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 LLUVIAS DE ESTRELLAS
Observación y Estudio Coordina: Jorge Hernández Bernal 1 Introducción
Esta es la guía para el proyecto de observación de lluvias de estrellas de la Asociación en el verano de 2016. Este proyecto ya se puso en marcha el verano pasado, y también hubo una guía con información. Esta guía pretende ser una reedición de la del año pasado, que incluye notables mejoras. El año pasado los datos obtenidos durante la observación de las perseidas no llegaron a ser procesados del todo, será un buen ejercicio intentarlo este año. Para facilitarlo esta guía incluye algunas explicaciones matemáticas sobre cómo se pueden procesar esos datos. Las secciones matemáticas serán las más difíciles de seguir, pero una vez entendidos los conceptos no deberían ser excesivamente difíciles. Este verano hay principalmente dos lluvias de estrellas que merecerá la pena observar: Las delta aquaridas y las Perseidas. La luna molestará bastante para las perseidas, y las dos lluvias coinciden con las observaciones que vamos a hacer en pueblos cercanos, que también es una dificultad. Pero podremos intentar repetirlo, y es bastante fácil que este año, con toda la experiencia acumulada, los resultados sean mucho mejores. Índice
¿Qué son las lluvias de estrellas?......................................................................................................3 Observación de lluvias de estrellas……………………………………………………………………………………….……..4 Estudio de lluvias de estrellas…………………………………….....................................................................8 Trayectoria de las estrellas fugaces…………………………….....................................................................9 Lluvias de estrellas en el verano de 2016……………………..................................................................12 Referencias……………………………………………………….......................................................................…….13 Glosario………………………………………………………………………...................................................................13 Apéndice A: Ejemplo de hojas para registro…………….......................................................................14 Apéndice B: Proyección 2D de las trayectorias……………...................................................................16 Textos y diseño: Jorge Hernández Bernal
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¿QUÉ SON LAS LLUVIAS DE
ESTRELLAS?
Las lluvias de estrellas tienen su origen en los cometas. Los cometas son grandes rocas compuestas en gran parte por dióxido de carbono y agua en estado sólido, tierra y algunos compuestos de diverso tipo en menor proporción. Los cometas suelen tener órbitas excéntricas, es decir, que lejos de ser circulares, sus órbitas son alargadas, y en unos momentos están muy cerca del sol y en otros muy lejos. Esto da lugar a fuertes cambios en la temperatura del cometa; cuando el cometa se encuentra en su afelio hace mucho frío, pero cuando se va acercando hacia su perihelio las temperaturas empiezan a crecer y los materiales que lo forman empiezan a evaporarse, liberando al espacio gases y polvo, que son los responsables de la cola del cometa. Esta materia que los cometas dejan a su paso por las cercanías del sol queda en la órbita del cometa, o en órbitas muy similares, de forma que los alrededores de las órbitas de los cometas frecuentemente están llenas de “nubes de escombros”, es decir gases y sobre todo partículas microscópicas, o como mínimo muy pequeñas. Estas partículas microscópicas son lo que se llaman meteoroides, y se mueven libremente por el espacio en órbitas cercanas a las del cometa que los originó. Cuando la tierra atraviesa estas nubes de escombros los meteoroides atraviesan las capas altas de la atmósfera a toda velocidad, y por el rozamiento se calientan y se volatilizan, alcanzando brillos muy altos. Cuando los meteoroides se están quemando en la la atmósfera los llamamos meteoros, o más vulgarmente, estrellas fugaces. Órbita excéntrica de un cometa 3 OBSERVACIÓN DE LLUVIAS DE ESTRELLAS
Fijémonos en esta foto de las Perseidas de 2004, tomada por Fred Bruenjes. Vemos en ella que las estrellas fugaces siguen trayectorias que parecen venir de un punto muy concreto del cielo. ¿Cómo podemos explicar esto? Es una cuestión de perspectiva. El punto del cielo al que parecen apuntar las estrellas fugaces, se conoce como el radiante de la lluvia, y es el equivalente al punto de fuga en perspectiva, que se aprecia muy claramente en muchas fotografías y en muchos cuadros. Como en “La última cena” de Leonardo Da vinci.
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Tampoco es difícil localizar el punto de fuga en muchas fotos. En general, todas las líneas paralelas apuntan a un punto de fuga. En una lluvia de estrellas todas las estrellas fugaces, o meteoros, parecen venir del radiante (equivalente al punto de fuga) porque vienen en trayectorias paralelas. Más o menos como cuando vamos en el coche de noche y algunos insectos, o gotas de lluvia, se van chocando contra el parabrisas. Cuando la tierra en su órbita se cruza con una nube de escombros, dejada por un cometa, la velocidad a la que “se nos vienen encima” los meteoroides es la suma de la velocidad orbital de la tierra y de la propia velocidad orbital de los meteoroides. Es decir, vemos a los meteoros moverse a una velocidad relativa que es la suma de su velocidad y de nuestra velocidad. Características de una lluvia de estrellas El radiante de una lluvia de estrellas es lo que principalmente la caracteriza, o más bien, la posición del cielo en la que éste está localizado. Así, las Perseidas, se llaman así porque su radiante está localizado en la constelación de Perseo, las Gemínidas tienen su radiante en Gemínis, etc. Una lluvia de estrellas puede prolongarse durante días o incluso semanas. Y es que las nubes de escombros que dejan los cometas a su paso frecuentemente se dispersan y ocupan espacios grandes, que la tierra tarda en recorrer. El radiante de la lluvia de estrellas puede desplazarse por ello ligeramente, esta por ejemplo es la trayectoriadel radiante de las Perseidas del año 2015. 5 2
Una importante característica de las lluvias de estrellas es la velocidad de las partículas que la forman respecto a la tierra (el módulo de la velocidad, concretamente, puesto que sobre la dirección ya hemos hablado). Evidentemente cada nube de escombros tiene su propia velocidad característica, en función de sus parámetros orbitales. Pero recordemos que la velocidad relativa, es decir, al velocidad a la que nosotros vemos a los meteoros, depende también de la velocidad de la tierra. Existen nubes que se mueven en dirección contraria al movimiento de la tierra, con lo que las estrellas fugaces que producen son especialmente veloces. Por otro lado, hay nubes que se mueven en la misma dirección, con lo que sus estrellas fugaces son más lentas. Ejemplo simple para entenderlo: si un coche se choca con otro que viene en dirección contraria la colisión será muy rápida y violenta, si los dos coches se movían en la misma dirección pero a velocidades algo diferentes, la colisión será mucho más lenta. La última característica importante de una lluvia de estrellas es la Tasa Horaria Zenital (THZ). Se define la Tasa Horaria Zenital como “El número máximo calculado de meteoros que un observador ideal podría ver bajo un cielo perfectamente claro y con el radiante ubicado directamente en el zenit” (Wikipedia). Es decir, que es un número que nos indica cuántas estrellas fugaces se pueden ver por hora en condiciones ideales. Las condiciones no suelen ser ideales porque solemos estar sometidos a la contaminación lumínica y el radiante no suele estar en el zénit, así que en la práctica la THZ es orientativa, más cuando las predicciones de THZ suelen ser bastante poco exactas (no es fácil hacer la predicción). La THZ varía de día en día. Normalmente hay un día y una hora concretos en los que la lluvia de estrellas alcanza su máximo de actividad. Pero en la práctica es frecuente que los meteoroides vengan en enjambres, es decir, zonas especialmente densas de la nube de escrombros. Esto se traduce en que pueden aparecer decenas de estrellas fugaces en uno ó dos minutos, para luego pasar por ejemplo 5 minutos sin aparecer ninguna. Una lluvia de estrellas pequeña suele tener una THZ del orden de decenas. Las Perseidas suelen rondar 100, otras lluvias de estrellas superan las 100. En ocasiones excepcionales una lluvia de estrellas puede superar los 200 e incluso más. Cuando son muy fuertes a veces se las llama “tormetas”. Cantidad de estrellas fugaces vistas a intervalos de 5 minutos en dos observatorios separados algo más de 30km. El observatorio 1 estaba a las afueras de Salamanca y por eso detectó menos estrellas fugaces. El observatorio 2 estaba en las proximidades de Pedraza de Alba. (Jorge Hernández 2010) 6 Algunas características de las estrellas fugaces Además de estas características generales propias de la lluvia de estrellas, cada estrella fugaz tiene otras características particulares, que también pueden darse con más frecuencia en unas lluvias que en otras. Principalmente estas características son el brillo y el color. Recordemos que las estrellas fugaces brillan porque se calientan al contacto con la atmósfera terrestre. El brillo puede depender de la velocidad pero también del tamaño concreto del meteoro. Y el color depende de la temperatura y de la propia composición química del meteoro. A veces llegan a la tierra meteoroides especialmente grandes, que pueden o no pertenecer a una lluvia de estrellas. Estos meteroides dan lugar a meteoros especialmente impresionantes que pueden descender hasta capas bajas de la atmósfera, donde a veces explotan. En ocasiones la explosión llega a ser audible. Cómo observar una lluvia de estrellas Una lluvia de estrellas se puede observar de forma muy relajada, lo mejor es tumbarse, quizás inclinar un poco la cabeza según si queremos ver más el horizonte o más el cénit. Ayuda mucho contar con un saco y una esterilla para no pasar frío, incluso en verano, tumbarse en el campo de noche puede acabar siendo incómodo. La Luna llena puede echar a perder una lluvia de estrellas porque nos deslumbra y nos impide ver las estrellas fugaces menos brillantes, y lo mismo ocurre con la contaminación lumínica. Si nos fijamos en el gráfico de más arriba apreciamos claramente los efectos negativos de la contaminación lumínica. Una pregunta muy frecuente es: ¿Hacia dónde debo mirar? No hay una respuesta del todo clara. A veces se dice que hacia el radiante, pero probablemente esa no es la mejor dirección, porque las estrellas fugaces ahí siguen trayectorias cortas. En cambio, hacia el cénit se ven trayectorias bastante largas. Quizás lo más acertado es que cada uno pruebe, y vea qué es lo que más le gusta. Este gráfico representa una simulación informática de una lluvia de estrellas. El círculo negro es el horizonte, y las líneas son las trayectorias seguidas por las estrellas fugaces. El punto rojo es el radiante de la lluvia. 7 ESTUDIO DE LLUVIAS DE ESTRELLAS
Existe un gran interés por el estudio de las lluvias de estrellas. Es un campo interesante y muchos aficionados se dedican a ello. Hay organizaciones fuertes que aúnan todos los esfuerzos y facilitan información para el estudio de las lluvias y ofrecen predicciones anuales, como la IMO (International MeteorOrganization) o la SOMYCE (Sociedad de Observadores de Meteoros y Cometas de España). En la sección anterior hemos dado multitud de detalles sobre las lluvias de estrellas: cómo se producen, cuáles son sus características, etc. En esta sección vamos a ver las principales técnicas al alcance del astrónomo aficionado para estudiar estos fenómenos. La SOMYCE publicó en el año 2009 con motivo del año Internacional de la Astronomía una completa serie de guías con más información. Conteo de meteoros Consiste simplemente en hacer un registro de los meteoros que se observan. Es algo que se puede hacer de forma muy relajada y con conocimientos básicos. El registro se puede hacer apuntando a mano, o con ayuda de una grabadora. Frecuentemente se registran más datos, como el color o la intensidad de cada estrella fugaz. Estos datos se pueden reportar fácilmente a organizaciones como la IMO. Observación por telescopio Puede parecer una locura. Una lluvia de estrellas es a todas luces más sencilla de observar a ojo desnudo, y un telescopio reducirá enormemente nuestro campo de visión. Sin embargo, la observación con telescopio tiene un propósito claro: determinar el radiante de la lluvia con cierta precisión. Para ello se observa detenidamente por el telescopio una posición del cielo, apuntando las estrellas fugaces que se observan y la dirección que llevan. Luego se cambia a otra posición y se repite el proceso. Juntando los datos es posible determinar el radiante de la lluvia con bastante precisión Observación de trayectorias Consiste en apuntar la trayectoria seguida por las estrellas fugaces. Es un método especialmente interesante si se hace en grupo localizados en diferentes posiciones, para intentar posteriormente juntar datos y determinar la trayectoria de cada estrella fugaz. Se profundizará en este método posteriormente. Observación por radio y cámaras Hay métodos de observación que no requieren del ojo humano, sino de antenas de radio o cámaras. Evidentemente estos métodos pueden aportar bastantes datos mucho más objetivos que los anteriores. 8 TRAYECTORIA DE LAS ESTRELLAS FUGACES
Nos va a interesar particularmente este método de observación, que es el que principalmente pondremos en práctica este verano en la Asociación. Como ya hemos comentado, todas las estrellas fugaces de una misma lluvia siguen trayectorias esencialmente paralelas por el espacio y respecto a la tierra. Se puede considerar además que van en línea recta, porque la atracción del sol es bastante constante en las inmediaciones de la tierra, y porque viajan a velocidades del orden de decenas de kilómetros por segundo, y en comparación el campo gravitatorio de la tierra no es muy grande, ni su aceleración es notable. Podremos entonces hacer algunas aproximaciones en general, sin perjuicio de que pueda ser interesante estudiar en algún momento estos efectos que en principio despreciamos. Cuando los meteoroides se acercan a la tierra y entran en contacto con la atmósfera, el rozamiento hace que se calienten y empiecen a brillar, pasando a ser verdaderos meteoros. En término medio, los meteoros brillan entre los 120 y los 80km de altura. Por otro lado, la precisión con la que podremos determinar las trayectorias usando únicamente nuestra vista es de entre 1 y 2 grados. Dependiendo por supuesto de la habilidad del observador y la región del cielo por la que se mueve la estrella fugaz: cuanto más poblada de estrellas esté la región mejores referencias tendremos. Nos interesa por tanto que los observatorios para el experimento estén separados del orden de decenas de kilómetros. Si están demasiado cerca el error de las medidas será demasiado grande, si están demasiado lejos, los meteoros en común pasarán demasiado cerca en el horizonte. Una distancia óptima puede ser de unos 50-­‐80km. Hay que tener en cuenta hacia dónde se debe mirar en cada observatorio para que las estrellas fugaces que se vean sean las mismas. La solución más sencilla es colocar los observatorios en una línea perpendicular a la dirección del radiante, y quizás alguno ligeramente separado de esta línea en la dirección del radiante. Para apuntar las trayectorias lo más sencillo es usar mapas. Es buena idea que las observaciones se hagan en grupos de al menos dos personas: una apuntando la hora y las características de cada estrella fugaz, y asignándole un número de identificación, y la otra dibujando la trayectoria sobre un mapa, e indicando ahí el identificador de cada estrella fugaz. De este forma en el mapa no figura más que el identificador. Es muy conveniente apuntar la hora de cada una, con segundos, porque es la forma más segura de juntar los datos de diferentes observatorios: si varios Ejemplos de buenas localizaciones para los observatorios 9 Cómo procesar los datos observacionales Desarrollaremos en esta sección una teoría simple para procesar los datos provenientes de dos observatorios. Tendremos en cuenta la aproximación ya comentada según la cual las estrellas fugaces siguen trayectorias rectas. Vamos a partir de que tenemos la trayectoria seguida por una misma estrella fugaz en dos observatorios diferentes. Sabremos que es el mismo meteoro en los dos observatorios porque fue vista a la misma hora. Haremos también la aproximación de que la tierra es plana. Como todos sabemos, la tierra es plana1, pero para contentar a los cabezaglobos2 daremos una justificación en el sistema heliocéntrico: La separación entre dos observatorios normalmente ronda 50km, o incluso menos. A esta distancia, la curvatura de la tierra es de unos 200m, que en general será menor que el margen de error con el que vamos a trabajar. Procedamos con los cálculos. Esta sección puede ser un poco difícil de entender, pero es simplemente un poco de geometría y álgebra. Hubiera sido muy adecuado añadir algún gráfico, pero al ser cálculos en 3 dimensiones supondría un esfuerzo bastante grande. En cualquier caso, se pueden pedir aclaraciones más profundas a Jorge, el coordinador de la actividad y autor de este documento. Tenemos un observatorio 𝑂! , y otro observatorio 𝑂! . Consideramos un vector 𝑆 = (𝑆! , 𝑆! 𝑆! ) que va de 𝑂! a 𝑂! . En cada uno de los observatorios se habrá observado la estrella fugaz apareciendo en un azimut y altitud determinado, y desapareciendo en otras coordenadas diferentes. Esto es: C!! = az!! , alt!! = x!! , y!! , z!! Posición inicial
Observatorio 1
C!! = az!! , alt!! = x!! , y!! , z!! Posición final
C!! = az!! , alt !! = x!! , y!! , z!! Posición inicial
Observatorio 2
!
!
!
!
!
!
C! = az! , alt ! = x! , y! , z! Posición final
En cada observatorio, los vectores de posición inicial y final definen un plano que llamaremos respectivamente 𝑃! y 𝑃! . Llamando 𝑃! y 𝑃! a los vectores perpendiculares a estos planos, podemos calcularlos por el producto vectorial. P! = C!! x C!! P! = C!! x C!! Diremos que 𝑃! y 𝑃! en componentes son: !
P! = (P!! , P! , P!! ) !
P! = (P!! , P! , P!! ) 1
Hay un fuerte movimiento en internet que defiende irracionalmente la idea de que la tierra es plana. Se 2
hacen Así llaman llamar cariñosamente terraplanistas lyos creen terraplanistas que existe au tna odo conspiración el que defiende “esferista” que la ytierra que lna o “eciencia s plana oeficial” n el sn
iglo os XXI. 10 Entonces los planos 𝑃! y 𝑃! son: (Poniendo el origen de coordenadas en 𝑂! para que la ecuación del primer plano quede igualada a cero) !
𝑃! ≝ P!! · x + P! · y + P!! · 𝑧 = 0 !
𝑃! ≝ P!! · x + P! · y + P!! · z = 𝑘 Donde k es una constante que podemos determinar, teniendo en cuenta que el plano 𝑃! es un plano que pasa por 𝑂! . Como hemos colocado el origen en 𝑂! , ahora 𝑂! coincide con el vector de separación que definimos inicialmente 𝑆. Entonces podemos determinar k como: !
k = P!! · 𝑆! + P! · 𝑆! + P!! · 𝑆! Y una vez determinada k, las ecuaciones anteriores para los planos 𝑃! y 𝑃! quedan como 2 ecuaciones con 3 incógnitas. Obviamente la intersección de los dos planos en el espacio define una recta, que es la línea en la que se ha movido la estrella fugaz. A partir de aquí y con las bases expuestas, no debería ser excesivamente difícil calcular el radiante de la lluvia, la altura a la que se ha desintegrado la estrella fugaz, etc. Si se conoce el tiempo que ha durado la estrella fugaz, es además posible calcular su velocidad. Y a partir de ahí, haciendo cálculos, podría incluso llegar a determinarse la órbita del cometa que originó la lluvia. Estos fueron de hecho los experimentos que en su momento llevaron a la explicación para las lluvias estrellas que ya hemos expuesto aquí. 11 LLUVIAS DE ESTRELLAS EN EL VERANO DE 2016
Vamos a hacer aquí un breve repaso de las lluvias de estrellas que se verán este verano de 2016. Para un repaso completo se puede consultar el calendario de la International Meteor Organization. Delta Aquaridas Se prolongan desde mediados de julio hasta mediados de agosto, pero el máximo será el sábado 30 de julio. Este día, tendrán una THZ de 16 meteoros por hora. Pero la IMO nos advierte: la fecha del máximo no es precisa, y podría haber otros máximos similares entre el 26 y el 31 de julio. El propio nombre de la lluvia nos dice que su radiante está más o menos en la estrella 𝛿 Aquarii. El día 30 de julio esta estrella saldrá por el horizonte hacia media noche. ¡No olvidemos que para que la lluvia sea visible el radiante debe estar sobre el horizonte! La luna estará en fase menguante, prácticamente nueva. Por lo que a pesar de la THZ relativamente baja, será una buena noche para observar. Perseidas Las perseidas, o lágrimas de San Lorenzo, son la lluvia de estrellas más famosa. No porque sea la más intensa, como se suele pensar erróneamente, sino porque es una de las más intensas y coincide en verano, una época que invita a tumbarse en el campo a observarlas. El radiante de esta lluvia se sitúa en la constelación de Perseo. La fecha del máximo suele ser el 12 de agosto. Pero duran en torno a un mes. Este año se espera una THZ de 150 meteoros/hora, pero coincidirá con una luna creciente bastante molesta y las horas del máximo serán de día en España. No obstante, es esperable que en esos días se puedan observar bastantes. El 12 de agosto la Luna se pondrá hacia las 2 de la madrugada. Así que los mejores momentos para observar probablemente sean, el día 12 antes del amanecer, y la noche del 12 al 13 a partir de las 2. Otras menores Otras lluvias de menor importancia y con THZs que rondan los 5 meteoros por hora serán visibles en verano. 12 1
2
REFERENCIAS
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IMO (International Meteor Organization) http://imo.net/
Ø
Calendario 2016 de la IMO, con todos los datos técnicos de cada lluvia:
http://imo.net/files/data/calendar/cal2016.pdf
Ø
SOMYCE (Sociedad de Observadores de Meteoros y Cometas de España) http://www.somyce.org/
Ø
Simulador de lluvias de estrellas desde diferentes observatorios http://jorgehb.com/files/meteoros
GLOSARIO
Cometa. Cuerpo rocoso que orbita el sol, normalmente en una órbita altamente excéntrica. Entre otros compuestos, contienen agua y dióxido de carbono solidificados, materiales que se evaporan fácilmente al calor del sol, produciendo la famosa cola de los cometas. Enjambre. En una lluvia de estrellas se habla de enjambres refiriéndose al fenómeno por el que durante un breve periodo de tiempo aparece un número de meteoros mayor de lo normal. Los enjambres son zonas de la nube de escombros con mayor densidad de meteoroides. Máximo de actividad. En una lluvia de estrellas, el máximo de actividad es el momento en el que mayor actividad de meteoros se produce. Meteoroide. Es un fragmento de un cometa que éste ha dejado a su paso. Cuando entra en la atmósfera empieza a brillar y se convierte en un meteoro. Meteoro. Es la palabra técnica para Estrella fugaz. Nube de escombros. Así se llama a veces a la nube que dejan los cometas a su paso por el sistema solar interior. Contiene los meteoroides que producirán la lluvia de estrellas. Órbita excéntrica. Las órbitas no son necesariamente círculos perfectos, normalmente tienen forma de elipse. Cuanto más achatada es la elipse, mayor es la excentricidad de la órbita. Punto de Fuga. En pintura se conoce así al punto donde apuntan un conjunto de líneas paralelas. Aquí lo hemos usado para ilustrar el concepto de radiante de la lluvia de estrellas. Radiante. Es el punto del cielo del que parecen venir las estrellas fugaces. Las lluvias de estrellas reciben su nombre según el punto del cielo donde se encuentra su radiante. Tasa Horaria Zenital (THZ). Se define como el número de meteoros que en condiciones óptimas es posible ver en el zénit en el período de una hora. Es importante resaltar que es en condiciones óptimas. Las lluvias de estrellas suelen tener una THZ de unas decenas. Las importantes suelen rondar los 100. Eventualmente pueden darse THZ de 200 e incluso más. 13 APÉNDICE A: EJEMPLO DE HOJAS PARA REGISTRO
Hoja para dibujar las trayectorias de las estrellas fugaces.
14 Hoja para registrar cada estrella fugaz con su hora, identificador, y principales características.
15 APÉNDICE B: PROYECCIÓN 2D DE LAS TRAYECTORIAS
La proyección dos dimensiones del cielo es un asunto recurrente en astronomía, porque hacen falta mapas del cielo. Y la proyección de una esfera sobre un plano es un problema matemático con mucha historia. Para este proyecto puede ser interesante determinar una proyección del cielo en la cual las estrellas fugaces aparezcan como líneas rectas (suponiendo como venimos haciendo que en tres dimensiones siguen trayectorias rectas). Buscaremos una proyección del cielo sobre el plano en coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃). Donde 𝜃 será el azimut, y buscaremos una función 𝑟(𝛼), que cumpla la condición de que las estrellas fugaces se proyecten como rectas. Donde 𝛼 es la altitud en coordenadas altazimutales. Partimos de que las estrellas fugaces siguen trayectorias rectas en tres dimensiones, de forma que: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑡 = 𝑃! + 𝑣 · 𝑡 La transformación entre coordenadas x,y,z del meteoro y las coordenadas altazimutales es: 𝑧
tan (𝛼) =
𝑥! + 𝑦!
𝑥
tan (𝜃) = 𝑦
!
!
Nos interesa definir 𝑅 = 𝑥 + 𝑦 Por otro lado, en la proyección en 2D tenemos las coordenadas cilíndricas 𝑟, 𝜃 que ya hemos dicho, y unas coordenadas cartesianas 𝑥, 𝑦 . Estos dos sistemas de coordenadas se relacionan tal que: 𝑥 = cos 𝜃 · 𝑟 𝑦 = sin 𝜃 · 𝑟 Cabe destacar que de esto último podemos obtener que: 𝑥 𝑥
tan 𝜃 = = 𝑦 𝑦
Nuestro objetivo es que los meteoros sigan trayectorias rectilíneas en el plano, en las coordenadas cartesianas que acabamos de definir esto supone añadir la condición: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 Con m y n constantes arbitrarias. Sustituyendo aquí para ponerlo en coordenadas cilíndricas sobre el plano, y despejando la r: sin 𝜃 · 𝑟 = 𝑚 cos 𝜃 · 𝑟 + 𝑛 16 𝑛
𝑛
=
sin 𝜃 − 𝑚 · cos (𝜃) cos (𝜃)(tan 𝜃 − 𝑚)
No olvidemos que 𝑟 es una función 𝑟(𝛼), que es lo que buscamos. Ahora nos interesa hacer las siguientes sustituciones: 𝑥
cos 𝜃 = 𝑅
𝑦
tan 𝜃 = 𝑥
Obteniendo así: 𝑛𝑅
z
= 𝑟 𝛼 = 𝑟 atan
𝑦 − 𝑚𝑥
R
Estamos cerca. Nos interesa por x e y en la parte izquierda de la expresión en términos de z. Al ser rectilínea la trayectoria de la estrella fugaz en tres dimensiones podemos poner: 𝑥 𝑧 = 𝑎𝑧 + 𝑏 𝑦 𝑧 = 𝑐𝑧 + 𝑑 𝑟=
Con a,b,c,d constantes arbitrarias. Obtenemos: z
𝑛𝑅
𝑛𝑅
𝑟 atan
=
=
R
𝑐𝑧 + 𝑑 − 𝑚𝑎𝑧 − 𝑏𝑚 𝑧(𝑐 − 𝑚𝑎) + 𝑑 − 𝑏𝑚
Esta igualdad es de la forma: 𝑅
z
= 𝑟 atan
𝐴 + 𝐵𝑧
R
Tiene sentido proponer que 𝑟(𝛼) es de la forma: 1
tan (𝛼)
Probando esta solución propuesta en la igualdad de arriba obtenemos: !
!
=
!!!" !
Que no se cumple estrictamente, pero que aún así tiene cierto sentido, porque el denominador del primer miembro es simplemente una relación lineal con z. Aunque no hemos demostrado satisfactoriamente que esta solución sea la que buscamos, la daremos por buena, ya que hemos mostrado que como mínimo se aproxima a la solución real y que se ha comprobado en cálculos por ordenador que cumple con el fin que nos habíamos marcado. Es de destacar que cando 𝛼 tiende a 0, 𝑟 tiende a infinito. Esto implica que si hacemos mapas con esta proyección no podremos llegar al horizonte, y que las zonas cercanas al horizonte ocuparán mucho más que las cercanas al zénit. 𝑟 𝛼 =
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