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1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1 1.- TIPOS DE NÚMEROS. APROXIMACIONES DECIMALES 1.1.- Tipos de números (Págs 26,27,28 y 42) Números racionales: Q . Son todos los números que se pueden escribir en forma de fracción. Además, si en una fracción el numerador es divisible por el denominador se obtiene un número entero. Recuerda que una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. - Números racionales no enteros. Son todas las fracciones que NO dan lugar a números enteros. Cuando calculamos su expresión decimal siempre obtenemos un número decimal exacto o periódico. Por tanto, Q = { a b / a,b∈Z,b≠0} Hay varios tipos de números racionales: Números irracionales: I = “Números que NO se pueden - Números enteros: Z = {...., -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,...} expresar en forma de fracción” . Por ejemplo, π , las raíces no exactas, etc Los irracionales tienen una expresión decimal ilimitada no periódica. Números reales: R . Está formado por los números racionales y los irracionales El conjunto de los números enteros está formado a su vez por los números naturales N = {0 , 1 , 2 , 3 , ....} y sus opuestos Z = {-1,-2,-3,…} , llamados enteros negativos Números no reales (llamados números complejos). Proceden de hallar raíces cuadradas de números negativos Ejercicio Todos estos números son racionales porque los podemos expresar en forma de fracción. Pág 28 : El 1 1.2.- Aproximaciones de números (Págs 37,38,39 y 42) Si sólo conocemos el valor aproximado, entonces Aproximar un número real es tomar otro número próximo a él. e Las aproximaciones más comunes son: el redondeo y el truncamiento A < k 2 = cota de error El error relativo de una aproximación es el cociente entre el Cuando tomamos una aproximación de un número, se llama orden de aproximación al orden de la última cifra decimal que se toma. error absoluto y el valor exacto: eR = eA vr . El orden de aproximación lo vamos a representar con la letra k El error relativo no lleva unidades y se suele expresar en forma de porcentaje, llamado “error porcentual” Por ejemplo, si la aproximación tiene 1 cifra decimal, k = 1 décima = 0,1 ; si tiene 2 cifras, k = 1 centésima = 0,01; etc El error absoluto de una aproximación: e = | v - v | , siendo v el valor real y A r a r aproximado Ejercicios v a el valor Pág 38 : El 1 - Luis ha redondeado el número 2,75 a las décimas y Ana ha truncado el número 283 a las decenas. Calcula el porcentaje de error relativo que ha cometido cada uno y explica qué aproximación es la mejor, la de Luis o la de Ana Si el valor real tiene infinitas cifras, entonces e < k = cota de error A - Si tomas como valor de 11 la aproximación 3,316, ¿qué cota de error absoluto y relativo has cometido? 1 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.- POLINOMIOS 2.1.- División de polinomios. Regla de Ruffini m División entre monomios: Ax n : Bx = (A : B) x m-n Ejercicios 1 Averigua si la división P : Q es exacta y haz la prueba de la división, siendo División de polinomios: 2 P |___Q__ R C 2 Q=2–x P = dividendo, Q = Divisor , C = cociente , R = resto . Se cumple que 3 P = (3x – 2x) + x - (2x+1)(2x–1) 2 2 ¿Cuánto han de valer a y b para que la siguiente división P=Q.C+R sea exacta? Si la división es exacta (R = 0), entonces P es divisible por Q y se cumple que P = Q.C 4 3 2 2 (x – 5x + 3x + ax + b) : (x – 5x + 1) 3 Usando la regla de Ruffini, averigua cuánto debe valer m 2 Regla de Ruffini: Es un método para dividir un polinomio entre un binomio del tipo x + a ó x - a. Este método es mucho más rápido que el método tradicional. 3 para que el resto de la división (mx – x + 3):(x+2) valga -9. Para el valor de m hallado, indica cuál es el cociente de la división 2.2.- Factorización de polinomios.(Págs 70 y 71) 1) Método de "sacar factor común" . Se usa cuando el polinomio no tiene término independiente. Raíz de un polinomio Si el valor numérico de un polinomio para x = a se dice que “ a ” es una raíz del polinomio es cero, Se saca factor común el mcd de todos los coeficientes y la menor potencia de x que aparezca en el polinomio. Las raíces enteras de un polinomio siempre son divisores del término independiente del polinomio. Luego para hallar las raíces enteras de un polinomio buscamos de entre los divisores del término independiente aquellas que dan valor numérico 0. Podemos hallar el valor numérico usando el teorema de resto, que dice: El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a coincide con el resto de la división P(x) : (x - a). 2) Método de las igualdades notables . Se usa cuando el polinomio se puede expresar como cuadrado de una suma, cuadrado de una resta o suma por diferencia. 3) Método de la división . Se usa cuando no se pueden aplicar los métodos anteriores. Se halla una raíz " a " del polinomio y se divide el polinomio entre (x - a) , entonces P(x) = (x – a ). C(x) , Después se vuelve a repetir el proceso con el cociente obtenido. Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible El método acaba cuando el cociente no tenga raíces enteras o tenga grado 1 Ejercicios Hay varios métodos para factorizar un polinomio: Pág. 71: El 1 y 2 ; Pág. 92: El 1 3.- FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es aquella que lleva alguna letra en el denominador. 3.1.- Simplificación de fracciones algebraicas (Págs 72 y 88) Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan numerador y denominador y después se simplifican los factores que se repitan en numerador y denominador. También se puede simplificar dividiendo numerador y denominador por el mcd Ejercicio Pág. 92 : El 4 -2- 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.2.- Producto, cociente y potencia de fracciones algebraicas (Pág 74) Producto: Cociente: P Q P Q . : R S R S = = n n P P Potencia: = n Q Q PR QS P Q . S R = PS Ejercicios QR Pág. 74: El 3 y 4 3.3.- Suma y resta de fracciones algebraicas (Pág 73) - Con el mismo denominador: P Q + R Q = Ejercicios P+R Q Pág. 73: El 1 y 2 - Con distinto denominador: En este caso, se reducen a común denominador usando el mcm de los denominadores, y se aplica lo anterior. 3.4.- Operaciones combinadas con fracciones algebraicas Se realizan por este orden: 1º) Multiplicaciones 2º) Sumas y restas Ejercicios Pág. 92: El 5 y 6 Si hubiese paréntesis o corchetes se harían primero las operaciones dentro de ellos 4.- RADICALES 4.1.- Concepto de radical. Soluciones de un radical (Pág 31) 5 Si tienes que resolver la ecuación x = 32 , sabes que x = 5 32 = 2 . 5 32 se llama radical. (5 es el índice y 32 es el radicando). n En general, la solución de una ecuación del tipo x = a , donde n ∈ N , n ≥ 2 , se expresa de la forma: x = n a y se llama radical o raíz (n es el índice y a es el radicando) Si el índice es 2, se llama raíz cuadrada y se expresa a Las raíces no siempre son exactas. Por ejemplo, 3 100 no es exacta porque no hay ningún número natural que elevado al cubo nos de 100. Eso no quiere decir que no se pueda calcular. Se puede hallar una aproximación por tanteo o con la calculadora científica Por tanteo: Buscamos el primer número natural que elevado al 3 cubo se pase de 100; este número es 5, pues 5 = 125. 3 100 ≈ 4 Luego, 4 < 3 100 < 5 ; 1/y Con la calculadora científica: 100 x El resultado es un número irracional. El número de soluciones de un radical depende del índice y del radicando Índice par Radicando positivo 2 soluciones opuestas. Por ejemplo, 4 81 = ± 3 Radicando negativo Ninguna solución. Por ejemplo, 4 -16 Índice impar 1 solución positiva. Por ejemplo, 3 125 = 5 1 solución negativa. Por ejemplo, 3 -8 = -2 3 = 4.641588834….. Ejercicios 1 Averigua cuántas soluciones tienen los siguientes radicales y calcúlalas: a) 81 b) 4 16 c) -9 d) 3 8 e) 3 -27 f) 4 -625 2 Halla con la calculadora las siguientes raíces y expresa el resultado redondeado a las centésimas: a) 19 b) 4 40 c) 3 -10 -3- 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.2.- Radicales equivalentes. (Pág 31) Relación entre radical y potencia: Cualquier radical se puede expresar en forma de una potencia usando la siguiente fórmula: Simplificar un radical es obtener otro equivalente pero de índice menor Para simplificar un radical se expresa el radicando en forma de potencia de la menor base posible. n m m/n a =a Después: m/n Si m es múltiplo de n entonces a es una potencia de exponente entero y por tanto el radical da como resultado un número racional. En otro caso, el valor obtenido es un número irracional - Si el exponente es múltiplo del índice, se pasa a potencia y se calcula dicha potencia - Si el exponente NO es múltiplo del índice, se pasa a potencia y simplificamos el exponente; luego pasamos la potencia a raíz Radicales equivalentes: Dos radicales son equivalentes cuando tienen la misma solución. Por ejemplo 5 32 valen lo mismo: y 38 son equivalentes, porque los dos 5 32 = 2 , 38 = 2 Reducir varios radicales a común índice es obtener otros radicales, todos con el mismo índice y equivalentes a los iniciales. Para reducir radicales al mismo índice se toma como índice común: p = mcm de todos los índices Se divide p entre cada índice y el resultado se multiplica por el exponente del radicando Amplificar un radical es obtener otro equivalente pero de índice mayor Para amplificar un radical se multiplican el índice del radical y el exponente del radicando por el mismo número natural no nulo. Para ordenar radicales se reducen primero a índice común y luego se ordenan atendiendo a los valores de los radicandos También se pueden ordenar calculando una aproximación decimal con la calculadora Esto se puede hacer sólo si el radical tiene solución n.p m.p n m a = a Ejercicios (p ∈ N , p ≠ 0) Pág. 31: El 1 y 2 ; Pág. 45: El 10 y 11 Pág. 46: El 18 , 19 y 20 5.- OPERACIONES CON RADICALES 5.1.- Multiplicación y división de radicales (Págs 32, 42 y 43) - Si tienen todos el mismo índice, se deja el mismo índice y se multiplican o dividen los radicandos n n a n b n c = n abc n a = b - Si no tuviesen el mismo índice, entonces se reducen a común índice y se aplica lo anterior Ejercicios n a b Pág. 32: El 5 , 6 y 7 5.2.- Potencia y raíz de un radical (Pág 31) Potencia de un radical: Se deja el mismo índice y el radicando se eleva al exponente de la potencia (na ) m n = am n n Como consecuencia ( n a ) = an = a Raíz de un radical: Se multiplican los índices y se deja el mismo radicando mn Ejercicios Pág. 31: El 4 ; Pág. 46: El 21 -4- a = mn a 1º Bachillerato- Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.3.- Introducción y extracción de factores en el radicando. Suma y resta de radicales (Págs 32 y 43) Para introducir un factor en una raíz tenemos que elevarlo al índice de la raíz A nB = n A n nB = n A nB Para extraer factores de una raíz tenemos que factorizar el radicando. Salen fuera de la raíz los factores cuyo exponente es múltiplo del índice Suma y resta de radicales: Sólo se pueden sumar o restar términos en los que aparezca la misma raíz. Si no aparece la misma raíz, la operación se deja indicada A veces hay que simplificar el radical o sacar factores fuera para conseguir tener términos con la misma raíz y poder sumarlos o restarlos Ejercicios Pág. 32: El 8 ; Pág. 46: El 25, 26 y 27 5.4.- Racionalización de denominadores (Págs 33 y 44) Racionalizar una expresión radical con alguna raíz en el 2º) El denominador tiene 2 términos y sólo tiene raíces cuadradas. denominador es transformarla en otra equivalente pero que Los términos pueden estar sumando o restando: NO tenga ninguna raíz en el denominador. Si están sumando: B r + C s Se multiplica, numerador y denominador, por Vamos a ver 2 tipos de racionalización: 1º) El denominador tiene un solo sumando: A A n m B C Si están restando: En este caso, se multiplica, numerador y denominador por n n −m C A B r − C s Se multiplica, numerador y denominador, por Las expresiones B r + C s B r − C s y B r + C s B r − C s son conjugadas una de la otra Ejercicios Pág. 33 : El 9 y 10 ; Pág. 46: 28 y 29 Página web del profesor: http://rafanogal.eshost.com.ar/ -5- se dice que