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FUNCIONES EXPONENCIALES Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial. Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. 1) f(x) = 2x 8 6 4 2 0 -4 x 1 2) f ( x ) 2 1 2 x -2 0 2 4 0 2 4 2x 8 6 4 2 0 -4 -2 Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. El eje de x es la asíntota horizontal. Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x. Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. La función f es una función uno a uno. Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes: a )(a x )(a y ) a x y ax b) y a x y a c) a x y a xy d )(ab) x a x b x x ax a e) x b b 2) ax = ay si y sólo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b. Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 2) 3) 4) 2x = 8 10x = 100 4x-3 = 8 5 2 - x = 125 Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: 1) 2x = 64 2) 27 x + 1 = 9 La función exponencial de base e Al igual que , e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: Para un número real x, exponencial de base e. la ecuación f(x) = ex define a la función Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex. La gráfica de f(x) = ex es: 25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4 El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación: 30 25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4 En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. Ejemplos: Simplifica. 1) e 2 x 2) 4x e3x e 3 x 8 Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1 Práctica: 1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5) 2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es: 25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4