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Curso de actualización
en Ingeniería de calidad
I. VI. FASE DE MEDICIÓN
II. 2. Probabilidad
Dr. Primitivo Reyes Aguilar / febrero 2009
1
VI. FASE DE MEDICIÓN PROBABILIDAD
1. Conclusiones estadísticas válidas
2. Teorema del límite central
3. Conceptos de probabilidad
4. Distribuciones de probabilidad
5. Distribuciones de probabilidad discretas
6. Distribuciones de probabilidad continuas
7. Distribuciones de prob. para decisión
2
1. Conclusiones estadísticas válidas
Estudios enumerativos :
 Los datos enumerativos son los que
pueden ser contados.

Para Deming:
◦ En un Estudio enumerativo la acción se toma
en el universo.
◦ En un estudio analítico la acción será tomada
en un proceso para mejorar su desempeño
3
Obteniendo conclusiones válidas

El objetivo de la estadística inferencial es
obtener conclusiones válidas acerca de las
características de la población (parámetros
, , ) con base en la información obtenida
de muestras (estadísticos X, s, r)

Los pasos de la estadística inferencial son:
◦ La inferencia
◦ La evaluación de su validez
http://www.hrc.es/bioest/Introducion.html
4
2. Teorema del límite central

Las medias muestrales son normales
http://serc.carleton.edu/introgeo/teachingwdata/Statce
ntral.html
5
2. Teorema del límite central

Las medias muestrales son normales
6
3. Probabilidad
# Favorable E
P E  
# Total resultados
7
Probabilidades de Eventos
1. P(E)  0
2. P(S) = 1
3. Si E1,En son mutuamente disjuntos
entonces
 n

P  Ei  
 i 1

n
 P( E )
i
i 1
Resultados
1. Si A  B entonces P(A)  P(B)
2. Si P(Ec)=1-P(E)
3. P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB)
4. Si B1B2…Bn = S entonces
P( E ) 
n
 P( E  B )
i
i 1
P A  B  P A  PB A
8
A
3. Probabilidad
P(A) =.98
B
P(B) =.98
PA  .7 
P B Z  
P(A)=.3
PB   PZ B 
P A PZ APB  PZ B 
B
P(B/A)=.97
A
P(A) =.98
http://www.math.gatech.edu/~bour
baki/math1711/html/bayes.html
9
4. Distribuciones de probabilidad

Variable aleatoria: es cualquier regla que relaciona un
número con cada resultado en el espacio muestral SS.
1.
0  P( y )  1
2.
 P ( y ).= 1
toda
y
FX ( x)  P( X  x)
0  F ( x)  1
Lim x  F ( x)  1
Lim x  F ( x)  0
 X  E ( X )   xf X ( x)  xP( X  x)
x
f X ( x)  P( X  x)
x
 X 2  E[( X   X ) 2 ]   ( x   X ) 2 P( X  x)
x
10
5. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISCRETAS
1. Distribución hipergeométrica
2. Distribución Binomial
3. Distribución de Poisson
11
Distribución hipergeométrica
Se aplica cuando n > 0.1N
 El muestreo se hace sin reemplazo


P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x
éxitos en una muestra de n elementos tomados de
una población de tamaño N que contiene D éxitos.
La función de densidad de distribución
hipergeométrica:
C xD C nNxD
P( x)
N
Cn
n!
C 
x!(n  x)!
n
x
12
Distribución hipergeométrica

La media y la varianza de la distribución
hipergeométrica son:
nD
 nD  D  N  n 
2
   1  


 N  N  N  1 
N
13
Distribución hipergeométrica
Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se
seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la
probabilidad de que 10 productos seleccionados
contengan 5 productos buenos? Los productos
defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83%
 5!  15! 



5!0!  5!10! 
P(5)  
 0.0183
20!
10!10!
14
Distribución binomial

Se aplica para poblaciones grandes N>50 y
n<0.1N con p >= 0.1.

El muestreo binomial es con reemplazo

La binomial es una aproximación de la
hipergeométrica

La distribución normal se aproxima a la
binomial cuando np > 5
15
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial
n x
f ( x)  P( X  x)    p (1  p) n x
 x
x  0,1,..., n
Tiene media y varianza.
E ( X )   X  np
V ( X )    np(1  p)
2
X
16
Distribución de Poisson

Se utiliza para modelar datos discretos

Se aproxima a la binomial cuando p es
igual o menor a 0.1, y el tamaño de
muestra es grande (n > 16) por tanto np
> 1.6
17
Distribución de Poisson
Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si
toma probabilidades con.

e 
f ( x) 
x!
x
x  0,1,...
  np
    np
18
6. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
CONTINUAS
1. Distribución exponencial
2. Distribución normal
19
Distribución Exponencial
Modela artículos con una tasa de falla
constante y está relacionada con Poisson.
 Modela el tiempo medio entre llegadas


Si x se distribuye exponencialmente,
y=1/x sigue una distribución de Poisson

La función de densidad de probabilidad
exponencial es: Para x >= 0
f ( x)
1

e

x

  e  x
20
Distribución Exponencial
Donde Lambda es la tasa de falla y theta
es la media
 La función de densidad de la distribución
exponencial

21
Distribución Exponencial
El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más
simple de todo los modelos de distribución del tiempo de
vida.
CDF : F (t )  1  e
 t
CONFIABILIDAD : R(t )  e
t
Función de Densidad de Probabilidad Exponencial
0.0035
= 0.003, MEDIA = 333
0.0030
= 0.002, MEDIA = 500
TASA DE FALLA : h (t )  
f(t)
0.0025
0.0020
= 0.001, MEDIA = 1,000
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
0
500
1,000
Tiempo
1,500
2,000
La distribución Normal estándar
• Tiene media 0 y desviación estándar de 1.
• El área bajo la curva de infinito a más infinito vale 1.
• Es simétrica, cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
• La escala horizontal se mide en desviaciones estándar, Z.
• Para cada valor Z se asigna una probabilidad en Tabla
normal
23
CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
La Normal is simétrica -
Cola
Teóricamente, la
curva se extiende a
- infinito
Cola
Media, mediana, y
moda son iguales
Teóricamente, la
curva se extiende a
+ infinito
La Distribución Normal Estándar
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
X
x-3
x-2
x-
x
x+
x+2
x+3
z
-3
-2
-1
0
1
2
3
25
Normales con Medias y
Desviaciones estándar diferentes
= 5,  = 3
 = 9, = 6
 = 14,  = 10
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%
3
2 1

1 2
3
z= x-

P(0 < z < 0.8)
= 0.2881.
0.8
7. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD PARA
DECISIÓN
1. Distribución Chi Cuadrada
2. Distribución t de Student
3. Distribución F de Fisher
29
Distribución Chi Cuadrada

Prueba un varianza e igualdad de
proporciones
30
Distribución t de Student

Prueba igualdad de medias.
31
Distribución F

Prueba igualdad de varianzas
32