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I. E. S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Matemáticas
de
2º de Bachillerato
Funciones Reales
de
Variable Real
Por Javier Carroquino CaZas
Catedrático de matemáticas
del
I.E.S. Siete Colinas
Ceuta 2004
Funciones Reales
de
Variable Real
Javier Carroquino Cañas
Matemáticas de 2º de bachillerato
–•–
Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Tecnología
Funciones Reales
De
Variable Real
Por
Javier Carroquino Cañas
Catedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Ceuta 2004
© Javier Carroquino Cañas
I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)
Funciones Reales de Variable Real
Depósito Legal : CE&68&2004
ISBN : 84&6888&8199&6
Número de Registro : 6296704
Ceuta 2004
Prólogo
E
s el concepto y el estudio de las “funciones reales
de variable real” uno de los temas de matemáticas
que mayor aplicación tiene en las ciencias aplicadas de
diversa índole, tales como Física, Tecnología,
Astronomía, Economía, etc, para conseguir alguno de
los tradicionales objetivos que el ser humano intenta
alcanzar, esto es, conocer, descubrir, predecir, etc.
Por eso, no debe sorprender al estudiante que
enfoque sus estudios posteriores hacia alguna de las
disciplinas mencionadas, que se encuentre, en muchos
casos, con un programa exhaustivo sobre este tema que
iniciamos en estos apuntes enfocados para estudiantes de
bachillerato y que serán la antesala que habilita para un
estudio más profundo en temas y cursos superiores.
Aunque el concepto de función, en su origen, está
relacionado con aquellos fenómenos naturales en los que
dos o más variables están sujetas a cambios que se
influyen entre sí, no es hasta el siglo XIX cuando Peter
Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) define el
concepto de función como una relación entre dos
variables, definición que se acepta hasta hoy día.
En este tema de iniciación se desarrollan los
conceptos teóricos suficiente para introducir al alumno
en el mundo de las funciones en sus aspectos generales
con el fin de que adquiera unos conocimientos y una
destreza suficientes para asimilar con facilidad lo que
sería posteriormente un estudio profundo sobre
auténticas funciones que puedan aparecer en el desarrollo
de un verdadero problema real correspondiente a uno de
los campos mencionados anteriormente, por ejemplo, el
tecnológico.
Matemáticas de 2º de bachillerato
I
Funciones reales de variable real
Índice
Página
1.Función real de variable real .........................
Ejemplo 1 ..........................................
Ejemplo 2 ..........................................
Ejemplo 3 ..........................................
2.Grafo de una función real de variable real .............
Ejemplo 4 ...........................................
3.Dominio de una función real de variable real ...........
Ejemplo 5 ...........................................
Ejemplo 6 ...........................................
Ejemplo 7 ...........................................
Ejemplo 8 ...........................................
4.Imagen o recorrido de una función real de variable real..
Ejemplo 9 ...........................................
Ejemplo 10 ..........................................
Ejemplo 11 ..........................................
5.La función cero ........................................
6.La función unidad ......................................
7.La función identidad ...................................
8.Operaciones con funciones ..............................
8.1.Suma de funciones ...............................
Ejemplo 12 ....................................
8.2.Propiedades de la suma de funciones ............
8.2.1.Ley de composición interna ..............
8.2.2.Asociativa ..............................
8.2.3.Conmutativa .............................
Ejemplo 13 ..............................
8.2.4.Existencia de elemento neutro ...........
8.2.5.Existencia de elemento opuesto o simét...
Ejemplo 14 ..............................
8.3.El grupo conmutativo de las funciones ..........
8.4.Resta de funciones ..............................
Ejemplo 15 ....................................
8.5.Producto de funciones ...........................
Ejemplo 16 ....................................
8.6.Propiedades del producto de funciones ...........
8.6.1.Ley de composición interna ..............
8.6.2.Asociativa ..............................
8.6.3.Conmutativa .............................
8.6.4.Existencia de elemento neutro ...........
8.6.5.Existencia de elemento inverso ..........
Ejemplo 17 ...............................
8.7.Cociente de funciones ..........................
Ejemplo 18 ....................................
8.8.Potencia de exponente natural de una función ...
Ejemplo 19 ....................................
8.9.Potencia de exponente entero de una función ....
Ejemplo 20 ....................................
8.10.Raíz de índice n de una función ...............
Ejemplo 21 ....................................
1
2
3
4
4
5
6
6
7
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
11
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12
12
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13
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20
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21
Matemáticas de 2º de bachillerato
II
Funciones reales de variable real
Página
8.11.Potencia de exponente racional de una función...
Ejemplo 22 .....................................
8.12.Producto de un número real por una función .....
Ejemplo 23 .....................................
8.13.Propiedades del producto de nº real por función.
8.13.1.Ley de composición externa ..............
8.13.2.Asociatividad respec.del produc. de nos..
Ejemplo 24 ...............................
8.13.3.Asociat. respec.del produc.de func......
Ejemplo 25 ...............................
8.13.4.Distributividad respec.de la suma de nos.
Ejemplo 26 ...............................
8.13.5.Distribut. respecto de la suma de func..
Ejemplo 27 ...............................
8.14.El espacio vectorial de las funciones ..........
9.Composición de dos funciones.............................
Ejemplo 28 ..........................................
9.1.Propiedades de la composición de funciones ......
9.1.1.Asociativa ...............................
9.1.2.Elemento neutro ..........................
Ejemplo 29 .....................................
9.2.Dominio de la función composición de dos func....
Ejemplo 30 .....................................
10.Correspondencia inversa o recíproca de una función......
Ejemplo 31 ..........................................
Ejemplo 32 ..........................................
Ejemplo 33 ..........................................
Ejemplo 34 ..........................................
Ejemplo 35 ..........................................
Ejemplo 36 ..........................................
Ejemplo 37 ..........................................
10.1.Propiedades de una función y su recíproca.......
Ejemplo 38 .....................................
11.Imágenes borrosas de valores borrosos ..................
Ejemplo 39 ..........................................
Ejemplo 40 ..........................................
Ejemplo 41 ..........................................
Ejemplo 42 ..........................................
Ejemplo 43 ..........................................
Ejemplo 44 ..........................................
Ejemplo 45 ..........................................
Ejemplo 46 ..........................................
12.Formas explícita e implícita de la expresión de una función.
Ejemplo 47 ..........................................
Ejemplo 48 ..........................................
13.Clasificación de las funciones ........................
Ejemplo 49 ..........................................
21
22
22
22
23
23
23
23
23
23
24
24
24
25
25
25
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26
26
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29
29
30
30
30
31
31
32
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33
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39
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40
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41
42
42
43
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 1
Funciones reales de variable real
Funciones reales de variable real
C
omenzamos este tema dedicado a las funciones reales de variable real definiendo
el concepto de función y los elementos más importantes que las caracterizan.
Continuaremos con las distintas operaciones que pueden realizarse con las
funciones para posteriormente iniciarnos en algunos conceptos intuitivos que permitirá en temas
sucesivos adquirir una destreza en la visión y representación gráfica de una función, dejando una
formalización más teórica para temas posteriores en los que se requerirán conceptos tales como
límites y derivadas. Finalizaremos con una clasificación de las funciones.
1.Función real de variable real.3
3
3
Sea ú el conjunto de los números reales.
Una función real de variable real es una aplicación del conjunto ú, o un subconjunto de
ú, en ú. Esto significa que a cada elemento x (de ú o de Adú) le corresponde otro
elemento de ú.
La idea del punto anterior se expresa de la siguiente forma:
f : R→ R


x → f ( x) = y 
 f la funcion
 R es el conjunto inicial y final.

siendo 
 x es la variable real , es decir , x ∈ R
 " y " es la imagen de x mediante f ( y ∈ R)
La expresión anterior nos indica que todos los números x de ú o únicamente una parte
de los números reales tienen imagen mediante la función f.
Una función real de variable real también puede expresarse de la siguiente forma:
f : A→ R


x → f ( x) = y 
 f la funcion
 A es el conjunto inicial y R el final.

siendo 
 x es la variable real , es decir , x ∈ A
 " y " es la imagen de x mediante f ( y ∈ R)
En este caso A es un subconjunto de ú ( Adú ) y la función f está definida en A, lo cual
nos advierte de antemano que únicamente los números x0A pueden tener imagen
mediante f , esto es, nos garantiza que si x0ú y xóA, entonces f (x) no existe (o no está
definido).
Puede ocurrir que al definir una función deseemos expresar de una forma concreta los
conjuntos inicial (de donde parte la función) y final (a donde llega la función), es decir,
que también deseamos especificar por donde se “mueven” las imágenes de f . Veamos:
Página 2
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
 f la funcion
 A es el conjunto inicial y B el final.

siendo 
 x es la variable real , es decir , x ∈ A
 " y " es la imagen de x mediante f ( y ∈ B)
f : A→ B


x → f ( x) = y 
En este caso la definición nos indica, además de que x0Adú, las imágenes de los
elementos de A pertenecen al conjunto B, es decir, f (x) = y0Bdú, esto es, “fuera” de B
no hay imágenes de elementos x.
Ejemplo 1.Definamos la función que transforma a cada número real en su cuadrado, dividido por
sí mismo menos uno:
f :R → R


2
x 
x → f ( x) =
x − 1 
Hallemos la imagen de algunos números:
02
0
La imagen de x = 0 es f (0) =
= = 0 " la imagen de 0 es 0"
0 − 1 −1
22
4
La imagen de x = 2 es f (2) =
= = 4 " la imagen de 2 es 4"
2 −1 1
La imagen de x =
−3
2
es
La imagen de 2 es f
−3 2
(
)
f ( −3 ) = 2
( 2)
2
−3
2
2)
(
=
=
9
4
−1 −
5
2
=−
9
" la imagen de
10
−3
2
es − 109 "
2
2 −1
=
2
2 −1
Nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Todos los números reales tienen imagen mediante f ?
Vamos a ver que x = 1 no la tiene:
12
1
f (1) =
= ∉ R ⇒ x = 1 NO tiene imagen mediante f
1− 1 0
En este ejemplo hemos definido una función de la forma f :R → R y observado que no todos
los elementos del conjunto inicial tienen imagen. Si queremos expresar la función indicando que
todos los números del conjunto inicial tienen imagen, podemos expresarlo del siguiente modo:
Sea el subconjunto de ú,
A = R − { 1 } . Definimos la función:
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
f :A → R


x  Notese que ∀ x ∈ A , f ( x) existe.
x → f ( x) =
x − 1 
2
Ejemplo 2.Imaginemos un recipiente preparado para contener y transportar mercurio que tiene una
capacidad de seis litros y cuyo peso vacío es de 1´5 kg. Sabemos que la densidad del mercurio
es de 13´6 kg/dm3. Queremos definir la función que relaciona el peso total del recipiente según
la cantidad de mercurio que contenga.
Veamos:
Considerando que 1 dm3 = 1 litro y que un litro de mercurio pesa 13´6 kilos:
 V = Volumen de mercurio. Identificamos V = [0,6]

 x = litros. x ∈[0,6]
Llamamos 
 f es la funcion que buscamos.
 f ( x ) = y = peso recipiente + peso mercurio

Definimos la funcion pedida :
f : [0,6]→ R


x → f ( x ) = 1′5 + 13′ 6 x 
Nótese en este ejemplo que la función está definida únicamente en los valores que
permite la capacidad del depósito, es decir:
para x = 8 l la funcion no esta definida , aunque f (8) = 110 ′ 3
para x = −2 l la funcion no esta definida por ser x = litros negativos
Si queremos saber el peso del recipiente cuando contiene 2´4 litros:
f (2 ′ 4) = 1′5 + 13 ′ 6 ⋅ 2 ′ 4 = 34 ′14 kg.
3
En general, una función que tenemos determinada mediante la fórmula que relaciona el
valor de x con su imagen y, se expresa abreviadamente mediante esa fórmula, es decir:
f ( x ) = y es una funcion generica (no determinada ).
f ( x ) = 1′5 + 13 ′ 6 x es una funcion concreta.
3
En una función y = f (x), llamaremos:
 x la var iable independiente

y = f ( x ) siendo  y la var iable dependiente ( su valor depende de x )
 f es la funcion.

3
A partir de ahora, emplearemos el término “función” para referirnos de un modo
abreviado a “función real de variable real”.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
3
Funciones reales de variable real
En general a las funciones se las identifica utilizando letras minúsculas del alfabeto,
aunque en muchos casos se emplean las misma letras en mayúsculas, es decir:
f ( x ) ; g ( x ) ; h( x ) ; t ( x ) ; .... etc.
F ( x ) ; G ( x ) ; H ( x ) ; I ( x ) ; .... etc.
Ejemplo 3.
Sea la función g ( x ) = + x . Contestemos a las siguientes preguntas:
¿Cuál es la imagen de 24?
x = 24 → g (24) = + 24 = + 2 3 ⋅ 3 = + 2 2 ⋅ 6 = 2 2 ⋅ 6 = 2 6

Encuentra algún número que no tenga imagen.
Si x < 0 entonces g ( x ) = + x ∉ R. Los numeros negativos no tienen imagen.
Por ejemplo, x = −1 no tiene imagen mediante g.

Definir la función de modo que todo elemento del conjunto inicial tenga imagen.
g :[0 , + ∞ ) → R

 Notese que todo numero de [0 , + ∞ ) tiene imagen.
x → g ( x ) = + x 

3
Hallemos la imagen de x = 5
g
( 5) = +
3
3
5 = + 6 5 = 1′ 30766048.....
2.Grafo de una función real de variable real.f :R→ R


x → f ( x) = y 
‘
Sea
una función real de variable real.
‘
Consideremos el producto cartesiano ú×ú, es decir:
‘
Recordemos que a los elementos de ú×ú, es decir, a los (x,y) se les denomina “pares
ordenados”. Al elemento x se le llama “primera componente del par” y a y “segunda
componente del par”
Consideremos ahora el conjunto formado por todos los elementos de ú×ú tales que la
segunda componente (y) sea la imagen de la primera (x), es decir, todos los pares
ordenados (x,y) tales que f (x) = y.
¡Pues bien! A dicho conjunto se le denomina Grafo de la función f . Se expresa:
R × R = { ( x, y) x ∈ R , y ∈ R }
G f = { ( x, y) ∈ R × R f ( x) = y }
‘
Aclaremos el punto anterior.
Supongamos un par ordenado cualquiera (x,y)0ú×ú.
 ( x , y ) ∈ G f si f ( x ) = y
Entonces: 
 ( x , y ) ∉ G f si f ( x ) ≠ y
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Ejemplo 4.Sea la función h( x ) =
a)
2x − 5
. Contestemos a las siguientes preguntas:
x+3
¿Pertenece el par ordenado
( 21 , −78 ) al grafo de la función h?
Veamos:
( 21 , −78 ) ∈ Gh ⇔ h( 21 ) = −78
Debemos ver si esta igualdad es Verdad o Falsa
2 ⋅ 21 − 5 1 − 5 − 4 − 8
= 1+6 = 7 =
h( ) = 1
7
2 + 3
2
2
1
2
Por tanto:
b)
( 21 , −78 ) ∈Gh
¿Pertenece el par ordenado
La igualdad propuesta es Verdad
(2 , −41 ) al grafo de la función h?
Veamos:
(2 , −41 ) ∈ Gh ⇔ h(2) = −41
h(2) =
Debemos ver si esta igualdad es Verdad o Falsa
2 ⋅ 2 − 5 4 − 5 − 1 −1
=
=
≠
2+3
5
5
4
La igualdad propuesta es Falsa
Por tanto: (2 , −41 ) ∈ R × R pero (2 , −41 ) ∉ Gh
c)
¿Qué valor debe tomar b para que
( 45 ,b) ∈ Gh ?
Veamos:
( 45 ,b) ∈ Gh ⇔ h( 45 ) = b
h( 45 ) =
d)
2 ⋅ 45 − 5
=
5
+
3
4
5
2
Debemos hallar la imagen de
5
4
y obtenemos b.
− 5 −25
1
1
= = − ⇒ b= −
5
5
2
2
Halla el valor de a sabiendo que
(a , 83 ) ∈ Gh
Veamos:
(a , 83 ) ∈ Gh ⇔ h(a ) = 83
La imagen de a debe ser
8
3
2a − 5 8
=
Se trata de una ecuacion de incognita a
a+3 3
39
= − 19 ′5
Re solvemos: 6 a − 15 = 8 a + 24 ; − 2a = 39 ; a = −
2
(a , 83 ) ∈ Gh ⇔
Por tanto
e)
(− 392 , 83 ) ∈ Gh
¿Algún par del grafo tiene como primera componente a &3?
Es decir: ¿ › (&3 , y)0Gh ? Veamos:
(−3, y) ∈ Gh ⇔ h( −3) = y
h( −3) =
Debe ocurrir que − 3 tenga imagen.
2 ⋅ ( −3) − 5 −11
=
∉ R ⇒ No existe imagen de − 3⇒ ( −3, y ) ∉ Gh
−3 + 3
0
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
3.Dominio de una función real de variable real.Sea f : ú6 ú una función real de variable real. Sea x un número real, es decir, x0ú
 que x tenga imagen (es decir , f ( x ) existe)

Puede ocurrir : 
o
 que x no tenga imagen (es decir , f ( x ) no existe)

Es decir, habrá números reales que tengan imagen y números que no tengan imagen
mediante la función f (puede ocurrir que todos la tengan).
¡Pues bien! Al conjunto formado por todos los números que tienen imagen se le
denomina Dominio de la función f. Se expresa de la forma: Df
Por tanto:
D f = { x ∈ R f(x) existe } = { x ∈ R f(x) ∈ R }
Dos formas de expresarlo.
En definitiva:
x ∈ D f ⇔ f ( x ) existe
x ∉ D f ⇔ f ( x ) no existe
Ejemplo 5.Sea la función
a)
b)
x = π4 ? (nótese que x son radianes).
Veamos: t ( π4 ) = tg π4 = tg 45º = 1 ∈ R ⇒ π4 ∈ Dt
¿Pertenece al dominio de t el número real x = π2 ?
¿Pertenece al dominio de t el número real
Veamos:
c)
t ( x ) = tg x (tangente de x). Contestemos a algunas cuestiones:
t ( π2 ) = tg π2 = tg 90º ∉ R ⇒
2
∉ Dt
Recuérdese que no existe la tangente de 90º.
¿Qué números no tienen imagen mediante la función t ?
Recordando la razones trigonométricas de un ángulo, sabremos que los ángulos:
π 3π 5π 7π
(2 k + 1)π
; ..... k = 0,1, 2, 3,.....
2 2 2 2
2
−π −3π −5π −7π
− (2 k + 1)π
;
;
;
; ...... ;
; ..... k = 0,1, 2, 3,.....
2
2
2
2
2
no tiene tangente.
Determinar el dominio de la función t
Ya sabemos qué números no tiene imagen. El resto sí tienen y por tanto constituyen el
dominio de la función t. Vamos a expresarlo de distintas formas:
;
d)
π
;
;
; ...... ;
D f = { x ∈ R tg x existe} = R − {± π2 , ±
3π
2
,±
5π
2
,±
7π
2
,...... } =
......∪ ( − 32π ,− π2 ) ∪ ( − π2 , π2 ) ∪ ( π2 , 32π ) ∪ ( 32π , 52π )∪ .......
Página 7
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Obsérvese de que modo hemos expresado el conjunto “todo ú excepto los números que
no tiene imagen”
Ejemplo 6.Sea la función
Veamos:
f ( x) = +
{
Df = x ∈ R
2 x −8
5
. Queremos determinar su dominio.
}
&
f ( x ) ∈ R = Conjunto de numeros
con imagen
Ahora veremos que números tienen imagen:
x tiene imagen ⇔ f ( x ) ∈ R ⇔
2 x −8
5
∈ R ⇔ 2 x5−8 ≥ 0
Es decir, tienen imagen los números x tales que verifican la inecuación
2 x−8
5
≥0
Resolvamos la inecuación:
2x − 8
2x − 8
≥ 0 ; 5⋅
≥ 5⋅ 0 ; 2x − 8 ≥ 0 ; 2x − 8 + 8 ≥ 0 + 8 ; 2x ≥ 8
5
5
1
1
& .
⋅ 2 x ≥ ⋅ 8 ; x ≥ 4 ← Solucion de la inecuacion
2
2
Por tanto: El dominio de f está formado por todos los números reales mayores o iguales que 4.
D f = {x ∈ R x ≥ 4 } = [4, + ∞ )
Ejemplo 7.Sea la función
g( x) =
3
x2 −4
. Hallemos el dominio de g.
En este caso, en lugar de hallar los números que tienen imagen, comenzaremos por hallar
los que no tienen. Es decir:
x no tiene imagen ⇔ g ( x ) ∉ R ⇔ g ( x ) = 03 ⇔ x 2 − 4 = 0
Por tanto: No tienen imagen los números x tales que verifican la ecuación x − 4 = 0
Resolvamos la ecuación:
2
 x = −2
x 2 − 4 = 0 ; x 2 = 4 ; x = ± 4 = ± 2 . Solucion ecuacion  1
 x2 = 2
El dominio estará formado por todos los números reales excepto &2 y 2.
Dg = R − {−2 , 2 } = ( −∞ , − 2) ∪ (−2 , 2) ∪ (2 , + ∞ )
Ejemplo 8.Sea la función
h( x ) =
3
x2 +4
. Hallemos el dominio de h.
En este caso observamos que œx0ú, h(x)0ú , por lo que Dh = ú = (&4 , 4)
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
4.Imagen o recorrido de una función real de variable real.Sea f : ú6 ú una función real de variable real.
Al conjunto formado por todos los números reales (del conjunto final) que son imagen
de algún elemento del conjunto inicial, se le denomina “Conjunto imagen o recorrido de f”. Se
expresa por Img(f) o también f (ú) o f (A) (en este último caso si el conjunto inicial es A).
Matemáticamente se define:
f ( R ) = Im g ( f ) = { y ∈ R ∃x ∈ R que verifique f ( x ) = y }
Nótese que tanto el dominio como la imagen de una función son subconjuntos de ú.
Resumiendo:
 Si ∃x ∈ R
y ∈R ⇒ 
 Si ∃/ x ∈ R
f ( x ) = y entonces y ∈ Im g ( f )
f ( x ) = y entonces y ∉ Im g ( f )
Nótese también lo siguiente:
 x ∈ Df
x
,
y
∈
G
⇒
( ) f 
 f ( x ) = y ∈ Im g ( f )
Nota: Si b es la imagen de a, se dice que a es la antiimagen de b.
Ejemplo 9.Sea la función definida de la forma:
g: R → R

 ¿Cuál es su recorrido?
x → g ( x ) = 5x − 4 
Veamos:
Imaginemos un número cualquiera b0ú. Nos preguntamos: ¿ › a 0ú * g(a) = b ?
g (a ) = b ⇒ 5 a − 4 = b ⇒ 5 a = b + 4 ⇒ a = b +5 4
↓
b es un numero supuestamente conocido
Es decir,
si consideramos un número cualquiera b, su “antiimagen” mediante la función g se obtiene
“sumándole 4 y dividiendo por 5 "
Por ejemplo: ¿De qué numero es la imagen 11/3 ? Veamos:
Buscamos a ∈ R g (a ) = 113 . Es decir 5 a − 4 = 113 (buscamos a )
23
5 a − 4 = 113 ; 5a = 113 + 4 ; 5a = 233 ; a = 15
Es decir,
23
g( 15
) = 113
, es decir, la “antiimagen” de 11/3 es 23/15.
Conclusión: Todo número real y es imagen de algún x. Esto nos indica que la imagen
o recorrido de la función g es todo ú.
Img ( g ) = R = ( −∞ ,+∞ )
Página 9
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Puede ocurrir que un mismo número b sea imagen de dos o mas números (incluso de
infinitos). Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 10.Sea la función p( x ) = x + 5 . Contestemos a las siguientes cuestiones:
¿Qué número tiene por imagen a 1? Veamos:
Buscamos un número a tal que p(a) = 1, es decir, a2 + 5 = 1 (ecuación de 2º grado).
Resolvamos la ecuación:
2
a)
a 2 + 5 = 1 ; a 2 = 1 − 5 ; a 2 = −4 ; a = ± −4 ∉ R
b)
Es decir, no existe ningún número a real tal que p(a) = 1, esto es, ningún número tiene
por imagen a 1.
¿Qué número tiene por imagen a 10? Veamos:
Buscamos un número a tal que p(a) = 10, es decir, a2 + 5 = 10 (ecuación de 2º grado)
Resolvamos la ecuación:
 a = 5
a 2 + 5 = 10 ; a 2 = 10 − 5 ; a 2 = 5 ; a = ± 5 ⇒  1
 a2 = − 5
Por tanto, hay dos números que tiene por imagen a 10,
( 5) = p( − 5) = 10
5 y − 5 , es decir:
p
c)
Hallemos la imagen o recorrido de la función p.
Para ello debemos averiguar que números son imagen de alguien, es decir:
p( a ) = b ; a 2 + 5 = b ; a 2 = b − 5 ; a = ± b − 5
Esto significa lo siguiente: Si b es un número tal que b&5 $0 entonces hay dos números
cuyas imágenes son b. Esos números son a1 = − b − 5
Por tanto, los números que son imagen de otro u otros son:
∀b ∈ R b − 5 ≥ 0 , es decir , b ≥ 5
De este modo:
y a2 = b − 5
Img( p) = { y ∈ R y ≥ 5 } = [5, + ∞ )
Ejemplo 11.a)
Sea la función y = sen x (función seno). Contestemos a algunas preguntas.
¿Es y = 0´5 la imagen de algún x ? Veamos:
¿∃ x ∈R sen x = 21 ? ⇔ ¿∃ x ∈R x = arc sen 21 ?
Sabemos que: x1 = 30º = π6 rad = arc sen 21 ; x2 = − 30º = − π6 rad = arc sen
x3 = 150º = 56π rad = arc sen 21 ; x4 = − 150º = −
5π
6
1
2
rad = arc sen
1
2
x3 = 390º = 136π rad = arc sen 21 ; x4 = − 390º = − 136π rad = arc sen 21
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Observamos que existen infinitos números cuyas imágenes son iguales a 0´5. Es decir,
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 10
Funciones reales de variable real
todos los números:
x=
π
6
y
x = 56π
b)
+ 2 kπ


 (con k = 0,1, 2, 3,....) y sus opuestos
+ 2 kπ 
Hallemos el dominio y el recorrido de la función y = sen x :
Dando por hecho que conocemos la función y = sen x, sabemos que cualquier número
real x (ángulo en radianes) tiene seno, es decir, existe sen x.
Por tanto: Dominio = D = ú = (&4 , + 4)
Sabemos que œx 0ú se verifica que &1 #sen x #1, es decir, el recorrido debe ser [&1,1]
o estar contenido en ese intervalo.
Ahora bien, debemos saber que (recordar el círculo trigonométrico y la función seno) que
∀y ∈[− 1,1] , existe un angulo (arco) x ∈[0 , 2π ]
tal que sen x = y
Por tanto: Imagen = Img = [&1 , 1]
c)
¿Es y = 2 imagen de algún número?.
Acabamos de ver que el conjunto imagen de la función y = sen x es [&1 , 1]. Como se
verifica que 2ó[&1 , 1], la respuesta es no.
5.La función cero.Se denomina función cero a aquella que transforma todo número real en el cero, es decir,
la imagen de cualquier número x es igual a 0. La expresaremos por O(x). Por tanto:
O: R → R

 Es decir , ∀x ∈ R es O( x ) = 0
x → O( x ) = 0 
(
)
Por ejemplo: O(0) = O(1) = O( − 1) = O( 12 ) = O( − π ) = O 3 − 17 = 0
7
Según lo visto, podemos poner que DO = ú e Img(O)={0}
Además, el grafo de la función estará formado por todos los pares ordenados tales que
la segunda componente es cero, es decir:
GO = { ( x ,0) x ∈ R } ⊂ R × R
6.La función unidad.Se llama función unidad a aquella función que transforma todo número real en el uno,
es decir, la imagen de cualquier número x es igual a 1. La expresaremos por U (x). Por tanto:
U :R → R

 Es decir , ∀x ∈ R es U ( x ) = 1
x → U ( x) = 1 
Página 11
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Según la definición de función unidad, podemos poner que DU = ú e Img(U)={1}
Además, el grafo de esta función estará formada por todos los pares tales la segunda
componente sea 1, es decir:
GU = { ( x ,1) x ∈ R } ⊂ R × R
7.La función identidad.Se llama función identidad a aquella función que transforma todo número real en sí
mismo, es decir, la imagen de x es el propio x. La expresamos como I(x). Por tanto:
I :R → R
x → I ( x) =

 Es decir , ∀x ∈ R es I ( x ) = x
x
Por ejemplo: I (0) = 0 ; I (1) = 1 ; I ( −1) = −1 ; I ( 11
23 ) =
11
23
(
)
; I − 5 33 = − 5 33 ; etc.
Como todo número x tiene imagen y es el propio x, podemos poner que DI = ú e Img(I) = ú
Dado que la imagen de un número coincide con su antiimagen (x = y), el grafo estará
formado por todos los pares ordenados tales que la primera y segunda componentes son iguales.
GI = { ( x , x ) ∈ R × R }
8.Operaciones con funciones.Ya sabemos lo que es una función real de variable real y elementos que las caracterizan,
tales como su grafo, dominio y recorrido o imagen. En este apartado veremos algunas
operaciones que se pueden realizar con funciones, tales como suma, resta, producto, cociente,
producto de un número real por una función y composición de dos funciones.
8.1 Suma de funciones.3
Sean f : R → R y g : R → R
3
dos funciones reales de variable real.
Definimos la suma “f + g ” ( “f más g” ) como la función
( f + g ): R → R que actúa
del siguiente modo:
f :R → R
g:R → R 

 y
 son dos funciones
x → f ( x) 
x → g( x) 

( f + g ): R → R
 de modo que ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
x → ( f + g )( x ) 
3
E
s
decir: “La imagen de x mediante f + g es igual a la imagen de x mediante f más la
imagen de x mediante g “
Obsérvese lo siguiente:
En la definición de suma de dos funciones aparece dos veces el símbolo % , pero debe
entenderse que corresponden a dos operaciones totalmente distintas, es decir, mientras
la que aparece a la izquierda de la igualdad “f + g” es “suma de funciones”, la que
Página 12
Matemáticas de 2º de bachillerato
3
Funciones reales de variable real
aparece a la derecha “f (x) + g (x)” es “suma de números reales”.
Puede apreciarse que la función suma de dos funciones f y g se “construye” sumando
las imágenes de f y g, es decir, f (x) y g (x).
Ejemplo 12.Consideremos las siguientes funciones reales de variable real:
f :R → R
g:R → R


x → f ( x ) = 5x 2 − 23 x + 2


x → g ( x ) = 45 x 3 − 23 x 2 + 2 x − 1
Vamos a construir la función suma de ambas, es decir, f + g :
(f
+ g ): R → R

 tal que ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
x → ( f + g )( x ) 
2
− 2 x + 2 + 45 x 3 − 23 x 2 + 2 x − 1=
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) = 51x 4
423 44
3 14442444
3
f ( x)
= 45 x 3 + (5 −
(f
Por tanto:
2
3
g( x)
) x 2 + (− 23 + 2) x + (2 − 1) = 45 x 3 + 133 x 2 + 43 x + 1
+ g )( x ) = 45 x 3 + 133 x 2 + 43 x + 1
H a g a m o s
algunas comprobaciones. Para ello consideremos un valor cualquiera, por ejemplo x = 2.
f (2) = 5 ⋅ 2 2 − 23 ⋅ 2 + 2 = 20 − 43 + 2 = 623
T
La imagen de x = 2 mediante f es :
T
T
La imagen de x = 2 mediante g es : g(2) =
La imagen de x = 2 mediante f + g es:
(f
5
4
⋅ 2 3 − 23 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 − 1 = 10 − 83 + 3 =
31
3
5 ⋅ 2 3 + 13 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 2 + 1 = 10 + 52 + 8 + 1 = 11 + 60 = 11 + 20 = 31
+ g ) ( 2) = 4
3
3
3 3
3
Obsérvese que:
62
3
{
f (2)
+
31
3
{
g (2)
=
62 + 31 93
= = 31
{
3
3 ( f + g )( 2)
8.2 Propiedades de la suma de funciones.Llamemos F al conjunto de todas las funciones reales de variable real, es decir:
F ={ f
f :R→ R
}
Hemos definido la suma de funciones, es decir, la suma en el conjunto F. Ahora veremos
que propiedades tiene esta operación.
8.2.1. Ley de composición interna.La suma de dos funciones reales de variable real es otra función real de variable real.
Página 13
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Matemáticamente se expresa del siguiente modo: œ f, g 0 F, se verifica que ( f + g ) 0 F
8.2.2. Asociativa.La suma de funciones es asociativa, es decir:
œ f, g , h 0 F, se verifica que ( f + g ) + h = f + ( g + h)
Demostración:
Debemos demostrar que [( f + g ) + h](x) = [f + ( g + h)](x) œx que tenga imagen.
Veamos:
[( f
+ g ) + h]( x ) = ( f + g )( x ) + h( x ) = f ( x ) + g ( x ) + h( x ) = f ( x ) + [ g ( x ) + h( x )] =
14442444
3
suma de tres numeros
f ( x ) + [( g + h)( x )] = [ f + ( g + h)]( x ) ⇒ ( f + g ) + h = f + ( g + h) c. q. d .
8.2.3. Conmutativa.La suma de funciones es conmutativa, es decir: œ f, g 0 F, se verifica que f + g = g + f
Demostración:
Debemos demostrar que œx que tenga imagen es ( f + g )(x)=( g + f )(x)
Veamos:
(f
+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = g ( x ) + f ( x ) = ( g + f )( x ) ⇒ f + g = g + f
14243
c. q. d .
suma de dos numeros
Ejemplo 13.Sean las funciones
f ( x ) = 2 xx+ 3 y g ( x ) = 1 + 4 x .
Vamos comprobar la
propiedad conmutativa.
(f
+ g)( x) = f ( x) + g( x) =
x
2x + 3
+ 1 + 4x = 1 + 4x +
x
2x + 3
= g( x) + f ( x) = ( g + f )( x)
8.2.4. Existencia de elemento neutro.Existe una función que es neutra para la suma de funciones, es decir, cualquier función
f sumada con ella es igual a f. Esa función es la función cero. Expresemos esta propiedad
matemáticamente.
∃O∈F
∀ f ∈ F se verifica que f + O = O + f = f
↑
& cero
Es la funcion
Demostración:
Debemos demostrar que œx que tenga imagen es ( f + O )(x)=( O + f )(x) = f (x)
Veamos:
(f
+ O)( x ) = f ( x ) + O( x ) = f ( x ) + 0 = 0 + f ( x ) = (O + f )( x ) = f ( x )
Por tanto f + O = O + f = f
c. q. d .
Página 14
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
8.2.5. Existencia de elemento opuesto o simétrico.Para cualquier función, existe otra función tal que sumando ambas el resultado es la
función cero.
Si f es la función, la función que cumple la propiedad mencionada se expresa &f y se
denomina “función opuesta o simétrica de f ”. Matemáticamente se expresa del siguiente modo:
∀f ∈ F , ∃ ( − f ) ∈ F
f + ( − f ) = O ( funcion cero)
Dada una función f, veamos como se obtiene su opuesta:
f :R→ R 
 Esta funcion transforma los numeros x en f ( x )
x → f ( x)
Veamos como actúa la función opuesta de f :
− f :R→ R

 Esta funcion transforma los numeros x en − f ( x )
x → ( − f )( x ) = − f ( x ) 
Es decir, la función f transforma al número x en el número f (x) y la función
&f transforma al mismo número x en el número opuesto de f (x), es decir, & f (x).
Demostración:
Debemos demostrar que f + (&f ) = O (función cero). Veamos:
[
]
Si x ∈ D f entonces f + ( − f ) ( x ) = f ( x ) + ( − f )( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 ∈ R
Es decir, la función f + (&f ) transforma todo número real (que tenga imagen) en el cero,
es decir, f + (&f ) = O c.q.d.
Observación: Si &f es la función opuesta o simétrica de f , también f es la opuesta de &f.
Ejemplo 14.-
Dada la función f ( x ) = 3 − 5xx+−74 , queremos hallar su opuesta o simétrica. Veamos:
( − f ) ( x) = −
(
)
f ( x ) = − 3 − 5xx+−74 = − 3 + 5xx+−74 ← funcion opuesta de f .
Nótese que :
5 ⋅ 4− 4
x = 4 → f ( 4) = 3 − 4 + 7 =
33 − 16
=
17
11
11
5⋅ 4− 4 − 33 + 16
x = 4 → ( − f )( 4) = − 3 + 4+ 7 =
= − 17
11
11
8.3.El grupo conmutativo de las funciones.L
L
Hemos considerado el conjunto de las funciones reales de variable real, al que hemos
llamado F.
Hemos definido la operación “suma de funciones”, es decir, suma en F.
Página 15
Matemáticas de 2º de bachillerato
L
L
Funciones reales de variable real
Hemos visto las propiedades de la suma en F : Ley de composición interna, asociativa,
conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto.
Pues bien: El conjunto F con la operación suma y las propiedades mencionadas, se dice
que es una estructura de “grupo abeliano” o “grupo conmutativo”. Se expresa de forma:
{ F ,+ } ←
Grupo conmutativo de las funciones
8.4.Resta de funciones.e
e
Sean f y g dos funciones reales de variable real.
Se define la resta “f menos g” y se expresa f & g como la suma de f con e l opuesto de g.
Matemáticamente:


x → f ( x) 


x → g( x) 
f :R → R


x → ( − g )( x ) 
g: R → R
− g: R → R
La funcion f − g se construye :
(f
e
[
]
− g ) ( x ) = f + ( − g ) ( x ) = f ( x ) + ( − g )( x ) = f ( x ) − g ( x )
Resumiendo: ( f &g )(x) = f (x) & g (x)
Ejemplo 15.Dadas las funciones f ( x ) =
x
2
2
x −1
y g( x) =
x+2
x+1
, queremos hallar f & g
Veamos:
(f
)
− g ( x) = f ( x) − g( x) =
x
x
2
(
)
2
2
2
x − x +x−2
x − x+2 x−1
2− x
−
=
=
=
2
2
2
−1 x+1
x −1
x −1
x −1
2
(
x+2
)(
)
↓
Re cuerdese que x
Por tanto:
2
− 1 = ( x + 1) ( x − 1)
( f − g )( x ) =
2− x
2
x −1
8.5.Producto de funciones.‹
‹
Sea f y g dos funciones reales de variable real.
Se define el producto de la función f por la función g, expresándose de forma f · g como
aquella función que transforma cada número x (que tenga imagen) en su transformado
Página 16
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
mediante f por su transformado mediante g. Es decir:
f :R → R 
g:R → R 
y

 dos funciones.
x → f ( x)
x → g( x)
(f
⋅ g) : R → R

 siendo
x → ( f ⋅ g) ( x)
(f
⋅ g)( x) = f ( x) ⋅ g( x)
Nótese que en la última expresión aparecen dos productos. Debe quedar claro que:
( f ⋅ g)( x) = f ( x) ⋅ g( x)

 (1): producto de funciones.
↓
↓
 siendo : 
 (2): producto de numeros.
(1)
( 2) 

Ejemplo 16.f ( x) =
Sean las funciones
’
4x − 2
5x + 1
Hallemos la función producto f · g :
x
y g( x) =
2
+1
2x
.
(
)
2
2
3
2
4 x − 2 x + 1 (4 x − 2 ) ⋅ x + 1
4x − 2x + 4x − 2
⋅
=
=
=
( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) =
2
5x + 1
2x
(5x + 1) ⋅ 2 x
10 x + 2 x
=
(
2
2 ⋅ 5x + x
(f
Por tanto:
’
(
) = 2x3 − x2 + 2x − 1
3
2
2 ⋅ 2x − x + 2x − 1
⋅ g) ( x) =
)
2
5x + x
3
2
2x − x + 2x − 1
2
5x + x
Hallemos la imagen de x =2 mediante f , g y f · g :
 f (2) = 45⋅⋅22−+12 = 116

2
x = 2 ⇒  g (2) = 22 ⋅+21 = 45

2⋅23 − 2 2 + 2⋅2 −1
15
 ( f ⋅ g )(2) = 5⋅22 + 2 = 22
’
Obsérvese que ( f ⋅ g )(2) = f (2) ⋅ g (2) ;
1424
3
15
22
’
{ {
6
11
5
4
15 6 5 6 ⋅ 5
3 ⋅ 5 15
= ⋅ =
=
=
22 11 4 11 ⋅ 4 11 ⋅ 2 22
Hallemos el dominio de cada una de las funciones f , g y f · g :
g ( x ) ∉ R⇔ 2 x = 0. Por tanto x = 0 ∉ Dg ; Dg = R − {0}
Página 17
Matemáticas de 2º de bachillerato
f ( x ) ∉ R ⇔ 5x + 1 = 0. Por tanto x= −
Funciones reales de variable real
{ }
1
−1
∉ Df ; Df = R −
5
5
& :
( f ⋅ g)( x) ∉ R ⇔ 5x 2 + x = 0 ; Re solvamos esta ecuacion
&
 x = 0 es una solucion
5x + x = 0 ; 5x = − x ⇒ 
1
 si x ≠ 0 ; 5x = − 1 ; x = − 5
2
2
{
1
}
−1
( −1 )
Por tan to : D( f ⋅ g ) = R − − 5 , 0 = ( − ∞ , 5 ) ∪ 5 , 0 ∪ (0 , + ∞ )
8.6. Propiedades del producto de funciones.Hemos visto una nueva operación que podemos hacer con los elementos del conjunto F,
es decir, con las funciones, la operación producto. Ahora veremos qué propiedades tiene esta
operación.
8.6.1. Ley de composición interna.El producto de dos funciones reales de variable real es otra función real de variable real.
Matemáticamente se expresa: œ f, g 0 F , se verifica que (f · g) 0 F
8.6.2. Asociativa.El producto de funciones es asociativo, es decir:
œ f, g, h 0 F , se verifica que [(f · g)· h] = [f · (g · h )]
Demostración:
Debemos demostrar que [(f · g)· h](x) = [f · (g · h )](x) œx que tenga imagen.
Veamos:
[( f ⋅ g) ⋅ h]( x) = ( f ⋅ g)( x) ⋅ h( x) = [ f ( x) ⋅ g( x)] ⋅ h( x) =
f ( x ) ⋅ g ( x ) ⋅ h( x )
1442443
=
producto de tres numeros
= f ( x ) ⋅ [ g ( x ) ⋅ h( x )] = f ( x ) ⋅ ( g ⋅ h)( x ) = [ f ⋅ ( g ⋅ h)]( x )
Por tanto :
OBSERVACIÓN:
( f ⋅ g) ⋅ h =
c. q. d .
f ⋅ ( g ⋅ h)
En la demostración anterior puede apreciarse que se “mezclan” las
operaciones “producto de funciones” y “producto de números”,
debiéndose distinguir en cada momento cada una de ellas. Es decir:
f · g = producto de funciones.
f (x) · g(x) = producto de números.
8.6.3. Conmutativa.El producto de funciones es conmutativo, es decir: œ f, g 0 F , es f · g = g · f
Demostración:
Debemos demostrar que (f · g)(x) = (g · f )(x) œx que tenga imagen.
( f ⋅ g )( x) =
f ( x) ⋅ g( x)
14243
Pr oducto de numeros
Por tanto f ⋅ g = g ⋅ f
= g( x) ⋅ f ( x) = ( g ⋅ f ) ( x)
c. q. d .
Página 18
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
8.6.4. Existencia de elemento neutro.Existe una función que es neutra para el producto, es decir, cualquier función f
multiplicada por ella, da como resultado f. Esa función es la función unidad U.
Matemáticamente:
› U0 F * œ f 0 F se verifica que f · U = U · f = f
Demostración:
Debemos demostrar que (f · U) (x) = (U · f )(x) = f (x) œ x0Df
(f
⋅ U )( x ) = f ( x ) ⋅ U ( x) = f ( x) ⋅ 1 = f ( x ) = 1 ⋅ f ( x ) = U ( x ) ⋅ f ( x ) = (U ⋅ f )( x )
es decir
(f
⋅ U )( x ) = (U ⋅ f )( x ) = f ( x ) ⇒ f ⋅ U = U ⋅ f = f
c. q. d .
8.6.5. Existencia de elemento inverso.Para toda función (excepto para la función cero) existe otra función tal que multiplicadas
ambas el resultado es la función unidad.
Si f es la función dada, la función que aseguramos que existe la expresaremos f &1 y se
denomina “función inversa de f ”. Es decir:
œ f 0 F , › f &1 0 F * f · f &1 = f &1 · f = U
Veamos como se obtiene la función inversa de una función f :

 es una funcion.
x → f ( x) 
f :R→ R
f
−1


1
 es la inversa de f .
−1
x → f ( x) =
f ( x) 

:R→ R
Nótese que la imagen de x mediante la función f &1 es igual al cociente entre 1 y la
1
imagen de x mediante f, es decir, f −1 ( x ) =
, lo cual nos indica que si f(x) = 0 entonces
f ( x)
f &1 (x) no existe.
Demostración:
Debemos demostrar que œx0Df con f (x)…0 es (f · f &1)(x) = U (x) =1
( f ⋅ f )( x) = f ( x) ⋅ f
−1
−1
( x) = f ( x) ⋅
1
f ( x)
=
=1⇒ f ⋅ f
f ( x) f ( x)
−1
=U
↓
siempre que f ( x ) ≠ 0
Ejemplo 17.-
Sea la función definida de la forma f ( x ) = 6 + 8 x . Contestemos a los siguientes
apartados:
a)
Determina el dominio de f.
b)
Halla la función inversa de f.
c)
Halla el dominio de la inversa de f.
d)
Comprueba que el producto de ambas funciones es la función unidad en todo ú
excepto en los números x en que f (x) = 0
Veamos:
Página 19
Matemáticas de 2º de bachillerato
a)
Está claro que œx0ú, f (x) = 6 + 8 x
−1
Funciones reales de variable real
es también un número real. Por tanto, Df = ú
( x) =
1
f ( x)
=
1
6+ 8 x
b)
La función inversa de f es : f
c)
Observamos que un número x no tiene imagen mediante f &1 si 6+8 x = 0. Es decir:
−6
3
6 + 8x = 0 ⇒ 8x = − 6 ⇒ x =
= − = − 0 ′ 75
8
4
Por tanto:
d)
D f −1 = R − {− 0 ′ 75 } = ( −∞ , − 0 ′ 75) ∪ ( − 0 ′ 75 , + ∞ )
( f ⋅ f )( x) = f ( x) ⋅ f
−1
−1
1
6 + 8x
=
= 1 ∀x ∈ R
6 + 8x 6 + 8x
6 + 8 ⋅ −43 0
−3
(4)=
= ∉R
6 + 8 ⋅ −43 0
( x ) = (6 + 8 x ) ⋅
(
Notese que si x = −43 es f ⋅ f
−1
x≠
−3
4
)
8.7.Cociente de funciones.Sean dos funciones reales de variable real f y g.
Se define el cociente o división “f partido por g “ y se expresa
f
g
como “el producto
de la función f por la inversa de la función g “, es decir:
f
1
= f ⋅ g −1 = f ⋅
g
g
f
f ( x)
1
En forma abreviada :   ( x ) =
= f ( x) ⋅
= f ( x ) ⋅ g −1 ( x )
 g
g( x)
g( x)
Ejemplo 18.Sean las funciones f ( x ) =
Veamos:
 f
f ( x)
=
  ( x) =
g( x)
 g
3 x 2 −5 x +5
x −6
x
2 x +1
3x 2 − 5 x + 5
x
. Hallemos
y g( x) =
2x + 1
x−6
( 3x
=
2
− 5x + 5) ⋅ (2 x + 1)
( x − 6) ⋅ x
f
6 x 3 − 7 x 2 + 5x + 5
Por tanto:   ( x ) =
 g
x 2 − 6x
f
g
6 x 3 − 7 x 2 + 5x + 5
=
x 2 − 6x
Página 20
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
8.8.Potencia de exponente natural de una función.Sea f una función y n un número natural, es decir, f 0 F y n 0ù .
Se define la potencia “ f elevado a n “ como el producto de la función f por sí misma
n veces. Se expresa f n . Matemáticamente::
f :R → R
x → f ( x) =

& , es decir f ∈ F
 una funcion
y
y n∈N
f n = f ⋅ f ⋅ f ⋅⋅⋅⋅ f ∈F
14
4244
3
n veces

& :
 Aclaremos esta expresion
n
n 
x → f ( x) = y 
f n :R→ R
n
f n ( x ) = ( f ⋅ f ⋅ f ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f )( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x) ⋅ f ( x ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ f ( x ) = [ f ( x )] = y n
144244
3
14444244443
n veces
Por tanto, la función
n veces
f n transforma el número real x en el número f (x) elevado a n.
Ejemplo 19.-
Sea la función f ( x ) = 2 x − 3 . Hallemos las funciones f 2 y f 3.
f 2 ( x ) = ( f ⋅ f )( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ) = (2 x − 3) ⋅ (2 x − 3) = (2 x − 3) 2 = 4 x 2 − 12 x + 9
(
)
(
)
f 3 ( x ) = ( f ⋅ f ⋅ f )( x ) = f 2 ⋅ f ( x) = f 2 ( x ) ⋅ f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9 ⋅ (2 x − 3) =
= 8 x 3 − 36 x 2 − 18 x − 27
Por tanto:
f 2 ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
f 3 ( x ) = 8 x 3 − 36 x 2 − 18 x − 27
Por conveniencia, definimos que:
f 0 = U , es decir , f 0 ( x ) = y 0 = 1= U ( x ) funcion unidad
f 1 ( x) = f ( x) = y
8.9.Potencia de exponente entero de una función.Imaginemos ahora que el exponente de la función f es un número entero negativo, es
decir, n 0ù y tenemos f &n . En este caso se define la potencia del siguiente modo:
Página 21
Matemáticas de 2º de bachillerato
f
−n
=
1
, es decir , f
fn
−n
Funciones reales de variable real
 1
1
( x) =  n  ( x) = n
f 
f ( x)
Ejemplo 20.Sea la función g ( x ) =
x−5
. Hallemos la función g&2
2
x
 1
x4
1
1
1
1
g −2 ( x ) =  2  ( x ) = 2
=
=
=
=
g 
g ( x ) [ g ( x )]2  x − 5 2 ( x − 5) 2 x 2 − 10 x + 25
 2 
 x 
x4
Por tanto:
x4
g ( x) = 2
x − 10 x + 25
−2
8.10.Raíz de índice n de una función.Sea f una función y n un número natural, es decir, f 0 F y n 0ù.
Definimos la función “raíz n-ésima de f “ y se expresa
f :R→ R
n

 funcion
x → f ( x) = y 
Nótese que la imagen de x mediante
n
f
f : R→ R
x→
(
n
n
f
, de la siguiente forma:
)
f ( x) = n


f ( x) = n y 

es la raíz n-ésima de la imagen de x mediante f
Ejemplo 21.Sea la función
h( x ) = 27 x 6 . Hallemos la función r = 3 h
r:R→ R
x → r ( x) =
( h ) ( x) =
3
3


3
3 x 2 = 3x 2 

( )
h( x ) = 3 27 x 6 = 3
Por tan to: r ( x ) = 3 x 2
8.11.Potencia de exponente racional de una función.Sea f una función y
n
k
un número racional, es decir, f 0F y
Definimos la función “f elevado a
n
k
“ y se expresa por f
n
k
n
k
0Q.
, de la siguiente forma:
Matemáticas de 2º de bachillerato
f
n
k
=k f
Página 22
n
es decir f k ( x ) =
n
Funciones reales de variable real
( f )( x) =
k
n
k
f n ( x)
Ejemplo 22.Sea la función
f ( x ) = 8 x . Hallemos la función g = f
2
3
2
3
3
3
3
3
3
g ( x ) = f 3 ( x ) = 3 f 2 ( x ) = 3 ( 8 x ) 2 = 82 x 2 = 82 ⋅ x 2 = 2 6 ⋅ x 2 = 4 x 2
3
Por tanto g ( x ) = 4 x 2
3
Por ejemplo: x = −1 → g ( −1) = 4 ⋅ 3 ( −1) = 4 ⋅ 1 = 4 ⋅ 1 = 4
2
8.12.Producto de un número real por una función.•
•
Sea α un número real y f una función real de variable real.
Definimos el producto del número real α por la función f y lo expresamos de la forma
α·f o simplemente α f como la función que transforma a cualquier número x (del
dominio de f ) en el producto de α por f (x). Es decir:
∀α ∈ R 
 se define la funcion
∀f ∈ F 
α f :R → R


x → (α f ) ( x ) = α ⋅ f ( x ) 
La función α f se llama “función producto de α por f “ o simplemente “α por f “
Nótese que en la expresión α f tenemos el producto de un número por una función,
mientra que la expresión α · f (x) es el producto de dos números.
Ejemplo 23.Sea la función f ( x ) = 6 x 3 − 2 x 2 − 5x + 3 y el número α = 3.
Vamos a construir la función α f :
(3 f )( x) = 3 ⋅ f ( x) = 3 ⋅ (6 x 3 − 2 x 2 − 5x + 3) = 18 x 3 − 6 x 2 − 15x + 9
f (2) = 6 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ 2 2 − 5 ⋅ 2 + 3 = 33
Hallemos la imagen de x =2 mediante f :
Hallemos la imagen de x =2 mediante 3f : (3 f )(2) = 18 ⋅ 2 3 − 6 ⋅ 2 2 − 15 ⋅ 2 + 9 = 99
Comprobemos que
f ( x ) = 33
(3 f )( x) = 3 ⋅ f ( x)

Observamos que (3 f )( x ) = 3 ⋅ f ( x ) = 3 ⋅ 33 = 99
(3 f )( x) = 99 
Página 23
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
8.13. Propiedades del producto de número real por función.El producto de un número real por una función tiene las siguientes propiedades:
8.13.1. Ley de composición externa.El producto de un número real por una función da como resultado una función. Es
decir:
∀α ∈ R y ∀f ∈ F se verifica que α f ∈ F
8.13.2. Asociatividad respecto del producto de números.-
∀α , β ∈ R y ∀f ∈ F se verifica que (α ⋅ β ) f = α (β f ) ∈ F
Nótense las operaciones que aparecen en la última igualdad:
(α ⋅ β ) f
↓
= α ⋅ (β f )
↓
(1) (2)
&
 (1) es producto de numeros

&
&
por funcion
 (2) es producto de numero
↓ ↓
( 2) ( 2)
Ejemplo 24.Sea la función f ( x ) = 3x − 2 . Hallemos las funciones
(2·5) f
y 2 (5 f ) :
[( 2 ⋅ 5) f ]( x) = (10 f )( x) = 10 ⋅ f ( x) = 10 ⋅ ( 3x − 2) = 30x − 20
2(5 f )( x ) = 2 [(5 f )( x )] = 2 ⋅ [5 ⋅ f ( x )] = 2 [5 ⋅ ( 3x − 2) ] = 2 ⋅ (15x − 10) = 20 x − 20
&
Notese
que [( 2.5) f ]( x ) = [2 (5 f )]( x ) = 30 x − 20
8.13.3. Asociatividad respecto del producto de funciones.-
∀α ∈ R y ∀f , g ∈ F se verifia que α ( f ⋅ g ) = (α f ) ⋅ g
Demostración:
x ) ⋅ g ( x ) = [α ⋅ f ( x )] ⋅ g ( x ) = (α f )( x ) ⋅ g ( x ) = [(α f ) ⋅ g ]( x )
[α ( f ⋅ g)]( x) = α ⋅ ( f ⋅ g)( x) = α1⋅4f4(2
44
3
producto de numeros
Es decir: α ( f ⋅ g ) = (α f ) ⋅ g c.q.d.
Ejemplo 25.Sean las funciones f ( x ) = 2 x − 1 y g ( x ) =
L
Hallemos la función f ⋅ g :
(f
1
y el número α = 4
x
⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) = (2 x − 1) ⋅
1 2x − 1
=
x
x
Página 24
Matemáticas de 2º de bachillerato
L
Funciones reales de variable real
Hallemos la función 4 ( f ⋅ g ) :
[4 ( f ⋅ g)]( x) = 4 ⋅ ( f ⋅ g)( x) = 4 ⋅ 2 xx− 1 = 8x x− 4
L
Hallemos la función 4 f :
L
Hallemos la función
[
(4 f )( x) = 4 ⋅ f ( x) = 4 ⋅ (2 x − 1) = 8 x − 4
(4 f ) ⋅ g : [(4 f ) ⋅ g]( x) = (4 f )( x) ⋅ g( x) = (8x − 4) ⋅ 1x = 8x x− 4
]
[
]
Nótese que : 4( f ⋅ g ) ( x ) = (4 f ) ⋅ g ( x )
⇒ 4( f ⋅ g ) = (4 f ) ⋅ g
8.13.4. Distributividad respecto de la suma de números.-
∀α , β ∈ R 
 se verifica que (α + β ) f = α f + β f
∀f ∈ F

Demostración:
Debemos demostrar que
[ (α + β ) f ]( x ) = (α f
+ β f )( x )
∀ x que tenga imagen
Veamos:
+ β ) ⋅ f ( x ) = α ⋅ f ( x ) + β ⋅ f ( x ) = (α f )( x ) + ( β f )( x ) =
[(α + β ) f ]( x) = (1α 4
4244
3 14442444
3 144424443
producto de numeros
suma de numeros
suma de numeros
= α ⋅ f ( x ) + β ⋅ f ( x ) = (α f )( x ) + ( β f )( x ) = (α f + β f )( x )
14442444
3 14442444
3
producto y suma de numeros
producto de numero por funcion
y suma de numeros
Ejemplo 26.Dados los números 5 y 3 y la función f (x) = 5&4x , construir la función g = (5+3) f
Veamos:
g ( x ) = [(5 + 3) f ]( x ) = (8 f )( x ) = 8 ⋅ f ( x ) = 8 ⋅ (5 − 4 x ) = 40 − 32 x
Por tanto: g ( x ) = 40 − 32 x
8.13.5. Distributividad respecto de la suma de funciones.-
∀α ∈ R 
 se verifica que α ( f + g ) = α f + β g
∀f , g ∈ F 
Demostración:
Debemos demostrar que:
Página 25
Matemáticas de 2º de bachillerato
[α ( f
+ g )]( x ) = (α f + α g )( x )
Funciones reales de variable real
∀x que tiene imagen
Veamos:
[α ( f
+ g )]( x ) = α ⋅ ( f + g )( x ) = α ⋅ [ f ( x ) + g ( x )] = α ⋅ f ( x ) + α ⋅ g ( x ) =
144244
3 1442443
producto de numeros
suma y producto de numeros
= (α f )( x ) + (α g )( x ) = (α f + α g )( x )
c. q. d .
Ejemplo 27.Dadas las funciones
f ( x) =
3x −2
x
y g ( x ) = 1x+ x , construir la función
2
3
2
(f
+ g)
Veamos:
3
3
3
3  3x − 2  3  x 2  9 x − 6
3x 2
+
=
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) = 
+ 
=
2
2
2
2
2x
2 (1 + x )
x  2  1 + x
(1 + x ) ⋅ (9 x − 6) + 3x 2 ⋅ x 9 x − 6 + 9 x 2 − 6 x + 3x 3 3x 3 + 9 x 2 + 3x − 6
=
=
=
2 x ⋅ (1 + x )
2 x ⋅ (1 + x )
2x + 2x2
Por tanto:
[
3
2
( f + g )]( x ) =
3x 3 + 9 x 2 + 3x − 6
2x + 2x2
8.14. El espacio vectorial de las funciones.El conjunto de las funciones reales de variable real (F) con las operaciones “suma de
funciones” y “producto de un número real por una función” y las propiedades vistas, se dice
que una estructura de Espacio Vectorial sobre ú. Se expresa de la forma: {F , + , · ú}
9. Composición de dos funciones.Sean f y g dos funciones reales de variable real, es decir:
R f → R y R 
g → R
Definimos la función composición f y g y se expresa de la forma g B f como la función que
actúa de la siguiente forma:
g o f : R→ R

 siendo ( g o f )( x ) = g ( f ( x ))
x → ( g o f )( x ) 
Es decir:
3
Tenemos un número x 0ú
3
Sobre ese número x actúa la función f y obtenemos su imagen mediante f, f (x) = y0ú
3
Sobre esta imagen f (x) = y actúa la función g y obtenemos z : g (f (x)) = g (y) = z 0ú
3
En realidad, g B f es una función que transforma el número x en el número z.
3
Por tanto (g B f )(x) = z
Esquemáticamente puede expresarse del siguiente modo:
Página 26
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
El objetivo es encontrar la expresión de la función g B f , es decir, la expresión que
“pasa” directamente de x a z. Veamos un ejemplo:
Ejemplo 28.Sean las funciones f y g definidas de la siguiente forma:

 y
x
→ f ( x ) = 3x 2 + 2 x 
R f → R


x
→ g ( x ) = x 2 − 5 
R
g → R
Vamos a determinar la función composición f y g, es decir, g B f . Veamos:
( g o f )( x) = g( f ( x)) = g ( y) = y 2 − 5 = (3x 2 + 2 x)
2
− 5 = 9 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2 − 5
↓
Hemos llamado y = f ( x ) = 3x 2 + 2 x
( g o f )( x) = 9 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2 − 5
Por tanto:
Hagamos alguna comprobación. Supongamos que deseamos hallar la imagen de x = 3 mediante
la función g B f , es decir, queremos hallar (g B f )(3) .
Podemos actuar de dos formas:
ÎUna forma:
( g o f )(3) = g( f (3)) = g (33) = 332 − 5 = 1089 − 5 = 1084
4
3
2
Ï Otra forma: ( g o f )( 3) = 9 ⋅ 3 + 12 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 − 5 = 729 + 324 + 36 − 5 = 1084
Nótese que en Î se ha utilizado un paso intermedio, es decir, se ha obtenido la imagen de 3
mediante f, que es 33, y posteriormente se ha obtenido la imagen de 33 mediante g. En Ï se ha
obtenido la imagen de 3 directamente con la función g B f .
Es evidente que g o f (3) = g f (3) = 1084
(
)
(
)
9.1. Propiedades de la composición de funciones.La composición de funciones tiene las siguientes propiedades:
9.1.1. Asociativa.Si f, g y h son tres funciones, se verifica que (fBg)Bh = fB(gBh)
Demostración:
[(h o g) o f ] ( x) = (h o g)( f ( x)) = (h o g) ( y) = h ( g( y)) = h ( z) = t
[h o ( g o f )] ( x) = h[( g o f ) ( x)] = h[ g( f ( x))] = h ( g( y)) = h( z) = t
Es decir, [(fBg)Bh](x) = [fB(gBh)](x)
œx 0ú que tenga imagen.
Página 27
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
9.1.2. Elemento neutro.La función identidad es neutra para la composición de funciones, es decir:
œf 0 F se verifica que f BI = IBf = f
Por tanto, al componer una función cualquiera con la función identidad, obtenemos esa
función.
Demostración:
( f o I )( x) = f ( I ( x)) = f ( x) ⇒ f o I = f
( I o f )( x) = I ( f ( x)) = f ( x) ⇒ I o f = f
Quede claro que la composición de funciones no es conmutativa, es decir, en general:
Si f y g son dos funciones, ocurre que f Bg… gBf
Para demostrar esto es suficiente con un ejemplo en el que se compruebe la no
conmutatividad. Veamos:
Ejemplo 29.Sean las funciones f y g definidas en el ejemplo 28:

 y
x
→ f ( x ) = 3x 2 + 2 x 
R f → R


→ g ( x ) = x 2 − 5 
x
g → R
R
En dicho ejemplo obtuvimos la función g B f . Ahora obtendremos la función f B g
(composición de g y f ). Veamos:
(f
(
o g ) ( x ) = f ( g ( x )) = f ( y) = 3 y 2 + 2 y = 3 x 2 − 5
(
)
)
2
(
)
+ 2 x2 − 5 =
= 3 x 4 − 10 x 2 + 25 + 2 x 2 − 10 = 3 x 4 − 30 x 2 + 75 + 2 x 2 − 10 = 3 x 4 − 28 x 2 + 65
Por tanto:
( g o f )( x) = 9 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2 − 5
( f o g ) ( x) = 3x 4 − 28 x 2 + 65
Puede observarse que son dos funciones distintas.
9.2. Dominio de la función composición de dos funciones.Supongamos dos funciones f y g tales que sus dominios sean Df y Dg.
Consideremos la composición de f y g, es decir, gBf.
Nos preguntamos: ¿Cómo será el dominio de la función gBf ?
Veamos:
Página 28
Matemáticas de 2º de bachillerato
R
R
Funciones reales de variable real
Consideremos un x0Df , es decir, existe f (x) y llamamos f (x) = y
i
Puede ocurrir que y 0Dg. En este caso existe g(y) = z y por tanto también existe
g (f (x)) = (gBf )(x). Esto significa que x0DgBf
i
Puede ocurrir que y óDg. En este caso no existe g(y) y por tanto tampoco puede
existir (gBf )(x). En definitiva, x óDgBf
Consideremos un xóDf , es decir, no existe f (x) y por tanto no puede existir g(f (x)), o
sea, no existe (gBf )(x). Esto significa que x óDgBf .
Conclusión:
{
Dgo f = x ∈ R x ∈ D f y f ( x ) ∈ Dg
}
La siguiente figura ilustra de un modo gráfico lo expresado anteriormente, es decir, como
el dominio de gBf está formado por los números reales que pertenecen al dominio de f y cuyas
imágenes (mediante f ) pertenecen al dominio de g :
Ejemplo 30.Sean las funciones f ( x ) = + x + 5
y
g ( x ) = L( x − 2) . Queremos determinar
el dominio de la función gBf.
Veamos:
‘
El dominio de la función f es: D f = { x ∈ R f(x) ∈ R} = {x ∈ R x ≥ −5 } = [−5, + ∞ )
[
Esto nos indica que Dgo f ⊂ D f , es decir, D f ⊂ −5, + ∞ )
‘
Para que un
imagen
x ∈[−5, + ∞ ) = D f pertenezca también a DgBf , debe ocurrir que su
f ( x ) = + x + 5 ∈ Dg
{
} {
}
‘
Veamos el dominio de g : Dg = y ∈ R y − 2 > 0 = y ∈ R y > 2 = (2, + ∞ )
‘
Según el apartado anterior, f (x) = y pertenece al dominio de la función g si ocurre que
f ( x ) = + x + 5 = y ∈(2 , + ∞ ) , es decir, si ocurre que x + 5 > 4 , esto es, x >&1.
Conclusión:
El dominio de la función gBf está formado por el conjunto de todos los números
reales tales que pertenecen al dominio de f y además sus imágenes f (x)
pertenecen al dominio de g.
Matemáticas de 2º de bachillerato
{
Página 29
Funciones reales de variable real
}
Dgo f = x ∈ R x ∈ D f y f ( x ) ∈ Dg = ( − 1, + ∞ )
10. Correspondencia inversa o recíproca de una función.Si A y B son dos conjuntos (pueden ser de números u otro tipo de objetos), una
correspondencia de A en B es una relación que se establece entre los elementos del conjunto A
y del conjunto B, de tal modo que a cada elemento de A le hacemos “corresponder” algún
elemento de B (entiéndase que puede ser ninguno, uno, dos, tres, ....). Las correspondencias entre
conjuntos se suelen expresar con letras tales como f , g, h, etc. En la expresión “correspondencia
de A en B”, al conjunto A se le llama conjunto inicial y al conjunto B se le llama conjunto final.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 31.Consideremos un conjunto A formado por cinco estudiantes y un conjunto B formado por
cuatro asignaturas :A={álvaro, elena, inés, olga, ugo } y B={ciencias, dibujo, lengua, mates}
Establecemos la correspondencia de A en B que hace corresponder a cada estudiante
las asignaturas que ha suspendido:
En este caso observamos que álvaro no ha suspendido ninguna asignatura (no le
corresponde ningún elemento de B), elena ha suspendido una asignatura (le corresponde lengua),
a inés le corresponden dos elementos de B, etc.
Una correspondencia de A en B se dice que es una aplicación si a cada uno de
elementos de A (conjunto inicial) le corresponde un sólo elemento de B (conjunto final).
Según la definición de aplicación, podemos decir que la correspondencia del ejemplo 31
no es una aplicación de A en B, puesto que no a todos los elementos de A les corresponde algún
elemento de B (por ejemplo a álvaro) y hay elementos de A a los que les corresponde más de un
elemento de B (por ejemplo a olga).
Una función real de variable real f es una correspondencia de ú en ú, ya que hace
corresponder números reales con números reales. Ahora bien, si consideramos como conjunto
inicial el dominio de f ( Df ), entonces tenemos que “a cada elemento de Df le corresponde un
único elemento de ú”, por lo que una función f es una aplicación de su dominio ( Df ) en ú.
Veamos un ejemplo de una correspondencia entre dos conjuntos que también es una
aplicación entre ellos:
Página 30
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Ejemplo 32.Consideremos ahora la siguiente correspondencia entre los mismos conjuntos tratados
en el ejemplo 31:
En este caso la correspondencia
de A en B es también una
aplicación ya que a cada elemento
de A le corresponde un sólo
elemento de B
Ejemplo 33.-
f : R→ R


x → f ( x) = x 2 + 5 
Sea la función
Se trata de una correspondencia de ú en ú que también es aplicación, ya que todo número
real tiene imagen ( œx 0ú, x2 + 5 existe ) y además esa imagen es única.
Ejemplo 34.La función
f : R→ R

 es una correspondencia de ú en ú que no es
x → f ( x) = + x − 1 
aplicación, ya que los números menores que 1 no tienen imagen (no les corresponde ningún
número). Ahora bien, si consideramos como conjunto inicial el dominio de la función, es decir,
Df = [1 , 4) tendremos una aplicación :
f : [1, ∞ ) → R

 es una aplicacion de [1, ∞ ) en R
x → f ( x ) = + x − 1 
En una aplicación f de A en B, si a0A se corresponde con b0B, decimos que b es la
imagen de a mediante la aplicación f. Se expresa f (a) = b.
Una aplicación entre dos conjuntos A y B se dice que es inyectiva cuando “todos los
elementos del conjunto inicial A tiene imágenes distintas”. Dicho de otra forma: “dos elementos
de A, que sean distintos, tienen imágenes distintas”. Es decir:
f
A  → B aplic. inyectiva ⇔ ∀ a , α ∈ A a ≠ α , es f (a ) ≠ f (α )
Supongamos que ahora en una correspondencia f de A en B intercambiamos los
conjuntos inicial y final manteniendo la correspondencia entre sus elementos, es decir, cada
elemento de B que era correspondiente de alguno o algunos elementos de A, se sigue
correspondiendo con esos elementos, pero siendo ahora origen mientras los de A son finales. A
esta correspondencia se le denomina correspondencia recíproca o inversa de f y se expresa f
&1
.
f → B correspondencia del conjunto A en B
Es decir: A 
−1
f
B 
→ A correspondencia del conjunto B en A
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 31
Funciones reales de variable real
Si a0A se corresponde con b0B mediante la correspondencia f, entonces b0B se
corresponde con a0B mediante la correspondencia f &1.
Las correspondencias f y f &1 son mutuamente recíprocas o inversas.
Si f es una correspondencia no aplicación, puede ocurrir que f &1 sea correspondencia
y aplicación. También puede ocurrir que f sea aplicación y f &1 no lo sea.
Ejemplo 35.Construyamos la correspondencia recíproca de la expresada en el ejemplo 32.
Podemos apreciar que esta correspondencia, recíproca
de la del ejemplo 32, no es una aplicación ya que hay
un elemento del conjunto inicial (“dibujo”) que no se
corresponde con nadie del conjunto final. Además, hay
elementos del conjunto inicial que se corresponden
con dos elementos del conjunto final.
Tenemos así el caso de una correspondencia
aplicación cuya recíproca no es aplicación.
Hemos dicho que una función real de variable real es una aplicación de su dominio D
(conjunto inicial) en ú (conjunto final). Su recíproca será una correspondencia de ú en D que
podrá ser o no una aplicación. Veamos como se halla la correspondencia recíproca de una
función:

f −1 : R → R
f :R → R

Sea
una
funcion
.
Buscamos


x → f ( x) = y 
x → f −1 ( x ) = y 
f
−1
( x) = y ⇔ f ( y) = x
↓
Buscamos la expresion que determina a la funcion f
−1
El desarrollo de esta última expresión nos permitirá determinar la correspondencia f &1
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 36.-
f : R→ R
x → f ( x) = 2 x +
Sea la función
Buscamos
Veamos:
f
−1


5
Observa que esta función transforma cada
número real en su doble más cinco.

 Es decir, buscamos f &1 = fórmula.
−1
x → f ( x ) = ? 
:R → R
f
−1
( x) = y ⇔ f ( y) = x
Buscamos y
Página 32
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
f ( y) = 2 y + 5 ; 2 y + 5 = x ; 2 y = x − 5 ; y =
Por tanto:
x−5
f −1 ( x ) =
2
x−5
2
es la función recíproca de la función f ( x ) = 2 x + 5 ,
es decir, la recíproca transforma cada número x en la
mitad de x&5.
Hagamos alguna comprobación:
x = 8 → f (8) = 2 ⋅ 8 + 5 = 16 + 6 = 21
21 − 5 16
=
=8
x = 21→ f −1 (21) =
2
2
f transforma 8 en 21
f
−1
transforma 21 en 8
Es decir: f (8) = 21 ⇔ f −1 (21) = 8
Nótese en este caso que tanto f como f &1 son funciones, puesto que son aplicaciones de ú en ú.
Ejemplo 37.Sea la función f ( x ) = x 2 . Hallemos la correspondencia recíproca (o inversa) de f y
comprobemos si se trata o no de una función:
f −1 ( x ) = y ← Buscamos y ( formula )
f
−1
( x) = y ⇔ f ( y) = x
y2 = x
y= ±
x
Es decir:
2
f
−1
( x) = ± x
f
Esta es la correspondencia recíproca de f ( x ) = x
Nótese que es una correspondencia que hace corresponder
a cada número real x0[0 , +4) dos números, su raíz positiva
y su raíz negativa. No es una función, ya que un número no
puede tener dos imágenes.
2
f
−1
Por ejemplo: x = 5  → f (5) = 5 = 25   → f
−1
 5
(25) = ± 25 = 
−5
10.1. Propiedades de una función y su recíproca.Sea f una función y f &1 su recíproca. Recordemos que I es la función identidad.
Se verifica lo siguiente:
a)
f Bf &1 = I
b)
f &1 B f = I
En efecto, vamos a demostrarlo:
Página 33
Matemáticas de 2º de bachillerato
a)
Funciones reales de variable real
Sea x0ú (que tenga imagen).
Llamemos f &1(x) = y
−1
b)
Recordemos que f ( x ) = y ⇔ f ( y ) = x
Apliquemos la función composición f Bf &1 a x : (f Bf &1 )(x) = f (f
Es decir, la función f Bf &1 transforma cada número x en x.
Por tanto: f Bf &1 = I c.q.d.
De manera análoga demostramos este apartado:
Llamaremos f (x) = y
Recordemos que f ( x ) = y ⇔ f −1 ( y ) = x
Apliquemos la función composición f &1 B f a x : (f &1 B f )(x) = f
Es decir, la función f &1 B f transforma cada número x en x.
Por tanto: f &1 B f = I c.q.d.
&1
(x)) = f (y) = x
&1
( f (x)) = f
&1
(y) = x
Ejemplo 38.Sea la función g ( x ) = 43 x − 25 . Contestemos a las siguientes cuestiones:
a)
Hallar la recíproca de g. ¿Es una función?
b)
Hallar la imagen de x = 6 mediante g, es decir, g(6)
c)
Hallar la imagen de g(6) mediante g&1, es decir, g&1(g(6)).
d)
Comprobar que g&1(g(6)) = 6
Veamos:
a)
Buscamos g&1(x) = y , es decir, g&1(x) = fórmula.
g −1 ( x ) = y ⇔ g ( y ) = x Buscamos y
g( y) =
4
3
4
3
5
2
y−
y−
5
2
=x;
4
3
y= x +
5
2
;
4
3
y=
2x +5
2
; y=
6 x + 15
8
Por tanto:
6 x + 15
g ( x) =
8
−1
b)
g(6) =
4
3
⋅6−
5
2
= 8−
5
2
=
c)
g −1 ( g (6)) = g −1 ( 11
2) =
d)
Observamos que g
−1
16−5 11
2 = 2 =
6⋅
Es la recíproca de la función g. Puede
observarse que se trata de una función,
ya que todo número real tiene una sola
imagen.
5′5
11
2
+ 15 33 + 15 48
=
=
=6
8
8
8
( g (6)) = g −1 ( 11
2)= 6
11. Imágenes borrosas de valores borrosos.En matemáticas, la expresión x = 3 se refiere a que la variable x toma un valor concreto,
el 3, esto es, está perfectamente determinada. Ahora bien, podemos referirnos a x como un
número muy próximo o infinitamente próximo a 3, es decir, no nos referimos a un valor concreto
Matemáticas de 2º de bachillerato
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Funciones reales de variable real
y determinado, sino a un número o números que están infinitamente próximos a 3, esto es, un
valor ambiguo no concreto. Por tanto, podemos expresar la idea:
x = nº infinitamente próximo a 3
Este concepto está dentro de lo que en matemáticas se llama borroso puesto que serían
valores factibles para x, por ejemplo, los siguientes:
x = 3´001 ; x = 3´0001 ; x = 3´0000025 ; x = 3´00000000094 ; ....... etc. (1)
o también:
x = 2´999 ; x = 2´99999 ; x = 2´99999999045 ; x = 2´9999999999999 ; ..... etc. (2)
entendiendo que el término “número muy o infinito próximo a 3" es un término subjetivo puesto
que si comparamos entre los números x = 2´999 y x = 2´99999999999, no cabe duda de que
el segundo está mucho más próximo a 3 que el primero.
Obsérvese que en la lista (1) los números están muy próximos a 3 pero un poco mayores
que 3, es decir, “están a la derecha de 3". Los números de la lista (2) son menores que 3 y se
dice que “están a la izquierda de 3".
Expresaremos estos conceptos de la siguiente forma:
x = 3+
Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a 3 por su derecha, es
decir, un poco mayores que 3.
x = 3&
Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a 3 por su izquierda, es
decir, un poco menores que 3.
Gráficamente se representaría en la recta real del siguiente modo:
En general, si a es un número real, consideraremos que:
x = a+
Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a a por su derecha.
x = a&
Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a a por su izquierda.
Del mismo modo que hemos expresado la idea de número infinitamente próximo a otro,
podemos expresar la idea de “número infinitamente grande positivo” y “número infinitamente
grande negativo”. Debe comprenderse que ambas ideas están dentro de lo que hemos
denominado “conceptos borrosos”. Dichas ideas las expresaremos del siguiente modo:
x = %4
x = &4
Expresa la idea de números muy grandes o infinitamente grandes positivos.
Estarían dentro de esta idea, por ejemplo: 1025 ; 2108 ; e39 ; 99.896.175.047 ; etc.
Debe entenderse que considerar a estos números infinitamente grandes positivos
es subjetivo (por eso el concepto de “valor borroso”).
Expresa la idea de números muy grandes o infinitamente grandes negativos.
Ejemplo se estos números: &1025 ; &2108 ; &e39 ; &99.896.175.047 ; etc. Debe
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 35
Funciones reales de variable real
entenderse que considerara estos números infinitamente grandes positivos es
subjetivo (por eso el concepto de “valor borroso”).
También podemos expresar la idea de que una sucesión de números se aproxima cada vez
más a otro número fijo por su derecha o por su izquierda. Veamos:
Expresa la idea de que x no es un valor fijo, sino una sucesión de infinitos números
x 6 a%
que se aproximan cada vez más al número a por la derecha de este. Esta
aproximación es tanta como podamos imaginar, sin llegar a ser x = a.
Expresa la idea de que x no es un valor fijo, sino una sucesión de infinitos números
que se aproximan cada vez más al número a por la izquierda de este (son menores
que a). Esta aproximación es tanta como podamos imaginar, sin llegar a ser x = a.
x 6 a&
Del mismo modo:
Expresa la idea de que x son los números de una sucesión que cada vez se acerca
x 6 %4
más a %4, siendo esta aproximación tanta como podamos imaginar.
x 6 &4
Expresa la idea de que x son los números de una sucesión que cada vez se acerca
más a &4, siendo esta aproximación tanta como podamos imaginar.
Ejemplo 39.Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6 2´5% podría ser:
{ 2´51 , 2´501 , 2´5001 , 2´50001 , 2´500001 , 2´5000001 , ....... } 6 2´5%
Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6 2´5& podría ser:
{ 2´49 , 2´499 , 2´4999 , 2´49999 , 2´499999 , 2´4999999 , ....... } 6 2´5&
Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6%4 podría ser:
{ 54 , 504 , 5004 , 50004 , 500004 , 5000004 , 50000004 , 500000004 , ....... } 6 %4
Nótese que en esta sucesión siempre habrá un elemento mayor que cualquier número que
nosotros podamos imaginar, por muy grande que este sea.
Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6&4 podría ser:
{ x = &10 n * n0ù } 6&4
Nótese que es una forma abreviada de expresar la sucesión:
{-1 , -10 , -100 , -1000 , -10000 , -100000 , -1000000 , ...... } 6&4
Si f (x) es una función real de variable real y consideramos para la variable x valores
borrosos, es decir, valores no concretos, tendremos que las imágenes de esos valores o no existe
o serán borrosos. Veamos:
Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las
f (a%) = %4
imágenes de esos valores son infinitamente grandes positivas”. Cuanto más
cerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande como podamos imaginar.
Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las
%
imágenes
de esos valores son infinitamente grandes negativas”. Cuanto más
f (a ) = &4
cerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande (negativa) como podamos
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 36
Funciones reales de variable real
imaginar.
f (a&) = %4
f (a&) = &4
f (%4) = %4
f (%4) = &4
Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su izquierda,
las imágenes de esos valores son infinitamente grandes positivas”. Cuanto más
cerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande como podamos imaginar.
Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su izquierda,
las imágenes de esos valores son infinitamente grandes negativas”. Cuanto más
cerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande negativa como imaginemos
Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenes
son infinitamente grandes positivas”. Cuanto mayor sea x, mayor es su imagen,
la cual puede ser tan grande como queramos.
Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenes
son infinitamente grandes negativas”. Cuanto mayor sea x, menor es su
imagen, la cual puede ser tan grande negativa como imaginamos.
Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, las
imágenes están infinitamente próximas a b por su derecha”. Cuanto más
próximo esté x de a, más lo estará su imagen de b. Esta aproximación es tanta
como podamos imaginar, sin llegar a ser f (a+) = b.
f (a+) = b+
+
f (%4) = b
f (&4) = b&
Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes
están infinitamente próximas a b por su derecha”. Cuanto más se aproxime x
a %4, más se aproxima f (x) a b. Esta aproximación es tanta como podamos
imaginar.
Significa que “para valores de x infinitamente grandes negativos, las
imágenes están infinitamente próximas a b por su izquierda”. Cuanto más se
aproxime x a &4, más se aproxima f (x) a b. Esta aproximación es tanta como
podamos imaginar.
De forma similar podemos interpretar las siguientes expresiones:
f (a+) = b& ; f (a&) = b+ ; f (a&) = b& ; f (&4) = +4 ; f (&4) = &4 ; f(%4) = b& ; f(&4) = b+
Ejemplo 40.Sea la función f ( x ) =
5
. Observamos que el dominio es todo ú excepto 0, es decir:
x
D f = R − { 0 } = ( − ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞ )
Esto significa que para x = 0 no existe imagen, es decir: f (0) = 50 ∉ R
Nos hacemos la siguiente pregunta:
Para x = 0 no existe la función, pero ¿qué ocurre en las proximidades de x = 0?, es decir,
¿qué ocurre cuando x = 0+ y x = 0&?
5

x = 0 + → f (0 + ) = + = + ∞ 

0
Contestemos a esta pregunta:

5
−
−
x = 0 → f (0 ) = − = − ∞ 
0

Es decir: Para x = 0 no existe imagen, pero para valores de x infinitamente próximos a 0 por su
derecha las imágenes se hacen infinitamente grandes positivas y para valores de x infinitamente
próximas a 0 por su izquierda, las imágenes de hacen infinitamente grandes negativas.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Hagamos algunas comprobaciones con calculadora:
5

 x = 0 ′ 1→ f (0 ′1) = 0 ′ 1 = 50

5

x = 0 ′ 01→ f (0 ′ 01) =
= 500
+ 
0 ′ 01
x= 0 

5
 x = 0 ′ 001→ f (0 ′ 001) =
= 5000
0 ′ 001

 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ etc. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5

 x = − 0 ′ 1→ f ( − 0 ′1) = − 0 ′ 1 = − 50

5

= − 500
x = − 0 ′ 01→ f ( − 0 ′ 01) =
− 
− 0 ′ 01
x= 0 

5
 x = − 0 ′ 001→ f ( − 0 ′ 001) =
= − 5000
− 0 ′ 001

 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ etc. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Observa que si queremos que una imagen sea mayor (o menor) que un número que imaginemos,
solo tenemos que tomar un valor para x que esté suficientemente próximo a 0.
Veamos ahora qué le ocurre a la función si tomamos valores para x infinitamente grandes:
5
x = + ∞ → f ( + ∞ ) = + ∞ = 0 + 

5
x = − ∞ → f ( − ∞ ) = − ∞ = 0 − 
Es decir, si la variable x toma valores infinitamente grandes
positivos, las imágenes están infinitamente próximas a 0 por su
derecha y si toma valores infinitamente grandes negativos, las
imágenes están infinitamente próximas a 0 por si izquierda.
Hagamos algunas comprobaciones con la calculadora:
5
 x = 100 → f (100) = 100
= 0 ′ 05

5
 x = 1000 → f (1000) = 1000 = 0 ′ 005
x = +∞ 
x = −∞
5
 x = 10000 → f (10000) = 10000 = 0 ′ 0005
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ etc ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅








x = − 100 → f ( − 100) =
5
−100
x = − 1000 → f ( − 1000) =
= − 0 ′ 05
5
−1000
= − 0 ′ 005
5
= − 0 ′ 0005
x = − 10000 → f ( − 10000) = −10000
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ etc ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Podemos observar que una imagen f (x) puede aproximarse a 0 tanto como podamos imaginar.
Ejemplo 41.Sea la función g ( x ) =
−2
. Observamos que g(4) no existe, es decir, 4óDg
x− 4
¿Cómo se comporta la función en las proximidades de x = 4?
−2
− 2 negativo

x = 4 + → g (4 + ) = +
= +=
= −∞ 
positivo
4 −4 0

Veamos:

−2
− 2 negativo
−
−
x = 4 → g (4 ) = −
=
=
= +∞ 

4 − 4 0 − negativo
¿Cómo se comporta la función g(x) en el infinito?
Si x está infinitamente
próximo a 4 por su derecha,
las imágenes son
infinitamente grandes
negativas y si x lo está ......
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Veamos:
−2
−2
=
= 0−
+∞ − 4 +∞
−2
−2
x = − ∞ → g(− ∞ ) =
=
= 0+
−∞ − 4 −∞





x = + ∞ → g(+ ∞ ) =
Cuando x toma valores infinitamente grandes
positivos, las imágenes están infinitamente próximas a
0 por su izquierda y si x toma valores infinitamente
grandes negativos, las imágenes están infinitamente
próximas a 0 por su derecha.
Hagamos algunas comprobaciones con calculadora:
En estas comprobaciones
puede apreciarse la
c o h e r e n c ia d e lo s
resultados con la idea
expresada sobre el
comportamiento de la
función. Apréciese como
cuanto más nos
acercamos a 4, más
grande (positiva o
negativa) es la imagen.
−2
−2

=
= − 20000 
4 ′ 0001 − 4 0 ′ 0001

−2
−2

x = 3 ′ 9999 → g (3 ′ 9999) =
=
= 20000 

3 ′ 9999 − 4 − 0 ′ 0001

−2
− .2

x = 10004 → g (10004) =
=
= − 0 ′ 0002

10004 − 4 10000

−2
− .2

x = − 9996 → g ( − 9996) =
=
= 0 ′ 0002

− 9996 − 4 − 10000
x = 4 ′ 0001→ g (4 ′ 0001) =
Ejemplo 42.−3
∉R
0
( x + 3)
( − 3 + 3)
Vemos que &3 no tiene imagen. Veamos qué ocurre en las proximidades de &3.
x
Sea la función h( x ) =
+
+
x = − 3 → h( − 3 ) =
x = − 3 − → h( − 3 − ) =
2
− 3+
=
. Apréciese como
− 3+
(− 3+ + 3)2 ( 0 + )2
− 3−
=
− 3−
(− 3− + 3) 2 ( 0 − )2
h( − 3) =

− 3+ negativo
= + =
=−∞ 
positivo
0


− 3+ negativo

= + =
=−∞ 
positivo
0

−3
2
=
En este caso se verifica
que cuando x toma valores
infinitamente próximos a
&3, por su derecha o por
su
izquierda, las
imágenes
son
infinitamente grandes
negativas.
Veamos que ocurre cuando x toma valores infinitamente grandes.
+∞
positivo +
=0
2 =
positivo
( + ∞ + 3) + ∞
−∞
−∞
−∞
negativo −
x = − ∞ → h( − ∞ ) =
=0
2 =
2 =
2 =
positivo
( − ∞ + 3) ( − ∞ ) + ∞
x = + ∞ → h( + ∞ ) =
+∞
2
=






Nótese que en ambos casos
el numerador y el
denominador son infinitos,
pero el denominador es
infinitamente mayor que el
numerador, por lo que el
cociente es cero.
Hagamos algunas comprobaciones con calculadora:
− 3 ′ 0001
− 3 ′ 0001
− 3 ′ 0001
x = − 3 ′ 0001→ h( − 3 ′ 0001) =
=
=
= − 300010000
(− 3 ′ 0001+ 3)2 (− 0 ′ 0001) 2 0 ′ 00000001
x = 997 → h(997) =
997
( 997 + 3) 2
=
997
997
=
= 0 ′ 000997
1000 2 1000000
Página 39
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Ejemplo 43.Sea la función f ( x ) =
x 2 − 25
. Observamos que x = 5 no tiene imagen, ya que:
( x − 5) ⋅ ( x − 1)
52 − 25
0
f (5) =
= ∉R
( 5 − 5) ⋅ (5 − 1) 0
Veamos lo que ocurre en las proximidades de x = 5:
f ( x) =
x 2 − 25
( x + 5) ⋅ ( x − 5)
x+5
=
= ( podemos simplificar siempre y cuando x ≠ 5) =
( x − 5) ⋅ ( x − 1) ( x − 5) ⋅ ( x − 1)
x−1
Es decir, la función f (x) puede definirse del siguiente modo:
 x+ 5
si x ≠ 5

f ( x) =  x − 1
 no existe si x = 5
Veamos qué ocurre cuando x = 5+ y cuando x = 5& :
5+
+
+
x = 5 → f (5 ) = +
5
5−
−
−
x = 5 → f (5 ) = −
5
+ 5 10 +
= + ≈ 2 ′ 5 (no sabemos si 2 ′ 5+ o 2 ′ 5− )
−1 4
+ 5 10 −
=
≈ 2 ′ 5 (no sabemos si 2 ′ 5+ o 2 ′ 5− )
− 1 4−
Hagamos alguna comprobación con calculadora:






En cualquier caso,
para valores de x
infinitamente
próximos a 5 por
su derecha o
izquierda, las
imágenes están
infinitamente
próximas a 2´5.
5 ′ 001 + 5 10 ′ 001
=
= 2 ′ 499625094 ( 2 ′ 5− )
5 ′ 001 − 1 4 ′ 001
4 ′ 999 + 5 9 ′ 999
=
= 2 ′ 500375094 ( 2 ′ 5+ )
x = 4 ′ 999 → f (4 ′ 999) =
4 ′ 999 − 1 3 ′ 999
x = 5 ′ 001→ f (5 ′ 001) =






NOTA Es posible en este ejemplo determinar a simple vista que f (5+)=2´5& y f (5&)=2´5+ con
un poco de habilidad.
Ejemplo 44Sea la función f ( x ) =
a)
b)
Veamos:
a)
x+ 2
. Queremos saber:
x+1
¿Cómo se comporta la función cuando x se hace infinitamente grade positivo?
¿Cómo se comporta la función cuando x se hace infinitamente grade negativo?
Cuando x es un número infinitamente grande positivo, el numerador x + 2 y el
denominador x +1 son dos números aproximadamente iguales (cuanto mayor sea
x, “más iguales” serán x + 2 y x + 1). No obstante, el numerador será “un poco”
mayor que el denominador. Considerando este razonamiento:
x = + ∞ → f (+ ∞ ) =
+∞+2 +
=1
+∞ + 1
Página 40
Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Es decir, para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes son números
que están infinitamente próximos a 1, pero “un poco mayores que 1".
Comprobemos:
1002
= 1 ′ 000999.....
1001
10002
x = 10000 → f (10000) =
= 1′ 0000999.....
10001
x = 1000 → f (1000) =
b)
Cuando x es un número infinitamente grande negativo, el numerador x + 2 y el
denominador x + 1 son dos números negativos aproximadamente iguales (cuanto
mayor sea x, “más iguales” serán x + 2 y x + 1). No obstante, el numerador será
“un poco” mayor que el denominador (el numerador está a la derecha del
denominador). Considerando este razonamiento (teniendo en cuenta que es un
cociente entre números negativos):
x = − ∞ → f (− ∞ ) =
−∞ + 2 −
=1
−∞ + 1
Es decir, para valores de x infinitamente grandes negativos, las imágenes son
números que están infinitamente próximos a 1, pero “un poco menores que 1".
Comprobemos:
− 998
= 0 ′ 99899899.....
− 999
− 9999
= 0 ′ 9999
x = − 10001→ f ( − 10001) =
− 1000
x = − 1000 → f ( − 1000) =
Ejemplo 45Sea la función g ( x ) = e x . Queremos saber su comportamiento para valores de x
infinitamente grandes positivos y negativos.
Veamos:
x = + ∞ → g ( + ∞ ) = e +∞ = (2 ′ 71828182....)
x = − ∞ → g ( − ∞ ) = e −∞ =
Por tanto:
1
e
+∞
=
+∞
=+∞
1
(2 ′ 71828182....)
+∞
=
1
= 0+
+∞
Para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes son
infinitamente grandes positivas y para valores de x infinitamente grandes
negativos, las imágenes son números infinitamente próximos a cero, pero
positivos.
Ejemplo 46Sea la función h( x ) =
ex
. ¿Cómo se comporta cuando x = +4 y x= &4?
x
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Funciones reales de variable real
Veamos:
e +∞ (2 ′ 71828182....) +∞ + ∞
x = + ∞ → h( + ∞ ) =
=
=
=+∞
+∞
+∞
+∞
Aclaremos este caso: Tanto el numerador como el denominador son infinitamente
grandes positivos, pero el infinito del numerador es infinitamente
mayor que el del denominador. Esto hace que el cociente sea %4.
1
1
1
1
1
e −∞
e +∞
x = − ∞ → h( − ∞ ) =
=
=
=
= 0−
+∞ =
2 =
−∞
−∞
−∞ ⋅ ∞ −∞
−∞
−∞ ⋅ e
Cuando x toma valores infinitamente grandes negativos, las imágenes están infinitamente
próximas a 0 por su izquierda.
Hagamos alguna comprobación:
e100
x = 100 → h (100) =
= 2 ′ 688117142 ⋅ 10 41
100
e −100
x = − 100 → h ( − 100) =
= − 3 ′ 720075976 ⋅ 10 −46
− 100


 con calculadora


Debe entenderse que el primer número es “infinitamente grande positivo” y el segundo
es un número negativo “infinitamente próximo a cero”
12. Formas explícita e implícita de la expresión de una función.Hemos visto que una función viene determinada por una expresión y = f (x), en la que
“x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente (su valor depende de x).
La forma de expresión “y = f (x)”, es decir, la variable dependiente “y” está despejada y
“a un lado de la igualdad” mientras que la variable independiente “x” está “al otro lado”, se
llama forma explícita de la función f (x). Si expresamos ambas variables a un “lado” e
igualamos a cero, es decir, f (x , y) = 0, tendríamos la expresión en forma implícita.
En algunos casos es posible pasar de una forma a otra, pero hay funciones en las que
pasar de forma implícita a forma explícita (esto es, despejar la variable “y”) puede resultar
complicado e incluso que la función no pueda expresarse en forma explícita.
Ejemplo 47La función
y = 53 x + 21
está expresada en forma explícita (la variable dependiente está
despejada). Vamos a expresarla en forma implícita:
5
1
y= x+
forma explicita
3
2
6 y = 10 x + 3
10 x − 6 y + 3 = 0 forma implicita
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 42
Funciones reales de variable real
Ejemplo 48.La siguiente función
x e2 y
− 1= 0 está expresada en forma implícita. Queremos
x +1
pasarla a forma explícita.
Veamos:
Se trata de despejar la variable dependiente y :
x e2 y
x +1
= 1 ; x e2 y = x + 1 ; e2 y =
x +1
x
tomamos logaritmos neperianos:
x +1
; 2 y ⋅ Le = L( x + 1) − Lx ; 2 y ⋅ 1 = L( x + 1) − Lx
x
L( x + 1) − Lx
& en forma explicita.
Despejando : y =
expresion
2
L e2 y = L
13. Clasificación de las funciones.Hemos visto que una función real de variable real es una correspondencia entre números
reales que es también una aplicación de ú (o un subconjunto de ú) en ú. Una función viene
determinada por una fórmula que expresa esa relación. Según el “aspecto” de esa fórmula, las
funciones se clasifican del siguiente modo:


 Enteras o polinomicas
Racionales



A
lg
ebraicas

 Fraccionarias

 Irracionales


Funciones 
 Trigonometricas

 Trascendentes  Exponenciales

 Logaritmicas


Funciones algebraicas: Son aquellas en las que la variable x está afectada por las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación de exponente
racional.
Funciones racionales enteras o polinómicas:
Tienen forma de polinomio. Su
aspecto es:
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 +⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ an−1 x n−1 + an x n
siendo a0 , a1 , a2 ,...., an−1 , an ∈R y n ∈ N
Funciones racionales fraccionarias: Son cociente de dos funciones polinómicas.
Su aspecto es:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 43
Funciones reales de variable real
a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 +⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ an −1 x n −1 + an x n
f ( x) =
b0 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3 +⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ bk −1 x k −1 + a k x k
Nótese que el grado del polinomio numerador (n) y el del denominador (k) no
tienen por qué ser iguales.
Funciones irracionales : Cuando la variable independiente aparece bajo el signo radical
o elevada a exponente racional no entero.
Funciones trascendentes :
Cuando no son algebraicas.
Ejemplo 493
3
f
Veamos algunas funciones concretas que identificamos según la clasificación anterior:
( x ) = −2 es una función polinómica de grado 0 (función algebraica racional)
g ( x ) = 23 x − 2
es una función polinómica de grado 1 (función algebraica racional)
3 h( x ) = 3 5 x 2 − x + π es una función polinómica de grado 2 (función algebraica racional)
4
x 3 − 5x 2 + 76
es una función racional fraccionaria ( algebraica racional).
r ( x) =
−2 x 4 + 5 x − e
;
s( x ) = 7 x 3 + x 2 − 3x + 1 es una función algebraica irracional.
; q( x) =
S
2 x − 3 3x
es una función algebraica irracional.
1 + 15 x
m( x ) =
2 sen x − tg x
es una función trascendente trigonométrica.
1 + cos x
5 x +1
S u( x ) = e
es una función trascendente exponencial.
(
S v( x) = L x 3 + x
R w( x ) =
)
es una función trascendente logarítmica.
Lx + x + 1
es una función que se obtiene al operar funciones de distintos tipos
x ⋅ 3x