1 À W 8 8 la aplicación cociente 1 B œ ÖBß  B× œ 1  B . En 8 ß supongamos que
. :ß ; œ minÞÖlB  Clà lB  Cl× si : œ ÖBß  B× y ; œ ÖCß  C×.
Esto lleva a que 8 sea un espacio métrico, llamado el espacio métrico
proyectivo real 8  dimensional. Se tiene . 1 B ß 1 C Ÿ lB  Cl. Sea \ § W 8 un
subconjunto tal que $ \ Ÿ È#, esto es, si Bß C − \ entonces lB  Cl Ÿ È#. Entonces,
1l\ es una inmersión isométrica de \ en 8 .
SOLUCIÓN. Para cada :ß ; − 8 se tiene que lB  Clß lB  Cl están siempre bien
determinados, por lo tanto . :ß ; está bien definido.
3 . :ß ; œ minÞÖlB  Blß lB  B× œ minÞÖ!ß l#Bl× œ !
33 . :ß ; œ ! Í minÞÖlB  Clß lB  Cl× œ ! Ê lB  Cl œ !ß ” ß lB  Cl œ !ß esto es,
B œ Cß ” ß B œ  C
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
47
333 . :ß ; œ minÞÖlB  Clß lC  Bl×  ! si : Á ; , en efecto, : Á ; Ê B Á Cß ” ß B Á  C , de
esto se sigue que B  C Á !ß ” ß B  C Á !, entonces lB  Cl  !ß ” ß lB  Cl  !, se sigue
estonces que minÞÖlB  Clß lB  Cl×  ! de donde . :ß ;  ! si : Á ;
[email protected] . :ß ; œ minÞÖlB  Clß lB  Cl× œ minÞÖlC  Blß lC  Bl× œ . ;ß :
@ Se va mostrar que . :ß ; Ÿ . :ß =  . =ß ;
donde : œ ÖBß  B×ß ; œ ÖCß  C×ß
= œ ÖDß  D× o sea debemos mostrar que
minÞÖlB  Clß lB  Cl× Ÿ minÞÖlB  Dlß lB  Dl×  minÞÖlC  Dlß lC  Dl×
Sabemos que
lB  Cl Ÿ lB  Dl  lD  Cl
aBß aCß aD
lB  Cl Ÿ lB  D  D  Cl Ÿ lB  Dl  lD  Cl
aBß aCß aD
por lo tanto
minÞÖlB  Clß lB  Cl× Ÿ minÞÖlB  Dl  lD  Clß lB  Dl  lD  Cl×
Ÿ minÞÖlB  Dlß lB  Dl×  minÞÖlD  Clß lD  Cl×
@3 Es claro que . 1 B ß 1 C œ minÞÖlB  Clß lB  Cl× Ÿ lB  Cl
@33 Si se demuestra que aB,aC − \ß lB  Cl È#, se sigue inmediatamente que
. 1l\ B ß 1l\ C œ lB  Cl
Veámoslo, se sabe que $ \ Ÿ È# y hemos ya mostrado en el álgebra lineal lo
siguiente:
mα+" m# œ  α  " ß α  "  œ  αß α    αß "    " ß α    " ß " 
œ mαm#  m" m#   " ß α    αß " 
"
#
mα  " m œ  α  " ß α  "  œ  αß α    αß "    " ß α    " ß " 
œ mαm#  m" m#   " ß α    αß " 
#
De " y # tenemos:
mα+" m# +mα  " m# =#mαm# +#m" m#
En particular tenemos aquí que
lB  Cl#  lB  Cl# œ # lBl#  lCl# aBß aC
y también lB  Cl Ÿ $ \ Ÿ È#.
Como Bß C − \ § W 8 se tiene que |B|# œ "ß • ß lCl# œ "ß así
lB  Cl#  lB  Cl# œ # # œ % Í lB  Cl# œ %  lB  Cl#
Como lB  Cl# Ÿ # entonces  lB  Cl#  # así,
lB  Cl# %  # œ #ß aB − \ß aC − \ .
O sea que
lB  Cl# # Í lB  Cl È# ß
aB − \ß aC − \ ,
lo cual se quería probar.
…
4.Sean
Q ß . ß R ß . w espacios métricos. La oscilación de 0 À Q
un número
A 0 à + œ infÞ$ Ò0 ÖF +ß < ×Ó
imágenes por 0 de las bolas abiertas de centro en +. Probar que
+ 0 es continua en +, si y sólo si, A 0 à + œ !.
, Calcule la oscilación de 0 À d d en el !, donde
R en el punto + es
Darío Sánchez H.
SOLUCIÓN. +
que
TOPOLOGIA GENERAL
0 B œœ
=/8 B" para B Á !
.
!
para B œ !
Ê Ñ Si 0 es continua en +, significa que dado %  !, existe 5  !, tal
a> − F +ß 5 Ê . w 0 > ß 0 +
Ahora
48
%
a> − F +ß 5 ß a>w − F +ß 5 ß . w 0 > ß 0 >w Ÿ . w 0 > ß 0 +  . w 0 >w ß 0 +
Entonces
$ 0 F +ß 5 œ sup
Þ
. w 0 > ß 0 >w Ÿ #%
a%  ! .
w
Ÿ #%Þ
>ß > − F +ß 5
Ahora
b8  !, tal que 5  8"  !ß • ß $ ˆ0 ˆF ˆ+ß 8" ‰‰‰ Ÿ #%,
entonces Ö8 − Î$ ˆ0 ˆF ˆ+ß 8" ‰‰‰  #%× Á ø, entonces existe
infÞ Ö8 − Î$ ˆ0 ˆF ˆ+à 8" ‰‰‰ Ÿ #%× Ÿ #%
8−
por lo tanto A 0 à + œ !
É Ñ Si A0 B œ ! entonces dado %  ! existe <  ! tal que
supÞ
. w 0 > ß 0 >w  % Ê . w 0 > ß 0 >w  % a>ß a>w − F +ß <
w
>ß > − F +ß <
entonces dado %  !, existe <  ! tal que
a
> − F +ß < , . w 0 > ß 0 +  % Ê 0 es continua.
#
, Tomemos B8 œ 81
,
8 œ "ß $ß &ß (ß á una sucesión de números reales tendientes
para cero, tenemos
"ß 8 œ "ß &ß *à á
0 B8 œ =/8 ˆ "# ‰ œ =/8 1# 8 œ œ
 "ß 8 œ $ß (ß ""ß á
81
"
Así sea F ˆ!ß 8 ‰
8 œ "ß $ß &ß (ß á entonces
"
$ ˆ0 ÒF ˆ!ß 8 ‰Ó‰ œ supÞ " l0 B  0 C l œ supÞ " l=/8 B"  =/8 C" l œ #
Cß B − F ˆ!ß 8 ‰
Ahora
A 0ß ! œ
infÞ
8 − Ö"ß $ß &ß á ×
$ ˆ0 ˆF ˆ!ß
Bß C − F ˆ!ß 8 ‰
" ‰‰‰
8
œ #.
…
5.Establecer los siguientes homeomorfismos:
+ Entre d 8"  Ö+× y W 8 ‚ d donde + − d 8"
, Entre el semi-espacio superior abierto L œ ÖB − d 8 à B8  !× y el espacio entero
d 8 ; entre L œ Ö< − d 8 à B8 !× y
- Entre
d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ.
T œ ÖB − d 8 à B" !ß á ß B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ.
SOLUCIÓN. + Sea : À d 8  Ö!× W 8 ‚ d definida así:
Ú B
Š lBl ß lBl  "‹ ß si lBl "
: B œÛ
B lBl"
si lBl  "
Ü Š lBl ß lBl ‹ ß
como B Á ! entonces |Bl Á !, además
lBl"
lBl
œ"
"
lBl
B
lBl
B
− W 8 ya que ¹ lBl
¹ œ " por otra parte
Ä  ∞ cuando lBl Ä ! ß y ß lBl  " Ä +∞ cuando lBl Ä  ∞ por lo
tanto : está bien definida.
Darío Sánchez H.
49
TOPOLOGIA GENERAL
Ahora sea 1 À W 8 ‚ d
d 8"  Ö!× definida porß
1 Cß D œ œ
"  D Cß si D !
"
si D  !
"D Cß
es claro que 1 está bien definida además se tiene que
3)
Ú "D C
Š "D ß "  D  "‹à l"  DllCl œ "  D  "
: "  D C , si D  !
: 1 Cß D œ œ ˆ " ‰
œ Û "D C
"
"
"
: "D C ,
si D Ÿ !
" ‰ ‹à ¹ "D C ¹ œ "D  "
Ü Š "D ß "  ˆ "D
o sea que
: ‰ 1 Cß D œ œ
Cß D
Cß D
si "  D  "
"
si "D
"
de donde : ‰ 1 œ M.W 8 ‚d o sea que : es
33) Por otra parte
Ú
B
1Š lBl
ß lBl  "‹, si lBl  "
1‰: B œÛ
B
"
Ü 1Š lBll ß "  lBl ‹, si lBl Ÿ "
œ Cß D
inyectiva.
Ú
Ý lBl  "  "
ßœÛ
"
"
à Ý
"
"
Š
Ü
lBl ‹
Þ
B
lBl ,
B
lBl ,
si lBl  "  !
si " 
"
lBl
œ
lBl"
lBl
Ÿ!
œœ
B, si lBl  "
œ B,
B, si lBl Ÿ "
o sea que 1 ‰ : œ M.d8" Ö!× .
Así : es sobre, por lo tanto : es biyectiva y se tiene :" œ 1Þ
333) : es continua: En efecto : œ :" ß :# donde
:" À d 8"  Ö!× d 8"  Ö!×
B
B È lBl
es continua,
:# À d 8"  Ö!×
BÈ
Como lim ÖlBl  "× œ lim
lBl"
lBlÄ" lBl
lBlÄ"
d
lBl  "ß si lBl  "
lBl"
si |Bl Ÿ "
lBl ß
œ!
entonces :# es continua.
Luego := :" ß :# es continua ya que cada una de sus componentes lo es.
[email protected]) : es abierta: Para lo cual basta ver que :" es continua donde
"  D Cß D  !
:" Cß D œ œ "
DŸ!
"D Cß
Se sabe que la multiplicación por un escalar es una operación continua en un
espacio métrico, ahora como
"
lim :" Cß D œ lim "  D C œ C,
lim :" Cß D œ lim "D
CœC
o sea
DÄ!
DÄ!
lim :" Cß D œ lim :" Cß D œ C,
DÄ!
DÄ!
es abierta.
Luego : es un homeomorfismo.
(,) 3) Se define
DÄ!
DÄ!
entonces :" es continua, por lo tanto :
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
50
: À L œ ÖB − d 8 à B8  !×
d8
ß
"
#
8
B ß B ß á ß B È B" ß B# ß á ß B8" ß log B8
así : œ 3.d ß á ß 3.d ß log como B8  ! entonces log B8 − d está bien definido por
lo tanto : queda bien definida.
Ahora
1 À d 8 L œ ÖB − d 8 à B8  !×
8
B" ß á ß B8" ß B8 È ˆB" ß á ß B8" ß /B ‰
es también bien definida y además
8
1 ‰ : B" ß á ß B8 œ 1 B" ß á ß log B8 œ ˆB" ß á ß B8" ß /log B ‰ œ B" ß á ß B8" ß B8
o sea 1 ‰ : œ M.L y
8
8
: ‰ 1 B" ß á ß B8 œ :ˆB" ß á ß /B ‰ œ ˆB" ß á ß B8" ß logÞ/B ‰ œ B" ß á ß B8
o sea : ‰ 1 œ M.d8
Por lo tanto : es biyectiva y tiene por inversa :" œ 1.
Como : y :" son continuas entonces : es un homeomorfismo.
33) Ahora L À ÖB − d 8 à B8 !× d 8" ‚ Ö!ß ∞Ñ
B" ß á ß B8 È B" ß á ß B8
es claramente continua y un homeomorfismo.
(- ) Tomemos
: À T œ ÖB − d 8 à B" !ß B# !ß á ß B8 !× d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ
B" ß á ß B8" ß B8 œ Bß C È lBl#  C# ß #BC
donde B œ B" ß B# ß á ß B8" ß C œ B8 . Es claro que : está bien definida ya que
: Bß C œ lBl#  C# ß #BC œ ˆl B" ß á ß B8" l#  B8 # ß #B" B8 ß á ß #B3 B8 ß á ß #B8"B8 ‰
y se tiene que #B8" B8 − Ò!ß ∞Ñ.
Para mostrar que : es un homeomorfismo basta probarlo para dos dimensiones o
sea considerar : À T œ ÖB − d # à B" !ß B# !× d ‚ Ò!ß ∞Ñ
: es inyectiva À
: Bß C œ : B" ß C# Í B#  C# ß #BC œ B#"  C"# ß #B" C"
o sea que
B#  C# œ B#"  C"# , • , #BC œ #B" C"
de donde tenemos
B#  #BC3  C# œ B#"  #B" C" 3  C# Í B  3C # œ B3  3C" # Í Bß C # œ B" ß C" #
de donde
B œ „ B" ß • ß C œ „ C"
pero B œ  B" • C œ  C" no se puede presentar ya que el punto  B" ß C"  T por
lo tanto
B œ B" • C œ C" , o sea Bß C œ B" ß C" .
: es sobreyectiva:
Sea A − d ‚ Ò!ß ∞Ñ tal que A œ A" ß A# , A" Á !ß A# Á ! para hallar Bß C − T
utilizamos métodos elementales
B#  C# ß #BC œ A" ß A# Ê B#  C# œ A" • #BC œ A#
entonces se tiene que B#  C# œ A" • ŠB œ A#C# ” C œ A#B# ‹ de donde se debe tener
o sea que
A##
%C #
 C # œ A" ” B# 
A##
%B#
œ A"
Darío Sánchez H.
51
TOPOLOGIA GENERAL
%A" „É"'A"# "'A##
A „ÈA# A#
%B%  A## œ %A" B# Ê B# œ
Í B# œ " # " # .
)
Como A"  ÈA#"  A##  ! , entonces debe tomarse A"  ÈA#"  A##  ! , por lo tanto
B œ „ É A" lAl
œ É A" lAl
, •, C œ
#
#
Luego dado A œ A" ß A#
A#
#B
œ
A#
A lAl
#É " #
œ
A#
È# A" lAl
.
con A" Á !ß A# Á !ß tómese
Bß C œ ŒÉ A" lAl
, È# AA#lAl
#
"
.
Si A œ A" ß ! con A"  !, tómese B œ ÈA" ß C œ !, en ese caso
Si
A œ A" ß !
: Bß !
œ ŠˆÈA" ‰  !ß #ÈA" † !‹ œ A" ß ! Þ
: !ß C
œ Š!  ˆÈ  A" ‰ ß !‹ œ A" ß !
#
con A"  ! , tómese B œ !, C œ È  A"
en ese caso
#
Si A œ !ß A# œ Š!  ˆÈ  A" ‰ ß !‹ œ A" ß ! Þ
#
Si A œ !ß A# , nótese que A# !, en ese caso tómese B œ È A## ß C œ È A## y se tiene
:ˆˆÈ A## ß È A## ‰‰ œ ˆ A##  A## ß #È A## È A## ‰ œ !ß A# .
Así : es sobre.
: es continua: Ya que : œ :" ß :# donde
:" À T d
es continua y
:# À8 T d 8"8
es continua,
#
Bß B8
È lBl# 
È #B † B
Bß B
B8
por lo tanto : es continua.
: es abierto: Con tal fin se define la función inversa de : la cual obtenemos
como una conclusión de los cálculos realizados para mostrar que : es sobre
Ú
Ý
A" lAl ˆA# ßA ßáßA8 ‰
ŒÉ # ß È# A$" lAl ß si A" Á !
"
: A œÛ
݈ È
si A8 œ !ß A"  !
Ü !ß  A" ‰ ß
donde A œ A" ß á ß A8" ß A8 .
En dos dimensiones tendríamos
Ú
Ý
A" lAl
A
ŒÉ # ß È# A"#lAl
"
: A œÛ
݈ È
Ü !ß  A" ‰ß
y se tiene
: :" A
œŠ
œ :ŒÉ A" lAl
ß
#
ˆA# ßA ßáßA8 ‰
$
È# A" lAl
A"# #A" lAlA"# A## âA8# A## âA8#
ß
# A" lAl
œ Š A" lAl

#
ß
si A" Á !
si A# œ !ß A"  !
ÈA lAl A ßáßA
A## A$# âA8#
ß # È"#È#ÈA# lAl8
#ˆA" lAl ‰
"
" lAl
A# ß A$ ß á ß A8 ‹ œ Š #A# "AA" lAl
ß A# ß A$ ß á A 8 ‹
œ A" ß A# ß á ß A8
A œA
si A" Á !ß
o sea
:‰:
"
: es continua.
Cuando A" Á !ß A#  ! es claro que :" œ <" ß <# es continua ya que
<" À T d
y <# À T d
A" ß A# È È# AA#lAl
A" lAl
É
A" ß A # È : A " ß A # œ
"
#
"
‹
Darío Sánchez H.
52
TOPOLOGIA GENERAL
son funciones continuas.
Las funciones <" ß <# pueden ser extendidas así por ejemplo
<# À T
d 8"
A" ß á ß A8" ß A8
È
ˆA# ßA ßáßA8 ‰
$
È# A" lAl
es una función continua.
Ahora
lim  :" !ß A" œ lim  !ß A" œ !.
Sea
A" Ä!
A" Ä!
donde B œ A" ß C œ A# ß á ß A8 , así
A" ß A# ß á ß A8 œ Bß C
:" A œ ŒÉ A" lAl
ß È# AA#lAl
#
"
y
lim :" Bß C
BÄ!
C !
lim
BÄ!
CÄ!
΃
œ
Bl BßC l
ß È# BlC BßC l
#
ÈC
œ Œ!ß lim È#
CÄ!
œ ŒÉ Bl #BßC l ß È# BlC BßC l
œ Œ!ß lim lim
C
È
#
Bl
BßC l
CÄ! BÄ!
œ
C
CÄ! É#ÈC #
!ß lim
œ !ß !
Luego :" es continua y : es abierta.
De lo anterior se sigue que
: À T d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ
es un homeomorfismo.
…
6.
Bß C
È
lBl#  C# ß #BC
En cada uno de los casos de abajo, determínese si E es o no subconjunto
abierto del espacio métrico Q correspondiente.
+ Q œ dß E œ Önúmeros racionales×.
, Q œ µ \à d ß E+ œ Ö0 À \ d acotada; 0 +  ! para + fijo×.
- Q œ dß 0 − ¹ dß d y E0 œ Ö B − dà 0 B  !×
. Q œ d 8 , E œ ÖB − d 8 à B" es entero  !×
/ Q œ d # ; E œ Öpuntos del plano que no están en el círculo B#  C# œ " ni en el eje
de las B×
0 Q œ ™ números enteros ; E œ ÖB − Q à lB  #l œ $× œ Ö  "ß &×
1 Q œ d , E œ ÖB − Q à B $×
2 Q œ µ dà d ß E œ Ö0 − Q à 0 es discontinua en todos los puntos de la recta×
,
3 Q œ ¶! Ò+ß ,Óà d ; E œ Ö0 − Q à '+ 0 B .B  !×
4 Q œ d & à E œ Öpuntos que tienen exactamente tres coordenadas  !×
SOLUCIÓN. + Q œ dß E œ Önúmeros racionales×.
E no es abierto: En efecto se sabe que cualquier subconjunto abierto no vacío
de d contiene números racionales e irracionales. Entonces cualquier bola abierta
centrada en un punto de E irá a contener puntos racionales y no está totalmente
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
53
contenida en E. Luego E no es abierto. Nos resta probar que cualquier intervalo
abierto contiene por lo menos un racional y un irracional, en efecto sea +ß , un
intervalo abierto, existe 8 −  tal que 8"  ,  +, sea 7! œ minÖ7 − Î 7
8  +×
7!
7!
7! "
entonces se tiene, +  8  , , puesto que si 8  ,, entonces 8  ,  8"  +ß
• ß 7! no sería mínimopo. De la misma manera, existe 5 −  tal que 15  ,  +
entonces existe 7 tal que +  17
5  ,.
Nota: Aquí hemos supuesto que !  +  ,.
, Q œ µ \à d ß E+ œ Ö0 À \ d acotada; 0 +  ! para + fijo×.
E+ es abierto: En efecto sea F 0 ß % § µ 0 à d una bola abierta con centro en 0 y
radio %, sea 1 − F 0 ß % . Tomando 0 + œ 5  ! y % œ 5# tenemos
ll0  1ll  5# Í ll0  1ll œ sup Öl0 B  1 B ×  5#
B−\
se sigue que
l0 B  1 B l  5# ,
aB − \
en particular para B œ + tenemos l0 +  1 + l  5# o sea
 5#  0 +  1 +  5#
de donde
0 +  1 +  5# Í 0 +  5#  1 +
ahora como 0 + œ 5 , entonces 0 +  5# œ 5  5# œ 5# ß por lo tanto 1 +  5#  !,
entonces 1 − E+ ß así F 0 ß % § E+ y E+ es abierto.
- Q œ dß 0 − ¹ dß d y E0 œ Ö B − dà 0 B  !×
E0 no es abierto en general. Para eso consideremos la función 0 − ¹ dß d
definida por
" ß si B Ÿ +
0 B œœ
 " ß si B  +
E0 œ ÖB − dÎ0 B  !× œ Ð  ∞ß +Óß B! œ + − E0 y para todo <  !ß existe B − F +à < tal
que 0 B  ! entonces B Â E0 por lo tanto F B! à < §
Î E0 o sea E0 no es abierto.
Nótese que E0 depende de 0 , así si 0 es positivo, o sea 0 B  !ß aB − \ en ese
caso E0 es claramente abierto.
. Q œ d 8 , E œ ÖB − d 8 à B" es entero  !×.
E es cerrado: Para esto considérese la aplicación
C 8À d 8 "d
"
#
B ßB ßáßB
ÈB
la cual es la función primera proyección sobre d.
C es continua: El conjunto E puede ser considerado como E œ C" ^‡ .
Como ^‡ es un conjunto cerrado en d , tenemos que E es cerrado.
/ Q œ d # ; E œ Öpuntos del plano que no están en el círculo B#  C# œ " ni en el eje
de las B×
Darío Sánchez H.
54
TOPOLOGIA GENERAL
E es abierto, en efecto, sea 0 À d #
Bß C
d
, 0 es continua ya que tomando en
È B#  C #  "
d la métrica . Bß C ß B" ß C" œ . Bß B"  . Cß C" œ lB  B" l  lC  C" lß se tiene que;
%
dado %  !, existe $ Ÿ #O
con O œ maxÖlB  B" lß lC  C" l×, se tiene
#
. 0 Bß C ß 0 B" ß C" œ lB  C#  "  B"#  C"#  "l œ l B#  B"#  C #  C"# l
Ÿ lB#  B#" l  lC#  C"# l œ lB  B" l † lB  B" l  lC  C" l † lC  C"l
Ÿ lB  B" lO  lC  C" lO Ÿ ÖlB  B" l  lC  C" l×O
Ahora si lB  B" l  $ • lC  C" l  $ se tiene que
. 0 Bß C ß 0 B" ß C" Ÿ #$ O Ÿ O% O œ %
Asíß como E=0 " d  Ö!× ß entonces E es imagen inversa por una aplicación
continua de un conjunto abierto de d , luego E es abierto.
0 Q œ ™ números enteros ; E œ ÖB − Q à lB  #l œ $× œ Ö  "ß &×
E es abierto: Tomando 5 œ "# ß F" œ ˆ  "ß "# ‰y F# œ ˆ!ß "# ‰ entonces F" ß F# § E Ê E
es abierto.
1 Q œ d , E œ ÖB − Q à B $×
E no es abierto como fácilmente se puede mostrar.
2 Q œ µ dà d ß E œ Ö0 − Q à 0 es discontinua en todos los puntos de la recta×
E es abierto. En efecto sea 0 − E y + un punto arbitrario de la recta entonces 0
es discontinua en +, esto significa que existe %  ! tal que para todo $  !ß
lB  +l  $ y l0 B  0 + l  %
"
Para este %  ! sea
F ˆ0 ß $% ‰ œ Ö1 − Q Î. 0 ß 1 œ sup l0 B  1 B l  $% ×
Sea 1 − F ˆ0 ß $% ‰ entonces 1 − E, porque supongamos que 1 Â E entonces esto
significa que existe B! − dß que sin perder generalidad podemos tomar B! œ +, tal
que 1 es continua en +, es decir, dado %  ! existe $  ! tal que
lB  +l  $ Ê l1 B  1 + l  $% .
Ahora
l0 B  0 + l Ÿ l0 B  1 B l  l1 B  1 + l  l1 + 0 + l Ÿ $%  $%  $% œ %
o sea que según " obtenemos
l0 B  0 + l Ÿ % • l0 B  0 + l  %
esta es una po contradicción por lo tanto 1 − E, así F ˆ0 à $% ‰ § Eß de donde E es
abierto.
,
3 Q œ ¶! Ò+ß ,Óà d ; E œ Ö0 − Q à '+ 0 B .B  !×
,
E es abierto:
Sea : À Q d
ß : 0 œ '+ 0 B .B  ! es una función
,
0 È '+ 0 B .B  !
continua. Como E œ :" d como d es abierto en d entonces E es abierto en Q Þ
Otra forma de prueba es la siguiente: Sea F 0 ß % con %  !. Se debe mostrar que
,
cualquier 1 − F 0 ß % Ê 1 − EÞ Por hipótesis si 0 − E Ê 5 œ '+ 0 B .B  !, también se
tiene que 0 B  %  0 B  0 B  % de donde tenemos que
'+, 0 B  % .B  '+, 0 B .B  '+, 0 B  % .B
B−d
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
55
5
Tomando !  %  ,+
ß 5  !ß ,  +ß sea F 0 ;% y 1 − F 0 à % Í l1 B  0 B l  %, o
sea 0 B  %  1 B  0 B  %ß integrando miembro a miembro tenemos
'+, 0 B  % .B  '+, 1 B .B  '+, 0 B  % .B
entonces
,
!  5  % ,  +  '+ 1 B .B  5  % ,  +
,
de esta desigualdad recibimos que '+ 1 B .B  ! entonces 1 − E o sea E es
abierto.
4 Q œ d & à E œ Öpuntos que tienen exactamente tres coordenadas  !×
E no es abierto, pues sea + œ "ß "ß "ß !ß ! − E y para todo +ß % en punto
ˆ"ß "ß "ß #% ß #% ‰ − F +ß % mientras que ˆ"ß "ß "ß #% ß #% ‰ Â E, luego E no es abierto en Q Þ
…
7.Sea
E œ Ö Bß C − d # à B Á C ” C œ !×. La intersección de E con cualquier recta
horizontal o vertical es abierta en la recta, pero E no es un subconjunto abierto el
plano.
E œ Ö Bß C − d # à B Á C× ∪ Ö Bß C − d # à C œ !×. Sea L cualquier recta
SOLUCIÓN.
horizontal o vertical, en esta forma E œ d #  Ö Bß C − d # à B œ C • C Á !×. Si L es uno
de los ejes es claro entonces que E es abierto en L , ya que E ∩ L œ d. Ahora si
L œ Ö Bß C − d # Î Bß C œ Bß 2 con 2 fijo×
en este caso
E ∩ L œ Ö Bß 2 ÎB − dß • ß B Á 2× œ Ö Bß 2 ÎB  2× ∪ Ö Bß 2 ÎB  2×
como Ö Bß 2 − d # ÎB  2× es abierto en L y Ö Bß 2 − d # ÎB  2× es abierto en L
entonces se sigue que E ∩ L es abierto en L .
Si L w es una recta vertical, o sea L w œ Ö Bß C − d # Î Bß C œ 5ß C con 5 fijo, C − d×
entonces
E ∩ L w œ Ö 5ß C − d # ÎC Á 5× œ Ö 5ß C − d # ÎC  5× ∪ Ö 5ß C − d # Î C  5×
como Ö 5ß C − d # ÎC  5ß 5 fijo× y Ö 5ß C − d # ÎC  5ß 5 fijo× son abiertos en L w se
sigue que E ∩ L w es abierto en L w Þ
E no es abierto en d # , pues a<  !ß F !ß < contiene puntos de la forma B œ C que
no estan en EÞ
…
8.Todo abierto no vacío E § d8 contiene por lo menos un punto B œ B" ß B# ß á ß B8
cuyas coordenadas B" ß B# ß á ß B8 son racionales. Concluír que si ¶ es una colección
de abiertos dos a dos disyuntos en d 8 entonces ¶ es enumerable. Como
consecuencia mostrar que si M § d es un intervalo y 0 À M d es una función
monótona, entonces el conjunto de los puntos B − M , en los cuales 0 es
discontinua, es enumerable.
SOLUCIÓN. 3) Mostremos que todo abierto de E contiene por lo menos un punto
p
racional ; , cuyas coordenadas son racionales. Sea > œ >" ß ># ß á ß >8 − E. Como E es
Darío Sánchez H.
56
TOPOLOGIA GENERAL
p
abierto entonces existe <  ! tal que F< Š > ‹ § Eß donde F< > es una bola abierta de
Á
p
centro en > y radio <  ! entonces la bola cerrada F #< Š > ‹ § E.
Á
Para cada >3 , 3 œ "ß #ß ß á ß 8 sabemos que existe una sucesión Ö;3 × de números
racionales que convergen hacia >3 , esto es, sea %< #< ß %  ! y suficientemente
pequeño entonces existe R3 tal que si 7  R3 entonces
7
l;3  >3 l  È%8
"
7
Sea R œ maxÖR3 à 3 œ "ß #ß á ß 8× entonces la desigualdad " se tiene para 7  R ,
3 œ "ß #ß á ß 8 o sea si 7  R entonces
7
l;3  >3 l  È%8  #< #
Entonces para 7 suficientemente grande y 7  R
p
7
7
7
; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ − F #< Š > ‹, en efecto;
tenemos que el punto
l >" ß ># ß á ß >8  Š;" ß ;# ß á Þ;8 ‹l œ lŠ>"  ;" ß >#  ;# ß á ß >8  ;8 ‹l œ
7
7
œË
7
8
5œ"
7
Š>5  ;5 ‹ Ÿ Ë
Å
7
#
#
8
5œ"
7
7
Š È%8 ‹ œ É8 8% # œ
#
#
%
È8

<
#
Esto muestra que p
; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ es un punto de coordenadas racionales ya
p
7
7
7
7
que ;3 −  y p
; − F #< Š > ‹ Ê p
; − F< > , de donde p
; œ Š;" ß ;# ß á ß ;8 ‹ − E.
7
7
7
33) Mostremos ahora que si ¶ es una colección de abiertos dos a dos disyuntos no
vacíos de d 8 entonces ¶ es enumerable.
Basta observar que esto es una generalización de: "Sea f una colección de abiertos
dos a dos disyuntos de d no vacíos entonces f es enumerable". Veamos esta
afirmación, sea  œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × el conjunto de los números racionales el cual
es un conjunto bien ordenado. Sea E − f ß entonces podemos hablar de
1
(E œ minÖ8 − à B8 − Eß B8 − × entonces la correspondencia E È (E es biunívoca
(esta bien definida porque si E Á F Ê (E Á (F , puesto que si (E œ (F entonces
existe B(EßF − E ∩ F enpocontradicción con el hecho de que E ∩ F œ ø), en forma
análoga se muestra que 1 es biunívoca, ya que si (E œ (F entonces
minÖ8 − ÎB8 − E× œ minÖ8 − ÎB8 − F× o sea que existe un B(EßF − E y B(EßF − F
como E ∩ F œ ø por lo tanto E œ FÞ Entonces f es equipotente a un subconjunto
de .
Para el caso general sea ¶ œ ÖE3 ×3−M una colección de abiertos de d 8 dos a dos
disyuntos, por la primera parte sabemos que en cada E3 existe por lo menos un
puntos con coordenadas racionales; consideremos entonces
p œ B ß B ß á ß B ÎB − ß ! Ÿ 3 Ÿ 8×.
8 œ  ‚  ‚ â ‚  œ ÖB
"
#
8
3
Como 8 es enumerable entonces puede bien ordenarse como
8 œ ÖBp8 Î8 − ß Bp8 − 8 ×.
La correspondencia
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
3
M
57

È ( 3 œ minÖ8 − ÎBp8 − E3 ×
establece una correspondencia biunívoca entre M y un subconjunto de , entonces
M es enumerable.
La correspondencia esta bien definida, pues si 3 Á 4 Ê (3 Á (4 porque si (3 œ (4
entonces E3 ∩ E4 Á ø, contra la hipótesis de ser la colección ¶ disyunta dos a dos.
Por lo tanto ¶ es enumerable.
333Ñ Sea M § d un intervalo 0 À M d es una función monótona entonces el conjunto
de los puntos B − M en los cuales 0 es discontinua, es enumerable. En efecto
supogamos, sin perder generalidad, que 0 es creciente y sea I el conjunto de los
puntos de discontinuidad de 0 I § M . Con cada punto B de I asociamos un
número racional < B tal que 0 B   < B  0 B  . Si B"  B# entonces por la
monotonía; 0 B"  Ÿ 0 B#  o sea que si B" Á B# entonces < B" Á < B# . Para
B − I , existen :ß ; −  tales que ;  B  :. Sea
HB œ ÖB − MÎ0 B  ß 0 B  existen y 0 B   < B  0 B  × ∩
∩ ÖB − MÎ0 >  < > ß aC − ;ß B × ∩ ÖB − MÎ0 >  < B ß a> − Bß : ×
w
Si Bß B − HB entonces a> − Bß Bw ß 0 >  < B • 0 >  < B esto es imposible e implica
que B œ Bw o sea que HB œ ÖB×. Así M puede ser considerado como una colección Mde subintervalos tales que 0 es continua en M- y además M- ∩ M. œ ø para - Á .. Es
de notar que M- es abierto, así M" ß M# ß á ß M8 es una colección de abiertos dos a dos
disyuntos, en cada M- hay un número racional ver la parte 33 por lo tanto ÖM- ×- es
enumerable. Como las discontinuidades de 0 ocurren cuando se pasa de M3 a M3"
se sigue que el conjunto I de las discontinuidades de 0 es enumerable.
…
9.
Sea M œ Ò+ß ,Ó indicaremos con ¶ " M el espacio vectorial de las funciones
continuas acotadas 0 À M d que posean derivadas continuas en todos los puntos
B − M . Muestre que
l0 l‡ œ supÖl0 B l  l0 w B là B − M×
es una norma en ¶ " y que la aplicación lineal H À ¶ " M
¶! Ò+ß ,Óß d definida por
H 0 œ 0 w (la derivada de 0 ), es continua. Dado B! − M ¿es abierto el conjunto
E œ Ö0 − ¶ " M à 0 w B!  !×?. ¿Es continua la función : À ¶ " M
d definida por
, w
: 0 œ '+ 0 B .B?. ¿Serían H continua y E abierto si tomamos en ¶ " M la norma
l0 l œ supÖl0 B là B − M×?.
SOLUCIÓN. 3) l0 l‡ œ sup Öl0 B l  l0 w B l× es una norma en ¶ " M .
B−M
+ Como l0 B l !ß aB − Mß l0 w B l !ß aB − M , entonces
l0 l‡ œ sup Öl0 B l  l0 w B l× !ß
B−M
, l0 l‡ œ sup Öl0 B l  l0 w B l× œ ! Í l0 B  0 w B l œ !ß aB − M
B−M
 ! • 0 w B œ !ß aB − Mß
Í l0 B l œ ! • l0 w B l œ !ß aB − M Í 0 œ
o sea 0 œ !.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
58
- l-0 l‡ œ sup Öl -0 B l  l -0 w B l× œ sup Öl-ll0 B l  l-ll0 w B l × œ
B−M
B−M
sup l-lÖl0 B l  l0 w B l × œ l-l sup Öl0 B l  l0 w B l × œ l-ll0 l‡
B−M
B−M
. Sabemos que
l0 B  1 B l Ÿ l0 B l  l1 B l
aB − M
w
w
w
w
l0 B  1 B l Ÿ l0 B l  l1 B l aB − Mß
de donde se tiene que
l0 B  1 B l  l0 w B  1w B l Ÿ l0 B l  l0 w B l  l1 B l  l1 w B l aB − M .
Por lo tanto
l sup Öl 0  1 B l  l 0 +1 w B l× Ÿ sup Ö l0 B l  l0 w B l  l1 B l  l1 w B l × Ÿ
B−M
B−M
Ÿ sup Öl0 B l  l0 w B l×  sup Öl1 B l  l1w B l×
B−M
B−M
o sea que l0  1l‡ Ÿ l0 l‡  l1l‡ .
33) La aplicación H À ¶ " M
¶! Ò+ß ,Óß d es continua. Basta probar que H es una
contracción débil, en efecto
l0 w B  1w B l Ÿ l0 B  1 B l  l0 w B  1w B l,
aB − M
por lo tanto
sup l0 w B  1w B l Ÿ sup Öl0 B  1 B l  l0 w B  1w B l×
o sea que
B−M
B−M
llH 0  H 1 ll Ÿ l0  1l‡
Luego H es una aplicación continua, ya que H es una contracción débil.
333) El conjunto E œ Ö0 − ¶ " M à 0 w B!  !× es abierto.
En efecto, sea F œ Ö1 − ¶! Mà d à 1 B!  !×, F es abierto, ya que si F œ ø entonces
F es abierto por definición. Si F Á øß sea 2 − F, entonces 2 B!  !.
Sea $ œ 2 B! y R 2ß $ una bola de centro 2 y radio $, y sea
0 − R 2Þ$ Ê sup Öl0 B  2 B l× œ ll0  2ll  $ ß
B−M
o sea l0 B  2 B l  $ para todo B − M œ Ò+ß ,Ó, en particular para B œ B! se tiene
l0 B!  2 B! l  $ Í  $  0 B!  2 B!  $
o sea  $  2 B!  0 B! ß como $ œ 2 B! se sigue que 0 B!  !, de donde
0 − F y R 2ß $ § F .
Se sabe que la aplicación H À ¶ " M
¶! Mà d
es continua, por lo tanto H" F
0
ÈH0
œ 0w
es abierto, como E œ Ö0 − ¶ M à 0 B!  !× œ H" F ß se sigue que E es abierto.
[email protected]) : À ¶ " M
d
es continua
,
0 È'+ 0 w B .B
: se puede obtener como la composición de α ‰ H donde
¶ " M H ¶! Mß d α d
0 È 0 w B È' ,
+ 2 B .B
2 B
Ya hemos probado que H es continua para que : ‰ H sea continua debemos
simplemente probar que α es continua, en efecto dados 0! − ¶! Mß d y %  ! existe
%
$ œ ,+
tal que si |l0  0! ll  $ entonces
"
w
Darío Sánchez H.
59
TOPOLOGIA GENERAL
lα 0  α 0! l œ l'+ 0 B .B  '+ 0! B .Bl œ ¹'+ 0 B  0! B .B¹ Ÿ '+ l0 B  0! B l.B Ÿ
,
,
,
Ÿ sup l0 B  0! l'+ .B
,
,
o sea
B−M
lα 0  α 0! l Ÿ ll0  0! ll ,  +  $ ,  + œ
Luego : es continua.
@) Si l0 l œ sup l0 B l es la normal de ¶ " M , H no es continua.
B−M
Tomando Ò+ß ,Ó œ Ò!ß "Ó œ M • 08 B œ
8 B8"
8
B8
8.
8"
%
,+
† ,  + œ %Þ
Ahora 08 B tiende para cero cuando B Ä !,
H 08 œ
œB
Si H es continua se debe tener H 08
H ! . Pero
w
lH 0  H ! l œ l07
l œ sup l08w l œ sup l08w B l œ sup lB8" l œ ".
B−M
B−M
B−M
E œ Ö0 − ¶ " à 0 w ÐB! Ñ  ! con B! − M× no es abierto .
"
Sea ¶ " ÐMÑ con la norma del supremo, M œ Ò!ß "Ó. Sea ! œ
y sea $  !.
 0 − ¶ ÐMÑ
"
B8
Entonces existe 8 − R tal que 8  $ y tomemos la función 08 B œ 8 Þ Tenemos que
. 08 ß 0 œ 8"  $ y sin embargo se tiene . H 08 ß H 0 œ . 08w ß 0 w œ "Þ Luego H no es
continua en 0 œ
 !Þ
Sea ahora 0 B œ Bß 0 − ¶ " ÐMÑ donde M œ Ò!ß #1Ó y sea %  !. Entonces existe 8 −  tal
"
que #8"
 % y sea B! œ 1 − M .
Tómese ahora la función
"
08 B œ B  #8"
=/8 #8  " B ;
08 − ¶ " ÐMÑ
y
"
. 08 ß 0 œ supÞ¹ #8"
=/8 #8  " B ¹ œ
"
#8"
%
y por consiguiente 08 − FÐ0 à %Ñ.
Tenemos que 0 w B! œ 0 w 1 œ "  ! mientras que
consiguiente 08 Â E y E no es abierto.
…
10.Sea
08w B! œ 08w 1 œ "  " œ !Þ Por
\ un espacio topológico y K una colección de homeomorfismos la cual
forma un grupo en relación a la composición. La órbita de un punto B − \
relativamente al grupo K es el conjunto K B œ Ö1 B à 1 − K× § \ . Defina en \ una
relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de \ según K.
Indique por \ÎK el espacio cociente.
+ Muestre que la aplicación cociente : À \ \ÎK es abierta.
, Supongamos que K es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todo
B − \ , existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad.
es
SOLUCIÓN. + Basta mostrar que si E es una órbita en \ entonces :" : E
abierto, lo cual se tiene ya que
:" : E œ ∪ 1 E
"
1−K
como 1 − Kß 1 es un homeomorfismo entonces 1 E es abierto por lo tanto
:" : E es reunión de abiertos, por lo tanto, es abierto. Nos resta probar la
Darío Sánchez H.
60
TOPOLOGIA GENERAL
igualdad
"ß
veámoslo: sea C − :" : E
Í: C œ : E
o sea que
K C − : E œ ∪ K B ß esto equivale a afirmar que existe B − E tal que K C œ K B
B−E
o sea existe B − E tal que
K C œ Ö1 C Î1 − K× œ Ö0 B Î0 − K× œ K B
como K es un grupo + C œ C − Ö0 B Î0 − K×, entonces existe 1 − K tal que C œ 1 B ß
B − E. Entonces C − 1 E para algún 1 − K Í C − ∪ 1 E .
Recíprocamente
1−K
sea
C− ∪ 1 E
1−K
Í b1 − Kß C − 1 E
de
donde
1 − K • B − E tal que C œ 1 B Í bB − E tal que C − K B entonces C −
donde :" C § :" Š
∪
K B ‹ pero C − :" C
C − :" C § :" Š
B−E
∪
B−E
por lo tanto
∪
B−E
existe
K B
de
K B ‹ œ :" : E ,
entonces C − :" : E Þ Luego : es abierta.
, Supongamos que K es un grupo propiamente discontinuo esto es, para todo
B − \ , existe un abierto Y ® B con Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − K,
1 Á identidad.
Esto implica que 1 Y y 2 Y son disyuntos siempre que 1 Á 2ß 1ß 2 − KÞ
SOLUCIÓN. Supongamos que 1 Y ∩ 2 Y Á ø entonces existe C − 1 Y ∩ 2 Y ß se
sigue la existencia de B! ß B" − Y tal que 1 B! œ Cß 2 B" œ C , como 1ß 2 son
homeomorfismos entonces
B! œ 1" C • B" œ 2 " C
y siendo K un grupo tenemos que 1 Á 2, por lo tanto
2 " ‰ 1 B! œ 2 " C œ B" Ê B" − Y • B" − 2 " ‰ 1 Y
entonces Y ∩ 2 " ‰ 1 Y Á ø lo cual po es una contradicción con el hecho de ser K
un grupo propiamente discontinuo y 2 " ‰ 1 − K con 2 " ‰ 1 Á 3..
Luego si 1 Á 2ß 1 Y ∩ 2 Y œ ø.
- En estas condiciones la aplicación cociente : À \ \ÎK es un homeomorfismo
local.
SOLUCIÓN. : es claramente sobreyectiva y continua. Mostremos que : es local e
inyectiva. Siendo K un grupo propiamente discontinuo para todo B − \ existe un
abierto Y ® B con
Y ∩ 1 Y œ ø para todo 1 − KÞ Sea :Y À Y : Y
donde
:Y œ :lY , sean Bß C − Y tales que
: B œ : C Í : B œ K B œ Ö1 B à 1 − K× œ Ö1 C à 1 − K× œ K C œ : C
entonces
1 B − K B Ê b0 − KÎ0 C œ 1 B
por lo tanto
B œ 1" ‰ 0 B œ 2 C ß 2 œ 1" ‰ 0 − K Ê Y ∩ 2 Y Á ø
entonces por la parte , , se tiene 0 œ 1 o se a que B œ C ya que 2 œ 3.Þ
"
:" À \ÎK \ es continua si para todo abierto E de \ :"
E œ: E
es
abierto en \ÎK ß pero esto es verdad pues : es una aplicación abierta luego : À \
\ÎK es un homeomorfismo local.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
61
. Los toros X 8 , el espacio proyectivo 8 y el cilindro W " ‚ d son casos particulares
del caso ,
p p
C ™8 Í p
B p
C − ™8 o sea
SOLUCIÓN. X 8 œ d 8 Ι8 donde B œ
p
p
p
p
p
p
p
B  C œ 8 Í B œ C  8ß 8 − ™8 Þ
8
Sea K œ Ö7p8 À d
d 8 à 7p8 B œ p
B p
8 ßp
8 − ™8 ×ß 7p8 es un homeomorfismo de d 8 por
ser 7p8 œ 78" ß 78# ß á ß 788 y cada una de las componentes es una translación por lo
tanto un homeomorfismo. K es un grupo con la composición.
p p
p − ™ × por lo tanto X 8 œ d 8 ÎK y se
Ahora K œ Ö7p8 B œ p
B p
8 Î7p8 − K× œ ÖB
8Î8
tiene que el toro es un caso particular del problema en consideración.
8 œ W 8 Î µ donde B µ C Í C œ B.
Sea K œ Ö1" ß 1# × dadas por
1" À W 8 W 8 , 1 # À W 8
W8 ,
BÈ B
B ÈB
1" y 1# son claramente homeomorfismos. K es un grupo con la composición pues
1" ‰ 1" œ 1 " ß
1# ‰ 1# œ 1" ß
1" ‰ 1# œ 1# œ 1# ‰ 1".
Ahora
K B œ Ö1" B ß 1# B × œ ÖBß  B×.
8
8
Luego W ÎK œ W Î µ œ 8 obteniendose que el plano proyectivo 8 es un caso
particular del problema considerado.
d
El cilindro W " ‚ d µ
d
, 8 − ™ la
µ ™ ‚ d œ Ö B  8ß C à Bß C − dß 8 − ™×Þ Sea 78 À d
BÈ B  8
translación, por lo tanto 78 es un homeomorfismo de d .
Sea
K œ Ö1 œ 78 ß 3. À d ‚ d dÎ1 Bß C œ B  8ß C ß 8 − ™×.
Como 78 e 3. son homeomorfismos entonces 1 œ 78 ß 3. es un homeomorfismo.
Si definimos en K la ley de composición
1 ‰ 1" œ 78 ß 3. ‰ 77 ß 3. œ 78 ‰ 77 ß 3.
se obtiene que K es un grupo. Consideremos las órbitas de cada p
B − d ‚ dß
p
B œ Bß C
K B œ Ö1ˆp
B ‰ œ 1 Bß C œ B  8ß C Î1 − K× œ Ö B  8ß C Î8 − ™×
Por lo tanto
d‚d
d
µ "
K œ ™ ‚d µ W ‚d
Teniéndose que el cilindro también es un caso particular del presente problema.
…
11. Sean 0 ß 1 À \
] aplicaciones continuas del espacio topológico \ en el espacio
de Hausdorff ] . El conjunto de los puntos B − \ tales que 0 B œ 1 B es cerrado
en \ . ¿Es esencial en ] que sea Hausdorff ?
SOLUCIÓN. 3) Sea I œ ÖB − \à 0 B œ 1 B ×. I es cerrada Í CI es abierto, donde
CI œ ÖB − \à 0 B Á 1 B ×Þ
Sea B − CI ß entonces, 0 B Á 1 B , ] siendo de Hausdorff, existen E" ß E# abiertos
de ] tales que 0 B − E" ß 1 B − E# y E" ∩ E# œ ø.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
62
Como 0 ß 1 À \ ] son aplicaciones continuas, se sigue que 0 " E" y 1" E# son
abiertos en \ por ser imagenes recíprocas de abiertos por aplicaciones continuas.
Sea F œ 0 " E" ∩ 1" E# , F Á ø pues B − F y F es abierto por ser la intersección
de dos abiertos. Veamos que F § CI , en efecto para todo D − F entonces 0 D − E"
y 1 D − E# como E" ∩ E# œ ø se sigue que 0 D Á 1 D esto implica que D − CI Þ
Luego para todo B − CI ß existe F abierto en \ tal que B − F § CI entonces CI
es abierto por lo tanto I es cerrado.
33) Veamos que la condición de ser ] Hausdorff no puede eliminarse. Basta dar un
ejemplo, sea ] œ Ö!ß "ß #× y \ œ dß 7] œ Ö] ß øß Ö!×× una topología en ] .
Se definen
! ß si B  !
!ß si B  !
0 À\ œd
] ß0 B œœ
ß 1À\ ], 1 B œœ
"ß si B Ÿ !
#ß si B Ÿ !
"
"
0 y 1 son continuas, ya que 0 Ö!× œ !ß  ∞ ß 0 ] œ d œ \ß 0 " ø œ ø y
1" Ö!× œ !ß  ∞ ß
1" ] œ \ß
1" ø œ ø, que son abiertos.
Sea E œ ÖB − d œ \Î0 B œ 1 B × œ !ß  ∞ que es abierto en \ .
Obsérvese que ] con esa topología no es Hausdorff.
Si la hipótesis de ] ser Hausdorff no fuese esencial,
deberíamos tener E
cerrado en \ ya que 0 ß 1 À \ ] son continuas y como se vió E es abierto, pero
esto es una contradicciónpo pues d no puede tener subconjuntos propios que
sean abiertos y cerrados a la vez ya que d es conexo .
…
12. Primera parte:La adherencia de un conjunto en un espacio topológico \ goza de
las siguientes propiedades:
"Ñ ø œ ø, #Ñ W § Wß
$Ñ W œ Wß
%Ñ W ∪ X œ W ∪ X
SOLUCIÓN. ")Þ Sea \ un espacio topológico entonces \ es un abierto de la
topología, C\ su complemento es un cerrado de la topología, así, ø œ C\ es
cerrado. Sabemos que si J § \ es cerrado entonces J œ J y recíprocamente,
por lo tanto como ø § \ y ø es cerrado entonces ø œ ø.
#)Þ Sea B − W § \ , como \ es abierto, existe Y B vecindad de B tal que Y B § \ y
B − Y B ; como B − W se sigue que B − Y B ß y, W ∩ Y B Á øß por lo tanto B − W ,
o sea W § W .
$)Þ Sabemos que W es el menor cerrado que contiene a W por lo tanto W es cerrado,
además W § \ por lo tanto por un resultado básico ¿cuál? se sigue que W œ WÞ
%)ÞSea B − W ∪ X entonces existe Z vecindad de B en \ tal que B − Z y
Z ∩ W ∪ X Á ø, ahora Z ∩ W ∪ X œ Z ∩ W ∪ Z ∩ X Á ø, esto impica que B − Z y,
Z ∩ W Á ø , ” , Z ∩ X Á øß o sea B − Z • Z ∩ W Á ø ” B − Z • Z ∩ X Á ø de donde
B − W ” B − X Í B − W ∪ XÞ
Recíprocamente que B − W ∪ X Í B − W ” B − X entonces para toda Z" vecindad de
B y Z# vecindad de B en \ , se tiene que
B − Z" • Z " ∩ W Á ø ” B − Z # • Z # ∩ X Á ø .
Esto es equivalente a
B − Z œ Z" ∩ Z# • Z ∩ W Á ø ” Z ∩ X Á ø
Darío Sánchez H.
63
TOPOLOGIA GENERAL
o sea que
B−Z • Z ∩W ∪ Z ∩X Á ø ÍB−Z •Z ∩ W ∪X Á ø
Luego B − W ∪ X . De donde se concluye que W ∪ X œ W ∪ X Þ
…
Segunda parte: Estas propiedades implican sin retomar la defición que si W § X
entonces W § X y que W ∩ X § W ∩ X . Recíprocamente, sea \ un conjunto,
supongamos definida entre las partes de \ una aplicación W W gozando de las
siguientes cuatro propiedades de la primera parte. Defina un subconjunto E § \
como si \  E œ \  E. Muéstrese que se obtiene así una topología en \ ,
relativamente a la cual la adherencia de un subconjunto W coincide con el
subconjunto W dado inicialmente.
SOLUCIÓN. 3). Como W § X entonces W ∪ X œ X por lo tanto W ∪ X œ X pero
W ∪ X œ W ∪ X entonces W ∪ X œ X ß luego W § W ∪ X œ X .
33).
Ú
ÚW ∩ X § W
W ∩X §W
•
ÊÛ
Ê W ∩ X ∩ W ∩ X § W ∩ X , o sea que W ∩ X § W ∩ X .
Û
W ∩X §X
Å
Ü
3 ÜW ∩ X § X
333)Þ Sea : À P \
P \ . Sea 7 œ eE § \à : \  E œ : CE œ CEf,
7
W È
W
es una topología en \ , en efecto,
+ Como : ø œ Cø œ \ œ \ œ \ø œ Cø • ø § \ entonces ø − 7 .
: \ œ C\ œ ø œ
ø œ C\ Ê \ − 7 .
Å
"
, Sea ÖE3 ×3−M una familia de elementos de
∪ E3 § \
3−M
Luego
:Š\ ∪ E3 ‹ œ C ∪ E3 œ ∩
3−M
3−M
:Š\ ∪ E3 ‹ §
3−M
3−M
7
o sea E3 § \ ß a3 − M ; por lo tanto
C E3 § C E3 œ CE3 ß a3 − M
E3 ‹
∩ CE3 œ CŠ3 ∪
−M
3−M
M
Recíprocamente por la condición # tenemos que
CŠ ∪ E3 ‹ œ \ ∪ E3 § \ ∪ E3 œ :Š\
de M
MM tenemos que :Š\
3−M
3−M
E3 ‹
∪ E3 ‹ œ CŠ3 ∪
−M
3−M
3−M
- Sean E" ß E# ß á ß E8 , 8 elementos en
a3 œ "ß #ß á ß 8 entonces
:Œ\ ∩ E3
8
3œ"
Luego
œ CŒ
8
∩
•
MM
∪ E3 − 7
3−M
7 , entonces
8
∩ E3 − 7
3œ"
ya que E3 § \ ,
E3 § \ y
3œ"
8
∪ E3 ‹
3−M
∩ E3
3œ"
œ
8
∪ CE3
3œ"
œ
Å
%
CE3 œ CŒ ∩ E3
∪ CE3 œÅ 3 ∪
3œ"
œ"
3œ"
8
8
E3 − 7
8
.
Darío Sánchez H.
64
TOPOLOGIA GENERAL
: Œ\ 
8
∩ E3
3œ"
œ CŒ
8
∩ E3
3œ"
Ê
8
∩ E3 − 7 .
3œ"
Por lo tanto 7 es una topología sobre \Þ
. Para todo E § \ , : E es cerrado en \ , porque C: E es abierto ya que
:Ò\  C: E Ó œ C C : E œ : E œ ˆE‰ œ
E œ: E
Å
$
Como E § : E entonces E § : E , por ser : E cerrado contenido en E (E es
intersección de todos los cerrados que contienen a E). Siempre E es cerrado, en
consecuencia CE es abierto en \ß entonces por la definición de 7 entonces
:ÒCˆCˆE‰‰Ó œ CCE œ E entonces :ˆE‰ œ EÞ
Como E § E Ê : E § :ˆE‰ œ Eß entonces : E § E. Por lo tanto tenemos que
: E œ E.
…
13. Sea 0 À \
] una aplicación continua de \ sobre ] . Con el objeto de que 0 sea
cerrado es necesario y suficiente que para cada C − ] y todo Y en \ con
0 " C § Y , existe un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § Y .
SOLUCIÓN. Ê Ñ Supóngase 0 cerrado y sea C − ] cualquiera para todo abierto Y de
\ con 0 " C § Y tenemos que C\ Y es cerrado en \ , de donde 0 C\ Y es cerrado
en ] ß y , C Â 0 C\ Y , entonces C] 0 C\ Y es abierto en ] . Por lo tanto tomando
Z œ C] 0 C\ Y ß C − Z y además
‡
0 Z œ 0 C ] 0 C\ Y
œ C\ 0 0 C\ Y
§
 C\ C\ Y œ Y
"
"
C\ Y § 0 0 C\ Y Ê C\ 0 0 C\ Y
§ C\ C\ Y
Luego para todo C − ] , y todo Y − 7\ con 0 " C § Y , basta tomar
Z œ C ] 0 C\ Y .
É ) Recíprocamente, sea J cerrado en \ de donde 0 J § ] , queremos probar que
0 J es cerrado, vemos por consiguiente que C] 0 J es abierto.
Sea C − C] 0 J § ] entonces 0 " C § 0 " C] 0 J
œ C\ 0 " 0 J
"
Como 0 " 0 J ¨
C\ J es abierto así
 J entonces 0 C § C\ J como J es cerrado
"
por la condición (de la hipótesis) existe Z tal que C − Z y 0 Z § C\ J o sea que
0 " Z ∩ J œ øÞ
Se afirma que Z ∩ 0 J œ ø, porque si Z ∩ 0 J Á ø entonces
b- − Z ∩ 0 J Í - − Z ß • ß - − 0 J
o sea que
bB − J tal que - œ 0 B − Z • B − J
entonces
bB − J tal que B − 0 " Z • B − J
o sea que 0 " Z ∩ J Á ø, lo cualpo es contradictorio así Z ∩ 0 J œ ø, en total se
tiene
C −Z •Z §
 C] 0 J
así que C] 0 J es abierto. Luego 0 es cerrado.
ÐVer otra demostración por un método diferente en el problema 87)
"
‡
"
"
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
65
…
14. Sea 0 À \
] un homeomorfismo local. La imagen inversa 0 " C de cada punto
C − ] , es un subconjunto discreto de \Þ Dadas aplicaciones continuas 1ß 0 À ^
\
tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2, entonces ÖD − ^à 1 D œ 2 D × es un subconjunto abierto de ^ .
Un levantamiento de una aplicación continua 1 À ^ ] es una aplicacción
continua µ
1 À ^ \ tal que 0 ‰ µ
1 œ 1. Concluya que si ^ es conexo y \ de
Hausdorff, dos levantamientos de 1 À ^ ] los cuales coinciden en un punto
D! − ^ß coinciden en todos los puntos de ^Þ
0 " C ß aC − ] , es un subconjunto discreto de \ . Como C − ] y 0
SOLUCIÓN. +
es un homeomorfismo local existe un abierto Y de \ tal que 0 lY À Y 0 Y es un
homeomorfismo, y C − 0 Y . Ahora 0 " C ∩ Y œ ÖB× porque si existiera otro B" Á B
tal que B" − 0 " C ∩ Y entonces
B" − Y • B" − 0 " C Ê B" − Y • 0 B" œ C
por otra parte
B − Y ∩ 0 " C Ê B − Y • 0 B œ C
o sea
B" ß B − Y ß B Á B" • 0 B" œ 0 B œ C
entonces 0 no es un homeomorfismo de
0 lY À Y 0 Y , lo cual po es
contradictorio. Por lo tanto 0 " C es un subespacio discreto de \Þ
, Dadas 1ß 2 À ^ \ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 entonces ÖD − ^à 1 D œ 2 D × es abierto
en ^ . Sea : − ÖD − ^à 1 D œ 2 D × œ ^" , se debe hallar un abierto Z de ^ tal que
: − Z § ^" Þ Con tal fin, se aplica a :ß 0 ‰ 1 para obtener 0 1 : − ] ß como 0 es un
homeomorfismo local existe un abierto Y de \ tal que 1 : − Y y 0 lY À Y 0 Y es
un homeomorfismo. Como 2 : œ 1 : ya que : − ^" , así que
2 " Y ∩ 1" Y Á ø • : − 2 " Y ∩ 1" Y
Como 2ß 1 son aplicaciones continuas y Y abierto en \ entonces 2 " Y ß 1" Y son
abiertos en ^ (se supone que \ß ] ß ^ son espacios topológicos) por lo cual
"2 " Y ∩ 1" Y es abierto en ^ ". Veamos finalmente que 2 " Y ∩ 1" Y § ^" , en
efecto sea D − 2 " Y ∩ 1" Y ß entonces 2 D − Y • 1 D − Y ß ahora
0 2 D −0 Y •0 1 D −0 Y y 0 ‰2 œ0 ‰1
así que 0 2 D œ 0 1 D
y como 0 es un homeomorfismo se tiene que
2 D œ 1 D Ê D − ^"
Basta por lo tanto tomar Z œ 2 " Y ∩ 1" Y Þ
 2.
- Si 1ß 2 À ^ ] son levantamientos tales que 1 D! œ 2 D! entonces 1 œ
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
66
Sea ^" œ ÖDÎ2 D œ 1 D ×, ^# œ ÖDÎ2 D Á 1 D ×. Se tiene: ") Þ ^" Á ø puesß D! − ^" Þ
µ
#)Þ ^" es abierto, ya que, ^" œ ÖDÎ 0 ‰ µ
1 D œ Š0 ‰ 2 ‹ D ×
µ
Sea : − ^" Í 0 µ
1 : œ 0 Š 2 : ‹, como 0 es un homeomorfismo local existe Y
abierto en \ tal que µ
1 : − Y y 0l À Y 0 Y
es un homeomorfismo, tomando
como en ,
se obtiene que
Y
µ "
Z œ2
Y ∩µ
1 " Y
µ "
:−2
Y ∩µ
1 " Y § ^"
$)Þ Sea ^# œ ÖD − ^Î1 D Á 2 D ×, ^# es abierto
µ
Sea D − ^# Í 1 D Á 2 D de donde se tiene que 0 µ
1 D Á 0 Š 2 D ‹, como \ es
µ
un espacio de Hausdorff existen [" ® µ
1 D y [2 ® 2 D tales que [" ∩ [# œ ø.
Ahora como 0 es un homeomorfismo local se sigue que
0 l[" À [" 0 [" • 0 l[# À [# 0 [#
son homeomorfismo por lo tanto 0 [" ∩ 0 [# œ ø y
µ
0 µ
1 D œ 1 D − 0 [" • 0 Š 2 D ‹ œ 2 D − 0 [ #
tomando
Z œ 1" 0 ["
∩ 2 " 0 [#
se tiene:
3) Z es abierto, ya que 1ß 2 son continuas, 0 [" ß 0 [# son abiertos en ] y la
intersección de dos abiertos en ^ es abierto.
33) Como 1 D − 0 [" • 2 D œ 0 [# se sigue que
D − 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# œ Z
333) Z § ^# en efecto; sea : − Z œ 1" 0 [" ∩ 2 " 0 [# , entonces
: − 1" 0 [" • : − 2 " 0 [# Í 1 : − 0 [" • 2 : − 0 [#
como 0 [" ∩ 0 [# œ ø entonces 1 : Á 2 : Í : − ^# .
%)Þ ^ œ ^" ∪ ^# , ^" Á øß ^" ß ^# son abiertos disyuntos. Como ^ es conexo se sigue
 2.
que ^# œ ø. Por lo tanto ^ œ ÖDÎ1 D œ 2 D × o sea 1 œ
…
15.Para
que \ sea un espacio de Hausdorff, es necesario y suficiente que la
diagonal ? œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎB œ C× sea un subconjunto cerrado de \ ‚ \ . Otra
condición equivalente es que cada punto B − \ sea la intersección de todas las
vecindades cerradas de B.
Darío Sánchez H.
67
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN.
+ Ê Ñ \ es espacio de Hausdorff entonces aB − \ , aC − ] con B Á C
existen Z − µ B , b[ − µ C
tales que Z ∩ [ œ ø Ê Z ‚ [ œ ø de donde
Z ‚[ ∩?œø
porque si Z ‚ [ ∩ ? Á ø, existe Bß C − Z ‚ [ • Bß C − ?
entonces
B − Z , C − [ • Bß C − ? Ê B − Z • B œ C − [ Ê B − Z ∩ [
lo cual po es contradictorio ya que Z ∩ [ œ ø.
Como Z ‚ [ es una vecindad de Bß C en \ ‚ \ y Z ‚ [ § C?, entonces C? es
abierto por lo tanto ? es cerrado en \ ‚ \ .
É Ñ Supongamos que ? es cerrado, sean Bß C − \ tales que B Á C así que Bß C Â ?
‰
entonces Bß C − C? œ Cs? entonces existe un abierto Q tal que Bß C − Q § C?,
Q puede ser elegido como un abierto elemental o sea bZ − µ B ß b[ − µ C tales
que Q œ Z ‚ [ así
ZB ‚ [C § C? Í Z ‚ [ ∩ ? œ ø
entonces
Z ∩ [ œ ø,
así,
bZ − µ B • b[ − µ C tal que Z ∩ [ œ ø
de donde \ es un espacio de Hausdorff.
, Supóngase \ espacio de Hausdorff, Bß C − \ tales que B Á C por consiguiente
existen Z ® B abierto y [ ® C abierto tales que ZB ∩ [C œ øß entonces ZB § C[C
como ZB es el menor cerrado que contiene a ZB se sigue que ZB §
 ZB § C[C
entonces C Â ZB ß aC Á Bß así
C  ∩ ZB ß B Á C Ê ∩ ZB œ ÖB×
B − ZB
porque si
∩
B−Z
entonces
B−Z
ZB œ ÖB,B" × y B Á B" Ê bZB ß bZB" ÎZB ∩ ZB" œ ø
ZB § ZB § CZB" Ê bZB ÎB" Â ZB • B" −
∩
B − ZB
ZB
esto po es contradictorio.
É Ñ Recíprocamente sea B Á C en \ entonces existe ZB vecindad tal que
C Â ∩ ZB ß o sea cŠC − ∩ ZB ‹ Í cˆaZB ß C − ZB ‰ Í bZB tal que C Â ZB
B−Z
entonces,
B−Z
bZB tal que C − CZB .
Como CZB es abierto entonces
b[C abierto tal que C − [ § CZB Þ
Así.
bZB ß b[C tal que ZB ∩ [C §
 ZB ∩ CZB œ ø,
o sea
bZB ß b[C tal que ZB ∩ [C œ ø.
De donde \ es un espacio de Hausdorff.
…
Darío Sánchez H.
16.Sea Q
TOPOLOGIA GENERAL
68
8 el conjunto de las matrices cuadradas reales con 8 filas y 8 columnas.
Establezca una correspondencia biunívoca entre Q 8 y el espacio euclidiano d 8 .
Por medio de esa correspondencia, vuelva a Q 8 un espacio métrico. Las
aplicaciones ./> À Q 8 d ,y, 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 , definidas por ./> \ œ
determinante de la matriz \ y 7 \ † ] œ \ † ] œ producto matricial de
\ por ] , son continuas. El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 las cuales poseen
inversa es abierto en Q 8 . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " ß
es continua. El conjunto b 8 de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya
inversa es igual a la transpuesta) es acotada en Q 8 . El conjunto K 8 de las
matrices cuyo determinante es  ! es abierto y cerrado en K 8 Þ ¿Será K 8
cerrado en Q 8 ?
SOLUCIÓN. + Construcción de la correspondencia biunívoca. Q 8 es espacio
métrico. Sea
Ô +"" + "# á +"8 ×
Ö +#" +## á +#8 Ù
Ö
Ù
+34 œ E œ Ö +$" +$# á +$8 Ù
Ö
Ù
ã
ã
ä
ã
Õ +8" +8# á +88 Ø
#
Se define
#
0 ÀQ 8
d8
E È Ð"<+ columna de Eß #.+ columna de Eß á ß 8é=37+ columna de EÑ œ
œ +"" ß +#" ß á ß +8" ß +"# ß +## ß á ß +8# ß á ß +"8 ß +#8 ß á ß +88
Es claro que 0 esta bien definida, ya que si +34 œ ,34 Í +34 œ ,34 para todo
3 œ "ß #ß á ß 8 y todo 4 œ "ß #ß á ß 8 luego 0 +34 œ 0 ,34 Þ
0 es inyectiva, pues si +34 Á ,34 entonces para algún 3ß 4ß +34 Á ,34 entonces
0 +34 tiene la 8ß 4  "  ésima coordenada diferente de la 8ß 4  "  ésima
coordenada de 0 ,34 de donde
+34 Á ,34 Ê 0 +34 Á 0 ,34 .
8#
0 es sobre, pues para todo T − d , existe una matriz E, 8 ‚ 8 con las siguientes
características:
+
"/<+ columna de E es formada por las coordenadas " p 8-ésima de T ß
+
#.+ columna de E es formada por las coordenadas, 8  " p #8-ésima de T
ã
ã
ã
ã
ã
+
é=37+
8
columna de E es formada por las coordenadas, 8 8  " p 8# -ésimas de T .
Entonces 0 E œ T Þ
#
Así 0 es una correspondencia biunívoca entre Q 8 y d 8 .
Dados E œ +34 y F œ ,34 en Q 8 tomemos
. w Eß F œ . 0 E ß 0 F œ . +"" ß á ß +34 ß á ß +88 œ maxÖl+34  ,34 là 3 "ß 4 Ÿ 8×
#
donde . es una de las métricas del espacio euclidiano d 8 Þ Como 0 es biunívoca y
#
d 8 es un espacio métrico con . , entonces . w es una métrica en Q 8 llamada
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
69
métrica inducida por la aplicación 0 luego Q 8 ß . w es un espacio métrico.
Notemos que 0 es una isometría por lo tanto 0 es un homeomorfismo.
, Las aplicaciones ./> À Q 8
d y 7 À Q 8 ‚ Q 8 Q 8 definidas por
./> \ œ determinante de la matriz \ ,
7 \ß ] œ \ † ] œ producto
matricial , son continuas
./> À Q 8
d
\ œ B34 È ./>\
Sabemos que ./>\ œ
"
3" â38
"Ÿ35 Ÿ8
B"3" † B#3# † â † B838 ß y siß 6 Á 5 Ê 36 Á 35
Como el producto y la suma en d son funciones continuas se sigue que
determinante es una función continua.
7ÀQ 8 ‚Q 8
Q 8 dada por 7 \ß ] œ \ † ] . Q 8 es un espacio vectorial
sobre el cuerpo de los números reales de dimensión 8# y el producto es bilineal en
Q pues
7 -E  .Fß G œ -E  .F † G œ - E † G  . F † G œ
œ -7 Eß G  .7 FÞG
con -, . − d
7 Eß -F  .G œ E † -F  E † .G œ - E † F  . E † G œ -7 Eß F  . Eß G
siendo 7 bilineal por lo tanto es continua.
- El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 que poseen inversa, es abierta en Q 8 .
Sea E − Q 8 ß E es inversible Í ./>E Á !, así ./> À Q 8 d es una aplicación
continua y ./>" d  Ö!× œ K 8 . Siendo d  Ö!× abierto en d y K 8 la imagen
recíproca de un abierto en d por la continuidad de la función ./> se sigue que
K 8 es un abierto en Q 8 .
. La aplicación < À K 8
K 8 definida por < \ œ \ " es continua. Sabemos que
< \ œ \ " œ Š
"
34
./> \34
./> \
‹
>
donde \34 es la matriz obtenida de \ excluyendo la 3-ésima fila y la 4-ésima
columna. Sean
>ÀK 8
K 8 ,
T- À K 8
K 8 ß -−d
\ È \>
\ È -\
La aplicación > que lleva \ en su transpuesta es continua (más abajo en / se
puede apreciar mejor este hecho)
T- la aplicación que lleva \ en la multiplicación por un escalar -\ es continua,
pues es una homotecia.
Sea \34 ‡ la matriz cofactor 34 de \ , tenemos la siguiente descomposición
8#  @/-/=
èëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëéëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëëê
K 8
K 8" ‚K 8" ‚â ‚K 8" ‚â‚K 8"
\ È \"" ß \#" ß á ß \34 ß á ß \88
p
./>ß ./>ß á ß ./>ß á ß ./> œ ./>
#
d ‚ d ‚ â ‚ d ‚ â ‚ d œ d8
./>\"" ß ./>\#" ß á ./>\34 ß á ß ./>\88
p
=31ß =31ß á ß =31ß á ß =31 œ =31
#
d ‚ d ‚ â ‚ d ‚ â ‚ d œ d8
Darío Sánchez H.
ˆ "
""
./>\"" ß  "
#"
./>\#" ß á ß  "
0 "
K 8
ˆ  " 34 ./>\34 ‰
"
"
T ./>\
œ T- ß - œ ./>\
> K 8
K 8
" ˆ
./>\
‡
70
TOPOLOGIA GENERAL
"
\34 − K 8  "
Entonces
34
./>\34 ‰È Š
"
a3ß a4Þ
./>\34
‹
./>\
34
< œ>‰T
"
./>\
34
./>\34 ß á ß  "
88
./>\88 ‰
>
p
p ‰ ./>
‰ 0 " ‰ =31
‰=
< es por tanto continua, ya que es una composición de aplicaciones continuas.
/ El conjunto b 8 de matrices ortogonales es acotado y cerrado en Q 8 .
Sea R − b 8 entonces R † R > œ M , o sea
Ô 8"" á 834 á 8"8 ×
8
á 83" á 88" ×
ä
ã
ä
ã Ù Ô ""
Ö ã
8
Ö
Ù Ö 8"# á 83# á 88# Ù
834 † 834
Ö 83" á 834 á 838 Ù † Ö
ٜ
ã
ä
ã
ä
ã
Ö
Ù
4œ"
ã
ä
ã
ä
ã
Õ 8"8 á 838 á 888 Ø
Õ 88" á 884 á 888 Ø
Ô"
Öã
Ö
œ Ö!
Ö
ã
Õ!
entonces
á
ä
á
ä
á
!
ã
"
ã
!
á
ä
á
ä
á
!×
ãÙ
Ù
!Ù
Ù
ã
"Ø
8
8
8#34
#
834
œ!
œ "ß 3 œ "ß #ß á ß 8 •
4œ"
4œ"
3Á4
de donde se recibe:
l834 l Ÿ "ß
3ß 4 œ "ß #ß á ß 8
Entonces si Q œ 734 ß R œ 834 son matrices de b 8 se debe tener
l734 l Ÿ " y l834 l Ÿ " para 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8
de donde se tiene que
. w Q ß R œ supÖl734  834 lß 3ß 4 œ "ß #ß á ß 8× Ÿ #Þ
Como Q y R son elementos arbitrarios de b 8 se sigue que b 8 es acotado.
Observemos ahora que la aplicación
Q 8 > R 8
R È R>
Darío Sánchez H.
71
TOPOLOGIA GENERAL
es continua; ya que, dado %  !ß existe $ œ %  ! tal que para todo Q − Q 8 con
. w Q ß R  $ Ê . w Q > ß R >  %, pues lQ l œ lQ > lß aQ − Q 8 Þ
Sea ahora
7
Q 8 X Q 8 ‚Q 8
Q 8
>
ˆ
‰
È
Rß R
R È
R † R>
Sea M la matriz identidad. Como X œ 3.ß > y 3.ß > son funciones continuas se sigue
que X es continua. ÖM× es un conjunto cerrado en Q 8 ß ahora
7 ‰ X " ÖM× œ b 8 Þ
Siendo 7 y X funciones continuas se sigue que 7 ‰ X es continua, luego b 8
es cerrado ya que es la imagen recíproca de un cerrado por una aplicación
continua.
0 El conjunto K 8 de las matrices cuyo determinante es  ! es abierto y
cerrado en K 8 Þ
E − K 8 Í ./> E  !
Sea ./> À K 8 d  Ö!× œ  ∞ß ! ∪ !ß  ∞ una función continua, pues es la
restricción de ./> À Q 8 d a K 8 § Q 8 y esta aplicación es continua. Ahora
./>" !ß  ∞ œ K 8 y siendo !ß  ∞ un subconjunto abierto y cerrado de
d  Ö!×ß y la aplicación ./> continuaß entonces se sigue que K 8 es un
subconjunto abierto y cerrado de K 8 .
1 ¿Será K 8 cerrado en Q 8 ?
No, pues ./> À Q 8 d es continua y K 8 œ ./>" !ß  ∞ , como !ß  ∞ es
abierto en d y K 8 es la imagen inversa por una aplicación continua de un
abierto de d , se sigue que K 8 es un abierto de Q 8 .
K 8 Á ø pues M − K 8 .
Q 8  K 8 Á ø ya que K 8 § Q 8 y K 8 ∩ K 8 œ øÞ
Si K 8 fuera cerrado en Q 8 tendríamos en Q 8 un subconjunto abierto y
cerrado diferente del vacío esto implicaría que Q 8 no es conexo, esto es absurdo
#
ya que Q 8 es homeomorfo a d 8 que es conexo por tanto Q 8 es conexo.
Recuérdese que en la parte + se mostró que la correspondencia biunívoca 0 es
una isometría ya que . w Eß F œ . 0 E ß 0 F por lo tanto 0 es un homeomorfismo.
…
17.Para
todo subconjunto no vacío W de un espacio métrico Q y todo + − Q
entonces . +ß W œ . ˆ+ß W ‰.
. +ß W œ ! œ . ˆ+ß W ‰ se tendría trivialmente la
SOLUCIÓN. Si + − W § W entonces
igualdad.
Si + Â W , sabemos de la propiedad triangular de la métrica . que
. +ß C Ÿ . +ß B  . Bß C ß
por lo tanto
aB − Wß aC − W
Darío Sánchez H.
72
TOPOLOGIA GENERAL
inf . +ß C Ÿ . +ß B  inf . Bß C ß aB − W
C−W
C−W
o sea que
. +ß W Ÿ . +ß B  . Bß W ß
aB − W
pero si aB − W entonces . ˆBß W ‰ œ !, por lo tanto
. +ß W Ÿ . +ÞB ß aB − W
de donde
. +ß W Ÿ . ˆ+ß W ‰
"
Recíprocamente, de la propiedad triangular de . se recibe;
. +ß C Ÿ . +ß B  . Bß C ß
aB − Wß aC − W
entonces
inf . +ß C Ÿ . +ß B  inf . Bß C
C−W
C−W
aB − W
como B − W § W Ê . ˆBß W ‰ œ !, por lo tanto
. ˆ+ß W ‰ Ÿ . +ß B ß
de donde
aB − W
. ˆ+ß W ‰ Ÿ . +ß W
#
Luego de " y # se tiene la igualdad
. +ß W œ . ˆ+ß W ‰.
…
18.Sea
K œ Ö Bß C − \ ‚ \à BIC× el gráfico de una relación de equivalencia I . Si
\ÎI es un espacio de Hausdorff, entonces K es un conjunto cerrado en \ ‚ \ . Si
K § \ ‚ \ es un conjunto cerrado,
todo punto en \ÎI es cerrado pero no se
puede garantizar que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún cuando \ lo sea, Si
K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es un espacio de
Hausdorff.
SOLUCIÓN. + Si \ÎI es cerrado, entonces K es un conjunto cerrado de \ ‚ \ .
Sea : À \ \ÎI la aplicación canónica. Sea < œ :ß : À \ ‚ \ \ÎI ‚ \ÎI y
? § \ÎI ‚ \ /I la diagonal, entonces se tiene que K œ <" ? , en efecto
<" ? œ Ö Bß C − \ ‚ \Î : B ß : C − ?× œ Ö Bß C − \ ‚ \Î: B œ : C × œ
Darío Sánchez H.
73
TOPOLOGIA GENERAL
•
•
œ š Bß C − \ ‚ \Î ÒBÓ œ ÒCÓ › œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎBIC× œ KÞ
Como : es continua por consiguiente < œ :ß : es continua y <" ? es cerrado
ya que ? es cerrado puesto que \ÎI es un espacio de Hausdorff. Luego el gráfico
de I es un conjunto cerrado.
, Si K § \ ‚ \ es cerrado entonces todo punto de \ÎI es cerrado, pues
• − \ÎI ß por lo tanto :" ÒBÓ
• œ :" : B œ =+> B . Como K es cerrado entonces
ÒBÓ
• es cerrado
=+> B es cerrado. Como :" es continua se sigue que ÒBÓ
- Que el punto de \ÎI es cerrado, no garantiza que \ÎI sea un espacio de
Hausdorff, aún que \ lo sea. Basta tomar un espacio topológico de Hausdorff \ no
regular tal que si + Â J es un punto de \ß entonces toda vecindad de + encuentra a
toda vecindad de J Þ Sea I la relación de equivalencia definida, identificando entre
sí, todos los puntos de J Þ El gráfico de la relación es dada por
K œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎB œ C× ∪ J ‚ J
Como J es cerrado y J ‚ J =J ‚ J , entonces J ‚ J es cerrado, así K es cerrado.
•
Como J y •
B con B Â J no se pueden separar, se sigue que \ÎI no es un espacio
de Hausdorff.
. Si K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es Hausdorff.
Como I es una relación abierta la aplicación
0 À \ÎI ‚ \ÎI
\‚\ Î I‚I
es un homeomorfismo, ya que la relación I ‚ I es definida como en el álgebra
0 •
B œ0 •
C ß 0 es continua y abierta, basta considerar la descomposición canónica
y aplicar este resultado: "Sean \ß ] dos espacios topológicos, 0 À \ ] una
aplicación continua, V la relación de equivalencia 0 B œ 0 C
en \ß
:
2
3
\ \ÎV 0 \ ] la descomposición canónica de 0 . Las tres propiedades
siguientes son equivalentes:
3) 0 es un aplicación abierta.
33) Las tres aplicaciones :ß 2ß 3 son abiertas.
333) La relación de equivalencia V es abierta, 2 es un homeomorfismo y
0 \ es una parte abierta de ] Þ"
Ahora
?\‚\œ
µ \‚\ œ Ö : B ß : C Î: B œ : C × §
I
I
I‚I
\‚\
I‚I
Sea K œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎBIC× y tomemos su saturado E œ =+> K œ <" < K Þ
Afirmación ". ? œ < E œ < =+>K
En efecto, < =+>K œ < <" < K
como < es sobreyectiva entonces
< =+>K œ < K œ Ö : B ß : C Î Bß C − K× œ Ö : B ß : C ÎBIC×
œ Ö : B ß : C Î: B œ : C × œ ?
#Þ Como I es abierta y E saturado entonces < E œ < E .
En efecto, como E es saturado implica que < E sea cerrado en \ÎI como E §
E
ˆ
‰
ˆ
‰
entonces < E § < E por lo tanto < E § < E pero < es continua entonces
<ˆE‰ § < E . Luego < E œ < E . En total se tiene
Darío Sánchez H.
74
TOPOLOGIA GENERAL
? œ < =+>K œ < =+>K œ < K
Luego ? es cerrado y \ ÎI es un espacio de Hausdorff.
…
19. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada una descomposición
R œ R" ∪ â ∪ R: donde R" ß á ß R: son infinitos disyuntos, si las subsucesiones
convergen todas para el mismo límite + − Q
entonces ÖB8 ×−R converge para +. ¿Es este resultado aún verdadero, en el caso de
una descomposición infinita R œ R" ∪ â ∪ R: ∪ â?.
SOLUCIÓN. + Sabemos que ÖB8 ×−R3 Ä + con R œ R" ∪ â ∪ R 3 ∪ â ∪ R: esto
significa que:
existe
3
Š Dado
%3 ! ‹Š R 3 Îa8 − R! ß . B8 ß +  %3 ‹
ÖB8 ×8−R" ß ÖB8 ×8−R# ß á ß ÖB8 ×8−R :
!
Tomando 8! œ maxÖR!" ß R!# ß á ß R!: × tenemos que
Œ
H+.9
/B3=>/
‚a8  8! ß . B8 ß +  %
Œ
% œ %" œ â œ % 3
8! œ maxÖR!" ß á ß R!: ×
Por lo tanto ÖB8 ×8−R converge para + − Q Þ
, No es verdadero el resultado, ya que tomando : œ Ö"ß :ß :# ß á ß :8 ß á × con :
número primo, " œ   : ß a:Þ Obtenemos  œ " ∪ # ∪ $ ∪ & ∪ â es una
descomposición infinta de  en subconjuntos disyuntos infinitos. Tomando la
siguiente sucesión
ÖB8 ×8− œ œ 8:
"
8
si 8 − "
si 8 − :
Tenemos que
ÖB8 ×8− : œ Ö 8: ×8−: œ Ö :" ß :: ß ::# ß á × œ Ö:ß "ß :"# ß :"$ ß á ×
Por lo tanto ÖB8 ×8−: Ä ! y se tiene que todas las sucesiones
ÖB8 ×8− " ß ÖB8 ×8−# ß ÖB8 ×8−$ ß á
son todas convergentes para el mismo + œ !.
Pero ÖB8 ×8− tiene la sucesión Ö"ß #ß $ß &ß (ß ""ß "$ß á × que no es convergente
(es divergente más aún) para !, por lo tanto ÖB8 ×8− no es convergente.
…
20.Sea
ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada cualquier aplicación
biunívoca : À 
 la sucesión C8 œ B: 8 también converge en Q y se tiene
lim C8 œ lim B8 . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho de que : sea
8Ä∞
8Ä∞
biunívoca?
SOLUCIÓN. + Sea " œ :  œ Ö: 8 Î8 − × § , así
ÖC8 ×8− œ ÖB: 8 ×8− œ ÖB8 ×8−"
Darío Sánchez H.
75
TOPOLOGIA GENERAL
o sea que ÖB8 ×8− " œ ÖC8 ×8− es una subsucesión de ÖB8 ×8− . Como ÖB8 ×8−
converge para + œ lim B8 . Sabemos que toda subsucesión de una sucesión
8Ä∞
convergente, es covergente y tiene el mismo límite de la sucesión considerada, se
sigue que toda subsucesión de ÖB8 ×8−R converge para + por lo tanto ÖB: 8 ×8−R
converge para +, o sea se tiene que lim C8 œ lim B8 Þ.
8Ä∞
8Ä∞
,
Ejemplo: Sea Ö:" ß :# ß :$ ß á × œ Ö#ß $ß &ß (ß á × una enumeración en orden
creciente de los números primos, y tomemos:
R" œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :" 
R # œ $  R " œ : #   R "
ã
R5 œ : 5  
5
∪ R5 .
3œ"
Tenemos entonces que  œ
∞
∪
R5 y que los R3 son infinitos y disyuntos.
BÀ
d
definida por Š B5 œ!ß si 5ÂÖ: "ß: #ßá× ‹.
" #
5
8 È B 8 œ B8
Entonces ÖB8 ×8−R3 converge para !, aR3 , pues cada R3 sólo tiene un número primo :3 Þ
Pero ÖB8 ×8− no converge para ! pues existen números primos arbitrariamente
grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad.
- Consideremos el siguiente ejemplo: Sea ÖC8 ×8− œ ÖB:" ß B:# ß á ß B:8 ß á × donde
:À 
C8 œ B: B œ B8: por lo tanto por el ejercicio en cuestión la parte +
8È 8  :
ÖC8 ×8− es convergente y su límite lim C8 œ lim B8 o sea que lim B:8 œ lim B8 .Þ
Tomamos ahora
5œ"
B œ"ß si 5−Ö: ß: ßá×
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
…
21.Sea
d el conjunto de los números reales y  el conjunto de los números
racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales es
cerrado en µ à d pero las sucesiones convergentes de números racionales no
forman un conjunto cerrado de µ à  . En cualquier espacio métrico Q , sin
embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite es
continua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes como
subespacio de µ R à Q ].
SOLUCIÓN. + Sean
\ œ µ à d œ Ö0 À  dÎ0 es acotada× y X œ Ö0 − µ à d Î0 es convergente×
X es cerrado: Con tal propósito veamos que \  X es abierto, sea : − \  X
Í : œ ÖB8 ×8− es una sucesión divergente lo cual es equivalente a decir que existe
%  !, tal que para todo 8! −  existe 8"  8! de manera que . B8! ß B8" %Þ Sea
F ˆ:ß $% ‰ una bola centrada en : y radio $% mostremos que F ˆ:ß $% ‰ § \  X , en
efecto, sea
: − F ˆ:ß $% ‰ Í ; œ ÖC8 ×8− y . :ß ; œ . ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8−  $%
o sea que
Darío Sánchez H.
76
TOPOLOGIA GENERAL
sup . B8 ß C8  $% Í . B8 ß C8  $% ß a8 − 
8−
Por otro lado tenemos
% Ÿ . B8! ß B8" Ÿ . B8! ß C8!  . C8! ß C8"  . C8" ß B8" Ÿ $%  . C8! ß C8" 
o sea, se tiene que
%‰
ˆ IB3=>/
‰ T +<+ >9.9 ˆ
%! Š 8! − ‹ b8"  8! tal que . C8! ß C8" $
%
$
entonces ÖC8 ×8− es divergente, por lo tanto ; œ ÖC8 ×8− − \  X ß • ß \  X es
abierto.
Luego X es cerrado.
, Basta que el conjunto de las sucesiones divergentes no sea abierto, para que el
conjunto de las sucesiones convergentes no sea cerrado. Tomemos el siguiente
ejemplo
:
/B3=>/ "
%
ˆ H+.9
‰ :
%! Š ; Ÿ % el mayor número racional menor o igual a %‹Š 8! − Î 8!  #;  # ‹
Tomando
Ú
B" œ
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý B# œ
:
#;
:
#;
:
#;

Ú C" œ
Ý
Ý
Ý
C# œ
œÛ
ã
Ý
Ý
Ý
Ü C8 œ
"
#8!
#
$8!
ÖB8 ×8− œ Û B$ œ 
ß yß
ÖC8 ×8−
Ý
Ý
Ý
ã
Ý
Ý
:
Ü B8 œ #;
  " 8 8"
88!
Entonces dado %  ! tenemos que ÖC8 ×8− − F ÖB8 ×8− à %
:
#;
:
#;

"
#8!
:
#;

8"
88!
pues
. ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− œ supÖlC8  B8 là 8 − × Ÿ %
:
y ÖC8 ×8− es convergente, pero ÖB8 ×8− no es convergente pues para !  $  #;
ßy
para todo 8! − , existe 8" −  tal que . B8! ß B8"  $ , luego el conjunto de las
sucesiones de números racionales no forman un conjunto cerrado de µ à  .
- Sea E œ ÖÖ3B8 ×8− à 3B8 −  y 3B8 Ä 3B − Q ×. Sea 0 À E
Q vemos que 0 es
Ö3B8 ×8−È 3B
continua en el punto Ö3B8 ×8− , esto es dado %  !, existe $  ! tal que
. Ö4B8 ×8− à Ö3B8 ×8−  $ Ê . 3B ß 4B  %
Sabemos que
M• . Ö4B8 ×ß Ö3B8 × œ supÖ. 4B8 ß 3B8 à 8 − ×
MM• Ö3B8 ×8− Ä 3B Í dado %  !ß existe 8" −  tal que a8  8" Ê . 3B8 ß 3B 
‰ /B3=>/ ‚a8  8# Ê . 4B8 ß 4B  $% ‹
MMM• Ö4B7 × Ä 4B Í ˆ .+.9
%! Š 8
#−
Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# × tenemos que a8  8!
. 3B ß 4B Ÿ . 3B ß 3B8  . 3B8 ß 4B8  . 4B8 ß 4B Ÿ $%  . 3B8 ß 4B8 
Tomando $ œ $% tenemos cuando
. Ö3B8 ×8− ß Ö4B8 ×8−  $ Ê . 3B ß 4B  $,
a8
%
$
%
$
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
77
por lo tanto
. 3B ß 4B Ÿ $%  $%  /% œ %Þ
Luego 0 es continua en cada Ö3B8 ×8− − E Ê 0 es continua en EÞ
…
22.Sean, \
un espacio topológico, R un espacio métrico y E § \ un subconjunto
tal que E œ \ . Si una sucesión de aplicaciones continuas 08 À \ R es convergente
uniformemente en E para una aplicación continua 0 À \ R , entonces 08 Ä 0
uniformemente en \.
SOLUCIÓN. Sabemos por hipótesis los siguientes hechos:
". Dado %  !, b$"  !Î. Bß B!  $" Ê . 08 B ß 08 B! Ÿ $% ß a8
#. Dado %  !, b$#  !Î. Bß B!  $# Ê . 0 B ß 0 B!  $%
$. Dado %  !, b8!  !Îa8  8! Ê . 08 B ß 0 B  $%
, aB − E.
Ahora tomando, para %  ! dado, $ œ minÖ$" ß $# × existe 8!  ! tal que . Bß B!  $ ß
a8  8! ß aB − E
. 08 B ß 0 B Ÿ . 08 B ß 08 +  . 08 + ß 0 +  . 0 + ß 0 B Ÿ $%  $%  $% œ %
Luego 08 Ä 0 uniformemente en \Þ
23.Un
subgrupo aditivo K de los números reales es denso en d si y sólo si ! es
punto de acumulación de K. Si el subgrupo K § d no es denso en d , existe un
número real + ! tal que K œ ™+ß esto es K œ Ö8+à 8 − ™×. En particular, los
subgrupos aditivos cerrados de d son Ö!×ß d y los de la forma ™+ß +  !. Concluir
que si ) es un número irracional, los números de la forma 7  )8ß 7ß 8 − ™
constituyen un subconjunto denso de d.
+
K es un subgrupo aditivo denso de d Í ! es punto de
SOLUCIÓN.
acumulación de K.
Ê ) K œ d o sea aB − K, se tiene B − a Z § F B ß Z ∩ K Á ø. en particular para B œ !
tenemos que a Z − F ! ß Z ∩ K Á ø.
Veamos que a Z − F ! ß b B − Z ∩ K tal que B Á !Þ Supongamos que no es verdad o
sea que existe 8 −  tal que ˆ  8" ß 8" ‰ ∩ K œ Ö!× o sea que existe 8 −  tal que
ˆ  8" ß 8" ‰ ∩ K  Ö!× œ ø. Como K  Ö!× œ K ∩ CÖ!× œ K ∩ Ò  ∞ß ! ∪ !ß  ∞ Ó
se tiene que
b
8 −  tal que ˆ  8" ß 8" ‰ ∩ Ò  ∞ß ! ∪ !ß  ∞ Ó ∩ K œ ø
Í b 8 −  tal que ÖÒˆ  8" ß 8" ‰ ∩  ∞ß ! Ó ∪ Òˆ  8" ß 8" ‰ ∩ !ß  ∞ Ó× ∩ K œ ø
Í b 8 −  tal que Öˆ  8" ß !‰ ∪ ˆ!ß 8" ‰× ∩ K œ ø
Í b 8 −  tal que Òˆ  8" ß !‰ ∩ KÓ ∪ Òˆ!ß 8" ‰ ∩ KÓ œ ø.
Lo cual es equivalente a afirmar que
b
8 −  tal que ˆ  8" ß !‰ ∩ K œ ø ß • ß ˆ!ß 8" ‰ ∩ K œ ø
entonces
ˆ  8" ß !‰ œ ˆ  8" ß !‰ ∩ K § ˆ  8" ß !‰ ∩ K œ ø œ ø
ya que E ∩ F § E ∩ F cuando E es abierto.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
78
Análogamente
ˆ!ß 8" ‰ œ ˆ!ß 8" ‰ ∩ K § ˆ!ß "8 ‰ ∩ K œ ø œ ø
lo cual es po contradictorio con el hecho de ser 8 − Þ
Luego bB − K ∩ Z con B Á ! o sea ! es un punto de acumulación de K.
É ) Sabemos que K § dß veamos que d § K, entonces sea + − d cualquiera Z +
vecindad de + es de la forma Z + œ Z !  +, donde Z ! es una vecindad de
cero. De la hipótesis se tiene que cualquiera que sea Z ! vecindad de cero
b
B − Z ! ∩ K con B Á !Þ Como K es un subgrupo de d , Z + ∩ K œ Z !  + ∩ K y
b
B Á + tal que B − Z + ∩ K ya que si Z + ∩ K œ Ö+× Ê Z ! ∩ K œ Ö!× entonces !
no sería punto de acumulación de KÞ Por lo tanto
a
Z −F + ß Z + ∩K Á øÊ+ −K
, Si K œ Ö!× entonces K œ !™
Sea K Á Ö!× entonces b B Á ! tal que B − K. La relación  K œ K
Ð7 −  K Í 7 œ  1ß 1 − K Ê 7 œ  1 •  1 − K
entonces
7 − KÞ
Si
1 −K Ê 1 −K
entonces
7 œ 1•1 − K Ê 1 − KÑ
muestra
que
L œ ÖB − KÎB  !× Á ø; si , − L entonces Ò!ß ,Ó ∩ K es un subconjunto discreto finito
ya que K es denso por lo tanto existe + œ infÞÖB − L tal que B − Ò!ß ,Ó×. Ahora
+ Á !ß pues si + œ ! entonces por definición de inf para todo %  !, ˆ% œ 8" ‰, existe
C − L tal que !  C  !  % entonces ! es punto de acumulación de K entonces K es
un subgrupo aditivo denso contra la hipótesis.
También + − L ya que si + Â L , para todo 8 −  existe C8 − L
tal que
+  C8  8"  + entonces + es punto de acumulación de L § K en esta forma + es
punto de acumulación de K y por la definición de las vecindades de + se sigue que
! es punto de acumulación de K lo cual implica que una vez más K es denso lo
cual es po contradictorio. Luego + − L .
Para todo B − K tomando 7 œ ÒÒ B+ ÓÓ (parte entera de B+ Ñ se tiene que B  7+ − K
ya que + − L § Kß K es un subgrupo aditivo y B − K por lo tanto B  7+ − K.
Como sabemos de la definición de parte entera:
B
B
B
 "  ÒÒ ÓÓ Ÿ
+
+
+
se sigue que ÒÒ B+ ÓÓ œ 7 Ÿ B+ o sea que ! Ÿ B  7+, también se tiene que B+  "  7 o
sea B  +7  +ß por lo tanto se tiene ! Ÿ B  7+  +à de la construcción de + se
sigue que
B  7+ œ ! Í B œ 7+
esto prueba que K œ +™.
- Si K es un subgrupo aditivo de d entonces: K œ Ö!×, o, K es denso ,o, K no es
denso. Si K es cerrado K œ K . Si K œ Ö!× entonces K es cerrado ya que d es un
grupo topológico de Hausdorff. Si K es denso entonces K œ K œ d en ese caso K
es todo el grupo. Si K no es denso se sigue de la parte , que existe +  ! tal
que K œ ™+ y como d es un grupo topológico la translación a derecha $+ À d d es
B È B+
un homeomorfismo.
Darío Sánchez H.
79
TOPOLOGIA GENERAL
Como Cd ™ œ
∪
8−™
8ß 8  " es reunión de abiertos entonces ™ es cerrado por lo tanto
$+ ™ œ ™+ es cerrado.
. Sea K œ Ö7  )à 7ß 8 − ™×ß como
7  8)  7"  8" ) œ 7  7"  8  8" )
se sigue que K es un subgrupo aditivo de d.
Afirmación: K es denso en d . En efecto, si suponemos que K no es denso, se sigue
de la parte , que existe +  ! tal que K œ ™+. Como ) œ !  ") se sigue que
) − K por lo tanto existe 8! − ™ 8! Á ! tal que
) œ 8! +
*
Ahora "  ) œ 7  8) con 7 œ 8 œ " entonces "  ) − K œ ™+ por lo tanto existe
5 − ™ tal que "  ) œ 5+, de * tenemos que "  ) œ 85! ) o sea 8! œ 5  8! ) o sea
"
!
que ") œ 58
8! − , como ) −   d entonces ) −   d , esto nos lleva a una po
contradicción. Luego K tiene que ser denso en d.
…
24.
Sea b 8 el conjunto de las matrices ortogonales de dimensión 8 ‚ 8,
#
b 8 § d8
b 8 œ ÖE − b 8 Î./> E œ "×
b 8 œ ÖE − b 8 Î./> E œ  "×
Mostrar que b 8 es conexo por caminos.
SOLUCIÓN. Sea E − b  8 entonces existe T − b 8
!
á
!
!
Ô" á !
ã
ä
ã
ã
Öã ä ã
Ö! á "
!
á
!
!
Ö
Ö! á !  " á
!
!
Ö
Öã ä ã
ã
ä
ã
ã
Ö
Ö! á !
!
á "
!
N υ
Ö
-9=
α
=/8 α"
Ö! á !
"
!
á
!
Ö
”  =/8 α -9= α •
"
"
Ö
Ö
ã
ä
ã
ã
Öã ä ã
Ö
!
á
!
!
Õ! á !
Como
œ N" Š N # Š â Š N 5
Ú
”
Ý
ÝM ß 
M ß 
”
N3 œ Û
Ý
Ý ” -9= α
Ü  =/8 α
donde
=/8 α
con α − d
-9= α •
"
tal que E œ T N T " donde
á
!
×
ä
ã
Ù
Ù
á
!
Ù
Ù
á
!
Ù
Ù
ä
ã
Ù
Ù
á
!
Ù
Ù
Ù
á
!
Ù
Ù
Ù
ä
ã
Ù
Ù
-9=α5
=/8α5
á ”
 =/8α5 -9=α5 • Ø
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
"
!
-9=1
=/81
œ”
” !
•
"
 =/81 -9=1 •
Definimos : À Ò!ß "Ó
b #
=/8>α
> È -9=>α
”  =/8>α -9=>α •
80
La aplicación : así definida tiene las siguientes propiedades
"Þ : es continua.
#Þ : ! œ M#
-9= α
=/8 α
$Þ : " œ ”
 =/8 α -9= α •
Generalizando esta aplicación tenemos
0 À Ò!ß "Ó
b 8
> È0 > œ N >
donde
N > œ N" > Š N # > Š â Š N 8 >
y
Ú
”
Ý
ÝM ß 
M ß 
”
N3 > œ Û
-9=
>α
=/8 >α
Ý
Ý”
con α − d
Ü  =/8 >α -9= >α •
Tenemos claramente que
0 ! œ M8
0 " œN
0 es continua.
Sea ahora 1 À Ò!ß "Ó
b 8
> È T 0 > T "
tenemos
3) 1 es continua
33) 1 ! œ T MT " œ M
333) 1 " œ T N T " œ T T " ET T " œ E
Luego 1 es un camino entre Mß E.
Esto nos permite definir un camino en dos elementos arbitrarios Eß F − b 8 Þ Sean
T − b 8 ß U − b 8 tales que E œ T N T " y F œ UN" U" donde, como arriba
N œ N " Š N # Š â Š N 5 ß N" œ N"" Š N"# Š â Š N"5
así que los N 3 y N"3 son de la forma " dada al inicio del problema.
Definimos 0 À Ò!ß "Ó
b 8
, y, 1 À Ò!ß "Ó
b 8
> È0 > œ N >
> È 1 > œ N" "  >
Teniéndose
8
" " œN"
ß • ß Š 11 !" œN
Š 00 !" œM
œN ‹
œN" ! œM8 ‹
Tómese ahora
L À Ò!ß "Ó
>
b 8
ÈL
> œ
1 #> ß
si ! Ÿ > Ÿ "#
0 #>  " ß si #" Ÿ > Ÿ "
L tiene las siguientes propiedades
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
81
"Þ L ! œ 1 ! œ N"
#Þ L ˆ "# ‰ œ 1ˆ# "# ‰ œ 1 " œ N" ! œ M8
œ 0 ˆ# "# "‰ œ 0 "  " œ 0 ! œ M8
$Þ L " œ 0 # † "  " œ 0 " œ N
%Þ L resulta continua.
Tenemos ahora, como se hizo arriba
: À Ò!ß "Ó
b 8
UL > U" ß ! Ÿ > Ÿ "#
> È
: > œ
T L > T " ß "# Ÿ > Ÿ "
tenemos entonces
3) : es continua por construcción
33) : ! œ UL ! U" œ U1 ! U" œ UN" U" œ U U" FU U" œ F
333) : " œ T L " T " œ T 0 " T " œ T N T " œ T T " ET T " œ E
Así se ha construido un camino de E hacia F por lo tanto b 8 es conexa por
caminos.
…
25. Sea
Q un espacio métrico. En el espacio µ R à Q
de las sucesiones acotadas
en Q el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es cerrado. Se sigue que si Q es
completo, el conjunto de las sucesiones convergentes es cerrado en µ R à Q . Si I
es un espacio normado el conjunto S de las sucesiones de Cauchy es un
subespacio vectorial de µ R à I .
SOLUCIÓN. + S Á ø pues la sucesión constante es de Cauchy.
S es cerrado si para toda Ö4 B8 ×8− − S Ä Ö! B8 ×8− Ê Ö! B8 ×8− − S
Ö" B" ß " B# ß á ß " B8 ß á ×ß Ö# B" ß # B# ß á ß # B8 ß á ×ß á ß Ö4 B" ß 4 B# ß á ß 4 B8 ß á ×ß á Ä Ö!B"ß !B#ß á ×
4
uniformemente implica que
B" Ä ! B" ß 4 B# Ä ! B# ß á ß 4 B8 Ä ! B8 ß á ß entonces
Ö! B8 ×8− es una sucesión de Cauchyß así si dado %  !, existe 8! tal que a8ß 7  8! ß
. ! B7 ß ! B8  %. Pero
4
B8 Ä ! B8 Í dado %  !ß b8" >; a4  8" ß . 4 B8 ß ! B8  $%
4
B7 Ä ! B7 Í dado %  !ß b8# >; a4  8# ß . 4 B7 ß ! B7  $%
También Ö4 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy esto es,
dado %  !ß b8$ >; a7ß 8  8$ ß . 4 B7 ß 4 B8  $%
Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# ß 8$ × tenemos que a7ß 8  8! ß
. ! B7 ß ! B8 Ÿ . ! B7 ß 4 B7  . 4 B7 ß 4 B8  . 4 B8 ß ! B8  $%  $%  $% œ %
entonces Ö! B8 ×8− − SÞ Esto muestra que S es cerrado en µ R à Q .
Sea S" œ ÖÖB8 ×8− à ÖB8 ×8− es convergente×, así si ÖB8 ×8− es convergente entonces
ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, así que S" § S.
Como Q es completo en µ R à Q entonces S" œ S y como S es cerrado en
µ R à Q el cual también es completo, entonces S" es cerrado en µ R à Q Þ
, Si Q es un espacio vectorial normado, el conjunto S de las sucesiones de
Cauchy es un subespacio vectorial de µ R à Q , en efecto S § µ R à Q
Darío Sánchez H.
82
TOPOLOGIA GENERAL
"
8 7
#
‰ /B3=>/8
ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− − S Í ˆ .+.9
%! Š 8" ß8# Î a8ß78# ß. C8 ßC7  % ‹
a8ß78 ß. B ßB
%
#
3Þ ÖB8  C8 ×8− es una sucesión de Cauchy, puesto que
IB3=>/
ˆ H+.9
‰
%! Š 8! œmaxÞÖ8" ß8# × Îa7ß 8>8! ß . B7  C7 ß B8  C8 Ÿ . B7 ß B8  . C7 ß C8  %‹
33Þ Ö-B8 ×8− es una sucesión de Cauchy para todo escalar ˆ H+.9
‰ IB3=>/
%! Š 8! ! Îa7ß 8  !ß . -B8 ß -B7 œ l-l. B8 ß B7  l-l%‹Þ
…
26.Sea
∞
8œ"
+8 una serie convergente de números reales positivos. Dada una
sucesión ÖB8 ×8− en un espacio métrico Q si . B8 ß B8" Ÿ +8 para todo 8 − ,
entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy.
SOLUCIÓN.
8
Sea W8 œ
realesß ya que
+3 como ÖW8 ×8− es una sucesión convergente de números
3œ"
∞
+8
8œ"
es una serie convergente se sigue que ÖW8 ×8− es una
sucesión de Cauchy o sea, dado %  !, existe 8!  ! tal que a7ß 8  8! ß
lW8  W7 l
<%
ðóñóò
||
7
l
7
+85 l œ
5œ!
+85  %
5œ"
Así tenemos que dado %  !ß b8!  ! tal que si 7ß 8  8! suponiendo además que
si 7  8 se tiene
. B8 ß B7 Ÿ . B8 ß B8"  . B8" ß B8#  â  . B7" ß B7 Ÿ
7
Ÿ +8  +8"  â  +7" Ÿ
+85  %.
5œ!
entonces la sucesión ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy.
…
27.Introducir en el espacio
d 8 una métrica acotada, completa induciendo en cada
bola de radio " la métrica usual.
d
SOLUCIÓN. Sea . w À d 8 ‚ d 8
ÈinfÞÖ"ß . Bß C ×
Bß C
d 8 ß . w es completo:
Dado que si ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy; B8 − d 8 , tenemos que
ˆ H+.9
‰ /B3=>/
%! Š 8! Îa7ß 8  8! ß . B8 ß B7  %‹
Sea %  " tómese 3. À d 8 ß .
d 8 ß . w , ÖB8 ×8− es sucesión de Cauchy en d 8 ß .
B È
B
entonces ÖB8 ×8− es sucesión de Cauchy en d 8 ß . w , ya que 3. es uniformemente
continua por ser una contracción débil À
. w 3. B ß 3. C œ . w Bß C œ infÞÖ"ß . Bß C ×  . Bß C ,
por lo tanto ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . w .
Recíprocamente si ÖB 8 ×8− es una sucesión de Cauchy en d 8 ß . w , esto es,
ˆ H+.9
‰ /B3=>/
%! Š 8! Îa7ß 8  8! ß infÞÖ"ß . B8 ß B7 ×  %‹
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
83
Sea %  " entonces existe 8! tal que a7,8  8! ß infÞÖ"ß . B8 ß B7 ×  %  " entonces
. B8 ß B7  infÞÖ"ß . B8 ß B7 ×  %  ", entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy
en d 8 ß . por lo tanto d 8 ß . w es completo.
…
28. Probar las siguientes afirmaciones:
+ 0 < W œ \ Ê W es denso en \
, Wß X densos en
\ Ê W ∪ X es denso en \ pero no implica que W ∩ X sea
denso en \Þ
- W denso en \ , X denso en ] Ê W ‚ X denso en \ ‚ ]
. W denso en \ , E abierto en \ Ê W ∩ E denso en E
/ W denso en \ß W § X § \ Ê W denso en X y X denso en \
‰

0 Si W o W o 0 < W es denso en \ entonces W es denso en \
1 W denso en \ , W conexo Ê \ es conexo
2 Sea \ un espacio I" . Un subconjunto W § \ es denso en \ si y sólo si todo
B − \ es límite de una sucesión de puntos de WÞ
3 \  ÖB× es denso en \ Í B no es aislado en \ .
4 En el espacio \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ H× donde ^ es un conjunto no enumerable, bien
ordenado con primer elemento. El subespacio \  ÖH× es denso en \ pero H no es
límite de una sucesión de puntos de \  ÖH×Þ
5 El conjunto de los números racionales de la forma #78 ß 7ß 8 − ™
números diádicos es denso en la recta.
SOLUCIÓN. + W œ W ∪ 0 < W œ W ∪ \ œ \ Ê W es denso en \ .
, W ∪ X œ W ∪ X œ \ ∪ \ œ \ Ê W ∪ X es denso en \Þ
W ∩ X § W ∩ X œ \ ∩ \ œ \ß pero en general W ∩ X § \ . Como en el siguiente
Á
Wœ denso en d
ejemplo: Š X œd denso en d ‹ • ß W ∩ X œ øß no es denso en d .
.
W ‚X œW ‚X œ\‚]
"Þ W ∩ E ¨ W ∩ E œ \ ∩ E œ E
Å
E abierto
#Þ W ∩ E § W ∩ E œ \ ∩ E œ E
$Þ E es abierto en \ Ê E ∩ W es abierto en W .
E ∩ W es denso en E Í a ZE ß abierto en Eß ZE ∩ W ∩ E Á ø.
Ahora ZE œ Z\ ∩ E donde Z\ es un abierto en \ , como E es abierto en \ se sigue
que ZE es abierto en \ Ê ZE ∩ W Á ø ˆW œ \ ‰ así ZE § E Ê ZE ∩ E œ ZE . Luego
ZE ∩ W ∩ E œ ZE ∩ W ∩ E œ ZE ∩ W Á ø.
/ W § X § \ Ê W § X § \ Ê \ § X § \ , entonces X œ \ y X es denso en \Þ
X
Å
Wœ\
W œ W ∩ X œ \ ∩ X œ X Ê W es denso en X Þ
Darío Sánchez H.
84
TOPOLOGIA GENERAL
0 Si W es denso, entonces W œ W œ \ Ê W es denso en \ .
‰
‰
‰
Si W es denso entonces W § W § \ , entonces W § W § \ Ê \ § W § \ , entonces
Å
‰
W œ\
W œ \ y W es denso en \Þ
Si 0 < W œ \ , por lo tanto, 0 < W § W Ê 0 < W § W œ Wß pero 0 < W œ \ entonces
\§W
Ê W œ \ y W es denso.
œ
W§\ÊW§\
1 Si E es un abierto en \ entonces como W œ \ ß E ∩ W Á ø. Supongamos que \
no es conexo, esto significa que existen abiertos Eß F no vacíos en \ tales que
E ∪ F œ \ • E ∩ F œ ø.
w
Sean E œ E ∩ W Á øß F w œ F ∩ W Á ø abiertos no vacíos de W como
Ew ∩ F w œ E ∩ W ∩ F ∩ W œ E ∩ F ∩ W œ ø ∩ W œ ø
y
Ew ∪ F w œ E ∩ W ∪ F ∩ W œ E ∪ F ∩ W œ \ ∩ W œ W
se sigue que W no es conexo pí (absurdo).
2 Para cada B − \ß existe µ B un sistema fundamental de vecindades
enumerables asociado a B tal que a [ vecindad
de B existe Z § µ B tal que
B − Z § [Þ
É Ñ B œ lim B8 ß para toda vecindad Z ® B en \ existe 8! tal que a8 8! ß B8 − Z ß
8Ä∞
como B8 − Z ß a8 Ê Z ∩ W Á ø, así W es denso en \Þ
Ê Ñ Para todo B − \ œ W y para todo Y vecindad de B, existe Z8 ∩ W − µ B tal que
B − Z8 ∩ W § Y ∩ W donde Z" ¨ Z# ¨ Z$ ¨ â ¨ Z8 ¨ â y Z3 ∩ W Á ø
Tomando B" − Z" ∩ Wß B# − Z# ∩ Wß á ß B8 − Z8 ∩ Wß á , obtenemos una sucesión de
puntos B8 en W tal que lim B8 œ B ya que B − Z8 ß a8.
3 Ê Ñ Si B es aislado existe Z una vecindad de B en \ tal que Z ∩ \  ÖB× œ ø en
esta forma \  ÖB× no sería denso ya que para toda Y vecindad de B,
Y ∩ \  ÖB× Á ø pí, obteniendo una contradicción
É ) B no es aislado en \ entonces para toda vecindad de Bß Z ∩ \  ÖB× Á ø
implica que à a Z vecindad de B en \ , Z ∩ \  ÖB× Á ø
esto implica que
\  ÖB× es denso en \Þ
4 Sea ^ un conjunto no enumerable, bien ordenado, dotado de último elemento y
sea \ œ ÖB − ^ÎB Ÿ H× donde H es el menor elemento de ^ tal que el conjunto \
no es enumerable. Se considera en \ la topología del orden, por consiguiente H no
es punto aislado en \ y para todo subconjunto enumerable I § \ , existe E
abierto en \ con H − E y E ∩ I œ ø concluyéndose que \ es un espacio de
Hausdorff no métrizable. Si aceptamos esto, en el espacio anterior, el subespacio
\  ÖH× es denso en \ pero H no es límite de una sucesión de puntos de
\  ÖH×. Entonces por la parte 3 anterior \  ÖH× es denso en \ pues H no es
punto aislado.
H no es límite de una sucesión de puntos de \  ÖH×, pues para toda ÖB8 ×8−
(enumerable) existe E abierto en \ , con H − E y E ∩ ÖB8 ×8− œ ø esto muestra que
H no puede ser límite de ninguna sucesión.
Darío Sánchez H.
85
TOPOLOGIA GENERAL
5 Sea H œ Ö #78 Î8ß 7 − ™× vamos a mostrar que H œ dÞ Mostremos que si
B−dÊB−H
Primero si α, " − d y α  " entonces existe #78 tal que α  #78  " . En efecto como
"  α  ! se recibe que por la propiedad arquimediana existe #8 tal que
#8 "  α  "ß 3/ß b#8 tal que "  α  #"8 . Consideremos X œ Ö5 − à 5  #8 α×. X es
no vacío evidentemente porque  no es acotado superiormente. Entonces sea
7 œ min. X ß 7 existe por el principio de buena ordenación, así que 7  " Ÿ #8 α
de donde tenemos que
7
7""
"
œ 7"
entonces #78  " Þ
#8 œ
#8
#8  #8  α  "  α œ " ,
Por elección de 7 tenemos que
7
7
αÊα 8 "
"
8
#
#
Ahora mostremos que \ § H donde \ œ d, si existe B! − d tal que B!  H
Í bZ − µ B! ÎZ ∩ H œ ø Ê b$  ! tal que Z − µ B! Í b$  !Î B!  $ ß B!  $ § Z
B!  $ ß B!  $ ∩ H œ ø tomando B!  $ œ αß B!  $ œ " ß α  " p o contradictorio con
" . ya que tendríamos α  #78  $  " y 7 no sería minÞ X . Luego d œ H.
…
29.En
el espacio de Hilbert L de las sucesiones de cuadrado sumable,
consideremos la bola unitaria H œ ÖB − LÎlBl  "×Þ La aplicación 0 À H H, definida
por 0 B œ 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ"  lBl# ß B" ß B# ß á ‰ es continua y no posee puntos fijos.
Concluir la existencia de una retracción < À H Wß donde W œ ÖB − LÎlBl œ "×Þ
H
SOLUCIÓN. 0 À H
B È 0 B" ß B# ß á œ ˆÈ"  lBl# ß B" ß B# ß á ‰
0 es continua:
#
#
‰ /B3=>/
Sea
ÖB8 ×8− Ä B − H Í ˆ .+.9
%! Š 8! ! Îa8  8! ß lB8  Bl  % ‹
‰ /B3=>/
Ahora ˆ .+.9
%! Š 8! ‹; a8  8! ß tenemos
l0 B8  0 B l# œ ¾ŒÉ"  lBl# ß B" ß B# ß á
 ˆÈ"  llB8 ll# ß B"8 ß B#8 ß á ‰¾
#
œ ¾ ŒÈ"  llBll#  É"  lB8 l# ß B"  B"8 ß B#  B#8 ß á ¾ œ
#
#
ŒÉ"  lBl  É"  lB8 l
#
#
 lB  B8 l Ÿ %  ŒÉ"  lBl#  É"  lB8 l#
#
#
#
Ÿ %#  "
0 no tiene punto fijo:
Supongamos que existiera un punto fijo para 0 , entonces en ese caso se tendría
0 B" ß B# ß á œ ˆÈ"  |lBl|# ß B" ß B# ß á ‰ œ B" ß B# ß B$ ß á
de donde se tiene que B" œ É"  lBl# ß B" œ B# œ B$ œ B% œ â œ B8 œ â
en esta forma B#" œ "  lBl# • B œ B" ß B# ß B$ ß á − L , en particular si B" œ ! entonces
" œ ! po obteniéndose una contradicción.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
Si B" Á ! Ê lBl# œ
B#3 no es convergente por tanto B Â Lpo lo cual también es
3œ"
B3 œB" a3
contradictorio
…
30.Sea
∞
86
W denso en el espacio topológico \ y ] un espacio de Hausdorff. Una
aplicación 0 À W ] , posee a lo máximo una extensión continua 0 À \ ] Þ La
hipótesis sobre ] ¿es indispensable?.
SOLUCIÓN. Si 0 posee una tal extensión, es única ya que si existen dos 0 " ß 0 #
entonces E œ ÖB − \Î0 " B œ 0 # B × es un conjunto cerrado por ser ] de Hausdorff
ahora W § E y W § E Ê \ œ E ,y, 0 " œ 0 # .
Si es indispensable la hipótesis sobre ] como se ve en el ejemplo siguiente: Sea
] œ Ö+ß ,× ß 7] œ Ö] ß øß Ö+××. ] no es Hausdorff pues , Á + y todo abierto
conteniendo , contiene también a +. Sea W œ !ß " ß \ œ Ò!ß "Ñß 0 À W
] 0 es
>È+
continua, pues Ö+× es abierto en ] y 0 " Ö+× œ !ß " en abierto en W . Existen dos
extensiones continuas distintas:
0 À\ ]
y
1À\ ]
1 ! œ+
0 ! œ,
…
31. Sea L el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable
∞
L œ ÖÖB8 ×8− à
B8#  ∞×Þ
8œ"
 B8 × § L es un subespacio
+ El conjunto L! œ ÖÖB8 ×8− à ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß !Þá × œ
vectorial.
, /3 œ Ö!ß á ß " ß !ß á × forman una base de L! .
Å
3
- L! es denso en L
. Toda aplicación lineal continua 0 À L
Iß I espacio vectorial normado completo
(Espacio de Banach) se extiende de un modo único a una aplicación lineal continua
0 À L I.
SOLUCIÓN. + En efecto
B8 ß C8 − L! Ê B8 œ ÖB" ß á ß B8 ß !ß !á ×, C7 œ ÖC" ß á ß C7 ß !ß á ×
Si 7  8ß B8  C7 œ ÖB"  C" ß á ß B7  C7 ß B7" ß á B8 ß !ß á × tiene apenas un número
finito de coordenadas diferentes de cero y por lo tanto está en el espacio L! .
- B8 œ Ö-B" ß -B# ß á ß -B8 ß !ß á × tiene solamente 8 coordenadas diferentes de cero
entonces - B8 − L! . Así L! es un subespacio vectorial de LÞ
p
, En efecto -" /"  -# /#  â  -8 /8  â œ !
p
Í Ö-" ß -# ß -$ ß á ß -8 ß á × œ ! Í -" œ -# œ -$ œ â œ -8 œ â œ !.
por lo tanto los /3 son linealmente independientes. Ahora sea B8 − L! entonces
B8 œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß !ß á × œ
œ ÖB" ß !ß !ß á ß !ß á ×  Ö!ß B# ß !ß á ß !á ×  â  Ö!ß á ß B8 ß !ß á × œ
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
87
œ B" /"  B# /#  â  B8 /8  â Ê Los /3 generan a L! Þ
∞
- Sea B − L Ê lBl# œ B#3  ∞, esto esß dado %  !, existe 8!  ! tal que
3œ"
a8  8! ß
88!
B#8  %# Þ
aB − Lß B œ ÖB" ß B# ß á ×ß dado %  !, existe B − L! tal que . Bß B  %Þ
Basta tomar B œ ÖB" ß B# ß á ß B8! ß !ß á × − L y se tiene
Í
∞
∞
Í 8!
. Bß B œ lB  Bl œ Í
B3  B3 # 
B#3 œ Ë
B3#  %
ll
38!
3œ8! "
Ì3œ"
!
de donde los B3 son las coordenadas de B.
. Como L! es denso en L y I es un espacio métrico completo el problema se
reduce a mostrar que 0 À L! I es uniformemente continua, pero esto es claro ya
que si X À E F es un operador lineal las siguientes afirmaciones son equivalentes
+) X es acotada Í , ) X es uniformemente continua Í - ) X es continua en algún
punto de E.
32.
Con las notaciones del ejercicio anterior la función 0 À L! d definida por
0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × œ B"  #B#  $B$  â  8B8 es lineal discontinua.
SOLUCIÓN. 3) Supongamos 7  8 entonces
0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á ×  ÖC" ß C# ß á ß C7 ß !ß á × œ
œ 0 ÖB"  C" ß B#  C# ß á ß B7  C7 ß B7" ß á ß B8ß !ß á × œ
œ B"  C"  # B#  C#  â  7 B7  C7  7  " B7"  â  8B8 œ
œ B"  #B#  â  7B7  â  8B8  C"  #C#  â  7C7 œ
œ 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á ×  0 ÖC" ß C# ß á ß C7ß !ß á × Þ
Ahora
0 -ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × œ 0 Ö-B" ß -B# ß á ß -B8 ß !ß á ×
œ -B"  # -B#  â  8 -B8 œ - B"  #B#  â  8B8
œ - 0 ÖB" ß B# ß á ß B8 ß !ß á × Þ
Luego 0 es una aplicación lineal.
33) Tomemos B" œ "ß !ß !ß á ß B# œ ˆ!ß "# ß !ß á ‰ß á ß B3 œ ˆ!ß á ß "3 ß !ß á ‰, entonces
B8 Ä ! cuando 8 Ä ∞, ahora
lim 0 B8 œ lim " Á 0 ! œ !
8Ä∞
8Ä∞
Luego 0 es discontinua en ! por lo tanto es discontinua.
…
33. Para cada 8 −  construya una función
continua :8 À d d tal que :8 > œ "
"
para algún punto > − d y :8 > œ ! excepto si 8"
Ÿ > Ÿ 8" . Defina 0 À Ò!ß "Ó L
poniendo 0 > œ :" > ß :# > ß á . Muestre que 0 es discontinua en el punto ! no
obstante cada una de sus coordenadas sea continua.
SOLUCIÓN. Tomemos la función 0 >8 œ :" >8 ß :# >8 ß á ß :8" >8 ß "ß :8" >8 ß á
Darío Sánchez H.
88
TOPOLOGIA GENERAL
o sea
0 >" œ "ß :# > ß á ß :8 >" ß á
0 ># œ :" ># ß "ß á ß :8 ># ß á
0 >8 œ :" >8 ß á ß "ß :8" >8 ß á
tenemos :3 > Ä ! cuando > Ä !. Ahora 0 > œ :" > ,:# > ß á ß :8 > ß á
Ú
"
Ý
! , > Â Ò 8"
ß 8" Ó
Ý
Ý
µ
µ
µ
"
#8"
:8 > œ Û ˆ 8" ß !‰>  ˆ"  > ‰Š #8 8" ß "‹, ! Ÿ > Ÿ "
Ý
Ý
µ
µ
Ý Š #8" ß "‹µ
>  ˆ"  > ‰ˆ 8" ß !‰ , ! Ÿ > Ÿ "
Ü #8 8"
0 ! œ :" ! ß :# ! ß á ß :8 ! ß á œ !ß !ß á
Sea >8 Ä ! una sucesión de puntos tendientes a !Þ Como
Por lo tanto
l0 >8 l œ É :" >8
#
 â  "  :8" >8
#
donde
 â >Ä
"
Ä!
8
lim0 >8 œ " Á 0 ! œ !
>Ä!
Luego 0 no es continua y las :3 > son continuas.
…
34.
Sean Q ß R espacios métricos y 0 À Q R una dilatación, esto es, existe
una constante 5 " tal que . 0 B ß 0 C 5. Bß C para cualesquier Bß C − Q . Si 0 es
continua y Q completo, entonces 0 es una aplicación cerrada.
SOLUCIÓN. 3) 0 es inyectiva: 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ ! así 5. Bß C œ ! Í B œ C
33) Sea J un cerrado en Q Ê 0 J es cerrado.
Sea ÖB8 ×8− §
 0 J una sucesión convergente, entonces ella es de Cauchy o sea
dado %  !ß existe 8!  !, tal que 7ß 8  8! ß . B8 ß B7  %, ahora Ö0 B8 ×8− es una
sucesión de Cauchy en R ya que para el % dado existe 8! tal que
%  . B8 ß B7 œ . 0 0 " B8 ß 0 0 " B7 5. 0 " B8 ß 0 " B7
Luego dado %w œ 5% ß existe 8! tal que 7ß 8  8!
. 0 " B8 ß 0 " B7  5% œ %w
Como Ö0 " B8 ×8− es una sucesión de Cauchy y J es cerrado en Q que es
completo entonces J es completo por lo tanto Ö0 " B8 ×8− Ä + − J Þ Como 0 es
continua Ö0 0 " B8 × Ä 0 + por lo tanto 0 J es cerrado.
…
35. Sea H8 œ ÖB − dà lBl Ÿ "× y W 8" œ ÖB − dà lBl œ "×Þ Las siguientes afirmaciones
son equivalentes: + Toda aplicación continua 0 À H8 H8 posee un punto fijo.
, No existe una retracción <à H8 W 8" .
SOLUCIÓN. + Ê , Procedemos por contradición, supongamos que existe una
retracción < À H8 W 8" entonces tomemos 0 À H8 H8 como la compuesta de < y la
función antípoda E ß o sea H8 < W 8" E H8 tomando 0 œ E ‰ < que es continua
tenemos
Darío Sánchez H.
89
TOPOLOGIA GENERAL
si B − H8 Ê < B − W 8" , y, E ‰ < B œ  < B ,
si B − W 8" Ê 0 B œ E < B œ
E B œ  B.
Å
<lW 8" œ 3.
Por lo tanto 0 B no tiene punto fijo po lo cual es contradictorio.
, Ê + Supongamos que 0 À H8 H8 es continua con 0 B Á B para todo B − H8 ß y
se define < À H8 W 8" tomando < B œ 0 B † B ∩ W 8" entonces <lW 8" œ 3.W 8" y como
cualquier variación de B implica una variación a 0 B se sigue que < B así definida
es continua por lo tanto < es una retracción de H8 en W 8" po lo cual es
contradictorio.
…
36.
Un espacio métrico Q es completo Í para toda inmersión isométrica
0 À Q R ß 0 Q es cerrado en R .
SOLUCIÓN. Ê Ñ Supongamos que Q es completo entonces toda sucesión de Cauchy
ÖB8 ×8− converge para un B − Q Þ Si 0 es una isometría . 0 B ß 0 C œ . Bß C entonces
0 es uniformemente continua por lo tanto Ö0 B8 ×8− es una sucesión de Cauchy
en R y 0 B8 Ä 0 B − 0 Q ß luego 0 Q es completo en cualquier espacio
métrico por lo tanto es cerrado en R Þ
Una segunda prueba: ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy en 0 Q ß como 0 es una
inmersión isométrica, 0 es uno a uno por lo tanto Ö0 " B8 ×8− es una sucesión
en Q , como se hizo en el ejercicio 34.
Ö0 " B8 ×8− es una sucesión de Cauchy, en efecto
‰ /B3=>/
3) ÖB8 ×8− es de Cauchy esto es ˆ .+.9
%! Š 8! ! Îa7ß 8  8! Ê . B8 ß B7  %‹
33) Ahora
%  . B8 ß B7 œ . 0 B8 ß 0 B7 ß 7ß 8  8!
Luego Ö0 " B8 ×8− Ä B − Q ß como 0 es continua se concluye que
ÖB8 ×8− œ Ö0 0 " B8 ×8− Ä 0 B − 0 Q ,
luego 0 Q es cerrado.
É ) Sea ÖB8 ×8− una sucesión de Cauchy en Q entonces Ö0 B8 ×8− es una
sucesión de Cauchy en 0 Q esto es existe C − 0 Q tal que lim 0 B8 œ C. Siendo 0
8Ä∞
una inmersión isométrica, ella es biunívoca C − 0 Q ; luego existe B! − Q tal que
0 B! œ CÞ Luego 0 B8 Ä 0 B esto es, dado %  ! ß existe 8! tal que
Þ
á
á
 % ß entonces B8 Ä B y Q es completo.
á
á
à
. BB ß B  %
a8  8! ß . 0 B8 ß 0 B
ll
…
37. No
existe una función real 0 À Ò!ß "Ó d cuyos puntos de continuidad sean
precisamente los números racionales del intervalo Ò!ß "ÓÞ
SOLUCIÓN. Se sabe que el conjunto de los puntos de continuidad de una función
real 0 À \ d es un conjunto K$ Ðes decir, una intersección enumerable de
conjuntos abiertos). Si 0 À Ò!ß "Ó d es continua solamente en  ∩ Ò!ß "Ó, entonces
Darío Sánchez H.
90
TOPOLOGIA GENERAL
 ∩ Ò!ß "Ó será un conjunto K$ , lo cual no es verdad. Veamos que  ∩ Ò!ß "Ó no es de
tipo K$ en Ò!ß "Ó. Sabemos que Ò!ß "Ó es un espacio métrico completo. Sea E8 una
familia de abiertos tales que ∩ E8 œ Ò!ß "Ó ∩  entonces para todo 8 − ß E8 es
denso en Ò!ß "Ó (ya que  ∩ Ò!ß "Ó es denso en Ò!ß "ÓÑ entonces ∩ E8 es un espacio de
Baire, entonces Ò!ß "Ó ∩  es un espacio de Baire. Como Ò!ß "Ó ∩  es enumerable y
magro en si mismo, entonces debe tener puntos aislados, lo cual sabemos es
imposible po. Luego Ò!ß "Ó ∩  no es K$ Þ
…
38.Dados
+  ,, ¿existe alguna función continua 0 À Ò+ß ,Ó
d que tome valores
racionales en todo B − Ò+ß ,Ó irracional y
para todo B − Ò+ß ,Ó racional, 0 B es
irracional?
SOLUCIÓN. Sea 0 À Ò+ß ,Ó d . 0 B − d   si B es racional, 0 B −  si B es irracional
y por lo tanto Ö0 B à B es irracional× es enumerable. Si B es racional y siendo 
enumerable entonces
Ö0 B à B es racional× es enumerable. Así Ò+ß ,Ó no es
enumerable y 0 Ò+ß ,Ó es enumerable. Si 0 es continua, 0 Ò+ß ,Ó debería ser conexo
ya que Ò+ß ,Ó es conexo; pero 0 Ò+ß ,Ó no es conexo. Luego 0 no es continua.
Supongamos la existencia de esta función continua 0 À Ò!ß "Ó d satisfaciendo las
condiciones del enunciado en Ò!ß "Ó que es conexo, entonces E œ 0 Ò!ß "Ó es conexo.
Existen B − Ò!ß "Ó ∩ , y, C − Ò!ß "Ó ∩ d   en estas condiciones b0 B − d   y
b0 C −  entonces E ∩  Á ø y E ∩ d   Á ø se sigue que E no es unitario
entonces E es conexo y por lo tanto E es un intervalo. 0 À Ò!ß "Ó E es sobreyectivaß
aC − Eß bB − Ò!ß "Ó tales que 0 B œ C y sea V œ E ∩ d   Þ
B − 0 " V Ê B − Ò!ß "Ó ∩ ß
V no es enumerable entonces Ò!ß "Ó ∩  no es enumerable po lo cual es absurdo
pues  es enumerable.
…
39. Dados cualesquiera dos puntos Bß C en el conjunto de Cantor O , existe un
homeomorfismo 2 À O O tal que 2 B œ C.
SOLUCIÓN. Sean
J" œ Ò!ß "$ Ó ∪ Ò #$ ß "Óß J# œ Ò!ß "* Ó ∪ Ò #* ß $* Ó ∪ Ò '* ß (* Ó ∪ Ò )* ß "Óß á ß O œ
∞
∩ J8
8œ"
ya
que para todo B − Ò!ß "Ó, B puede ser expresado por una expansión ternaria,
∞
Bœ
3œ"
B3
$3 ,
donde B3 œ !ß "ß # . Si B − O Ê B3 œ !ß "ß #. A cada B − O ,
B œ !ß B" B# B$ á .
Podemos asociar con una sucesión ÖB8 ×8− œ B" ß B# ß B$ ß á . Sean B œ ÖB8 ×8− ß
C œ ÖC8 ×8−
dos puntos cualesquiera de O y E œ Ö8 − à B8 œ C8 ×ß
F œ Ö8 − à B8 Á C8 ×.
w
8 si 8−E
Sea 2 À O
O
donde Š DD8w œD
ÁD8 si 8−F ‹, 2 es biunívoca y sobre. Mostremos que
8
D8 È ÖD8 ×8−
ella es continua esto es dado %  !, existe $ tal que
si . ÖD8 ×8− ß ÖA8 ×8−  $ Ê . ÖD8w ×8− ß ÖAw8 ×8−  %.
Dado %  !, b8 −  tal que #%  $"8  %. Tomando $ œ $% , veamos que
Darío Sánchez H.
91
TOPOLOGIA GENERAL
Î
Ñ
. ÖD8 ×8− ß ÖA8 ×8−
 $%  $"8 Ê D œ ÖD8 ×8− y A œ ÖA8 ×8− § J8‡
ll
ll
Ï
Ò
D
A
donde J8‡ es uno de los intervalos cerrados de la reunión J œ ∪ J8‡ ß $ J8‡ œ $"8 .
Entonces los 8 primeros términos de ÖD8 ×8− y ÖA8 ×8− coinciden Ê los 8 primeros
términos de ÖD8w ×8− y ÖAw8 ×8− también coinciden. Entonces D w œ ÖD8w ×8−
y Aw œ ÖAw8 ×8− − J8‡ Ê . ÖD8w ×8− ß ÖAw8 ×8−  $"8  % Ê 2 es continua.
De modo análogo se demuestra que 2 " es continua, entonces 2 es un
homeomorfismo y es fácil ver que 2 B œ C; ya que 2 B8 œ 2 Bw8 entonces
Bw8 œ B8 si 8 − E y B8 œ C8
Ê ÖC8 ×8− œ O
œ Bw Á B si 8 − F y Bw œ C
8
8
8
8
…
40.Sea
Y § d 8 un conjunto abierto y 0 À Y
d 8 una aplicación de la forma
donde X À d 8 d 8 es una aplicación lineal invertible y : À Y
l: B  : C l Ÿ 5lB  Cl donde 5 œ lX"" l . Entonces, 0 es
0 B œX †B: B
d8
es
un
tal
que
homeomorfismo de Y sobre un abierto de d 8 Þ
X " ‰ 0 Y
SOLUCIÓN. Sea 1 œ X " ‰ 0 À Y
"
B ÈX 0 Y œ X " X † B  : B œ B  X " ‰ : B .
Haciendo < B œ X " ‰ : B tenemos
l< B  < C l œ lX " : B  X " : C l Ÿ lX " ll: B  : C l Ÿ lX " l5lB  Cl
œ lX " l lX"" l lB  Cl œ lB  Cl
entonces < œ X " ‰ : es una contracción, luego por un resultado básico ¿cuál?
1 œ X " ‰ 0 es un homeomorfismo de Y sobre el subconjunto abierto
0 Y œX 1 Y
pues siendo X un isomorfismo de d 8 sobre d 8 el cual lleva al
abierto 1 Y en el abierto X 1 Y œ 0 Y de d 8 .
…
41. Sea Q un espacio métrico completo y 0 À Q Q una aplicación tal que
0 : œ 0 ‰ 0 ‰ â ‰ 0 :  veces es una contracción. Entonces, 0 tiene un punto fijo.
SOLUCIÓN. Por un resultado básico ¿cuál? la contracción 0 : tiene un punto fijo. Sea
+! el punto fijo esto es 0 : +! œ +! Þ Sea 8 œ :5  6 con ! Ÿ 6  :Þ Dado B − Q ß
0 6 B − Q Þ Como
+!
es
punto
fijo
de
0:
tenemos
ˆya que Ö0 6 B ×, ! Ÿ 6  :, es finito‰
0 : 5 ˆ0 6 B ‰ Ä +! cuando 5 Ä ∞.
Entonces +! es un contractor de 0 : ß ie,
aB − Q , 0 : 5 B Ä +! cuando 5 Ä ∞,
así
0 :56 B Ä +! Ê 0 8 B Ä +! cuando 8 Ä ∞,
esto es +! es un contractor de 0 . Probemos que 0 +! œ +! , en efecto,
+! œ lim 0 8 0 +! œ lim 0 8" +! œ lim 0 0 8 +! œ 0 Š lim 0 8 +! ‹ œ 0 +! .
8Ä∞
…
8Ä∞
8Ä∞
8Ä∞
Darío Sánchez H.
42.Sean
92
TOPOLOGIA GENERAL
Q un espacio métrico, X un espacio topológico y Ö0> ×>−X una familia de
aplicaciones 0> À Q Q , suponiendo que cada 0> depende continuamente del
parámetro > en el sentido débil siguiente: para cada B − Q la aplicación > È 0> B
de X en Q es continua. Supongamos aún que cada 0> es una contracción con
. 0> B ß 0> C Ÿ 5. Bß C donde !  5  "ß 5 independiente de >. En estas condiciones,
cada 0> posee un único punto fijo +> . La aplicación : À X Q definida por : > œ +>
es continua.
Q es continua para cada B − Q .
SOLUCIÓN. Por la hipótesis 0> À Q Q ß 1 À X
> È 0> B
a> 0> es una contracción Í . 0> B ß 0> C Ÿ 5. Bß C ß !  5  " aBß C − Q ß a> − X
Por un resultado básico ¿cuál? 0> À Q Q siendo una contracción y Q un espacio
métrico completo, posee un único punto fijo, esto es b+> − Q tal que 0> +> œ +> Þ
:ÀX
Q , : es continua en > − X si dado %  !, existe $  ! tal que
> È +>
. >ß >  $ Ê . : > ß : >  %
. : > ß : > œ . +> ß +> œ . 0> + > ß 0 > + >
Ÿ . 0> +> ß 0 > + >
 . 0> + > ß 0 > + >
donde
"
Æ
 5. +> ß +>  % "-5
Å
#
" 0> es continua y por lo tanto . 0> +> ß 0> +> Ÿ 5. +> ß +>
# :ÀX
Q es continua, esto es dado %  !ß existe $"  ! tal que si
> È +>
. >ß >  $" Ê . 0> +> ß 0> +> Ÿ % "  5
Entonces tomando $ œ $" ß tenemos
. >ß >  $ Ê . : > ß : >  5. ˆ+> ß +> ‰  % "-5 Í . : > ß : >  5. +> ß +>  % "  5
pero +> œ : > por lo tanto
. : > ß : >  5. : > ß : > œ "  5 . : > ß : >  "  5 %
como !  5  " Ê "  5  ! por lo tanto . : > ß : >  %.
Luego : es continua en >Þ Como eso vale para todo > − X Ê : es continua.
…
43.Con el fin de que un espacio métrico Q sea completo, es necesario y suficiente
que toda sucesión decreciente J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â de subconjuntos cerrados no
vacíos de Q , tales que $ J8 Ä !ß tenga intersección
∞
∩ J8
8œ"
igual a un punto de Q .
En la recta la sucesión de conjuntos cerrados J8 œ Ò8ß  ∞Ñ es decreciente pero
∞
∩ J8 œ ø
8œ"
por que no se tiene $ J8 Ä !.
SOLUCIÓN. Ê ) Cuando $ J8 Ä ! entonces J œ
no puede contener más de
un punto , entonces es suficiente mostrar que J no es vacío.
Sea B8 − J8 ; como $ J8 Ä ! entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, puesto
que Q es completo, ÖB8 ×8− converge para algún B − Q . Mostremos que B − ∩ J8
y para esto es suficiente mostrar que B − J8! .
∩ J8
Darío Sánchez H.
93
TOPOLOGIA GENERAL
Como J3 no es vacío tomemos +3 en J3 y formemos la sucesión Ö+8 ×8− Þ La sucesión
así formada es una sucesión de Cauchy, en efecto como $ J8 Ä !, dado %  !
existe 8! tal que $ J8!  %Þ Como J" ¨ J# ¨ â para 7ß 8  8! tenemos que
J7 ß J8 § J8! Ê +7 ß +8 − J8! por lo tanto . +7 ß +8  % Ê Ö+8 ×8− es una sucesión de
Cauchy. Como Q es un espacio métrico completo Ö+8 ×8− posee un límite +8 Ä +
con + − Q , se afirma entonces que + − ∩ J8 . Supongamos que + Â ∩ J8 esto es
b5 −  tal que +  J5 . Puesto que J5 es cerrado . +ß J5  !. Sea . +ß J5 œ $  !
entonces F ˆ+ß $# ‰ ∩ J œ ø. De aquí se tiene que para 8  5 Ê +8 − J5 y +8  F ˆ+ß $# ‰
po esto es absurdo ya que +8 Ä +.
É ) Sea Ö+" ß +# ß á × una sucesión de Cauchy en Q se quiere mostrar que Ö+8 ×8−
converge en Q . Sea entonces E" œ Ö+" ß +# ß á ×ß E# œ Ö+# ß +$ ß á ×ß á ß E3 œ Ö+3 ß +3" ß á ×
aquí tenemos que E" ¨ E# ¨ â ¨ E3 ¨ â como Ö+8 ×8− es una sucesión de Cauchy
Ê $ E8 Ä ! . Además $ E3 œ $ ˆE3 ‰ podemos tomar E" ¨ E# ¨ â ¨ E8 ¨ â y
$ ˆE3 ‰ Ä ! aplicando la hipótesis tenemos que ∩
E8 Á ø Ê b+ − ∩ E8 afirmamos
8
que +8 Ä +ß en efecto, dado %  !ß b8! tal que $ ˆE8! ‰  % para 8  8! , +8 ß + − E8!
entonces . +8 ß +  % Ê +8 Ä +Þ
…
44.Sea
L el espacio de Hilbert de las sucesiones de cuadrado sumable. La
aplicación lineal X À L L con X B" ß B# ß á ß B8 ß á œ ˆB" ß B## ß B$$ ß á ‰es continua y
biunívoca, pero no es sobre LÞ
SOLUCIÓN. Como X es lineal basta mostrar que lX B l Ÿ 5 lBl donde 5 es una
constante, en efecto,
lX B l œ ¼ˆB" ß B## ß B$$ ß á ß B88 ß á ‰¼ œ Ë
∞
3œ"
"
3#
B3#
3#
Ÿ
Å
Ÿ " a3 − 
Ë
∞
3œ"
Luego X es continua.
X es inyectiva, pues X B œ X C Í ˆB" ß B## ß á ‰ œ ˆC" ß C## ß á ‰ Í
luego B œ C.
X
no es sobre, pues ˆ"ß "# ß "$ ß á ß 18 ß á ‰ − L
pero Ö"ß "ß "ß á × Â LÞ
…
45. Sea
pues
∞
8œ"
"
8#
B#3 œ " † lBl.
B3
3
œ
 ∞
C3
3
ß a3 Í B3 œ C3 ß a3
es convergente
\ un espacio topológico, Q un espacio métrico completo,
E un
subconjunto de \ , 0 À E Q una aplicación y + − E. Para que exista el límite
lim 0 B Í para cada %  !ß existe una vecindad Z de + tal que Bß C − Z implica que
BÄ+
. 0 B ß0 C
SOLUCIÓN.
 % Criterio de Cauchy .
%
‰ /B3=>/
+ Ê Ñ Sea lim 0 B œ - Í ˆ .+.9
%! Š +−Z+ ÎB − Z+ Ê . 0 B ß -  # ‹Þ
BÄ+
Sean Bß C − Z+ Ê . 0 B ß 0 C Ÿ . 0 B ß -  . -ß 0 C  #%  #% œ %.
, É Ñ Dado % œ " entonces existe Z" ® + Î B" ß C" − Z" Ê . 0 B" ß 0 B"
"
Darío Sánchez H.
94
TOPOLOGIA GENERAL
dado %= "# entonces existe Z# ® + Î B# ß C# − Z# Ê . 0 B# ß 0 C#  "#
en general, dado %= 8" entonces existe Z8 ® + Î B8 ß C8 − Z8 Ê . 0 B8 ß 0 C8  8"
Tomando así la sucesión B" − Z" ß B# − Z# ß á ß B8 − Z8 ß á .
Se sigue que para
3ß 4  8 Ê B3 ß B4 − Z8 por lo tanto . 0 B3 ß 0 B4  83 de donde Ö0 B8 ×8− es una
sucesión de Cauchy, ahora como Q es completo Ö0 B8 ×8− Ä - − Q , se tiene que
lim 0 B œ - , en efecto, dado %  !ß existe 8"  #% • Z8 tal que
BÄ+
B − Z8 • B8 − Z8 Ê . 0 B ß 0 B8
Å
‰ˆb8! Î8  8! Ê . 0 B8 ß -  #% ‰
Ö0 B8 × Ä - Í ˆ .+.9
%!
…
46.Sean
 . 0 B8 ß - Ÿ
"
8

%
#

%
#

%
#
œ%
espacios vectoriales normados y ¿ Iß J el conjunto de las
aplicaciones lineales continuas de I en J . ¿ Iß J es un espacio vectorial en el cual
consideramos la norma dada por l0 l œ sup l0 B l œ infÞÖ5  !à l0 B l Ÿ 5lBlß aB − I×.
Iß J
lBl œ "
B−I
Una sucesión de aplicaciones continuas 08 À I J converge para 0 − ¿ Iß J según
esta norma si y sólo si 08 Ä 0 uniformemente en cada parte acotada de IÞ Si J es
completo entonces ¿ Iß J es completo.
C
3Ñ l0 l œ ! Ê l0 B l œ !ß alBl œ " Í l0 ŠC † lCl
lCl ‹ œ lCll0 Š lCl ‹ œ !
 !.
para todo C − I Ê 0 œ

Î ! Ê l0 l l0 B l  !ß alBl œ "
Si
0œ
33Ñ
l-0 l œ supÖl -0 B là lBl œ "× œ supÖl-ll0 B là lBl œ "× œ l-lsupÖl0 B là lBl œ "× œ l-ll0 l
333Ñ l0  1l œ supÖl0 B  1 B là lBl œ "× Ÿ supÖl0 B l  l1 B là lBl œ "×
Ÿ sup l0 B l  sup l1 B l œ l0 l  l1l
lBl œ "
lBl œ "
Parte , Sea l0 l œ sup l0 B lß P œ infÞÖ5  !à l0 B l Ÿ 5lBlß aB − I× tenemos que
SOLUCIÓN. Parte +
|0 C l Ÿ l0 llCl
C
l0 l l0 Š lCl
‹l œ
pues l0 l l0 B l ß alBl œ ".
lBl œ "
B−I
"
lCl l0
C l Ê l0 C l  l0 l † lCl
Tomemos C œ
B
lBl
con B Á ! tenemos
tomando además 5 œ l0 l
l0 l P œ infÞÖ5  !à l0 B l Ÿ 5lBl×Þ
Supongamos ahora l0 l  PÞ De la definición de inf se recibe que
se tiene
/B3=>/ ‰
ˆ .+.9
‰ˆ /B3=>/
‚
%!
5! • B! −I
"Ñ P%5
#Ñl0 B! lŸ5lB! l
de donde tenemos que
l0 B! l Ÿ 5lB! l  P  % lB! l
o sea que
¹0 Œ
B!
¹P%
lB! l
De otra parte se tiene que (por la definición de sup)
"
Darío Sánchez H.
o sea que
95
TOPOLOGIA GENERAL
ˆ .+.9
‰ˆa B − I con lBl œ "ß l0 B l  % P‰
%!
ˆ .+.9
‰ˆa B − I con lBl œ "ß l0 B l P  %‰
%!
En particular para B œ lBB!! l se tiene que
¹0 Œ
B!
¹ P%
lB! l
De " y # obtenemos po una contradicción.
Parte - É Ñ Claro ya que si 08 Ä 0 uniformemente en toda parte acotada de I ,
tomando H œ ÖB − I À lBl œ "× se tiene que
ˆ .+.9
‰ˆb 8! Îl08 B  0 B l  %ß si 8  8! y a B − H‰ Ê l08  0 l  %ß 8  8!
%!
Se sigue que 08 Ä 0 − ¿ Iß J en el sentido de la norma definida en la parte +
Ê Ñ Sea Q una parte acotada de I o sea que $ Q œ +. Sea C − Q entonces dado
C
C
%
%w œ +"
ß existe 8! tal que para 8  8! ß lCll08 Š lCl
‹  0 Š lCl
‹l Ÿ lCl +%  + +% œ % ya que
l08  0 l  %.
Parte . J completo Ê ¿ Iß J es completo.
Sea Ö08 ×8− − ¿ Iß J una sucesión de Cauchy, entonces esto significa que
Ö08 B ×8− es una sucesión de J , por lo tanto converge para 0 B ß solo resta probar
que la convergencia es uniforme en ese caso tendríamos que ¿ Iß J es completo.
…
47.Dado
un recubrimiento Æ del intervalo Ò+ß ,Ó, es posible obtener números >3 con
+ œ >!  >"  â  >8 œ , tales que los intervalos Ò>3 ß >3" Óß 3 œ !ß "ß #ß á ß 8  " tiene
todos la misma longitud y cada uno de ellos está contenido en algún conjunto Y
del recubrimiento Æ.
SOLUCIÓN. Como Æ es un recubrimiento de Ò+ß ,Ó y Ò+ß ,Ó es un conjunto compacto de
d el cual es espacio métrico entonces Æ posee un número de Lebesgue %  !.
También tenemos que ,  +  ! por la propiedad Arquimediana es posible hallar 8
tal que 8%  ,  +Þ Así dividiendo el intervalo Ò+ß ,Ó en 8 partes iguales obtenemos
una partición
+ œ >!  >"  â  >8"  >8 œ !
tal que
>8"  >8 œ
Ò>8 ß >8" Ó § Y .
…
48.Sea \
,+
8 ß
así $ Ò+ß ,Ó œ
,+
8
 %ß entonces existe Y − Æ tal que
un conjunto bien ordenado no enumerable, poseyendo último elemento
H, tal que para cada + − \  ÖH× el conjunto ÖB − \à B Ÿ +× es enumerable.
Consideremos en \ la topología del orden en la cual una base de abiertos está
formada por los intervalos abiertos +ß , œ ÖB − \à +  B  ,×. Si se sabe que en un
#
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
96
conjunto bien ordenado, toda sucesión decreciente B" B# â B8 â toma
apenas un número finito de valores, muestre que \ es compacto.
SOLUCIÓN. Sea \ œ ∪ Y- , se construye ^ œ ÖB − Òαß HÓà Òαß BÓ § Y-" ∪ â ∪ Y-8 ×.
-−P
Sea " œ sup^Þ
") " − ^ ; en efecto ^ œ Òαß " Ñß oß ^ œ Òαß " Ó. Se presentan dos posibilidades:
3) " tiene antecesor inmediato " w
" w − ^ß Òαß " w Ó § Y-" ∪ â ∪ Y-8 , " − Y-!
en este caso
Òαß " Ó œ Òαß " w Ó ∪ Ö" × § Y-" ∪ Y-# â ∪ Y-8 ∪ Y-!
entonces se tiene " − ^
33) " no tiene antecesor inmediato. Existe Y-! tal que " − Y-! por definición de
abierto existe un intervalo conteniendo un " w  " . Así no se puede tener que
^ œ Òαß " Ñ quedando por lo tanto la posibilidad de ser ^ œ Òαß " Ó.
#Þ " − H ya que si "  H entonces inmediatamente existe "  sucesor inmediato
de " ,
teniéndose que
Ò αß " Ó § Y - " ∪ â ∪ Y - 8
Òαß "  Ó § Y-" ∪ âY-8 ∪ Y-!
eso es po contradictorio ya que "   " y "  − ^ß " no sería el sup de ^Þ
…
49.En un espacio topológico I" las siguientes condiciones son equivalentes:
+ Todo subespacio infinito tiene un punto de acumulación
, Toda sucesión posee una subsucesión convergente. En particular todo espacio
compacto I" es secuencialmente compacto.
El espacio ] œ \ÖH× es I" y secuencialmente compacto pero no es compacto.
+ Ê , Sea \ un espacio I" . Dada una secuencia ÖB8 ×8− en \ , dos
SOLUCIÓN.
cosas pueden ocurrir o el conjunto de los valores B8 es finito o es infinito. En el
primer caso algún valor + œ B8" œ B8# œ â œ B85 =â debe repetirse infinitas veces y
por lo tanto la sucesión ÖB85 ×5− converge para el punto + − \ ; en el segundo caso
el conjunto ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × por hipótesis posee un punto de acumulación B − \ .
Toda vecindad de B contendría términos B8 con índice arbitrariamente grande y por
lo
tanto
será
límite
de
una
subsucesión
de
ÖB8 ×8−
recuerde un resultado básico ¿cuál?
, Ê + Demostremos ahora que todo subconjunto infinito W de \ tiene un
punto de acumulación. \ es un espacio I" por lo tanto W también lo es. Podemos
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
97
extraer una sucesión ÖB8 ×8− formada por puntos de W . Como ÖB8 ×8− es una
sucesión en \ entonces posee una subsucesión convergente así existe ÖB85 ×5− tal
que lim B85 œ B, evidentemente B es el punto de acumulación de Wß en efecto
5Ä∞
lim B85 œ B Í a Z − µ B , existe 8!5 −  tal que 85  8!5 implica que B85 − Z entonces
5Ä∞
para todo Z − µB, Z ∩ W Á ø;
si a partir de un
8!5 , B − W
entonces
Z" ¨ Z# ¨ â ¨ Z7 la sucesión sería finita entonces B − W .
En particular si \ es compacto por un resultado básico ¿cuál? todo subconjunto
infinito posee un punto de acumulación y siendo \ un espacio I" todas las
sucesiones en \ poseen una subsucesión convergente y por lo tanto \ es
secuencialmente compacto.
El espacio ] œ \  ÖH× no es compacto pero todo subconjunto infinito de ]
posee un punto de acumulación y por lo tanto toda sucesión en ] posee una
subsucesión convergente, esto es ] es secuencialmente compacto.
…
50.Si
toda función real continua 0 À \ d es acotada entonces toda función real
continua en \ toma sus valores extremos.
SOLUCIÓN. Supongamos que existe 0 À \ d continua, acotada tal que + œ sup 0 B
B−\
(+ existe pues 0 B es acotada) y + Â 0 \ , entonces tenemos que la función
1À\ d
es una función continua pues para todo B − \ , 0 B  + Á !Þ
B È 1 B œ 0 B" +
Mostremos ahora que 1 no es acotada. Como + œ supÞÖ0 B × œ supÞÖ0 B ÎB − \×ß
0 \ es acotado en la recta, entonces 0 \ posee una subsucesión convergente a
+ß esto es existe C" ß C# ß á ß C8 ß á con C3 − 0 \ y C8 Ä +. Si 8 tiende a  ∞
entonces existe ÖB8 ×8− § \
tal que lim 0 B8 œ + entonces 1 B8 Ä  ∞ o a
8Ä∞
 ∞ cuando 8 Ä ∞ así 1 no es acotada po
…
51.En
un espacio secuencialmente compacto, toda función real continua es
acotada.
SOLUCIÓN. Afirmación: Si \ es secuencialmente compacto y 0 À \ d continua
entonces 0 \ es secuencialmente compacto. En efecto, sea Ö0 B8 ×8−
una
sucesión de 0 \ entonces ÖB8 ×8− es sucesión de \ esto implica que existe
ÖB85 ×5− tal que B85 Ä B − \ entonces como 0 es continua 0 B85 Ä 0 B − 0 \
entonces Ö0 B8 ×8− admite una subsucesión convergente en 0 \ .
Entonces por un resultado básico ¿cuál?, 0 \ es compacto (ya que d es un espacio
métrico) entonces 0 \ es acotado.
…
52.En un espacio topológico cualquiera \ , el subconjunto W formado por los
puntos B8 de una sucesión convergente y además el punto límite + de esa
sucesión, es un espacio compacto.
Darío Sánchez H.
98
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN. Sea W œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × ∪ Ö+× donde + œ lim B8 . Sea Š
8Ä∞
∪
E- ‹ ∪ E un
-−P
recubrimiento de W donde los E- son abiertos conteniendo a B- y E abierto
conteniendo a +. Existe un 8! tal que 8  8! ß B8 − E. Luego E" ∪ E# ∪ â ∪ E8! ∪ E
es un subrecubrimiento finito de W entonces W es compacto.
…
53.Toda
aplicación abierta (es necesario que sea continua) de un espacio
compacto \ en un espacio de Hausdorff ] conexo, es sobre. Concluir que
0 À d W " ß 0 > œ /#1> ß es sobre W " .
SOLUCIÓN. + Como 0 es continua, y \ es compacto, entonces 0 \ es compacto,
además ] es un espacio de Hausdorff entonces 0 \ es cerrado en ] . \ es abierto
en \ y 0 abierta entonces 0 \ es abierto en ] entonces 0 \ es abierto y cerrado,
0 \ Á ø entonces 0 \ œ ] ya que ] es conexo por consiguiente 0 es sobre.
, Se concluye que 0 À d W " , definida por 0 > œ /#1> es sobre, puesto que del
diagrama adjunto tenemos que d /™ es compacto por que es homeomorfo a un
:
0
d
dΙ
W " intervalo por ejemplo a Ò!ß "ÓÞ 0 es abierta porque si E § dΙ es
0
abierto
E œ : E" donde E" es abierto en d y 0 E œ 0: E" œ 0 E" que es
abierto. Así 0 es sobreyectiva. Como 0 ‰ : œ 0 entonces 0 es sobre.
…
54.Sea ¶ " œ ¶ " Ò+ß ,Óà d el conjunto de las funciones 0 À Ò+ß ,Ó d la cual posee
derivada continua en todos los puntos de Ò+ß ,Ó. ¶ " es un espacio vectorial, en el
cual consideramos la norma l0 l‡ œ sup Öl0 > l  l0 w > l×Þ Una función 2 − ¶ " se le
denomina un difeomorfismo ˆde clase ¶ " ‰ cuando 2 posee un inverso
2 " À 2 Ò+ß ,Ó Ò+ß ,Ó el cual también tiene derivada continua en todos los puntos.
Para que 2 − ¶ " sea un difeomorfismo, es necesario y suficiente que 2 w B Á ! para
todo B − Ò+ß ,Ó. El conjunto de los difeomorfismos es abierto en el espacio ¶ " .
SOLUCIÓN. + ¶ " œ ¶ " Ò+ß ,Óà d es un espacio vectorial. Basta mostrar que ¶ " es un
subespacio vectorial del espacio ¹ Ò+ß ,Óà d de las funciones a valor real. 0 ß 1 − ¶ "
entonces 0 w ß 1w son continuas entonces 0  1 w œ 0 w  1w y siendo suma de dos
funciones continuas es también continua, luego 0  1 − ¶ " .
0 − ¶ " y - − d entonces -0 w œ -0 w continua entonces -0 − ¶ " Þ
, 2 − ¶ " es un difeomorfismo si y sólo si 2 w B Á ! para todo B − Ò+ß ,Ó
Ê Ñ 2 − ¶ " entonces 2 w es continua. 2 es un difeomorfismo entonces existe 2 " y
w
existe 2 " y tambien es continua.
w
2 " ‰ 2 B œ M B œ B entonces
2 " 2 B 2 w B œ "
en esta forma
"
" w
" w
2
2 B œ 2w B
y como 2
es continua para todo C − 2 Ò+ß ,Ó entonces 2w "B
es continua para todo B − Ò+Þ,Ó entonces 2 w B Á ! para todo B − Ò+ß ,Ó.
+Ÿ>Ÿ,
Darío Sánchez H.
99
TOPOLOGIA GENERAL
É ) Para todo B − Ò+ß ,Óß 2 w B Á ! entonces 2 es estrictamente monótona ya sea
creciente o decreciente en Ò+ß ,Ó, por un resultado básico ¿cúal? 2 À Ò+ß ,Ó d es un
homeomorfismo de Ò+ß ,Ó sobre 2 Ò+ß ,Ó . Entonces 2 " existe y es continua.
Sea 2 " œ 1, Si existe 1w C con C œ 2 B deberá ser igual a [2 w B ]" y por lo tanto
escribimos
1 C  5 œ 1 C  Ò2 w B Ó"  = 5 y tenemos que mostrar que
lim =l5l5 œ !.
5Ä!
Sea 2 B  6 œ C  5 entonces 5 œ 2 B  6  C œ 2 B  6  2 B y 5 Ä ! si y sólo si
6 Ä ! ya que 2 es un homeomorfismo. Entonces
6 œ 1 C  5  1 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 B  6  2 B Ó  = 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 w B 6  < 6 Ó  = 5
l6l [2w B ]" < 6
entonces = 5 œ  Ò2 w B Ó" < 6 en esta forma =l5l5 œ  l5l
Š
‹ cuando 5 Ä !,
l6l
entonces
l6l
l5l
permanece acotado y
<6
l6l
Ä ! cuando 6 Ä !. Luego
lim = 5
5Ä! l5l
w
œ !Þ
Esto muestra que 1 œ 2 " es diferenciable para cada C − 2 Ò+ß ,Ó con 1 C œ Ò2 w B Ó"
y como 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó y es continua para todo C − 2 Ò+ß ,Ó ß 2 − ¶ " Þ
…
55.Sea
\ un espacio compacto y Q un espacio métrico. El conjunto de las
aplicaciones continuas de \ sobre Q es cerrado en ¶ \à Q .
SOLUCIÓN. Sea ¶ \à Q œ Öaplicaciones continuas de \ en Q × œ Æ. Sea
J œ Ö0 − ¶ \à Q Î0 es sobre×, veamos que CJ œ Æ  J es abierto, sea 0 − CJ
Í b 7! − Q tal que 7! Â 0 \ (esto es para todo B − \ , 0 B Á 7! ) entonces 0 \
es cerrado (pues 0 \ es compacto), así 7! − C0 \ y C0 \ es abierto, entonces
existe µ% 7! œ Ö7 − Q Î. 7! ß 7  %× y µ% 7! § C0 \ . Consideremos ahora
µ #% 0 œ Ö1 − ¶ \à Q Î. 0 ß 1  #% ×, 0 − CJ .
Sea 1 − µ #% 0 , veamos que 1 − CJ o sea veamos que 1 no es sobre. Como
1 − ¶ \à Q entonces 1 \ es compacto por lo tanto 1 \ es cerrado y se tiene
. 7! ß 1 B  . 0 B ß 1 B . 7! ß 0 B para todo B − \
o equivalentemente
. 7! ß 0 B Ÿ . 7! ß 1 B  . 0 B ß 1 B para todo B − \
pero para todo B − \ ,
. 0 B ß 1 B Ÿ sup Ö. 0 B ß 1 B × œ . 0 ß 1  #%
B−\
se sigue que para todo B − \ß . 7! ß 0 B
‡
% Æ
# 
 . 7! ß 1 B 
%
#
entonces
. 7! ß 1 B  . 7! ß 0 B 
%  #% œ #%
‡ dado que µ% 7! § C0 \ entonces . 7! ß 0 B  %Þ
a
De donde tenemos que
. 7! ß 1 B  #% ß
B−\
Hemos mostrado que 1 À \ Q es tal que 1 − ¶ \à Q y existe 7! − Q tal que
. 7! ß 1 B  #% ß
aB − Q para algún %  !, por ser 1 continua de \ en Q entonces
7! Á 1 B para todo B − \ de donde 1 no es sobre, por lo tanto µ #% 0 §
 CJ , se
sigue que CJ es abierto, de donde se obtiene que J es cerrado.
…
Darío Sánchez H.
56.Sea
100
TOPOLOGIA GENERAL
Q un espacio métrico compacto. Toda aplicación 0 À Q
Q
tal que
œ . Bß C para cualesquier Bß C − Q , es sobre.
SOLUCIÓN. 0 es biunívoca ya que 0 B œ 0 C Ê . 0 B ß 0 C œ . Bß C œ ! entonces
B œ CÞ Supóngase que 0 no es sobreyectiva entonces existen B − Q  0 Q y %  !
tales que . Bß 0 C % ß aC − Q en particular para C œ B tenemos . Bß 0 B %,
ahora . 0 B ß 0 # B œ . Bß 0 B % , y cuando C œ 0 B tenemos
. Bß 0 0 B œ . Bß 0 # B %
por analogía
. 0 B ß 0 $ B œ . Bß 0 # B %
. 0 # B ß 0 $ B œ . 0 B ß 0 # B œ . Bß 0 B %
#
$
Así Bß 0 B ß 0 B ß 0 B ß á es una sucesión tal que . 0 7 B ß 0 8 B %, esto es
contradictorio po ya que se ha obtenido en Q una sucesión que no admite una
subsucesión convergente, así Q como espacio métrico que es, no sería compacto.
Luego 0 es sobre.
…
. 0 B ß0 C
57.Sea
Q un espacio métrico compacto. Si una aplicación 0 À Q
Q es tal que
. Bß C para cualesquier Bß C − Q ß entonces 0 es una isometría de Q Þ
SOLUCIÓN. Bß C − Q entonces
. Bß C Ÿ 0 0 B ß 0 C Ÿ . 0 # B ß 0 # C Ÿ â Ÿ . 0 8 B ß 0 8 C para todo 8 − .
Construyamos las subsucesiones Ö0 85 B ×5− ß Ö0 85 C ×5− tales que
lim 0 85 B œ B • lim 0 85 C œ C
. 0 B ß0 C
5Ä∞
5Ä∞
La sucesión Ö0 8 B ×8− § Q que es secuencialmente compacto, por lo tanto existe
Ö0 85 C ×5− subsucesión convergente por lo tanto es una sucesión de Cauchy esto
es;
w
85
ˆ .+.9
‰ /B3=>/
C ß 0 85 w C  % ‹
%! Š 5 ! Îa5ß 5  5! ß . 0
!
Analógamente como Ö0 B ×8− § Q se tiene para 8  7 y de la hipótesis
. 0 8 C ß 0 7 B . 0 8" B ß 0 7" B â . 0 87 B ß B
por lo tanto
%  . 0 85 C ß 0 85w C . 0 85 85w C ß C
para 5 grande
85
85 w
85 85w
%  . 0 B ß0 B . 0
B ßB
Luego como % es arbitrario se sigue que
lim 0 84 B œ B • lim 0 84 C œ C
8
Por lo tanto
de donde
Luego
4Ä∞
4Ä∞
0 84 B ß 0 8 4 C
Ä Bß C
. Bß C Ÿ . 0 8 B ß .0 8 C
. 0 B ß0 C
Ÿ â Ÿ . Bß C
œ . Bß C Þ
…
58.Pruébese que:
+ No todo espacio compacto es metrizable
Darío Sánchez H.
101
TOPOLOGIA GENERAL
, Un espacio localmente compacto I" de Hausdorff puede ser secuencialmente
compacto sin ser compacto.
- Todo espacio cociente de un espacio compacto es compacto.
. Si todo subespacio de un espacio de Hausdorff es compacto entonces el
espacio en cuestión es finito.
/ Si una topología compacta es más fina que una topología de Hausdorff,
entonces las dos coinciden.
0 Las componentes conexas de un espacio compacto son compactas
1 Un espacio localmente compacto de Hausdorff puede ser normal.
2 Un espacio localmente conexo posee apenas un número finito de componentes
conexas.
SOLUCIÓN. + Tómese el siguiente ejemplo, sea I œ Ö"ß #ß $× y 7 œ ÖIß øß Ö"×× es
compacto, pero no es metrizable pues I no es Hausdorff.
, El espacio ] œ \  ÖH× parece satisfacer las condiciones (falta mostrar que es
localmente compacto). Sea H − \ , + − \  ÖH× entonces ÖB − \ÎB Ÿ +× es
enumerable. Como la topología del orden \ siempre es Hausdorff entonces
\  ÖH× es Hausdorff.
\  ÖH× es I" À Como dado B − \  ÖH× entonces ÖB − \ÎB Ÿ +× es enumerable, por
lo tanto podemos obtener también ,ß Bß + − \  ÖH× donde , Ÿ B Ÿ +ß +ß , § \  ÖH×
y es enumerable por lo tanto tiene un sistema fundamental de vecindades
enumerable.
Así \  ÖH× es infinito y contiene un subconjunto enumerable, pero todo
subconjunto de \  ÖH× es acotado pues serán todos los del tipo +ß , que es
enumerable.
- Sea \ un espacio topológico, I una relación de equivalencia sobre \ ß
: À \ \ÎI la aplicación cociente, entonces por la definición de topología cociente
como : es sobre, continua y : \ œ \ÎI . Luego si \ es compacto entonces : \
es compacto por lo tanto \ÎI es compacto.
. Sea \ un espacio de Hausdorff en el cual todo subconjunto es compacto.
Supongamos que \ es un conjunto infinito, entonces para todo B − \ß \  ÖB× es
un subconjunto compacto y por ser Hausdorf es cerrado, entonces ÖB× es abierto
en \ por ser su complemento cerrado en \ . \ œ ∪ ÖB× es un recubrimiento
B−\
abierto de \ por ser \ compacto existe un subrecubrimiento finito tal que
8
\ œ ∪ ÖB3 × que cubre a \ y esto es imposible cuando \ sea infinito po
8œ"
B3−\
/ 3) Toda aplicación continua 0 À O ] de un espacio topológico compacto O
sobre un espacio de Hausdorff ] es una aplicación cerrada.
33) Toda aplicación 0 À O ] continua y biunívoca de un espacio compacto sobre un
espacio de Hausdorff ] es un homeomorfismo.
Sea + À \ß 7\ß 7L continua y biunívoca donde
Darío Sánchez H.
102
TOPOLOGIA GENERAL
7- œ topología sobre \ tal que \ es compacto
7L œ topología sobre \ tal que \ es Hausdorff
+ la aplicación idéntica, es continua ya que 7L £ 7- (la topología Hausdorff es
menos fina que la topología compacta) Entonces: 33) muestra que 7L œ 70 Evidente del hecho de que todo B − \ , GB la componente conexa de B es un
conjunto cerrado de \ entonces por un resultado básico ¿cuál? todo subconjunto
cerrado J de un espacio compacto \ , es compacto entonces GB es compacto.
1 Una condición suficiente para que un espacio de Hausdorff sea normal es que
sea compacto.
Sea \ œ Ö Bß C − d # ÎC !× § d # ß siendo d los números reales. Como base para los
abiertos en un punto C  !, escogemos los interiores de círculos alrededor del
punto y radio menor o igual a un medio de la distancia del punto al eje BÞ
Para puntos Bß ! sobre el eje B escogemos como abiertos básicos los conjuntos de
la forma Ö Bß ! × ∪ interior de un círculo tangente al eje B en el punto C que este
contenido en \ . \ no es normal pues los conjuntos
J" œ Ö Bß ! ÎB − ×ß J# œ Ö Bß ! ÎB − d  ×
son cerrados disyuntos pero no poseen abiertos disyuntos que los contengan.
Evidentemente \ es Hausdorff y localmente compacto.
2 Sea ÖE3 ×3−M la familia de componentes conexas de \ entonces ÖE3 ×3−M es un
recubrimiento por abiertos de \ ya que cada componente conexa de \ es un
espacio locamente conexo es un conjunto abierto y cerrado entonces existe un
número finito, digamos E3" ß E3# ß á ß E38 que son un subrecubrimiento finito de \Þ
Pero si 3 Á 4 sabemos que E3 ∩ E4 œ ø entonces ningún E4 puede ser omitido del
conjunto ÖE3 ×3−M tal que las componentes restantes cubran aún a \ , esto implica
que E3" ß E3# ß á ß E38 deben ser las componentes de \Þ
…
59.
Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que un espacio
métrico Q sea compacto:
+ Todo recubrimiento abierto numerable posee un subrecubrimiento finito.
, Toda sucesión decreciente J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â de subconjuntos cerrados no
vacíos tiene una intersección ∩ J8 no vacía.
- Todo subconjunto cerrado y discreto es finito.
SOLUCIÓN. + Por definición.
, Ê Ñ Q espacio métrico compacto, entonces toda familia ÖJ3 ×3−M de subconjuntos
cerrados de \ satisfacen la propiedad de la intersección finita, tiene intersección
no vacía. Ahora toda sucesión decreciente de cerrados J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â no
vacíos satisface la propiedad de la intersección finita ya que
Luego ∩ J8 Á ø.
É ÑSupongamos
que
de no, sería compacto .
Q
no
es
compacto
8
∩ J3 œ J 8 Á ø Þ
3œ"
entonces
Q
es
infinto
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
103
Como Q es infinito entonces existe un subconjunto enumerable en Q ,
Z œ Ö+" ß +# ß á ß +8ß á × que no posee una subsucesión convergente ni tiene punto de
acumulación. Construyamos la siguiente sucesión decreciente
J" œ Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á ×ß J# œ Ö+# ß +$ ß á ß +8 ß á ×ß á ß J8 œ Ö+8ß +8"ß á ×
claramente J8 ∩ J7 Á ø , a8 Á 7. Además los J8 son cerrados pues Q  J8 no
tienen puntos de acumulación en Z o sea aB − Q  J8 existe F Bß % tal que
F Bß % ∩ J8 œ ø, entonces F Bß % § Q  J8 . Además ∩ J 8 œ ø por que si ∩ J 8 œ ,
entonces Ö+" ß +# ß á × tendría un punto de acumulación po lo cual es contradictorio.
Luego Q debe ser compacto.
- Ê ) Sea W § Q cerrado discreto entonces W es finito. Si W es infinito entonces
existe un subconjunto de W enumerable Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á × § Wß +3 Á +4 , 3 Á 4 . Como
todo subconjunto infinito de un espacio métrico compacto posee un punto de
acumulación en Q sea + − Q punto de acumulación de Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á × entonces
toda vecindad Z+ en Q contiene un número infinito de elementos de
Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á ×. Como W es cerrado, entonces + − W . Luego + no es punto aislado
de W entonces W no es discreto esto es po contradictorio.
É ) Hipótesis: Q espacio métrico tal que todo W § Q cerrado discreto entonces W
es finito, Tesis: entonces Q es compacto.
Si Q no es compacto entonces Q es infinito. Basta exhibir un conjunto cerrado
discreto infinito. Como Q es infinito entonces existe un subconjunto enumerable
en Q , Ö+" ß +# ß á ß +8 ß á × œ Z que no posee una subsucesión convergente, el
conjunto de valores de Ö+8 ×8− es infinito en caso contrario Ö+8 ×8− posee una
subsucesión convergente. Ningún punto +3 − Z es punto de acumulación de Z
entonces a+3 − Z , +3 es punto aislado Ê Z es discreto. En Q  Z también no
existen puntos de acumulación de Z o sea
a
B − Q  Z ß b F Bß %
%!
bola abierta, tal que F Bß % ∩ Z œ ø
entonces F Bß % § Q  Z entonces Q  Z es abierto en Q , entonces Z es cerrado
en Q Þ Luego Z § Q es cerrado, discreto e infinito po contrario a la hipótesis.
…
60.Un
conjunto infinito \ , provisto de la topología cuyos abiertos son
complementarios de las partes finitas de \ß es compacto, todos sus puntos
cerrados y todos los subconjuntos (cerrados o no) son compactos. Obtener
sucesión decreciente de subconjuntos cerrados
J" ¨ J # ¨ â ¨ J 8 ¨ â
∩ J8 œ ø, cada uno de los J8 siendo infinito.
SOLUCIÓN. 3) \ es compacto. Sea ∪ G- œ \
-−P
los
son
una
con
un recubrimiento de \ . Considérese
algún G! de ese recubrimiento, G! abierto en \ , entonces \  G! es una parte
finita de \ así \G! œ Ö+" ß +# ß á ß +8 × para cada +5 − \  G! ß " Ÿ 5 Ÿ 8 existe un
G-5 − ÖG- × tal que +5 − G-5 entonces \  G! § G-" ∪ G-# ∪ â ∪ G-8 , por lo tanto se
tiene que \ œ G! ∪ \  G! œ G-! ∪ G-" ∪ â ∪ G-8 , luego \ es compacto.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
104
33) Todo punto es cerrado.
ÖB× es una parte finita de \ entonces \ÖB× es abierto en \ entonces ÖB× es
cerrado.
333) Todos los subconjuntos de \ (cerrados o no ) son compactos
W § \ Í \  W es abierto en \ Í C \  W œ W es finito, así W es compacto.
[email protected]) Ejemplo: \ es infinito enumerable con la topología de los complementos de las
partes finitas, entonces existe un B" − \ tal que J" œ \  ÖB" × es infinito, cerrado
no vacío. Existe B# − J" tal que B" Á B# y se tiene J# œ \ÖB" ß B# Ó es infinito, cerrado
no vacío. Continuando este proceso, obtenemos recursivamente que
J8 œ \ÖB" ß B# ß á ß B8 ×, B3 Á B4
3 Á 4 ß J8 cerrado, infinito, no vacío y
J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â además ∩ J8 œ ø.
…
61.Si
0 ÀQ
d es una función continua no acotada en el espacio métrico
Q œ Q ß . , la métrica ." Bß C œ . Bß C  l0 B  0 C l es no acotada y equivalente a
. . Concluir que un espacio métrico es compacto si y sólo si es acotado en relación
a cualquier métrica compatible con su topología.
SOLUCIÓN. Sabemos por un resultado básico ¿cuál? que dice: Sean Q ß . y R ß ."
espacios métricos y 0 À Q R una aplicación continua, la métrica definida en Q por
3 Bß C œ . Bß C  ." 0 B ß 0 C es equivalente a . . En particular si 0 À Q d es una
función real continua, la métrica 3 Bß C œ . Bß C  l0 B  0 C l es equivalente a la
métrica original de Q Þ
É Ñ Supongamos que Q es acotado en relación a cualquier métrica compatible con
su topología. En particular Q es acotado, aB,C − Q Ê 0 À Q d es una aplicación
real continua, como se sabe vale el recíproco del teorema de
Weierstrass entonces Q es compacto.
Ê ) Q es compacto sea . w una métrica cualquiera compatible con la topología de
Q , . w À Q ‚ Q d es continua (ya que Q ‚ Q es compacto) Ê . w Q ‚ Q es
compacto en d entonces . w Q ‚ Q es acotado de donde se sigue que . w es una
métrica acotada.
Nota: . w µ . Ê + À Q ß . w
Q Þ. es continua. Como Q es compacto entonces + es
uniformemente continua entonces . w es uniformemente equivalente a .Þ
…
62. Para que una sucesión ÖB8 ×8− en un espacio métrico compacto Q , sea
convergente es necesario y suficiente que ella posea exactamente un valor de
adherancia.
SOLUCIÓN. Ê ) Como ÖB8 ×8− es una sucesión en un espacio métrico compacto Q
entonces el espacio es secuencialmente compacto por lo tanto existe una
subsucesión ÖB85 ×5− convergente a algún B, por lo tanto B es un valor de
adherencia de la sucesión ÖB8 ×8− y exactamente único debido a que el límite es
único.
Darío Sánchez H.
105
TOPOLOGIA GENERAL
É ) Supongamos que ÖB8 ×8− posee exactamente un valor de adherencia B − Q Þ
Supongamos que ÖB8 ×8− no converge entonces existe %  ! tal que en µ Bß %
existe infinitos valores de B8 que no pertenecen a µ Bß % Þ
Q  µ Bß % es cerrado en Q entonces Q  µ Bß % es compacto. Por hipótesis existe
Ö885 ×5− una sucesión (la cual también es subsucesión de ÖB8 ×8− ) en Q  µ Bß %
Ê como Q  µ Bß % es un espacio métrico compacto admite una subsucesión
convergenteß supongamos que B853 Ä +. Como Q  µ Bß % es compacto en Q que
es métrico por lo tanto Q es un espacio de Hausdorff de donde + − Q  µ Bß %
entonces + Á B así ÖB8 ×8− posee más de un valor de adherenciapo. Luego
ÖB8 ×8− es convergente.
…
63. +
Muestre que cada subconjunto cerrado en un espacio métrico puede ser
obtenido como una intersección decreciente enumerable de abiertos.
, Muestre que esto no es verdad para cualquier espacio topológico.
SOLUCIÓN. + F" B ¨ F " B ¨ â ¨ F " B ¨ âß B − J §
 Qß . ß J œ J Þ
#
8
Sea E" œ
∪ F"
B−J
B ß E# œ
3) a8 "ß J § E8 así
33) Sea B −
∞
∩ E8
8œ"
F
∪ F B ß á ß E8 œ B ∪
B−J
−J
∞
J § ∩ E8
8œ"
"
#
"
8
B . Mostremos que J œ
∞
∩ E8
8œ"
entonces mostremos que . Bß J œ !ß así B − J .
Es suficiente mostrar que a %  ! existe C − J tal que . Bß C  % se escoge 8 tal que
"
"
"
8  %Þ Puesto que B − E8 , existe C − J tal que B − F C Ê . Bß C  8  %.
8
Sea E8 œ ÖC − Q à . Bß C  8" × Ê E8 es abierto y J § E8 .
Además C −
∞
∩ E8
8œ"
Ê . Cß J œ ! Þ Si J es cerrado, C − J Ê
∞
∩ E8 œ J .
8œ"
, Sea \ œ Ö+ß ,× C 7 œ Öøß \ß Ö+×× Ê Ö,× es cerrado y no se cumple + .
…
64.
Sea O" ¨ O# ¨ â ¨ O8 ¨ â una sucesión decreciente de subespacios
compactos de un espacio métrico Q . Dado cualquier abierto Y en Q , contenido en
la intersección O œ ∩ O8 , existe 8! tal que O8 § Y para todo 8 8! . Concluir que
la intersección de una sucesión decreciente de subconjuntos compactos conexos
de un espacio métrico, es un conjunto compacto y conexo. Dé un ejemplo de una
sucesión decreciente de subconjuntos cerrados conexos del plano cuya
intersección es disconexa.
Î Y entonces
SOLUCIÓN. + Supongamos que a8! − ß existe 8"  8! tal que O8" §
O8" ∩ Q  Y Á ø. Tenemos Y abierto entonces Q  Y es cerrado O8" sea
compacto en un espacio métrico Q por tanto Hausdorff . Análogamente existe
8#  8" tal que O8# §
Î Y y por lo tanto O8# ∩ Q  Y Á ø y cerrado en Q y O8# § O8"
entonces O8# ∩ Q  Y § O8" ∩ Q  Y . Prosiguiendo con ese raciocinio, tenemos
Darío Sánchez H.
106
TOPOLOGIA GENERAL
una sucesión decreciente de cerrados no vacíos de Q con la propiedad de la
intersección finita y por lo tanto
øÁ
∞
∩ O8
5œ"
5
∩ Q Y
œŠ
∩ O8 ‹ ∩
8œ"
∞
5
Q Y œO ∩ Q Y
pero esto po
es absurdo pues por hipótesis O § Y y por lo tanto
O ∩ Q  Y œ ø.
, O" ¨ O# ¨ â ¨ O8 ¨ â donde cada O8 es compacto y conexo contenidos en un
espacio métrico por lo tanto espacio de Hausdorff entonces O es cerrado. Entonces
∞
O œ ∩ O8 es cerrado en Q y por lo tanto cerrado en O" y siendo O" compacto se
nœ"
sigue que O es compacto. Supongamos que O no es conexo, ie, existen Eß F
cerrados de O no vacíos tales que O œ E ∪ F y E ∩ F œ ø entonces existe Ew , F w
abiertos de Q tales que Ew ¨ Eß F w ¨ F , como Eß F son compactos entonces
Ew ∩ F w œ ø y se tiene
O œ E ∪ F œ Ew ∩ O ∪ F w ∩ O œ Ew ∪ F w ∩ O § Ew ∪ F w
y Ew ∪ F w abierto en Q Þ Entonces por la parte + existe 8! tal que para todo 8 8!
O8 § Ew ∪ F w , esto es O8 está contenido en una reunión de dos abiertos disyuntos
entonces a8 8! , O8 es disconexo po lo cual es absurdo.
- Consideremos en d # la siguiente sucesión O8 decreciente de subconjuntos
cerrados conexos. O8 œ d #  P8 donde P8 œ rombo abierto sin frontera de vértices
 "ß ! ß !ß 8 ß "ß ! ß !ß  8 ß
a8 − . Entonces O œ
∞
∩ J8 œ d #  J ß
8œ"
donde J es
la franja de centro en el origen y radio " paralela al eje C, Luego O es disconexo.
…
65. En
un espacio localmente compacto, cuales de las siguientes afirmaciones de
abajo son verdaderas.
+ La reunión de dos conjuntos localmente compactos es localmente compacto.
, La intersección de dos conjuntos localmente compactos es localmente
compacto.
- El complemento de un conjunto localmente compacto es localmente compacto.
SOLUCIÓN. + Es falso. Tomemos para mostrarlo el siguiente conjunto: En d #
consideremos dos conjuntos E y Fà E cerrado y F abierto y E ∩ F Á ø. d # es
localmente compacto, E y F también son localmente compactos. Sea
: − 0 < E ∩ 0 < F , entonces cualquier bola con centro en : contiene una sucesión
Ö+8 ×8− , +8 − E tal que +8 Ä :w y :w  E ∪ F, esto es, cualquier vecindad de :
contiene sucesiones que convergen para puntos que están fuera de E ∪ F y por
lo tanto, E ∪ F no es localmente compacto
, Es falso. Tómese \ espacio que no sea localmente compacto y +ß , Â \ y
] œ \ ∪ Ö+ß ,×. Definimos
7]
œ Ö] ß \ ∪ Ö+×, \ ∪ Ö,×ß ø× ∪ 7\ ß
E œ \ ∪ Ö+×ß F œ \ ∪ Ö,× son compactos y localmente compactos pero \ œ E ∪ F
que por construcción no es localmente compacto.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
107
- Es falso. Consideremos en d # , que es localmente compacto, un conjunto
E œ ÖB − d # à lBl Ÿ "×  Ö:× donde : − 0 < H , siendo H el disco unitario. E es
localmente compacto pues aB − E, b%  !; : Â F Bß %
Afirmación: E ∩ F Bß %
es compacto y por consiguiente es una vecindad
compacta de BÞ Sea C un punto de acumulación de E ∩ F Bß % entonces C es punto
de acumulación de E y de F Bß % y por ser F Bß % cerrado, C − F Bß % . Supongamos
que : no sea punto de acumulación de E y de F Bß % entonces : no es punto de
acumulación de E ∩ F Bß % , : Á C entonces C − E Ê C − E ∩ F Bß % . Esto muestra
que E ∩ F Bß % contiene todos sus puntos de acumulación y por lo tanto es cerrado
y acotado en d # luego localmente compacto. Por otro lado d #  E no es
localmente compacto pues cualquier vecindad de : contiene una sucesión
ÖB8 ×8− , B8 − d #  Eß B8 Ä B! y B! − 0 < H , por consiguiente B! Â d #  E esto es
cualquier vecindad de : posee una sucesión sin subsucesiones convergentes por
lo tanto no existe una vecindad compacta de : en d #  E.
…
66.
La imagen de un espacio localmente compacto por una aplicación continua
abierta es un espacio localmente compacto. Dé un ejemplo de una aplicación
continua 0 À d d # tal que 0 d no sea localmente compacto.
SOLUCIÓN. + Sea 0 À \ ] una aplicación continua abierta, \ localmente compacto
esto es, para todo B − \ existe ZB vecindad compacta de B. Mostremos que 0 \ es
localmente compacto, esto es para todo C − 0 \ existe una vecindad compacta de
C.
C − 0 \ entonces existe B − \ tal que C œ 0 B . Sea ZB vecindad compacta de B la
cual existe por hipótesis, siendo 0 continua 0 ZB es compacto que contiene a C,
0 ZB es así una vecindad de C pues por ser ZB vecindad de B existe E abierto en \
tal que B − E § ZB además 0 E § 0 ZB y como 0 es una aplicación abierta 0 E es
abierto y se tiene C œ 0 B − 0 E § 0 ZB • 0 ZB es compacto, entonces 0 \ es
localmente compacto.
, Ejemplo: Sea la aplicación 0 À d d # continua. Fijemos D − W " , si α − d   se
define
:À™
W"
8 È /#13α8 D
Sea : 8 œ T8 ß : 8  " œ T8" , sea T8 T8" œ segmento T8 T8" 0 À d d # será
 Þ T8 T8" en el disco H !ß " œ Ö Bß C − d # ÎB#  C # Ÿ "× 0
entonces tal que 0 lÒ8ß8"Ó Þ œ
es continua. d es localmente compacto pero todo punto de 0 d digamos
T8 œ /#138α D existe una vecindad de T 8 (densa) donde toda sucesión de puntos
no admite subsucesión convergente.
…
67.En un espacio topológico con base enumerable, toda base tiene una sub-base
enumerable.
Darío Sánchez H.
108
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN. Sea F œ ÖF8×8− una base enumerable de \ . Sea
cada 8 − , F8 − F Ê F8 es abierto en \ entonces F8 œ
7
una base de \ . Para
∪ Gα Ê
G −7
α
Å
ÞÞ
\ /= P38./690
F8 œ
∞
∪
3œ"
G 83 .
G83 − 7
Así dado cualquier E abierto en \ Ê E œ F" ∪ F# ∪ â ∪ F8 ∪ â de donde se recibe;
Eœ ∪
G8" ∪ â ∪ G87 ∪ â ß reunión numerable de los G83 . Luego 77 œ Ö G87 × es
8
una base enumerable de \ donde G83 − 7 .
…
68.Sea W
un subconjunto denso de un espacio topológico \ y µ una colección de
abiertos de \ tal que µW œ ÖF ∩ Wà F − µ× es una base de W . ¿Es µ necesariamente
una base de \ ?
SOLUCIÓN. La respuesta es no, pues si E es abierto en \ y B − E entonces existe
F ∩ W − µW tal que B − F ∩ WÞ Sea \ œ Ò!ß "Óß W œ !ß " ß sea µ base de abiertos para
W . µ œ ÖF ˆBß 8" ‰×ß µW es base de W . Tenemos W œ \Þ Ò!ß #" Ñ abierto en µ y no existe
F8 tal que Ò!ß "# Ñ œ ∪ F8 de donde µ no es base de \Þ
…
69.Sea \ un espacio tal que es Hausdorff, separable, I" entonces #\ Ÿ C
cardinal del continuo
SOLUCIÓN. Sea I œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × un subconjunto denso en \ . Si B − \ entonces
B es un punto de acumulación de I ß oß B − I Þ
Si B − I consideramos las aplicaciones \ c I Þ Si B  I entonces B − I w œ CI y
BÈ B
como \ es I" y de Hausdorff entonces B œ lim B84 ß B84 Á B83 en ese caso
4Ä∞
B Â I È ÖB8" ß B8# ß á ß B83 ß á × Þ Definiéndose así una función inyectiva de \
Como # c I œ ##I œ C se sigue que # \ Ÿ # c I œ C .
….
70.Sea
c I .
Q un espacio métrico con base enumerable y ¹ una colección de
subconjuntos cerrados de Q con la siguiente propiedad: La intersección de toda
sucesión decreciente J" ¨ J# ¨ â ¨ J8 ¨ â de conjuntos J8 − ¹, aún pertenece a
¹. Entonces existe un conjunto J − ¹ tal que ningún subconjunto propio de J
pertenezca a ¹. (conocido como el "teorema de reducción" de Brouwer).
abierto para cada J − ¹. ´ œ ÖQ  J ×J −¹ si
SOLUCIÓN. Sea E œ Q  J
E" § E# § â § E8 § â entonces mostremos que ∪ E8 − ´. Se debe probar que
existe E − ´ tal que E es máximo en ´. Aplicando el lema de Zorn. Basta probar
que ´ es un conjunto inductivo superiormente, esto es, si ÖE- ×-−P es una familia
linealmente ordenada de elementos de ´ entonces ∪ E- − ´. Por el teorema de
∞
..
Lindelof existe E-" ,E-# ,á ,E-8 ,á tal que ∪ E-8 œ ∪ E- .
Tomando
8œ"
-−P
E"w œ E-" ß E#w œ E-" ∪ E-# ß á ß E8w œ E-" ∪ E-# ∪ â ∪ E-8
Darío Sánchez H.
se tiene
109
TOPOLOGIA GENERAL
E"w § E#w § â § E8w § â. Ahora E8w − ´
y
∞
∪ E8œ"
8
œ
∪ E- − ´.
Por el
lema de Zorn existe E − ´ tal que E es máximo. Tómese J œ Q  E.
…
71.En
un espacio métrico Q ß las siguientes condiciones son equivalentes:
+ Q tiene base enumerable. , Todo conjunto no enumerable tiene un punto de
acumulación. - Toda colección de abiertos disyuntos es enumerable.
SOLUCIÓN. Tomemos una proposición auxiliar: = Q es separable
+ Ê = Q espacio métrico con base numerable entonces por un resultado básico
¿cuál? tenemos que Q es separable.
= Ê - Si Q es separable, esto significa que \ posee un subconjunto denso
enumerable
H œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á ×.
Sea ÖE8 ×8− una colección de abiertos
disyuntos (dos a dos): Como todo abierto en \ contiene por lo menos un punto
en H, entonces para cada E8 existe por lo menos un punto B8 − E8 y B8 − HÞ
Construyamos la siguiente aplicación : À ÖE8 ×8− H
tenemos: E8 Á E7
E8 È B8
Ê E8 ∩ E7 œ ø entonces B8 Á B7 por lo tanto : es biunívoca. Como H es
enumerable infinito entonces ÖE8 ×8− es enumerable.
Corolario. + Ê - . Pues + Ê = • = Ê - Ê , Supongamos que toda colección de abiertos disyuntos, es enumerable.
Sea \ conjunto no enumerable. Admitamos que \ no tiene punto de acumulación
entonces "todo subconjunto de \ es cerrado". En esta forma aB − \ , ÖB× es
abierto, B Á C,ÖB× ∩ ÖC× œ ø y así los conjuntos ÖB×ß B − \ , forman una colección de
abiertos disyuntos entonces ÖB× B−\ es enumerable por lo tanto \ es enumerable,
lo cual es contradictorio po con la elección de \ . Luego \ contiene un punto de
acumulación.
, Ê = Si Q no es separable entonces todos los subconjuntos enumerables no
son densos, entonces existe un subconjunto no enumerable sin puntos de
acumulación, pues si todo subconjunto no enumerable tiene puntos de
acumulación entonces podríamos extraer subconjuntos enumerables teniendo
punto de acumulación entonces así obtenemos subconjuntos enumerables densos.
= Ê + Esto es un consecuencia del siguiente resultado básico:
Las siguientes afirmaciones son equivalentes en espacios métricos:
..
+ Q tiene base enumerable , Q es un espacio de Lindelof - Q es separable.
El anterior resultado se encuentra en cualquier libro de Topología general, por
ejemplo en el de José M. Muñoz, edición del 2003, publicación de la Academia
Colombia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales.
…
72.Dar un ejemplo de un espacio de Hausdorff sin base enumerable en el cual
todo subconjunto posee un punto de acumulación.
SOLUCIÓN. Sea ^ un conjunto no enumerable bien ordenado teniendo último
elemento. Indicaremos con H el menor elemento de ^ tal que el conjunto
Darío Sánchez H.
110
TOPOLOGIA GENERAL
\ œ ÖB − ^à B Ÿ H× es no enumerable. Considere en \ la topología del orden. \ es
un espacio de Hausdorff, existe E abierto en \ conteniendo a H y todo I conjunto
enumerable, tenemos E ∩ I œ ø, entonces \ no posee base enumerable y \ no
es separable, así todo subconjunto infinito de \ tiene punto de acumulación, esto
según un resultado básico ¿cuál?.
…
73.Un "punto de condensación" de un conjunto W en un espacio topológico \ es un
punto B − \ tal que para toda vecindad Z de Bß Z ∩ W tiene el mismo número
cardenal que W . En un espacio con base enumerable, todo conjunto no enumerable
contiene un punto de condensación. Sustituyendo "contiene" por "posee" en este
enunciado, basta suponer que el espacio es de Lindelöf.
SOLUCIÓN. El espacio tiene base enumerable entonces por ser el espacio de Lindelöf
todo recubrimiento de \ admite un subrecubrimiento enumerable. Sea W un
subconjunto no enumerable sin punto de acumulación esto significa que
aB − W ,bZB tal que ZB ∩ W es enumerable, como todo subconjunto de \ también
tiene base enumerable se sigue que
∞
W§
ZB ∩ W Ê W § ∪ Z 8 ∩ W .
 B∪
8œ"
−W
Así W esta contenido en un conjunto enumerable esto implica que W es enumerable
lo cual está contra la hipótesis dada para Wpo obteniéndose una contradicción. Así
W contiene un punto de acumulación. Análogamente se procede en el caso de ser
\ un espacio de Lindelöf pues en realidad este ha sido el argumento usado en la
prueba antes descrita.
Caso general: Por contradicción supongamos que ningún B − W es punto de
acumulación de \ Ê aB − W , bZB tal que # Z ∩ W  # W
W § ∪ ZB ∩ W Ê W §
Z" ∩ W ∪ Z # ∩ W ∪ â

B−W
Å
W es Lindelöf
Así W es una reunión enumerable de conjuntos que tienen cardenal menor o igual
al cardenal de W , en otras palabras W esta contenido en un conjunto cuyo cardinal
es menor que el cardinal de W . \ entonces no posee base enumerable, se sabe por
un resultado básico ¿cuál? que \ es localmente compacto entonces todo conjunto
infinito posee punto de acumulación po.
…
74.Un
conjunto abierto y una imagen continua de un espacio separable es
separable. El producto de dos espacios separables es separable. Un subconjunto
cerrado de un espacio separable puede no ser separable (ver ejercicio 81 , más
adelante)
SOLUCIÓN. 3) \ separable Ê b I subconjunto enumerable denso en \Þ Sea F
abierto en \ entonces F ∩ I Á ø además F ∩ I es denso en F ya que
ZF ∩ I œ F ∩ Z\ ∩ I Á ø para todo abierto ZF en F por lo tanto F ∩ I œ F por otra
Darío Sánchez H.
111
TOPOLOGIA GENERAL
parte # F ∩ I Ÿ # I . Luego F ∩ I es enumerable, ya que I lo es y F es
separable.
33) Sea 0 À \ ] una aplicación continua y \ separable. Sea I un subconjunto
denso en \ , Como 0 es continua se tiene que 0 \ œ 0 ˆI ‰ § 0 I . Luego
0 I œ 0 \ ß ahora # 0 I Ÿ # I por lo tanto 0 I es un subcojunto enumerable
denso en 0 \ . Luego 0 \ es separable.
333) Sean \ß ] separables así existen I" y I# enumerables tales que I " œ \ y
I # œ ] ahora I" ‚ I# es enumerable, ya que el producto cartesiano de un número
finito
de
conjuntos
enumerables
es
enumerable
y
se
tiene
I" ‚ I# œ I " ‚ I # œ \ ‚ ] , esto es \ ‚ ] es separable.
[email protected]) Si J es un conjunto cerrado y \ es separable entonces existe I enumerable tal
que I œ \ . Ahora J ∩ I es enumerable, J ∩ I § J pero en general J §
/ I ∩J .
Luego J puede no ser separable.
…
75.Un
subconjunto cerrado y una imagen continua de un espacio de Lindelöf son
espacios de Lindelöf. El producto de espacios de Lindelöf puede no ser de Lindelöf
(ver ejercicio 81 , , más adelante)
SOLUCIÓN. 3) Sea Æ œ ÖJ-E ×-−P un recubrimiento abierto de un subconjunto
cerrado E de \ , esto es ∪ J-E ¨ Eß entonces Æ œ ÖJ-\ ∩ E×-−P donde ÖJ-\ ×-−P es
una familia de abiertos en \ . Sea Ƈ œ šˆJ-\ ‰-−P à \  E› esta es una familia de
-−P
Š
abiertos en \ tales que
∪
\
J
-−P -
‹∪ \E ¨

Å
E∪ \E œ\
J-\ ¨ J-E œ J-\ ∩ E
Luego Ƈ es un recubrimiento abierto de \ por hipótesis \ es un espacio de
Lindelöf por lo tanto existe un subrecubrimiento enumerable Ƈ! œ šˆJ-\8 ‰8− ß
\  E›. Ahora tenemos
ˆJ-\ ‰ ∪ \  E ‹ ∩ E œ ∪ ŠJ-\ ∩ E‹ ∪
Š 8∪

−
8−
ðóóóóóóóñóóóóóóóò
8
8
∪
E œ\∩E
Por lo tanto E §
J-E8
 8∪
−E 
\E ∩E œ
∪
E
J
8 −  -8
por lo tanto E es un espacio de Lindelöf.
J-8 − Æ
33) Sea 0 À \ ] una aplicación continua y \ un espacio de Lindelöf. Sea
Æ œ ÖR- ×-−P un recubrimiento abierto de 0 \ o sea ∪ R- ¨
 0 \ . Entonces
R- − Æ
Ƈ œ Ö0 " R- ×-−P es una colección de abiertos en \ ya que 0 es continua, por otra
parte
∪
0 " R- œ 0 " Œ
R- − Æ
∪
R-
R- − Æ
"
¨
0 0 \
¨
\
Luego Ƈ es un recubrimiento abierto de \ . Por hipótesis \ es un espacio de
Lindelöf entonces existe un subrecubrimiento numerable Ƈ! de Ƈ tal que
Darío Sánchez H.
y
Ƈ! œ Ö0 " R-8 ×8−
Ahora
112
TOPOLOGIA GENERAL
0 \ œ0 Š
∪
0 " R-8 ‹ œ
8−
∪
∪
0 " R-8 œ \ .
8−
0 0 " R- 8
8−
R-8 − Æ
§

∪− 
8
R -8
R-8 − Æ
Luego ÖR-8 ×8− es un subrecubrimiento enumerable de Æ por tanto 0 \ es un
espacio de Lindelöf.
…
76. Supongamos que \
es un espacio de Hausdorff, O § \ß O compacto y : − CO .
Entonces existen abiertos Y y [ tales que : − Y , O § [ y Y ∩ [ œ ø.
SOLUCIÓN. Si ; − O , el axioma de separación de Hausdorff implica la existencia de
abiertos disyuntos Y; y Z; tales que : − Y; y ; − Z; . Puesto que O es compacto,
existen
puntos
;" ß ;# ß á ß ;8 − O
tales
que
O § Z ;" ∪ â ∪ Z ;8 .
Nuestros
requerimientos son satisfechos por los conjuntos
Y § Y ;" ∩ â ∩ Y ;8 y [ œ Z ;" ∪ â ∪ Z ;8
…
77.Si ÖOα × es una colección de subconjuntos compactos de un espacio de
Hausdorff y si ∩
Oα œ ø, entonces alguna subcolección de ÖOα × que también tiene
α
intersección vacía.
SOLUCIÓN. Tomando Zα œ COα . Fíjese un miembro O" de ÖOα ×. Puesto que ningún
punto de O" pertenece a cada Oα , ÖZα × es un recubrimiento abierto de O" Þ Por lo
tanto O" § Zα" ∪ â ∪ Zα8 para alguna colección finita ÖZα3 ×3− . Esto implica que
O" ∩ Oα" ∩ â ∩ Oα8 œ ø .
…
78.Todo espacio normal de Hausdorff es un espacio regular. Todo espacio regular
de Hausdorff con la propiedad de Lindelöf es normal. Existen espacios de
Hausdorff regulares (aún localmente compactos) que no son normales. El espacio
\ œ Ö!ß "×ß con la topología 7 œ Öøß Ö"×ß \× es normal pero no es regular.
SOLUCIÓN. 3) \ es normal de Hausdorff entonces \ es regular, en efecto B − \ tal
que B Â J y J cerrado, entonces ÖB× es cerrado como \ es normal existe Z ® B y
Y ¨ J abiertos tales que Z ∩ Y œ ø. Luego \ es regular.
33) Sean J y K subconjuntos de \ , cerrados y disyuntos. Para cada B − J se tiene
que B  K, luego existe un abierto YB con B − YB y Y B ∩ K œ ø pues \ es regular.
Como \ es de Lindelöf, J es un espacio de Lindelöf por ser J cerrado (ver
problema 75) por lo tanto todo recubrimiento J § ∪ YB admite un
subrecubrimiento enumerable J §
∪ Y8 .
8−
B−\
De la misma manera existe un subrecubrimiento abierto enumerable K §
∪
Z8
8−
tal que Z 8 ∩ J œ ø para todo 8. Consideremos ahora para cada 8 −  los
subconjuntos
abiertos
E8 œ Y8  ˆZ " ∪ Z # ∪ â ∪ Z 8 ‰
y
Darío Sánchez H.
113
TOPOLOGIA GENERAL
F8 œ Z8 ˆY " ∪ Y # ∪ â ∪ Y 8 ‰. Formemos los conjuntos E œ
∪
E8 y F œ
8−
∪
F8 , así
8−
los conjuntos Eß F son abiertos pues cada uno de los E8 y F8 son abiertos
Se tiene: + J § E y K § F .
En efecto si B − J entonces B − Y8 para algún 8 − . Como Z " ß Z # ß á ß Z 8 no
contienen puntos de J debe ser B − E8 de donde B − E. La inclusión K § F es
análoga.
, Finalmente afirmamos que E ∩ F œ ø. Para eso se debe mostrar que E7 ∩ F8 œ ø
siendo 7ß 8 −  arbitrarios. Por consiguiente, basta que E7 ∩ F7: œ ø. Ahora si
B − E7 entonces B − Y7 . Por otro lado si B − F7: entonces B Â Y " ß á ß Y 7: y en
particular B  Y7 . Luego E7 ∩ F7: œ ø; esto concluye la demostración.
…
79.Sean
J y K subconjuntos compactos disyuntos de un espacio de Hausdorff
localmente compacto \ . Existe una función continua 0 À \ Ò!ß "Ó tal que 0 J œ !ß
0 K œ "Þ
SOLUCIÓN. Lema: Sea Y un abierto en un espacio localmente compacto de Hausdoff
\ß J § Y y O compacto. Entonces existe un abierto Z cuya adherencia es
compacta tal que O § Z § Z § Y .
Puesto que cada punto de O tiene una vecindad compacta cerrada, y puesto que O
es recubierto por una reunión finita de vecindades, O está colocado dentro de un
conjunto K cuya cerradura es compacta. Si Y œ \ , tómese Z œ K. En caso
contrario sea G el complemento de Y mostremos que para cada : − G existe un
abierto [: tal que O § [ : y : Â [ : como se hizo en el problema 76 .
Puesto que ÖK ∩ G ∩ [ : × cuando : recorre G es una colección cuya intersección es
vacía. Entonces existen puntos :" ß : # ß á ß :8 − G tal que G ∩ K ∩ [ :" ∩ â ∩ [ :8 œ ø
(ver el problema 77). El conjunto Z œ K ∩ [:" ∩ â ∩ [:8 tiene la propiedad
requerida, puesto que
Z § K ∩ [ :" ∩ â ∩ [ :8 § Y .
En cuanto al problema 79 tenemos Z compacto como \ es un espacio de
Hausdorff entonces Z es un espacio normal, por lo tanto tomando Y œ \K
entonces J § Y , por el lema, existe un abierto Z cuya adherencia es compacta y
tal que O § Z § Z § Y . Como dijimos Z es normal, por el lema de Urysohn existe
0 À Z Ò!ß "Ó continua tal que 0 J œ ! y 0 ˆZ  Z ‰ œ ". Extendemos esta función 0
a \ en la siguiente forma:
1 B œ" ß si B−\Z
1 À \ Ò!ß "Ó tal que Š 1 B œ0 B ß si B−Z ‹. Así 1 J œ 0 J œ !ß • ß 1 K œ " pues
K § \  Z dado que Z § Y pero Y œ \  K Ê \  Z ¨ CCK œ K.
…
80.Para
que un subconjunto cerrado J de un espacio normal \ sea un K$
(intersección enumerable de abiertos) es necesario y suficiente que exista una
función continua 0 À \ Ò!Þ"Ó tal que J œ 0 " ! . Dar un ejemplo de un punto en un
espacio de Hausdorff compacto que no sea un K$Þ
Darío Sánchez H.
114
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN. Ê Ñ Sea J un conjunto K$ entonces J œ
∞
∩ E8 ß para cada 8ß :8 À \
8œ"
Ò!ß "Ó
continua tal que :8 J œ !ß :8 \  E8 œ ", :8 siempre existe pues \ es normal y
se aplica para cada 8 el lema de Urysohn sea 0 B œ
el criterio de Weierstrass se tiene
¹
Ahora
sea
B−J
"
"
B−0 ! ÊJ 
§0 ! .
:8 B
¹Ÿ
#8
8œ"
∞
∞
8œ"
l :8 B l

#8
8œ"
entonces
Recíprocamente sea B − 0 " ! Ê 0 B œ
∞
:8 B
#8
, 0 es continua pues por
∞
"
  ∞Þ
#8
8œ"
:8 B œ !ß a8 Ê 0 B œ !,
∞
8œ"
:8" !
:8 B
#8
entonces
œ !, esto implica que
:8 B œ !ß a8 Ê B −
ß a8
"
entonces B − J de donde J œ 0 ! Þ
É ) Supongamos que existe 0 À \ Ò!ß "Ó tal que J œ 0 " ! .
Tómese E8 œ ÖB − \Î0 B  8" × el cual es un conjunto abierto para todo 8, ahora
∞
∩ E8 œ ÖB − \Î0
8œ"
B œ !× œ 0 " ! œ J
y J es un conjunto K$ .
…
81.Consideremos las siguientes propiedades relativas a un espacio topológico \:
FI \ tiene base enumerable.
W
P
\ es separable
\ es un espacio de Lindelöf
G Toda colección de abiertos disyuntos en \ es enumerable.
Valen entonces las implicaciones indicadas en el diagrama
FI Ä W  œ ÖF8 ×8− , L œ ÖB" ß B# ß á ×ß B8 − F8 . Sea E abierto B − E,
entonces F8 −  tal que B − F8 § E Ê B8 − E de esta manera L es denso ya
que L ∩ E Á ø.
FI Ä G Sea ÖE8 ×8− una colección de abiertos disyuntos dos a dos E œ ∪ E8
SOLUCIÓN.
b
8−
es abierto en \ entonces E tiene base enumerable (esto por un resultado básico
¿cuál?) cuyos abiertos son sus propios elementos, luego E es enumerable.
FI Ä P Sea  œ ÖF8 ×8− , ÖG- ×-−P un recubrimiento abierto de \ .
Darío Sánchez H.
Sea T œ Ö: − 
Ê B − F : § G -: .
115
TOPOLOGIA GENERAL
tal
Se
que F: § G- × y B − \ entonces b - − PÎB − G- abierto
sigue entonces que \ § ∪ G-: § \ Ê \ œ ∪ G-: es
:−
:−
enumerable.
W Ä G Si W es separable entonces W posee un subconjunto enumerable denso
H œ ÖB" ß B# ß á ×. Sea ÖE8 ×8− una colección de subconjuntos abiertos dos a dos
disyuntos. Como todo abierto en \ , contiene por lo menos un punto de H
entonces para cada E8 existe por lo menos un B8 − E8 B8 − H . Construyamos la
siguiente aplicación
: À ÖE8 ×8−
H .
E8 È B8
Tenemos E8 Á E7 Ê E8 ∩ E7 œ ø. Luego B8 Á B7 , en esta forma : es biunívoca.
Como H es enumerable infinito entonces ÖE8 ×8− es enumerable.
Î G Contra-ejemplo; considérese la compactificación de un espacio
P Ä
s es compacto Ê Q
s es de Lindelöf. Pero sus puntos
discreto Q no enumerable Q
forman una familia de abiertos disyuntos que no es enumerable.
Î W Sea ^ un conjunto no enumerable bien ordenado teniendo último
P Ä
elemento. Indicaremos con H el menor elemento de ^ tal que el conjunto
\ œ ÖB − ^à B Ÿ H× es no enumerable, \ es compacto entonces todo recubrimiento
admita un subrecubrimiento finito por tanto \ es un espacio de Lindelöf. Ya fue
visto en otro problema ¿cuál? que \ no es separable.
…
82.
+ Sea \ un conjunto no enumerable con la topología cuyos abiertos son el
vacío y los complementarios de las partes enumerables de \ . Entonces \ es de
Lindelöf pero \ no es separable.
, Sea \ una recta, provista de la topología cuya base es formada por los
intervalos semi-abiertos a derecha tal como Ò+ß ,ÑÞ Los abiertos básicos son
también cerrados en \ . Entonces \ es un espacio de Lindelöf, Hausdorff,
I" ß separable y normal.
SOLUCIÓN. + Sea ∪ G- un recubrimiento abierto de \ . Sea B" − \ entonces B"
-−P
pertenece a algún G" abierto entonces el complementario de G" es enumerable, sea
ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á ×
entonces
existe
G# ® B# ß á ß existe
G8 ® B8 ß á entonces
G" ∪ G# ∪ â ∪ G8 ∪ â es un recubrimiento enumerable de \ entonces \ es Lindelöf.
Sea
H œ ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × conjunto
enumerable
en
\
entonces
E œ \  ÖB" ß B# ß á ß B8 ß á × es abierto en \ , entonces existe un abierto E en \ tal
que E ∩ H œ ø Ê H no es denso, H no es denso entonces \ no es separable pues
cualquiera que sea el conjunto H enumerable en \ , no es denso en \Þ
, El complementario de Ò+ß ,Ñ es Ò,ß  ∞Ñ ∪  ∞ß + abierto en \ . Luego \ es
regular pues los abiertos básicos serán cerrados en \ .
\ es Hausdorff: Para todo Bß C − \ , B Á C, B − ÒBß CÑ y C − ÒCß  ∞Ñ son abiertos
disyuntos.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
116
\ es I" À Para cada B − \ß ZB =ÖÒBß B  8" Ñà 8 − × es un sistema fundamental de
vecindades enumerables para Bß pues para todo abierto Ò+ß ,Ñ conteniendo a B existe
%  ! tal que ÒBß B  %Ñ § Ò+ß ,Ñ,
entonces existe 8 −  tal que 8"  % ,
B − ÒBß B  8" Ñ § Ò+ß ,Ñ y Z" ¨ Z# ¨ â ¨ Z8 ¨ â
Z8 œ ÒBß B  8" Ñ.
\ es
separable: Como \ es I" entonces cada punto posee un sistema
fundamental de vecindades enumerables, de donde \ es un espacio topológico
con base enumerable, entonces por un resultado básico ¿cuál? \ es separable.
\ es Lindelöf: Sea ÖG- ×-−P un recubrimiento abierto de \Þ Se define
c œ supÖB − Ò+ß ,Ó § \à Ò+ß BÓ § G-" ∪ â ∪ G-8 ∪ â× œ supE
Esto es : conteniendo una reunión enumerable de elementos del recubrimiento.
E Á ø pues + − EÞ Supongamos que c  ,, como los abiertos son definidos a
derecha, tenemos que existe G-8 conteniendo c tal que la derecha de c es aún
cubierta por G-8 ß existiría otro Bß c  B , lo cual implicaría que c no es el sup
Ê c œ ,.
Entonces Ò+ß ,Ó es cubierto por una cantidad enumerable de abiertos ÖG- ×-−P Þ La
recta \ œ ∪ Ò8ß 8  "Ó. Luego ella es toda cubierta por una reunión enumerable de
8−
abiertos G- entonces \ es un espacio de Lindelöf.
\ es normal: En efecto \ es de Hausdorff, regular y de Lindelöf luego según el
problema 78, \ es normal.
…
83. El plano \ ‚ \
en el cual las vecindades de un punto +ß , son los cuadrados
semi-abiertos Ò+ß +  %Ñ ‚ Ò,ß ,  %Ñ. Entonces \ ‚ \ hereda las propiedades del
problema anterior parte , , esto es I" ß separable, de Hausdorff y regular (ya que
sus abiertos básicos son cerrados) pero, \ ‚ \ no es un espacio de Lindelöf.
SOLUCIÓN. En efecto en la recta C œ  B ¿es un conjunto cerrado?. Si pues su
complemento es abierto, pues para cada punto B en \ ‚ \  C ˆ B l ‰ es abierto
contenido en él.
¿Es un conjunto discreto? Si, pues todos sus puntos son abiertos (la intersección
de abiertos de \ ‚ \ con la recta es un punto abierto )
¿Es un conjunto no enumerable de \ ‚ \ ? Si, siendo cada punto un abierto
entonces el conjunto formado por todos sus puntos es un recubrimiento abierto
para \ , C œ  B es homeomorfo a \ (por una rotación) entonces C œ Þ  B
es
no enumerable. Entonces no se puede extraer un subrecubrimiento finito.
…
84. Un espacio métrico tiene base enumerable si y sólo si es homeomorfo a un
subconjunto de un espacio métrico compacto.
Darío Sánchez H.
117
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN. Ê ) Si Q es un espacio métrico con base enumerable, entonces Q es un
espacio métrico normal, de Hausdorff I" entonces por el teorema de metrización
de Urysohn Q es homeomorfo a un subespacio del cubo de Hilbert GÞ Se sabe que
G es compacto por ser homeomorfo a # Ò!ß "3 Ó y es métrico por ser un subconjunto
∞
3œ"
cerrado del espacio de Hilbert LÞ
É ) Supongamos ahora que Q es homeomorfo a un subconjunto de un espacio
métrico compacto entonces Q es un espacio de Lindelöf entonces por un
resultado básico ¿cuál? tiene base enumerable.
…
85.El producto cartesiano \ ‚ \ de ejercicio 83 no es un espacio normal.
SOLUCIÓN. Sean
J œ Ö <ß  < − \ ‚ \à < − × es cerrado en \ ‚ \
K œ Ö )ß  ) à ) − d  × es cerrado en \ ‚ \ y J ∩ K œ ø
Lema: Sea ] un espacio de Baire piense en K , Sea 0 À ] d  una función
cualquiera Entonces existe un 8 −  y un abierto Y § ] tal que ÖC − Y à 0 C 8" ×
es denso en Y .
Según el lema se tiene que K § E abierto en \ ‚ \ donde E œ C\‚\ J Þ Sea
C œ )ß  ) − K
0 ÀK
d
CÈ
0 B œ lado de un cuadrado contenido en E
por el lema existe M œ intervalo en la recta y un 8 −  tal que ÖC − Mà 0 C  8" × es
denso en M , B œ <ß  < § M ß B œ lim C3 ß 0 C 8"
Prueba del lema: ] œ
∞
∪
C3 −K
W 8 entonces alguno de los W8 es tal que 38>W 8 Á ø
8œ"
Ê W8 œ ÖC − ] à 0 B 8" × ß entonces b Y § 38>W8. Luego ÖC − Y à 0 C 8" × es denso en
YÞ
…
86.Sea K un grupo topológico conexo. Si una vecindad del elemento neutro de K
posee base enumerable, entonces K tiene base enumerable.
SOLUCIÓN. Sea Z 8 œ ÖB" † B# † B$ † â † B8 ÎB3 − Z ×, y 0 À K ‚ K K una función continua
abierta 0 E ‚ F œ ∪ B † F . Ahora la operación -B À K
K
es continua y
B−E
C È -B C œ B † C
tiene un inverso -B " œ -B" también continua por lo tanto es un homeomorfismo
así 0 E ‚ F es abierto por ser reunión de abiertos.
Por lo tanto Z 8 es abierto para cada 8 − . Sea K un grupo topológico conexo y Z
una vecindad del elemento neutro de KÞ Entonces Z genera a K. Lo cual es un
"corolario del siguiente hecho": Un subgrupo L § K o tiene interior vacío o es
abierto de donde cerrado , en efecto
2 − 38>L así
2−[ §L
tomando
"
2 2 5 œ 5ß
$2" 5 À K homeomorfo K ,
$2" 5 L œ L , $2" 5 B œ B2 " 5 ,
2
È
5
$2" 5 [ œ [ î
2 " 5
abierto
Vecindad de h
§L
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
Todo subgrupo abierto es cerrado
K •L œ
∪
BÂL
118
BL es abierto. Sea L œ subgrupo
generado por Z vecindad del neutro / − Z § L Ê / es un punto interior de Lß
entonces L es abierto y cerrado Ê L œ KÞ
∪
Z 8 œ el conjunto de los elementos del grupo que se pueden obtener como un
8−
producto de elementos de Z .
Ahora Z " œ ÖB" à B − Z × es una vecindad del elemento neutro. Sea
[ œ Z ∩ Z " es una vecindad de / y [ œ [ " se puede admitir que Z es
simétrica o sea Z œ Z " . En ese caso K œ ∪ Z 8 . Cada Z 8 tiene base enumerable.
Luego K tiene base enumerable, por ser la aplicación Z 8 œ ðóóóóóóóñóóóóóóóò
Z ‚Z ‚â‚Z
8−
continua, abierta y sobre.
…
87.Sea 0 À \
n-veces
Z ,
] una aplicación continua de \ en ] . Con el fin de que 0 sea cerrada
es necesario y suficiente que, para todo punto C − ] y todo abierto Y en \ con
0 " C § Y , exista un abierto Z en ] tal que C − Z y 0 " Z § Y Þ
SOLUCIÓN. Ê )Supongamos que 0 sea cerrada y sean C − ] y Y abierto en \ tal que
0 " C § Y Þ Como Y es abierto entonces \  Y es cerrado de donde 0 \  Y es
cerrado en
] esto implica que ]  0 \  Y
es abierto en ] y
C − ]  0 \  Y œ Z . Probemos que 0 " Z § Y Þ
B − 0 " Z Ê 0 B − Z por lo tanto 0 B Â 0 \  Y Ê B Â \  Y por lo tanto B − Y .
É ) Supongamos ahora que la propiedad de arriba es válida, sea E cerrado en \ y
mostremos que 0 E es cerrado en ] , esto es, ]  0 E es abierto.
Si C − ]  0 E , entonces 0 " C § \  Eß
pues si B − 0 " C ß
entonces
0 B œ C − ]  0 E Ê 0 B  0 E de donde B  E Ê B − \  E.
Como \E es abierto, por la hipótesis existe un abierto Z en ] tal que C − Z y
0 " Z § \  E entonces C − Z § ]  0 E (pues si , − Z ∩ 0 E , tenemos que , − Z
0 +
y , œ Š +−E
‹ y entonces 0 " , ∩ E contiene a + − E y por lo tanto
0 " , ∩ E Á ø Ê 0 " Z ∩ E Á ø po lo cual es contradictorio).
Luego, para todo punto
C de ]  0 E , existe un abierto Z tal que
C − Z § ]  0 E de donde se sigue que ]  0 E es abierto. (Ver otra
demostración de este resultado usando otro método en el problema 13).
…
88. +
Sea 0 À \ ] una aplicación cerrada de \ sobre ] . Dado C − ] y un abierto
F en \ , con 0 " C § Fß 0 F es una vecindad de C.
, Si Q es un espacio métrico compacto y 0 À Q ] es una aplicación continua
sobre un espacio de Hausdorff, entonces ] es metrizable.
SOLUCIÓN. + Por el problema 87 anterior, tenemos que si 0 À \ ] es cerrado
Í aC − ] y aY abierto en \ con 0 " C § Y entonces existe un abierto Z en ] tal
que C − Z y 0 " Z § Y . Así C − ] y F es un abierto en \ con 0 " C § F por lo
Darío Sánchez H.
119
TOPOLOGIA GENERAL
tanto existe un abierto Z en ] tal que C − Z § 0 F en esta forma 0 F es una
vecindad de C.
, Como Q es un compacto y 0 continua entonces 0 Q œ ] es compacto y por la
hipótesis ] es Hausdorff de aquí tenemos que ] es un espacio normal así para
que ] sea metrizable sólo debemos ver que ] tiene base enumerable. Como Q es
un espacio métrico
compacto entonces Q es separable, esto significa que
podemos considerar en Q una base enumerable ÖF8 ×8− . Dados C − ] y un abierto
Z de ] tenemos que 0 " Z § Q Ê 0 " Z œ ∪ F8 por otro lado 0 " C es imagen
8−
la recíproca de un cerrado por una aplicación continua entonces 0 " C es
compacto por lo tanto existe una reunión finita F œ F8" ∪ F8# ∪ â ∪ F85 tal que
0 " C § F § 0 " Z Þ se sigue de la parte + que 0 F es una vecindad de C,
contenida en Z . Los interiores de los conjuntos 0 F , donde F es del tipo
F8" ∪ â ∪ F85 forman una base enumerable de ] . En otras palabras si el espacio
cociente Q ÎI de un espacio métrico compacto Q es de Hausdorff, entonces Q ÎI
es metrizable.
…
89.Sea \ un espacio de Lindelöf, O
Lindelöf.
un compacto entonces \ ‚ O es un espacio de
SOLUCIÓN. Sea K œ ÖK- ×-−P una familia de cerrados del espacio \ ‚ O teniendo la
propiedad de la intersección enumerable, esto es si
ÖK-3 ×3− §
 K Ê K-" ∩ K-# ∩ â ∩ K-8 ∩ â Á ø
añadiéndole a K todas las subfamilias de cerrados de K que tengan la propiedad
de la intersección finita. Por la proyección uno, los subconjuntos :"< ÖK- ×-−P
constituyen una familia de cerrados en \ , que tiene la propiedad de intersección
enumerable, porque
:"< K-" ∩ :"< K-# ∩ â ∩ :"< K-8 ∩ â ¨ :"< K-" ∩ â ∩ K-8 ∩ â Á ø.
Como \ es de Lindelöf entonces existe B − ∩ :"< K- . Ahora B ‚ O es compacto.
-−P
Esto significa que a- − P, K- ∩ B ‚ O Á ø. Los subconjuntos K- ∩ B ‚ O , - − P
constituyen una familia de cerrados en B ‚ O con la propiedad de la intersección
enumerable, pues
ÒK-" ∩ B ‚ O Ó ∩ ÒK-# ∩ B ‚ O Ó ∩ â ∩ ÒK-8 ∩ B ‚ O Ó ∩ â œ Š
∩ K- ‹ ∩
3œ"
∞
3
B‚O Á ø
Ahora B ‚ O es homeomorfo a ] y por lo tanto es compacto. Luego existe un
punto en B ‚ O un punto Bß C − ∩ K- ∩ B ‚ O . En particular Bß C pertenece a
todos los K- como queríamos probar, así \ ‚ O es Lindelöf.
…
90.El
producto de espacios regulares es regular, y recíprocamente si el producto
de dos espacios es regularß se sigue que cada uno de los factores es regular.
SOLUCIÓN. "Þ Supongamos que \ ß ] son regulares. Sea E un abierto de \ ‚ ] , y,
b
§\ aberto, B−Y
Bß C − E entonces Š b ZY §]
abierto, C−Z ‚ Bß C − Y ‚ Z § E‹
Darío Sánchez H.
entonces
120
TOPOLOGIA GENERAL
Š]
\ es regular existe Y" abierto en \ß B−Y" tal que Y " §Y
es regular existe Z" abierto en Y, C−Z" tal que Z " §Z
‹
Y " ‚ Z " œ Y" ‚ Z" § Y ‚ Z § E y Bß C − Y" ‚ Z" .
Luego \ ‚ ] es regular.
#Þ Supongamos ahora que \ ‚ ] es regular. Consideremos :"< À \ ‚ ] \ ,
Bß C − Eß E abierto en \ ‚ ] por la definición de topología producto
Bß C − Y ‚ Z § E por hipótesis existe Y" ‚ Z" § E y Y" ‚ Z" § Y ‚ Z .
Ahora
B−:< Y" ‚Z" §:"< ˆY" ‚Z " ‰§ :"< Y" ‚Z" §Y
<ˆ
‰ <
# Y" ‚Z" §:# Y" ‚Z" §:# Y" ‚Z" §Z
Š C−:"<
Luego \ß ] son regulares.
…
91.Sea
‹.
E un subconjunto de un espacio topológico \ . Indíquese con \ÎE el
conjunto cociente de \ por la relación de equivalencia BIE C Í B œ C ” Bß C − E.
Si \ es un espacio de Hausdorff, normal y E es cerrado en \ , entonces
\ÎE œ ÖÖB − \à B − \  E×ß E× es regular y espacio de Hausdorff.
Bß •
C − \ÎE tal que •
B Á•
C . Puede suceder que
SOLUCIÓN. •
Bß C − E ” B,C − \  E ” B − E, C − \  E
Si B,C − \  E como E es cerrado entonces \  E es abierto en \ además \  E
es Hausdorff por lo tanto existen [ ß Z abiertos tales que B − Z § \  E,
C − [ § \  E y Z ∩ [ œ ø. Ahora : À \ \ÎE es una aplicación abierta, por lo
tanto se tiene : Z ∩ : [ œ Z ∩ [ œ øß pues
R §\E Ê: R œR
,
R − 7\ Ê œ
•
R §EÊ: E œE
así : Z œ Z • : [ œ [ en cuyo caso : Z ∩ : [ œ ø, siguiéndose que \ÎE
es normal de Hausdorff.
Si B − Eß C − \  E, entonces B Á C, como \ es normal bZ ® C y b[ ¨ E tal que
Z ∩[ œ ø
Los otros casos se siguen del hecho de que
"
" •
R§
:
:
R
œ
:
E

…
92. "ÞSea E § #\- abierto y para cada - − P sea E- œ :-< E se tiene E- œ \excepto para un número finito de valores de -. Existe un abierto elemental Y y
Y œ Y- " ‚ Y- # ‚ â ‚ Y-8 ‚ # \- . Ahora :-< Y § :-< E Ê Y- § E- por lo tanto
- Á- 3
como Y- œ \- salvo para un número finito de valores de -, se sigue que E- œ \excepto para un número finito de valores de -.
#Þ Para cada - − P, sea W- œ \- . La topología inducida en #W- por la aplicación de
inclusión + À #W-
#\- es la topología producto de los espacios W- Þ La clausura de
Darío Sánchez H.
#W- en #\- es igual a #W - .
es denso es \- Þ
+ +:#W- œ W
SOLUCIÓN.
121
TOPOLOGIA GENERAL
#W- es denso en #\- si y solamente si cada W-
#\- œ \ . F es abierto en W Í bE abierto en \ tal que
F œ E ∩ W . Por la definición de la topología producto en \ , E puede ser
considerado como un abierto denso esto es como un abierto elemental así
E œ :-< " Y-" ∩ â ∩ :-< 5 Y-5 œ Y-" ‚ â ‚ Y-5 ‚ # \- Á- 3
donde Y-3 § \-3 es abierto , así
E ∩ W œ Y -" ∩ W -" ‚ â ‚ Y - 5 ∩ W - 5 ‚ # W - Á- 5
donde Y-3 ∩ W-3 es abierto en W-3 . También :-< À \ \- es continua por lo tanto
:-< W œ :-< lW À W \- es continua por tanto #W- tiene la topología producto.
, #W- œ #W-
#W- œ # W- ∪ W-w œ #W- ∩ #W-w
Veamos por tanto que #W-w œ Œ#WSea B − #W-w Ê B œ B-
-−P
w
donde B- − W-w ß a- − P Ê aZ- ® B- , Z- ∩ W- Á ø, a-
Sea V vecindad de B Ê existe E abierto en \ , E § Z , B − E entonces se tiene que
E œ #E- donde E- œ \- SPUNFI- y aún E- ∩ W- Á ø a- − P, entonces se tiene
#E- ∩ #W- Á ø Ê B − Œ#W-
B − Œ #W -
w
w
de donde se recibe #W-w § Œ#W-
w
Ê cualquier que sea Z vecindad de B, Z ∩ W Á ø así para cualquier
abierto E en Z con B − E se tiene E ∩ W Á ø.
Para todo -, E- abierto en \- , B- − E- ß E- ∩ W- Á ø Ê B- − W-w ß a- entonces B − #W-w
se concluye entonces que Œ#W-
w
§ #W-w
W- denso a- Í #W- es denso.
Í W - œ \- a- Í #W- œ #W - œ #\-.
W- denso
…
93.Sea
Pœ
∪
Pα , los Pα siendo dos a dos disyuntos. Entonces # \- es
homeomorfo a # ]α donde ]α œ # \α para α − E. En otras palabras, vale la
α−E
-−P
α−E
asociatividad
-−Pα
Darío Sánchez H.
122
TOPOLOGIA GENERAL
# Π# \-
α−E
-−Pα
SOLUCIÓN.
œ # \- .
B − # Œ # \-−P
α−E
Í B œ Bα
α−E
• Bα œ
Bα
αÁ"
Æ
- -−Pα
pero Pα ∩ P" œ ø Í B œ BSea ahora
0 À # \-−P
B œ B-
-−∪ YPα
Í B œ B-
α−E
# ]α
Í B œ Bα
-−Pα
-−P
α−E
• Bα − # \ α
-−Pα
Í B − # \- Þ
-−P
, ]α œ # \ -−Pα
α−E
È0 B œ Cα
α−E
Cαœ Cα- -−P • Cα- œB-
-−P
\
0
]
:<α
]α
1-
# ]α # \ll
α−E
ll
\-
-−Pα
proyección de \ en el factor \-
0 ‰ :α< ‰ 1- œ :-< Ê 0 ‰ :α< ‰ 1- es continua, entonces 0 ‰ :α< es continua aα − E de
donde se recibe que 0 es continua.
Sea 1 À ]
\
, está bien definida pues dado - − P, bx α − E tal que - − Pα así
C È1 C œB
B- œ Cα- , a- − P. La continuidad se sigue de la conmutatividad del siguiente
diagrama
1 #
#]α
\<
© -−P ::α<
\1]α œ # \-−Pα
:- ‰ 1 es continua por lo tanto 1 es continua.
<
94.Una
aplicación biunívoca :: P P de P sobre si misma, induce un
# \- donde :‡ B- œ ˆB: - ‰ o sea :‡ B œ B ‰ :Þ
homeomorfismo :‡ À # \-−P
-−: P
SOLUCIÓN. En efecto tómese en el ejercicio 93 anterior E œ Öα œ : 3 à 3 − P× como
Pα ∩ P" œ Ö: 3 × ∩ Ö: 4 × œ ø cuando α Á " , pues : es biunívoca entonces
: ‡ À # \-−P
#
α−E
# \-
-−Pα
es un homeomorfismo.
…
95.Sean
Q ß R espacios métricos y : À Q R uniformemente continua. Dada una
colección Æ de partes de un conjunto \ , la aplicación :‡ À ¹Æ \ß Q
definida por :‡ 0 œ : ‰ 0 es continua.
¹Æ \ß R
Darío Sánchez H.
123
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN. Mostremos que para todo 0 y para todo E abierto es ¹Æ \ß R , tal que
: ‰ 0 − E existe F abierto en ¹Æ \ß Q tal que a1 − Fß :‡ 1 œ : ‰ 1 − E.
Sea Z un vecindad de 0 en ¹Æ \ß R tenemos
E œ Z : ‰ 0 à Wß % œ Ö1à \ R à . 1lW ß : ‰ 0 lW
 %× œ Ö1 À \ R à . 1 B ß 1 0 B  %ß aB − W×
: es uniformemente continua, esto es,
dado %  !ß b $  ! tal que . Bß C  $ Ê . : B ß : C  %ß aBß aC − Q
"
Para este $ se construye
F œ [ Ð0 ß Wß $ Ñ œ Ö1 À \ Q à .Ð1 B ß 0 B Ñ  $ , aB − W×
Así para 1 − F Ê .Ð1 B ß 0 B Ñ  $
entonces por " tenemos
.Ð: 1 B ß : 0 B Ñ  %, aB − W Ê : ‰ 1 − E.
…
96.Sea
Q un espacio métrico completo. Si una sucesión de puntos B8 − Q es tal
que . B8 ß B8" 
"
8# ,
a8 − , probar que ÖB8 ×8− es convergente.
SOLUCIÓN. Sabemos que la serie
Sea W8 œ " 
"
##

"
$#
â
"
8# .
∞
8œ"
"
8#
es una serie uniformemente convergente.
Como lim W8 œ
∞
"
8# ,
entonces ÖW8 ×8− es una sucesión
‰ /B3=>/
de Cauchy por lo tanto ˆ H+.9
%! Š 8! Î7ß 8  8! Ê lW8  W7 l  %‹. En particular como
8Ä∞
8œ"
Q es un espacio completo solo debemos ver que, como . B8 ß B8"  8"# ß a8 − ,
entonces ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy, en ese caso ÖB8 ×8− es convergente,
en efecto
ˆ .+.9
‰ IB3=>/
%! Š 8! ! ‹ tal que 7ß 8  8! Ê (suponiendo 7  8)
. B8 ß B7 Ÿ . B8 ß B8"  . B8" ß B8#  â  . B7 " ß B7
"
"
 8"#  8"
Ÿ lW8  W7 l  %
#  â 
7" #
Luego ÖB8 ×8− es una sucesión de Cauchy.
…
97.Sean
Q un espacio métrico completo V Q
el conjunto de las contracciones
0 À Q Q . Pruebe que la aplicación : À V Q
Q , la cual asocia a cada contracción
su único punto fijo, es continua. (Considere en V Q la topología de la
convergencia uniforme).
una familia de aplicaciones
SOLUCIÓN. Sea X un espacio topológico y Ö0> ×>−X
0> À Q Q Þ Supongamos que 0> depende continuamente del parámetro > en el
sentido de que la aplicación < À X
V Q es continua y tenemos
> È
0>
/=3=>/
w
ˆ .+.9
‰ˆ
Î.
>ß
>

$
Ê . 0 > ß 0 >w  "  5 % ‰ ‡
%!
$ !
o sea que
. 0> B ß 0>w B  "  5 % aB − Q
donde 5 es la constante de contracción de 0> o sea 5 es tal que !  5  " y
. 0> B ß 0> C  5. Bß C
aBß C − Q
#
Darío Sánchez H.
124
TOPOLOGIA GENERAL
Según al enunciado sea
: es continua: En efecto
ˆ .+.9
‰
%! Š
. : 0> ß : 0 > w
:ÀV Q
0>
/B3=>/
"5 %œ$ ! ./ ‡
Q
È +>
‹/ . 0> ß 0>w  $ entonces
œ . + > ß + >w œ . 0 > + > ß 0 > w + > w
Ÿ . 0 > + > ß 0 > + >w
‡
Æ
Ÿ 5. +> ß +>w  "  5 % œ 5. : 0> ß : 0>w
Å
#
o sea que
. : 0> ß : 0 > w
 5. : 0> ß : 0>w
se tiene que
 . 0 > + >w ß 0 >w + >w
 "5 %
Ÿ "5 % Í "
ƒ 5 . : 0 > ß : 0 >w
Ÿ "
ƒ5 %
. : 0> ß : 0 > w Ÿ %
o sea : es continua en 0>w ß luego es continua.
…
98.Sean O
y P subconjuntos compactos disyuntos de un espacio de Hausdorff \ .
Probar que existen en \ abiertos disyuntos Y ß Z tales que O § Y y P § Z .
SOLUCIÓN. Sea B! − O fijo, C − P cualquiera, como P ∩ O œ ø entonces B! Á C. Como
\ es un espacio de Hausdorff existen ZB! y [C tales que ZB! ∩ [C œ ø. Así la familia
Ö[ C×C−P constituyen un recubrimiento de P, como P es compacto se puede
8
obtener un número finito [C" ß [C# ß á ß [C8 tales que P § ∪ [C3 y correspondientes
3œ"
8
8
ZB!" ß ZB!# ß á ß ZB!8 tales que ZB!3 ∩ [C3 œ ø. Tomando Z œ ∩ Z!3 y [ œ ∪ [C3 vemos
3œ"
3œ"
que Z ∩ [ œ ø Þ Ahora como O es compacto puedo repetir este proceso para un
8
número finito de B3! de manera a obtener una vecindad Y œ ∪ Z B3! y tal que
Z ∩ Y œ ø con O § Y y P § [ .
99.Sean
\ un espacio topológico y 0 À \
3œ"
d 8 una aplicación cuyo gráfico es
compacto. Probar que 0 es continua.
SOLUCIÓN. Supongamos adicionalmente que \ es Hausdorff así tenemos
". Sea : À K 0
d 8 , : œ :"< lK 0 , es la restricción de la proyección :"< al gráfico K 0 .
#. Como : Bß 0 B œ B, se ve que : es una aplicación continua y biunívoca de K 0
sobre \ .
$Þ Siendo K 0 compacto y \ ‚ d 8 de Hausdorff, K 0 es cerrado así : es una
aplicación cerrada.
%Þ Por consiguiente : es un homeomorfismo de 1 0 sobre \ .
&Þ Su inversa, B È Bß 0 B es pues una aplicación continua.
'Þ Se sigue de &Þ que B È 0 B es continua como compuesta de aplicaciones
continuas, como queríamos demostrar.
…
Darío Sánchez H.
100.Sean
TOPOLOGIA GENERAL
125
Q ß R espacios métricos y 0 À Q R una aplicación continua. Probar que
las siguientes afirmaciones sobre 0 son equivalentes:
+ Si una sucesión de puntos B8 − Q no posee subsucesión convergente entonces
Ö0 B8 ×8− en R también tiene la misma propiedad.
, Para todo subconjunto compacto O § R ß 0 " O es compacto.
SOLUCIÓN. + Ê , Supongamos que 0 " O no es compacto entonces existe una
sucesión ÖB8 ×8− § 0 " O que no posee subsucesiones convergentes, por la
continuidad de 0 se tiene que Ö0 B8 ×8− § Oß y por la hipótesisß esta sucesión no
tiene subsucesiones convergentes entonces O no es compacto. Hemos así
probado la implicación por contrarecíproca.
, Ê + Por contradicción. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en Q tal que no posee
subsucesiones convergentes y sin embargo la sucesión Ö0 B8 ×8− es tal que toda
subsucesión es convergente, construyamos un conjunto.
O œ Ö0 B8 ×8− ∪ Ötodos los límites posibles de las subsucesiones de Ö0 B8 ×8− ×Þ
De la construcción de O se sigue que O es secuencialmente compacto como R es
un espacio métrico se sigue que O es compacto. Ahora 0 " O œ ÖÖB8 ×8− × el cual
no es secuencialmente compacto por lo tanto 0 " O § Q no es compacto esto
es una po contradicción de la parte , .
…
101.Sea ¶ " œ ¶ Ò+ß ,Óß d el conjunto de las funciones 0 À Ò+ß ,Ó d que poseen
derivada continua en todos los puntos de Ò+ß ,ÓÞ Sea H el conjunto de las 2 − ¶ " las
cuales tienen inversa 2" À 2 Ò+ß ,Ó d con derivada continua en todos los puntos
y ! para todo B − Ò+ß ,Ó; considere en ¶ " la
de su dominio. Probar que 2 − H Í 2 w œ
métrica . 0 ß 1 œ sup Öl0 B  1 B l  l0 w B  1w B l×. Pruebe que H es abierto en ¶ " .
B − Ò+ß ,Ó
SOLUCIÓN. Ê ) Sea 2 − H entonces existe 2 " tal que 2 " ‰ 2 œ 3. y 2 " es derivable
y continua. Aplicando la regla de la cadena obtenemos
w
w
2 " ‰ 2 B œ 2 " 2 B •2 w B œ "
por lo tanto
2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó.
É ) Para todo B − Ò+ß ,Ó, 2 w B Á ! Ê 2 es monótona estrictamente ya sea creciente
o decreciente en
Ò+ß ,Ó por un resultado básico ¿cuál? 2 À Ò+ß ,Ó d es un
homeomorfismo de Ò+ß ,Ó sobre 2 Ò+ß ,Ó entonces 2 " existe y es continua.
Sea 2 " œ 1 si existe 1w C , con C œ 2 B , y deberá ser igual a Ò2 w B Ó" y por lo tanto
escribimos
1 C  5 œ 1 C  Ò2 w B Ó" † 5  = 5
y tenemos que mostrar que
=5
lim l5l œ !,
5Ä!
sea 2 B  6 œ C  5 Ê 5 œ 2 B  6  C œ 2 B  6  2 B y 5 Ä ! Í 6 Ä ! ya que 2
es un homeomorfismo. Entonces
6 œ 1 C  5  1 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 B  6  2 B Ó  = 5 œ Ò2 w B Ó" Ò2 w B 6  < 6 Ó  = 5
l6l Ò2w B Ó" < 6
Í = 5 œ  Ò2 w B Ó" † < 6 Ê =l5l5 œ  l5l
Š
‹
l6l
Darío Sánchez H.
cuando 5 Ä ! Ê
TOPOLOGIA GENERAL
l6l
l5l
permanece acotado y
<6
l6l
126
Ä ! cuando 6 Ä !Þ Luego lim =l5l5 œ !.
5Ä!
Esto muestra que 1 œ 2 " es diferenciable para cada C − 2 Ò+ß ,Ó con 1w C œ Ò2 w B Ó"
y como 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,Ó y es continua aC − 2 Ò+ß ,Ó ß 2 − ¶ " ß esto esß 2 − H.
, H es abierto en ¶ " : De lo anterior 2 − H Í 2 w B Á !ß aB − Ò+ß ,ÓÞ
Sea E œ Ö2 À Ò+ß ,Ó d continuas y 2 B  !ß aB − Ò+ß ,Ó× es abierto de ¶ Ò+ß ,Óà d , en
efecto 2 w − E entonces 2 es continua en Ò+ß ,Ó que es compacto de d y por tanto es
acotada y alcanza sus extremos es decir, existe B! ß B" − Ò+ß ,Ó tal que
2 B! œ infÞÖ2 B à B − Ò+ß ,Ó× y 2 B" œ supÞÖ2 B à B − Ò+ß ,Ó× es claro que
2 B!  ! ß
2 B"  ! y 2 B! Ÿ 2 B" Þ
La bola abierta F 2ß % de centro 2 y radio %= 2 #B! tomemos 1 − F y mostremos que
1 − EÞ Sea 1 − ,Ð2ß %Ñ entonces l2  1l  2 #B! por lo tanto aB − Ò+ß ,Ó |2 B  1 B l  2 #B!
de donde recibimos que 2 B  1 B  2 #B! Ê 2 B  2 #B!  1 B , para todo B − Ò+ß ,Ó.
Como 2 B!  2 B ß aB − Ò+ß ,Ó Ê 2 #B!  2 B y por lo tanto 2 B  2 #B!  !. Luego
1 B  ! aB − Ò+ß ,Ó Ê 1 − E, entonces E es abierto en ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑÞ
Análogamente se muestra que U œ Ö2 À Ò+ß ,Ó dà 2 es continua y
2 B  !ß
aB − Ò+ß ,Ó× es abierto en ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑ.
Finalmente la aplicación H À ¶ " ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑ definida por H 0 œ 0 es continua con la
norma l0 l‡ œ Öl0 B l  l0 w B lß B − Ò+ß ,Ó×.
Sea T œ Ö2 − ¶ " à 2 w ÐBÑ  !ß aB − Ò+ß ,Ó×. Como 2 − ¶ " entonces 2 es continua en Ò+ß ,Ó ß
es acotada y E œ Ö1 − ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑà 1 B  !ß aB − Ò+ß ,Ó×. Entonces la aplicación
H À ¶ " ¶ ÐÒ+ß ,Óß dÑ
es continua y E es abierto en ¶ Ò+ß ,Óà dÑ y T œ H " E ß
w
2È
2
entonces T es abierto en ¶ " . Análogamente sea U œ Ö2 − ¶ " à 2 B  !ß aB − Ò+ß ,Ó× y
F œ Ö1 − ¶ ÐÒ+ß ,Óà dÑà 1 B  !ß aB − Ò+ß ,Ó×ß entonces U œ H " F Ê U es abierto en ¶ "
y H œ T ∪ U es abierto en ¶ " .
…
102. Pruebe
que si todo subespacio de un espacio de Hausdorff \ es compacto
entonces \ es finito. Dé un ejemplo mostrando que esto sería falso si el espacio
no es de Hausdorff.
SOLUCIÓN. + 3) ÖB× es una parte finita entonces \  ÖB× es una parte de \ por lo
tanto es un compacto y como \ es Hausdorff entonces \  ÖB× es cerrado.
33) ÖB× es abierto por ser complemento de un cerrado.
333) \ œ ∪ ÖB× es un recubrimiento abierto de \ . Entonces como \ es compacto
B−\
existe un subrecubrimiento finito de \ lo cual no es posible de obtener cuando \
es infinito. Luego \ tiene que ser finito.
, Sea \ un espacio infinito con la topología de complementos finitos.
\ es compacto: Pues si Ö Y- ×-−P es un recubrimiento abierto de \ , sea Y-! uno de
esos abiertos entonces \  Y-! œ Ö+" ß +# ß á ß +8 × tiene un número finito de
elementos.
Sea Y-" ß Y-# ß á ß Y-8 elementos de la colección Ö Y- ×-−P tales que
+ " − Y -" ß + # − Y -# ß á ß + 8 − Y - 8
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
127
obtenemos así que
\ œ Y -" ∪ Y -# ∪ â ∪ Y - 8 ∪ Y - !
y \ es compacto.
Todo subconjunto W § \ de \ es compacto ya que si W es finito entonces es
compacto y si W es infinito entonces se toma un recubrimiento por abiertos de W y
en la misma forma que se hizo para \ , se obtiene un subrecubrimiento finito
cubriendo a \ y por lo tanto a W siguiéndose que W es compacto. Note que el
espacio no es Hausdorff, pues dos colas siempre se encuentran y \ es infinito.
…
103.Pruebe
que un espacio métrico Q es totalmente acotado si y solamente si
toda sucesión en Q posee subsucesiones de Cauchy.
SOLUCIÓN. É ) Sea ÖB8 ×8− una sucesión en Q que posee una subsucesión de
Cauchy esto es bÖB85 ×5− tal que ˆa %  !‰ˆ b 5! ‰Îa5ß 5 w  5! ß . ˆB85 ß B85w ‰  %.
Si para este %, existe B" − Q tal que Q § FÐB" ß #% Ñ acaba el problema, de nó, existe
B# − Q tal que Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ teniéndose el problema, de nó, existe B$ − Q
tal que Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ ∪ FÐB$ ß #% Ñ si esto se cumple, el problema termina, de
lo contrario, existiría un B% − Q y así sucesivamente; se tiene en general entonces
que
Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ ∪ FÐB$ ß #% Ñ ∪ â ∪ FÐB8 ß #% Ñ
y Q estaría acotado, de lo contrario, existiría un B8" − Q Þ Se ha obtenido así una
sucesión ÖB8 ×8− la cual tiene una subsucesión convergente, por lo tanto, existe
un número finito de bolas cuyos diámetros no exceden a #% y tales que
Q § FÐB" ß #% Ñ ∪ FÐB# ß #% Ñ ∪ FÐB$ ß #% Ñ ∪ â ∪ FÐB7 ß #% Ñ
de donde tenemos entonces que Q es totalmente acotado.
Ê ) Si Q es totalmente acotado esto significa que para todo %  !, existen
W" ß W# ß á ß W8 tales que $ W3  % y Q § W" ∪ W# ∪ â ∪ W8 . Tomando ÖB8 ×8− una
secuencia de Q obtenemos que en alguno de los W3 , B8 tiene una infinidad de
términos de ÖB8 ×8− o sea que ÖB8 ×8− tiene una subsucesión ÖB83 ×3− y
B83 − W3ß a3, así
. B83 ß B73  $ W3  % para 73 ß 83  83! de donde ÖB83 ×3− es de Cauchy
Como esto se puede hacer para todo %  !, entonces la sucesión ÖB83 ×3− es de
Cauchy.
…
104.Sean \ß ] espacios compactos de Hausdorff. Se existen puntos B! − \ y C! − ]
tales que \  ÖB! × y ]  ÖC! × son homeomorfos, pruebe que \ y ] son
homeomorfos. Dé un contra-ejemplo con \ compacto de Hausdorff y ]
localmente compacto de Hausdorff.
SOLUCIÓN. Como \ß ] son compactos y de Hausdorff entonces se puede concluir
que \ß ] son compactificaciones de Alexandroff de \  ÖB! × y de ]  ÖC! × por lo
tanto se puede considerar el siguiente diagrama
Darío Sánchez H.
\  ÖB! ×
:
©
J
\
TOPOLOGIA GENERAL
0
]  ÖC! ×
<
128
donde :, < son los compactificados de Alexandorff.
]
Como :, < son homeomorfismos de \  ÖB! × sobre : \  ÖB! × y de ]  ÖC! × sobre
< ]  ÖC× se puede definir J À \ ] de la siguiente manera J B œ <0 :" B
para B − : \  ÖB! × ß J B! œ C! en esta forma obtenemos un homeomorfismo de
\ sobre ] , donde 0 es el homeomorfismo dado en la hipótesis.
Ejemplo. Tomemos como \ œ Ð!ß 1Ó ∪ Ð!ß #1Ñ localmente compacto, ] œ W " ∪ W "
compacto B! œ 1 y C! œ !ß ! en ese caso 0 es un homeomorfismo de \  Ö1×
sobre ]  Ö !ß ! × pero \ µ
Î ].

…
105.
Sea J un subconjunto cerrado y O un compacto del espacio euclidiano d 8 .
Pruebe que existen B! − J y C! − O tales que lB!  C! l Ÿ lB  Cl para cualquier
B − J y C − O.
d
como . es continua y O es compacto entonces
SOLUCIÓN. Sea . À O ‚ J
Bß C È . Bß C
existe B! − O tal que . B! ß J œ . Oß J ß o lo que es lo mismo tal que
. B! ß C Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J .
Tomando ahora una bola F B! ß < con radio < tal que <  . B! ß J entonces
obtenemos que F B! ß < ∩ J Á ø y F B! ß < ∩ J es cerrado y acotado, en el espacio
euclidiano d 8 por lo tanto F B! ß < ∩ J es compacto, de donde, existe C! − J tal
que . Oß C! œ . Oß J o lo que es lo mismo . Bß C! Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J , por
lo tanto hemos hallado B! − Oß C! − J tales que
. B! ß C! Ÿ . Bß C ß aB − Oß aC − J
…
106.Sea W un subconjunto localmente compacto de un espacio de Hausdorff \ .
Pruebe que si W es denso en \ , entonces W en abierto en \Þ
SOLUCIÓN. Como W es un subconjunto localmente compacto de un espacio de
Hausdorff \ se sigue que W es localmente cerrado, así existe un abierto E de \
tal que W § EÞ Como W es denso en \ entonces W es denso en E por lo tanto W es
denso en un abierto de \ , lo cual se quería mostrar.
Para ver que W es denso en E sea ZE un abierto en E, entonces VE œ Z\ ∩ Eß como
W es denso en \ entonces W ∩ Y Á ø, aY abierto en \ por lo tanto
ZE ∩ W œ Z \ ∩ E ∩ W œ
Y ∩W Á ø
Å
…
107.
Y œ Z\ ∩ E abierto en X
Sean O § Y § d 8 donde O es compacto y Y es abierto. Probar que existe
%  ! tal que Bß C − Oß lB  Cl  % Ê ÒBß CÓ § Y (donde ÒBß CÓ es el segmento de recta
cerrada que une a B con C).
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
129
SOLUCIÓN. Como d 8 es localmente compacto podemos tomar un recubrimiento
ÖY- ×-−P de O tal que Y- §
 Y sea abierto conexo. Sea %  ! el número de Lebesgue
de este recubrimiento el cual existe pues O es compacto. Extraemos un número
finito de elementos de la colección ÖY- ×-−P tal que O §
 Y-" ∪ Y-# ∪ â ∪ Y-8 lo cual
también es posible por la compacidad de O con Bß C − O tales que Bß C − Y-3 para
algún " Ÿ 3 Ÿ 8 entonces tenemos que lB  Cl  $ ÐY-3 Ñ  % y se tiene que ÒBß CÓ § Y-3
como O §
 Y-" ∪ Y-# ∪ â ∪ Y-8 § Y se sigue que ÒBß CÓ § Y lo cual queríamos
mostrar.
…
108.Sea
\ un espacio topológico con base enumerable. Probar que todo
recubrimiento abierto \ œ
∪
-−P
E- posee un subrecubrimiento enumerable.
SOLUCIÓN. Sea µ œ ÖF8 ×8− una base enumerable del espacio. Como cada E- es
abierto entonces E- §
∪
F8 en una reunión de elemento de la base µ. Sea
8−
T œ Ö: − ÎF: § E- × para cada - − P. Si : − T entonces denotemos por E-: a uno de
los E- para el cual F: § E-: . Sea B − \ estonces B − E- para algún - − P entonces
existe : − T tal que B − F: § E- esto es B − F: § E- œ E-: para algún : − T por
definición de reunión tendremos que B − ∪ E-: o sea que \ § ∪ E-: .
:−T
:−T §
…
109.Sea
W un conjunto de números reales bien ordenado, relativamente al orden
usual de la recta. Probar que W es enumerable.
SOLUCIÓN. Sabemos que W es bien ordenadoß esto es
‰
ˆ +Ÿ- ‰
"Þˆ +−W
,−W Ê existe - − W / ,Ÿ#Þ Todo subconjunto W" Á ø de W tiene un primer elemento.
Supongamos que W no es enumerable entonces como d tiene una base
enumerable entonces W tiene un punto de acumulación H así W œ Òαß HÑ, donde α es
el primer elemento de WÞ En este conjunto se distinguen dos partes, como
sabemos, la parte numerable y la parte no enumerable así
ÐBß HÑ es un subconjunto de W que no es enumerable y donde cada punto es un
punto aislado, así W no tiene base enumerable po esto es contradictorio ya que
por un resultado básico ¿cuál? se sabe que si un espacio topológico tiene base
enumerable, entonces, todo subconjunto de él tiene base enumerable.
…
110.Indique cuales de las afirmaciones de abajo son verdadera y presente contraejemplos para las falsas.
+ Todo espacio de Hausdorff compacto tiene base enumerable.
, Todo espacio métrico conexo tiene base enumerable.
- El espacio de Hilbert L tiene base enumerable.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
130
. Si en un espacio métrico Q , todo subconjunto acotado y cerrado es compacto
entonces Q tiene base enumerable
SOLUCIÓN. + Falsa, se sabe que el espacio Òαß HÓ es un espacio de Hausdorff
compacto, pero \ œ Òαß HÓ no puede tener base enumerable.
, Verdadera. Puesto que en un espacio métrico todo punto admite un sistema
fundametal de vecindades enumerable.
- Verdadera, el espacio de Hilbert tiene base numerable
. Verdadera, puesto que si es compacto, entonces localmente compacto y se
sigue que el espacio tiene base enumerable.
…
111. + Todo subespacio de un espacio compacto de Hausdorff es normal.
, Todo espacio métrico es homeomorfo a un subconjunto del espacio de Hilbert.
- Un espacio de Hausdorff conexo y localmente compacto es metrizable si y sólo
si tiene base enumerable.
. Si un espacio topológico \ es separable entonces todo subconjunto cerrado de
\ es separable.
SOLUCIÓN. + Falsa, tómese \ œ Òαß HÓ el cual sabemos es compacto de Hausdorff.
Considérese \ ‚ \ œ Òαß HÓ ‚ Òαß HÓ es un espacio compacto de Hausdorff y el
subespacio \ ‚ \  ÖÐHß HÑ× no es normal, pues los cerrado J œ \ ‚ ÖH× y
K œ ÖH× ‚ \ no se pueden separar.
, Falsa, tómese un conjunto no enumerable con la métrica discreta.
- Verdadera
. Falsa, Al tratar de hacer la demostración se encuentra con la siguiente
dificultad: Sea I un conjunto enumerable denso de \ , claramente si J es cerrado
entonces J ∩ I es un subconjunto enumerable y I ∩ J § I ∩ J œ J , pero en
general J §
Î I ∩ J , por ejemplo tomando \ como la recta con la topología cuya
base es µ œ ÖÒ+ß ,Ñ×. Se considera \ ‚ \ y se toma K œ Ö )ß  ) Î) − d  × este es
un subconjunto cerrado en \ ‚ \ . Además \ ‚ \ es separable, pero K no es
separable.
…
112. Sean \ß ] espacios topológicos. Pruebe que una aplicación 0 À \ ] es
continua si y sólo si para cada subconjunto W § \ , se tiene 0 ˆW ‰ § 0 W .
SOLUCIÓN. Ê ) W § \ entonces 0 W § ] se sabe que 0 W § 0 ÐWÑ de donde se tiene
W § 0 " Š0 W ‹ por la hipótesis 0 es continua y 0 W es cerrado por lo tanto
0 " Š0 W ‹ es cerrado, ahora W es el menor cerrado que contiene a W (por la
definición) por lo tanto
W § W § 0 " Ð0 ÐWÑÑ
de aquí se tiene inmediatamente que
0 ˆW ‰ § 0 W
Darío Sánchez H.
131
TOPOLOGIA GENERAL
É Ñ Sea J un subconjunto cerrado de ] para que 0 sea continua debemos probar
que 0 " J es cerrado o sea, tomando E œ 0 " J , vemos que E œ E. Sabemos de
la definición que E § E siempre, luego probemos simplemente que E § E.
E œ 0 " J , ahora
0 ˆE‰ œ 0 Š0 " J ‹ §
0 0 " J §
J œJ
Å
0 ˆF ‰ § 0 F
o sea
Å
0 0 " J § J
0 ˆE‰ § J Ê E § 0 " ÐJ Ñ œ E.
…
113.Defina
espacio regular, espacio normal y pruebe que si todo punto de un
espacio normal \ es cerrado, entonces \ es un espacio de Hausdorff regular.
SOLUCIÓN. Un espacio \ se dice regular cuando, dados una parte cerrada J de \
y un punto B Â J existen, una vecindad y un abierto que contiene al cerrado, sin
punto en común, /3ß b ZB ® B ß yß b Y ¨ J Î ZB ∩ Y œ ø.
Un espacio \ se dice normal cuando dados dos partes cerradas sin punto en
común es posible encontrar abiertos disyuntos que contengan a cada una de las
partes cerradasß /3ß b Z ¨ J ,y, b [ ¨ KÎJ ∩ K œ ø ÐJ y K J ∩ K œ ø cerrados Z y
[ abiertos )
Si todo punto de un espacio normal es cerrado entonces claramente existen
vecindades que separan a los dos cerrados
C − ÖC× § Z , • , B − ÖB× § [ , • , [ ∩ Z œ ø
por lo tanto el espacio es Hausdorff. Por otra parte todo punto y una parte cerrada
se pueden separar, por tanto el espacio es regular y tenemos que en esas
condiciones el espacio es de Hausdorff regular.
…
114.Defina espacio de Hausdorff. Pruebe que todo punto en un espacio de
Hausdorff es un subconjunto cerrado. Dé ejemplo de un espacio que no es de
Hausdorff en el cual toda parte es un subconjunto cerrado.
SOLUCIÓN. + Un espacio topológico \ se dice de Hausdorff cuando dados dos
puntos cualesquiera B Á C distintos es posible hallar abiertos Z ß [ tales que
B − Z ßC − [ß • ßZ ∩ [ œ ø
, Sea \ un espacio de Hausdorff, B − \ entonces denotemos por
µ B œ ÖZ − 7\ ÎB − ´ § Z ß ´ − 7\ × œ Öconjunto de las vecindades de B×
Afirmación: ∩ Z œ ÖB× entonces ÖB× es un subconjunto cerrado de \Þ
Z − µÐBÑ
Veamos la afirmación; si
C−
∩
∩
Z − µÐBÑ
Z œ ÖB, C× con B Á C entonces
Z Í C − Z ß aZ − µÐBÑ Í a[ − µÐCÑß [ ∩ Z Á øß aZ − µÐBÑ
Z − µÐBÑ
Por lo tanto obviamente \ no sería de Hausdorff po contra lo supuesto.
- Ejemplo: Sea \ un espacio topológico y I una relación de equivalencia no
necesariamente abierta tal que K œ Ö Bß C − \ ‚ \ÎBIC× sea cerrado, entonces
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
132
todo punto de \ÎI es cerrado ya que: ÒBÓ − \ÎI Í :" : B œ sat B . Como K es
cerrado sat B es cerrado, se sigue entonces que ÒBÓ es cerrado (por la definición de
topología cociente) pero \ÎI no es de Hausdorff en general. Tomemos por
ejemplo \ un espacio de Hausdorff no regular J una parte cerrada de \ + Â J tal
que toda vecindad de + encuentre a toda vecindad de J entonces si I es la
relación de equivalencia obtenida identificando los puntos de J entonces K es
cerrado y \ÎI no es Hausdorff.
K œ ? ∪ J ‚ J ß J es cerrado Ê J ‚ J œ J ‚ J œ J ‚ J es cerrado, \ÎI no es
•
Hausdorff pues •
B Â J tenemos que B• y J no se pueden separar.
…
116. Pruebe
que un espacio topológico \ es de Hausdorf si y sólo si la diagonal
? § \ ‚ \ es un conjunto cerrado.
SOLUCIÓN. Ê ) Sabemos que si 0 À \ ] es una aplicación continua y ] un espacio
de Hausdorff entonces su gráfico K 0 œ Ö Bß 0 B − \ ‚ ] × es cerrado.
Consideremos + À \ \ la aplicación idéntica que a B È +ÐBÑ œ B, consideremos su
gráfica
K + œ Ö Bß +ÐBÑ − \ ‚ \× œ ÖÐBß BÑ − \ ‚ \× œ ?
Como + es continua y \ es Hausdorff se sigue que K + œ ? es cerrado.
É ) Sea ? cerrado , B Á C entonces ÐBß CÑ Â ?, entonces Bß C − C? como ? es
cerrado C? es abierto entonces existe un abierto elemental
Z œ Z" ‚ Z# tal que Z" ® Bß Z# ® C
tal que
Z § C? Í Z ∩ ? œ ø Í Z" ‚ Z# ∩ ? œ ø
entonces Z" ∩ Z# Á ø no se puede tener ya que si
B − Z" ∩ Z# Ê B − Z" • B − Z# Í ÐBß BÑ − Z" ‚ Z#
o sea que Z" ‚ Z# ∩ ? Á ø por lo tanto B − Z" ß C − Z# , y, Z" ∩ Z# œ ø recibiéndose
que \ es un espacio de Hausdorff.
…
117.Dé tres definiciones equivalentes de espacio conexo (no es necesario probar
las equivalencias). Dé ejemplo de un espacio conexo y de un espacio no discreto
en el cual los únicos subconjuntos conexos son los puntos.
SOLUCIÓN. + \ es un espacio conexo si no se pueden hallar dos abiertos y
cerrados no vacíos, diyuntos tales que \ sea la reunión de ellos.
, \ es un espacio conexo si dados E y F subconjuntos abiertos y cerrados tales
que \ œ E ∪ Fß E ∩ F Á ø ,y, E Á ø, entonces F œ ø.
- \ es un espacio conexo si dada 0 À \ ] una aplicación continua en un
espacio discreto ] entonces 0 es constante.
. Ejemplo: \ œ d es un espacio conexo \ œ M œ +ß , un intervalo de la recta
entonces M conexo.  § d es un conjunto disconexo y los únicos conexos son los
puntos.
…
Darío Sánchez H.
133
TOPOLOGIA GENERAL
118. Pruebe que todo subconjunto abierto conexo E § d8 es conexo por caminos.
SOLUCIÓN. Sea E un conjunto abierto conexo entonces para cada B − E existe una
vecindad Z de B que es conexa y como E § d 8 entonces E es conexo y localmente
conexo por caminos, entonces por un resultado básico ¿cuál? E es conexo por
caminos.
…
119.Defina frontera de un subconjunto W
de un espacio topológico \ . Dé ejempos
de
+ un subconjunto W Á \ , W Á ø , con 0 < W œ ø,
, un subconjunto W § \ con 0 < W œ \Þ
SOLUCIÓN. 0 < W œ ÖB − \ÎB  38> W , y, B  38> \  W × œ W ∩ CW o sea B − 0 <ÐWÑ si
para todo abierto Z que contiene a Bß Z contiene puntos de W y Z contiene puntos
de \  W o sea Z ∩ 38>W Á ø y Z ∩ 38> \  E Á øÞ
+ W Á \,
WÁø
con 0 < W œ ø \ œ Ö+ß ,Þ-× 7\ œ Ö Ö+×ß Ö,ß -×ß \ß ø×ß W œ Ö,ß -×ß
CW œ Ö+× entonces W œ Wß 0 < W œ W ∩ CW œ Ö,ß -× ∩ Ö+× œ øÞ
, W œ , \ œ d Ê 0 <  œ \Þ
…
120. Probar que si W § \ es abierto entonces 0 < W tiene interior vacío. Examineß
si vale lo mismo, cuando W es cerrado.
SOLUCIÓN. 0 < W œ ÖB − \à B  38>W • B  38>Ð\  WÑ× œ W ∩ CW
‰
+ W œ W œ 38>W
‰
‰
‰
‰
‰
‰
èéê
‰ å
èéê
å
å
å
38> 0 <W œ 0 <W œ W ∩ CW œ W ∩ CW § W ∩ CW §
W ∩ CW œ W ∩ CW œ ø
Å
Å
‰
E §E
CW œ W
Luego 0 <W œ ø
, W œ W tenemos
‰
‰
èéê ‰
38> 0 <W œ W ∩ CW œ W ∩ CW §
Luego 0 <W œ øÞ
…
Å
E∩F § E∩F
Å
‰
FœF
‰
‰
èéê ‰
‰
W ∩ CW œ W ∩ CW œ W ∩ CW œ ø œ øÞ
Å
‰
E § Eß aE
121.En
una familia Ö\- ×-−P de espacios topológicos, sea W- § \- para cada - − P.
#W- en
#\- es el producto #W - de las
Pruebe que la adherencia de
adherencias W - Þ
SOLUCIÓN. Veamos que #W- œ #W -
Darío Sánchez H.
134
TOPOLOGIA GENERAL
". #W- œ Œ#W-
∪ Œ#W-
w
#. #W - œ # W- ∪ W-w œ Œ#W-
∪ Œ#W-w
El problema se reduce a probar que Œ#W$. B − Œ#W-
w
œ #W-w ß veámoslo
w
Ê aE abierto conteniendo B œ B-
-−P
ß E ∩ Œ#W-
Á øÞ
Tomando proyección se sigue que
:-< E ∩ W- Á ø,
a- − P
<
como :- es una aplicación abierta se sigue que :-< E es abierto y B- − :-< E por
tanto
B- − W-w
a- − P .
w
#
Luego
B œ B- § W- ,
así
Π#W -
w
§ #W-w .
%Þ Recíprocamente, sea B − #W-w Í B œ BAsí
B œ B-
-−P
122.Sean
w
• B- − W-w ,
a-ß entonces
• ß E- ∩ W- Á øß B- − E- y E- es abierto en W- .
B œ B-
por lo tanto B − Œ#W-
-−P
-−P
− :-<
"
E- ∩ #W- Á ø
de donde #W-w § Œ#W-
w
\ un espacio topológico y Q
un espacio métrico completo. Si
I œ Ö0" ß 0# ß á ß 08 ß á × es un conjunto equicontinuo de aplicaciones 08 À \ Q y
Ö08 B ×8− converge en Q ß para todo B perteneciente a un subconjunto denso
H § \ß entonces pruebe que Ö08 ×8− converge uniformemente en cada parte
compacta \ y 0 œ lim 08 es una aplicación continua.
8Ä∞
SOLUCIÓN. Por hipótesis I es equicontinuo, entonces I = œ I - por tanto 08 Ä 0 en
I= y 0 − I = ‡ . Luego 08 Ä 0 en I - por tanto 08 Ä 0 en las partes compactas de \ß
como 0 − I - y I es equicontinuo entonces I - es equicontinuo por lo tanto 0 es
una función continua así 0 œ lim08 .
Resta mostrar que 08 Ä 0 es I=
‡
Ö08 B ×8− converge simplemente en Q . Como H es compacto mostremos que
Ö08 B ×8− es una sucesión de Cauchy, para B! − H tenemos que
‰ˆ /B3=>/
"Þ ˆ H+.9
 $% ‰
%!
R ! Îa8ß 7  R Ê . 08 B! ß 07 B!
#Þ I es un conjunto equicontinuo, esto es
/B3=>/
ˆ H+.9
‰
 $% ß a08 − I ‹
%! Š Z B! @/-38.+. ./ B! ÎaB − Z ÐB! Ñß . 08 B ß 08 B!
$Þ Por tanto tenemos
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
135
ˆ H+.9
‰ˆ /B3=>/
‰
%!
R ! Îa8ß 7  R y tomando B! − H ∩ Z ÐBÑ se tiene
. 08 B ß 07 B Ÿ . 08 B ß 08 B!  . 08 B! ß 07 B!  . 07 B! ß 07 B Ÿ $%  $%  $% œ %
%Þ Así Ö08 B ×8− es una sucesión de Cauchy de Q , como Q es un espacio métrico
completo entonces existe 0 À \ Q tal que 08 B Ä 0 B , por lo tanto 08 Ä 0 en I= Þ
…
123.Sea
¶ es espacio de las funciones reales continuas en el intervalo Ò+ß ,Ó con la
métrica de la convergencia uniforme. Se define una función X À ¶ ¶ mediante
B
X † 0 B œ '+ 0 > .>.
Pruebe que Ö08 ×8− es una sucesión acotada en ¶ entonces ÖX † 08 ×8− posee una
subsucesión uniformemente convergente.
SOLUCIÓN. Mostremos que el conjunto ÖX † 08 × es equicontinuo o mejor que es
relativamente compacto
"Þ Por hipótesis existe Q  ! tal que l08 l  Q , a08
B
B
B
+
B
#Þl X † 08 B  X † 08 B! l œ l'+ 08 > .>  '+ ! 08 > .>l œ l'+ 08 > .>  'B! 08 > .>l œ l'B! 08 > .>l
B
Ÿ 'B! l08 > l.> Ÿ Q lB  B! l ß
a08
$Þ Esto muestra que la sucesión I œ ÖX † 08 × cumple con la condición de Lipschitz
por tanto es un conjunto equicontinuo.
%Þ I B œ Ö X † 08 B ÎB − Ò+ß ,Óß l08 ÐBÑl Ÿ Q × es relativamente compacto pues
B
B
l X † 0 8 B l œ l'+ 08 > .>l Ÿ '+ l08 > l.> Ÿ Q B  + Ÿ Q ,  +
así I B es un conjunto acotado y I B es acotado y cerrado en un espacio
euclidiano, se sigue que I B es compacto por lo tanto I B es relativamente
compacto.
&Þ Por el teorema de Ascoli I
es relativamente compacto en
¹? Ò+ß ,Óß d œ ¹- Ò+ß ,Óß d por ser Ò+ß ,Ó compacto.
'ÞSe concluye que Ö X † 08 × es secuencialmente compacto por lo tanto posee una
subsucesión convergente.
…
Apéndice
Los problemas que siguen ya estan demostrados, pero ahora se usa otro modelo
de demostración que nos brinda puntos de vista diferentes y permite una fijación
sobre los resultados por ellos propuestos.
Cualquier comentario por favor hacerlo a [email protected]
124.Sea
Q un espacio métrico. Indiquemos con ¹ Q
partes \ § Q que gozan de la siguiente propiedad:
3Ñ \ es acotado
el conjunto de todas las
Darío Sánchez H.
136
TOPOLOGIA GENERAL
33Ñ Si . Bß \ œ !, entonces B − \ .
Para \ß ] − ¹ Q ß sea 3Ð\ß ] Ñ el mayor de los dos números siguientes:
supÞÖ. Bß ] à B − \× ” supÞÖ. Cß \ à C − ] ×.
Entonces 3 es una métrica en ¹ Q , llamada una "métrica de Hausdorff". Para
\ § Q cualquiera y <  !ß sea Y Ð\à <Ñ œ ∪ FÐBß <Ñ œ reunión de todas las bolas
B−\
abiertas de radio < y centro en un punto de \ . Entonces, si \ß ] − ¹ÐQ Ñß muestre
que 3 \ß ]  < implica que \ § Y Ð] à <Ñ, y, ] § Y Ð\à <Ñ. Por otro lado estas dos
inclusiones implican que 3Ð\ß ] Ñ Ÿ <.
SOLUCIÓN. 3 \ß ] œ maxÖ supÞÖ. Bß ] à B − \×ß supÞÖ. Cß \ à C − ] ××
+ 3 es una métrica en ¹ÐQ Ñ:
1. 3 \ß \ œ ! es evidente
2. 3 \ß ] œ 3 ] ß \ es obvio
3. Si 3 \ß ]  !, entonces sea supÞÖ. Bß ] à B − \×  !. Por la definición de
sup, existe B! − \ tal que . B! ß ]  ! y por la propiedad 33Ñ de ¹ Q , tenemos
B! Â ] ß o sea \ Á ] . Por otro lado, si \ Á ] , sea por ejemplo B! − \ß B! Â ] .
Entonces por 33Ñß tenemos . B! ß ]  !, luego supÞÖ. Bß ] à B − \× . B! ß ]  ! de
donde 3Ð\ß ] Ñ  !.
4. \ß ] ,^ − ¹ÐQ Ñ Ê 3Ð\ß ^Ñ Ÿ 3Ð\ß ] Ñ  3Ð] ß ^Ñ
Sea H \ß ^ œ Ö. Bß ^ à B − \×
Afirmación: supH \ß ^ Ÿ supH \ß ]  supH ] ß ^
Sea = − HÐ\ß ^Ñ y %  ! arbitrario. Entonces existe B! − \ tal que = œ . B! ß ^ Þ
Como . B! ß ] œ 380 Ö. B! ß C à C − ] × y %  !, entonces existe C! − ] tal que
. B! ß C!  . B! ß ]  %, o sea . B! ß C!  . B! ß ]  %. Por un resultado básico ¿cuál?,
se sigue que l. B! ß D  . C! ß D l Ÿ . B! ß C! y entonces
. B! ß D Ÿ . B! ß C!  . C! ß D  . D! ß ]  . C! ß ^  %.
Denotando . B! ß ]  . C! ß ^ œ > y notando que
> − HÐ\ß ] Ñ  HÐ] ß ^Ñ, tenemos
que : a= − HÐ\ß ^Ñß y, a%  !, es posible encontrar > − HÐ\ß ] Ñ  HÐ] ß ^Ñ tal que
=  >  %. Se sigue entonces la afirmación.
Finalmente,
3Ð\ß ] Ñ  3Ð] ß ^Ñ œ maxÖsupHÐ\ß ] Ñß supHÐ] ß ^Ñ×  maxÖsupH ] ß ^ ß supH ^ß ] ×
œ maxÖsupH \ß ]  supH ] ß ^ ß supH ] ß ^  supH ] ß \ ß supH \ß ]  supH ^ß ] ß sup
H ] ß \  supH ^ß ] × maxÖsupH \ß ]  supH ] ß ^ ß supH ] ß \  supH ^ß ] × œ
maxÖsup H \ß ]  H ] ß ^ ß sup H ] ß \  H ^ß ] × maxÖsupH \ß ^ ß supH ^ß ]
Å
Afirmación
× œ 3 \ß ] .
, Supóngase 3 \ß ]  <Þ
Sea
B! − \ ,
como
3 \ß ]  <,
entonces
supÖ. Bß ] à B − \×  <
y
supÖ. Cß \ à C − ] ×  <Þ Luego . B! ß ]  <. Por la definición de supß tenemos que
existe
C! − ]
tal
que
. B! ß ] Ÿ . B ! ß C !  < ,
por
lo
tanto
B! − FÐC! à <Ñ § ∪ FÐCà <Ñ œ Y Ð] à VÑ, luego \ § Y Ð] à <ÑÞ Análogamente ] § Y Ð\à <ÑÞ
C−]
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
137
- Por otro lado , si \ § Y Ð] à <Ñ y ] § Y Ð\à <Ñ, entonces aB − \ß C − ] , tenemos
. Bß ]  < y . Cß \  <. Luego supÖ. Bß ] à B − \× Ÿ < supÖ. Cß \ à C − ] × y
entonces 3 \ß ] Ÿ <Þ
…
125.Sea s. la aplicación que asocia a cada parte \ § Q de un espacio métrico Q la
función real .\ À Q d , definida por .\ D œ . Dß \ ß D − Q , (O sea, .\ es una
función distancia de un punto variable de Q al conjunto fijo \Ñ Si nos restringimos
a considerar .\ apenas para los \ − ¹ÐQ Ñ (ver ejercicio anterior) obtenemos una
aplicación s
. À ¹ÐQ Ñ ¹ÐQ à dÑ, de ¹ÐQ Ñ en el conjunto ¹ÐQ à dÑ de las funciones
reales en el espacio métrico Q Þ Tenemos entonces;
+ Para cualesquier \ß ] − ¹ÐQ Ñ, las funciones .\ y .] están a una distancia
finita en ¹ÐQ à dÑ
, La aplicación s
. À \ .\ es una inmersión isométrica de ¹ÐQ Ñ en el
espacio de funciones ¹ÐQ à dÑ.
SOLUCIÓN. + Sean \ß ] − ¹ÐQ Ñ. Tenemos entonces que
. Šs
. \ ßs
. ] ‹ œ . .\ ß .] œ supÖl. Dß \  . Dß ] là D − Q × Ÿ α \ß ]   ∞ß
siendo αÐ\ß ] Ñ œ supÞÖ. Bß C à B − \ß C − ] ×.
, 3) Tenemos que
\§
Q
Æ
supÞÖl. Dß \  . Bß ] là D − Q × supÞÖl. Bß \  . Bß ] là B − \× œ supÖ. Bß ] à B − \×.
y también,
supÞÖl. Dß \  . Dß ] là D − Q × supÞÖ. Cß B ß B − \×
Entonces
. Šs
. \ ßs
. ] ‹ œ supÞÖl. Dß \  . Dß Q là D − Q × 3Ð\ß ] ÑÞ
33) Sean %  !, y, D − Q . Por la definición de infÞ, existen B − \ , y, C − ] tales que
Ÿ. BßD . Dß\ %
.
De l. Cß \  . Dß \ l Ÿ . Cß D se ve que
Š .. Dß\
Dß] Ÿ. CßD . Dß] % ‹
. Dß \ Ÿ . Cß D  . Cß \ Ÿ . Cß D  supÞH ] ß \ Ÿ . Cß D  3Ð\ß ] Ñ 
 . Dß ]  %  3Ð\ß ] Ñ
y entonces
. Dß \  . Dß ]  3Ð\ß ] Ñ  %
M
De l. Bß ]  . Dß ] l Ÿ . Bß D , se ve que
. Dß ] Ÿ . Bß ]  . Bß D Ÿ . Bß D  supÞH \ß ] Ÿ . Bß D  3Ð\ß ] Ñ  . Bß D  %  3Ð\
ß ] Ñ, luego . Dß ]  . Dß \  3Ð\ß ] Ñ  %, o sea que,
. Dß \  . Dß ]   3Ð\ß ] Ñ  %
De M y MM , tenemos que
l. Dß \  . Dß ] l  3Ð\ß ] Ñ  %ß a%  !ß aD − Q
Luego
MM
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
138
. Šs
. \ ßs
. ] ‹ œ supÞÖl. Dß \  . Dß ] là D − Q × Ÿ 3Ð\ß ] Ñ  %ß a%  !
y por lo tanto
. Šs
. \ ßs
. ] ‹ Ÿ 3Ð\ß ] Ñ
Finalmente de 3) y 33) tenemos lo deseado.
126. Sea W 8 œ ÖB − d8" à lBl œ "× la "esfera unitaria" 8  dimensional, con la métrica
lB  Clß inducida de d 8" . Para cada B œ B" ß B# ß á ß B8" − W 8 ß se tiene también
 B œ  B" ß  B# ß á ß  B8" − W 8 . Sea T 8 el conjunto cociente de W 8 por la relación
de equivalencia que identifica B con  Bà los elementos de T 8 son los pares no
ordenados : œ ÖBß  B×ß B − W 8 . Indiquemos con 1:W 8 T 8 a la aplicación cociente:
1 B œ ÖBß  B× œ 1  B .
En
T 8 ß tomemos
. :ß ; œ minÞÖlB  Clà lB  Cl×ß
si
: œ ÖBß  B× y ; œ ÖCß  C×. Esto hace que T 8 sea un espacio métrico, llamado el "el
espacio proyectivo real 8-dimensional". Se tiene . 1 B ß 1 C Ÿ lB  ClÞ Sea \ § W 8
un subconjunto tal que $ \ Ÿ È#ß esto es, si Bß C − \ lB  Cl Ÿ È# Þ Entonces
1|\ es una inmersión isométrica de \ en T 8 Þ
+ . :ß ; œ minÞÖlB  Clà lB  Cl×
es
una
métrica
en
donde
SOLUCIÓN.
: œ 1 B œ ÖBß  B× y ; œ 1 C œ ÖCß  C×
3) . :ß : œ !ß se tiene trivialmente
33) . :ß ; œ . ;ß : , evidentemente
333) Si : Á ; , entonces B Á „ C y entonces . :ß ;  !.
Si . :ß ;  ! entonces lB  Clß lB  Cl  ! y entonces B Á „ C, o sea : Á ; .
[email protected]) Si ÖDß  D× œ 1 D œ <ß tenemos
. :ß ;  . ;ß < œ minÞÖlB  Clß lB  Cl×  minÞÖlC  Dlà lC  Dl×
œ minÞÖlB  Cl  lC  Dlß lB  Cl  lC  Dlß lB  Cl  lC  Dlß lB  Cl  lC  Dl× minÞÖlB  Dlß lB  Dlß lB  Dlß lB  Dl× œ . :ß < .
, . 1 B ß 1 C œ minÞÖlB  Clà lB  Cl× Ÿ lB  Cl.
- Si aBß C − \ ,
tenemos lB  Cl Ÿ È#, entonces
#
lB  Cl  lB  Cl# œ  B  Cß B  C    B  Cß B  C  œ %
siempre y cuando lBl œ lCl œ ". Luego
lB  Cl# %  lB  Cl# %  # œ # Ê lB  Cl È# lB  Cl
de donde
. 1 B ß 1 C œ minß ÖlB  Clß lB  Cl× œ lB  Cl
y 1|\ es un inmersión isométrica.
…
127.Sean Q ß R espacios métricos. Una "oscilación" de 0 À Q R en el punto
+ − Q es el número A 0 à + œ infÞ de los diámetros de los conjuntos 0 ÒF +à < Óß
imágenes por 0 de las bolas abiertas de centro en +. Probar
+ 0 es continua en el punto + si y sólo si A 0 à + œ !
Darío Sánchez H.
139
TOPOLOGIA GENERAL
d en el punto !, donde 0 B œ œ
=/8 B" ß si B Á !
!ß
si B œ !
SOLUCIÓN. + Supóngase que A 0 à + œ ! y sea %  !. Entonces por la definición de
infÞß tenemos que b<  ! tal que $ Ð0 ÒFÐ+à <ÑÓÑ  %, o sea b<  ! tal que
. 0 B ß 0 C  %ß aBß C − F+à <Ñ. En particular aB − FÐ+à <Ñ, tenemos . 0 + à 0 B  %, o
sea 0 es continua en +Þ
Supóngase ahora que 0 es continua en +Þ
3 Es claro que ! Ÿ $ Ð0 ÒFÐ+à <ÑÓÑß a<  !
33 Si %  !, por ser 0 continua en +, b<!  ! tal que, B − FÐ+à <! Ñ implica que
0 ÐBÑ − FÐ0 Ð+Ñà $% Ñ o sea, aBß C − FÐ+à <! Ñ, se tiene . 0 B ß 0 C  #$% . Entonces
$ ÐÒFÐ+à <!ÑÓÑß Ÿ #$%  %Þ
Por 3 ß 33 , se tiene que A 0 à + œ !ß esto según la definición de infÞ
=/8 B" ß si B Á !
, Sea 0 À d d dada por 0 B œ œ
!ß
si B œ !
Calculemos A 0 à ! . Supóngase <  ! un número dado. Entonces existe 8 −  tal
#
#
"
que 8"  <. Si tomamos B! œ %8"
1 y C! œ %8$ 1 , se tiene que !  B!  #81  < y que
, Calcúle la oscilación de 0 À d
!  C! 
"
#8" 1
 <,
y por lo tanto
B! ß C! − FÐ!à <Ñ
y también
0 B! œ " y
0 C! œ  "Þ
Conclusión: a<  !ß bB! ß C! − FÐ!à <Ñ tal que . 0 B! ß 0 C! œ #.
Luego $ Ð0 ÒFÐ!à <ÑÓÑ #ß a<  !. Pero l0 B l Ÿ " de donde $ ÐÒFÐ!à <ÑÓÑ Ÿ #ß a<  !.
Recibiéndose que A 0 À ! œ #.
…
128.Establecer los siguientes homeomorfismos
+ Entre d 8"  Ö+× y W 8 ‚ d , donde, + − d 8"
, Entre el semiespacio superior abierto L œ ÖB − d 8 à B8  !× y el espacio total d 8 à
entre L œ ÖB − d 8 à B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ.
- Entre T œ ÖB − d 8 à B" !ß á ß B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞ÑÞ
SOLUCIÓN. + 1 À d 8"  Ö+× W 8 ‚ d .
Consideremos los siguientes homeomorfismos y sus respectivos inversos:
"Ñ
d 8"  Ö!× g d 8"  Ö+×
È
B+
B
"
d 8"  Ö+× g d 8"  Ö!×
È
B
B+
:
#Ñ
W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ
d 8"  Ö!×
È
>B
Bß >
"
:
d 8"  Ö!×
W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ
È Š B ß lBl‹
B
lBl
<
$Ñ
W8 ‚ d
W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ
Bß />
Bß >
È
Darío Sánchez H.
140
TOPOLOGIA GENERAL
<"
W 8 ‚ Ð!ß ∞Ñ
W8 ‚ d
Bß lg>
È
Bß >
Tenemos entonces que 2 À W 8 ‚ d d 8"  Ö+× dada por
2 Bß > œ g ‰ : ‰ < Bß > œ g ‰ : Bß /> œ g /> B œ /> B  +
es un homeomorfismo cuyo inverso es 2 " À d 8"  Ö+× W 8 ‚ d es dado por
B+
B+
2 " B œ <" ‰ :" ‰ g " B œ <" ‰ :" B  + œ <" Š lB+l
ß lB  +l‹ œ Š lB+l
ß lglB  +l‹
, 3Ñ 2 À L d definida por 2 B" ß á ß B8" ß B8 œ B" ß á ß B8" ß lgB8 cuyo inverso es
2 " À d 8 L es dada por 2 " B" ß á ß B8 œ B" ß á B8" ß /B8
33Ñ En forma análoga 2 À L d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ es trivalmente un homeomorfismo.
- T œ ÖB − d 8 à B" !ß âß B8 !× y d 8" ‚ Ò!ß ∞Ñ
Sea ‘ œ Ò!ß ∞Ñ y usando notación evidente, probemos inicialmente que d # µ d ‚ ‘.
#
Para eso escribimos ‘ en coordenas polares 3ß ) , donde ! Ÿ 3  ∞ y ! Ÿ ) Ÿ 1# à
igualmente, escribimos d ‚ ‘ en coordenadas 3" ß )" ß donde ! Ÿ 3"  ∞ y !
Ÿ )" Ÿ 1 .
#
La aplicación 0 À ‘ d ‚ ‘ dada por 0 3ß ) œ 3ß #) es continua biunívoca y
#
sobre, cuya inversa 0 " À d ‚ ‘ ‘ es dada por 0 " 3" ß )" œ ˆ3" ß )#" ‰ es continua y
#
entonces 0 es un homeomorfismo y por consiguiente ‘ µ d ‚ ‘.
5
Suponga ahora que ya tenemos demostrado que ‘ µ d 5" ‚ ‘ y probemos que
5"
‘
µ d 5 ‚ ‘. En efecto, tenemos
5"
5
ˆd 5" ‚ ‘‰ ‚ ‘ µ d 5" ‚ Б ‚ ‘Ñ µ d 5-" ‚ Ðd ‚ ‘Ñ µ d 5 ‚ ‘ .
‘
œ‘ ‚‘µ
Å
Å
inducción
8
Luego T œ ‘ µ d
…
129.En
8"
‚‘œd
8"
‚ Ò!ß ∞Ñ.
+ parte
"
cada uno de los casos de abajo, determine si E es o no un subconjunto
abierto del espacio métrico Q :
+ Q œ conjunto de los números reales ; E œ Önúmeros racionales×Þ
, Q œ µÐ\à dÑà
E+ œ Öfunciones acotadas 0 À \ d tales que 0 +  ! para + − Q fijo×Þ
- Q œ Önúmeros reales×ß 0 − ¹Ðdà dÑ y E4 œ ÖB − dà 0 ÐBÑ  !×Þ
. Q œ d 8 ; E œ ÖB − d 8 à B" entero  !×Þ
/ Q œ d#;
E œ Öpuntos del plano que no están en el círculo B#  C# œ " ni en el eje B×
0 Q œ Önúmeros enteros×à E œ ÖB − Q à lB  #l œ $×Þ
1 Q œ dà E œ ÖB − Q à B  $×Þ
2 Q œ µÐdà dÑà E œ Ö0 − Q Î0 es discontinua en todos los puntos de la recta×Þ
,
3 Q œ ¶! ÐÒ+Þ,Óà dÑà E œ Ö 0 − Q à '+ 0 B .B  !×Þ
4 Q œ d & à E œ Öpuntos que tienen exactamente 3 coordenadas  !×.
SOLUCIÓN. + Q œ d à E œ 
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
141
E no es abierto pues a< − ß a%  !, la bola F <à % œ <  %ß <  % contiene
irracionales.
, Q œ µÐ\à dÑà
E+ œ Öfunciones acotadas 0 À \ d tales que 0 +  ! para + − Q fijo ×
Dado 0 − E+ , tomemos 1 − Q tal que 1 − FÐ0 à 0 Ð+ÑÑ œ Ö2 − Q à . 0 à 2  0 +  !×Þ
Entonces . 0 B ß 1 B  0 + ß aB − \ , y por lo tanto
 0 +  0 B  1 B  0 + ß aB − \ ß o sea, 0 B  0 +  1 B  0 B  0 + ß aB − \ .
En particular, ! œ 0 +  0 +  1 +  #0 + Ê 1 +  !, y entonces
1 − E+ Ê FÐ0 à 0 Ð+ÑÑ § E+ Ê E+ es abierto.
- Si 0 À d d es continua, entonces E0 es realmente abierto, pues E0 œ 0 " !ß ∞ .
0 no es continua:
Esto no es posible, pues si tomamos
Ú ! , si  ∞  B  !
0 B œ Û ! , si "  B   ∞
Ü " , si ! Ÿ B Ÿ "
entonces E0 œ 0 " !ß ∞ œ Ò!ß "Ó no es abierto en d .
. Se define la función 1" À d 8 d, por 1" B" ß B# ß á ß B8 œ B" y se nota que 1" es
continua y que E œ 1"  , donde  es cerrado en d . luego E es cerrado en d 8 y
como E Á d 8 ß se sigue que E no es abierto.
/ Sea 0 À d # d la función dada por 0 Bß C œ =#  C# la cual es continua y entonces
0 " Ö"× œ W " œ Ö Bß C ÎB#  C# œ "× es cerrado en d # .
Sea 1 À d d dada por 1 B œ ! ; 1 es continua y entonces
K 1 œ gráfica de 1 œ eje de las B es cerrado en d ‚ d . Luego J œ W " ∪ K 1 es
cerrado en d # y entonces E œ d #  J es abierto.
0 O sea E œ Ö  "ß &×; es abierto en ™ pues ™ es un conjunto discreto.
1 E no es abierto en Q pues a%  !, la bola abierta  $  %ß  $  % œ F  $à % no
está contenida en E.
Ú
B
Ý
Ý / , si B es racional Ÿ !
" , si B es racional  !
2 Sea 0 À d d dada por 0 B œ Û
B
Ý
Ý  / , si B es irracional  !
Ü  " , si B es irracional  !
Tenemos que 0 − FÐdà dÑ pues l0 B l Ÿ "ß aB y 0 es discontinua en todo punto
de d .
Dado %  !ß sea FÐ0 à %Ñ en Q
y tomemos >! − d tal que />!  #%
Šes posible pues /B Ä !
‹.
BÄ ∞
0 B ß si B B!
1 B œœ
.
! ß si B  B!
Tenemos entonces que 1 − FÐ0 à %Ñ, pero 1 es continua en todo punto B  B! ß esto
es 1 Â EÞ Como %  ! es arbitrario, concluimos que E no es abierto.
B
3 La aplicación : À Q d dada por : 0 œ '+ 0 B .B es continua Ðver resultados
básicos en análisis en d 8 Ñ y entonces E œ :" !ß ∞ es abierto en Q pues !ß ∞
es abierto en d .
Sea 1 À d
d dada por
Darío Sánchez H.
142
TOPOLOGIA GENERAL
4 Sea C œ "ß "ß "ß !ß ! − E. Para cualquier %  !, tenemos B œ ˆ"ß "ß "ß #% ß !‰  E y sin
embargo . Bß C œ #% . Luego B − FÐCà %Ñ. Concluimos que E no es abierto en Q Þ
…
130. Sea
E œ Ö Bß C − d # à B Á C ” C œ !×. La intersección de E con cualquier recta
horizontal o vertical es abierto en esa recta, pero E no es un subconjunto abierto
del plano.
+ Sea W la recta C œ - constante, o sea, W œ Ö Bß - − d # à B − d×;
SOLUCIÓN.
entonces
W ∩ E œ Ö Bß - − d # à B  -× ∪ Ö Bß - − d # à B  -×
Se define 1 À W d por 1ÐBß -Ñ œ B. Es claro que 1 es continua y entonces
1"  ∞ß - ß 1" -ß ∞ son abiertos en W . Pero
1"  ∞ß - œ Ö Bß - − d # à B  -× y 1" -ß ∞ œ Ö Bß - − d # à B  -×.
Luego W ∩ E œ 1"  ∞ß - ∪ 1" -ß ∞ es abierto en W .
, E no es abierto en d # pues a%  !, la bola abierta FÐÐ!ß !Ñà %Ñ contiene puntos de
la forma ˆ 8" ß 8" ‰ß 8"  %ß que no estan en EÞ
…
131.Todo abierto no vacío E § d8 contiene por lo menos un punto
B œ B" ß B# ß á ß B8 cuyas coordenadas B" ß B# ß á ß B8 son racionales. Concluír que si ¶
es una colección de abiertos dos a dos disyuntos en d 8 ß entonces ¶ es
enumerable. Como consecuencia, mostrar que si M § d es un intervalo y 0 À M d
es una función monótona, entonces el conjunto de los B − M en los cuales 0 es
discontinua es enumerable.
+ Sea E § d 8 abierto no vacío y sea + œ +" ß +# ß á ß +8 − EÞ Entonces
SOLUCIÓN.
b%  ! tal que FÐ+à %Ñ §
 E. Pero dado +3 − d y %  !, existen siempre <3 −  tales que
<3 − Ð+3  8% ß +3  8% Ñß a3 œ "ß á ß 8Þ Tomando < œ <" ß á Þß <8 − 8 ß tenemos que
. +à < œ Ë
8
+ 3  <3
#
3œ"
8
Ÿ
l+3  <3 l  %
3œ"
y entonces < − FÐ+à %Ñ § EÞ
8
, Sea ¶ œ ÖE- ×-−P tal que E- §
 d es abierto y E- ∩ E. œ ø, si . Á -. Para este
ejercicio podemos suponer los E- Á ø, pues si algún E- œ ø y lo restante es
enumerable, entonces el total continuará enumerable.
Para cada - − P, fijamos por elección <- − E- ß <- − 8 dado por la parte + Þ
Tomemos una aplicación 0 À P 8 dada por 0Ð-Ñ œ <- y obtenemos que 0 es
biunívoca pues si - Á ., esto es, si E- ∩ E. œ ø , tenemos que 0Ð-Ñ œ <- Á <. œ 0Ð.Ñ.
Luego P es enumerable y por lo tanto ¶ también.
- Sea M § d un intervalo y 0 À M d monótana. Podemos sin perder generalidad
suponer que M es abierto. Sean 0 B œ lim 0 > y 0 B œ lim 0 > y suponga para
>ÄB
>B
fijar las ideas que 0 es monótonamente creciente en MÞ
>ÄB
>B
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
143
Entonces 0 B Ÿ 0 B Ÿ 0 B ß aB − Mß y si +  B  C entonces 0 B Ÿ 0 C  .
Además, 0 es continua en B Í 0 B œ 0 B œ 0 B (Para estas propiedades ver
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analisis- pg. 82/83).
Sean
Bα  B"
puntos
de
discontinuidad
de
0 à entonces
‰



ˆ
0 Bα  0 Bα Ÿ 0 B3  0 B"
y entonces la colección ¶ œ Ö 0 B ß 0 B à B es
punto de discontinuidad de 0 × es una colección de intervalos abiertos dos a dos
disyuntos en d y por la parte , , ¶ es enumerable. Luego también lo son los
puntos de discontinuidad de 0 .
…
132.Sea
M œ Ò+ß ,Ó e indiquemos con ¶ " ÐMÑ el espacio vectorial de las funciones
continuas acotadas 0 À M d el cual posee derivadas continuas en todos los punto
B − M . Muestre que l0 l‡ œ supÞÖl0 B l  l0 w B là B − M× es una norma en ¶ " ÐMÑ y que la
aplicación lineal H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐÒ+ß ,Óà dÑß definida por H 0 œ 0 w œ derivada de 0 ß es
continua. Dado B! − M , el conjunto E œ Ö0 − ¶ " ÐMÑ À 0 w ÐB! Ñ  !× es abiertoÞ ¿Es
,
continua la función : À ¶ " ÐMÑ d , definida por : 0 œ '+ 0 w B .B? . ¿Serían H continua
y E abierto aún si tomásemos en ¶ " ÐMÑ la norma l0 l œ supÞÖl0 B là B − M×?
0 w À M d es
SOLUCIÓN. Sea M œ Ò+ß ,Ó § d y ¶ " ÐMÑ œ Ö0 À M dà 0 es continua y
‡
w
continua× + |0 l œ supÞÖl0 > l  l0 > là > − M× es norma,

Î !ß son obvias.
3) l!l‡ œ ! y l0 l‡  ! Í 0 œ
33) Si - − d , entonces |-0 l‡ œ l-ll0 l‡ , es fácil
333) l0  1l‡ Ÿ l0 l‡  l1l‡
Sean 0 ß 1 − ¶ " ÐMÑ. Sabemos que 0  1 w > œ 0 w >  1w > y entonces a> − M , tenemos
l0 l‡  l1l‡ l0 > l  l0 w > l  l1 > l  l1 w > l l0 >  1 > l  l0 w >  1 w > l œ
œl 0 1 > ll 0 1 w > l
Luego l0 l‡  l1l‡ supÞÖl 0  1 > l  l 0  1 w > là > − M× œ l0  1l‡
, H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐÒ+ß ,Óà dÑß H 0 œ 0 w Þ
lH 0  H 1 l œ l0 w  1w l œ supÞÖl 0  1 w > là > − M× Ÿ supÞÖl 0  1 > l  l 0  1 w > lß > − M×
œ l0  1l‡ .
Luego H es una contracción débil y por lo tanto continua.
- B! − Mß E œ Ö0 − ¶ " ÐMÑà 0 w B!  !×.
Sea F œ Ö1 − ¶! ÐMÑà 1 B!  !× y sea 0 − Fà entonces 0 B!  ! y tomemos
!  %  0 B! en la bola F 0 à % . Si 2 − ¶! ÐMÑ y si 2 − FÐ0 à %Ñ, tenemos que . 0 à 2  %;
en particular, . 0 B! ß 2 B!  %ß o sea , l2 B!  0 B! l  %
y entonces
2 B!  0 B!  % ß o sea, 2 − F y F es abierto en ¶! ÐMÑÞ
Ahoraß H À ¶ " ÐMÑ ¶! ÐMÑ es continua y E œ H" F ß por lo tanto E es abierto en
¶ " ÐMÑÞ
,
,
. : À ¶ " ÐMÑ dß : 0 œ '+ 0 w > .>. Sea α À ¶! ÐMÑ d definida por α 1 œ '+ 1 > .>
y tomemos la compuesta α ‰ H À ¶ " M
dà así
, w
w
α ‰ H > œ α 0 œ '+ 0 > .> œ : > .
Luego : œ α ‰ H y como H es continua, basta mostrar que α lo es.
Darío Sánchez H.
144
TOPOLOGIA GENERAL
Sean 1ß 2 − ¶! ÐMÑ tenemos
,
,
,
lα 1  α 2 l œ ¹'+ 1 > .>  '+ 2 > .>¹ œ ¹'+ 1 >  2 > .>¹ Ÿ ,  + † supÞl1 >  2 > l
œ ,  + . 1ß 2 Þ
y por consiguiente α es Lipschitziana, luego es continua.
"
/ Sea ¶ " ÐMÑ con la norma del supremo, M œ Ò!ß "Ó. Sea ! œ
y sea $  !.
 0 − ¶ ÐMÑ
"
B8
Entonces existe 8 − R tal que 8  $ y tomemos la función 08 B œ 8 Þ Tenemos que
. 08 ß 0 œ 8"  $ y sin embargo se tiene . H 08 ß H 0 œ . 08w ß 0 w œ "Þ Luego H no es
continua en 0 œ
 !Þ
Sea ahora 0 B œ Bß 0 − ¶ " ÐMÑ donde M œ Ò!ß #1Ó y sea %  !. Entonces existe 8 − 
"
tal
que
y
sea
B! œ 1 − M . Tómese
ahora
la
función
#8"  %
"
"
08 B œ B  #8" =/8 #8  " B ; 08 − ¶ ÐMÑ
y
"
. 08 ß 0 œ supÞ¹ #8"
=/8 #8  " B ¹ œ
"
#8"
%
y por consiguiente 08 − FÐ0 à %Ñ.
Tenemos que 0 w B! œ 0 w 1 œ "  ! mientras que 08w B! œ 08w 1 œ "  " œ !Þ Por
consiguiente 08 Â E y E no es abierto.
…
133.Sean
\ un espacio topológico y K una colección de homeomorfismos de \
que forman un grupo con relación a la composición (esto es, si 1ß 2 − K entonces
1 ‰ 2 − K y si 1 − K entonces 1" − KÑ. La "órbita" de un punto B − \ relativamente
al grupo K es el conjunto K B œ Ö1 B à 1 − K× § \Þ Defina en \ una relación de
equivalencia cuyas clases de equivalencia son las orbitas de los puntos de \ según
K. Indiquemos con \ÎK el espacio cociente. Muestre que la aplicación cociente
: À \ \ÎK es abierta. Supónga que K es un grupo "propiamente discontinuo",
esto es, para todo punto B − \ existe un abierto Y conteniendo a B, con
Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø para todo 1 − K, 1 Á identidad. Esto implica que 1 Y y 2 Y son
disyuntos siempre que 1 Á 2ß 1ß 2 − K. En estas condiciones la aplicación cociente
: À \ \ÎK es un homeomorfismo local. Los toros X 8 ß el espacio proyectivo T 8 y
el cilindro W " ‚ d son casos particulares de esta situación.
BIC Í b1ß 2 − K tales que
SOLUCIÓN. + Es claro que la relación
1 B œ2 B ÍK B œK C ,
es una relación de equivalencia cuyas clases son las orbitas de los puntos de \ .
Sea \ÎK el conjunto cociente y sea : À \ \ÎK la aplicación cociente.
, : es abierta:
Sea E un abierto en \ ; basta probar que el saturado :" : E es abierto.
En efecto,
B − :" :ÐEÑ Í : B − : E Í : B œ : + ß + − E Í B œ 1 + ß 1 − K
Í B − 1ÐEÑ Í B − ∪ 1ÐEÑ
Luego :" : E œ
∪
1−K
1−K
1ÐEÑ que es abierto por ser reunión de abiertos.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
145
- Suponga K propiamente discontinuo y sea B − \ y Y abierto tal que
Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø a1 − K, 1 Á 3. .
Supóngase 1ß 2 − K, con 1 Á 2 1" Á 2 " . Tenemos entonces que
2 " 2 Y ∩ 1 Y œ Y ∩ 2 " ‰ 1 Y œ øß
pues 2 " ‰ 1 Á 3.Þ
"
Como 2 es un homeomorfismo, tenemos que 2 Y ∩ 1 Y œ øÞ
. : À \ \ÎK es un homeomorfismo local.
Sea B − \ y sea Y de manera que Y B es el abierto tal que
B − Y y Y ∩ 1ÐY Ñ œ ø, a1 − K , 1 Á 3.
Como : es una aplicación abierta, tenemos que : Y œ Z es abierto y cualquiera
que sea E § Y abierto , tenemos que E es abierto en \ y por consiguiente : E es
abierto y entonces :|Y À Y : Y œ Z es una aplicación abierta.
Es claro que :|Y es sobre; basta apenas mostrar que :|Y es uno a uno:
Sean B" ß B# − Y , B" Á B# y supóngase que :ÐB" Ñ œ :ÐB# Ñ. Entonces b1 − Kß 1 Á 3. tal
que 1 B" œ B# , B# − Y y B# œ 1 B" − 1ÐY Ñ Ê Y ∩ 1ÐY Ñ Á ø po contradicción.
/ 3) Sea K œ Ö15 À d 8 d 8 ß 15 B œ B  5 donde 5 − ™8 × verifiquemos que K es un
grupo propiamente discontinuo.
Nótese que la relación de equivalencia determinada por K coincide con algo que ya
conocemosß esto esß BKC Í B  C − ™8 Þ Luego tenemos que d 8 ÎK œ d 8 Ι8 lo cual
es homeomorfo al toro X 8 , el cual es un resultado básico ¿cuál?
33) Sea K œ ÖMß E×, donde M y E son la identidad y la aplicación antípoda
restringidas a W 8 . Se verifica que K es un grupo propiamente discontinuo y note
que la relación de equivalencia determinada por K en W 8 coincide con la dada en el
ejercicio 126, esto es BKC Í B œ „ CÞ Luego W 8 ÎK œ T 8 Þ
333) Sea K œ Ö15 À d # d # ß 15 Bß C œ B  5ß C ß donde 5 − ™× se verifica que K es un
grupo propiamente discontinuo y que Bß C K Bw ß Cw Í C œ Cw • B  Bw − ™ . Luego la
relación de equivalencia determinada por K en d # es la misma dada por un
ejercicio que ya hicimos ¿cuál?. Luego d # ÎK œ d # Ι µ W " ‚ d .
…
134.Sean 0 ß 1 À \
] aplicaciones continuas del espacio topológico \ en el espacio
de Hausdorff ] . El conjunto de los puntos B − \ tales que 0 B œ 1 B es cerrado
en \ . ¿Es esencial que ] sea de Hausdorff?
+ Sea J œ ÖB − \ à 0 B œ 1 C × y Ew œ \  J Þ Si + − Ew , entonces
SOLUCIÓN.
0 + Á 1 + en ] de Hausdorff . Luego existen abiertos Y y Z en ] tales que
0 + − Y , 1 + − Z y Y ∩ Z œ ø. Por ser 0 y 1 continuas existen abiertos Eß F en \ ,
tales que 0 E § Y y 1 F § Z . Sea [ œ E ∩ F abierto en \ ; tenemos que + − [ y
aA − [ , se sigue que
0 A −0 Ð[ ѧ0 ÐEѧY
Š 1ÐAÑ−1Ð[ ѧ1ÐFѧZ ‹,
luego 0 A Á 1ÐAÑ y entonces + − [ § Ew y por consiguiente Ew es abierto y J es
cerrado.
, Es esencial que ] sea espacio de Hausdorff, pues
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
146
"‰ ejemplo: Sea \ œ Ö+ß ,× y 7 œ Öøß \× la topología grosera en \ , luego \ß 7 no es
Hausdorff. Sean 0 À \ \ ,
1 À \ \ nótese que 0 ß 1 son continuas y que
+È +
+È+
,È+
,È ,
J œ ÖB − Eà 0 B œ 1 B × œ Ö+× no es cerrado en \ .
‰ ejemplo: Sea W œ E ∩ F ∩ G donde E œ Ö Bß ! à B Ÿ  "×ß F œ Ö Bß ! à B "×
#
G œ Ö !ß C à C  !×, sea 0 À W d dada por
"  B para Bß ! − E
0 Bß ! œ œ
y 0 !ß C œ C para !ß C − GÞ
"  B para Bß ! − F
Sean 7" y 7# las topologías inducidas en E ∪ G y F ∪ G por las restricciones 0 l E∪G y
0 l F∪G . Sea 7 la topología sobre W generada por 7" y 7# , se muestra que esta
topología no es Hausdorff. Definamos ahora 0 ß 1 À d W dadas por
"  Bß ! ß B Ÿ !
B  "ß ! ß B Ÿ !
0 B œœ
, 1 B œœ
ß
!ß B
ß B!
!ß B ß B  !
Se verifica que 0 y 1 son continuas y que J œ ÖB − dà 0 B œ 1 B × œ !ß ∞ no es
cerrado en d .
…
135.La adherencia de un conjunto en un espacio topológico \ tiene las siguientes
propiedades:
" ø œ ø;
# W § W;
$
%
W œ W;
W ∪X œW ∪X .
Estas propiedades implican sin retornar a la definición que si W § X entonces
W § X y que W ∩ X § W ∩ X . Recíprocamente, sea \ un conjunto. Supongamos
definida entre las partes de \ una aplicación W W gozando de las cuatro
propiedades de arriba. Defina un subconjunto E § \ como abierto si \  E
œ \EÞ Muestre que si obtiene así una topología en \ ; relativamente a la cual la
adherencia de un subconjunto Wß W coincide con el subconjunto W
dado
inicialmenteÞ
SOLUCIÓN. + Demostremos % À B − W ∪ X Í B es punto adherente de W ∪ X Í B es
punto adherente de W o de X Í B − W ” B − X Í B − W ∪ X . Luego W ∪ X œ W ∪ X
, Sin retornar a la definición
%
3 Si W § X , entonces W ∪ X œ X , luego X œ W ∪ X Ê W § X
33
3
W∩X §WÊW∩X §W
W∩X §X ÊW∩X §X
3
ÊW ∩X § W ∩X .
- Sea \ un conjunto y : À P \
P \ tal que : goza de las cuatro propiedades
" Î % y por consiguiente de 3 y 33 también.
Defínase E abierto Í : \E œ \  E
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
147
"
MÑ : \  \ œ :ÐøÑ œ ø œ \  \ß luego \ es abierto
MMÑ :Ð\  øÑ œ :Ð\Ñ − PÐ\Ñ por consiguiente :Ð\Ñ § \ . Pero por # , \ § :Ð\Ñ.
Luego \ œ :Ð\Ñ y entonces ø es abierto
MMMÑ Sea ÖE-×-−P una familia de abiertos, esto es, :Ð\  E- Ñ œ \  E- , a-. tenemos
3
que :Ð\  ∪ E- Ñ œ :Ò ∩ Ð\  E- ÑÓ § :Ð\  E- Ñß a- , entonces
-
-
∪
E- Ñ § ∩ Ð\  E- Ñ œ ∩ \  E- œ \ ∪ Ey también \  ∪ E- § :Ð\  ∪ E- Ñ, por # . Luego :Ð\  ∪ E- Ñ œ \  ∪ Epor consiguiente ∪ E- es abierto.
:Ð\ 
y
MZ Ñ Sean E" ß E# abiertos en \ ; tenemos que
%
:Ð\  E" ∩ E# Ñ œ :ÐÐ\  E" Ñ ∪ Ð\  E# ÑÑ œ :Ð\  E" Ñ ∪ :Ð\  E# Ñ œ \  E" ∪ \  E#
œ \E" ∩ E#
por consiguiente E" ∩ E# es abierto.
Por MÑß MMÑ, MMMÑß MZ Ñß tenemos una topología en \ .Þ
. Denotemos por W la adherencia de un conjunto W , en el sentido usual, y
mostremos que : W œ W ,
: \ \: W
œ: : W
$
œ: W œ\ \: W ß
#
luego \  : W es abierto y por lo tanto : W es cerrado y como : W ¨ W ,
tenemos que W § : W ˆpor la definición de W ‰. Pero W es cerrado, de donde \  W
es abierto y entonces
:ˆW ‰ œ : \  \  W œ \ˆ\  W ‰ œ WÞ
Por # , tenemos W § W Ê : W § :ˆW ‰ œ Wß con lo cual termina la demostración.
…
136.
Sea 0 À \ ] un homeomorfismo local. La imagen inversa 0 " C de cada
punto C − ] , es un conjunto discreto de \Þ Dadas aplicaciones continuas 1ß 2 À ^
\ tales que 0 ‰ 1 œ 0 ‰ 2 , entonces ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× es un subconjunto abierto de
^Þ Un levantamiento de una aplicación continua 1 À ^ ] es una aplicación
continua µ
1 À ^ \ tal que 0 ‰ µ
1 œ 1 . Concluya que si ^ es conexo, y \ de
Hausdorff, dos levantamientos de 1 À ^ ] los cuales coinciden en un punto D! − ^
coinciden en todos los puntos de ^Þ
SOLUCIÓN. + Sea B − 0 " ÐCÑ. Entonces existe un abierto Y ® B tal que 0 Y œ Z es
abierto en ] y 0 lY À Y Z es un homeomorfismo. Entonces aB" Á B − Y , tenemos
0 B" Á 0 ÐBÑ œ C así que B" −
/ 0 " ÐCÑ. Luego 0 " ÐCÑ ∩ Y œ ÖB× y por consiguiente
0 " ÐCÑ es discreto.
, Sean 1ß 2 À ^ \ continuas; sea E œ ÖD − ^à 1ÐDÑ œ 2ÐDÑ× y tomemos D − E.
Tenemos que 1 D œ 2 D œ B − \ . Como 0 es un homeomorfismo local , existe un
abierto Y ® B tal que 0 lY À Y Z œ 0 Y es un homeomorfismo.
Sean 1" Y œ [" y 2 " Y œ [# abiertos en ^ y sea [ œ [" ∩ [# à [ es abierto
en ^ y si A − [ , tenemos que 1 A , 2 A − Y y por hipótesis, 0 ‰ 1ÐAÑ œ 0 ‰ 2ÐAÑ.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
148
Pero 0 lY es un homeomorfismo. De donde se concluye que 1 A œ 2 A , o sea, que
D − [ § E y por consiguiente E es abierto.
- Sean ^ conexo, \ de Hausdorff y 1µ" ß 1µ# dos levantamientos de 1.
Sea E œ ÖD − ^àµ
1 " D ϵ
1 # D ×. Por ser levantamientos de 1ß tenemos que
µ
µ
0 ‰ 1" œ 1 œ 0 ‰ 1 # y entonces, por la parte , , tenemos que E es abierto en ^ .
Por ser \ de Hausdorff y por un ejercicio que ya esta hecho ¿cuál?, tenemos que
E es cerrado en ^ y como 1µ" D! œ 1µ# D! , tenemos que E Á ø. Finalmente por ser
^ conexo, tenemos que E œ ^ .
…
137.Para
que \ sea un espacio de Hausdorff es necesario y suficiente que la
diagonal ? œ Ö Bß C − \ ‚ \à B œ C× sea un conjunto cerrado en \ ‚ \ . Otra
condición equivalente es que cada punto B − \ sea la intersección de todas las
vecindades cerradas de BÞ
SOLUCIÓN. + Si \ es Hausdorff, basta notar que ? es el gráfico de la aplicación
continua + À \ \ , + B œ B ; luego ? es cerrado en \ ‚ \ .
Supóngase ahora que ? es cerrado y sean Bß C − \ , B Á C. Entonces Bß C Â ? y
como \? es abierto, existe un abierto E ® Bß C tal que E ∩ ? œ øÞ Por definición
de abierto de la topología producto, para el punto Bß C − E, existen abiertos Y ® B
en \ y Z ® C tales que Bß C − Y ‚ Z § E § \  ?Þ Como Y ‚ Z § \  ?, tenemos
que a ?ß @ − Y ‚ Z Ê ? Á @Þ En otras palabras , Y ∩ Z œ ø. Luego \ es Hausdorff.
, Supónga inicialmente que \ es de Hausdorff. Si B − \ , entonces B − ∩ JB ,
donde JB es una vecindad cerrada de B, tomemos C Á B y por ser \ de Hausdorff,
existen abiertos Eß F en \ tales que B − Eß C − F
y E ∩ F œ ø.
Luego
B − \  F œ J ß el cual es una vecindad cerrada de B pues J ¨ E ® B .
Además C  J , o sea, C  ∩ JB ; luego ÖB× œ ∩ JB . Supóngase ahora que aB − \ ,
tenemos que ÖB× œ ∩ JB , entonces dados C Á B en \ tenemos que C  ∩ JB ,
luego existe una vecindad cerrada JB de B tal que C Â JB , o sea C pertenece al
abierto E œ \  JB Þ Además, por ser JB una vecindad de B, tenemos que existe un
C−Eœ\J
abierto F tal que B − F § JB . Entonces Š B−F§J B ‹, luego E ∩ F œ ø y \ es
B
de Hausdorff.
…
138.Sea
el conjunto de las matrices cuadradas reales con 8 filas y 8
columnas. Establezca una correspondencia biunívoca entre Q 8 y el espacio
#
euclidiano d 8 . Por medio de esa correspondencia, transforme a Q 8 en espacio
métrico. Las aplicaciones ./> À Q 8 d y 7 À Q 8 ‚ Q 8
Q 8 , definidas por
./>Þ \ œ determinante de la matriz \ y 7 \ß ] œ \ † ] œ producto matricial de
\ por ] , son continuas. El conjunto K 8 de las matrices 8 ‚ 8 las cuales poseen
inversa es abierto en Q 8 . La aplicación < À K 8 K 8 definida por < \ œ \ " ,
es continua.
Q 8
Darío Sánchez H.
149
TOPOLOGIA GENERAL
El conjunto S 8 de las matrices ortogonales (esto es, matrices cuya inversa en
igual a la transpuesta) es acotado y cerrado en Q 8 . El conjunto K 8 de las
matrices cuyo determinante es  ! es abierto y cerrado en K 8 . ¿Será K 8
cerrado en Q 8 ?.
Ô +"" á +38 ×
ã
ä
ã basta hacer 0 E œ +"" ß á ß +8" ß á ß +"8 ß á ß +88
SOLUCIÓN. + Si E œ
Õ +8" á +88 Ø
#
para obtener una correspondencia uno a uno, 0 À Q 8 d 8 .
#
, Sea ." À d 8 d la métrica definida por ." Bß C œ supÞÖlB3  C3 l; 3 œ "ß á ß 8# ×, donde
#
B œ B" ß á ß B8# ß C œ C" ß á ß C8# − d 8 .
#
Entonces, si E œ +34 ß F œ ,34 − Q Ð8Ñ, definimos . À Q 8
d 8 por
. Eß F œ ." 0 E ß 0 F œ max l+34  ,34 l
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8
-
Sea
./> À Q 8
d
dada
por
./> E œ
5
%Ð5Ñ+"5 " â+85 8 ,
donde
E œ +34 − Q Ð8Ñ, 5 es una permutación de 8 elementos y %Ð5Ñ es el signo de la
permutación.
Luego ./> es una función continua pues se expresa como suma y producto de
funciones continuas.
Sea 7 À Q Ð8Ñ ‚ Q Ð8Ñ Q Ð8Ñ dada por 7 Eß F œ E † F . Tenemos que 7 es bilineal y
Q 8 es un espacio vectorial de dimensión finita. En la parte de análisis en d 8 se
mostró que 7 es continua.
.
Note que \ − Q Ð8Ñ posee inversa si y sólo si ./> \ Á !; luego
K 8 œ ./>" d  Ö!× , luego K 8 es abierto en Q 8 pues ./> es continua y
d  Ö!× es abierto de d .
/ < À K 8 K 8 , dada por < \ œ \ " œ ./>"\ † +.4 \ y +.4 \ œ ˆ +.4\ 34 ‰ß
donde +.4\ 34 œ  " 34 † ./> \ 4l3 y donde \ 4l3 es la matriz que se obtiene de
\ , eliminándose la fila 4 y la columna 3Þ
Notemos que 134 À Q 8 Q 8  " dada por 134 \ œ \ 4l3 es continua pues es una
contracción débil;
. 134 \ ß 134 ] œ . \ 4l3 ß ] 4l3 Ÿ . \ß ] .
También es continua la aplicación ./> À Q 8  " dÞ Luego +.4 34 À Q 8 d dada
por
+.4 34 \ œ +.4\ 34 œ ./> \ 4l3 œ ./> ‰ 134 \
es continua, pues es compuesta de funciones continuas. Entonces la aplicación
+.4 À Q 8 Q 8 dada por
Ô +.4\
ã
+.4 \ œ
Õ +.4\
es continua, pues todas sus coordenadas
""
8"
â
ä
â
+.4\
+.4\
ã
+.4\
34
38
88
×
Ø
lo son.
Darío Sánchez H.
150
TOPOLOGIA GENERAL
La función K 8
:
d  Ö!× dada por : \ œ
"
./> \
es continua pues es la compuesta
de la función ./> con la función d  Ö!×
d que son ambas continuas.
B È B"
Luego la función < À K 8
K 8
es continua por ser compuesta de las funciones
\ È \ "
continuas:
K 8
d  Ö!× ‚ KÐ8Ñ
"
\È
ß +.4\
Œ
./>\
È
KÐ8Ñ
"
† +.4\
./> \
0 Consideremos la composición
Q 8 - Q 8 ‚Q 8
\È
ˆ\ß \ > ‰
7 Q 8 ./> d
>
È \ † \ >È ./>ˆ\\ ‰
./> ‰ 7 ‰ - À Q 8
d es continua pues cada uno de los factores es continua.
Como \ − S 8 Í ./>\ œ „ ", tenemos que S 8 œ ./> " Ö  "ß "× que es cerrado
en Q 8 pues Ö  "ß "× es cerrado en d . (o aún, \ − S 8 Í \ † \ > œ Mß luego
S 8 œ ./> ‰ 7 ‰ - " Ö"× Þ
Por
otra
parte,
tenemos
E œ +34 − S 8 Ê EE> œ "ß entonces
a3 œ "ß á ß 8ß entonces
l+34 l Ÿ "ß a3ß 4 œ "ß á ß 8 Ê lEl œ . Eß ! œ supÞ
8
#
+34
œ "ß
4œ"
Öl+34 l× Ÿ ".
" Ÿ 34 Ÿ 8
Luego S 8 − HÐ!à "Ñ œ bola cerrada de centro en la matriz nula y radio ", entonces
S 8 es acotado.
1 K œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./>\  !× es abierto en Q 8 pues K  8 œ ./> " !ß ∞ y
./> À Q 8 d es una función continua. De manera análoga, tenemos que
K 8 œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./> \  !×
es abierto en Q 8 . Luego K  Ð 8 Ñ y K  Ð 8 Ñ son abiertos en KÐ8Ñ y
K 8 œ K 8 ∪ K 8 ,
.3=C?8>+
luego K 8 y K 8 son también cerrados en K 8 Þ
2 K 8 no es cerrado en Q 8 . Como Q 8 œ K 8 ∪ K! 8 ∪ K 8 , unión
disyunta donde
K! 8 œ Ö\ − Q Ð8Ñà ./> \ œ !×,
basta mostrar que
K! 8 ∪ K 8 œ Q 8  K 8
no es abierto.
"
Ô8 á !×
"
Dado %  !, tome 8 −  tal que 8  % y entonces E8 œ Ö ã ä ã Ù − K Ð8Ñ y sin
Õ ! á 8" Ø
embargo lE8 l œ 8"  %, luego E8 − F !à % Þ Luego la matriz ! no pertenece al interior
de K! 8 ∪ K 8 , luego este conjunto no es abierto.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
151
…
139.Para
todo subconjunto no vacío W en un espacio métrico Q y todo punto
+ − Q , se tiene que . +ß W œ . ˆ+ß W ‰.
Sea E œ Ö. +ß B à B − W× y F œ Ö. +ß C à C − W×, entonces . +ß W œ infÞEß
SOLUCIÓN.
ˆ
‰
. +ß W œ infÞFÞ Sea 7 œ . ˆ+ß W ‰ œ infÞF y probemos que 7 œ infÞE:
3) Como E §
 F , entonces infÞF Ÿ infÞE, o sea a= − E, tenemos 7 Ÿ =.
33) Sea dado %  !. Como 7 œ infÞFß entonces existe > œ . +ß C − F ÐC − WÑ tal que
7 Ÿ >  7  #% Þ Como C − W , entonces existe B − W tal que . Bß C  #% . Luego para
= œ . +ß B − Eß tenemos 7 Ÿ = œ . +ß B Ÿ . +ß C  . Cß B  7  #%  #% œ 7  %, o sea
existe = − E tal que 7 Ÿ =  7  %Þ
3 y 33 implican que 7 œ infÞE.
…
140. Sea K œ Ö Bß C − \ ‚ \à BIC× el gráfico de una relación de equivalencia I . Si
\ÎI es un espacio de Hausdorff, entonces K es un subconjunto cerrado de \ ‚ \ .
Si K § \ ‚ \ es cerrado entonces todo punto en \ÎI es cerrado pero no se puede
garantizar que \ÎI sea un espacio de Hausdorff, aún cuando \ lo sea. Si
K § \ ‚ \ es cerrado y la relación I es abierta entonces \ÎI es un espacio de
Hausdorff.
! Á C! y como \ÎI es
SOLUCIÓN. + Sea B! ß C! − \ ‚ \  KÞ Esto significa que B
de Hausdorff, tenemos que existen abiertos Y ß Z en \ÎI tales que B! − Y ß C! − Z y
Y ∩ Z œ ø.
Como : À \ \ÎI es continua , tenemos que :" Y y :" Z son abiertos en \ ,
con B! − :" ÐY Ñ y C! − :" ÐZ Ñ. Tomemos el abierto E œ :" ÐY Ñ ‚ :" ÐZ Ñ en \ ‚ \ .
Si Bß C − Eß tenemos 
B œ :ÐBÑ − :Ð:" ÐY ÑÑ œ Y y 
C œ :ÐCÑ − :Ð:" ÐZ ÑÑ œ Z y por
consiguiente 
B Á
C ; luego Bß C Â K y entonces E § \ ‚ \  K y \ ‚ \  K es
abierto.
, En lo que sigue identificaremos cada punto 
B − \ÎI con su clase de


equivalencia B œ ÖD − \à DIB× § \ y mostrar que ÖB × es cerrado en \ÎI , esto es
Î , o sea,
equivalente a mostrar que 
B es cerrado en \Þ Sea C Â 
B ; luego CIB
Bß C − \ ‚ \  K , que es abierto. Entonces existen abiertos Y ß Z § \ tales que
Bß C − Y ‚ Z § \ ‚ \  K . En otras palabras, a? − Y ß [email protected] − Z , tenemos ?ß @ Â K ,
Î . En particular, [email protected] − Z tenemos que @IBß
Î o sea, @ Â 
esto es, [email protected]
B . Luego Z ∩ 
B Ͽ


ß yß C − Z . Luego \  B es abierto en \ y por consiguiente B es cerrado.
Si K es cerrado y \ es de Hausdorff, no implica que \ÎI sea Hausdorff:
Sea \ un espacio de Hausdorff no normal; entonces existen en \ dos cerrados
disyuntos J y K tales que no existen abiertos disyuntos Y y Z con J § Y y K § Z .
Tome una relación de equivalencia la cual identifique los puntos de J , a los puntos
de K, y a los demás puntos con ellos mismos. Entonces las clases de equivalencia
son J , K y 
B œ ÖB× tal que B  J y B  K. Muestre que el gráfico de esta
relación es cerrado, que los puntos son cerrados, pero que \ÎI no es Hausdorff.
Darío Sánchez H.
152
TOPOLOGIA GENERAL
- Si K § \ ‚ \ es cerrado y : À \ \ÎI es abierta, entonces \ÎI es de
Hausdorff.
Î y por ser K cerrado, tenemos que existen
Sean 
B Á
C en \ÎI ; entonces BIC
abiertos Y ß Z § \ tales que Bß C − Y ‚ Z § \ ‚ \  K, o sea a? − Y , y, [email protected] − Z , se
Î
tiene [email protected]Þ
Como : es abierta, tenemos que 
B − :ÐY Ñ es abierto y 
C − :ÐZ Ñ abierto y si existe


donde
Aœ?
ß
?−Y

A − :ÐY Ñ ∩ :ÐZ Ñ, entonces Š  
‹, o sea, existe ? − Y ß existe @ − Z tal
Aœ@ , donde @−Z
que 
? œ
@ , esto es, [email protected]ß po contradicción. Luego :ÐY Ñ ∩ :ÐZ Ñ œ ø
Hausdorff.
…
y \ÎI es de
141. Sea ÖB8 ×8− una sucesión en un espacio métrico Q . Dada una descomposición
R œ R" ∪ â ∪ R: donde R" ß á ß R: son infinitos y disyuntos, si las subsucesiones
ÖB8 ×8−R" ß ÖB8 ×8−R# ß á ß ÖB8 ×8−R : convergen todas para el mismo límite + − Q entonces
ÖB8 ×8− converge para +. ¿Es éste resultado aún verdadero en el caso de una
descomposición "infinita" R œ R" ∪ â ∪ R: ∪ â?.
SOLUCIÓN. + Dado %  !, para cada 3 œ "ß á ß :ß b83 − R3 tal que Š 88 3 ‹ß entonces
3
. B8 ß +  %. Tomemos 8! œ maxÞÖ8" ß á ß 8: ×.
. B8 ß +  %à luego limB8 œ +Þ
Entonces
!‰
ˆ a88
8− ß
8−R
tenemos
que
8−
, Ejemplo: Sea Ö:" ß :# ß :$ ß á × œ Ö#ß $ß &ß (ß á × una enumeración en orden creciente
de los números primos y tomemos
R" œ Ö"× ∪ # œ Ö"× ∪ :" 
R # œ $  R " œ : #   R "
ã
ã
R5 œ : 5  
5
∪ R5 .
3œ"
Tenemos entonces que  œ
Tomamos ahora
∞
∪
R5 y que los R3 son infinitos y disyuntos.
BÀ
d
definida por Š B5 œ!ß si 5ÂÖ: "ß: #ßá× ‹.
" #
5
8 È B 8 œ B8
converge para !, aR3 , pues cada R3 sólo tiene un número primo
5œ"
B œ"ß si 5−Ö: ß: ßá×
Entonces ÖB8 ×8−R3
:3 Þ
Pero ÖB8 ×8− no converge para ! pues existen números primos arbitrariamente
grandes. Luego la respuesta a la pregunta no es verdad.
…
142.Sea
ÖB8 ×8− una sucesión convergente en un espacio métrico Q . Dada
cualquier aplicación biunívoca : À   la sucesión C8 œ B: 8 también converge en
Q y se tiene
lim C8 œ lim B8 . ¿Qué otra hipótesis puede sustituir el hecho de
8Ä∞
que : sea biunívoca?
8Ä∞
Darío Sánchez H.
153
TOPOLOGIA GENERAL
SOLUCIÓN. + Supóngase B8 Ä + y : À 
 biunívoca. Dado %  !, b8! − −  tal
que 8  8! implica que . B8 ß +  %. Como : À   es biunívoca, tenemos que
:" Ö"ß á ß 8! × es finito y entonces b R −  tal que
:" Ö"ß á ß 8! × §
 Ö"ß #ß á ß R ×
ˆ
y por lo tanto, a8  R , tenemos que : 8  8! y entonces . B: 8 ß +‰  %Þ Luego
lim B: 8 œ +Þ
8Ä∞
, Bastaría que para cada conjunto finito Ö"ß #ß á ß 8! × §
 ß tuviésemos que
"
: Ö"ß á ß 8! × §
  posea un conjunto finito.
- Basta definir para un determinado : − , la aplicación biunívoca : À 

y
8È 8  :
entonces B8 Ä +, tenemos que ÖB: 8 œ B8: × Ä +Þ
…
143.Sea
d el conjunto de los números reales y  el conjunto de los números
racionales. El conjunto de las sucesiones convergentes de números reales es
cerrado en µ à d pero las sucesiones convergentes de números racionales no
forman un subconjunto cerrado de µ à  . En cualquier espacio métrico Q , sin
embargo, la aplicación que asocia a cada sucesión convergente su límite, es
continua [cuando se considera el conjunto de las sucesiones convergentes en Q
como subespacio de µ R à Q ].
SOLUCIÓN. + Sea ¶ ; d el conjunto de las sucesiones convergentes de números
reales el cual está contenido en µÐ; dÑ . Sea Ö08 ×8− una sucesión en ¶ ; d
tal que existe lim 08 œ 0 − µÐß dÑ y probemos que 0 − ¶ ; d . Sea entonces %  !
8Ä∞
dado arbitrariamente y como 08 Ä 0 tenemos que b8! −  tal que . 08 ß 0  $% ß
a8  8! . Fijamos 8" − ß 8"  8! y entonces
. 08 ß 0  $%
"
Como 08 − ¶ Ðà dÑ para todo 8, tenemos en particular que Ö08" 5 ×5− es
convergente, luego es una sucesión de Cauchy. Entonces b5! −  tal que 5" ß 5# 5!
implica que
l08" 5 "  08" 5# l  $% .
#
Tomando entonces 5" ß 5# 5! , tenemos que
"
Æ
l0 5"  0 5# l Ÿ l0 5"  08" 5" l  l08" 5"  08" 5# l  l08" 5#  0 5# l  $%  $%  $% œ %
Å
#
Luego Ö0 5 ×5− es una sucesión de Cauchy en d y entonces es convergente, esto
es, lim 0 5 œ 0 − ¶ Ðà dÑ.
5Ä∞
, Sea ¶ Ðà dÑ §
 µÐà dÑ y probemos que ¶ no es cerrado en µ. Para esto,
tomemos α − d   y como  es denso en d , existe una sucesión Ö0 8 ×8− tal que
0 8 Ä α y 0 8 − ß a8 − . Tomemos ahora una sucesión Ö07 ×7− , donde cada
07 − ¶ Ðà Ñ esta definida por:
Ö0" 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 " ß á ß 0 " ß á ×
Ö0# 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 # ß á ß 0 # ß á ×
Darío Sánchez H.
154
TOPOLOGIA GENERAL
ã
ã
ã
ã
ã
Ö07 8 ×8− œ Ö0 " ß 0 # ß á ß 0 7  " ß 0 7 ß á ×
ã
Es claro que 07 − ¶ Ðà Ñ pues 07 8 Ä 0 8 y también 07 Ä 0 Â ¶ Ðà Ñ pues
0 8 Ä
y α Â . Luego ¶ Ðà Ñ no es cerrado.
8 α
- Sea ¶ Ðà Q Ñ §
 µÐà Q Ñ y definamos : À ¶ Ðà Q Ñ Q por : ÖB8 ×8− œ Bß donde
B œ lim B8 ; es claro que : esta bien definida pues aÖB8 ×8− − ¶ tiene uno y sólo un
límite.
Sea
dado
. ÖB8 ×8− ß ÖC8 ×8− 
%!
%
$
.
y
Como
ÖB8 ×8− − ¶
y
tomemos
ÖC8 ×8− − ¶
B8 ÄBßb8" −Î88" Ê. B8 ßB  %
Œ C8 ÄCßb8# −Î88# Ê. C8 ßC  %$
$
tal
que
.
Tomando 8! œ maxÞÖ8" ß 8# × y fijando R − , R  8! tenemos que
. Bß C Ÿ . BR ß B  . BR ß CR  . CR ß C  $%  $%  $% œ %.
Luego, dado %  !, tome $ œ $% para ver que : es continua.
…
144.Sean
\ un espacio topológico R un espacio métrico y E § \ un subconjunto
tal que E œ \ . Si una sucesión de aplicaciones continuas 08 À \ R convergente
uniformemente en E para una aplicación continua 0 À \ R , entonces 08 Ä 0
uniformemente en \.
SOLUCIÓN. Dado %  !, b8! −  tal que 8  8! implica que
. 08 B ß 0 B  $% , aB − E
"
Tomamos 8" −  fijo, 8"  8! . Sea B! − \ y probemos que . 08" B! ß 0 B!  %Þ
Como 08" À \  es continua, bY ® B! abierto tal que
B − Y Ê . 08" B ß 08" B!  $%
#
Como 0 À \  es continua, b un abierto Z ® B! tal que
B − Z Ê . 0 B ß 0 B!  $%
$
Tomando
el
abierto
[ œ Y ∩ Z ® B! .
Entonces
aB − [ ,
se
cumplen
simultáneamente # y $ . Pero E œ \ , entonces E ∩ [ Á ø; tenemos entonces +
− E ∩ [ y para tal + valen " ß # y $ , por lo tanto
. 08" B! ß B! Ÿ . 08" B! ß 08" +  . 08" + ß 0 +  . 0 + ß 0 B!  $%  $%  $% œ %.
…
145.Se dice que un subconjunto W de un espacio topológico \ es "denso" en \
cuando W œ \Þ Un subgrupo aditivo K de los números reales es denso en d , si y
sólo si ! es punto de acumulación de K. Si el subgrupo K § d no es denso en d ,
existe un número real + ! tal que K œ ™+ß esto es K œ Ö8+à 8 − ™×. En particular,
los subgrupos aditivos cerrados de d son Ö!×ß d y los de la forma ™+ß +  !.
Concluir que si ) es un número irracional, los números de la forma 7  )8ß
7ß 8 − ™ constituyen un subconjunto denso de d .
SOLUCIÓN. + Suponga que K œ d y sea %  ! dado. Existe entonces 1 − K tal que
1 − Ð!ß %Ñ. Luego ! es punto de acumulación de K.
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
155
Sean ahora B  ! en d y %  ! dados. Como ! es punto de acumulación de K,
tenemos que existe 1 − K tal que 1 − Ð  %ß %Ñ  Ö!×
y podemos suponer que
1  ! (si 1  !ß  1  ! y  1 − K, pues K es un grupo). Tómese 8 −  tal que
8  " 1 Ÿ B Ÿ 8  " 1 пexiste tal 8?). Entonces tenemos que 81  1 Ÿ B Ÿ 81  1 y
como 1  %, de la última desigualdad se ve que 81  %  B  81  % y entonces
 %  B  81  %. Luego lB  81l  % y entonces 81 − B  %ß B  % y 81 − K Ðpues
8 − , 1 − K y K es grupoÑ. Luego B  %ß B  % ∩ K Á ø. Como !  % es cualquiera,

tenemos que B − K . Si B − dß B  !, se resuelve de manera análoga. Luego, aB − d ,

tenemos B − K y entonces K œ d .
, Si K œ Ö!×, entonces K œ ™ † !. Suponga K Á Ö!× y K no denso en d ; por la parte
+ ß ! no es punto de acumulación de Kß esto es, b%  !, tal que
Ð  %ß %Ñ  Ö!× ∩ K œ ø.
Sea E œ Ö1 − Kà 1  !×. Entonces E Á ø pues K Á Ö!× y como E es acotado
inferiormente por %  !, tenemos que Œb+ − d
y + œ infÞE.
+!
"
+−KÀ
Pues en caso contrario, por la definición de ínfimo, existiría
1 − K tal que
+  1  +  % y aún por la definición de ínfimo, existiría 2 − K de manera que
+  2  1  +  %. Tenemos entonces que !  1  2  % y 1  2 − K pues 1ß 2 − K .
Luego b1  2 − Ð!ß %Ñ ∩ Kß po contradictorio.
# aB − Kß B  !, tenemos B œ 8+:
Supóngase que
B − K y B Á 7+, a7 − . Entonces existe 8 −  tal que
8+  B  8  " +. Luego 8+  B  8+  + lo que implica que !  B  8+  + y como
Bß + − K, tenemos que B  8+ − E y !  B  8+  infÞE,po contradicción.
- Si K §
 d es un subgrupo aditivo cerrado en d y si K Á d , tenemos que

K œ K Á d , luego, por la parte , ß K œ ™ † +.
. Si ) − d  , es fácil ver que el conjunto K œ Ö7  8)à 7ß 8 − ™× es un subgrupo
aditivo de d. Si K no es denso en d, entonces por la parte , , tenemos que existe
7  8) œ + − K tal que K œ ™ † +Þ Pero ) œ !  " † ) − K, luego existe D − ™ de manera
8D
que ) œ D † +, o sea, ) œ DÐ7  8)Ñ Ê )  D7) œ 8D . Luego ) œ ! o )= "D7
− . En
cualquiera de los casos, tenemos po contradicción, pues ) − d  . Luego K es
denso en dÞ
…
D‘’LLƒ
Darío Sánchez H.
156
TOPOLOGIA GENERAL
BIBLIOGRAFIA
- Bourbaki, N., Théorie des Ensembles, Fascicule de Résultats, Hermann, París,
1958.
- Bourbaki, N., Topologie Générale, Hermann, 1961, Hocking, J.G., & Young, G.S.,
- Chinn, W.G. & Steenrod, N.E., First Concepts of Topology, Random House, Inc.,
N.Y., 1966.
- Halmos, P.R., Teoría Intuitiva de Conjuntos, Cecsa, México D.F., 1965.
- Hall, D.W. & Spencer II, G. L., Elementary Topology, John Wiley & Sons, Inc., N.Y.
1960.
- Hocking, J.G. & Young, G.S., Topología, Editorial Reverté S.A., 1966.
- Kelley, J.L., General Topology, Editorial Board, N.Y., 1970.
- Lima, E.L., Elementos de Topología General, Editoria U. de S. Paulo, 1970.
- Mendelson, B., Introduction to Topology, Allyn & Bacon, Inc., Boston, 1966.
- Moore, T.O., Elementary General Topology, Prentice-Hall Math.Series, 1964.
- Muñoz, J.M., Introducción a la Teoría de Conjuntos, 4a. Ed., U.N., 2002.
- Muñoz, J.M., Topología Básica, Academia Col. de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales, Bogotá, D.C., 2003.
- Muñoz, J.M., Introducción a la Topología, Depto.Mat., U.N., 1983.
- Simons, G.F., Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill Book
Company, Inc., 1963.
- Suppes, P., Teoría Axiomática de Conjuntos, Editorial Norma, Cali, Colombia
1968.
_______________________________
Espero que el lector haya obtenido algún provecho
aprendizaje de los espacios topológicos.
Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.
Cualquier comentario favor hacerlo llegar a:
[email protected]
[email protected]
Copyright© Darío Sánchez Hernández
de
este
trabajo
en
el
Darío Sánchez H.
TOPOLOGIA GENERAL
157