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PRÁCTICA 1:
1)
2) Calcular el valor de x con tres cifras significativas
x
b)
a)
c)
7
12
6
x
x
40°
d)
60°
20°
f)
e)
40°
x
6
7
x
12
20°
60°
x
2)
Determina el valor de x e y en el siguiente dibujo
y
40°
x
20°
6
3)
Determina el valor de x en los siguientes casos :
b)
a)
c)
50°
8
18
12
40°
x
12
80°
110°
70°
x
x
4)
Determina el valor de x en los siguientes casos :
b)
a)
c)
50°
8
12
8
10
x
12
60°
x
x
9
6
5)
Un triángulo tiene lados 10 cm , 12 cm y 15 cm
a)
Determina la medida del ángulo mayor
b)
Determina el área de dicho triángulo
6)
Un poste está amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros cada una, ubicadas
en sentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas están colineales con la
base del poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas:
a)
¿Qué ángulo forma cada cuerda con el piso?
b)
¿Cuál es la altura del poste?
7)
El ángulo de elevación del tope de un edificio es de 50° desde un punto A. Desde ese
mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena sobre el edificio es
de 60°. Si la distancia desde el punto A hasta el tope de la antena es de 60 m,
a)
¿Cuánto mide la antena, aproximada al metro?
b)
¿Cuánto mide el edificio aproximada al metro?
c)
¿Cuál es la distancia desde A a la base del edificio aproximada al metro?
Respuestas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
a) 7,71
b) 2,18
c) 8,08
x = 4,60 ; y = 3,86
a) 9,78
b) 24,7°
c) 10,6
a) 9,20
b) 53,1°
c) 13,6
a) 85,5°
b) 59,8°
a) los ángulos miden 34,0° y 44,4°
a) 16 m
b) 36 m
c) 30 m
d) 3
e) 10,9
b) El poste mide 2,80 m
f) 33,0
PRÁCTICA 2
1) Resolver las siguientes ecuaciones.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2) Una escalera de 13,5 m. de longitud llega hasta la parte superior de un muro. Si la escalera
forma un ángulo de 60º con el muro, hallar la altura de éste y la distancia a él desde el pie de
la escalera.
3) Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12 m de
distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio son
de 60± y 30± respectivamente. Hallar la longitud del asta.
4) Desde la cúspide de un monumento de 30 m de altura, los ángulos de depresión de dos
objetos, que están sobre el terreno en la dirección oeste del monumento son de 45º y 30º
respectivamente. Hallar la distancia que los separa.
5) Mirando hacia el sur desde la parte superior de un acantilado, los ángulos de depresión de
una roca y de una boya se observa que son de 45º y 60º. Si se sabe que estos objetos están
separados 110 m. hallar la altura del acantilado.
6)
Manuel, un astrónomo
principiante, midió el ángulo
que se muestra en la figura
para calcular la distancia que
hay entre los centros de la
Luna y la Tierra. Considerando
que el radio de la Tierra es
6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel?
7) En un momento determinado, los dos brazos de un compás están separados por una
distancia de 5 cm. Si cada brazo mide 10 cm, ¿cuál es el grado de abertura del compás?
8) ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con que la tangente sea un valor negativo?
a) 181º
b) 335º
c) 85º d) 0,52º
e) 258º
9) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base si uno de sus lados
mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30º.
a) 0,05 cm
b) 0,17 cm
c) 12,3 cm
d) 17,32 cm
10) Sea el triángulo ABC. ¿Cuánto vale el lado AB?
a) 3 2
b) 4
c) 12
30º
d) 4 3
A
e) 2 5
e)N. de las anteriores
C
2
30º
B
11) ABCD trapecio. AD = 10 cm. y BC = 13 cm. Si sen α = 0.5, entonces cos
es:
12
5
12
c)
13
5
e)
13
a)
b)
d)
13
12
5
12
D
A
C
B
PRÁCTICA Nro 3
1.- En el rectángulo ABCD la diagonal BD es de 10 cm. y el ángulo
CDB es de 40º, averiguar:
a) El perímetro.
b) El área.
c) Los ángulos formados por los lados y las dos diagonales y
justificar.
2.- En el triángulo ABC se trazó la altura BH, si el ángulo
C= 39º y BC = 15 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura BH?
3.- En el trapecio ABCD, AD = 15cm y la altura DH = 8cm.
Hallar el valor del ángulo A
4.- En el triángulo isósceles ABC, los ángulos congruentes son de 40º, y la
altura es de 10cm. Hallar el ángulo opuesto a la base y la longitud de sus
lados.
5.- La altura de un triángulo isósceles es igual a 4 cm. y los lados congruentes a 5 cm. Hallar
los ángulos y la base del triángulo.
6.- Calcular qué longitud debe tener una escalera para que apoyada en la pared, alcance una
altura de 2,90 m al formar con el plano de la base un ángulo de 60º.
7.- Calcular la superficie de un campo rectangular sabiendo que un alambrado que lo
atraviesa diagonalmente tiene una longitud de 650m y forma con uno de los lados limítrofes
un ángulo de 40º.
8.- Una de las diagonales de un rombo es de 30cm. y forma con uno de los lados un ángulo de
30º. Calcular la otra diagonal y el perímetro del rombo.
9.- Calcular la sombra que proyecta una varilla vertical de 90cm cuando la oblicuidad de los
rayos solares es tal que forma con el plano del horizonte un ángulo de 65º
10.- La tangente de un de los ángulos de un triángulo rectángulo es igual a 1. ¿Qué tipo de
triángulo es y cuál es el valor de seno y coseno de sus ángulos agudos?
11.- El teodolito es un instrumento con el trabajan los agrimensores y los topógrafos para
medir ángulos y distancias. Para hallar la altura de un acantilado, se ubico un teodolito a 20m
del pie del mismo y se obtuvo un ángulo de elevación de 68º. ¿Cuál es la altura del
acantilado?
12.- Un arqueólogo descubrió una pirámide de base cuadrada
de 90 m de lado. Cada cara de la pirámide forma un ángulo de
60º con el suelo. ¿Cuál es la altura de la pirámide?
13.Se necesita construir una rampa para acceder a una
plataforma que está a 9m de altura. Si la rampa forma
un ángulo de 20º con la horizontal, ¿Cuál es la longitud
de la rampa?
14.- ABCDE es un pentágono regular inscripto en una circunferencia de centro 0 y 10cm de
radio. Hallar el área del a) triángulo OAB b) del pentágono ABCDE
15.- Hallar la apotema y el lado de a) un decágono regular inscripto en una circunferencia de
9cm de radio.
16.- El radar de un barco de rescate indica que el objeto buscado
está a 30 m de profundidad y que el ángulo de depresión es de 15º.
Si desde el barco desciende un buzo hasta esa profundidad para
rescatar el objeto. ¿aproximadamente qué distancia debe recorrer
hasta encontrarlo?
17.
Un avión que vuela a 6500 m de altura, esta a 40
km del punto de aterrizaje A. En ese momento
comienza a descender. ¿Cuál es el ángulo de
descenso del avión?
Cuidado! Debe considerarse el ángulo formado
con la horizontal.
18.- Una escalera tiene 39 escalones y ningún descanso.
Cada escalón tiene 30 cm de profundidad y 26 cm. de alto.
a) ¿Cuál es la altura de la escalera?
b) ¿Cuál es el ángulo de elevación?
RESPUESTAS:
1.- p= 28, 16 cm ; A = 49,18cm2 ; 40º y 2.- 9,44cm
3.- 32º 13’ 51’’
50º
4.- 100º ; 23,83 cm ; 15,55 cm
5.- 6cm ; 53º 7’ 48’’ ; 73º 44’ 6.- 3,35m
23’’
7.- 497,9 m ; 417,8m ; 20,8 ha
8.- 17,32cm ; p= 69,28cm
9.- 41,93 m
10.- triángulo rectángulo isósceles ; 0,707
13.- 26,3m
16.- 111,96m
11.- 49,50m
12.- 77,94m
14.- A (triángulo) =47,55 cm2 ; A(pentágono) = 237, 76 15.- a) 5,56 cm ; 8,559 cm2
cm2
17.- 9º 21’
18.- 10,14 cm ; 40º 54’ 51’’
PRÁCTICA 4:
Indicar en cada caso cual/es de la/s respuesta/s es/son verdadera/s.
1) Las relaciones trigométricas de un triangulo rectángulo definen relaciones entre:
a) ángulos interiores b) Superficie y perímetro c) Lados d) Ninguna de las anteriores.
2) La relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a un ángulo puede ser:
a) sen α
b) cos α
c) tan α
d) ninguna de las anteriores
3) La función senoidal y = sen α :
a) Es periódica b) su periodo es PI c) tiene un máximo en 90º d) nunca vale 0
e) Puede valor mas que uno
f) Su mínimo valor es -1
4) La función y = 4 sen (2x) tiene, respecto a y = sen x
a) Doble frecuencia b) Igual período c) Triple amplitud d) Idéntica fase
5) La función senoidal de periodo igual a 720º y valor pico a pico = 4 es:
a) y = 4 sen (x+720º) b) y = 2 sen 720º c) y = 2 sen (x/2) d) ninguna de las anteriores
6) El seno y el coseno de un ángulo:
a) son siempre iguales b) nunca son iguales c) son iguales en algunas ocasiones
7) Arc cos
a) PI
b) PI/4
8) Arc tg
a) Tag
2
es igual a:
2
3
c) 90 º
d) Sec
2
2
3 es igual a :
b) No tiene solución
c) 60º
d) 1/ 3
9) El sen (3PI/5) es igual a :
a) 3PI/5
b) 0,95
c) 0,032
d) no tiene solución posible
PRÁCTICA 5:
1- Expresar en grados.
2- Expresar en minutos.
3- Expresar en segundos.
4- Expresar en grados, minutos y segundos.
5) ¿Qué ángulo describe el minutero del reloj?
a) 30 minutos.
b) 1 hora 10 minutos.
c) 3 horas.
d) 24 horas.
6) A qué cuadrante pertenece un ángulo de:
a) 500°
b) 1000°
7) Expresar en radianes los siguientes ángulos:
a) 90°
b) 45°
c) 30°
d) 75°
e) 120°
f) 150°
g) 2 giros
h) 300°
8) Calcular el valor de x:
a) x = (sen30° - sen60°)/(sen30° + sen60°)
b) x = [(1 – sen 45°)2 + 2.cos 45°]/cos 60°
c) x = (sen 90°.sen 60° + cos 0°.cos
30°)/(sen 45°.cos 45°.tg 30°)
c) 786°
d) –120°
PRÁCTICA 6:
1) Sabiendo que sen 28º = 0,469; calcula:
a) cos 28º
b) tg 28º
c) cosec 28º
d) tg 62º e) sec 62º
2) En el triángulo ABC de la figura, AC = 10 cm. y AB = 4 cm. Si el área de dicho triángulo es
12 cm2, determina el valor de sen a y de a.
3) En un triángulo ABC, rectángulo en C, AB = 4 cm. y tg a = 5/12, entonces, ¿cuánto mide
BC?
4) Una escalera de 4,5 m. de largo está apoyada sobre la pared de una casa. Si la base de
la escalera está a 2,2 m. de la casa. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso?. Basándote
en el resultado anterior, ¿a qué altura está apoyada la escalera en la pared?
5) Al mirar la cumbre de un cerro desde un punto en el llano se observa que el ángulo de
elevación es de 32º. Al acercarse horizontalmente 2.500 metros, el ángulo es ahora 55º.
¿Cuál es la altura del cerro?
6) El piloto de un avión que vuela a 250 Km/hora observa un barco, ubicado más adelante,
en su línea de vuelo, bajo un ángulo de depresión de 14º. Si después de 8 minutos lo ve
bajo un ángulo de 25º. Calcula la altura del vuelo del avión y la distancia entre el avión y el
barco, en la segunda observación.
7) Un globo se encuentra amarrado al suelo por una pita de 170 m. de largo. Con el viento,
el hilo se desvía en 35º de su vertical. ¿Cuál es, ahora, la altura del globo sobre el suelo?
8) Un hasta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. A 34 m. de
distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio
son de 54º y 47º respectivamente. Determina la longitud del asta.3.
.
PRÁCTICA 7:
1) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este
cateto mide 54
2) Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y
5 metros a la torre en línea rect
torre.
3) Calcula las razones trigonométricas de 140° y de 220°, sabiendo que:
sen 40 
0, 64; cos 40 
0, 77; tg 40 
084
4) Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de
sus ángulos:
5) Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:
y
cos x
2
6) Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:
7) Resuelve la ecuación:
4 cos2x
1 3 cos x
PRÁCTICA 8:
1) Si Completar la siguiente tabla (tres cifras decimales exactas)
α
Sen α Cos α Tang
α
Cosec
α
A 1Recto/3
B PI/4
C 2Llanos/36
D 3 Rectos/9
2) a – b – c y d
3) de menor a mayor:
Ordenar
a) 4π; 270° ; 1R ; 2/3llano ; arc Sin 0.5
b) Arc tg 1,7; 156° ; 4/3π ; 2 R
c) 230° ; arc Cos (-0,86) ; 3R – 1llano + 10°) ; π/4
d) π/6 ; 2/3π ; arc tg 2,24 ; 1R/6 ; 48°
4) a-b-c y d
5) a-b-c y d
El ángulo α mide 48º. Si α se duplica,
resulta β . Si β se divide en tres partes
iguales, resulta ε. ¿Cuál(es) de las
afirmaciones
siguientes
es(son)
verdadera(s)?
I) β – ε mide dos veces ε .
II) ε es 16º menor que α .
III) α + β mide cuatro y media veces ε
6) a) En un triángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ángulo que
esta determina con la base es igual a 0,2. Calcula el área de dicho triángulo.
c) Calcular los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm y calcular las
medidas de los ángulos interiores.
d) Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo
superior. Uno de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y
forma con la horizontal un ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del
cable.
Un
avión
P
de
reconocimiento vuela a
1000 m de un punto R
sobre la superficie del
agua, localiza un velero
S con un ángulo de
depresión de 37º y un
buque T con un ángulo
de depresión de 21º,
como se muestra en la
figura.
Además
el
ángulo SPT resulta ser
de 110º. Calcula la
distancia entre el velero y el buque.