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 MB_M1AA3_Expresiones
Versión: octubre de 2012
Revisor: Emilio González Olguín
Expresiones algebraicas Por: Oliverio Ramírez Juárez De acuerdo con Figueroa y Guzmán (2010), la diferencia entre la aritmética y el álgebra elementales reside
en que la primera sólo utiliza números; mientras que la segunda, además de los números, usa también
símbolos cuyas propiedades son distintas a las de los números.
No obstante sus diferencias, estas disciplinas tienen muchas similitudes, por ejemplo, varias de sus leyes
se aplican de forma parecida.
Por ejemplo:
En Aritmética
En Álgebra
2! = 2×2×2 = 8
𝑥 ! = 𝑥×𝑥×𝑥
En este comparativo se observa que el significado del exponente 3, es el mismo en aritmética que en
álgebra, es decir, implica multiplicar tres veces la base. Pero también se hace evidente una diferencia:
mientras que en aritmética el resultado es el valor conocido 8, en álgebra resulta la expresión general x ! ,
que, de acuerdo al valor que tome x , variará en concordancia.
Analicemos la expresión que representa el área de un círculo: πr ! . El número pi ( ), es un número
irracional cuyo valor específico es aproximadamente 3.14159265. Al no cambiar nunca su valor, se llama
constante. Por otro lado, la literal , que representa el radio del círculo y que puede tomar cualquier valor
real positivo, al no tener un valor específico, se le conoce como variable.
La expresión A = πr ! utilizada para calcular el área del círculo hace uso de variables para generalizar su
significado. De esta forma,
puede tomar cualquier valor dependiendo del círculo que se analice y
(área del círculo) tomará el valor correspondiente. Esta es una de las ventajas de escribir una expresión en
forma algebraica.
Otra ventaja del uso de las variables, es que pueden ser usadas para representar cantidades no conocidas
de un problema (también llamadas incógnitas), de esta forma, un problema puede ser expresado en
lenguaje algebraico, luego resuelto aplicando las leyes y procedimientos algebraicos, y por último, las
soluciones halladas son devueltas al lenguaje común (véase figura 1).
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Figura 1. Paso del lenguaje algebraico al lenguaje común.
El lenguaje algebraico Para representar una situación o problema cotidiano en lenguaje algebraico o interpretar el significado de
las expresiones algebraicas, es necesario familiarizarse con ambos lenguajes. La tabla 1 muestra algunos
ejemplos.
Lenguaje común
Lenguaje
algebraico
a!
b!
a! + b!
x
2
1
y
El cuadrado de un número.
El cubo de un número.
La suma del cuadrado de a con el cubo de b.
La mitad de un número
El recíproco de un número.
Tabla 1. Lenguaje común y algebraico.
En la tabla 1, se observa que las literales usadas en el lenguaje algebraico son indistintas. En estos casos
se usaron las letras a, b, x, y . Es importante mencionar que al analizar un problema, las letras
seleccionadas para representar cierta cantidad o variable se deben respetar durante todo el problema.
Expresiones algebraicas De acuerdo con Scherzer y López (2010, p. 55), “se denomina expresión a un símbolo o combinación de
símbolos. Si los símbolos son números y literales (representando un numero real) combinados mediante
las operaciones fundamentales, entonces, la expresión resultante es una expresión algebraica”.
Con base en esta definición algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:
5x;
3ab;
5 + ab! ;
!!!
!
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Las expresiones algebraicas están formadas por distintos términos, pueden ser un número, una literal, o
alguna combinación de ellos. Los términos están conectados entre sí por signos + y −.
De esta manera, la expresión algebraica 5x consta de un solo término.
Por otro lado, la expresión algebraica 5 + ab! está formada por dos términos:
•
El número 5 es un término.
•
es el segundo término.
Ambos se conectan por el signo
+.
A su vez, un término se conforma por cuatro elementos (véase figura 2): el signo, el coeficiente, la parte
literal y el exponente (Pérez, 2009).
Figura 2. Elementos que conforman una expresión algebraica (Pérez, 2009).
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Por ejemplo, a continuación se identifican los elementos que componen a los siguientes
términos algebraicos.
•
‐8wx !
Tabla 2. Ejemplo 1 de términos algebraicos (Pérez, 2009, pág. 3).
•
24a! b!
Tabla 3. Ejemplo 2 de términos algebraicos (Pérez, 2009, pág. 3).
•
6x ! ‐3x ! + 2x
Tabla 4. Ejemplo 3 de términos algebraicos (Pérez, 2009, pág. 3).
Definición de polinomio De acuerdo con Kaseberg (2007, p. 339), “un polinomio es una expresión con uno o más términos que se
suman o se restan y cuyos exponentes de las variables deben ser enteros positivos”.
Por otro lado, Gustafson y Frisk (2006, p. 267) mencionan que “un polinomio con varias variables (x, y, z,
por ejemplo) es la suma de uno o más términos de la forma ax ! y ! z ! donde a es un número real y m, 𝑛 y 𝑝
son números enteros.”
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Para polinomios con una sola variable, Tang Tan (2005) los define de la siguiente forma:
“Un polinomio en
es una expresión de la forma a! x ! + a!‐! x !‐! + ⋯ + a! x + a! , donde n es un entero
no negativo y a!, a! , … , a! son números reales, con a! ≠ 0.” (p. 11).
De estas definiciones, podemos concluir que:
Un polinomio es la suma o resta de términos de la forma ax ! y ! z ! en donde a puede tomar cualquier valor
real, pero m, 𝑛 y 𝑝 sólo pueden tomar valores enteros mayores o iguales a cero.
Ejemplos de polinomios:
•
•
•
3𝑥 ! 𝑦 𝑥 ! + 3𝑥 + 4 5𝑥 ! − 1 Las siguientes expresiones no son polinomios.
•
x !! + 5x − 4
•
x ! + 3x !
!
La expresión algebraica 𝑥 !! + 5𝑥 − 4 no es un polinomio porque
!
la variable 𝑚 tiene valor negativo; de la misma forma 𝑥 ! + 3𝑥 ! no
es un polinomio porque contiene un exponente fraccionario.
Cuando un polinomio sólo contiene un término se le llama monomio; si contiene solamente dos términos,
se le conoce como binomio; y si consta únicamente de tres términos se le denomina trinomio. A los
polinomios de más de tres términos no se les asigna un nombre en particular.
Por ejemplo:
Para las expresiones de la tabla 5, en la segunda columna se identifica el número de términos y en la
tercera columna se colocó su nombre genérico.
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Polinomio
3x ! y
5x ! − 1
x ! + 3x + 4
Número de
términos
1
2
3
Nombre
genérico
monomio
binomio
trinomio
Tabla 5. Ejemplo nombre de polinomios en función de sus términos.
Referencias Figueroa, M., y Guzmán, R. (2010). Aritmética y álgebra. USA: Firmas Press. Recuperado el 25
de junio del 2012, de la colección e-libro de la Biblioteca Digital UVEG.
Gustafson, D. R. y Frisk, P. D. (2006). Álgebra Intermedia (7ª. ed.). México: Cegage Learning
Editores. Recuperado el 18 de enero de 2012, de http://books.google.com.mx/books?id=S3S-2pULbgC&pg=PA267&dq=polinomios+de+varias+variables&hl=es&sa=X&ei=YgkWT7zKFILSiAKD4
czHDw&ved=0CE0Q6AEwBQ#v=onepage&q=polinomios%20de%20varias%20variables&f=false
Kaseberg, A. (2001). Álgebra elemental, un enfoque justo a tiempo (2ª. ed.). México: Thomson.
Pérez, S. E. (2009). Expresiones algebraicas. En Actividad 1 del Módulo 3 del curso Razonamiento
Matemático. Irapuato, Guanajuato, México: UVEG.
Scherzer, R. A. y López, F. (2010). Matemáticas I: área: ciencias sociales y administrativas. México:
Instituto Politécnico Nacional. Recuperado el 25 de junio del 2012, de la colección e-libro de la
Biblioteca Digital UVEG.
Tang Tan, S. (2006). Matemáticas para administración y economía. México: Thomson.
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