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Probabilidad y Estadística
Facultad Regional Mendoza
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Autoevaluación UT1
Unidad Temática 1
Estadística descriptiva y análisis de datos
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1. Definiciones preliminares, tipos de datos y variables
1.
Desde el punto de vista estadístico, las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.
2.
Si se ha recopilado la información deseada para los elementos de un subconjunto
que representa a una población objeto de estudio, se está en presencia de un censo.
3.
Si el Ministro de Educación está interesado en el rendimiento de los estudiantes
argentinos, medido por el promedio de calificaciones, las unidad de análisis son los
establecimientos educativos del país.
4.
La rama de la estadística que se ocupa de utilizar datos de una muestra para hacer
inferencias acerca de la población en estudio, se conoce con el nombre de
estadística descriptiva.
5.
El nivel de estudios o escolaridad de los empleados de una empresa es una variable
cuantitativa.
6.
El número de hijos de los trabajadores de una fábrica es una variable cuantitativa
continua.
7.
El color de ojos de las personas es una variable cualitativa que se mide en una
escala nominal.
8.
Una escala nominal consiste en categorías mutuamente excluyentes que no implican
un orden jerárquico entre ellas.
9.
El cargo que ocupa un empleado en la empresa, es una variable cualitativa y se
mide en escala ordinal.
10.
La antigüedad de un empleado en una institución pública es una variable numérica
que se mide en una escala nominal.
11.
La escala de intervalo es una forma de medida más completa que la escala ordinal,
ya que permite discernir no sólo qué valor observado es el más grande, sino también
por cuánto.
12.
Los datos primarios son siempre de mejor calidad que los datos secundarios.
13.
Los censos, en general, resultan muy costosos, difíciles de realizar e incluso en
algunos casos pueden resultar imposibles de llevar a cabo.
14.
El número del piso desde el que es llamado un ascensor de un edificio en altura, es
una variable numérica continua.
15.
El promedio de los resultados obtenidos al lanzar dos dados, es una variable
numérica continua.
16.
Cuando el conjunto de valores que puede tomar una variable es finito, es decir, se
puede contar, se dice que la variable es discreta.
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17.
Las variables continuas son aquellas en que los datos resultantes de las mediciones,
pueden tomar cualquiera de los valores de una escala continua, en el rango para el
cual está definida la variable. De otro modo, pueden tomar el continuo de valores
entre el mínimo y el máximo observado.
18.
Las gráficas circulares y gráficas de barras, son herramientas útiles para descripción
gráfica de conjuntos de datos cuantitativos.
19.
Las gráficas circulares también se las conoce con el nombre de gráficas de pastel,
gráficas de torta o gráficas de sectores.
20.
Las gráficas de barras pueden representarse tanto con barras verticales como
horizontales.
21.
En el diagrama de Pareto, las categorías de la variable cualitativa deben disponerse
en orden decreciente por altura (o frecuencia) y se muestra una poligonal
acumulativa superpuesta a las barras.
22.
Para representar las gráficas de barras o las circulares, se pueden emplear tanto
frecuencias absolutas como relativas.
23.
La representaciones de las gráficas de barras y gráficas circulares en escala relativa
(proporción o porcentaje), tienen la ventaja de independizarse del tamaño de la
muestra a partir de la cual se obtuvo la información.
24.
Las gráficas de sectores resultan más apropiadas, es decir, más cómodas de leer,
cuando se tiene variables cualitativas con una gran cantidad de categorías, por
ejemplo 26.
25.
Cuando se tiene una variable cualitativa, las categorías en que se agrupan los datos
para representarlos mediante una gráfica de barras, son mutuamente excluyentes.
26.
En las gráficas de barras, las barras no deben pegarse una a otras.
27.
Si la población estudiantil de una Universidad es de 12.000 alumnos, para
representar gráficamente el turno en que cursan los estudiantes (mañana, tarde o
noche), se puede utilizar tanto una gráfica de sectores como una gráfica de barras.
28.
La gráfica de puntos encuentra su mejor aplicación en el caso de conjuntos de datos
pequeños.
29.
Las distribuciones de frecuencias sacrifican algunos detalles, pero ofrecen
información acerca del patrón de comportamiento de los datos.
30.
El histograma es una representación gráfica que se utiliza para representar variables
numéricas; no se utiliza para variables cualitativas.
31.
Al agrupar los datos en tablas de frecuencias, un dato particular del conjunto de
datos, debe pertenecer a una y sólo una clase o categoría, por lo que se dice que las
clases son completamente inclusivas.
32.
La organización de los datos por categorías o clases permite identificar patrones de
comportamientos evidentes de los mismos.
33.
A partir de una distribución de frecuencias, se puede reconstruir una lista con la
totalidad de los datos observados a partir de la cual se construyó dicha tabla.
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34.
Una distribución de frecuencias es una tabla en la que organizamos los datos en
clases y se muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en
cada una de las clases.
35.
Las clases en que se agrupan los datos en una tabla de frecuencias, deben ser
completamente inclusivas, esto significa que, los datos que más se repiten deben
incluirse en una misma clase.
36.
Las clases de una distribución de frecuencias deben ser mutuamente excluyentes y
completamente inclusivas.
37.
De ser posible, conviene que todas las clases de una distribución de frecuencias
tengan el mismo ancho; de lo contrario, tendríamos una distribución mucho más
difícil de interpretar.
38.
Para construir las distribuciones de frecuencias, como regla general, los estadísticos
aconsejan utilizar entre 20 y 25 clases.
39.
El número de clases que se utiliza para construir la distribución de frecuencias es
independiente de la cantidad de datos disponibles.
40.
La fórmula de Sturges, da el número de clases de una distribución de frecuencias y
puede utilizarse para iniciar la exploración a partir de la misma: k = 1 + 3,3 log n.
41.
Sea cual sea el conjunto de datos que se desea representar gráficamente, para
determinar el número de clases, es indistinto emplear la fórmula de Sturges o la
fórmula √n.
42.
Las gráficas de distribuciones de frecuencias simples y de distribuciones de
frecuencias relativas resaltan y aclaran los patrones que no se pueden distinguir
fácilmente en las tablas.
43.
Los histogramas se pueden construir utilizando tanto las frecuencias absolutas
como las frecuencias relativas.
44.
La frecuencia relativa simple de cualquier clase particular, se obtiene calculando el
cociente entre el número de observaciones que entran en la clase y el número total
de observaciones realizadas.
45.
En una distribución de frecuencias, la suma de todas las frecuencias relativas de
todas las clases, es igual al número total de observaciones realizadas.
46.
Cuando el histograma se construye utilizando frecuencias relativas, resulta fácil
comparar los datos de muestras de tamaños diferentes.
47.
La marca de clase de una distribución de frecuencias se calcula haciendo la
diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la clase correspondiente.
48.
Los polígonos de frecuencias sólo se pueden utilizar para representar las
distribuciones de frecuencias relativas.
49.
El polígono de frecuencias construido con las frecuencias simples absolutas, tiene
la misma forma que el polígono de frecuencias simples relativas construido a partir
del mismo conjunto de datos, pero con una escala diferente en los valores del eje
vertical.
50.
La representación gráfica de la distribución de frecuencias acumuladas mediante
una poligonal, se conoce con el nombre de ojiva.
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51.
La ojiva es una representación gráfica que se puede construir utilizando frecuencias
acumuladas absolutas o relativas, indistintamente.
52.
La ojiva se construye uniendo los puntos dados por los pares ordenados (punto
medio de clase; frecuencias acumuladas de clase), con trazos rectos que dan lugar a
una poligonal.
53.
En una distribución de frecuencias, la notación Fri se refiere a las frecuencias de
clase relativas acumuladas.
54.
Dada la representación gráfica de una ojiva, a partir de la misma es posible
reconstruir los datos originales exactos con los que se construyó la misma.
55.
Si la lectura de la ojiva para la variable en estudio en la clase (12 ; 14] de una tabla
de frecuencias arroja el valor 30%, debe interpretarse que el 30% de los datos están
comprendidos en el intervalo (12 y 14].
56.
Si la lectura de la ojiva para la variable en estudio en la clase (2,5 ; 3,5] de una tabla
de frecuencias arroja el valor 60%, debe interpretarse que el 40% de los datos son
mayores que 3,5.
57.
Para describir en palabras el patrón de comportamiento de los datos, se puede hacer
referencia a la simetría o asimetría de la distribución, a la presencia o no de modas
en la distribución, así como al lugar en que tienden a agruparse los datos en la
escala de la variable.
En la Tabla 1 se presenta la distribución de frecuencias para el peso, en gramos, de 35
monedas de diez centavos.
Tabla 1. Distribución de frecuencias para el peso de 35 monedas de diez centavos.
Límites de Clase
Punto
Frecuencias Simples
Frecuencias Acumuladas
Clase (Inferior Superior] Medio
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
...............................................................................................................................................................
1
(2,13
2,16]
2,145
2
0,0571
2
0,0571
2
(2,16
2,19]
2,175
3
0,0857
5
0,1429
3
(2,19
2,22]
2,205
5
0,1429
10
0,2857
4
(2,22
2,25]
2,235
15
0,4286
25
0,7143
5
(2,25
2,28]
2,265
8
0,2286
33
0,9429
6
(2,28
2,31]
2,295
1
0,0286
34
0,9714
7
(2,31
2,34]
2,325
1
0,0286
35
1,0000
58.
El 14,29% de las monedas de la muestra pesó más de 2,19 gramos, pero no superó
los 2,22.
59.
El 71,43% de las monedas de la muestra tiene un peso que no pasa de 2,25 gramos.
60.
Hay 10 monedas en la muestra cuyo peso está por encima de los 2,25 gramos.
61.
Ocho monedas de la muestra tienen un peso que en la distribución de frecuencias
queda representado por el valor 2,265 gramos.
62.
Las frecuencias de clase simples relativas de la Tabla 1 están expresadas en
porcentaje.
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63.
De acuerdo a la información de la Tabla 1, la moneda más liviana de la muestra
pesa 2,13 gramos.
64.
El número de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuesto
por la fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log n.
65.
El número de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuesto
por la fórmula √n.
66.
Uno de los puntos de la representación gráfica de la ojiva correspondería al par
ordenado (x ; F ): (2,25 ; 33).
67.
En la muestra se observaron 8 monedas con un peso igual a 2,265 gramos.
2. Descripción de un conjunto de datos: Métodos numéricos.
68.
La media aritmética de un conjunto de datos siempre coincide con alguno de los
valores centrales del conjunto de valores observados.
69.
La media aritmética siempre está comprendida entre los valores máximo y mínimo
observados.
70.
La media aritmética resulta siempre la mejor medida de tendencia central de un
conjunto de datos numéricos.
71.
En todo conjunto de datos numéricos, la media es un valor mayor o igual que cero.
72.
La media aritmética es la mejor medida de tendencia central de un conjunto de
datos categóricos.
73.
Si la media o promedio de las calificaciones de un examen de Estadística, en la
escala del cero al diez, resulta exactamente igual a diez puntos, el rango de tales
calificaciones debe ser igual a cero.
74.
Doce alumnos rinden un examen de Estadística, son calificados en la escala del cero
al diez y la mediana de las calificaciones es igual a seis. En tales condiciones,
podría ocurrir que más de cinco alumnos obtuvieran una calificación de siete puntos
o más.
75.
La suma de las desviaciones respecto de la media aritmética es siempre igual a cero.
76.
Dado un conjunto numérico de datos de tamaño n > 1, la mediana puede o no
existir.
77.
La mediana es una medida de tendencia central sensible a los datos apartados de la
muestra.
78.
La mediana del siguiente conjunto de datos {2, 5, 7, 1, 3} es igual a 7.
79.
La moda puede no existir y cuando existe no necesariamente es única.
80.
Dado un conjunto de mediciones resultantes de un experimento, la moda puede no
coincidir con alguno de los valores observados.
81.
La moda del siguiente conjunto de datos {3, 3, 3, 3, 3} es igual a 3.
82.
El valor de la media aritmética de un conjunto de datos categóricos es siempre
menor que la moda de los mismos.
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83.
En todo conjunto de datos numéricos, la moda es un valor mayor o igual que cero.
84.
Si un conjunto de datos no tiene moda, debe interpretarse que el valor numérico de
la moda es igual a cero.
85.
La moda es una medida de tendencia central que puede calcularse tanto para datos
numéricos como para datos categóricos.
86.
Si se tiene un conjunto de datos resultantes de medir la temperatura en el Parque
General San Martín a la hora 8, podría suceder que se observe más de una moda.
87.
La mediana es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos numéricos.
88.
La media aritmética es la medida que mejor describe la posición central del
siguiente conjunto de datos {1; 2; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 312}.
89.
En el siguiente conjunto de datos{–2, –1, 0, 1, x}, x podría asumir un valor tal que
la media sea menor que la mediana.
90.
Es suficiente calcular las medidas de tendencia central de una muestra, para
proporcionar un resumen apropiado y acabado del conjunto de datos del cual
proviene.
91.
El rango del conjunto de datos siguiente {–6, –2, 0, 2, 6} es igual a cero.
92.
El rango de un conjunto de datos, siempre y sin restricción alguna, es un valor
mayor o igual que cero.
93.
Si el rango del conjunto de datos siguiente {1, 2, 3, x, 3, 2, 1} es igual a tres, el
valor de x sólo podría asumir el valor cero.
94.
El rango es una medida pobre de la variabilidad, en particular si el tamaño de la
muestra es grande; considera sólo los valores extremos y no nos dice nada acerca de
la distribución de los valores intermedios.
95.
La varianza del siguiente conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1} es igual a 12.
96.
Cuando la desviación estándar de un conjunto de datos numérico es menor que
cero, debe interpretarse que todos los datos son menores que la media aritmética.
97.
La desviación estándar de un conjunto de datos, nunca puede resultar mayor que la
media del mismo conjunto de datos.
98.
Si la desviación estándar de la estatura de los alumnos de la Universidad es igual a
9 centímetros y la desviación estándar del promedio de calificaciones de los
mismos alumnos es de 3 puntos, se debe concluir que la dispersión de las
calificaciones es menor que la dispersión de las estaturas.
99.
Si el rendimiento de un grupo de alumnos que es evaluado en Estadística resulta
óptimo, digamos que todos obtienen por lo menos ocho puntos sobre diez, nada
impide que la desviación estándar de las calificaciones resulte igual a 4 puntos.
100. Si la unidad de medida de la desviación estándar de una variable se expresa en
metros, la varianza lo estará en metros cuadrados.
101. El coeficiente de variación permite comparar la dispersión o variabilidad de
conjuntos de datos diferentes, incluso medidos en unidades diferentes.
102. El coeficiente de variación de cualquier conjunto de datos numéricos, expresado en
porcentaje, está comprendido entre cero y cien.
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103. Si la desviación estándar del caudal del Río X es de 45 m³/s y la desviación
estándar del caudal del Río Y es de 240 m³/s, se debe concluir que los caudales del
Río Y están más dispersos que los del Río X.
104. Si una distribución tiene sesgo positivo, es asimétrica a derecha.
105. En cualquier conjunto de datos numéricos distribuidos simétricamente, media,
mediana y moda son coincidentes.
106. Si una distribución de frecuencias de clase relativas resulta simétrica, la distribución
de frecuencias acumuladas también lo será.
107. Si el tercer cuartil de un conjunto de datos observados es igual a 35, el 25% de los
datos del conjunto es mayor que 35.
108. Si el valor del sexto decil de un conjunto de datos es igual a 8, significa que la sexta
parte de los datos son iguales o inferiores a 8.
109. El percentil cincuenta de un conjunto de datos siempre coincide con el segundo
cuartil.
110. Dado el conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 5, 5, 5} se cumple que el segundo
decil es menor que el tercer cuartil.
111. Si se sabe que el percentil diez de un conjunto de datos es igual a 10, el primer decil
será igual a 1.
112. En algunos conjuntos de datos, podría encontrarse que el percentil 22 resulte mayor
que el cuartil inferior.
113. Si un fabricante de puertas para viviendas debe decidir qué altura darle a las mismas
para una producción estándar, se le debe sugerir que adopte para las puertas, una
altura igual a la estatura media de las personas adultas del mercado en el que se
venderán dichas puertas.
114. Las estadísticas obtenidas de las muestras nos proporcionan información acerca de
la tendencia central de los datos y de su dispersión, mientras que la presentación
gráfica de los datos agrega información adicional en términos de imagen.
115. El gráfico de caja y extensión es una representación que muestra, para muestras
razonablemente grandes, el centro de la localización, la variabilidad y el grado de
asimetría de los datos.
116. Los gráficos de caja y extensión no permiten realizar comparaciones visuales entre
muestras.
117. Los datos apartados (valores extremos) se deben identificar específicamente tanto
en los gráficos de caja y extensión como los histogramas de frecuencias.
118. Tres de los datos necesarios para construir un gráfico de caja y extensión son: el
primer cuartil, la mediana y el percentil setenta y cinco.
119. Datos apartados son aquellos que se encuentran por encima del tercer cuartil y por
debajo del primer cuartil, más allá de 1,5 veces el rango intercuartil.
120. Los gráficos de caja y extensión NO proporcionan información sobre la variabilidad
de los datos.
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121. El gráfico de caja múltiple se puede utilizar para comparar la misma variable en
muestras distintas.
122. Si el gráfico de caja es perfectamente simétrico, la varianza del conjunto de datos
con que se construyó es igual a cero.
123. En el gráfico de caja, la caja siempre encierra exactamente el 50% de las
observaciones.
124. Si se tiene un conjunto de cuarenta datos numéricos, el diagrama de tallos y hojas
ofrece una información más detallada que el histograma de frecuencias.
125. Si se tiene un conjunto de cuarenta mil datos numéricos, el diagrama de tronco y
hojas resultaría una representación más apropiada que el histograma de frecuencias,
ya que da una información más detallada.
126. El valor Z debe estar comprendido entre –1 y +1.
127. Si el valor Z que le corresponde a una observación particular de la muestra, x, es
negativo, debe interpretarse que el valor de x es menor que cero.
128. Si Pedro rindió una prueba de Estadística y obtuvo una calificación tal que el valor
Z correspondiente es igual a 2, debe interpretarse que Pedro aprobó el examen.
129. Pedro y Juan son estudiantes de la clase de Estadística. Pedro tiene una estatura que
coincide con la estatura promedio del grupo, mientras que a la estatura de Juan le
corresponde un valor Z igual a –2,95. Debe interpretarse entonces que Juan tiene
una estatura apenas por debajo de la de Pedro.
130. La media de los valores Z de un conjunto de datos numéricos es siempre igual a 0.
131. La desviación estándar de los valores Z de un conjunto de datos numéricos, puede
arrojar un valor comprendido entre 0 y 1.
3. Aspectos éticos
132. Debe distinguirse entre una mala presentación de los datos y una presentación que
carece de ética.
133. La conducta NO ÉTICA se da cuando el analista oculta hechos a propósito y/o
distorsiona tablas o gráficos; también, cuando no incluye los hallazgos pertinentes.
134. No entregar un trabajo en término por estar enfermo, es una conducta NO ÉTICA.
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Unidad Temática 2
Probabilidad
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1.
El experimento que consiste en lanzar un dado legal y observar el resultado obtenido,
es un experimento estadístico.
2.
El experimento que consiste en seleccionar al azar una semana cualquiera del año
calendario y observar el día de la semana que sigue al día lunes, es un experimento
estadístico.
3.
Se denomina espacio muestral, al conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento estadístico.
4.
Dado un experimento estadístico, sólo es posible definir un evento o suceso de interés
en el mismo.
5.
Dados los resultados de un experimento estadístico, es posible definir un subconjunto
del espacio muestral, φ, denominado conjunto vacío y que no contiene elemento
alguno.
6.
El conjunto vacío, φ , sólo es posible definirlo para algunos experimentos
estadísticos.
7.
La intersección de dos eventos G y H da por resultado un evento que contiene a todos
los elementos que pertenecen a G, que pertenecen a H, o que pertenecen a ambos.
8.
Un evento o suceso, está formado por una colección de puntos muestrales, que
constituye un subconjunto del espacio muestral.
9.
Dados dos eventos no excluyentes e independientes, A y B, si P(A) = 0,15 y P(B) =
0,40, entonces se cumplirá que P(A∩B) = 0,55.
10. Dados dos eventos complementarios, D y E, se cumple siempre que P(D) + P(E) = 1.
11. Si después de lanzar un dado legal diez veces se obtienen los siguientes resultados:
{2, 3, 5, 1, 5, 4, 1, 3, 4, 2}, se puede afirmar que la probabilidad de que el resultado
de un nuevo lanzamiento sea el 6, es igual a 1/6.
12. Si se cumple que: P(M) + P(N) = 1, se debe concluir entonces que los eventos M y N
son complementarios.
13. No se puede calcular probabilidades de eventos que consideren datos categóricos.
14. La probabilidad de que al lanzar una moneda legal dos veces se obtenga una cara, es
igual a 0,5.
15. La probabilidad de que al lanzar una moneda legal tres veces se obtenga una cara, es
igual a la probabilidad de que al lanzarla tres veces, se obtengan dos caras.
16. En determinadas situaciones particulares, por ejemplo, cuando al realizar un
experimento estadístico la ocurrencia de un evento dado es físicamente imposible, el
cálculo de la probabilidad de ocurrencia de tal evento, puede arrojar valores menores
que cero.
Probabilidad
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17. El teorema de la probabilidad total exige que el espacio muestral esté constituido por
una partición de subconjuntos mutuamente excluyentes.
18. Se sabe que la probabilidad de que llueva el primer lunes de junio en Mendoza es
igual a 0,03. También se sabe que la probabilidad de que promocionen el curso de
Estadística más de la mitad de los alumnos inscriptos, es igual a 0,20. Dado que
llueve el primer lunes de junio en Mendoza, la probabilidad de que más de la mitad
de los alumnos inscriptos promocionen el curso de Estadística, es igual a 0,006.
19. Dado un experimento estadístico en el que pueden ocurrir los eventos H y K, se
puede verificar que: P(K∩H) = P(K).P(K|H).
20. Se sabe que una moneda está cargada y que la P(CARA) = 2/3 y la P(CRUZ) = 1/3.
Se puede afirmar entonces que, la probabilidad de que al lanzarla dos veces se
obtengan dos caras, es igual a 4/9.
21. Si arrojamos un dado legal dos veces, el espacio muestral es finito y está compuesto
por 36 eventos simples.
22. La probabilidad de que la suma de los resultados obtenidos al lanzar dos dados
legales sea igual a dos, es igual a 2/36.
23. Si dos eventos V y L son complementarios, se cumplirá siempre que P(V∩L) = 0.
24. Dados dos eventos A y B definidos en el mismo espacio muestral, si P(A|B) = 2/3 y
P(A’) = 1/3, entonces los eventos A y B son independientes.
25. Si A y B son dos eventos cualesquiera, definidos en el mismo espacio muestral,
entonces se cumple siempre que P(A∪B) = P(A) + P(B).
26. Se dice que dos eventos definidos en el mismo espacio muestral, A y B, son
independientes, si se cumple la siguiente igualdad: P(A∩B) = P(A) + P(B).
27. Si dos eventos J y K definidos en el mismo espacio muestral son independientes, se
cumple que: P (J|K) = P(J) . P(K).
28. Una regla multiplicativa importante está dada por el teorema que dice que si en un
experimento aleatorio pueden ocurrir los eventos M y N, entonces se cumple que:
P(M∩N) = P(M|N) . P(N).
29. Si una moneda es insesgada, la probabilidad de que al realizar un lanzamiento se
obtenga cara, es igual a la probabilidad de que al realizar un lanzamiento se obtenga
una cruz, y vale 0,25.
30. Para calcular la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado legal, se debe
recurrir a la definición de probabilidad frecuencial.
31. Dados dos eventos A y B no excluyentes e independientes, con probabilidad de
ocurrencia de cada uno de ellos P(A) = 0,45 y P(B) = 0,35, entonces se cumple que la
P(A|B) = 0,45.
32. Dados dos eventos definidos en el mismo espacio muestral, J y K, mutuamente
excluyentes, con P(J) = 0,20 y P(K) = 0,10, se cumple que la P(J∪K) = 0,02.
33. Dados tres eventos mutuamente excluyentes, A, B y C, definidos en un mismo
espacio muestral, se cumple que: P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C).
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34. Dados dos sucesos disjuntos A y B, de un mismo espacio muestral, con P(A) = 0,30 y
P(B) = 0,20, entonces se cumplirá que: P(A∩B) = 0,60.
35. La probabilidad de ocurrencia de un evento cualquiera A varía entre –∞ y +∞.
Opción Múltiple
Seleccione con una X la opción que considere correcta. Tenga en cuenta
que cada ítem ha sido construido de modo tal que sólo una de las cuatro
opciones es correcta. No obstante, podría ocurrir que las tres primeras
opciones sean correctas y que la cuarta opción indique Todas las
anteriores; en tal caso, debe seleccionar sólo la cuarta opción.
36. ¿Cuál de las siguientes opciones es una afirmación correcta?
a) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, se dice también que son
incompatibles.
b) Si dos eventos son independientes, son también incompatibles.
c) Si dos eventos son disjuntos, se dice también que son compatibles.
d) Si dos eventos son NO mutuamente excluyentes, se dice también que son
disjuntos.
37. Si la probabilidad de ocurrencia de un evento A no se ve afectada por la ocurrencia de
otro evento B, se dice que los eventos A y B son:
a)
b)
c)
d)
Dependientes.
Independientes.
Mutuamente excluyentes.
Complementarios.
38. Dados dos eventos definidos en un mismo espacio muestral, A y B, con P(A) > 0 y P(B)
> 0, si la P(A∪B) = 1, puede suceder que:
a)
b)
c)
d)
A y B sean mutuamente excluyentes.
Las áreas en el diagrama de Venn se solapen.
P(A) = P(B)
Todas las anteriores.
39. La probabilidad de que un valor escogido al azar de una población determinada sea
mayor o igual que la mediana de la población es igual a:
a)
b)
c)
d)
0,25
0,50
1,0
No se puede responder con la información disponible.
40. Los eventos resultantes de lanzar al aire una moneda insesgada son mutuamente
excluyentes porque:
a) El resultado de cualquier lanzamiento no se ve afectado por los resultados de
los lanzamientos que le anteceden.
b) La probabilidad de obtener cara es igual a la probabilidad de obtener cruz.
c) No se pueden presentar cara y cruz como resultado del mismo lanzamiento.
d) Ninguna las anteriores.
Probabilidad
11
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT2
41. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y se representan en un diagrama de Venn:
a)
b)
c)
d)
Las regiones de A y de B quedan solapadas.
Las áreas encerradas por las regiones de A y de B son siempre iguales.
La región de B debe quedar incluida en la región de A.
Ninguna de las anteriores.
42. Suponga que se lanza un dado legal una vez. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
a) La probabilidad de obtener un número mayor que uno, es igual a: [ 1 –
P(obtener uno) ].
b) La probabilidad de obtener un tres es igual a [ 1 – P(obtener uno, o dos, o
cuatro, o cinco o seis) ].
c) La probabilidad de obtener un cinco o un seis es igual a la probabilidad de
obtener un tres o un cuatro.
d) Todas las anteriores.
43. Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes, la P(A∪B) se obtiene de la siguiente
manera:
a)
b)
c)
d)
Calculando P(A) + P(B).
Restando P(A∩B) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ].
Calculando la diferencia: {1 – [ P(A) + P(B) ]}
Sumando P(A∩B) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ].
44. Se lanza un dado no cargado dos veces consecutivas y usted debe trazar el diagrama de
árbol de probabilidades que muestre todos los resultados posibles de los dos
lanzamientos. ¿Cuántas ramas tendrá su árbol? Tenga en cuenta a todas las ramas del
árbol.
a)
b)
c)
d)
e)
6
12
36
42
48
45. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradas
de 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. ¿Cuál es la probabilidad de
que una esfera seleccionada al azar de dicha urna sea azul?
a)
b)
c)
d)
0,1
0,4
0,6
0,8
46. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradas
de 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones resulta verdadera?
a)
b)
c)
d)
Probabilidad
P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) = 0,1
P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) < 0,1
P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) > 0,1
P(la esfera seleccionada sea verde / se saca la esfera #2) = 0,4
12
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Autoevaluación UT2
47. Simbólicamente, una probabilidad condicional es:
a)
b)
c)
d)
P(A∩B)
P(A∪B)
P(A|B)
P(AxB)
48. ¿Cuáles de las siguientes condiciones de aplicación corresponden al teorema o regla de
Bayes?
a) Independencia.
b) Un evento observado A ocurre con cualquiera de k eventos mutuamente
excluyentes y exhaustivos.
c) Hay k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos que tienen idéntica
probabilidad de ocurrencia.
d) Todos los anteriores.
49. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes se cumple que:
a)
b)
c)
d)
A∩B = Ø
P(A∩B) = 0
P(A∪B) = P(A) + P(B)
Todas las anteriores.
50. Dado un evento A y su complemento A’, entonces se cumple que:
a)
b)
c)
d)
0 < [ P(A) + P(A’) ] < 1
P(A) = P(A’)
P(A’) se puede calcular a partir de la P(A)
Todas las anteriores.
51. ¿Cuál de las condiciones siguientes se debe dar para calcular una probabilidad
frecuencial?
a)
b)
c)
d)
Es suficiente realizar una vez el experimento aleatorio.
No es necesario realizar previamente el experimento aleatorio.
Es necesario basarse en la subjetividad.
Ninguna de las anteriores.
52. Dados dos eventos A y B independientes, con P(A) > 0 y P(B) > 0, se cumple que:
a)
b)
c)
d)
P(A∩B) = 0
P(A|B) = P(B)
P(A∪B) = P(A) . P(B)
P(B|A) = P(B)
53. Dados los eventos A y B, se cumple que P(A∩B) = P(A).P(B) cuando:
a)
b)
c)
d)
Probabilidad
A y B son independientes.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
Cualquiera de las anteriores.
13
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT2
54. Se tiene dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral, A y B, con
P(A) = 0,6 y P(B) = 0,4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
a)
b)
c)
d)
A y B son eventos complementarios.
A y B son eventos compatibles.
A y B son eventos independientes.
No hay información suficiente para responder.
55. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a)
b)
c)
d)
Probabilidad
Si P(A) = 1 – P(B) entonces A y B son eventos complementarios.
Si P(A/B) = P(B) entonces A y B son eventos independientes.
Si A y B son eventos incompatibles, entonces P(A∩B) = Ø
Ninguna de las anteriores.
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Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3
Unidad Temática 3
UT3-1: Variable Aleatoria
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1.
Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en
el espacio muestral de un experimento estadístico.
2.
Por convención, las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula de
nuestro alfabeto, por ejemplo X, y los particulares valores de la misma, con su
correspondiente letra minúscula, en este ejemplo x.
3.
Sólo es posible definir una variable aleatoria para cada espacio muestral.
4.
El número de valores que puede tomar una variable aleatoria discreta es contable (ya
sea finito o infinito numerable).
5.
Una variable aleatoria discreta sólo puede tomar valores enteros.
6.
Una variable aleatoria discreta sólo puede asumir valores positivos.
7.
El volumen de nafta que se pierde por evaporación durante el llenado del tanque de
combustible, es una variable aleatoria discreta.
8.
El número de moléculas raras presentes en una muestra de aire es una variable
aleatoria continua.
9.
Las variables aleatorias continuas representan datos que se obtienen continuamente,
mientras que las variables aleatorias discretas representan datos que se obtienen de
vez en cuando.
10. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, las variables aleatorias continuas
representan datos medidos, mientras que las variables aleatorias discretas representan
datos contados.
11. El número de artículos defectuosos en una muestra de k artículos es una variable
aleatoria discreta.
12. Si se toma el registro de la temperatura ambiente en una estación de mediciones de
una localidad determinada en tres momentos del día, la temperatura media diaria es
una variable aleatoria discreta.
13. El número de sismos que ocurren por año en un lugar determinado, es una variable
aleatoria discreta.
14. El número de conexiones soldadas que no cumplen con ciertos estándares de calidad,
de las 800 que tiene un circuito impreso, es una variable aleatoria discreta.
15. El tiempo que tardan los alumnos en resolver su examen final de Estadística, es una
variable aleatoria continua.
16. El conjunto de pares ordenados [ x, f(x) ] se llama función de probabilidad, función
masa de probabilidad, función de cuantía o distribución de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X.
Variable aleatoria
15
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3
17. Algunos autores expresan, que la distribución de probabilidad para una variable
aleatoria discreta X, es una tabla, gráfica o fórmula que da la probabilidad f(x)
asociada a cada posible valor x.
18. La probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores menores o
iguales que el particular valor x, está dada por el valor de la función masa de
probabilidad f(x).
19. La función de probabilidad f(x) de una variable aleatoria discreta X, siempre y sin
restricciones, asume valores iguales o mayores que cero.
20. Tanto en el caso de variables aleatorias discretas como continuas, la probabilidad de
que la variable aleatoria Y tome el particular valor y, está dado por el valor de f(y).
21. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, se define sólo
para los valores que toma la variable aleatoria en estudio.
22. La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X, con distribución
de probabilidad f(x), toma valores entre –∞ y +∞.
23. La gráfica de barras para representar una distribución de probabilidad de una variable
aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], uniendo los puntos al eje
x, ya sea con una línea punteada perpendicular al eje o con una línea sólida. Las
distancias de los puntos al eje están dadas por las probabilidades f(x), medidas en el
eje de ordenadas.
24. El histograma de probabilidad para representar la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], de modo que
sus bases, de igual ancho, se centren en cada valor de x, y sus alturas sean iguales a
las probabilidades, f(x).
25. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, es una función
escalonada que se obtiene graficando los puntos [ x, F(x) ].
26. Dada una variable aleatoria discreta X con función de probabilidad f(x), se cumple
siempre la siguiente igualdad: P (X < x ) = P (X ≤ x ).
27. Si la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X toma el
valor f(3)=0,15, debe interpretarse que la probabilidad de que dicha variable exceda
el valor 3 es 0,15.
28. Si la función de la distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X toma
el valor F(2)=0,4, debemos interpretar que la probabilidad de que la variable
aleatoria X tome el valor 2 es igual a 0,4.
29. Una de las condiciones que debe cumplir la función de masa de probabilidad, f(x), de
la variable aleatoria discreta X, es que – 1 ≤ f(x) ≤ +1.
30. Si se tiene una variable aleatoria discreta X, la función de masa de probabilidad f(x1),
nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome el particular valor x1.
31. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome exactamente uno de sus
valores posibles es igual a cero.
32. Al igual que en el caso de variables aleatorias discretas, la forma tabular [ x, f(x) ], es
una de las formas posibles de expresar la distribución de probabilidad de una variable
aleatoria continua X.
Variable aleatoria
16
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3
33. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x),
se cumple siempre que la P(X < x) = P(X ≤ x).
34. En la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad f(x) de una
variable aleatoria continua X, las probabilidades deben leerse en el eje de ordenadas.
35. La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X,
siempre y sin restricciones, toma valores iguales o mayores que cero.
36. La función de densidad de probabilidad f(y) de una variable aleatoria continua Y, no
puede tomar valores mayores que uno.
37. Cuando una variable aleatoria continua X toma el particular valor x = mediana, la
función de distribución acumulada toma el valor 0,5.
38. Algunas variables aleatorias continuas, encierran un área total bajo la curva de la
función de densidad de probabilidad inferior a uno.
39. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x),
se cumple que P(X = x) = 0. Esto debe ser interpretado como que es imposible que la
variable aleatoria X asuma el particular valor x.
40. Si se tiene una variable aleatoria continua U con función de densidad de probabilidad
f(u) y función de distribución acumulada F(u), siempre se cumple lo siguiente:
P(u1 ≤ U < u2) = F(u2) – F(u1), donde u2 > u1 son particulares valores de la variable
aleatoria U.
41. Si se tiene una variable aleatoria continua V con función de densidad de probabilidad
f(v), siempre se cumple que: P(a ≤ V < b) = P(a ≤ V ≤ b), donde a y b son
particulares valores de la variable aleatoria V.
42. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X siempre
podrá definirse sólo para los valores positivos de la variable.
43. Si se tiene una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad
f(x), en la representación gráfica de f(x) en función de x, la probabilidad de que la
variable tome el particular valor x1 se lee en el eje de ordenadas para el particular
valor x1.
44. La función de la distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X no
toma valores menores que cero.
45. Dada una variable aleatoria discreta X, si F(7) = F(5), entonces f(7) = f(5).
46. Si X es una variable aleatoria continua que toma valores sólo en el intervalo [2; 4],
entonces la función f(x) = 0,5 puede ser la función de densidad de probabilidad de la
variable X.
47. El polígono de frecuencias, construido a partir del histograma de frecuencias relativas
de una variable aleatoria continua X, resulta muy útil para ajustar una estimación de
la función de densidad de probabilidad f(x).
48. La mediana de una variable aleatoria continua X, se puede obtener a partir de la
función de distribución acumulada, para el valor particular de x = 0,5.
49. La variable aleatoria X, definida como el promedio de los resultados obtenidos al
lanzar dos dados legales, es una variable aleatoria discreta.
50. Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x)
Variable aleatoria
17
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3
definida en el intervalo [3; 6], se cumplirá siempre que la P(X ≥ 3) = 1.
1. Clasificar las variables aleatorias en discretas o continuas
Para responder los siguientes ítems escriba, a la izquierda del número del ítem, la letra D si
considera que se trata de una variable aleatoria discreta o la letra C si considera que es
continua.
51. Resistencia a tracción de las barras de acero del tipo ADM-420 (N), en MN/m².
52. Número de vehículos controlados por día, en el acceso a Mendoza por Desaguadero.
53. Producción diaria de agua potable en la planta de tratamiento Alto Godoy, Mendoza,
en miles de m³/día.
54. La sección de una viga de madera puede formarse abulonando dos escuadrías. Se
dispone de secciones individuales de (3"x 2"); (3"x 3") y (3"x 4"). Sea X la variable a
clasificar, definida como la altura total de la sección obtenida, de base igual a 3".
55. Tiempo de secado de una pintura de secado rápido, observado en el panel de ensayo.
56. Número de permisos de construcción de edificios, por año, otorgados por la
municipalidad de Godoy Cruz, en la provincia de Mendoza.
57. Superficie implantada con frutales en la provincia de Mendoza, en Ha, declarada
cada año.
58. Consumo de energía eléctrica por tipo de actividad productiva en la provincia de
Mendoza, en MWh / año.
59. Cantidad de líneas telefónicas instaladas, por año, en la provincia de Mendoza.
60. Superficie construida por año, en la ciudad Capital de Mendoza, en m² / año.
61. Número de accidentes de tránsito por año, en rutas argentinas.
62. Volumen anual de efluentes cloacales tratados por la planta depuradora de Campo
Espejo, en hm³ / año, en la provincia de Mendoza.
63. Número de instalaciones eléctricas inspeccionadas anualmente por la municipalidad
de Guaymallén.
64. Gas entregado anualmente en la provincia de Mendoza, por tipo de usuario, en miles
de m³ / año.
65. Una empresa comercializa entablonados de madera en espesores de 1/8, 1/4 o 3/8 de
pulgada. La variable aleatoria es el espesor del entablonado solicitado en dos pedidos
recibidos.
Variable aleatoria
18
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3
2. Esperanza, varianza y combinaciones lineales de variables aleatorias
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
66. Es común entre los estadísticos, referirse a la media como la esperanza matemática o
el valor esperado de la variable aleatoria X y denotarla como E(X).
67. La fórmula para calcular el valor esperado de variables aleatorias continuas, es la
misma que se utiliza para calcular el valor esperado de las variables aleatorias
discretas.
68. El valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5.
69. Si el valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5, debe
interpretarse que los resultados que más se repiten son el 3 y el 4.
70. El valor esperado de una variable aleatoria, describe cómo se distribuye la función de
probabilidad en su rango.
71. El valor esperado de la variable aleatoria Y = 2X – 1, es igual al doble del valor
esperado de la variable aleatoria X.
72. La media o valor esperado de una variable aleatoria X resulta de especial importancia
en estadística, pues describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad.
73. Si el valor esperado de una variable aleatoria asume un valor menor que cero, debe
interpretarse que, físicamente, es imposible que la variable tome ese particular valor.
74. Si una variable aleatoria tiene una varianza pequeña, esperaríamos que la mayor parte
de las observaciones se agrupen cerca y alrededor de la media.
75. La varianza de la variable aleatoria Y = 2X – 1, es cuatro veces mayor que la varianza
de la variable aleatoria X.
76. Sea X la variable aleatoria definida como las calificaciones de los estudiantes de
Ingeniería en Estadística; y sea Y la misma variable en Álgebra. Si se cumple que
E(X) = E(Y) y que la V(X) > V(Y), dado el valor de la media de X y un intervalo
alrededor de la misma, se cumplirá que la probabilidad de que la variable Y tome
valores dentro de dicho intervalo, es mayor.
77. Si se tiene un histograma simétrico de una distribución discreta de probabilidad, se
debe concluir que la variabilidad en la distribución es nula.
78. La varianza de una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), es el
valor esperado del cuadrado de las desviaciones respecto de su media.
79. Una forma de obtener la varianza de una variable aleatoria X es, haciendo la
diferencia entre el valor esperado del cuadrado de la variable, y el valor esperado de
la variable elevado al cuadrado.
80. El valor esperado de una constante es siempre igual a cero.
81. El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual
al producto de la constante por el valor esperado de la variable aleatoria.
82. El valor esperado de la suma algebraica de dos variables aleatorias, es siempre igual
a la suma de los valores esperados de las mismas.
Variable aleatoria
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Autoevaluación UT3
83. El valor esperado del producto de dos variables aleatorias, es igual al producto de
los valores esperados de las mismas, siempre y sin excepción.
84. La varianza de una constante es siempre igual a la constante elevada al cuadrado.
85. La varianza de una constante por una variable aleatoria, es igual al cuadrado de la
constante multiplicado por la varianza de la variable aleatoria.
3. Teorema de Chebyshev
86. La proporción de valores que toma una variable aleatoria entre dos valores simétricos
alrededor de la media, está relacionada con la desviación estándar de la variable
aleatoria.
87. El teorema de Chebyshev, proporciona una estimación conservadora de la
probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones
estándar de su media, para cualquier número real k.
88. El teorema de Chebyshev encuentra su más plena aplicación, cuando la variable en
estudio se distribuye normalmente.
89. Según el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que una variable aleatoria
cualquiera, tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media, es
exactamente igual a: 1 – 1/k².
90. Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad f(x) es
conocida y se desea saber la probabilidad de que la variable asuma valores en el
intervalo μ ± 2σ, es el caso más apropiado para utilizar el teorema de Chebyshev.
Variable aleatoria
20
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Autoevaluación UT3-2
Unidad Temática 3
UT3-2: Distribuciones de probabilidad de variables
aleatorias discretas
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1. Distribución uniforme discreta
1.
En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada
uno de sus valores con idéntica probabilidad.
2.
El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la
inversa de la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.
3.
La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al lanzar dos
monedas legales sigue una distribución de probabilidad uniforme.
4.
La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), siempre coincide con
uno de los valores para los cuales está definida la variable.
5.
La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), NO está relacionada
con el número de valores que puede tomar la variable.
2. Distribución binomial
6.
En la distribución binomial las pruebas que se repiten pueden ser dependientes o
independientes.
7.
El número X de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli se denomina
variable aleatoria binomial.
8.
La media de la distribución binomial de parámetros n y p, viene dada por el producto
np.
9.
El rango de valores de una variable aleatoria binomial va de cero a p.
10. Los resultados del experimento que da lugar a la generación de una variable aleatoria
binomial, son independientes.
11. La varianza de la distribución binomial puede calcularse en función de la
probabilidad con que ocurre cada éxito y del número de veces que se realiza la
prueba en el experimento.
12. El espacio muestral de un experimento Bernoulli puede representarse de manera
genérica, como {éxito, fracaso}.
13. Dado un valor de n pequeño, para valores pequeños del parámetro p, digamos
menores de 0,05 por ejemplo, la distribución binomial será sesgada a la izquierda.
14. Cuando la probabilidad de éxito en un proceso Bernoulli es de 0,20, la gráfica de la
distribución binomial resultante al realizar el experimento cinco veces es simétrica.
Distribuciones de variables aleatorias discretas
21
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Autoevaluación UT3-2
15. El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces, sigue una
distribución binomial.
16. Se tiene un examen de opción múltiple que contiene diez preguntas; cada pregunta
tiene cuatro opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar,
el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial.
17. Los valores que puede tomar una variable aleatoria que sigue una distribución
binomial, siempre están comprendidos entre cero y uno, inclusive.
18. Las distribuciones binomiales para valores del parámetro p = 0,5 tienen una
representación gráfica simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la
media de la distribución.
19. Para un valor fijo de n, la distribución se vuelve más simétrica a medida que el
parámetro p aumenta desde 0 hasta 0,5, o disminuye desde 1 hasta 0,5.
20. Para un valor fijo de p, la distribución binomial se vuelve más simétrica a medida que
n aumenta.
21. La media y la varianza de una variable aleatoria binomial, dependen sólo de los
parámetros n y p.
22. Si X ~ binomial (x; n, p), para n = 10 y p = 0,98, la representación gráfica de la
función masa de probabilidad, resultará sesgada a la izquierda.
23. Si p = 0,4 en un proceso Bernoulli, entonces el cálculo de: 7C3 . (0,4)3 . (0,6)4 da la
probabilidad de obtener tres o más éxitos en 7 ensayos.
24. Una variable aleatoria binomial asume valores entre el –∞ y el +∞.
25. El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces sigue una
distribución binomial y la representación gráfica de la distribución es simétrica
respecto del valor x = 1.
26. Si una máquina que tiene la herramienta desgastada produce 1% de piezas
defectuosas, el número de piezas defectuosas en las siguientes 25 que produzca, sigue
una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 100 y p = 0,25.
27. Un examen de opción múltiple está formado por 10 preguntas; cada pregunta tiene 5
opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número
de respuestas correctas sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 50
y p = 0,10.
3. Distribución hipergeométrica
28. La distribución hipergeométrica es de suma utilidad en aplicaciones en el campo del
control de calidad, donde el muestreo de aceptación se realiza con ensayos
destructivos.
29. La variable aleatoria hipergeométrica NO asume valores negativos.
30. El modo en que se realiza el muestreo (con o sin reposición), genera diferencias entre
la distribución binomial y la distribución hipergeométrica.
31. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, se debe repetir el
Distribuciones de variables aleatorias discretas
22
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3-2
experimento hasta encontrar el primer éxito.
32. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, las pruebas son
independientes.
33. En un experimento hipergeométrico, se selecciona, con reemplazo, una muestra
aleatoria de tamaño n de un lote de N artículos, donde k de los N artículos se pueden
clasificar como éxitos y (N – k) se pueden clasificar como fracasos.
34. El número de éxitos (elementos defectuosos) de un experimento hipergeométrico, en
el que se selecciona una muestra aleatoria de tamaño tres, de un lote de tamaño veinte
que tiene cinco elementos defectuosos, varía entre cero y cinco.
35. En un experimento hipergeométrico, la probabilidad de no encontrar éxitos en una
muestra aleatoria, es siempre igual a cero.
36. Cuando el tamaño de la muestra, n, es suficientemente pequeño en relación al tamaño
del lote, N, la distribución binomial permite calcular, de manera aceptable,
probabilidades de la distribución hipergeométrica.
37. La expresión (N – n) / (N – 1) se conoce como factor de corrección de población
finita.
38. Para calcular probabilidades de la distribución hipergeométrica, se puede utilizar la
distribución binomial, si el factor de corrección para poblaciones finitas (N – n) / (N –
1) es cercano a cero.
39. El muestreo con reemplazo es equivalente al muestreo de una población infinita, en
la que se acepta que la proporción de éxitos permanece constante para cualquier
ensayo del experimento.
4. Distribución geométrica
40. Los parámetros de la distribución geométrica son n y p.
41. Los valores que puede asumir una variable geométrica van de cero a n.
42. El parámetro de la distribución geométrica está dado por la probabilidad de obtener
un éxito en una prueba cualquiera del experimento, valor que permanece constante en
cada prueba.
43. En la distribución geométrica las pruebas son independientes.
44. La media de una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica está dada
por la inversa del parámetro de la misma.
45. Si se define a la variable aleatoria X como el número de lanzamientos que se deben
hacer con un dado legal hasta que salga el seis, E(X) = 6.
46. Se sabe que una persona tiene una probabilidad de dar en el blanco de 0,90. En tal
condición, la probabilidad de que en los próximos diez disparos que realice, recién dé
en el blanco en el cuarto, es igual a 0,0009.
Distribuciones de variables aleatorias discretas
23
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Autoevaluación UT3-2
5. Distribución de Poisson
47. La representación gráfica de la distribución de Poisson siempre tiene forma simétrica.
48. Dada una variable con distribución binomial de parámetros n y p, para valores
suficientemente grandes de n y pequeños de p, las condiciones se aproximan a las del
proceso de Poisson, con parámetro igual al producto np.
49. Una de las propiedades del proceso de Poisson, es que la probabilidad de que ocurra
un solo resultado durante un intervalo es independiente de la longitud del intervalo.
50. En el proceso de Poisson, el número de resultados que ocurren en un intervalo o
región específica, es independiente del número de ocurrencias que se producen en los
intervalos o regiones adyacentes al considerado.
51. La media de una distribución de Poisson es igual a su desviación estándar.
52. La variable aleatoria de Poisson sólo puede tomar valores comprendidos en el
intervalo [0 ; λ], siendo λ su parámetro.
53. La variable aleatoria de Poisson puede tomar valores menores que cero, sólo cuando
la tasa de ocurrencia sea menor que uno.
54. Si X ~ Poisson (x; λ), para valores suficientemente grandes del parámetro, la
distribución tiende a ser simétrica.
6. La distribución de Poisson como forma limitante de la binomial
55. Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad b(x; n, p).
Siempre y en cualquier caso es posible utilizar la distribución de Poisson como forma
limitante de la distribución binomial, es decir, b(x; n, p) → p(x; μ).
56. Para una distribución binomial dada, con n suficientemente grande y p pequeña, las
condiciones se aproximan a las del proceso de Poisson, con parámetro igual a la
constante np.
57. Cuando p sea un valor cercano a la unidad, de ninguna manera será posible utilizar la
distribución de Poisson para aproximar probabilidades binomiales.
Distribuciones de variables aleatorias discretas
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Autoevaluación UT3-2
7. Opción Múltiple
Seleccione con una X la opción que considere correcta. Tenga en cuenta
que cada ítem ha sido construido de modo tal que sólo una de las cuatro
opciones es correcta. No obstante, podría ocurrir que las tres primeras
opciones sean correctas y que la cuarta opción indique Todas las
anteriores; en tal caso, debe seleccionar sólo la cuarta opción.
Descripción del problema:
Los componentes de un sistema se envían a destino en lotes de 8 unidades. El control de
calidad del producto establece que se seleccionen aleatoriamente dos unidades de cada lote y
se acepte el lote si no se encuentran unidades defectuosas en la muestra. Suponga que el lote
tiene 3 unidades defectuosas.
58. El número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución:
e)
f)
g)
h)
Binomial
Hipergeométrica
Poisson
Geométrica
59. Los parámetros de la distribución son:
a)
b)
c)
d)
n, p
N, n, k
λt
p
60. Los valores que puede asumir la variable aleatoria en estudio son:
a)
b)
c)
d)
x = 0, 1, …, n
x = 0, 1, …, k
x = 0, 1, …, λt
x = 1, 2, …
61. De acuerdo a la información disponible, la variable aleatoria en estudio:
a)
b)
c)
d)
Sigue una distribución hipergeométrica que se aproxima a la binomial.
Sigue una distribución binomial que se aproxima a la de Poisson.
Sigue una distribución hipergeométrica que se aproxima a la de Poisson.
Ninguna de las anteriores.
62. Si X es el número de unidades defectuosas en la muestra, el planteo para calcular la
probabilidad de que el lote sea aceptado, es:
a)
b)
c)
d)
P( X < 3)
P( X < 2)
P( X = 0)
Ninguna de las anteriores.
63. La probabilidad de que el lote sea aceptado, es:
a)
b)
c)
d)
0,642857
0,375000
0,357143
Ninguna de las anteriores. El valor correcto es:
Distribuciones de variables aleatorias discretas
25
.
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Autoevaluación UT3-3
Unidad Temática 3
3-3: Distribuciones de probabilidad de variables
aleatorias continuas
¡Atención!
Para responder los ítems que comienzan con un asterisco (*) debe
utilizar las tablas estadísticas. Para responder los otros ítems debe
pensar en las propiedades de la distribución y responderlos sin
utilizar tablas.
En el caso particular de la distribución normal, antes de responder
la autoevaluación debe memorizar las áreas que encierra la curva
alrededor de: µ ± σ ; µ ± 2σ ; µ ± 3σ. Es suficiente recordar hasta
el tercer decimal.
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1. Distribución uniforme continua
1.
Si una variable aleatoria continua X está distribuida uniformemente en el intervalo
[A; B], la probabilidad de que tome valores en intervalos de igual longitud dentro de
su rango, es la misma.
2.
Dado que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme
continua X en el intervalo [A; B] es constante, tiene varianza nula.
3.
El valor esperado de una variable aleatoria continua, distribuida uniformemente en el
intervalo [–1; 3], es igual a 1.
4.
La función de densidad de una variable aleatoria continua distribuida uniformemente
en el intervalo [A; B], es simétrica respecto de un eje vertical que pase por la media.
5.
Si X es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente, cuartil inferior y
cuartil superior son coincidentes.
2. Distribución normal
6.
Los parámetros de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria normal
son su media y la desviación estándar (o su varianza).
7.
Siempre y sin restricción alguna, la curva de la función de densidad de probabilidad
de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por
la media.
8.
Para algunos valores particulares de los parámetros de la distribución normal, la
curva de la función de densidad de probabilidad puede presentar más de una moda.
Distribuciones de variables aleatorias continuas
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9.
Autoevaluación UT3-3
Si X ∼ N (x; μ, σ), media, mediana y moda son coincidentes.
10. La curva de la distribución normal tiene sus puntos de inflexión en correspondencia
con los valores de la variable ubicados alrededor de la media, a una distancia de ±
una vez la desviación estándar.
11. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con
media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 3σ, es igual a 0,997.
12. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con
media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 2σ, es igual a 0,955.
13. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con
media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 1σ, es igual a 0,683.
14. La función de distribución acumulada F(x), de cualquier variable aleatoria X
distribuida normalmente, es igual a 0,5 para el valor de x igual a la media.
15. Una variable aleatoria X distribuida normalmente está definida sólo para valores
positivos de la misma.
16. Si graficamos dos curvas normales con la misma desviación estándar y medias
diferentes, las curvas tendrán la misma forma, pero estarán centradas en posiciones
diferentes a lo largo del eje de la variable.
17. La función de densidad de una variable aleatoria normal es más chata y se extiende
más sobre el eje de la variable (horizontal), mientras mayor sea su varianza.
18. La probabilidad de que una variable aleatoria normal tome el particular valor x1, se
puede leer en el eje de ordenadas, en f(x1).
19. La probabilidad de que una variable aleatoria X ∼ N (x; μ, σ), tome valores entre los
particulares valores x = x1 y x = x2, está representada por el área bajo la curva de la
función de densidad de probabilidad comprendida entre x1 y x2.
20. No cualquier variable aleatoria X ∼ N (x; μ, σ) se puede transformar en otra variable
aleatoria Z ∼ N (z; 0, 1).
21. La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza uno, se
llama distribución normal estándar.
22. La probabilidad de que una variable aleatoria X ∼ N (x; μ = 4, σ = 2) tome valores
entre 4,5 y 5,5 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar
tome valores entre 0,25 y 0,75.
23. La probabilidad de que una variable aleatoria normal, con media seis y desviación
estándar igual a dos, tome valores menores que seis, es igual a la probabilidad de que
la misma variable tome valores menores o iguales que seis.
24. La curva de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, es
simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media.
25. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, siempre y sin
restricción alguna, toma el valor 0,5 para el valor particular de la variable igual a la
media de la distribución.
26. * El percentil sesenta y siete de la una variable normal estándar es igual a 0,44.
27. El quinto decil de una variable normal estándar es igual a 0,5.
Distribuciones de variables aleatorias continuas
27
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Autoevaluación UT3-3
28. El percentil treinta y tres de cualquier variable aleatoria normal es igual a –0,44.
29. La probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome valores mayores
que uno, es igual a 0,841.
30. Cuando se mantiene constante el valor de la media, a medida que la desviación
estándar aumenta, la curva de la distribución normal va perdiendo simetría.
3. Aproximación normal a la distribución binomial a la normal
31. Dado que la distribución binomial siempre resulta simétrica, siempre se pueden
obtener buenos resultados, calculando probabilidades binomiales utilizando la
distribución normal.
32. Algunas veces, cuando la distribución binomial adquiere forma de campana
simétrica, la distribución normal es una buena aproximación de la binomial.
33. La distribución binomial se aproxima bien por la normal cuando el tamaño de la
muestra es suficientemente grande.
34. La aproximación normal es excelente para evaluar probabilidades binomiales cuando
n es suficientemente grande, y muy buena, para valores pequeños de n, si p es
razonablemente cercano a 0,5.
35. En la práctica, si se cumple que np ≥ 5 y nq ≥ 5, la aproximación normal para evaluar
probabilidades binomiales será aceptable.
36. Si X ∼ binomial (x; n = 15, p = 0,4) y se dan las condiciones para aproximar el
cálculo de probabilidades utilizando la distribución normal, entonces se puede
verificar que P(4 ≤ X < 8) = P(-1,318< Z <+0,791).
37. Para efectuar la aproximación normal a la binomial, es necesario efectuar la
corrección por continuidad de la variable.
4. Distribución gamma y exponencial
38. La media y la varianza de la distribución gamma son αβ y αβ² respectivamente.
39. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.
40. La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que
tiene una distribución exponencial con parámetro β, es igual a uno para todo x < 0.
41. La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que
tiene una distribución exponencial, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa
por la media.
42. La media y la varianza de la distribución exponencial son, respectivamente, β y β².
43. La función de densidad de probabilidad f(x) = λ.e-λx es la función de densidad de
probabilidad de la distribución exponencial con λ = 1/β.
44. Para β = 1, a medida que aumenta α, la distribución gamma tiende a cambiar su
Distribuciones de variables aleatorias continuas
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forma: de sesgada a la derecha tiende a la simetría.
45. Para cualquier β = constante y α positivo, la distribución gamma resulta sesgada a la
derecha.
5. Distribución Ji Cuadrada
46. La distribución ji-cuadrada se genera sumando variables aleatorias independientes
distribuidas uniformemente.
47. La distribución ji-cuadrada es un caso particular de la distribución gamma.
48. La media y la desviación estándar de la distribución ji-cuadrada son ν y 2ν,
respectivamente, siendo ν el número de g.d.l..
49. Si graficamos dos funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias con
distribución ji-cuadrada, donde la media de la primera es menor que la media de la
segunda, la curva de la segunda será más baja y se extenderá más lejos.
50. La distribución ji-cuadrada tiene un papel importante en la metodología y en la teoría
de la inferencia estadística.
51. Los parámetros de la distribución ji-cuadrada son dos: el tamaño de la muestra, n, y
el número de g.d.l., ν.
52. La distribución ji-cuadrada está definida, con valores distintos de cero, para valores
de la variable aleatoria comprendidos entre – ∞ y + ∞.
53. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de
parámetro igual a 30, tome valores menores que (–13,787), es igual a 0,995.
54. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de
parámetro igual a 25, tome valores mayores que (–2), es igual a uno.
55. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de
parámetro igual a 10, tome valores menores o iguales que la media, es igual a 0,5.
56. La suma de n variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, genera
una variable aleatoria con distribución ji cuadrada de parámetro igual a n.
6. Distribución logarítmica normal
57. La distribución logarítmica normal se aplica en casos donde una transformación de
logaritmo natural tiene como resultado una distribución normal.
58. La variable aleatoria continua X tiene una distribución logarítmica normal si la
variable Y = ln (X) tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar
σ.
7. Distribución de Weibull
Distribuciones de variables aleatorias continuas
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59. Los parámetros de la distribución de Weibull son su media y su varianza.
60. La confiabilidad de un componente o producto, se define como la probabilidad de
que funcione apropiadamente por lo menos un tiempo específico, bajo condiciones
experimentales específicas.
61. Una de las distribuciones de aplicación en problemas de confiabilidad de
componentes que forman los sistemas, es la distribución de Weibull.
62. La función de densidad de una variable aleatoria con distribución de Weibull, es
siempre simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media.
8. Distribución t
Abrev. g.d.l.: grados de libertad
63. Sea Z una variable aleatoria normal estándar y sea V una variable aleatoria que sigue
una distribución ji cuadrada con ν g.d.l. Si Z y V son independientes, entonces la
distribución de la variable aleatoria T se conoce como la distribución t, con ν g.d.l.,
Z
.
donde T =
V
ν
64. Una variable aleatoria con distribución t se define como el cociente entre una variable
aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada del cociente entre una variable aleatoria
con distribución ji cuadrada y su número de g.d.l., siendo las variables
independientes.
65. La distribución de una variable aleatoria T, con distribución t, difiere de la
distribución de una variable normal estándar Z, en que la varianza de T depende del
tamaño de la muestra n y siempre es mayor que uno. Sólo cuando el tamaño de la
muestra tiende a infinito (n → ∞) las dos distribuciones coincidirán.
66. Si bien la distribución de T y la distribución de Z tiene forma de campana, la
distribución de t es más variable que la de Z, debido al hecho de que los valores de T
dependen de las fluctuaciones de dos cantidades, X y S², mientras que los valores de
Z dependen sólo de los cambios de X de una muestra a otra.
67. Si graficamos dos variables aleatorias con distribución t, donde ν1 es el número de
g.d.l. de la primera y ν2 el de la segunda, y ν1 < ν2, entonces la primera se extenderá
más sobre el eje horizontal.
68. * El valor de t con ν = 10 g.d.l. que deja a su izquierda y debajo de la curva un área
igual a 0,975 y a su derecha un área igual a 0,025 es igual a 2,228.
69. Cuando n → ∞, las distribución t y la distribución normal estándar coincidirán.
70. El uso de la distribución t de Student NO tiene restricciones respecto de la
distribución de la población muestreada.
Distribuciones de variables aleatorias continuas
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9. Distribución F
Abrev. g.d.l.: grados de libertad
71. La estadística F se define como el cociente entre dos variables aleatorias ji cuadradas
independientes, divididas, cada una, por su número de g.d.l..
72. Si U y V son variables aleatorias normalmente distribuidas, con ν1 y ν2 g.d.l.,
respectivamente, entonces la estadística F = [(U/ν1) / (V/ν2)] tiene una distribución F,
con ν1 g.d.l. en el numerador y ν2 g.d.l. en el denominador.
73. Para graficar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria F se
necesita conocer el número de g.d.l. del numerador, ν1, y el número de g.d.l. del
denominador, ν2.
74. * Utilizando la notación ( f α; ν1; ν2 ), donde f es un valor particular de una variable
aleatoria que sigue una distribución F, con ν1 g.d.l. en el numerador y ν2 g.d.l. en el
denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede verificar
que f0,05; 15; 10 = 2,85.
75. * Utilizando la notación ( f α; ν1; ν2 ), donde f es un valor particular de una variable
aleatoria que sigue una distribución F, con ν1 g.d.l. en el numerador y ν2 g.d.l. en el
denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede
verificar que f0,95; 19; 20 = 0,463.
76. * Utilizando la notación ( f α; ν1; ν2 ), donde f es un valor particular de una variable
aleatoria que sigue una distribución F, con ν1 g.d.l. en el numerador y ν2 g.d.l. en el
denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede
verificar que f0,01; 24; 12 = 3,03.
77. Algunas aplicaciones de la distribución F tienen que ver con la comparación de
varianzas muestrales y con la inferencia acerca de las varianzas poblacionales.
78. La estadística F se define como la suma del cuadrado de variables normales estándar
independientes.
79. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución F que tiene 5 g.d.l. en
el numerador y siete en el denominador, tome valores menores que –3, es igual a uno.
80. * La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución F con ν1 = 10 y ν2 =
8 tome exactamente el valor 3,35 es igual a 0,05.
Distribuciones de variables aleatorias continuas
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Autoevaluación UT3-4
11. Combinaciones lineales de variables aleatorias
Abrev. g.d.l.: grados de libertad
81. La distribución normal posee la propiedad reproductiva, esto es, la suma de variables
aleatorias independientes distribuidas normalmente, es una variable aleatoria normal.
82. Si X1, X2, X3, … , Xi, … , Xn, son variables aleatorias independientes que tienen,
respectivamente, distribuciones ji cuadrada con ν1, ν2, ν3, …, νi, …, νn, g.d.l.,
entonces la variable aleatoria que resulta de la suma de las variables independientes:
W = X1 + X2 + X3 + … + Xi + … + Xn , tiene una distribución normal con media igual
a la suma de las medias de las variables y varianza igual a la suma de las varianzas de
las variables Xi.
83. La suma del cuadrado de variables aleatorias normales estándar independientes, tiene
una distribución ji cuadrada, con parámetro igual al número de variables normales
estándar cuyos cuadrados se suman.
84. Dada la variable aleatoria X distribuida normalmente con media igual a 50 y
desviación estándar igual a 2, y la variable aleatoria Y distribuida normalmente con
media igual a 20 y desviación estándar igual a 4, siendo X e Y variables aleatorias
independientes, entonces la variable W = X – Y tendrá una distribución normal con
media igual a 30 y desviación estándar igual a 6.
85. Dada la variable aleatoria X que tiene una distribución ji cuadrada con 3 g.d.l. y la
variable aleatoria Y que tiene una distribución ji cuadrada con 5 g.d.l., siendo X e Y
variables aleatorias independientes, entonces la variable W = X + Y tendrá una
distribución ji cuadrada con media igual a 8 y varianza igual a 16.
12. Distribuciones de probabilidad conjunta
Abrev. g.d.l.: grados de libertad
86. Los resultados de un experimento estadístico pueden dar lugar al estudio de una o
más variables aleatorias.
87. Para el caso de dos variables aleatorias discretas, X e Y, la función de probabilidad
conjunta f(x,y), da la probabilidad de que ocurran los valores x e y al mismo tiempo.
88. Sea Y la variable aleatoria que da el número de licencias por enfermedad solicitadas
por los empleados de una empresa en un mes cualquiera del año, y Z el mes del año
en que la solicitan, expresado en números del uno al doce. Si la función de
probabilidad conjunta de Y y Z toma el valor f(5,12) = 0,45, debe interpretarse que la
probabilidad de que cinco empleados soliciten licencia por enfermedad en el mes de
diciembre, es por lo menos igual a 0,45.
89. Cualquier función f(x,y) que cumpla la condición de que x≥0 y que y≥0, es función de
probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y.
90. Si las variables Y y Z son variables aleatorias continuas, con función de densidad
conjunta f(y,z), la representación gráfica de la misma dará una superficie sobre el
plano yz, y se puede medir la P[(Y, Z)∈ A], donde A es cualquier región en el plano
yz, en la escala graduada de un eje perpendicular al plano yz.
Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta
32
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT3-4
91. Las variables aleatorias continuas Y y Z, con función de densidad conjunta f(y,z), no
pueden tomar valores menores que cero.
92. Dada la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y
Y, es posible obtener las distribuciones marginales de X y Y, a partir de f(x,y).
93. Sean Y y Z variables aleatorias discretas con función de probabilidad conjunta f(y,z).
Siempre se cumple que la suma de los valores de la distribución marginal de
cualquiera de las variables sobre todos los valores de la misma, es igual a uno.
94. Las distribuciones marginales de las variables aleatorias continuas Y y Z, son en
realidad las distribuciones de probabilidad de las variables individuales Y y Z solas.
Independencia estadística
95. La simbología f(x, y) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoria X tome el
particular valor x y que la variable aleatoria Y tome el particular valor y.
96. La simbología f (x⏐y) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoria X tome el
particular valor x, dado que la variable aleatoria Y toma el particular valor y.
97. Cuando f (y⏐z) depende de z, la distribución condicional de la variable aleatoria Y
dado que Z = z, es igual a la distribución marginal de la variable aleatoria Y.
98. Si f (x⏐y) no depende de y, se cumple que f (x⏐y) = g(x) y f(x, y) = g(x) . h(y).
99. Las variables aleatorias discretas Y y Z son estadísticamente independientes, si y sólo
si, la función de distribución de probabilidad conjunta de las mismas es igual al
producto de las distribuciones marginales, para toda (y, z) dentro de sus rangos.
100. Si se verifica algún punto (y, z) para el que f(y,z) ≠ g(y).h(z), las variables aleatorias
discretas Y y Z no son estadísticamente independientes.
101. Si se cumple que f(x, y) = P(X=x , Y=y), para todo (x, y), entonces las variables
aleatorias discretas X, Y, son estadísticamente independientes.
102. Dadas las variables aleatorias discretas Y y Z, con f(2,1) = 7/5; g(2)=4/5 y h(1)=3/5,
se puede afirmar que las variables aleatorias discretas Y y Z son estadísticamente
independientes.
Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta
33
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Autoevaluación UT4
Unidad Temática 4
Distribuciones fundamentales del muestreo
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1. Muestreo aleatorio
1.
En Estadística, el término población se usa para referirnos al conjunto de personas
que constituyen el grupo en estudio.
2.
Siempre será posible y no habrá dificultades en disponer del conjunto de todas las
observaciones que constituyen la población estudiada.
3.
Cualquier subconjunto de una población, constituye una muestra representativa de la
población en estudio.
4.
Cualquier procedimiento de muestreo que produzca inferencias que sobreestimen o
subestimen de forma consistente alguna característica de la población, se dice que
está sesgado.
5.
En un muestreo aleatorio, las observaciones se obtienen de manera independiente y
al azar.
6.
Cualquier conjunto de datos seleccionados de una población, permite hacer
inferencias confiables acerca de los parámetros de la población de la cual proviene.
7.
La distribución de probabilidad de una estadística se llama distribución muestral.
8.
La distribución de probabilidad de una estadística depende del tamaño de la
población y es independiente del tamaño de las muestras.
9.
La distribución muestral de X , es la distribución que resulta cuando un experimento
se lleva a cabo una y otra vez, probando siempre con muestras de distintos tamaños.
2. Distribuciones muestrales de medias y diferencia de medias
10. Si tomamos muestras de una población normal con media μ y varianza σ² conocida,
la distribución muestral de X será normal con media μ y varianza σ²/n, donde n es el
tamaño de la muestra, sin importar qué tan pequeño sea el tamaño de las muestras.
11. Si tomamos muestras de una población no normal o desconocida, con media μ y
varianza σ² conocida, la distribución muestral de X será normal, con media μ y
varianza σ²/n, donde n es el tamaño de la muestra, siempre que el tamaño de la
muestra sea suficientemente grande.
12. La aproximación normal para la distribución de la media muestral, en general será
buena si n ≥ 30, sin importar la distribución de la población.
Distribuciones fundamentales del muestreo
34
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Autoevaluación UT4
13. El teorema del límite central afirma que la forma límite de la distribución de la media
muestral de una población cualquiera, con media μ y varianza σ², es la normal, con
media μ y varianza σ²/n, cuando el tamaño de la muestra n tiende a infinito.
14. Las aplicaciones de teorema del límite central giran alrededor de las inferencias sobre
la media de una población o de la diferencia entre las medias de dos poblaciones.
15. Si X es una variable de una población que sigue una distribución exponencial, la
media muestral de dicha variable, se distribuye normalmente cuando el tamaño de las
muestras seleccionadas es suficientemente grande.
16. Si se extraen al azar muestras independientes de tamaño n1 y n2 de dos poblaciones
cualesquiera, sean discretas o continuas, con medias μ1 y μ2 y varianzas σ1² y σ2²,
respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias de las medias
( X 1 − X 2 ), está distribuida normalmente con media (μ1 – μ2) y varianza (σ1²/n1 +
σ2²/n2), sin condición alguna.
17. La distribución muestral de las diferencias de las medias es útil cuando se comparan
las medias desconocidas de dos poblaciones.
3. Distribución muestral de la varianza de una muestra: S²
18. Si S² es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n, que se extrae de una
población cualquiera que tiene varianza σ², entonces la estadística χ² = (n –1) S²/σ²,
sigue una distribución ji cuadrada con ν = n – 1 grados de libertad.
19. Si X es la media muestral de n variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente, con la misma media, μ, e idéntica varianza, σ², entonces la variable
X −μ
aleatoria T =
⋅ n , tiene una distribución t con ν = n – 1 g.d.l., donde S es la
S
desviación estándar de la muestra, sin condicionamientos para el tamaño de la
muestra.
20. La distribución t se utiliza ampliamente en problemas que tienen que ver con la
inferencia acerca de la varianza de una población o en problemas que implican
comparaciones de las varianzas de dos muestras.
21. El uso de la distribución t y la consideración del tamaño de la muestra no se
relacionan con el teorema de límite central. El uso de la distribución normal estándar
Z en lugar de T para n ≥ 30 sólo implica que S es un estimador suficientemente bueno
de σ.
Distribuciones fundamentales del muestreo
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Autoevaluación UT5
Unidad Temática 5
Estimación de parámetros: medias, varianzas y
proporciones
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1. Estimación. Estimadores. Propiedades.
1.
La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos mediante los
cuales se realizan inferencias o generalizaciones acerca de una población, a partir de
la información de una muestra aleatoria extraída de dicha población.
2.
En el método clásico de estimación de un parámetro de la población, las inferencias
se basan de manera estricta, en la experiencia personal y subjetiva que una persona
tiene sobre la población que se estudia.
3.
La estadística inferencial que veremos en nuestro curso, se refiere a dos áreas
importantes: estimación de parámetros y pruebas de hipótesis.
4.
Genéricamente, Θ̂ es un estimador cuyo valor θˆ es una estimación puntual de algún
parámetro poblacional desconocido θ.
5.
Casi siempre, el valor numérico de una estimación puntual coincide exactamente con
el valor numérico del parámetro a estimar.
6.
En general, se espera que las estimaciones del parámetro poblacional obtenidas
mediante un buen estimador, estén muy alejadas del valor real del parámetro.
7.
Nunca debe utilizarse la mediana de la muestra de una población para estimar el
verdadero valor de la media de dicha población.
8.
El estimador varianza muestral, siempre producirá estimaciones puntuales más
cercanas a la media de la población de la cual proviene la muestra, que las
estimaciones puntuales del estimador media muestral.
9.
Una de las propiedades deseables que debe reunir un estimador, es que sea
insesgado.
10. Se dice que un estimador es insesgado cuando proviene de una población cuya
función de densidad de probabilidad es simétrica.
11. Una estadística Θ̂ es un estimador insesgado del parámetro poblacional θ , si el valor
esperado de la estadística es igual al parámetro estimado.
12. La varianza muestral es un estimador sesgado de la varianza poblacional.
13. Todas las estadísticas son estimadores insesgados del parámetro poblacional.
14. La desviación estándar muestral es un estimador sesgado de la desviación estándar
poblacional, aunque el sesgo es insignificante en muestras grandes.
15. Se puede demostrar que E(S²) = σ².
Estimación de parámetros
36
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Autoevaluación UT5
16. Dividimos por (n – 1) en lugar de n cuando se estima la varianza de una población,
porque en esta condición la varianza muestral es un estimador insesgado del
parámetro estimado.
17. De los todos los posibles estimadores de algún parámetro poblacional θ, se denomina
estimador más eficiente de θ , al de menor varianza.
18. El estimador más eficiente de un parámetro poblacional θ es el que cumple la
condición de tener varianza nula.
19. Si consideramos a la media muestral y la mediana muestral como estimadores de la
media poblacional, μ, es posible demostrar que la mediana muestral es un estimador
más eficiente que la media muestral.
20. En poblaciones normales, la media muestral y la mediana muestral son estimadores
insesgados de la media de la población μ; además, tienen la misma varianza.
21. Para obtener el estimador más eficiente de algún parámetro poblacional θ, es
suficiente seleccionar aquel que tenga menor varianza.
22. Las estimaciones puntuales que se obtienen con un estimador insesgado, resultan
iguales y coinciden con el valor numérico del parámetro estimado.
23. Cuando se estima un parámetro poblacional con el estimador insesgado más
eficiente, se espera que la estimación puntual coincida con el valor del parámetro a
estimar.
2. Estimación por intervalos de confianza
24. Dado que es poco probable que el estimador insesgado más eficiente estime al
parámetro poblacional con exactitud, es preferible determinar un intervalo y esperar,
con una confianza dada, que contenga al verdadero valor del parámetro.
25. Al construir un intervalo de confianza para estimar la media de una población, se
debe tener en cuenta la distribución de la población (si es normal, no normal o
desconocida).
26. Una estimación por intervalo de un parámetro poblacional θ, es un intervalo de la
forma θˆInf < θ < θˆSup , donde θˆInf y θˆSup dependen del valor de la estadística Θ̂ y
también de la distribución del muestreo de Θ̂ .
27. Una vez definido el parámetro poblacional a estimar θ, los valores numéricos de los
límites inferior y superior del intervalo de confianza, θˆInf y θˆSup , respectivamente, se
mantienen constantes, sea cual sea la muestra y la estimación por intervalo que se
haga a partir de la misma.
ˆ <θ < Θ
ˆ ) = 1 − α , debemos interpretar que, la probabilidad de
28. Al escribir P(Θ
Inf
Sup
seleccionar una variable aleatoria que produzca un intervalo que contenga al
verdadero valor del parámetro poblacional θ, es (1−α).
29. Al estimar la media poblacional mediante un intervalo de confianza, sólo algunas
Estimación de parámetros
37
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Autoevaluación UT5
veces esta estimación depende del tamaño de la muestra seleccionada.
30. Al construir un intervalo con un nivel de confianza del 95%, por ejemplo, es posible
conseguir mayor precisión en la estimación, aumentando el tamaño de la muestra
seleccionada.
31. Si el nivel de confianza elegido es del 99%, podemos estar seguros de que el
intervalo que construyamos a partir de la muestra, contendrá al verdadero valor del
parámetro poblacional estimado.
32. Al estimar un parámetro mediante un intervalo de confianza, a mayor precisión,
menor será la amplitud del intervalo.
3. Estimación de la media y diferencia de medias
Abrev. g.d.l.: grados de libertad
33. La distribución de probabilidad de la media muestral, está centrada en el valor de la
media de la población de la cual proviene la muestra, y en la mayoría de las
aplicaciones, la varianza de la media muestral es más pequeña que la de cualquier
otro estimador de la media poblacional.
34. El tamaño de la muestra seleccionada para estimar la media de una población rara
vez influye en la estimación realizada.
35. Al estimar la media de una población, siempre se dará que, para un nivel de confianza
dado, muestras diferentes de igual tamaño seleccionadas aleatoriamente de una
misma población, producirán intervalos de igual amplitud.
36. Para un nivel de confianza elegido y un tamaño de muestra dado, todos los intervalos
que se construyan para la media de una población de varianza conocida σ², a partir de
muestras diferentes, tendrán la misma amplitud.
37. Al estimar la media de una población por intervalos de confianza, la estimación
puntual ocupa el punto medio de la amplitud del intervalo.
38. El tamaño de la muestra seleccionada para estimar la media de una población
mediante un intervalo de confianza, depende del error de estimación especificado.
39. Al calcular las estimaciones mediante intervalos de confianza para la media de una
población, se debe hacer una distinción entre los casos de desviación estándar de la
población conocida y desconocida.
40. Para estimar la media de una población cualquiera con desviación estándar
desconocida, hacemos uso de la distribución muestral de la variable aleatoria T, con
distribución t de Student.
41. El parámetro de la distribución t de Student, utilizada para estimar la media de una
población mediante un intervalo de confianza, está relacionado con el tamaño de la
muestra seleccionada.
42. En Estadística, se dice que trabajamos con muestras grandes cuando el tamaño de las
mismas es por lo menos igual a 30.
43. Cuando se trabaja con muestras grandes, la varianza muestral es un buen estimador
Estimación de parámetros
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puntual de la media de dicha población.
44. Al realizar una estimación por intervalos de la media de una población con
desviación estándar conocida, a partir de muestras distintas pero de tamaño fijo, el
máximo error de estimación para un nivel de confianza dado, tiene siempre el mismo
valor numérico.
45. Cuando se desconoce la varianza de una población normal y se desea efectuar una
estimación por intervalos de la media a partir de una muestra pequeña de tamaño n,
se debe utilizar la distribución t, con (n – 1) g.d.l.
46. Se denomina error de estimación, al valor absoluto de la diferencia entre la
estimación puntual y el verdadero valor del parámetro a estimar.
47. El máximo error de estimación de la media de una población, depende solamente del
nivel de confianza elegido para realizar la estimación.
48. A la desviación estándar de un estimador, se la conoce con el nombre de error
estándar del estimador. Por ejemplo, el error estándar de la media muestral viene
dado por el cociente σ/√ n.
49. Dado el siguiente resultado de una estimación por intervalos de confianza para la
diferencia de las medias de dos poblaciones: ( +3,43 < μ1 – μ2 < +8,57 ), se debe
interpretar, con un nivel de confianza dado, que la media μ2 es mayor que la media
μ1.
50. Si los dos límites de confianza obtenidos al calcular un intervalos de confianza para
la diferencia de las medias de dos poblaciones resultan negativos, debe descartarse el
resultado y pensar que se ha cometido un error de cálculo.
51. En la construcción de intervalos de confianza para estimar la diferencia entre dos
medias poblacionales, de acuerdo a la información disponible, se puede utilizar la
distribución normal estándar o la distribución t.
4. Estimación de la proporción y diferencia de proporciones
52. Un estimador puntual de la proporción p en un experimento binomial está dado por la
estadística Pˆ = X / n , donde X representa el número de éxitos en n pruebas.
53. Cuando el tamaño n de la muestra es pequeño y la proporción desconocida p es
cercana al valor cero o al valor uno, el procedimiento de cálculo que permite la
construcción del intervalo de confianza visto en nuestro curso, no es confiable y por
lo tanto no se debe utilizar.
54. Si necesitamos conocer el tamaño de muestra necesario para que el error de
estimación no supere una cantidad específica e, con un nivel de confianza dado,
siempre se deberá tomar una muestra preliminar que nos permita tener una
estimación previa del parámetro a estimar p.
55. Para obtener una estimación por intervalos de confianza de la diferencia entre dos
proporciones poblacionales, cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se debe
utilizar la distribución t de Student.
Estimación de parámetros
39
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Autoevaluación UT5
56. Cuando el tamaño de las muestras seleccionadas de dos poblaciones es pequeño, la
construcción de un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos
proporciones poblacionales, requiere la utilización de la distribución ji cuadrada.
57. Al estimar un intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones
poblacionales, las muestras aleatorias independientes seleccionadas de cada
población, siempre deben tener el mismo tamaño.
5. Estimación de la varianza y del cociente de varianzas
58. Para establecer una estimación por intervalos de la varianza poblacional σ², se utiliza
una estadística que tiene distribución t.
59. Al construir una estimación por intervalos de la varianza poblacional σ², no tiene
mayor importancia la distribución de la población estudiada.
60. La amplitud del intervalo de confianza para estimar la varianza de una población,
depende del tamaño de la muestra aleatoria seleccionada.
61. Cuando se tiene una muestra aleatoria pequeña, para construir un intervalo de
confianza que estime la varianza de una población, se debe emplear la distribución t.
62. Al igual que en el caso de medias, los intervalos de confianza que se construyen para
estimar la varianza de una población, resultan simétricos respecto de la estimación
puntual.
63. Para la estimación por intervalos del cociente de las varianzas de dos poblaciones
cualesquiera, σ1²/σ2², se utiliza una estadística que tiene distribución F.
64. Cuando el intervalo de confianza obtenido al estimar el cociente de las varianzas de
dos poblaciones normales incluye al valor cero, se debe aceptar, para el nivel de
confianza seleccionado, la igualdad de varianzas, esto es, σ1² = σ2².
65. Al realizar la estimación por intervalos del cociente de varianzas de dos poblaciones,
las muestras aleatorias deben extraerse de poblaciones normales y ser independientes.
Estimación de parámetros
40
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6. Aplicaciones
66. Se lleva a cabo un estudio para determinar si cierto tratamiento metálico tiene algún
efecto sobre la cantidad de metal que se elimina en una operación de decapado. Se
sumerge una muestra aleatoria de 100 piezas en un baño por 24 horas sin el
tratamiento, lo que da un promedio de 12,2 milímetros eliminados de metal y una
desviación estándar de 1,1 milímetros. Una segunda muestra de 200 piezas se somete
al tratamiento, seguido de 24 horas de inmersión en el baño, lo que da como
resultado una eliminación promedio de 9,1 milímetros de metal con una desviación
estándar de 0,9 milímetros. Se desea ahora verificar si el tratamiento reduce el
promedio de metal eliminado. Para ello se puede plantear un intervalo de confianza
para la media de dos poblaciones, utilizando la distribución F con 99 grados de
libertad en el numerador y 199 grados de libertad en el denominador.
67. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra
aleatoria de las piezas y los diámetros medidos son 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98;
0,99; 1,01 y 1,03 centímetros. Si se sabe que el diámetro de las piezas de esta
máquina está distribuido normalmente, para construir un intervalo de confianza del
99% para la varianza poblacional de las piezas, se utiliza la distribución ji cuadrada
con 8 grados de libertad.
68. Se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de prueba de
dureza de las cabezas de las agujas por el método Rockwell. Los valores medidos son
48,0; 49,0; 49,0; 50,0; 51,0; 45,0; 47,0; 48,5; 48,0; 50,0; 48,5 y 48,0. Se sabe también
que la dureza de las agujas estudiadas tiene una distribución normal. Para construir
un intervalo de confianza del 95% para la media de la población de las agujas se
utiliza la distribución t de Student con 11 grados de libertad.
69. Se considera cierto cambio en el número de artículos defectuosos en un proceso de
fabricación de partes componentes. A los efectos de determinar si el nuevo
tratamiento tiene como resultado una mejoría, se toman muestras del procedimiento
existente y del nuevo. Se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual
son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son. Con
los datos disponibles, se puede comparar el número de artículos defectuosos de
ambos procedimientos, existente y nuevo, construyendo un intervalo de confianza
para el cociente de varianzas de las poblaciones, utilizando una estadística con
distribución F.
Estimación de parámetros
41
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Autoevaluación UT6
Unidad Temática 6
Pruebas de hipótesis
Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta
la afirmación enunciada, o una F si la rechaza.
1. Conceptos generales y diseño de la prueba de hipótesis
1.
Una hipótesis estadística es una aseveración sobre los parámetros de una o más
poblaciones.
2.
Para probar una hipótesis estadística es necesario extraer una muestra aleatoria de la
población en estudio y utilizar los datos de la muestra para proporcionar evidencia
que apoye o no la hipótesis que se desea probar.
3.
Al establecer una prueba de hipótesis correctamente diseñada, estamos seguros de
que siempre tomaremos una decisión correcta.
4.
Las hipótesis son siempre proposiciones referidas a la muestra de la población o
distribución en estudio.
5.
Una hipótesis nula apropiada para probar que la media de una población es igual a
40, sería la siguiente: H0: X = 40.
6.
El diseño de un proceso de decisión lleva consigo la idea de la probabilidad de tomar
una decisión errónea.
7.
La aceptación de una hipótesis nula, simplemente implica que los datos no dan
suficiente evidencia para rechazarla.
8.
Si el ingeniero está interesado en apoyar con fuerza una opinión acerca de un
parámetro de la población en estudio, planteará la estructura de la prueba de modo tal
que llegue a la opinión de interés, en la forma de rechazo de una hipótesis.
9.
El término hipótesis nula se refiere a cualquier hipótesis que deseamos probar y se
denota con H0.
10. La decisión de rechazar una hipótesis nula lleva implícita la aceptación de una
hipótesis alternativa, que se denota con H1.
11. Aunque se establezca la hipótesis nula con un signo igual, se entiende que incluye
cualquier valor no especificado por la hipótesis alternativa.
12. La estructura de la hipótesis nula se plantea de modo que se especifique un valor
exacto del parámetro (o contenga la igualdad), mientras que la hipótesis alternativa
permite la posibilidad de varios valores.
13. La prueba de hipótesis involucra la selección de una muestra aleatoria, el cálculo de
un estadístico de prueba a partir de los datos muestrales y luego el uso de este
estadístico para tomar una decisión sobre la hipótesis nula.
14. Una vez planteada la estructura de la prueba de hipótesis, el rango del estadístico de
prueba queda dividido en dos regiones, denominadas región crítica y región de
aceptación. Las fronteras entre las regiones críticas y de aceptación reciben el
nombre de valores críticos.
Prueba de hipótesis
42
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT6
15. El error de tipo I se define como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula,
cuando ésta es verdadera.
16. El error de tipo II se define como la aceptación de la hipótesis nula, cuando ésta es
falsa.
17. Se denomina nivel de significancia a la probabilidad de cometer un error de tipo I y
se denota con la letra griega α.
18. Al nivel de significancia también suele llamársele tamaño de la región crítica.
19. Para calcular la probabilidad de cometer un error de tipo II, no es necesario plantear
una hipótesis alternativa específica.
20. Idealmente, deberíamos utilizar un procedimiento de prueba en el que la probabilidad
de cometer errores de tipo I y de tipo II, sea pequeña.
21. Si el nivel de significancia de una prueba de hipótesis es α = 0,01, significa que, si la
hipótesis nula es cierta, existe una probabilidad igual a 0,01 de rechazarla.
22. Si la hipótesis nula de una prueba es cierta, la probabilidad de cometer un error de
tipo II es nula.
23. La probabilidad de cometer simultáneamente los errores de tipo I y II en una prueba
de hipótesis, está dado por el producto α.β, puesto que los errores son independientes.
24. Para calcular la probabilidad de cometer un error de tipo II, que se denota con la letra
griega β, es necesario tener una hipótesis alternativa específica, esto es, debe
proponerse un valor específico del parámetro que se prueba.
25. El tamaño de la región crítica viene dado por la probabilidad de cometer un error de
tipo II.
26. Al probar la hipótesis nula H0: μ = 70, frente a la hipótesis alternativa H1: μ > 70,
para un tamaño de muestra fijo, una disminución en la probabilidad de cometer error
de tipo I, da como resultado un aumento en la probabilidad de cometer un error del
tipo II.
27. Establecidos el o los valores críticos, en general, un aumento del tamaño de la
muestra, aumenta tanto a α como a β.
28. Cuando la hipótesis nula es falsa, β aumenta a medida que el valor verdadero del
parámetro se acerca al valor hipotético propuesto por la hipótesis nula. Mientras
mayor sea la diferencia entre el valor real del parámetro y el hipotético, β será menor.
29. Si la hipótesis nula es falsa, β es máximo cuando el valor real de un parámetro
coincide con el valor hipotético.
30. Si graficamos las probabilidades de aceptación de H0 que corresponden a diversas
alternativas para µ, incluido el valor especificado por H0, y unimos todos los puntos
mediante una curva suave, obtenemos la curva de operación característica del
criterio de prueba, o simplemente curva CO.
31. La probabilidad de aceptación de Ho cuando es verdadera es simplemente (1 – α).
32. La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando
alguna alternativa específica es verdadera.
33. La potencia de una prueba se puede calcular como (1 – β).
Prueba de hipótesis
43
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Autoevaluación UT6
34. La potencia de una prueba puede interpretarse como la probabilidad de rechazar, de
manera correcta, una hipótesis nula falsa.
35. La potencia puede asumir valores comprendidos entre –1 y +1.
36. Por definición, error de tipo II, es la probabilidad de aceptar una hipótesis nula
cuando ésta es falsa.
37. El error de tipo I consiste en rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa.
38. El error de tipo II consiste en aceptar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera.
39. El nivel de significancia debe ser un valor comprendido entre 0,01 y 0,05.
40. El nivel de significancia en una prueba de hipótesis es insensible al tamaño de la
muestra.
41. Las pruebas de hipótesis sólo son aplicables a poblaciones normales.
42. Al probar la media de una población con σ conocida, para un tamaño de muestra
dado, al pasar de un nivel de significancia de 0,01 a 0,05 aumentamos el riesgo de
cometer un error de tipo I y disminuimos el riesgo de cometer un error de tipo II.
43. Cuando el ingeniero utiliza un nivel de significancia igual a 0,01 en sus experimentos
en inferencia estadística, significa que el 1% de las veces rechazará la hipótesis nula.
44. Si se acepta la hipótesis nula al nivel de significancia de 0,05, la probabilidad de
cometer un error de tipo II siempre será igual a 0,95.
45. Un nivel de significancia de 0,01 significa que, en promedio, una de cada cien veces
que la hipótesis nula sea cierta, la rechazaremos.
46. Al diseñar una prueba de hipótesis, el investigador sólo puede controlar el error de
tipo I o el error de tipo II, pero no hay modo de controlar los dos simultáneamente.
47. Las pruebas de hipótesis sólo pueden ser utilizadas para hacer inferencias sobre las
medias de las poblaciones.
48. La potencia de una prueba de hipótesis es independiente de la probabilidad de
cometer un error de tipo II.
49. Cuando el ingeniero utiliza un nivel de significancia igual a 0,05 en sus experimentos
en inferencia estadística, significa que habrá rechazado indebidamente la hipótesis
nula sólo el 5% de las veces.
2. Pruebas de una y dos colas
50. A veces, la región crítica para la hipótesis alternativa θ > θ0 se encuentra en la cola
derecha de la distribución de la estadística de prueba.
51. En pruebas de una cola, una regla práctica consiste en observar el símbolo de la
desigualdad de la hipótesis alternativa y verificar que apunte hacia la región crítica.
52. Una prueba con hipótesis alternativa bilateral del tipo θ ≠ θ0, se llama prueba de dos
colas, pues la región crítica se divide en dos partes, las tienen probabilidades iguales
que se colocan en cada cola de la distribución de la estadística de prueba.
Prueba de hipótesis
44
Probabilidad y Estadística
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Autoevaluación UT6
53. La ubicación de la región crítica se puede determinar sólo después de establecer la
hipótesis alternativa.
54. Para determinar cuál hipótesis se establecerá como H0 y cuál como H1, si la
afirmación sugiere una sola dirección como mayor que, menor que, superior a,
inferior a, entonces H1 se debe establecer con el uso del símbolo de desigualdad que
corresponda a la dirección sugerida (< o >).
55. Para determinar cuál hipótesis se establecerá como H0 y cuál como H1, si la
afirmación no sugiere ninguna, entonces H1 se establece con el signo de diferente (≠).
3. Uso del valor P en la toma de decisiones
56. Si no se tiene en mente un nivel de significancia α preseleccionado, es imposible
sacar conclusiones en una prueba de hipótesis.
57. La preselección de un nivel de significancia α tiene sus raíces en la filosofía de que se
debe controlar el riesgo máximo de cometer un error de tipo I.
58. La decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula propuesta, se puede tomar en
función del valor P y sin haber establecido previamente un nivel de significancia.
59. Según algunos autores, un valor P es el nivel de significancia más bajo en el que el
valor observado de la estadística de prueba es significativo.
60. El valor P de una prueba de hipótesis se puede calcular independientemente del nivel
de significancia elegido.
61. El valor P de una prueba de hipótesis nunca debe resultar mayor que el nivel de
significancia.
62. El valor P se puede calcular una vez establecidas las hipótesis nula y alternativa y sin
necesidad de haber seleccionado la muestra.
63. El nivel de significancia es un valor numérico que varía ente –1 y +1.
64. El nivel de significancia puede establecerse con antelación a la selección de la
muestra.
Prueba de hipótesis
45
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Rtas. Autoevaluaciones
¡No debe consultar la respuesta antes de contestar los ítems de las
Autoevaluaciones!
Primero debe leer detenidamente cada ítem. Luego debe pensar, razonar y calcular si es
necesario. Recién entonces responda. Una vez que haya respondido el ítem de la
autoevaluación, debe contrastar su respuesta con la que se propone como correcta.
Si después de responder, su respuesta no coincide con la propuesta, debe reconsiderar su
razonamiento sobre la afirmación. Finalmente, si después de tal reconsideración no está de
acuerdo con la respuesta propuesta, no dude en consultar. Juntos consideraremos la
solución.
¡No trate de memorizar respuestas! Piense y razone siempre antes de contestar. Una vez que
haya contestado, practique justificar su respuesta. No debe enviar la justificación de las
respuestas de las Autoevaluaciones, excepto que se solicite explícitamente la justificación de
algunos ítems en particular.
Unidad
Temática 1:
Estadística
descriptiva y
análisis de
datos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
58. V
59. V
Respuestas Autoevaluaciones
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
V
V
F
F
F
F
F
F
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
46
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
127.
128.
129.
130.
131.
F
F
F
V
F
Aspectos
éticos
132. V
133. V
134. F
Unidad
Temática 2:
Probabilidad
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
Probabilidad y Estadística
Facultad Regional Mendoza
http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
OM
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
a
b
d
b
c
d
d
b
d
c
c
c
b
d
c
d
d
d
d
d
Unidad
Temática 3.
3-1: Variable
aleatoria
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
Discretas (D) ;
Continuas (C)
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
C
D
C
D
C
D
C
C
D
C
D
C
D
C
D
Esperanza y
Varianza
66. V
67. F
68. V
Respuestas Autoevaluaciones
Rtas. Autoevaluaciones
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
Teorema de
Chebyshev
86.
87.
88.
89.
90.
V
V
F
F
F
3-2:
Distribuciones
discretas
Uniforme
1.
2.
3.
4.
5.
V
V
F
F
F
Binomial
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
47
Hipergeométrica
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
Geométrica
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
F
F
V
V
V
V
V
Poisson
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
F
V
F
V
F
F
F
V
Aproximación
binomial a
Poisson
55. F
56. V
57. F
Problemas OM
58.
59.
60.
61.
62.
63.
b
b
a
d
c
c
3-3:
Distribuciones
continuas
Uniforme
1.
2.
3.
4.
5.
V
F
V
V
F
Normal
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
Aproximación
normal a la
binomial
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
F
V
V
V
V
V
V
Gamma y
exponencial
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
V
V
F
F
V
V
V
F
Ji Cuadrada
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
Probabilidad y Estadística
Facultad Regional Mendoza
http://web.frm.utn.edu.ar/estadistica
56. F
Log Normal
57. V
58. V
Weibull
59.
60.
61.
62.
F
V
F
F
Distribución t
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
V
V
V
V
F
V
V
F
Distribución F
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
Combinaciones
lineales
81.
82.
83.
84.
85.
V
F
V
F
V
Distribuciones
Probabilidad
Conjunta
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
101. F
102. F
Unidad
Temática 4:
Distribuciones
fundamentales
del muestreo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
Unidad
Temática 5:
Estimación de
parámetros
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Respuestas Autoevaluaciones
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
Rtas. Autoevaluaciones
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
Unidad
Temática 6:
Pruebas de
hipótesis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
V
V
F
F
F
V
V
V
48
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V