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4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
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TEMA 2.- POTENCIAS Y RADICALES
1.- CÁLCULO DE POTENCIAS. PROPIEDADES (Págs 36 y 37)
POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL
Potencia de base 10 : Es igual a 1 precedido de tantos ceros
-8
como indica el exponente. Ejemplo: 10 = 0,000 000 01
Una potencia de exponente natural es un producto de
factores iguales:
n
a = a.a.....a
(n veces)
El exponente “ n ” indica las veces que aparece la
4
base “ a ”como factor. Por ejemplo: 3 = 3.3.3.3 = 81
Potencias con la calculadora: Se pueden calcular potencias con la
y
calculadora científica usando la tecla x
Ejemplos: 2
Potencia de base 10 : Es igual a 1 seguido de tantos ceros
6
como indica el exponente. Ejemplo: 10 = 1000 000
Potencia de base negativa: El resultado es positivo cuando el
exponente es par y negativo cuando es impar
6
6
5
Ejemplos: (-2) = + 2 = 64
(-2) =
-2
(2,75)
π4
15
se calcula
x
y
2
y
x
y
2.75
se calcula EXP
- (25) = -32
Potencia de base fraccionaria: Se calcula por la fórmula
se calcula
x
4
=
15
3
±
=
=
. Da 32768
. Da 7.5625
. Da 97,40 909 103
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
1) Producto de potencias de la misma base: Se deja la misma
m
n
m+n
base y se suman los exponentes. a . a = a
n
an
a
=
 
bn
b
2
Ejemplo: 3 . 3
-4
.3
-1
-3
= 3
3
1
1
=   =
27
3
3
4
(−2)4
16
 −2 
Ejemplos:   =
=
5
625
54
 
(−1)3
−1
 −1 
=
 2  =
8
23
 
2) Cociente de potencias de la misma base: Se deja la misma
Potencia de exponente 0 : Su valor es 1
0
0
a = 1 , a ≠ 0. Ejemplo: 3 = 1
base y se restan los exponentes:
Ejemplo:
10
-3
: 10
-5
a m = a m−n
an
-3 – (-5)
2
= 10
= 10 = 100
POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
Potencia de base fraccionaria: Se calcula por la fórmula
−n
3) Potencia de una potencia: Se deja la misma base y se
m n
mn
multiplican los exponentes: (a ) = a
n
bn
a
b
=
=
 
 
an
b
a
3 -2
Ejemplo: [(-2) ]
2
Ejemplos:  
3
 −1 
 5 
 
−3
−2
3
=  
2
3
 5 
=  
 −1 
2
=
-6
= (-2)
=
1
64
9
4
3
4) Producto de potencias del mismo exponente:
Se multiplican las bases y se deja el mismo exponente.
m
m
m
a . b = (a.b)
= (-5) = -125
Cuando el exponente es -1 se obtiene la fracción inversa:
−1
-4
1
a
b b
  =  =
b
a a
Ejemplo: (-5)
Si la base es un número entero, lo pasamos a fracción y
aplicamos la fórmula anterior.
-2
Ejemplo: 4
4
=  
1
−2
2
1
1
=   =
16
4
−n
En general,
-4
= (-10)
-4
= 10
= 0,0001
2
2
Ejemplo: (3.5) = 3 . 5 = 225
,
a≠0
Cuando el exponente es -1 se obtiene el inverso del número
entero:
a −1 =
-4
5) Potencia de un producto:
Se eleva al exponente cada factor de la multiplicación.
m
m
m
(a.b) = a . b
2
n
1
a
1
a =   =  = n
a
1
a
−n
.2
Ejercicios
1 1
=
a1 a
Págs. 48 y 49: El 36, 38, 40, 50 y 51
-1-
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.- NOTACIÓN CIENTÍFICA. OPERACIONES (Págs 38, 39 y 46)
Multiplicación de un número por una potencia de base 10:
Producto
Para multiplicar un número por una potencia de base 10 se
desplaza la coma decimal tantos lugares como indica el
exponente.
Si el exponente es positivo la coma decimal se desplaza
hacía adelante y si es negativo hacía atrás
4
-3
Ejemplos: 34,2 . 10 = 342 000
; 2,45 . 10
= 0,00245
Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
(A.10
m
n
) . ( B . 10 ) = (A . B).10
Ejemplo:
6
0,8 . (2,75.10 ). (23,5.10
= 1,8095.10
Expresión de un número en notación científica:
m+n
-2
) . (35.10
-7
) = 1809,5.10
-3
=
0
Expresar un número en notación científica consiste en
m
escribirlo de la forma a,bcd… . 10 siendo “ a ” un
número entre 1 y 9 y “ m ” un número entero.
Cociente
Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.
El exponente m se llama orden de magnitud del número y
nos indica lo grande que es el número.
(A.10
El orden de magnitud nos permite comparar los números a
simple vista, pues dados dos números escritos en notación
científica, es mayor el que tenga mayor orden de magnitud
m
n
) : ( B . 10 ) = (A : B).10
Ejemplos:
-3
6
(480.10 ) : (0,24.10 ) = 2000.10
La expresión en notación científica es principalmente útil
cuando trabajamos con números con “muchas” cifras.
m-n
(457.10
-17
) : (3.10
-14
-9
= 2.10
) = 152,333.. .10
-3
-6
-1
= 1,52333.. .10
OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Suma y resta
m n
Potencia
n
(A.10 ) = A . 10
mn
Si los números están expresados con la misma potencia
de 10, se suman o restan los coeficientes y se deja la
misma potencia de 10.
n
A.10
±
n
n
B . 10 = (A ± B).10
-2 3
Ejemplo: (250,5.10 ) = 15 718 937,62.10
-6
= 1,5 718.. .10
Ejemplos:
7
7
7
-0,35.10 + 15.10 = 14,65.10 = 1,465.10
2,75.10
-9
- 2,95.10
-9
+ 0,25.10
-9
8
= 0,05.10
-9
= 5.10
Notación científica con la calculadora
-11
La calculadora científica nos permite introducir números en
notación científica. Para ello se usa la tecla EXP
Si los números no están expresados en la misma potencia
de 10, hay que transformarlos para que aparezca la misma
potencia de 10.
Se suelen transformar usando la potencia de mayor
exponente que aparezca.
Por ejemplo, para introducir 3,5.10
3.5
Nos aparecerá 3.5
-04
EXP
-4
4
pulsamos
±
que significa 3,5.10
-4
Ejemplos:
6
872.10 – 1,25.10
= -3,78.10
9
9
9
= 0,872.10 - 1,25.10 = - 0,378.10
9
Ejercicios
8
Pág. 38: El 10, 11, 12 y 13
Pág. 49: El 53, 54, 56 y 58
Pág. 53: El 92, 94 y 95
52 076,5.10
-15
= 5,20765.10
+ 0,25.10
-11
-11
+ 0,25.10
-11
–
75.10
-13
– 0,75.10
-11
=
= 4,7076.10
-11
-2-
1
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.- RADICALES. EQUIVALENCIA (Págs 40, 41 y 42)
Concepto de radical
5
Si tienes que resolver la ecuación x = 32 , sabes que
Radicales equivalentes
Dos radicales son equivalentes cuando tienen la misma solución.
x = 5 32 = 2
Por ejemplo 5 32
5 32 se llama radical. (5 es el índice y 32 es el radicando).
valen lo mismo:
y 38
son equivalentes, porque los dos
5 32 = 2
,
38 = 2
n
En general, la solución de una ecuación del tipo x = a ,
donde n ∈ N , n ≥ 2 , se expresa de la forma: x = n a
Amplificación de radicales
y se llama radical o raíz de índice n y radicando a
Si el índice es 2, el radical se llama raíz cuadrada y se
expresa sin escribir el índice, simplemente así:
a
Amplificar un radical es obtener otro equivalente pero de índice
mayor.
Para amplificar un radical se multiplican el índice del radical y el
exponente del radicando por el mismo número natural no nulo.
n.p m.p
n m
a
=
a
Número de soluciones de un radical
El número de soluciones de un radical depende del índice y
del radicando
Índice par
Radicando
positivo
2 soluciones opuestas.
Por ejemplo, 4 81 = ± 3
Radicando
negativo
Ninguna solución.
Por ejemplo, 4 -16
Índice impar
1 solución
positiva.
Por ejemplo,
3 125 = 5
1 solución
negativa.
Por ejemplo,
3 -8 = -2
Las raíces no siempre son exactas. Por ejemplo, 3 100 no
es exacta porque no hay ningún número natural que
elevado al cubo nos de 100.
Eso no quiere decir que no se pueda calcular. Se puede
hallar una aproximación por tanteo o con la calculadora
científica
Radicales con la calculadora científica:
Con la calculadora científica, se pueden calcular radicales
1/y
usando la tecla x
. Por ejemplo, 3 100 se halla así:
100
x
1/y
3
=
. Nos da 4.641588834…..
(p ∈ N , p ≠ 0)
Esto se puede hacer sólo si el radical tiene solución
Simplificación de radicales
Simplificar un radical es obtener otro equivalente pero de índice
menor
Para simplificar un radical se expresa el radicando en forma de
potencia de la menor base posible.
Después:
- Si el exponente es múltiplo del índice, se pasa a potencia y se
calcula dicha potencia
- Si el exponente NO es múltiplo del índice, se pasa a potencia y
simplificamos el exponente; luego pasamos la potencia a raíz
Reducción de radicales a común índice
Reducir varios radicales a común índice es obtener otros
radicales, todos con el mismo índice y equivalentes a los
iniciales.
Para reducir radicales al mismo índice se toma como índice
común: p = mcm de todos los índices
Se divide p entre cada índice y el resultado se multiplica por el
exponente del radicando
El resultado es un número irracional.
Ordenación de radicales
Relación entre radical y potencia
Cualquier radical se puede expresar en forma de una
potencia usando la siguiente fórmula:
m
n m
a
= a n
Para ordenar radicales se reducen primero a índice común y
luego se ordenan atendiendo a los valores de los radicandos
También se pueden ordenar calculando una aproximación
decimal con la calculadora
Ejercicios
m/n
Si m es divisible por n entonces a
es una potencia de
exponente entero y por tanto el radical da como resultado
un número racional.
Pág. 40: El 16
Pág. 42: El 22
5 15
Por ejemplo, 2
=
15
2
5
3
=2 =8
En otro caso, el valor obtenido es un número irracional.
-3-
Pág. 41: El 18, 20 y 21
Pág. 50: El 59 y 61
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.- OPERACIONES CON RADICALES (Págs 42, 43 y 47)
Raíz de un producto o de un cociente
Suma y resta de radicales
Para calcular la raíz de un producto o de un cociente, se calcula la
raíz de cada término
Sólo vamos a estudiar el caso de la suma y resta de raíces
iguales
En este caso, para sumar o restar radicales se suman o
restan los coeficientes y se deja el mismo radical.
M na
±
n a
n abc = n a n b n c
b
=
n
a
n
b
N n a = (M ± N) n a
Ejemplos:
Ejemplo:
3 8x = 3 8 3 x
3 52 - 52
+ 7 52
= (3 - 1+7) 5 2 = 9 5 2
3
4
A veces hay que simplificar el radical para conseguir tener
términos con la misma raíz y poder sumarlos o restarlos
Por ejemplo, 2 6 4
= 2 3x
- 5 32
3
4
=
3
2
=
se puede realizar
Potencia de un radical
6 2
simplificando primero 6 4 = 2
Luego: 2 6 4
- 5 32
= 32
= 2 32
Para calcular la potencia de un radical, se deja el mismo índice y
el radicando se eleva al exponente de la potencia
- 5 32
= -3 3 2
(na )
m
n
= am
Como consecuencia
n n
( n a ) = an = a
Ejemplos:
Multiplicación y división de radicales
(3
5 3 4
4
3 4 = 81 5 212
2 ) = 3 5 2
( )
Para multiplicar o dividir radicales del mismo índice, se deja el
mismo índice y se multiplican o dividen los radicandos
n
n a n b n c = n abc
n
a
b
=
6 6
( 6 10 ) = 106 = 10
n a
b
Ejemplos:
Raíz de un radical
2 3 4 . 5 3 2 . 3 6 = 10 3 48
15
12
4
4
Para calcular la raíz de un radical, se multiplican los índices y se
deja el mismo radicando
m n
3
2
15 4 3
5
=
=
2
12
4
4 3
a =
mn
a
2
Ejemplo:
5 3
7 =
15
7
Si no tuviesen el mismo índice, entonces se reducen a común
índice y se aplica lo anterior.
Ejercicios
Pág. 43: El 26 y 28
Página web del profesor:
http://rafanogal.eshost.com.ar/
-4-
Pág. 51: El 73, 74, 76 y 78