Download euler y la geometría analítica

Amadeu Delshams; Maria Rosa Massa
volum ix
2008
MENGOLI, Pietro (1659) Geometriae Speciosae Elementa, Bologna.
MENGOLI, Pietro (1672) Circolo, Bologna.
NATUCCI, A (1970) “Mengoli” Dins: GILLISPIE, C.C. (ed.) Dictionary of
Scientific Biography, Scribner’s 9, Nova York, 303-304.
PASCAL, Blaise (1954) Oeuvres complètes, Paris, Gallimard.
PROBST, Siegmund (en premsa) “The reception of Pietro Mengoli’s Work on
Series by Leibniz (1672-1676)”. Dins: Actes de “Joint International Meeting
UMI-DMV, Perugia, 18-22 June 2007”.
WALLIS, John (1693-99) Opera Mathematica, 3 vols, Oxford, reimprès
Hildesheim: Olms 1972 amb la mateixa paginació.
YOUSCHKEVITCH, Adolf P. (1971) “Leonhard Euler”, Dins: GILLISPIE, C.C.
(ed.) Dictionary of Scientific Biography, Scribner’s 9, Nova York, 467-484.
Aquest treball s’inclou en el projecte HUM2007 - 62222/HIST del Ministeri de
Ciència i Innovació.
Quaderns d’Història de l’Enginyeria
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EULER Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Pedro Miguel González Urbaneja
[email protected]
“Euler sistematizó y unificó inmensos espacios matemáticos de resultados parciales y teoremas aislados de su época, extrayendo los fundamentos
y asociando los puntos esenciales con la inmensa potencia de su genio analítico. […] Euler es el primero y quizá el más grande de los universalistas
matemáticos” (BELL, 1950: 166,167).
“La última parte de la Introductio de Euler, como aplicación del Álgebra a la Geometría, es un tratado sistemático de Geometría Analítica en el
sentido de Fermat” (BOYER, 1956: 181).
“La lectura de los papeles de Euler es una experiencia tan estimulante
como impresionante por su imaginación y originalidad. A veces, un resultado muy conocido, se presenta de forma tan genial que desearíamos que
los comentaristas sucesivos no lo hubiesen interpretado” (AYOUB, 1974:
1.069).
“Rodeado de un respeto universal, con nobleza de carácter pudo, al final
de su vida, considerar como discípulos suyos a todos los matemáticos de
Europa” (Panegírico de Cordorcet sobre Euler).
1.- Introducción.
1.1.- El programa de Fermat y Descartes llevado a la perfección por
Euler.
La Geometría Analítica es la “aplicación del Álgebra simbólica al estudio de
problemas geométricos mediante la asociación de curvas y ecuaciones indeterminadas en un sistema de coordenadas”. El Análisis Geométrico griego de Menecmo,
Apolonio y Pappus utilizaba el equivalente de un sistema de coordenadas,
pero carecía del Álgebra simbólica. Vieta en su Arte Analítica pudo disponer
del instrumento algorítmico del Álgebra simbólica que aplicaba a problemas
geométricos, pero no llegó a utilizar coordenadas. El alumbramiento de la
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Geometría Analítica por parte de Fermat y Descartes tiene lugar al aunar
ambos aspectos en el estudio de las curvas: la introducción de coordenadas
y la mecánica operatoria del Álgebra simbólica en la aplicación a los lugares
definidos por una ecuación en dos incógnitas. Fermat y Descartes crean,
de forma independiente y complementaria, un poderoso instrumento de
exploración matemática, un potente método de investigación geométrica,
mediante el que pudieron plantear y resolver de forma admirable, brillante
y prodigiosa, problemas difíciles, antiguos, clásicos y modernos, como la
determinación de las rectas normales a las curvas, el Problema de Pappus y
el Problema de Apolonio, entre otros, en el caso de Descartes y otros muchos
como los problemas de lugares geométricos, el estudio de elementos notables de las curvas, extremos y tangentes, cuadraturas y cubaturas, centros de
gravedad y rectificación en el caso de Fermat. Y todo ello a partir de 1637.
En efecto, Descartes publica en 1637 La Geometría [G. AT, VI, 367-485]1 como
uno de los apéndices de su Discurso del Método. El mismo año, Fermat envía
al Padre Mersenne, en París, sus investigaciones de alrededor de 1629 contenidas en la memoria [TH. OF. III. 85-101] Introducción a los Lugares Planos
y Sólidos (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge). Las obras citadas de Descartes
y Fermat contienen los fundamentos de la llamada más tarde Geometría
Analítica2.
Pues bien, los trabajos de Euler sobre Geometría Analítica representan la consumación de las ideas de Fermat y Descartes en la aplicación
de las ecuaciones del Álgebra a la resolución de problemas geométricos
mediante sistemas de coordenadas. Euler explota los métodos analíticos
introducidos por Fermat y Descartes y desarrollados por Van Schooten,
De Witt, Wallis, La Hire, L’Hôpital,…, y bajo la idea de que “mejor que de
nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico”, Euler da un gran
1
2
Los textos originales de Descartes y Fermat que se transcriben en el artículo se tomarán de sus
ediciones estándares (ver 12.2 de la Bibliografía). La referencia concreta a un texto de Fermat
se hará indicando el tomo y la página a continuación de la partícula TH. OF., mientras que
para un texto de Descartes se hará indicando la página a continuación de la partícula DM. AT,
VI, o G. AT, VI, respectivamente, según se trate de El Discurso del Método o de La Geometría. Por
ejemplo (G. AT. VI. 372) indicará que el texto al que se hace alusión se encuentra en la página
372 del sexto tomo de las Oeuvres de Descartes, que contiene La Geometría de Descartes.
Para una visión exhaustiva de los antecedentes históricos de la Geometría Analítica, anteriores a Euler, se puede consultar la siguiente obra del autor de este artículo: GONZÁLEZ
URBANEJA, P. M. (2003) Los orígenes de la Geometría Analítica. Tenerife, Fundación Canaria
Orotava de Historia de la Ciencia.
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paso de gigante en la sistematización de la Geometría Analítica plana y
tridimensional.
Buena parte de lo que hoy se enseña en los cursos de Geometría Analítica
se debe prácticamente a Euler, en particular, la teoría de secciones cónicas y
las superficies cuadráticas, desde el punto de vista unificado proporcionado
por la ecuación general de segundo grado con seis términos para las cónicas
y con diez términos para las cuádricas. Sobre cónicas, realiza un tratamiento
analítico general libre de referencias al cono e incluso a diagramas; refiere
la cónica a sus ejes principales, realiza la clasificación de cónicas, encuentra
los puntos, líneas y razones notables y demuestra con sorprendente pericia
numerosas propiedades de la geometría de estas curvas. Si en el caso de las
cónicas, Euler amplía y perfecciona los trabajos anteriores al normalizar de
forma definitiva y programática su estudio, para las cuádricas es un auténtico pionero en la investigación de los elementos geométricos y propiedades
de estas superficies. Y todo ello con una habilidad magistral en el manejo
del cambio de coordenadas. En este sentido, el eximio historiador de la
Geometría M. Chasles, escribe sobre el trabajo de Euler (Aperçu historique sur
l’origine et le développement des méthodes en géométrie, Bruxelles, Hayez, 1837.
Cap. IV, pág. 152):
“Euler, en su Introductio in analysin infinitorum, expone los principios
generales de la teoría analítica de las curvas geométricas, con la generalidad
y claridad que caracteriza los escritos de este gran geómetra”.
Cuatro volúmenes de su Opera Omnia, que contienen casi 1.600 páginas,
son dedicados por Euler a la investigación geométrica. Una parte corresponde a la Geometría Sintética, es decir la Geometría habitual de Euclides o
de Arquímedes que no utiliza coordenadas, pero la mayoría de sus trabajos
geométricos son de tipo analítico. En ellos, Euler utiliza, con una maestría
sin par, unas veces con elegancia y naturalidad y otras con espectacularidad, pero siempre con asombrosa agudeza y portentosa originalidad, el
maravilloso poder algorítmico del Álgebra. Por eso la lectura de sus textos
es una fuente de entusiasmo matemático ante el despliegue inusitado de
una impresionante imaginación. En palabras de W. DUNHAM (2000: 24,
25, 219, 229):
“Si extraordinaria fue la calidad de sus logros, también lo fue su inmen85
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sa cantidad de escritura fresca y entusiasta […]. Fue maestro a la hora de
inventar demostraciones alternativas para llegar al mismo resultado. […].
Sus demostraciones son una mezcla de intuición geométrica y perseverancia algebraica […]. El gran analista, algebrista y teórico de los números del
siglo XVIII era también un gran geómetra. Su versatilidad matemática no
tenía límites”.
2.- El tomo II de la Introductio in analysin infinitorum de Euler.
La aplicación de geometría analítica está, como se ha dicho, en multitud
de páginas de Euler, pero sin duda la fuente más relevante de la aplicación
de la Geometría Analítica en Euler es precisamente el tomo II de su obra más
importante y famosa, la Introductio in analysin infinitorum de 1748, donde trata
sistemáticamente la Geometría con coordenadas.
La Introductio de Euler es una de los tratados más importantes de toda
la Historia de la Matemática y lo es sobre todo respecto de la Geometría
Analítica. El gran historiador C.B. Boyer se pronuncia, sobre esta obra de
Euler, en la que hoy sigue siendo el principal manual de referencia sobre la
Historia de la Geometría Analítica (BOYER, 1956: 180)3:
“La Introductio de Euler es probablemente el libro de texto más influyente de los tiempos modernos. Es el trabajo que convirtió el concepto de
función en básico para las Matemáticas [...]. La Introductio es para el Análisis elemental lo que Los Elementos de Euclides es para la Geometría”.
Quizá lo más sobresaliente de la Introductio, desde el punto de vista del
desarrollo de la Geometría Analítica, sea el tratamiento general de Euler.
A partir de entonces surge realmente una de las grandes ventajas de los
métodos analíticos modernos frente al enfoque sintético de los antiguos:
muchos casos específicos de las cuestiones geométricas pueden ser incluidos en una formulación global. Este aspecto de generalidad que permitía el
Álgebra frente a la singularidad de cada problema en la Geometría de los
griegos era uno de los rasgos más relevantes señalados por Descartes en La
3
Dover Publications ha reeditado en 2004 la importante obra de Carl. B. Boyer con el mismo
nombre, History of Analytic Geometry.
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Geometría y Fermat en la Isagoge, pero había sido en parte oscurecido por
los siguientes matemáticos, anteriores a Euler, que se ocupan de la intervención del Álgebra en la Geometría (Van Schooten, Debeaune, Hudde, De
Witt, Wallis, Sluse, Lahire, Craig, Stirling, L’Hôpital, Hermann, MacLaurin,
Clairaut, Agnesi, ...), incluso en cuestiones muy básicas, como por ejemplo,
en el estudio de la ecuación de la recta, que se subdividía en numerosos
casos diferentes, en las transformaciones de coordenadas o en la persistente
dependencia de los diagramas geométricos como base de los razonamientos
en los problemas. Euler cambiará radicalmente esta situación propiciando
más que ningún otro matemático la generalización de los métodos analíticos mediante el uso de coordenadas y ecuaciones como instrumentos algebraicos para la resolución de los problemas geométricos.
Según el gran historiador Gino Loria (1862-1954) el año 1748 es tan
importante como el año 1637 para la Historia de la Geometría Analítica ya
que con la publicación de la Introductio in analysin infinitorum de Euler, esta
herramienta de la Matemática adquiere una “robusta estructura” que permite nada menos que disponer de un material apto ya para su proyección
académica4. Según Boyer5, mientras los trabajos inmediatos de McLaurin y
Agnesi de 1748 están comprometidos todavía con la tradición cartesiana de
las construcciones geométricas, la contribución de Euler en este mismo año
marca una definitiva victoria de las tendencias de Fermat.
El tomo II de la Introductio in analysin infinitorum consta de dos partes
bien diferenciadas. El grueso del libro es un estudio analítico (es decir, con
ecuaciones y coordenadas) muy completo y sistemático de las líneas curvas
en general, con un énfasis especial en las secciones cónicas. La segunda
parte, titulada Tratado abreviado de superficies, a modo de apéndice, aunque
muy extenso, es un estudio analítico de las superficies en general –es un
tratado metódico de Geometría Analítica tridimensional en el sentido de
Fermat–, con un énfasis especial en las cuádricas. Los diversos capítulos
están divididos en epígrafes a modo de artículos en total 540 para las curvas y 152 para las superficies. Las figuras, de gran calidad gráfica, están
situadas en láminas al final de la obra, y se hace referencia a ellas en los
márgenes del texto.
4
5
LORIA (1923: 825).
BOYER (2004: 179-180).
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Índice de capítulos del tomo II de la Introduction a l’analyse infinitésimale de Euler.
Primera
edición en
francés de la
Introduction a
l’analyse infinitésimale de
Euler. París,
1797.
Primera
edición de
la Introductio
in analysin
infinitorum
de Euler.
Lausanne,
1747.
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3.- Curvas, funciones y ecuaciones. Introducción de las coordenadas6.
Para empezar, y antes de introducir las secciones cónicas que hasta entonces, en palabras de Euler, “habían sido casi el único objeto de esta rama de
las matemáticas”, Euler da una teoría general de curvas basada en la idea de
función que había desarrollado en el primer tomo de la Introductio –que como
sabemos está destinado al “análisis puro”–, y en la que la distinción cartesiana
entre curvas geométricas y mecánicas aparece ya en terminología moderna de
curvas algebraicas y trascendentes.
En el capítulo I Euler trata de las curvas en general. Y empieza introduciendo las coordenadas mediante el uso de un único eje sobre el que, al fijar
un punto como Origen, define las abscisas y levanta ordenadas perpendiculares
u oblicuas.
Euler explica [art. 1, pág. 1] de forma muy retórica la presentación “al espíritu” de valores determinados de las cantidades variables como segmentos o
intervalos de recta. Sobre una recta, fijado un punto A como Origen (Fig. 1)
mide hacia la derecha valores positivos y hacia la izquierda valores negativos.
Así introduce las abscisas, palabra que pone en mayúscula.
A continuación [art. 4, pág. 2] Euler explica cómo “dada una cantidad
variable x, representada por una línea recta buscamos una manera muy
6
Las referencias literales y exegéticas a la obra de Euler Introductio in analysin infinitorum se
harán respecto al tomo II de la traducción al francés realizada por J.B. Labey, publicada en
París, en 1797, con el título de Introduction a l’analyse infinitésimale. A lo largo de la exposición
se hace referencia a los diversos epígrafes a modo de artículos señalando el número de artículo y la página de la obra de Euler. En cuanto a las figuras, para mantener la literalidad se
reproducirán –manteniendo su numeración– las propias ilustraciones gráficas de la obra de
Euler, pero por su mejor calidad gráfica se tomarán de la edición original en latín.
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cómoda de representar geométricamente una función y cualquiera de x”.
Sobre una recta indefinida RAS en la que se representan los valores de x, para
cada valor determinado de AP de x se eleva sobre la línea dada una perpendicular PM (Fig. 2), igual al valor correspondiente de y (hacia arriba o hacia
abajo según el signo de y). Los extremos M de cada una de las perpendiculares representarán una cierta línea recta o curva, que, en consecuencia, estará
determinada por la función y [art. 6, pág. 3]. Euler indica:
“Así cada función de x referida de esta manera a la geometría, dará una
línea recta o curva, cuya naturaleza dependerá de la función”.
En una digresión inmediata [art. 8, pág. 4], Euler indica que, aunque se
pueden describir las curvas mecánicamente por el movimiento continuo de
un punto que “presenta a los ojos la curva en su conjunto”, es preferible considerarla como resultado de una función, que “es una forma más analítica,
más general y más propia del cálculo”.
Euler alude al término analítico. Veremos que se mueve con los instrumentos de la Geometría Analítica pero la temática es propia del Análisis
Infinitesimal. Magnificando la tradición poscartesiana, Euler hará de la
Geometría Analítica una potente herramienta del Cálculo Infinitesimal y en
particular del estudio de funciones.
En el artículo 11 (pág. 5) Euler hace una recapitulación de terminología
con nombres a retener: eje (en singular), origen de abscisas, abscisas y ordenadas.
Aquí nombra por vez primera como ordenadas a las perpendiculares PM trazadas desde los extremos de las abscisas a la curva y dice que normalmente
serán perpendiculares u ortogonales, pero que a veces utilizará ordenadas oblicuas. Como queriendo enfatizar nuevamente el íntimo vínculo entre curva y
función, Euler repite de nuevo [art. 12, pág. 5] que “la naturaleza de la línea
curva, cuando es continua, dependerá de la de la función, o de la manera
como las constantes y las cantidades x, y se combinan entre ellas”. Y vuelve
a repetir la misma idea en referencia a cuando la función está expresada de
forma implícita [art. 14, pág. 6], y lo hace de una forma totalmente cartesiana.
Ambas vertientes del Principio Fundamental de la Geometría Analítica7 son
7
Sobre esta cuestión puede consultarse el artículo del mismo autor: GONZÁLEZ URBANEJA
(2007: 205-236).
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claramente establecidas por Euler. De acuerdo con Fermat, (TH. OF. III. 85),
Euler establece que:
“Cualquier función y de x da lugar a una línea recta o curva continua
que puede ser descrita mediante un gráfico”,
Y de acuerdo con Descartes (G. AT, VI, 412), Euler reconoce que:
“La naturaleza de una curva cualquiera viene dada por una ecuación
en dos variables, x, y, de las cuales x es la abscisa e y es la ordenada, que en
conjunto se llaman coordenadas”.
Euler ha sustituido el término cartesiano de construcción por el de gráfico.
Con ello se decanta más hacia el aspecto fermatiano del trazado de curvas
dadas por sus ecuaciones que hacia la derivación cartesiana de las ecuaciones
de los lugares.
4.- El cambio de coordenadas.
En el Capítulo II Euler emprende el estudio de cómo afecta a la ecuación
de la curva los cambios de coordenadas debido a la arbitrariedad del eje de
coordenadas y el origen de abscisas, de modo que [art. 23, pág. 10]:
“Se podrá tener para una misma línea curva una cantidad innumerable
de ecuaciones, por lo que no se puede siempre de la diversidad de ecuaciones
concluir la de las líneas curvas que representan, aunque curvas diferentes
dan siempre ecuaciones diferentes”.
En el epígrafe siguiente [art. 24, pág. 11] Euler adelanta lo que va a hacer:
“Daremos en este capítulo un método, por medio del cual dada la ecuación de una curva se puede encontrar respecto de otro eje cualquiera y otro
origen de abscisas, una ecuación entre las coordenadas, que expresa la naturaleza de la misma curva: se encontrará de esta manera todas las ecuaciones que corresponden a la misma curva, y será así más fácil juzgar la
diversidad de las líneas curvas por medio de las ecuaciones”.
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Y en efecto Euler estudia de forma exhaustiva [arts. 25-35] las diversas
posibilidades del cambio de coordenadas al cambiar el origen de abscisas
(equivalente a una traslación) o cambiar la dirección del eje (que maneja
mediante el coseno y el seno del ángulo), o cambiar ambos elementos; en
particular los casos en los que se toma como origen de abscisas un punto de
intersección de la curva y el eje, que proporcionan una expresión más sencilla para la ecuación; y en general tomando un eje y un origen arbitrarios que
darán lugar a la llamada por la costumbre y también por Euler [art. 35, pág. 16]
“ecuación general de la curva”.
Ante el problema que surge de inmediato: “probar si dos ecuaciones
representan la misma curva o pertenecen a curvas diferentes” [art. 36, págs.
16-17], Euler indica que la búsqueda de un cambio de coordenadas resolverá
de forma más o menos prolija la cuestión y pone un ejemplo:
“Estudiar si las dos ecuaciones: yy – ax = 0, 16u2 – 24tu + 9t2 – 55au +
10at = 0, representan a la misma curva”.
Euler busca un cambio de coordenadas: x = mu+nt–f , y = nu–mt –g, que
aplicado a la primera ecuación la trasforme en la segunda, y tras algunos
cálculos obtiene: n = 4/5, m = 3/5, g = a, f = –a. Por consiguiente: “las dos
ecuaciones propuestas representan la misma curva”. Pero está claro que esta
operación sólo se ensaya cuando las ecuaciones son del mismo grado porque
en otro caso representan necesariamente curvas diferentes [arts. 36-37].
Euler vuelve sobre este asunto en los últimos epígrafes del Capítulo II. Ya
al final escribe [art. 46, págs. 21-22]:
“De cualquier manera que se transforme la ecuación de una curva,
cambiando como se quiera el eje y el origen de las abscisas con diversas inclinaciones de las coordenadas, la ecuación permanecerá siempre del mismo
orden. Por consiguiente, aunque una ecuación entre las coordenadas –ya
sean perpendiculares u oblicuas– pueda variar de una infinidad de maneras, sin dejar de pertenecer a la misma curva, nunca se podrá reconducir a
un grado superior o inferior. Es por ello que ecuaciones de orden diferente,
cualquiera que sea la afinidad que parezcan tener entre ellas, representarán
siempre curvas diferentes”.
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Euler indica:
5.- La ecuación de la recta.
“Como es la ecuación general de primer orden entre t y u, está claro que
ninguna ecuación de primer orden entre dos coordenadas representa una
línea curva sino una línea recta”.
Euler aplica a las rectas lo que prescribe en general para las curvas y
maneja una única forma general de la ecuación de la recta que obtiene en la
forma: αx + βy – a = 0.
Dada la ecuación general de una recta LN en la forma αx + βy – a = 0 (Fig.
13), Euler Indica lo que para nosotros serían los puntos de corte con los ejes
[art. 40, págs. 18-19]:
Tomando y = 0 se encuentra el punto C, intersección de la recta LN con
el eje RS: AC = a/α; y tomando x = 0 se obtiene el valor de la ordenada en el
origen de abscisas: AB = a/β, que para nosotros sería la intersección con el eje
de ordenadas.
Comienza [art. 39, pág. 18] por una recta LM paralela al eje RS (Fig. 12).
Para cualquier posición del origen A de abscisas, la ordenada será siempre
constante, es decir y = a, que tal será la ecuación de la línea recta paralela al
eje. A continuación busca la ecuación general de la línea recta respecto de un
eje cualquiera RS.
Tomando:
G = DG, m = seno del ángulo ODs, n = coseno del ángulo ODs,
T = DQ la abscisa, u = MQ la ordenada,
ya que
y = nu – mt – g,
Euler comprueba mediante semejanza de triángulos que cualquier otro
punto M de la recta BC cumple la ecuación propuesta. En efecto: si x es la
abscisa, y es la ordenada correspondiente, siendo semejantes los triángulos
CPM y CAB, resulta:
se tiene:
,
nu – mt – g – a = 0,
ecuación general de la línea recta. Multiplicamos por la constante k, y llamamos:
nk = α, mk = – β, y – a = 0, (g+a)k = -b.
Tendremos entonces la ecuación:
αu + βt + b=0
es decir:
,
de donde se deduce:
;
para la línea recta.
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y de aquí:
αx + βy – a = 0,
que es la ecuación propuesta.
Euler menciona [art. 41, pág. 19] específicamente los casos singulares α =
0, β = 0, y α = a = 0, pero no β = a = 0, seguramente porque, como se ha dicho,
todavía utiliza un solo eje. Y termina el estudio de la recta con estas palabras:
“Se ve, pues, claramente que las líneas rectas pueden ser designadas por
ecuaciones entre coordenadas perpendiculares”.
Euler remarca que toda línea recta queda determinada por dos puntos, lo
que implica que se puede encontrar su ecuación por medio de coeficientes
indeterminados. Sin embargo, Euler no abunda mucho en el estudio de las
ecuaciones de primer grado porque [Cap. V, art. 85, pág. 39]:
“La naturaleza de la geometría de la línea recta es ya bien conocida por
los elementos de Geometría”,
lo cual es una lástima porque con ello se retrasó en unos cincuenta años el
desarrollo de la parte más elemental de la Geometría Analítica, objeto durante la Matemática de la Revolución Francesa de multitud de libros de texto. Lo
mismo puede decirse con respecto a la Geometría Analítica del círculo. Tal
vez Euler, como Newton, tenía la impresión de que la Geometría Analítica no
se había desarrollado o no era muy apta para los problemas elementales en
torno a líneas rectas y círculos; o tal vez la limitación platónica de la regla y el
compás todavía debía ser reminiscente en los tiempos de Euler.
6.- La clasificación de las curvas algebraicas.
En el Capítulo III Euler clasifica las curvas algebraicas en órdenes según
el grado de cualquiera de las ecuaciones que las pueden representar en un
sistema de coordenadas [art. 51, pág. 24]. Claro está que [art. 59, pág. 27]:
“si la curva es irracional habrá que liberarla [mediante operaciones
potenciales] de su irracionalidad y si tiene fracciones habrá que hacerlas
desaparecer”.
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El primer orden comprende la línea recta [art. 52, pág. 24], cuya ecuación
general será la de primer grado: 0 = α + βx + γy, y es la más simple de todas
las líneas.
Todas la líneas de segundo orden estarán comprendidas en la ecuación
general de segundo orden [art. 54, pág. 25]:
0 = α + βx + γy + δxx + εxy + ζyy.
Estas curvas son las más simples de todas
“puesto que no hay ninguna línea curva en las de primer orden; es por
esta razón por las que algunos las llaman líneas curvas de primer orden”.
Euler indica que las curvas representadas por esta ecuación son más conocidas bajo el nombre de secciones cónicas, porque resultan de la sección de un
cono y sus especies son el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola.
Sigue la relación de curvas de orden superior al segundo [arts. 55-57].
Euler comenta el número de términos igual al de letras constantes que tienen
las curvas de cada orden: 3 las del primero, 6 las del segundo, 10 las del tercero, 15 las del cuarto, 21 las del quinto, 28 las del sexto. En general el número
de términos sigue la ley de los números triangulares, así que la ecuación
general de las líneas de orden n contiene Tn = (1/2)(n+1)(n+2) términos.
El Capítulo IV trata de las principales propiedades de cada orden de curvas
algebraicas a tenor del grado de su ecuación. Comienza diciendo [art. 66, pág. 31]:
“Entre las principales propiedades de las líneas de cada orden la que
sobresale en primer lugar es su incidencia con la línea recta, o más bien el
número de intersecciones que estas líneas pueden tener con ellas; […] la
solución de esta cuestión servirá para conocer mejor la naturaleza de las
líneas curvas de los diversos órdenes. Se demostrará que una línea de segundo orden no podrá ser cortada por una recta en más de dos puntos; una
línea de tercer orden en más de tres, y así sucesivamente”.
En particular, Euler recuerda la forma de encontrar los puntos de intersección de la curva con el eje “donde la ordenada y = 0” [art. 67, págs. 31-32, y
pone el ejemplo de un círculo.
En el artículo siguiente [68] Euler indica que el número de intersecciones
de una curva con una recta cualquiera depende del grado de la ecuación de
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la curva; será a lo sumo como el grado, y de hecho igual al grado “si todas las
raíces de la ecuación [resultante] son reales; y en otro caso el grado disminuido en el número de raíces imaginarias”. Euler comenta en particular en los
artículos 69-72 los casos de las curvas de primer grado a cuarto grado.
La ecuación general de una curva contiene varias cantidades constantes
arbitrarias que la determinan completamente en cuanto quedan fijados sus
valores [art.74, pág.34]. En el caso de la recta, la ecuación: 0 = α + βx + γy,
podría parecer susceptible de tres determinaciones, a causa de las tres constantes arbitrarias α, β, γ. Pero se sabe por la naturaleza de las ecuaciones, que
para que sea determinada, basta conocer la relación entre estas constantes, es
decir la relación de dos de ellas con la tercera. Y por tanto esta ecuación será
solamente susceptible de dos determinaciones [art. 75, pág. 34-35]. De manera
similar la ecuación general de las líneas de segundo orden, que contiene seis
constantes arbitrarias, es susceptible de cinco determinaciones; y la ecuación
general de las líneas de tercer orden solamente de nueve; y en generalmente,
la ecuación general de las líneas de orden n admitirá Tn–1 = (1/2)(n+1)(n+2)–1
determinaciones.
A la hora de hallar las constantes arbitrarias que determinan una curva, si
se conoce un punto por el que pasa disminuirá en uno el número de determinaciones [art. 76, pág. 35]; y si se conocen dos puntos disminuirá en dos; y así
sucesivamente, de modo que [art. 77, pág. 35]:
“Si se conocen tantos puntos por donde la curva debe pasar como determinaciones de las que la ecuación general es susceptible, la línea curva está
completamente determinada y será, por tanto la única que pueda pasar por
los puntos propuestos”.
Euler remarca, en particular, que toda línea de primer orden, es decir toda
línea recta queda determinada por dos puntos y recíprocamente, por dos
puntos sólo puede pasar una recta (“esto es conocido por los elementos” [art.
78, pág. 36]), lo que evidentemente implica que se puede encontrar su ecuación por medio de coeficientes indeterminados. En cambio, como un único
punto no determina una recta, se pueden trazar una infinidad de rectas por
este punto (haz de rectas por un punto).
Análogamente, ya que la ecuación general para las líneas de segundo
orden admite cinco determinaciones, si se proponen cinco puntos por los
cuales una línea curva debe pasar, la línea de segundo orden está completa98
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
mente determinada [art. 79, pág. 36]. Pero si se proponen sólo cuatro puntos o
menos, como la ecuación no está entonces determinada, habrá una infinidad
de líneas de segundo orden que pasan por estos puntos. Euler no pasa por
alto el caso en que tres de los cinco puntos estén alineados, e indica que como
una línea de segundo grado no puede cortar a una recta en tres puntos, en tal
caso la línea buscada no existe.
Continúa Euler [arts. 80-81] estudiando el mismo problema para las líneas
de tercer orden y nueve puntos o menos por los cuales la línea curva debe
pasar, las líneas de cuarto orden y catorce puntos o menos por los cuales la
línea curva debe pasar y en general las líneas de orden n y (1/2)(n+1)(n+2)
– 1 = (1/2)n(n+3 ) puntos o menos por los cuales la línea curva debe pasar. Y
asegura, además [art. 82, pág. 37] que como la posición del eje y el origen son
arbitrarios, la determinación de los coeficientes de la línea curva llegará a ser
más fácil si se hace pasar el eje por uno de los puntos dados sobre el que además se toma el origen de abscisas. Incluso sería más fácil todavía si se toma
el eje pasando por otro de los puntos propuestos. En fin, más aún se puede
simplificar el problema si en lugar de ordenadas perpendiculares se toman
ordenadas oblicuas, de manera que la que pasa por el origen de las abscisas pase
al mismo tiempo por otro de los puntos dados; y añade:
“pues no es más difícil encontrar y construir la curva cuando las ordenadas están inclinadas sobre el eje que cuando son perpendiculares”.
Así pues, la consideración de una “referencia cartesiana” ad hoc para cada
búsqueda de la línea curva que pasa por determinados puntos disminuye de
forma considerable la dificultad del problema. Con ello Euler demuestra ser
un gran maestro en la aplicación de los presupuestos metodológicos de la
Geometría Analítica. Y en efecto, con su destreza habitual, Euler aplica lo que
acaba de decir para encontrar la línea de segundo grado que pasa por cinco
puntos [art. 83, pág. 38] simplificando de forma muy considerable la aplicación del método de coeficientes indeterminados.
7.- El estudio de las líneas de segundo orden (las secciones cónicas).
El estudio analítico, general y exhaustivo de las secciones cónicas comienza
en el capítulo V de la Introductio que lleva el simple título de Sobre las Líneas
99
Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
de Segundo Orden. Euler indica al principio [art. 85, pág. 39] que va a examinar con atención estas curvas porque al ser las más simples han tenido una
utilidad y aplicación muy extendidas en toda la alta geometría; y también
porque gozan de un gran número de propiedades muy significativas, que
habían sido ya destacadas por los antiguos geómetras, o que han sido descubiertas por los modernos; de modo que su conocimiento es tan necesario, que
la mayor parte de los autores suelen explicarlas inmediatamente después de
la geometría elemental.
Euler señala que las propiedades de las cónicas no pueden derivarse de
un único principio; a veces se obtienen de la ecuación de las curvas, otras
de su generación por la sección de un cono (como habían hecho los grandes
geómetras griegos) y otras se obtienen de la forma como han sido descritas
mediante construcción geométrica. Y añade [art. 85, pág. 40]:
“Nos limitaremos a examinar aquí [las propiedades de las cónicas] que
se pueden deducir de su ecuación sin recurrir a otros medios”.
Euler escribe la ecuación general de una cónica como ecuación cuadrática
general con seis términos [art. 86, pág. 40]:
0 = α + βx + γy + δxx + εxy + ζyy ;
y expresa la ecuación respecto de y en términos de x:
;
lo que le permitirá manejar la suma y el producto de las raíces de la ecuación en
y en función de los coeficientes en x (Cardano-Vieta). Ello le sirve para encontrar diámetros y múltiples relaciones entre segmentos de la geometría de la
cónica mediante la suma y el producto de raíces de la ecuación [arts. 87-95].
8.- Cuerdas y diámetros. Ecuaciones reducidas de la cónica.
Euler introduce las cuerdas [art. 88] y los diámetros que son las rectas que
dividen en dos partes iguales todas las cuerdas paralelas a una tangente [arts.
90-91].
100
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
Al aplicar el producto de raíces, Euler
obtiene ciertas relaciones entre segmentos en forma de razón [art. 94, pág. 44]
que, al tomar un diámetro como eje y las
ordenadas paralelas a la dirección de la
tangente en la intersección del propio
diámetro con la curva (Fig. 20), le permiten escribir la ecuación de la cónica en la
forma griega similar a la de Apolonio8
[arts. 92-95].
8
En su famosa obra Las Cónicas, Apolonio describe las secciones cónicas –en el lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Áreas– a través
de relaciones de áreas y longitudes, que daban en cada caso la propiedad característica de
definición de la curva. Por ejemplo, la conocida ecuación de la parábola con vértice en el origen es y2 = lx, donde l es el latus rectum o parámetro doble que se representa por 2p, sintetiza, en
nuestro lenguaje, el farragoso y larguísimo enunciado de la Proposición I. 11 de Las Cónicas
en forma de propiedad que cumple la sección cónica bautizada por Apolonio justamente aquí
con el nombre de parábola. Análogamente, Apolonio hará lo propio para la hipérbola y la
elipse en las dos proposiciones siguientes (I. 12 y I. 13) que redactadas en un retórico lenguaje
abstruso y prolijo, se pueden interpretar mediante ecuaciones de la forma siguiente:
Si se designa para la hipérbola a el eje transverso o diámetro y b el eje no transverso, para
la elipse a y b los ejes, y para ambas cónicas y la ordenada, x la abscisa, y l el latus rectum,
podemos traducir los enunciados de las proposiciones I.12 y I.13 en las relaciones:
• Hipérbola: y2 = lx + (b2/a2) · x2 o bien [(x+a)2/a2] – [y2/b2] = 1 ,
• Elipse:
y2 = lx – (b2/a2) · x2 o bien [(x–a)2/a2] + [y2/b2] = 1 ,
ecuaciones de la hipérbola y de la elipse, respectivamente, referidas a uno de sus vértices
como origen de coordenadas, donde concurren como ejes de coordenadas un diámetro y la tangente a la cónica en su extremo, y donde el latus rectum o parámetro l es: l = 2b2/a.
Por ejemplo , en el caso de la elipse, o que demuestra Apolonio en
la Proposición I. 13 con un lenguaje retórico es que hay una relación constante entre ciertas áreas, el cuadrado de lado la cuerda
PQ y el rec tángulo determinado por los segmentos OQ, QR del
diámetro.
En particular se verificará:
.
Al tomar coordenadas con origen en el vértice O, y llamando x, y, a, b y l , como antes, se
tiene:
de donde resulta:
es decir:
Las relaciones de áreas de Apolonio que expresan propiedades intrínsecas de la curva se
prestan con gran facilidad, como se ha visto, a ser traducidas en el ulterior lenguaje del
Álgebra simbólica de ecuaciones que permitirá la asociación de curvas y ecuaciones en la
Geometría Analítica.
donde l = 2b2/a es el latus rectum.
101
Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
En efecto: al aplicar el producto de raíces resulta que el cuadrado de la semicuerdas LM tiene una relación constante (h/k) con el rectángulo determinado
por CL y LD.
Así que tomando el diámetro CD por eje y las semi-cuerdas por ordenadas
se encontrará una expresión reducida de la ecuación de la cónica.
Sea CD = a, la abscisa CL = x, la ordenada LM = y. Entonces: LD = a – x.
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
Ya que a cada abscisa AP = x (Fig. 25) corresponde dos ordenadas y, a saber
PM, PN, se podrá determinar la posición del diámetro que corta en dos partes
iguales todas las ordenadas MN. Sea, pues, IG este diámetro que debe cortar
la ordenada MN en el punto medio L que caerá, por tanto sobre el diámetro
buscado.
Sea PL = z. Puesto que: z = ½ (PM + PN), se tiene (Cardano-Vieta):
,
de donde resulta: 2 ζz + εx + γ = 0, que es la ecuación pedida para determinar
la posición del diámetro.
De modo que y2 , ax – x2 , estarán en una relación constante h/k:
9.- Puntos, líneas y razones notables de las cónicas (centro, diámetros
conjugados, diámetros principales, ejes, focos, vértices, etc.).
Y en la referencia elegida la ecuación de la cónica se escribirá:
Con su inveterado virtuosismo, Euler encuentra numerosas propiedades
generales de la geometría de las cónicas [arts. 96-100]. Euler escribe [art. 101,
pág. 47]:
“Después de haber expuesto estas propiedades de las líneas de segundo
orden, que resultan inmediatamente de la forma de la ecuación, pasemos a
la investigación de otras propiedades más escondidas”.
Dada la ecuación de la cónica:
,
Mediante la suma de raíces de la ecuación, Euler encuentra la ecuación de
los diámetros [art. 101, págs. 47-48]:
102
Ahora Euler considera el diámetro que bisecta todas las cuerdas paralelas
a las ordenadas, primero en coordenadas rectangulares y después en coordenadas oblicuas en cualquier ángulo. Mediante la ecuación de los diámetros
demuestra que dos diámetros cualesquiera se cortan en el mismo punto, y
obtiene, mediante la intersección de todos ellos, el centro de la cónica [arts.
106-107].
Si la ecuación de la cónica es: 0 = α + βx + γy + δx2 + εxy + ζy2,
las coordenadas del centro de la cónica vienen dadas por los segmentos (Fig.
25):
Euler demuestra [art. 108, pág. 51] que: “El centro esta situado en la
mitad de todo diámetro”, de modo que
“se sigue que no solamente todos los
diámetros se cortan en el mismo punto,
sino que se cortan recíprocamente en dos
partes iguales”.
Euler toma, a continuación un diámetro AI como eje [art. 109, pág. 51] en
el cual las ordenadas se aplican bajo un
ángulo APM (Fig. 26).
103
Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
Sea AP = x la abscisa, PM = y la ordenada. Ya que esta tiene dos valores
iguales en valor absoluto pero opuestos, su suma es 0, por tanto la ecuación
general
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
Cambiando la forma de las constantes, la ecuación se convierte en:
yy = α – βxx.
Al hacer y = 0, se tendrá: CG = CI =
será:
tomará la forma reducida del tipo:
; y por tanto el diámetro GI
.
yy = α + βx + γ xx,
la cual dará, haciendo y = 0, los dos puntos G, I, donde la curva atraviesa el
eje.
Ya que las raíces de la ecuación: xx + (β/γ)x + (α/γ) = 0, serán x = AG, x = AI,
se tiene (Cardano-Vieta):
AG + AI = – β/γ , AG · AI = α/γ .
Ya que el centro C de la cónica está situado sobre la mitad del diámetro
GI, se tiene:
AC = ½ (AG + AI) = – β/2γ .
Si además se toma el centro C como origen de abscisas [art. 110, págs. 5152], sea CP = t, PM = y; a causa de que:
x = AC – CP = (–β/2γ) – t ,
se tendrá la siguiente ecuación entre las coordenadas t, y:
,
es decir:
Ahora al hacer x = 0 [art. 111, pág. 52], se encuentra la ordenada que pasa
por el centro: CE = CF =
.
Toda la ordenada será: EF = 2
. Como pasa por el centro será un diámetro que formará un ángulo ECG con el primero GI. Euler escribe:
“Estos dos diámetros están dispuestos entre ellos de forma que cada uno de
ellos corta en dos segmentos iguales a todas las cuerdas paralelas al otro; es a
causa de esta propiedad que se llama diámetros conjugados.
Si se trazan por los extremos G, I, del diámetro GI, rectas paralelas al otro
diámetro EF, serán tangentes a la cónica; y de la misma manera, si se trazan
por los extremos E, F, del diámetro EF, rectas paralelas al otro diámetro GI,
serán tangentes a la cónica”.
A los diámetros conjugados de una sección
cónica que se cortan en ángulo recto Euler los llama
diámetros principales [art. 126, pág. 60].
Sean CA, CE (Fig. 29) dos semi-diámetros conjugados perpendiculares (es decir, semi-diámetros
principales) de una cónica; sea la abscisa CP = x, la
ordenada PM = y; tenemos, pues, para la ecuación
de la cónica:
yy = α – βxx.
Sean AC = a, CE = b. Como se vio antes:
,
de donde se tendrá al escribir x en lugar de t, la ecuación general para las
líneas de segundo orden, cuando se toma un diámetro cualquiera como eje y
se miden las abscisas a partir del centro.
104
2008
b=
a=
, es decir: α = bb,
, y por tanto: β = b2/a2,
lo que nos da para la ecuación de la cónica: yy = b2 – (b2/a2) xx.
105
Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
Se observa que esta ecuación no cambia cualquiera que sean los valores
positivos o negativos de x, de modo que la curva está compuesta de cuatro
porciones iguales situadas a un lado y otro alrededor de los diámetros AC y
EF.
Euler alude al caso particular del círculo [art. 127, pág. 60] cuando los
semi-diámetros a, b, principales son iguales:
“Ahora si desde el centro C, tomado como origen de abscisas, trazamos
la recta CM, será:
De modo que si b = a o CE = CA, se tendrá CM = b; en este caso todas
las rectas trazadas desde el centro a la curva serán iguales entre ellas, que
es la propiedad del círculo, por tanto está claro que la sección cónica cuyos
diámetros principales son iguales es un circulo cuya ecuación en coordenadas perpendiculares, tomando CP = x, PM = y, será: y2 = a2 – x2, siendo
CA = a el radio del círculo”.
Ahora bien [art. 128, pág. 61], si b ≠ a, no se podrá nunca tener para CM
una expresión racional en x. Sin embargo sí habrá sobre el eje dos puntos D
tales que todos los segmentos DG trazados desde ellos hasta la curva pueden
ser expresados de forma racional. Euler despliega una inefable imaginación
para encontrar esos puntos que son los focos y demuestra que DG es la tercera
proporcional entre los semi-diámetros principales AC y CE.
Para encontrar el punto D, hagamos CD = f, ya que DP = f – x, se tiene (Fig.
29):
,
expresión que se convertirá en un cuadrado cuando:
(una sagaz ocurrencia de Euler).
De donde resulta: 0 = a2 – b2 – f 2 ; lo que da: f =
.
Tenemos, pues, sobre el eje, dos puntos como los buscados, ambos a una
distancia del centro CD =
106
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
Se tiene ahora:
,
de donde:
.
Si se toma CP = 0, entonces: DM = DE = a = AC.
Pero si la abscisa CP = CD, o x =
ordenada DG; y se tendrá de lo anterior:
, la recta DM se convierte en la
.
Así pues, resulta que DG es la tercera proporcional entre los semi-diámetros principales AC y CE. Euler señala [art. 129, pág. 61]:
“Esta propiedad de los puntos D es digna de atención; y ya que estos puntos del diámetro principal tienen otras muchas propiedades que los
distinguen, se les han dado nombres particulares: se les llama Focos de la
sección cónica”.
Estos puntos están sobre el mayor de los diámetros principales al que
se llama por eso el primer eje principal, mientras que al otro eje b se le llama
conjugado. Euler escribe que la ordenada perpendicular que pasa por uno
u otro foco se le ha llamado semi-parámetro, siendo el parámetro entero el
famoso latus rectum9 de las cónicas de los antiguos griegos, ya que verifica:
, el semieje conjugado CE es media proporcional entre el semiparámetro DG y el semieje principal.
Los extremos del eje principal donde éste encuentra a la curva se llaman
vértices, tal es el punto A. La tangente trazada en estos dos puntos de la curva
tiene la propiedad de ser perpendicular al eje principal AC.
Termina el capítulo VI demostrando que la posición del foco y el semiparámetro determinan la sección cónica [art. 130, pág. 62]. Tomando el semiparámetro DG = c, la distancia del foco al vértice AD = d,
9
Véase la nota 8.
107
Pedro Miguel González Urbaneja
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Como DG = b2/a = c, resulta b2 = ac, así pues, se tiene:
,
por consiguiente: ac = 2ad – d2, de donde resulta finalmente:
.
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
completando de forma muy considerable, en el capítulo VI, y en los dos siguientes, el estudio analítico realizado por De Witt y Wallis, L’Hôpital y Stirling.
Mencionemos, nada más, algunas de las más importantes y bellas propiedades de la elipse obtenidas por Euler con su agudeza habitual.
Para la elipse, tomando las abscisas en el “diámetro ortogonal”, y contadas
a partir del centro de la figura, ya que se había visto que la ecuación reducida
general era de la forma: yy = α – γxx, con α = b2, γ = b2/a2 [art. 110, pág. 52],
resulta [art. 138, pág. 65] 10:
Así pues, cuando se conocen la distancia AD = d del foco al vértice y el
semi-parámetro DG = c, la sección cónica está determinada. Con ello acaba
el capítulo V de la obra de Euler, en el que se han estudiado las propiedades
comunes a todas las secciones cónicas
En el capítulo VI, Euler estudia las propiedades particulares de cada uno
de los géneros de cónicas, “atendiendo a la forma de su figura” [art. 131, pág.
62]. A partir de la ecuación general de la cónica:
0 = α + βx + γy + δ x2 + εxy + ζ y2,
cambiando solamente el eje y el origen de las abscisas, Euler había obtenido
la ecuación reducida [art. 109, pág. 51]:
que depende de tres constantes α, β, γ.
La mayor diferencia entre las correspondientes curvas la establece la naturaleza del coeficiente γ [art. 134, pág. 63]. Según el carácter de γ, Euler obtiene
las hipérbolas con γ > 0 [art. 134], las elipses con γ < 0 [art. 135] y las parábolas
con γ = 0 [art. 136].
Euler indica que la diferencia esencial entre las tres cónicas consiste en el
número de ramas infinitas [art. 137, pág. 65]:
Euler toma las abscisas sobre el eje mayor de la elipse AB (Fig. 31); y
recuerda [art. 138, pág. 66] que había visto [art. 128, pág. 61] que se encuentran los focos, F, G, de la elipse al tomar CF = CG =
, mientras que el
semi-parámetro (la mitad del latus rectum11) es b2/a; el cual expresa la magnitud de la ordenada elevada sobre uno u otro foco.
Euler demuestra que para todo punto M de la curva la suma de los segmentos FM, GM trazados desde M hasta los focos es igual al eje mayor (FM
+ GM = AB = 2a), una propiedad muy significativa de los focos [art. 140, pág.
66], que permite una sencilla descripción mecánica de la elipse12.
Euler considera que la principal propiedad de los focos es el hecho de que
una tangente a la elipse bisecciona los ángulos interno y externo que determinan los radios focales, lo que expresa en la forma [art. 141, pág. 67]:
“La Elipse no tiene ramas infinitas, está encerrada completamente en
un espacio finito; la Parábola tiene dos y la Hipérbola tiene cuatro”.
“Las rectas trazadas desde los focos a un punto cualquiera de la elipse están igualmente inclinadas respecto de la tangente trazada por este punto”.
Mediante las ecuaciones reducidas de las tres cónicas, Euler estudia la multiplicidad de propiedades particulares de la elipse, la parábola y la hipérbola,
obteniendo una impresionante cantidad de elementos geométricos notables,
10 En realidad Euler no utiliza los resultados generales anteriores del artículo 110, y los recons-
yy = α + βx + γ xx,
108
truye para el caso particular de la elipse, hasta obtener la ecuación reducida de la misma.
11 véase la nota 8.
12 Es el llamado método del jardinero para la construcción de la elipse.
109
Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
Sobre diámetros conjugados la propiedad más interesante para Euler
es que “la suma de los cuadrados de las longitudes de dos semi-diámetros
conjugados de una elipse es una constante igual a la suma de los cuadrados
de los semi-ejes a, b” [art. 146, pág. 69]. De aquí resulta que entre todos los
diámetros conjugados, los que son perpendiculares tienen la mayor diferencia entre ellos, y por tanto deben existir dos diámetros conjugados iguales.
Euler los encuentra mediante cálculo trigonométrico, y deduce una bellísima
propiedad de los mismos:
“Los semi-diámetros conjugados CM, CK, iguales entre ellos (Fig. 31)
son paralelos a las cuerdas AE, BE, que unen los vértices extremos el eje
mayor A, B, con un vértice extremo del eje menor”.
Para terminar, mencionamos el original estudio de Euler de la parábola
como una elipse en la que el eje mayor “se ha incrementado hasta infinito”
[arts. 146-157]. En contraste con la visión moderna, y desplegando su excepcional imaginación, Euler deriva, una a una, importantes propiedades de la
parábola, a partir de propiedades de la elipse.
10.- La Geometría Analítica tridimensional. Estudio de las cuádricas.
Descartes y Fermat habían sugerido el Principio Fundamental de la
Geometría Analítica de tres dimensiones, acerca de que toda ecuación con
tres incógnitas representa una superficie. Descartes lo hace al final del Libro
II de La Geometría (G. AT, VI, 440) en un epígrafe titulado:
“Cómo puede aplicarse lo que se ha dicho aquí de las líneas curvas trazadas sobre una superficie plana, con las que se tracen en un espacio que
tiene tres dimensiones”;
y Fermat en una pequeña memoria titulada Novus Secundarum et Ulterioris
Ordinis Radicum in Analyticis Usus (TH. OF. III. 162-163):
“Pero si el problema propuesto implica tres cantidades incógnitas, se
trata de encontrar para satisfacer la cuestión, no solamente un punto o una
línea, sino una superficie entera; de ahí resultan los lugares en superficie,
etc., [...]”.
110
Euler y la Geometría Analítica
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2008
También trataron el tema, poco después, Van Schooten en el escrito
Exercitationes Geometricae y La Hire, en su obra Nouveaux éléments des sections
coniques.
Pero el desarrollo efectivo de la Geometría Analítica tridimensional
comienza propiamente con Euler. En efecto, la Introductio de Euler acaba con
un largo y sistemático apéndice sobre Geometría tridimensional, que a pesar
del título “Tratado abreviado de superficies” ocupa 75 páginas, en 152 artículos,
donde estudia de forma analítica las superficies por medio de ecuaciones
en coordenadas, y que representa la más original contribución de Euler a la
Geometría cartesiana y la más relevante exposición sobre Geometría Analítica
sólida.
Como en la Geometría Analítica plana, Euler sigue utilizando un solo eje
de coordenadas como básico, pero señala que se pueden utilizar tres planos
coordenados. Además, alude a los posibles signos de las coordenadas en los
ocho octantes del triedro de referencia.
Euler escribe de forma general la ecuación del plano αx + βy + χz = a y
estudia las intersecciones con los planos de coordenadas y con el único eje, así
como los ángulos entre el plano dado y los de coordenadas, que los expresa
mediante el coseno.
Divide las superficies en algebraicas y trascendentes y las estudia a través
de las trazas según varios planos. Aparecen conos, esferas, cilindros y conoides. Euler proporciona la primera fórmula para traslación y rotación de ejes
en tres dimensiones, que se ha convertido en la clásica transformación que
lleva su nombre.
Euler introduce las cuádricas como una familia unitaria de superficies a
través de la ecuación cuadrática general en diez términos; considera la ecuación del cono asintótico real o imaginario determinada por los términos de
mayor grado de la ecuación e indica que la ecuación general puede reducirse
mediante transformaciones a las formas canónicas, de donde deriva la clasificación general de las cuádricas. Euler incluye cinco tipos fundamentales de
cuádricas canónicas: el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide
de dos hojas, el paraboloide hiperbólico (descubierto por él) y el paraboloide
elíptico.
El trabajo de Euler sobre cuádricas, que se ha convertido en una parte
esencial de los cursos de Geometría Analítica académica, representa el primer
intento de unificación del estudio de la ecuación cuadrática general en tres
dimensiones; de forma similar a como una centuria antes el trabajo de Fermat
111
Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
y Descartes representó lo mismo para el estudio de la ecuación cuadrática
general en dos dimensiones.
Como rasgo curioso, reiteremos la poca dedicación de Euler a los aspectos
más elementales de la Geometría Analítica, los referentes a rectas y planos, en
contraposición a los importantes y difíciles problemas que trata sobre cónicas
y cuádricas. La razón hay que buscarla en que para Euler las ecuaciones de la
recta: αx + βy = a, y del plano: αx + βy + χz = a, en realidad son relaciones funcionales en las variables x, y, z; y por tanto, son objetos de interés del Análisis –en
sentido de Cálculo Infinitesimal– más que contrapartidas algebraicas de puntos, rectas y planos. Así se explica que aspectos elementales de la Geometría
Analítica académica como fórmulas sobre punto medio, paralelismo, ángulos,
perpendicularidad, pendiente, distancias, áreas, volúmenes, etc., sean objeto
de estudio posterior a Euler en la Historia de la Geometría Analítica, y curiosamente cuando la siguiente generación de matemáticos traten estas cuestiones,
lo harán primero en la Geometría Analítica de tres dimensiones, adaptando
después los resultados a la Geometría Analítica plana.
11.- Epílogo: Euler en la Historia de la Geometría Analítica y de su enseñanza.
Debemos considerar a Euler como uno de los matemáticos más importantes entre los más grandes de toda la Historia de la Matemática. Ello se
ha dicho muchas veces por la ingente cantidad de terrenos que exploró,
de forma muy productiva, extensa e intensa, en todos los ámbitos de las
ciencias matemáticas. Como escribió Condorcet en su Panegírico sobre Euler
(CONDORCET, 1786):
“Euler multiplicó su producción matemática más allá de lo que hubiera
osado alcanzar fuerza humana y, sin embargo, fue original en cada una de
ellas [...]”.
Pero interesa señalar aquí que Euler es también una de las magnas figuras
de la Historia de la Matemática por algo tan fundamental como la metodología (lo más importante, por ejemplo, para Descartes), pues, al fin y al cabo,
la Geometría Analítica, no es más que una metodología muy eficiente en la
investigación, planteamiento y resolución de problemas geométricos, un ins112
Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
trumento matemático convertido por Euler, en los tiempos modernos, en un
capital fundamental de la Matemática. Por eso escribe el gran historiador de
la Matemática, F. Cajori13:
“La Introductio de Euler, de 1748, es un trabajo que provocó una revolución en la matemática analítica, por su contenido y por la presentación
general y sistemática”.
Los trabajos de Euler sobre Geometría Analítica representan, como se dijo
al principio, la consumación de las ideas de Fermat y del proyecto cartesiano
de reforma de las Matemáticas, que vincula el Álgebra y la Geometría en un
diccionario que va más allá de lo gramatical de la asociación de pares o ternas
de números con puntos y ecuaciones con curvas, para alcanzar a las sintaxis
del Álgebra y de la Geometría, es decir, las relaciones, vínculos y operaciones
entre los elementos de ambas.
Una vez que de la definición geométrica o cinemática de una curva Euler
haya derivado la ecuación algebraica que tiene asociada en un sistema de
coordenadas, el establecer las propiedades geométricas restantes de la curva
es una cuestión de cálculo algebraico. Y para dos curvas, los vínculos entre
ellas, por ejemplo, si se cortan o si son tangentes, se pueden predecir estudiando las relaciones algebraicas que existen entre sus ecuaciones. El poder
algorítmico de la maquina simbólica creada por el Álgebra aplicado a la
Geometría en coordenadas convierte a la Geometría Analítica en un magnífico instrumento de investigación. La tarea de probar un teorema o resolver
un problema en Geometría se traslada de forma muy eficiente a probarlo o
resolverlo en Álgebra utilizando el cálculo analítico.
El empleo sistemático de las coordenadas tratadas con el cálculo algebraico es una potente herramienta algorítmica de resolución de problemas
geométricos, un método de un poder y una universalidad tan eficientes en
la Matemática, que supera cualquier otro instrumento anterior, y más allá
de la Geometría y de la Matemática, tras los trabajos de Euler, la Geometría
Analítica ha revolucionado todas las ciencias relacionadas con el tiempo y
el espacio, a través del concepto de función, la herramienta más importante,
gracias a Euler, para el conocimiento y dominio de la naturaleza.
13 CAJORI (1919:232).
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Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
Al sustituir las ingeniosas y complejas construcciones geométricas euclídeas por sistemáticas y mecánicas operaciones algebraicas, con una elegancia,
rapidez y plenitud heurística que funde en un único acto intelectual matemático el descubrimiento y la demostración –“la Geometría Analítica cambió
la faz de las Matemáticas”14– y permite, parafraseando a Descartes en El
Discurso del Método: “ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación” (DM. AT, VI, 17).
La fuerza algebraica inexorable que Euler imprimió a la Geometría
Analítica, su universalidad y su autonomía de la idea feliz, de la fortuna, de
la inspiración necesaria en la geometría sintética, que tengan a bien concedernos las musas matemáticas, magnifica el espectro escolar y académico de
estudiosos de la Geometría y la Matemática en general y pone al servicio de
la humanidad, es decir, de cualquier persona normal, de todo estudiante que
tenga pequeños rudimentos de Álgebra, un eficaz instrumento que potencia
la intuición, facilita la investigación y promueve que no sea imprescindible
un gran talento, una gran capacidad inventiva y una gran sagacidad y sutileza intelectual en la resolución de los problemas geométricos. Basta para ello
aplicar el automatismo de las combinaciones algebraicas en la mecánica del
cálculo. Por eso, nos permitimos completar la frase anterior de Kline para
sentenciar que tras la intervención de Euler en la Historia de la Matemática:
“La Geometría Analítica cambió la faz de las Matemáticas y de la Educación matemática”.
12.- Bibliografía.
12.1.- Fuentes originales de Euler.
EULER, L. (1748) Introductio in analysin infinitorum. Dos volúmenes. Lausanne.
EULER, L. (1796) Introduction a l’analyse infinitésimale. Tome premier. Traducción al francés de J.B. Labey, París.
EULER, L. (1797) Introduction a l’analyse infinitésimale. Tome second. Traducción
al francés de J.B. Labey, París.
14 Frase de KLINE (1992: vol.1, 425)
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Euler y la Geometría Analítica
v o l u m i x
2008
EULER, L. (1972) Elements of Algebra, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo,
Springer-Verlag.
EULER, L. (2001) Introducción al análisis de los infinitos. Edición crítica con
facsímile a cargo de A. Durán, Sevilla.
12.2.- Fuentes originales de Apolonio, Fermat y Descartes.
VER EECKe, P. (1959) Les Coniques d’Apolonius de Pergue, París, Blanchard.
VERA, F. (1970) “Las Cónicas de Apolonio”. En: Científicos griegos. Madrid,
Aguilar.
DESCARTES, R. (1964-74) Oeuvres de Descartes. Pub. C. Adam; P. Tannery.
París, Lib. Philos. J. Vrin.
FERMAT, P. (1891‑1912) Oeuvres de Fermat. Pub. Henry, C; Tannery, P., París,
Gauthier-Villars.
12.3.- Bibliografía secundaria.
AYOUB, R. (1974) “Euler and the Zeta Function”, The American Mathematical
Monthly, vol. 81, nº 10.
BELL, E. (1950) “Euler”. En: Les grands mathématiciens, París. Payot, cap. 9.
BOYER, C.B. (1956) History of Analytic Geometry, Nueva York, Scripta Mathematica. Hay una edición de 2004 en Dover Publications.
BOYER, C.B. (1986) Historia de las Matemáticas, Madrid, Alianza Universidad.
CAJORI, F. (1919) A History of Mathematics, Londres, The MacMillan Company.
CHASLES, M. (1837) Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie. Bruxelles, Hayez.
CONDORCET, M.J.A. (1786) “Éloge de M. Euler”, Histoire de l’Académie
Royale des Sciences, 1783, 37-68.
COOLIDGE, J.L. (1968) A History of the conics sections and quadric surfaces,
Nueva York, Dover.
DUNHAM, W. (2000) Euler, el maestro de todos los matemáticos, Madrid, Nivola.
GONZÁLEZ URBANEJA, P.M. (2003) Los orígenes de la Geometría Analítica.
Tenerife, Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia.
GONZÁLEZ URBANEJA, P.M. (2007) “Raíces históricas y trascendencia de
la Geometría Analítica”, SIGMA. nº 30, 205-236.
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Pedro Miguel González Urbaneja
volum ix
2008
Quaderns d’Història de l’Enginyeria
LORIA, G. (1923 “Da Descartes e Fermat a Monge e Lagrange. Contributo
alla storia della geometria analitica”, Memorie della classe di scienze…. Reale
Accademia dei Lincei, [5], XIV, 777-845.
KLINE, M. (1992) El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días,
Madrid, Alianza Universidad.
v o l u m i x
2008
Los Molinos y las Cometas de Mr. Euler Le fils.
Modelos matemáticos para las máquinas hidráulicas
en el siglo XVIII
Juan Miguel Suay Belenguer
[email protected]
1.- Introducción.
La cometa, ese objeto que vuela al final de un hilo, ha atravesado a lo
largo de su historia numerosas fronteras geográficas y culturales. Pero quizás
uno de las transformaciones más importantes se produce en el seno de la
cultura occidental, cuando, en plena Ilustración, este objeto tradicionalmente
lúdico y popular se convierte en un instrumento científico. Su ingreso en la
cultura científica se produce a raíz de su uso para demostrar la naturaleza
eléctrica del rayo, en manos de autores como Benjamín Franklin (1706-1790),
en América1, o por Jacques de Romas (1713-1776), en Francia2. Con este experimento, la cometa se integra como parte de la física experimental iniciando
así un largo viaje a través de varias disciplinas científicas que la llevaron a lo
largo del siglo XVIII y XIX a formar parte del utillaje conceptual y material de
las matemáticas, la mecánica, la meteorología y la aeronáutica, entre otras3.
En el año 1758, la Academia Real de Ciencias y Bellas Artes de Berlín publicó el volumen que recogía las memorias escritas en el año 1756. En la sección
1
2
3
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Descripción del experimento en FRANKLIN, B. (1753) “A letter of Benjamin Franklin, Esq;
to Mr. Peter Collinson, F.R.S. concerning an electrical Kite”, Philosophical Transactions of The
Royal Society of London ILVII, 565-567. También dio la noticia en el The Pennsylvania Gazette de
19 de Octubre de 1752, periódico fundado y editado por Franklin.
Entre los años 1752 y 1753, en la ciudad francesa de Nérac, Jacques de Romas realizó experimentos con cometas eléctricas simultáneamente a los trabajos de Benjamín Franklin en
Filadelfia. Ver: ROMAS, J. de (1755) “Mémoire, où après avoir donné un moyen aisé pour
élever fort haut, & à peu de frais, un corps électrisable isolé, ou rapporte des observations
frappantes, qui prouvent que plus le corps isolé est élevé au dessus de la terre, plus le feu de
l’Électricité est abondant”, Mémoires de mathématique et de physique, présentés à l’Académie royale
des sciences par divers sçavans, et lus dans ses assemblées, Paris.
Ver: SUAY BELENGUER, J.M. (2007) “El vuelo transcultural de la cometa”. En: HERRAN,
N.; SIMON, J.; GUILLEM-LLOBAT, X.; LANUZA-NAVARRO, T.; RUIZ CASTELL, P.;
NAVARRO, J. (eds.) Synergia: Jóvenes investigadores en Historia de la Ciencia, Madrid, CSIC,
283-299.
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