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Universidad Nacional de Río Cuarto
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
INGRESO 2010
AREA MATEMÁTICA
AUTORES DEL MATERIAL
PATRICIA BARBERIS
CLAUDIA DENNER
MARIA HERRERA
ELSA MOSCHETTI
ANA ROSSO
NORA ZON
Departamento de Matemática
Facultad de Ciencias Exactas Físico Química y Naturales
Departamento de Matemática
A LOS ESTUDIANTES
Estas notas para el Curso de Ingreso se hicieron usando material ya existente con el
agregado de nuevos aportes a sugerencia de distintos profesores que trabajan en materias
de primer año de las carreras de nuestra Facultad.
Los conceptos que aquí se introducen, en su gran mayoría, ya los has estudiado en la
escuela de nivel Medio, son herramientas que deben ser manejadas con soltura por todas
aquellas personas que se acerquen a estudiar algunas de las carreras de esta Facultad,
hemos elaborado este compendio para facilitar el estudio.
IMPORTANTE PARA TU PREPARACIÓN COMO INGRESANTE
Te recomendamos que repases a conciencia los temas que están en este material y que
trabajes con todo detalle las actividades. Las dudas que te vayan surgiendo tanto de la
lectura del material como de la resolución de los ejercicios, es conveniente que las anotes
para que durante el desarrollo de las Actividades presenciales del Curso de Ingreso las
puedas consultar y sean trabajadas en forma conjunta con el docente y los demás
compañeros.
Aquí te transcribimos la opinión del Dr. Cristian Sánchez, profesor de la Universidad
Nacional de Córdoba. FAMAF, quien ha escrito
Estudiar Matemática es una actividad a la que, en general, (siempre hay excepciones)
los ingresantes no están acostumbrados.
En la escuela ocurren dos posibilidades con los estudiantes:
a) La Matemática les resulta fácil.
b) La Matemática les resulta odiosa.
En el caso (a) no se estudia porque no hace falta y en el caso (b) no se estudia por
miles de razones. El resultado es similar en ambos casos.
Así las cosas, lo primero que debemos aprender no es la Matemática sino a estudiarla
y ese debiera ser el objetivo número uno durante este cursillo y tal vez extenderse
mucho más allá.
Por supuesto hay tantas maneras de estudiar como de bañarse y a nadie le gusta que
le digan que hay que jabonar primero. Sin embargo mi escasa experiencia me indica
que hay al menos dos reglas de oro (o de hierro) que quiero compartir con ustedes.
I) Nadie maneja un tema a menos que sea capaz de explicárselo a otra persona.
Esta regla es sumamente útil como herramienta para evaluar nuestro conocimiento.
La segunda regla está muy relacionada con la primera y es muy importante si uno
estudia solo.
II) El tiempo de escritura debe ser por lo menos el doble del de lectura.
Ésta es crucial pues al escribir uno siempre piensa que esto será leído (al menos por
uno mismo) y entonces debe entender y explicar los pasos del razonamiento sin
aceptar ninguno hasta tenerlo claro.
Estas sencillas (o triviales) ideas nos hacen vislumbrar que el tiempo necesario para
esta actividad debe ser abundante y la concentración y dedicación necesaria también.
Por suerte frente a la Matemática todos somos iguales y todos estamos como el David
de Miguel Ángel. El avanzar con éxito depende sólo de nosotros y es un desafío
apasionante.
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Sólo me resta decir que estudiar Matemática, Astronomía, Física o Computación es
una formidable aventura en más de un sentido y para lograrlo son necesarias cinco
cosas:
paciencia, perseverancia, paciencia, entusiasmo y paciencia.
Cristián U. Sánchez
Que tengan el mayor de los éxitos en la carrera que están iniciando.
Río Cuarto, octubre de 2009.
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PARTE I
LENGUAJES MATEMÁTICOS - CONJUNTOS NUMÉRICOS
En este módulo recordamos distintos lenguajes que se utilizan en diferentes situaciones
matemáticas. Luego te encontrarás con los ya conocidos conjuntos numéricos y sus
propiedades. También repasamos algunos sistemas de medición, sus relaciones y la
notación científica con la que seguramente has trabajado en asignaturas como Física,
Química y Biología.
1. LENGUAJES MATEMÁTICOS
En Matemática se emplean distintos lenguajes tales como:
Coloquial, es el que se utiliza para expresar una idea en forma oral o escrita.
Simbólico, es el que permite expresar con símbolos, en forma precisa las ideas
dadas en lenguaje coloquial. Tiene la ventaja de ser sintético y claro para las
demostraciones y razonamientos.
Gráfico, es el que ayuda a aclarar e interpretar algunos conceptos y situaciones.
Con el fin de ejemplificar los lenguajes utilizados en Matemática recordemos que,
cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. Un conjunto está
formado por objetos, que se llaman elementos.
En el contexto de la Matemática, el término conjunto no tiene una definición, sino que es
un concepto primitivo, se llama así por ser el origen de todos los demás conceptos que se
generan a partir de él. En esta parte, nuestro objetivo es estudiar aquellos conjuntos que
están relacionados con el campo de la Matemática, en particular los conjuntos numéricos.
Algunos conjuntos, dados en lenguaje coloquial son:
El conjunto de los números enteros.
El conjunto de los números naturales mayores que 6 y menores que 10.
El conjunto de los números enteros positivos y múltiplos de 3.
Cuando usamos el lenguaje simbólico, utilizamos letras mayúsculas para designar
los conjuntos y letras minúsculas para designar los elementos. Para simbolizar cuando un
objeto es elemento de un conjunto:
se escribe
a A
y se lee
"a pertenece a A" o "a es un elemento de A".
Para simbolizar cuando un objeto no es elemento de un conjunto
se escribe
aA
y se lee
"a no pertenece a A" o "a no es un elemento de A".
Los símbolos N, Z, Q y IR servirán para denotar los siguientes conjuntos:
: el conjunto de los números naturales
Z: el conjunto de los números enteros
Q: el conjunto de los números racionales
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IR: el conjunto de los números reales
Definir un conjunto es describir de manera precisa, sin ambigüedades, cuáles son
sus elementos. Existen distintas maneras de definir un conjunto. La forma más simple es
por extensión o enumeración, es decir, listando todos los elementos del conjunto
separándolos por comas y encerrando todo entre llaves. Otra forma de describir un
conjunto es por comprensión, es decir enunciando una propiedad que cumplen sólo los
elementos que lo forman.
Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío, se lo denota con el símbolo o
.
Ejemplo 1: Definimos los siguientes conjuntos por extensión y por comprensión
a) A lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo
A x / x es un día de la semana
B 1, 3 , 5, 7, 9
b)
B x / x N, x es impar y 1 x 9
c) C 1, 2, 3 ,4, 5, ..., n,...
C x / x N
Comentarios
El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los
elementos que están repetidos se nombran una sola vez.
En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran algunos y se usan
los puntos suspensivos (…) para sugerir los elementos faltantes. Sin embargo esta
forma de nombrarlos es a veces ambigua, ya que no puede saberse con anticipación
los elementos que son omitidos. Por ejemplo, dado el siguiente conjunto,
B 3, 5, 7, ,, B podría ser el conjunto de los números impares, o podría ser el
conjunto de los números primos mayores que 2.
Ejemplo 2: En cada uno de los siguientes incisos se escribe en lenguaje simbólico los
conjuntos dados en lenguaje coloquial.
a) El conjunto formado por todos los números naturales impares, mayores o
iguales que 3.
En lenguaje simbólico es: B x / x N, x 2n 1 x 3
El conjunto B tiene infinitos de elementos, entonces no se puede definir por
extensión.
b) El conjunto formado por los números naturales, comprendidos entre 2 y 26
incluyendo el 2 y 26 y que son potencias de 2.
En lenguaje simbólico es: C x / x N, x 2 n , n 1,2,...,6
El conjunto C es finito, entonces también lo podemos definir por extensión, esto es
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C 2, 4, 8, 16 , 32, 64
c) El conjunto formado por los números naturales que sean pares e impares a la vez.
Este conjunto no tiene elementos y se simboliza
A x N / x 2n y x 2n 1 , n N
d) El conjunto de los números reales menores que cero y mayores que cero.
En símbolos: B x IR / x 0 y x 0
En los ejemplos dados anteriormente se ha usado el lenguaje coloquial y el lenguaje
simbólico. Ahora haremos referencia al uso del lenguaje gráfico de conjuntos. Este
lenguaje es de suma importancia en la Matemática ya que la gráfica de una situación ayuda
a la comprensión del problema.
Los conjuntos se representan gráficamente usando diagramas de Venn. En este tipo
de diagramas un conjunto se representa con una curva cerrada, y sus elementos con puntos
en el interior. Por ejemplo, al conjunto A 1, 2, 3 lo podemos representar con
diagramas de Venn así:
A
.1
.3
.2
Cuando trabajamos con conjuntos, es necesario el uso de frases tales como:
“para todo x del conjunto S…” o bien “existe un elemento x de S, tal que…”.
Estas expresiones se pueden escribir en símbolos de la siguiente manera:
x S , tal que….
x S , tal que….
Los símbolos , se denominan cuantificadores.
Ejemplo 3:
a) Si decimos
“Todos los números naturales son positivos”
Es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos los números
naturales. Otra expresión de esta proposición es:
“Cualquier número natural es positivo”
En lenguaje simbólico ambas expresiones coloquiales se expresan:
x , x es positivo
b) Si decimos
"Existe un número entero que es impar"
Este enunciado, también puede expresarse como:
"Hay al menos un número entero que es impar"
Que en símbolos ambas expresiones se simbolizan como: x Z, x es impar.
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Un problema de interés es la negación de los cuantificadores. Por ejemplo, dada la
siguiente expresión coloquial:
"Todo número entero es impar"
que en símbolos se escribe x Z , x es impar
En lenguaje coloquial su negación se expresa como:
“No todos los números enteros son impares”
También podemos decir:
“Existen enteros que no son impares”
Ambas expresiones se traducen en símbolos así: x Z, x no es impar
Ejemplo 4: Analicemos los distintos cambios de lenguaje en las siguientes situaciones
a)
Lenguaje simbólico
5x+1
5(x + 1)
4 (3x+1)
Lenguaje coloquial
quíntuple de un número más uno
quíntuple de, un número más uno
cuádruple de la suma entre el triple de un
número y uno
b)
Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
El cuadrado de la suma entre a y b
(a + b)2
El duplo del cuadrado de un número
2x2 +5
aumentado en 5.
La suma de dos números pares
2n + (2n+2)
consecutivos
¿Cómo se puede decidir si un enunciado matemático es verdadero o falso?, ¿cómo es
posible explicar la decisión tomada?
En algunos casos la tarea es sencilla, por ejemplo, dado el enunciado
6 es un número par
para decidir cual es su valor de verdad basta con recordar propiedades de los números
naturales pares como:
Los números naturales pares al dividirlos por 2 dan resto cero.
Un número natural par es un múltiplo de 2.
Por lo tanto, como al dividir 6 por 2 se obtiene cociente 3 y resto cero y además 6 es
múltiplo de 2 ya que 6 = 2.3, es posible concluir que el enunciado es verdadero y las
propiedades utilizadas justifican la decisión tomada.
Podemos proceder de manera similar para determinar el valor de verdad de:
3 es un número par
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En este caso, como el resto que se obtiene al dividir 3 por 2 es 1, se concluye que el
enunciado es falso.
Sin embargo, en Matemática se trabaja también con enunciados como:
1.2.3.4.-
x IR tal que x 2 1 0
x IR tal que 2 x 2 x 1
x IR , x 2 0
x IR , x 2 5
¿Cómo trabajar en estos casos?
1.- Para determinar si la proposición es verdadera debemos encontrar algún número
real que verifique la igualdad x 2 1 0 o equivalentemente x 2 1 , como no
hay ningún número real que elevado al cuadrado dé por resultado un número
negativo no existen valores que verifiquen la ecuación dada. Se puede concluir,
entonces, que el valor de verdad del enunciado es falso.
2.- Nuevamente, para determinar el valor de verdad, se debe determinar si existe algún
número real que verifique la igualdad 2 x 2 x 1 o equivalentemente
2 x 2 x 1 0 . Si se resuelve la ecuación 2 x 2 x 1 0 se obtienen dos
1
soluciones x y x 1 . ¿Cuál es entonces el valor de verdad del enunciado?
2
3.- Para decidir si la desigualdad x 2 0 se cumple para todo número real, se puede
analizar los posibles signos de x en el producto x. x ; si x es positivo, el producto
resultará positivo y si x es negativo, el producto también resultará positivo,
además, si x=0 resulta también que x 2 = 0, luego cualquiera sea x se verifica la
desigualdad y por lo tanto el valor de verdad del enunciado es verdadero.
4.- Para verificar si la desigualdad x 2 5 se cumple para todo número real,
debemos resolver la inecuación x 2 5 , despejando resulta x 3 . ¿Qué significa
este resultado?, ¿cuál es el valor de verdad del enunciado? En este caso es posible
determinar el valor de verdad sin necesidad de resolver la inecuación x 2 5 ,
notemos que si se reemplaza x por 4 la desigualdad no se verifica y por lo tanto el
enunciado que estamos analizando resulta falso, el número 4 recibe el nombre de
contraejemplo, es decir un ejemplo que muestra que el enunciado no es verdadero
La tarea de determinación y justificación del valor de verdad de los enunciados
matemáticos es muy importante y requiere tanto de la lectura cuidadosa del enunciado
como del manejo de propiedades.
2. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Todos sabemos que los Números Naturales () adquieren distintos significados en
función de los contextos en que son presentados; por ejemplo se utilizan para contar,
cuando contamos los alumnos que hoy asistieron a clase, o para establecer un orden,
cuando decimos que Japón es la cuarta potencia mundial. También en el mundo actual
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están presentes a través de la “tecla” o “botón” cuando se los usa como indicadores de
acciones. Como este conjunto está en las acciones cotidianas y además es importante para
la labor matemática haremos un repaso de sus propiedades.
Algunas propiedades del conjunto de números naturales:
Tiene primer elemento, el cual es el 1. No tiene último elemento.
Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se llaman
consecutivos.
Es un conjunto infinito.
Todo número excepto el primero (uno) tiene antecesor.
Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural. A cada
conjunto que tiene esta propiedad se lo llama conjunto discreto.
Su representación en la recta es
1
2
3
4
Los números naturales no alcanzan para resolver todas las situaciones que hacen
referencia a cantidades. Así por ejemplo, si hay que indicar con un número que Aristóteles
nació 384 años antes de Cristo, se escribe -384 o si queremos hallar el número que sumado
a 6 sea igual a 4, la respuesta es -2. Ambas situaciones dan resultados que no pertenecen al
conjunto de los números naturales. Definimos así un nuevo conjunto formado por los
números naturales, 1, 2, 3, , sus opuestos, ,3, 2, 1 , y el cero. Este conjunto es el
de los Números Enteros (Z). Y su representación en la recta es:
-2
-1
0
1
2
Detallamos a continuación algunas propiedades del conjunto de los números enteros
Todos los números enteros tienen un único antecesor y un único sucesor.
Es un conjunto infinito que no tiene ni primer ni último elemento.
Es un conjunto discreto.
Se puede observar que si se suman, restan y multiplican dos números enteros se
obtiene un número entero, lo cual se expresa diciendo que el conjunto de los
números enteros es cerrado para la suma, la resta y el producto. Los números
naturales ¿serán cerrados con respecto a estas operaciones?
Dos relaciones importantes en este conjunto son:
Una relación de orden, que indicaremos con , de la siguiente manera:
a < b si y solo si a - b es un número negativo
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Una relación de divisibilidad con la cual construimos un nuevo objeto de estudio
matemático denominado: Teoría de Números Enteros o Aritmética. Su punto de
partida es la siguiente definición
Si a y b son dos números enteros, diremos que “a divide a b”
si y sólo si existe un número entero c tal que b a c
En tal caso, utilizaremos la notación ab.
A menudo nos referiremos a la situación anterior empleando las expresiones
alternativas “a es divisor o factor de b” o “b es un múltiplo de a”. Observemos
además que en la relación anterior los roles de a y c son idénticos, por lo que
también se dice que c es un divisor de b Por ejemplo, 15 es un divisor de 135 pues
135 15 9 ; por otro lado se puede decir que 135 es un múltiplo de 15 y es un
múltiplo de 9.
Usando estos conceptos intenta responder
a) ¿El producto de dos múltiplos de 5 es un múltiplo de 5 ?
b) ¿Por qué 44 55 77 es múltiplo de 11?
c) ¿El resultado de sumar dos múltiplos de 5 es siempre un múltiplo de 10 ?
¿Qué condiciones deben cumplir dos múltiplos de 5 para que su suma sea
múltiplo de 10 ?
Si bien ampliamos el conjunto original de los números naturales, N, al conjunto de
los números enteros, Z, éstos no son suficientes para dar respuesta a situaciones como la
siguiente:
Hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2
¿Estás de acuerdo que la respuesta no es un número entero?
Para obtener el resultado debemos hallar un número “ n ” tal que 5 n 2 , entonces
la solución es n = 2/5, así el valor de n es una fracción la cual no pertenece al conjunto de
los números enteros (Z).
Este tipo de números también aparecen cuando medimos longitudes, capacidades,
volúmenes, áreas, tiempos, etc, utilizando una unidad de medida. Cuando medimos
establecemos cuántas veces cabe la unidad en aquello que queremos medir. Pero sea cual
fuera esa unidad, no siempre ésta cabe una cantidad entera de veces, y debemos
fraccionarla.
Las fracciones se representan como cocientes entre dos números enteros, llamados
numerador y denominador respectivamente, siendo el denominador distinto de 0 (para que
el cociente este definido).
Las fracciones irreducibles son aquellas cuyos elementos no tienen divisores en
común, es decir, el numerador y denominador no son ambos divisibles por un mismo
número entero, excepto 1 y −1. Por ejemplo 1 / 3 , 10/ 9 el numerador no es múltiplo del
denominador o viceversa. Las fracciones irreducibles tienen la propiedad que toda fracción
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equivalente a ella se obtiene multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador
por un mismo entero no nulo.
10
es una fracción irreducible y algunas de sus fracciones
9
10
(20)
30
equivalentes son:
.
(9)
18
27
Por ejemplo
Recuerda: todas las fracciones equivalentes representan el mismo número.
Resumiendo: el conjunto de los Números Racionales (Q) está formado por expresiones de
a
la forma
, con a, b Z , b 0 . Además, observa que todo número entero es un número
b
m
m
Q .
racional, o sea si m Z entonces m
y
1
1
La representación de estos números en la recta real es:
-
1
0
1
4
4
2
4
3
4
4 1
4
Repasemos ahora algunas características del conjunto de los números racionales:
No tiene ni primer ni último elemento.
El conjunto de los racionales es infinito.
No se puede hablar del sucesor de un número racional porque entre dos números
racionales siempre hay otro número racional. De esta propiedad se deduce que:
“Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales”.
El conjunto de los números racionales conserva la propiedad de ser cerrado para las
operaciones de suma, resta, multiplicación y división. La única operación no
permitida es la división por cero.
Relación entre expresiones fraccionarias y decimales
Recordemos ahora la relación que existe entre las expresiones fraccionarias y las
expresiones decimales. Sabemos que siempre es posible expresar a los números racionales
en notación decimal; distinguimos dos casos:
Las fracciones equivalentes a una fracción con denominador 1, 10, 100 u otra
potencia de 10 tienen una expresión decimal finita, y se denominan fracciones
decimales o números decimales exactos.
1
7
28
0,5 ;
0,28 .
Por ejemplo,
2
25 100
Las fracciones que no son equivalentes a una expresión cuyo denominador es
potencia de 10 tienen una expresión decimal infinita periódica. Esto significa que en la
parte decimal existe una secuencia de uno o más números que se repite
indefinidamente. A dicha secuencia se la denomina período. Estos números se llaman
números decimales periódicos.
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0,33333 0,3 y su período es 3.
3
3549
13
0,1313 0,13 ;
3,58484 3,5 84 .
Otros ejemplos:
99
990
Por ejemplo,
Esto nos lleva a la siguiente conclusión:
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto o como un
número decimal periódico.
a
, si realizamos la división de a por b
b
obtenemos la expresión decimal de dicho número racional.
Ahora bien, dada la expresión decimal, ¿podremos encontrar siempre una fracción
que la represente? En estas circunstancias debemos analizar dos casos.
Además, sabemos que dada una fracción
Si el número es decimal exacto es fácil encontrar su expresión fraccionaria
equivalente.
5 1
154 77
13
0,5
Ejemplos
; 1,54
; 1,3
10 2
100 50
10
Si el número es decimal periódico procedemos de la siguiente manera:
Sea el número x = 0,315315315..... para encontrar su expresión fraccionaria
multiplicamos a x por una potencia de 10 de manera que un período sea entero, es
decir, quede delante de la coma. Para el ejemplo dado 1000 . x = 315,315315315….
Restando miembro a miembro las siguientes igualdades:
1000 . x = 315,315315315…
_
x = 0,315315315…
999 . x = 315
315
. Esta es la fracción que representa la
999
expresión decimal dada. Notar que cuando tenemos la expresión decimal
3 1
x 0,3333 0,3 , la podemos transformar en
x , ambas expresiones
9 3
representan al mismo valor. Para hacer cálculos con expresiones periódicas se utiliza
una aproximación, es decir se consideran sólo algunos decimales del valor exacto, por
ejemplo x 0,3333 0,3 .
Despejando el valor de x resulta x
Analicemos ahora la siguiente situación, se desea determinar
La longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a uno
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Aplicando el Teorema de Pitágoras, la diagonal de un cuadrado de lado 1 es un
número x tal que
x 2 12 12 2 , de donde x 2 ,
como buscamos una longitud nos quedamos con x 2 .
Por otro lado sabemos que 2 1,41421356237310 . No es difícil probar que
este número no puede ser representado como el cociente de dos números enteros, por lo
tanto no es un número racional.
Podemos así construir un nuevo conjunto numérico a partir de expresiones
decimales infinitas no periódicas, llamado Números Irracionales (I).
El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales es el
conjunto de los Números Reales (IR).
En el siguiente Diagrama de Venn se muestran las relaciones entre los distintos
conjuntos de números.
IR
I
I
Q
Z
N
A partir de este esquema podemos introducir algunos conceptos tales como:
El conjunto que contiene todos aquellos elementos posibles dentro de la temática
que se está tratando se llama Conjunto Universal. En general es denotado por U . En
los conjuntos de números considerados, el conjunto universal es el conjunto de los
números reales, o sea U IR.
Dados A y B dos conjuntos de U, se dice que el conjunto A es un subconjunto B si
y sólo sí todo elemento de A es también elemento de B, esta relación se denomina
Inclusión. Lo denotamos con A B . Expresado en símbolos resulta:
A B x A x B
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En el esquema anterior podemos establecer las siguientes relaciones entre conjuntos,
N Z , Z Q , Q IR y I IR .
Dados A y B dos conjuntos de U, la unión de A con B, es el conjunto cuyos
elementos pertenecen a A o pertenecen a B, y la denotamos como A B , en símbolos
escribimos:
A B x U / x A x B
Con esta operación entre conjuntos podemos definir a los números reales como
IR Q I .
Dados A un conjunto de U, el complemento del conjunto A , es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a U y que no pertenecen a A . Lo
denotamos por A C . La definición en símbolos es:
AC x U / x A
En el caso de los conjuntos numéricos, hemos considerado U IR, luego se verifica
que IC= Q y QC = I.
Dados A y B dos conjuntos de U, la intersección de A y B , es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B
simultáneamente. A esta operación la denotamos como A B . En símbolos resulta:
A B x U / x A x B
Observamos que Z N = Z , Z N = N y Q I = .
Propiedades de las Operaciones entre los números reales
A continuación recordemos algunas propiedades de las operaciones entre números
reales (suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación).
Propiedad Conmutativa
De la suma: a b b a, a, b IR.
Del producto: a.b b.a, a , b IR.
Recordemos que , puede leerse para cualquier a o para todo a.
Propiedad Asociativa
De la suma: (a b) c a (b c), a ,b , c IR.
Del producto: (a.b).c a.(b.c), a ,b , c IR.
Existencia de inverso
De la suma: x IR, x IR / x x 0 inverso aditivo, al número cero se
lo llama elemento neutro de la suma.
1
1
IR / x. 1 inverso multiplicativo, al
Del producto: x IR, x 0
x
x
número uno se lo llama elemento neutro del producto.
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Propiedad Distributiva
Del producto con respecto a la suma: a.(b c) a.b a.c, a ,b , c IR.
Del producto con respecto a la resta: a.(b c) a.b a.c, a ,b , c IR.
De la potencia con respecto al producto: (a.b) n a n .b n , a , b IR, n N.
n
an
a
De la potencia con respecto a la división:
, a , b IR, con b 0 ,
b
bn
n N.
De la radicación con respecto al producto:
Si n N y n es impar, entonces n a.b n a .n b
n
Si n N y n es par, entonces
a.b n a .n b
a , b IR .
a , b IR 0 .
De la radicación con respecto a la división:
a na
Si n N y n es impar, entonces n
a , b IR b 0 .
b nb
a na
Si n N y n es par, entonces n
a , b IR a 0, b 0 .
b nb
Recuerda la siguiente equivalencia, útil a la hora de operar
m
an
n a m a IR 0 , m, n IN.
Propiedad del producto y cociente de potencias de igual base:
a n .a m a n m a IR y m, n N.
an
a n m a IR, con a 0 y, m, n N.
am
Te sugerimos que pruebes esta última propiedad, recordando para ello que
1
a n n a IR con a 0 y n N.
a
Propiedad de potencia de potencia:
a
m n
a m.n a IR y m, n N.
Pero… ¿qué sucede con el 0 y con el 1 en la suma, el producto y la potencia
respectivamente?
a 0 0 a a, a IR.
a.1 1.a a , a IR.
a1 a , a IR .
a 0 1 , a IR, a 0 .
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1a 1 , a IR.
0a 0 , a 0 , a IR. ¿Por qué a debe ser a positivo?
a, b IR, se verifica: a b 0 si y sólo si a 0 o b 0 .
Además, recordemos algunas propiedades donde los números 0 y 1 juegan un rol
importante ya sea por ser el resultado de cierta operación o por la atención que hay que
poner cuando se opera con ellos.
Todo número real multiplicado por 0 (cero) da como resultado 0.
Todo número real dividido por la unidad (1) da por resultado el mismo número.
La raíz de cualquier índice del número 0 es cero.
La raíz de cualquier índice del número 1 es uno.
Te proponemos que escribas las cuatro últimas propiedades en lenguaje simbólico o
matemático.
Algunas otras propiedades
Es importante notar que la potenciación y la radicación no son distributivas con
respecto a la suma y la resta.
Por ejemplo:
3 52 32 5 2 ya que 3 52 8 2 64 34 32 5 2 9 25 .
3 53 33 53 .
Verifícalo.
Repasemos las siguientes identidades.
Diferencia de cuadrados: La diferencia entre los cuadrados de dos números es
igual al producto entre la diferencia y la suma de estos números.
Así por ejemplo 32 5 2 3 53 5 ; 8212 820 2 821 820821 820
En general a 2 b 2 a ba b .
Cuadrado de un binomio: El cuadrado de una suma de dos números es igual al
cuadrado del primer término. más el doble producto del primero por el segundo más el
cuadrado del segundo término. En símbolos escribimos:
a b2 a 2 2ab b 2
o
a b2 a 2 2ab b 2
Por ejemplo:
a) 2 52 2 2 2 2 5 52 .
b) 3 52 3 52 32 2 3 5 52 32 2 3 5 52 .
Estas identidades surgen fácilmente aplicando la propiedad distributiva del
producto con respecto a la suma y a la resta, y suelen ser muy útiles a la hora de realizar
ciertos cálculos.
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Ejemplo 5: Con la siguiente situación queremos mostrar la importancia del uso de las
propiedades para simplificar un cálculo hasta obtener una expresión más simple o reducida
conservando su valor.
3 2 5(32)
1
2
9 50 3 2 5 32 9 50
3 2 5 25 9 522
3 2 5 24.2 9 522
3 2 5 24 2 9 52 2
3 2 5.22. 2 9.5 2
3 2 20. 2 45 2
(3 20 45) 2
(62) 2
¿Es posible obtener un resultado exacto usando la calculadora? Justifica tu respuesta.
Racionalización de denominadores: Es el procedimiento que nos permite escribir
expresiones equivalentes sin utilizar raíces en el denominador. Consideremos dos casos:
El denominador sea un único término con raíz de la forma n a p , en cuyo caso se
multiplica numerador y denominador por la misma raíz de índice n, la misma base
a y un nuevo exponente m tal que m + p = n
Ejemplo 6: Dada la expresión
2 3
5
3. x
2 3
3 5 x2
2 3
3 5 x2
5
x3
5
x3
2
, x 0 racionalizamos de la siguiente forma:
2 3 5 x3
3 5 x5
2 3 5 x3
3x
El denominador tenga un binomio, donde uno o los dos términos son raíces
cuadradas, en cuyo caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado
del denominador con el fin de que surja una diferencia de cuadrados.
Recordemos que si a y b son números reales se dice que el conjugado de (a + b) es
(a – b).
Ejemplo 7:
3
1 3
1
3
1 3 3 3 2
3 1 3 12 3 2
3 3
3 3 3 3
1 3
2
2
Relación de Orden
La relación de orden definida para los números enteros y/o racionales, también es
válida para los números reales. Recordemos la definición:
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a < b sí y sólo sí a - b es un número negativo
Propiedades de la relación de orden
Si a , b IR, se cumple una y sólo una de las tres afirmaciones siguientes:
a b, a b , a b ,
Si a b entonces a c b c .
Si a b y c > 0 entonces ac bc .
Si a b y c < 0 entonces ac bc .
Para la resolución de los ejercicios es importante que tengas en cuenta el
significado de las propiedades mencionadas. Observa que cuando se suma un número
cualquiera o multiplicas por un número positivo a ambos miembros de una desigualdad, la
misma no varía. Mientras que si se multiplica por un número negativo, la desigualdad se
invierte.
Ejemplo 8:
2 15 2 7 15 7
2 15 2.7 15.7
2 15 2. 7 15. 7
INTERVALOS
Entre los conjuntos de números que usaremos más a menudo se encuentran los
Intervalos. En forma general los podemos definir como un subconjunto de los números
reales. Existen distintos tipos de intervalos, como se muestra a continuación:
Consideremos dos números reales fijos a y b, con a < b. Se llama intervalo abierto de
extremos a y b al conjunto de los números reales x que están entre a y b, sin tener en
cuenta los extremos. Se lo denota como (a,b).
Los números reales x del intervalo abierto (a,b) son aquellos para los que a < x < b.
Usando la notación de conjuntos queda
( a,b ) x IR : a x b .
Esta igualdad se lee: el intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de los
números reales x tales que x es mayor que a y menor que b.
Gráficamente se lo representa en la recta numérica ó recta real de la siguiente forma:
(
)
a
b
Si a = b entonces (a,b) = (a,a), luego el intervalo no tiene ningún elemento o sea
(a,b)=Ø.
Un intervalo cerrado de extremos a y b, es el conjunto de los números reales x que
están entre a y b, incluyendo los extremos. Lo denotamos como [a,b].
Los números reales x del intervalo cerrado [a,b] son aquellos para los que a x b.
Usando la notación de conjuntos es:
a,b x IR : a x b
Esta igualdad se lee: el intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de los
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números reales x tales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la siguiente forma:
[
]
a
b
Si a = b entonces [a,b] tiene un sólo elemento y se escribe [a,b] = {a} = {b}.
La diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado es que el primero no
contiene los valores extremos y el segundo si.
Además de intervalos abiertos y cerrados podemos considerar los intervalos semi-abiertos.
Se llama intervalo abierto a la derecha de extremos a y b al conjunto de los números
reales x tales que a x b y se escribe [a, b) . Es decir
[a, b) x IR : a x b.
Se lee: el intervalo abierto a la derecha de extremos a y b es el conjunto de los
números reales x tales que son mayores o iguales que a y menores que b. Gráficamente
se lo representa en la recta numérica de la siguiente forma:
[
)
a
b
Se llama intervalo abierto a la izquierda de extremos a y b al conjunto de los
números reales x tales que a x b y se escribe (a, b] . Es decir,
(a, b] x IR : a x b.
Se lee: el intervalo abierto a la izquierda de extremos a y b es el conjunto de los
números reales x tales que son mayores que a y menores o iguales que b. Gráficamente
se lo representa en la recta numérica de la siguiente forma:
(
]
a
b
Ejemplo 9: Analicemos los siguientes intervalos, la forma de expresarlos y su
representación gráfica en la recta real.
a) Al conjunto B x IR : 3 x 3 podemos escribirlo como B 3, 3 y lo
representamos:
(
-3
)
3
0
b) Al conjunto C x IR : 4 x 3 lo escribimos como C 4,3 y lo
representamos de la siguiente manera.
[
]
-4
3
0
c) Si E x IR : 3 x 3 entonces E 3,3 y lo representamos:
(
-3
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]
0
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¿Los siguientes conjuntos son Intervalos?
F x IR : x a, a IR
H x IR : x a, a IR
G x IR : x a, a IR
K x IR : x a, a IR
Sí, también son intervalos, a los que llamaremos Intervalos Infinitos, luego
F x IR : x a x IR : a x (a,) y su representación gráfica es:
(
a
El símbolo + ∞ se lee “mas infinito” y - se lee “menos infinito”. No son números,
son solamente símbolos convencionales para indicar que se consideran todos los números
hacia la derecha (o hacia la izquierda) de un punto fijo a .
Intenta escribir y representar gráficamente en la recta real los demás conjuntos dados en el
párrafo anterior.
Un conjunto de números reales no necesita ser obligatoriamente un intervalo. Por
ejemplo, si consideramos el conjunto de los números naturales, se ve que tiene infinitos
elementos aislados y no es un intervalo. Dentro de los subconjuntos de la recta hay gran
variedad de posibilidades, conjuntos con un número finito de puntos, combinaciones de
intervalos, etc. A continuación mostramos intervalos infinitos y sus distintas
representaciones
a) E x IR : x 3 podemos escribirlo como E , 3 y representarlo
]
-3
0
3
b) G x IR : 3 x podemos escribirlo como G 3, y representarlo
(
-3
0
Ejemplo 10: Dados los siguientes conjuntos de números reales:
B x IR : 1 x 3 ; C x IR : 2 x 5 ; D x IR : 2 x 0,
Determinar cuáles son los números que están:
a) en B o en C.
b) en B o en C o en D,
c) en B y C al mismo tiempo d) los que están en los tres simultáneamente.
Solución
Primero reconozcamos gráficamente cada conjunto para luego responder
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B x : 1 x 3 (1,3)
(
-1
)
C x : 2 x 5 [2,5]
0
D x : 2 x 0 (2,0]
3
0
(
]
-2
0
[
]
2
5
a) Elementos que están en B o en C, se escribe B C , para este caso resulta
B C (1, 5]
b) Elementos que están en B o en C o en D, se escribe B C D , en este ejemplo
B C D (2, 5]
c) Elementos que están en B y C al mismo tiempo, se escribe B C , en este ejemplo
resulta,
B C [2, 3)
d) Elementos que están en los tres conjuntos simultáneamente, es decir en B y C y D, se
escribe B C D y, en este ejemplo resulta,
B C D B C D = 2, 3 2, 0 =
ACTIVIDADES
1) Expresa en lenguaje simbólico los siguientes enunciados:
a) Un número par.
b) Un número par siguiente a 2n.
c) Tres números pares consecutivos.
d) El triple de un número impar.
e) El cuadrado de la suma de dos números.
f) La suma de los cubos de dos números.
g) La diferencia de un número y su cuadrado.
h) El cuadrado de un número más el doble del mismo número.
2) Expresa en lenguaje coloquial o natural
x2
a) 2x
b)
2
x
d) a2 + b2
e) x 2
2
c)
x
2
f) 2.(x2 – y2)
3) Determina el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados, donde IR es el
conjunto universal.
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x, x 2 x
a)
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b) x, 2 x x
c) x, x 3 x
4) Sea A = {1; 2; 3; 4} el conjunto universal. Determina el valor de verdad de cada
enunciado.
x, x 3 6
a)
c) x, 2 x 2 x 15
b) x, x 3 6
5) En el siguiente gráfico a cada región le asociamos su área. Al cuadrado externo se
le asocia el área 1 y las divisiones de los lados se realizan en partes iguales.
a) ¿Qué número corresponde al área de la región sombreada? Escribe el
procedimiento que has realizado.
b) ¿El número que le corresponde a esta área será racional? ¿Por qué?
Rta.:
145
324
6) Realiza los siguientes cálculos
1 1 2
5 3 5
3
5
a) 3 4
2
b)
2 5
c) 3 2
4 1
3 3
3 2
4 4 5
d)
1
5
2
2
2 1 1 3
7 13 5 2
e)
2 1 3
5 5
1 3
3
2
2 2
f)
1
2 5 1
6
3 2 3
4
3
g) (5 + 2.(−4))2: (−3) − (5 ・ (−4) + (−6)) − (−1)2
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1 3 1 1 5
2 4 5 3 3
1
1
4
j)
31
1
1
6
5
2
1 6 1
1
i) 2 2
3 5 18
6
h)
3 4 3 3
1
5
5
m)
2
1
1
3
2
1
1
1
1
1
2
1 5
4
1
4
n)
11
2
3 2
8
Rtas:
a) 9/2
h) 31/20
k) (3-2 + 2-1)
1
l)
b) 1/9
i) -1/5
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c) – 33/8
j) 40/31
1
3
1
d) – 4/25
k)11/18
e) 27/14
l) 3/4
f) – 53/6
m) 1/2
g) 22
n) 6/25
7) Dados los siguientes pares de números indica la relación <, > ó = existente entre ellos.
2
1
1
10
2
a) 1
c) 0 ,33
e) 0 ,2
b)
3
3
10
3
5
2
3
2
3
d) 1,25
f)
g)
4
3
4
3
4
8) Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales y represéntalos en una recta
numérica:
9/4 ; - 2/3 ; - 6/5 ; 7/3 ; - 7/4
9) a) Representa gráficamente en la recta numérica los siguientes conjuntos:
i. los números enteros entre −5,3 y 10,5,
ii. los números naturales entre −5,3 y 10,5,
iii. los números reales entre −5,3 y 10,5.
b) ¿cómo puedes representar los números racionales entre −5,3 y 10,5?
c) ¿Qué puedes notar en la representación de los conjuntos anteriores?
10) Determina, sin hacer la división de numerador por denominador, cuáles de los
siguientes números racionales tienen una representación decimal finita y cuáles no.
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37/5 ; 19/3 ; 57/6 ; 270/75 ; 28/700 ; 521/124
11) Para cada uno de los siguientes números, determina si son naturales, enteros, racionales
o reales y ubícalos en una sola recta numérica:
−5
4
5
4,3
3
4
4
0,025
2,7172
-3
- 12
π
16
16
4
25
36
3
0,999….
12) Escribe al menos 10 números racionales que estén comprendidos entre:
a) 0 y 1
b) 1/2 y 3/5
c)
2 y
5
Ayuda: Recuerda que entre dos números racionales siempre hay otro número racional,
por ejemplo el punto medio entre ellos que se obtiene realizando la suma de los dos
números y dividiendo dicha suma por el número 2.
13) Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. Representa la solución en la recta
real.
1
1
x4
0 d)
0
a) 3x 3 0
b) 3 x 5 x
c)
1 x
2 x
2
14) Indica si las siguientes afirmaciones son correctas o no, realizando los cálculos
correspondientes:
a)
2
2 3
2
2 3 es un número irracional.
b) ( 2 − 3)2 · ( 2 + 3)2 es un número entero.
c) ( 3 9 )2 − ( 3 8 )2 = 3 9 3 8 3 9 3 8
d)
3
2
7 5 3 49 25
15) Indica si las igualdades siguientes son correctas. Si no lo son, escribe correctamente a
qué es igual el miembro izquierdo de la igualdad, si es posible.
a)
ab a b
b) (a + b)2 = a2 + b2
c)
42
4
d)
3 6 36
4 9 49
e)
81 4 81 4
f)
5
g)
2
h) (-a)0 = -a
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85 = −8
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i)
4 2 2
3 3 0
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j) 23 = 32
16) Utilizando las propiedades adecuadas, establece si la expresión de la izquierda es
menor, mayor o igual a la expresión de la derecha, según corresponda. Detalla las
propiedades que has utilizado para establecer las relaciones solicitadas.
a)
2 4 8
b) .
1
5
625
4 32
1/ 3
4 4
c) .
3 3
5
d)
5
1
e)
3 2
g) . 2 5
17) Sabiendo que a
1
2
625
.
2/3
1 17
7 1
4
3
1
5
2 3
. 5 5
determina
1
a
a
18) Calcula los números: (5−2 + 12−2)1/2 y (5-2)1/2 + (12-2)1/2 ¿Son iguales o distintos?
19) Resuelve e indica las propiedades y/o definiciones que has utilizado
a) 272/3
d) 493/2
b) 82/3
e) (0,125)- 1/3
c) 320,4
f) 32- 3/5
20) Encuentra una expresión equivalente de modo que no queden raíces cuadradas en el
denominador:
4
62
2
a)
b)
c)
5 3
6 2
2 3
21) Escribe los siguientes conjuntos en forma de intervalos y luego represéntalos sobre la
recta real:
a) A= x IR/ 3 x 4,5
b) B= x IR / 1 x 6
c) C = x IR / 4,5 x 1,5
d) D x IR / 0 x 2,5
22) Escribe en lenguaje simbólico y grafica sobre la recta real los intervalos
a) A = (-∞; -3]
b) B = [4; +∞)
c) C = (-6; +∞)
23) Dados los intervalos A = [-1; 3] y B = (-2; 2) ; U=IR
a)
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Encuentra los conjuntos A B, A B , A C , B C A , A C B
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b)
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Representa gráficamente los conjuntos anteriores.
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PARTE II
MEDIDAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para lograr una comunicación seria, verdadera y duradera entre los pueblos, se
impone el uso de un sistema de medida acordado a nivel mundial, que recibe el nombre de
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). En nuestro país, ese sistema se llama
SIMELA, que significa Sistema Métrico Legal Argentino. Este sistema acepta y toma las
unidades, múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional de Unidades
1. UNIDADES DE MEDIDA
¿Qué significa medir? Medir es comparar un objeto con otro ya fijado anteriormente como
unidad.
¿Qué medimos? Dado un objeto le medimos, entre otras cosas, su ancho, su alto, su peso,
su temperatura, su volumen, etc. Es decir, sólo medimos una característica si existe algún
instrumento de medición. Estas características se llaman magnitudes.
Para expresar correctamente una medida debemos indicar: el número y la unidad de
magnitud. Por ejemplo para especificar el contenido de líquido en una botella escribimos
970 cm3 y para informar el contenido de un paquete de cereal escribimos 250 gramos.
Prefijos
La utilización del sistema decimal permitió establecer un sistema de prefijos útil
para todo tipo de unidades. En las siguientes tablas especificamos los prefijos y su relación
con la unidad.
Prefijo
Kilo
Hecto
Deca
Símbolo
Relación
con la
unidad
K
1000
veces
H
100
veces
Da
10
veces
Unidad
principal
1
Deci
Centi
Mili
d
1 / 10
parte
c
1 / 100
parte
m
1 / 1000
parte
Aplicando los prefijos a las distintas medidas resulta:
Medidas de
longitud
Kilo
metro
Hecto
metro
Deca
metro
Símbolo
Medidas de
capacidad
Km
Kilo
litro
Hm
Hecto
litro
Dam
Deca
litro
Símbolo
Medidas de
masa
Kl
Kilo
gramo
Hl
Hecto
gramo
Dal
Deca
gramo
Símbolo
Kg
Hg
Dag
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metro
Unidad
principal
m
litro
Unidad
principal
l
gramo
Unidad
principal
g
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Deci
metro
Centi
metro
Mili
metro
dm
Deci
litro
cm
Centi
litro
mm
Mili
litro
Dl
Deci
gramo
cl
Centi
gramo
ml
Mili
gramo
dg
cg
mg
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Las magnitudes más utilizadas son:
Longitud
Es una magnitud física que expresa la distancia entre dos puntos. Su unidad en el
Sistema Internacional es el metro.
Capacidad
Es una magnitud propia de los cuerpos. Se refiere a la medida del interior del
recipiente y su unidad en el Sistema Internacional es el litro.
Masa
Es la magnitud que caracteriza la cantidad de materia de un objeto. Su unidad en el
Sistema Internacional es el gramo.
¿Masa o Peso?
Cada uno de los cuerpos que nos rodean está formado por una determinada cantidad
de materia que conocemos con el nombre de masa del cuerpo. La masa de un cuerpo es
constante.
En cambio el peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que ejerce el centro de la
Tierra sobre dicho cuerpo. Dicha fuerza depende de la altura sobre el nivel del mar y la
latitud en que se encuentra el cuerpo. Por lo tanto el peso de un cuerpo varía según su
ubicación con respecto al centro de la Tierra, o sea el peso es una magnitud vectorial. El
peso de un cuerpo se mide en: kg (kilogramo fuerza), g (gramo fuerza), mg (miligramo
fuerza).
Los conceptos de peso y masa, a pesar de medir diferentes características de un
objeto se suelen confundir o tomar como sinónimos. En general, esto se debe al hecho de
que una masa de 1kg a 45° de latitud y a nivel del mar pesa 1 kg .
Una situación que nos permite diferenciar entre "peso" y "masa" es la de un
astronauta en el espacio. ¿Cuál es su peso y su masa?
Superficie
Es una magnitud que está relacionada con el área que ocupa un determinado objeto.
Su unidad en el Sistema Internacional es el metro cuadrado.
Para relacionar al metro cuadrado con otras medidas (más grandes o más chicas)
que también indican área. Utilizamos las siguientes relaciones:
Km2
1.000.000 m2
hm2
dam2 m2
2
10.000 m 100 m2 1
dm2
Cm2
1
0,01 m2
100
1
0,0001 m2
10.000
mm2
0,000001m
2
Es importante tener presente que cuando indicamos la medida de una superficie
estamos hablando de su área, por lo que las medidas de superficie tienen un equivalente
con las mediadas agrarias.
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Relación con las medidas agrarias
Hm 2
Dam 2
m2
Hectárea (ha)
Área (a)
Centiárea (ca)
Volumen
Es la magnitud que ocupa un cuerpo en el espacio y su unidad en el Sistema
Internacional es el metro cúbico. La tabla siguiente indica las medidas de volumen más
usadas habitualmente.
m3
1
dm3
1.10-3m3
cm3
1.10-6 m3
mm3
1.10-9 m3
El volumen y la capacidad tienen íntima relación, pues son magnitudes propias de
los cuerpos. La capacidad es la magnitud del interior del recipiente y está relacionada con
el lugar que ocupa dicho recipiente en el espacio, su volumen.
En la tabla siguiente se indican las equivalencias entre las medidas de volumen, capacidad
y masa.
Capacidad
1 kl
1l
1 ml
Volumen
1 m3
1 dm 3 o
1000 cm 3
1cm 3
Masa
1T
1 kg
1g
Ejemplo 12:
a) Se sabe que el tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m. ¿Cuántos mm.
tiene?
Solución
Para encontrar la respuesta, primero debemos recordar cuantos mm hay en un 1m y
luego haciendo una regla de tres simple encontramos que el tamaño del virus del resfrío
tiene 0,0000022 mm.
b) Si una solución contiene 40 g de nitrato de potasio por litro. ¿Cuántos mililitros de esa
solución son necesarios para obtener 8 g?.
Solución
Para obtener la respuesta, primero observamos que las unidades de los datos y la
unidad de lo que se pide son diferentes; luego recordamos cuantos ml hay en un litro y
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29
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finalmente con una regla de tres simple, sabemos que se necesitan 200 ml de esa solución
para obtener 8g de nitrato de potasio.
2. MEDIDAS MUY GRANDES O MUY PEQUEÑAS: NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para empezar a entender los términos “muy grandes o muy pequeños” queremos
compartir con ustedes una reflexión de Paenza en su libro: Matemática ¿estás ahí?
“¿Números grandes? Si. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas
externas se manejan en miles de millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a
años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene tres mil millones de nucleótidos,
que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados, etc. Estoy
seguro de que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para
agregar.
Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me
sea más fácil representar.”
Para tratar cantidades muy grandes o muy pequeñas, es común utilizar la notación
con potencias de 10. Veamos algunos ejemplos:
¿Cuánto mide el diámetro aproximado de un glóbulo blanco? En los textos de
Ciencias Biológicas aparece ese dato a través de la siguiente escritura: 1,2 .10-2 mm, lo
que equivale a decir que mide 0,012 mm.
La superficie de Argentina es de 4.106 Km2, debido a que 106 representa un millón,
se nos está informando que la superficie es de aproximadamente 4 millones de Km2.
El tamaño del virus del resfrío común es 2,2 . 10-9 m o sea, 0,0000000022 m.
A esta forma de expresar los números se la denomina notación científica, cuya
definición formal la podemos sintetizar así:
Escribir un número en notación científica es expresarlo como producto de una potencia de
10 por otro número cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10.
Ejemplo 13:
a) La masa del electrón es 0,0000000000000000000000000000009108 kg, valor que se
puede expresar en forma equivalente como 9,108 . 10-31 kg, en notación científica.
b) A continuación se presentan dos números cualesquiera y su equivalencia utilizando la
notación científica
i) 647,35 = 6,4735 .102
ii) 0,000000008940 = 8,94 . 10-9
Comentario sobre el uso de la calculadora científica: Si un número no entra en el visor
en notación decimal, se lo presenta en notación científica, pero no mostrando la potencia
10, sino sólo el exponente. Por ejemplo:
8000000 . 500000 = 4.1012.
ATENCIÓN: la calculadora mostrará 412
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ACTIVIDADES
1) Expresa en notación científica los siguientes números:
a) 324000000
b) 98 .107
c) 0,000574
d) 0,0031 x 10-12
e) La longitud de la línea del Ecuador que es 4000000000 m.
f) El tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m.
g) La distancia del Sol a Plutón es aproximadamente 5895000000 km.
2) Calcula el radio en metros de una molécula si su volumen es de 32 Å3 (1 Amstrong =
10-8 cm).
3) a) El frasco de solución fisiológica dice que 20 gotas equivalen a 1 cm 3. ¿Cuántos cm3
tiene cada gota? ¿Y cuántos ml?
b) El tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m. ¿Cuántos mm. tiene?
4) El medidor de agua de un laboratorio de química marca 128 m3, ¿cuánto litros son?
5) Responde Verdadero (V) o Falso (F) y justifica su respuesta.
a)
5432 dg = 54,32 dag
c) 1 litro de aceite pesa 1 kg
b) 6534dm3 = 65,34 dam3
d) 1 litro de aceite ocupa 1 dm3
e) El porcentaje que representa la capacidad de una botella de 750 cm3 con
respecto a otra de 1 litro es del 25 %.
f) Un cajón de 8 kg fue llenado con 10 pipetas de 28 g cada una, luego su peso
aumenta en un 35 %
g) Dos cuerpos con igual volumen tienen igual capacidad.
6) Si un mol de agua tiene 6,02.1023 moléculas y pesa 18 gr. ¿Cuánto pesa una molécula de
agua?
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PARTE III
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES
En esta unidad recordaremos qué es una expresión algebraica y la importancia de
determinar su dominio. Además, hallaremos expresiones idénticas a una dada y luego
definiremos cuando tales expresiones idénticas se pueden considerar expresiones
algebraicas equivalentes. Por último, abordaremos el tema de ecuaciones y
determinaremos el conjunto solución.
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Recuerda que una expresión algebraica es una combinación finita de variables y
números con operadores matemáticos, como por ejemplo, la resta, el producto, la división
y la potencia. Es decir, en una expresión algebraica están indicadas operaciones entre
números y letras.
Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
Q(x) = 3 + 2 x5 – 5x2
P(x)= x2 +2
R(x) = 2 x7 – 3x4 + x
T(x)=1
Estas expresiones son polinomios de grados 5, 2, 7 y 0 respectivamente.
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas, que no son polinomios, pues sus
potencias no son números naturales son: 3 x 2 3 x 8 ; x 1 1 .
A las expresiones que resultan de un cociente de polinomios las llamamos
expresiones algebraicas racionales. Por ejemplo:
2 5x2
,
10 x
(3-x)-(
2x-1)
3
x x
Otras expresiones algebraicas que no son polinómicas ni racionales son:
2 5x-3
5
10 x
;
x 5
2x - 3
Cuando trabajamos con expresiones algebraicas debemos tener en cuenta su
dominio, es decir en que conjunto de números reales podemos realizar las operaciones
indicadas.
A continuación vamos a determinar el dominio de algunas expresiones
algebraicas, para mostrar como se debe trabajar en estos casos y te sirvan de guía para
encontrar la solución de las actividades propuestas.
Ejemplo 1: ¿Cuál es el dominio de la siguiente expresión algebraica?
1
x 4
2
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Solución
En esta expresión racional la operación principal es la división, y como no
podemos dividir por cero, entonces analizamos cuando el denominador de la expresión es
cero, es decir:
2
2
2
x
4
0
x
4
x
4
Entonces los valores x=2 y x=-2 no pueden estar en el dominio, (sino dividiríamos por
cero), es decir, el dominio de la expresión racional dada es el conjunto formado por todos
los números reales excepto (-2) y 2.
En símbolos:
1
= IR-{2,-2}= (- ∞, Dom 2
x 4
Ejemplo 2: ¿Cuál es el dominio de la siguiente expresión algebraica?
x2 10
x25
2
2x 50
Solución
Al igual que en el Ejemplo 1, en esta expresión racional la operación principal es la
división, tanto el numerador como el denominador son polinomios que tienen como
dominio IR. Como no podemos dividir por cero, entonces analizamos cuando el
denominador de la expresión es cero, es decir:
50
2
2
2
2
2
x
50
0
2
x
50
x
x
25
2
Entonces los valores x=5 y x=-5 no pueden estar en el dominio, (por que sino dividiríamos
por cero), luego el dominio de la expresión racional es el conjunto de todos los números
reales, excepto el -5 y el 5.
En símbolos:
x2
10
x25
IR -{5,-5}= (- ∞, Dom
2
x 50
2
Ejemplo 3: Encontremos el dominio de la siguiente expresión algebraica.
2
x
1
32
x
4
x
3
Solución
Esta expresión es un cociente entre un polinomio (en el numerador) y una raíz de
orden impar en el denominador, ambos poseen como dominio a los números reales. El
problema se presenta nuevamente cuando el denominador es cero. Esto nos lleva a buscar
los valores de x que lo anulan, es decir:
x24x30
Para encontrar los ceros de esta ecuación podemos aplicar la fórmula:
2
b
b
4
ac
x
i
2
a
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En este caso como a= 1, b= 4 y c = 3, resulta
2
4
4
4
1
3
4
4
4
2
x
i
2
1
2 2
3y x
1
Obtenemos así los valores x
, que son los valores que debemos excluir
1
2
del dominio, entonces:
2
1
x
= IR - {-3,-1} = (- ∞, Dom
-3, -1, + ∞)
3 2
4
x
3
x
Ejemplo 4: Dada la expresión algebraica
x 1
, hallemos su dominio.
x 1
Solución
Una vez más la operación principal es la división y está definida si el denominador
x 1 es distinto de cero. Pero en esta ocasión, el numerador es una raíz de índice par, que
está definida si el radicando (x+1) es mayor o igual que cero. Entonces para determinar el
conjunto dominio planteamos las siguientes condiciones:
denominador no nulo, esto es:
los valores de x, que verifiquen que:
x 1 0
x 1 0
Para analizar la primera condición planteamos: x 1 0 x = 1. Entonces
debemos excluir del dominio el valor de x que anula al denominador, es decir, excluimos
del dominio al valor x = 1.
De la segunda condición resulta: x 1 0 x -1.
x 1
Ahora bien, para determinar el dominio de
debemos tener en cuenta los valores
x 1
dados por las dos condiciones planteadas, en este caso: Todos los números reales mayores
o iguales a (-1) y distintos de 1.
A este conjunto lo podemos escribir de distintas formas, entre ellas:
x 1
=
:x
1
x
1
IR
1
1
,
1
,
1
1
,
Dom
xIR
x
1
Expresiones Algebraicas Equivalentes
El manejo de expresiones algebraicas y la destreza para transformarlas en
expresiones equivalentes es muy importante cuando queremos estudiar y trabajar con
objetos matemáticos, por lo tanto resulta fundamental practicar con ellas.
En la unidad anterior vimos algunas identidades que son muy utilizadas para operar
con expresiones algebraicas, por ejemplo, el cuadrado de un binomio, la diferencia de
cuadrados y la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma (o resta).
También ya definimos cuando dos números fraccionarios son equivalentes, por ejemplo
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12 4 2 1
; aquí se ha simplificado la fracción original hasta llegar a otra
144
482412
expresión del mismo número, la cual es una fracción irreducible.
En esta sección haremos hincapié en el trabajo con expresiones algebraicas
fraccionarias como las vistas en los Ejemplos 1, 2, 3 y 4. Buscamos una expresión más
simple que facilite los cálculos, es decir, simplificar la expresión cuando sea posible.
A continuación analizaremos algunos ejemplos mostrando como se opera para
encontrar expresiones algebraicas equivalentes a las dadas.
Ejemplo 5: Si es posible, escribe la expresión algebraica irreducible de la expresión
2x x 2
.
x
Solución
En primer lugar calculemos el dominio de la expresión. Como es un cociente de
polinomios (expresión racional), debemos ver que no se anule el denominador, es decir
plantear que el denominador sea distinto de cero, en este caso: x 0. Como el único valor
que anula el denominador es x = 0, entonces
2
2
x
x
IR
{
0
}
Dom
x
Buscamos ahora expresiones equivalentes de la expresión dada, en esta ocasión, si sacamos
2
2
x
x
x(2
x
)
factor común x en el numerador resulta
.
x
x
¿Podemos simplificar x del numerador y del denominador en la expresión anterior?
2x x2
Si, pues x = 0 Dom
x
.
2
2
x
x
x
2
x
)
2xx2
(
2
x
2x.
Entonces
. Luego
x
x
x
La expresión del segundo término es más simple que la del primer término. Además,
2x x2
cualquier valor x perteneciente al Dom
x
= IR-{0} verifica la igualdad. Esto
significa que las expresiones
2x x2
2x x2
x y (2+x) son equivalentes en Dom
x
= IR-{0}
Observación
2x 3 x 2
podemos factorizarla de la siguiente forma
Si tenemos la siguiente expresión
x
2 x 3 x 2 x 2 2 x 1
x
x
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En la expresión anterior ¿podemos simplificar una x del numerador con la del denominador
para todo valor de x IR?
No, si x=0 no es posible hacer esa simplificación. ¿Por qué?
x2
Ejemplo 6: Encontremos la expresión algebraica irreducible de la expresión 2
.
x 4
Solución
x2
Calculemos primero el dominio de la expresión 2
, como es también un
x 4
cociente de polinomios, debemos ver que el denominador no se anule, es decir, plantear
que el denominador sea distinto de cero, esto es: x2 - 4
0. Los valores que anulan el
denominador son x = -2 y x = 2, entonces
x 2
= IR{2, 2}
Dom 2
x 4
Buscamos ahora expresiones equivalentes a la dada, aquí podemos factorizar usando
diferencia de cuadrados, entonces el denominador resulta
x
2
x
2
2
x
x
2
2
x
4
¿Podemos simplificar (x-2) en el numerador y en el denominador de la expresión anterior?
1
x
2
x
2
x 2
2
. Luego 2
Si, pues x =2
, entonces
x
x
4
x
2
x
2
2
x 4
x2
1
2
x
IR
{
2
,2
}
, en Dom 2
.
2
x 4 x2
x
4
x2
1
Esto significa que las expresiones
son equivalentes en
y
2
x2
x 4
2
x
IR
{
2
,2
}
Dom 2
.
x
4
Ejemplo 7: En caso de ser posible, determinemos la expresión algebraica irreducible a la
expresión dada en el Ejemplo 2.
Solución
2
2
x
10
x
25
x
5
2
2
2
x
502
x
25
binomio, lo reemplazamos por su identidad. En el
denominador sacamos factor común 2 y queda una
diferencia de cuadrados.
2
2
2
x
10
x
25
x
5
x
5
2
2
2
x
5
(
x
5
)
2
x
50
2
x
25
cuadrados del denominador por su
identidad.
Como es posible cancelar (x+5) del numerador y del denominador resulta
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Departamento de Matemática
2
x
10
x
25
x
5
x
5
2
2
x
50
2
x
5
(
x
5
)2
(
x
5
)
2
2
x
10
x
25
x
5
x210
x25
De esta manera
.
Entonces
es equivalente a la
2
2
(
x
5
)
2
x
502
2x 50
x 5
x210
x25
expresión algebraica irreducible
en el Dom
2
= IR - 5, 5
2( x 5)
2x 50
Ejemplo 8: Dada la expresión
x2 x
, hallemos su dominio y su expresión irreducible.
x2 1
Solución
Como en los casos anteriores determinaremos el dominio de la expresión racional.
Tenemos nuevamente un cociente de polinomios, entonces el dominio son todos los
números reales que no hacen cero el denominador. Esto nos lleva a plantear la siguiente
condición:
x2 1 0 ,
en este caso podemos usar una identidad conocida y escribimos
2
0
x
1
(
x
1
)(
x
1
)
,
ahora es fácil establecer en que valores se anulará el denominador de la expresión; esto es
x 1 y x 1 , entonces
x2 x
Dom
x2 1
IR-{-1, 1}
Ahora tratemos de escribir expresiones equivalentes a la expresión dada:
2
x
x x
(
x
1
)
x
2
x
x
1
x
1
x
1
1
(En el numerador hemos sacado factor común x y en el denominador hemos factorizado
usando diferencia de cuadrados).
Ya que es posible cancelar (x-1) del numerador y del denominador, pues
x2 x
x2 x x
1
.
x2 1 entonces 2
x 1 x1
La expresión del segundo miembro es más simple que la del primer miembro. Además,
x2 x
cualquier valor de x perteneciente al Dom
x2 1
IR-{-1, 1} verifica la igualdad.
x
x2 x
y
son equivalentes en el dominio IR-{-1,1}.
2
x 1
x 1
x
x2 x
Además,
es la menor expresión equivalente de 2
.
x 1
x 1
Las expresiones
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Ejemplo 9: Dada la expresión
expresión equivalente.
Departamento de Matemática
x33
x2x3
. Encontremos su dominio y su menor
x24
x3
Solución
Para encontrar el dominio, en este caso consideramos
x2 4x30,
Esta ecuación ya se resolvió en el Ejemplo 3, obteniendo las soluciones x1 3 y
x2 1 , entonces:
3
2
x
3
x
x
3
IR-{-3,-1}
Dom 2
x
4
x
3
En segundo lugar, reducimos la expresión dada, usando identidades algebraicas
3
2
3
2
x
3
x
x
3
(
x
3
x
)
(
x
3
)
2
x
1
)(
x
3
)
x
4
x
3 (
3
2
2
(
x
3
x
)
(
x
3
)x
(
x
3
)
(
x
3
)
(
x
1
)(
x
3
)
(
x
1
)(
x
3
)
2
2
x
(
x
3
)
(
x
3
)(
x
1
)(
x
3
)
(
x
1
)(
x
3
) (
x
1
)(
x
3
)
2
2
(
x
1
)(
x
3
) (
x
1
)
(
x
1
)(
x
3
) (
x
1
)
2
(
x
1
) (
x
1
)(
x
1
)
(
x
1
)
(
x
1
)
(x
1
)(
x
1
)
x
1
(x
1
)
Escribe al lado de cada igualdad las propiedades que has usado.
Así la menor expresión equivalente de
x33
x2x3
x24x3
es x 1 , en el dominio IR-{-3,-1}
Aclaración: Es importante tener en cuenta que:
Cualquiera de las identidades obtenidas anteriormente, en cada paso, son expresiones
equivalentes a la original con dominio IR-{-3,-1}. La expresión (x-1) es la irreducible.
Ejemplo 10: Dada la expresión
4x2 25
, determinemos una expresión algebraica
2x 5
equivalente e irreducible.
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Departamento de Matemática
Solución
Para dar la respuesta, primero determinemos el dominio de la expresión algebraica
y luego encontremos una expresión equivalente.
La expresión dada es un cociente. El dominio del polinomio del numerador es el conjunto
IR. Entonces, para determinar el dominio de la expresión dada hay que analizar el
denominador, debemos pedir que no se anule.
Además, debemos ver cuando una raíz de índice par tiene como resultado un número real;
esto sucede cuando el radicando es positivo o cero. A estas condiciones las planteamos de
la siguiente forma:
2x 50 y 2x ≥ 0,
luego resulta que si 2x ≥ 0, entonces x ≥ 0.
Hagamos el análisis de esas dos condiciones:
Para que se cumpla la primera, buscamos el o los valores que verifican
2x 50para excluirlos del dominio. Luego,
2
2x 50 2x 5
x
5 5
5 5
x , es decir que
x
2 2
2 2
x
25
4
5
Dom
2
x 5
2
Para que la raíz cuadrada este definida en IR, es necesario que el radicando sea
positivo, o sea que 2x ≥ 0, es decir x ≥ 0.
Teniendo en cuenta los requerimientos establecidos resulta:
2
4
x
25
5
5
Dom
0
,
,
2
2
5
x
2
Como ya hemos determinado el Dominio de la expresión algebraica, ahora hallemos una
expresión equivalente irreducible. Para ello podemos operar de la siguiente manera, (no
hay una única forma de hacerlo)
2
2 2
4
x
25
(
2
x
)
5
(
2
x
5
)(
2
x
5
)2
x
5
(
2
x
5
)(
2
x
5
).(
2
x
5
)
2
2
2
x
52
x
5 2
x
52
x
5
2
x
5
(
2
x
5
)(
2
x
5
).(
2
x
5
)
(
2
x
5
).(
2
x
5
)
2
x
5
Trata de justificar por qué es posible simplificar en la última igualdad.
x
5
).(
2
x
5
)es la expresión equivalente irreducible de
Luego, (2
4x2 25
2x 5
en
5 5
,
,
. En símbolos es:
0
2 2
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(2
x
5
).(
2
x
5
)=
Departamento de Matemática
5
5
x
IR
/
x
0
,
,
2
2
2x 5
4x2 25
2. ECUACIONES
En esta sección resolveremos ecuaciones, empleando expresiones equivalentes. A
continuación veremos tres ejemplos que ilustran la forma de operar en estos casos.
Ejemplo 11: Encontremos el conjunto solución de la ecuación
2
2
2
x
6
x2
x
1
.
2
x
9x
x
9 3
Solución
También, como en el caso de las expresiones algebraicas, en primer lugar tenemos
que determinar el dominio de la ecuación, es decir, el conjunto de números reales para los
cuales podemos realizar todas las operaciones indicadas.
Esta expresión estará definida para todo número real que no anule ningún denominador,
algebraicamente esto es,
Dom = x IR / x 2 9 0 3x 9 0
x0
Para caracterizar los números que están en el conjunto dominio procedemos de la siguiente
manera:
2
x
9
0
x
3
9
3
x
9
0
x
3
3
x=0
Con este procedimiento hemos determinado los valores para los cuales la ecuación no está
definida, luego el dominio de la ecuación es
IR-{-3, 3, 0}
Una vez que sabemos en qué conjunto se encuentra/n la/s solución/es, transformamos
convenientemente las expresiones de la ecuación para hallar el conjunto solución, es decir
el conjunto de números reales que satisfacen la ecuación.
En este caso, una posibilidad es tomar el primer miembro y una vez obtenida una
expresión equivalente, igualarla con el segundo miembro.
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2x 2 6x
x 9
2
Departamento de Matemática
2x 2
2x 2 6x
2x 2
3 2 x 2 6 x 2 x 2 x 3
3x 9 ( x 3)( x 3) 3( x 3)
3( x 3)( x 3)
18 x 2 x 3
2 x(3 x )(3 x ) 2 x(3 x )
3( x 3)( x 3)
3( x 3)( x 3)
3( x 3)
2 x( x 3) 2 x
3( x 3)
3
Así se ha obtenido una expresión reducida del primer miembro de la ecuación, ahora la
igualamos con el segundo miembro para resolverla:
2
x1 2
3
3
2
2
x
3
x
x
, obteniendo dos soluciones.
3x
2
2
Por último, debemos verificar que estas soluciones pertenezcan al conjunto dominio de la
ecuación. Como el dominio de la ecuación es IR {3, 0, 3} y las soluciones halladas
pertenecen a él, podemos concluir que el conjunto solución de la ecuación es
3 3
S , .
2 2
Observa que el conjunto Solución de la ecuación está contenido en el conjunto Dominio
de la ecuación.
Ejemplo 12: Hallemos los valores que hacen cierta la ecuación
2
2
x
3
x
3
x
3
Solución
El primer paso es determinar el dominio de la ecuación. En este caso es: IR-{3}, ya
que es fácil ver que en 3 se anulan los denominadores de la ecuación.
Se resuelve ahora la ecuación:
2
2
x
3
x
3
x
3
2 2
0
x
3
x
3x
3
0 x 3
La solución obtenida es x 3 . ¿Será solución de la ecuación? No, pues x=3 no
pertenece al conjunto dominio de la ecuación. Entonces, la ecuación no tiene solución, es
decir, no hay ningún valor real que verifique la igualdad dada. En este caso decimos que el
conjunto solución es vacío y lo expresamos de la siguiente forma:
Ejemplo 13: Encuentra los valores de x que verifican x 2x 5 x 21 x
Solución
El primer paso es determinar el dominio de la ecuación. En este caso es: IR
Se resuelve ahora la ecuación:
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x 2x 5 x 21 x
¿Podemos cancelar x 2 de ambos miembros?
Si, (piensa porque es posible)
x 5 1 x
2x 6
x3
El conjunto solución es S 3,2. ¿Por qué x 2 es también solución?
Ejemplo 14: Determinemos el o los valores x que verifican
2
x
6
x
9 3
x
9
2
6
x
2
x
18 18
Solución
Como antes, primero determinamos el dominio de la ecuación, que en este caso
resulta ser el conjunto IR-{-3,3}. (Como ejercicio puedes verificarlo).
Resolvemos ahora la ecuación. Una forma de hacerlo es transformar convenientemente de
manera conjunta los dos miembros:
x 2 6x 9
3x 9
2
18 6 x
2 x 18
( x 3) 2
2( x 9)
2
3( x 3)
6(3 x )
( x 3) 2
( x 3)
2( x 3)( x 3)
2(3 x )
( x 3)
( x 3)
2( x 3)
2(3 x )
( x 3)
( x 3)
2( x 3) 2( 3 x )
( x 3)
( x 3)
2( x 3) 2( x 3)
11
Observar que para realizar los pasos anteriores hemos tenido en cuenta que x es distinto de
-3. ¿Dónde lo hemos hecho?
Hemos transformado la ecuación, obteniendo una igualdad. Esto nos dice que cualquiera
sea el valor de x obtendremos una igualdad, lo que nos hace pensar que el conjunto
solución es IR, pero como 3 y -3 no pertenecen al dominio, el conjunto solución es:
S = IR-{-3, 3}
En los tres últimos ejemplos hemos visto que la solución de una ecuación puede ser un
conjunto finito (número determinado de soluciones), el conjunto vacío (no tiene solución
en IR) o un conjunto infinito (infinitas soluciones).
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ACTIVIDADES
1) Encuentra el Dominio para las siguientes expresiones algebraicas
3
3
3x2 12
x33
x2x3
a) 4
b)
c) 2
d)
( x 2) 2
x 4
x 16
x24x3
x2 9
e)
(x3)(x4)
f)
x2 3
x 3
( x 1) 2
g)
x 1
h)
2 x
4 x
2) Halla la expresión irreducible para las siguientes expresiones algebraicas:
x 2
3x2 12
x2 6x9
a)
b) 4
c)
x 16
2x2 18
x 2
x2 9
x2 3
d) 2
e)
x x12
x 3
3) En cada caso, encuentra expresiones equivalentes, indicando el dominio donde son
equivalentes
x2 2y2 3
z
2
x x
1
x2 x
a)
b)
c)
2
yz xz 4xy
x
3x
3
9x
2x 2
5
3
2
4
3
2
x 7x33
x2
x
x
6
x
4
x
2
x
2
x
x
d) 5
e)
f)
4
2
2
2xx2xx3
x
2
x
x
2
x
2
x
x
4) Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Expresa el conjunto solución y
represéntalo en la recta real.
2
x
1
x
3
13
x
1
a)
Rta. S-
3
2
7
1
Rta. S2,
b) ( 3x – 1 ) (x + 4 ) = 2 ( 3x – 1 )
3
2
x
2
)
10
4
x
6
, - 12
c) (
Rta. S 12
1
25
8
d)
Rta. S
x 3
8
2x4
4
7
e)
Rta. S
x
9
2
x 2x8
1
f)
Rta. S3, 5
4x7
3
2
9
2
g) 2
Rta. S 9
2
x
4
x2
x
5
x
12
2
x
3
x
3x1 3x2
h)
Rta. S =
x2 x1
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i)
18
Rta. S 6
2
x
63
32
6
3
Rta. S 7, 7
36
j) x
2
10
x
2
10
3
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PARTE IV
FUNCION
Esta es la última unidad de este ingreso y es por ello que te proponemos un trabajo
más autónomo.
El tema que repasaremos es Funciones. Con el fin de cumplir el objetivo propuesto
te sugerimos que usando los conceptos previamente trabajados en este material, más lo
que recuerdes de la escuela media, intentes resolver las actividades que te presentamos.
Bien sabemos que en tu paso por la escuela media has estudiado muchos conceptos
matemáticos; entre ellos el de función. Es nuestra pretensión que al iniciar este recorrido
puedas reflexionar sobre dicho concepto.
El siguiente esquema muestra una manera de nombrar distintas representaciones del
concepto de función:
Lenguaje coloquial o verbal
Gráfico
Tabla de valores
Función
Fórmula o expresión algebraica
Diagrama de Venn
Dibujo de una situación
Las siguientes actividades tienen por finalidad que recuerdes el concepto de función
Actividad 1:
Construye un ejemplo para cada una de las representaciones del concepto de función
planteadas anteriormente.
Actividad 2:
Indica si las siguientes relaciones f entre los conjuntos A y B representan una función.
Justifica tu respuesta.
b)
a)
f
1
2
3
f
a
a
b
b
c
c
d
A
2
3
4
B
A
c) A = {a, b, c, d}, B = {e, m, p, q}
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1
B
d) A = {1, 2, 3, 4}, B = {v, w, u}
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x
a
b
c
d
f(x)
e
m
p
q
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x 1 2 3 2 4
f(x) v w u v w
e)
y
B
x
A
f)
y
B
x
A
g) A = B= IN
f: “…es el doble de…..”
h) A = B = IN
f: “...es la mitad de…”
Ahora bien, ¿qué has tenido en cuenta para determinar si la relación es función?
¿Qué características debe cumplir una relación entre conjuntos para ser función?
Recordemos, la noción de función involucra tres cosas:
1. Un conjunto A llamado Dominio.
2. Un conjunto B que se llama Codominio o Conjunto de llegada.
3. Una regla de asignación que a cada elemento del conjunto A le haga corresponder
un elemento, y solamente uno, del conjunto B.
Actividad 3:
Dados los siguientes gráficos de funciones:
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a) Encuentra una regla de asignación para cada una de ellas. Ayuda: ¿Qué
comportamiento poseen los puntos y el conjunto de cada una de las gráficas?
b) Determina el conjunto dominio e imagen de cada función.
Actividad 4:
Recuerda que dos funciones son iguales cuando tienen el mismo dominio e igual valor de
asignación para cada x perteneciente al dominio. ¿Te animas a responder cuándo dos
funciones son distintas? Luego de conseguir la respuesta, te pedimos que grafiques tres
funciones distintas cuyos gráficos pasen por los puntos (1,1/2) y (0,1).
Actividad 5:
Ahora te pedimos que:
a) Muestres una función con dominio e imagen en IR que asigne 3 a todo x>0.
b) Expreses una función cuyo dominio esté formado por objetos geométricos y cuya
imagen sea numérica.
Actividad 6:
Grafica la función y = 50 – x en el caso en que:
a) El Dominio y la Imagen sean los Números Reales.
b) Esté asociada al problema siguiente: para alambrar un campo rectangular se necesitan
100m de alambre. ¿Cómo variará el largo del campo en función del ancho?
¿El gráfico obtenido representa la misma función? Si es así explica por qué; en caso
contrario ¿De qué depende la diferencia?
Veamos ahora, como las funciones nos permiten construir un modelo para representar y
analizar algunas situaciones de la vida cotidiana.
Actividad 7:
En un negocio de material fotográfico se ofrece un precio especial para el revelado de
fotografías: cobra un precio fijo de $ 10,00 para revelar un rollo, más $ 0,50 por cada
fotografía. ¿Cómo variará el costo de revelar un rollo según el número de fotografías?
Intenta escribir una regla de asignación que describa esta situación.
Actividad 8:
Busca o sugiere situaciones problemáticas que tengan por expresiones y 2 x 4 e y 3 ,
respectivamente, dejando bien claro los dominios. Revisa con cuidado cuáles son los
elementos que tomas como variables y qué rol ocupan.
Ayuda: Puedes pensar, por ejemplo para la primera expresión, en una situación que
relacione precios con productos.
Actividad 9:
El departamento de marketing de la empresa importadora “La Marítima” hizo un estudio
de la variación del precio de las latas de caviar de 200 g. que comercializó su competidora
“La Rioplatense” a lo largo de su fructífera existencia. Para que el nuevo gerente de
comercialización comprenda cabalmente la evolución del precio del producto,
confeccionaron el siguiente gráfico:
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Este gráfico le permitió al gerente dar respuesta a los siguientes interrogantes considerados
como básicos para su nuevo emprendimiento. ¿Puedes tú también dar respuesta a éstas
preguntas?
a) ¿Cuánto tiempo duró la investigación?
b) ¿Cuál fue el precio del caviar a los doce meses de iniciado el estudio?
c) ¿En qué momento el precio fue de $ 15?
d) ¿En qué períodos el precio del caviar fue en aumento?
e) ¿Cuál fue el precio más alto que alcanzó el caviar en el período estudiado?,
¿en qué momento se observó?
f) ¿Cuándo se dio el precio más bajo?, ¿cuál fue dicho valor?
g) ¿Entre qué valores varió el precio en el período analizado?
h) ¿Si el estudio se inició en Abril de 1994, ¿cuándo terminó?
Actividad 10:
Una vez que Claudia se durmió, Yoly se conectó a Internet. Entró en la página de la Bolsa
de Comercio y bajó a su computadora un gráfico donde se mostraba la cotización del dólar
durante un mes, en una etapa de suma inestabilidad económica en nuestro país.
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Yoly quiso mirar detenidamente la evolución en períodos de 10 días y tratar de determinar
cómo se comportaba el dólar a medida que iban transcurriendo los días.
Es claro que en los primeros diez días la relación que permite observar la evolución se
x
puede expresar por la fórmula y 2, donde x representa el día transcurrido e y el
10
valor del dólar en ese día. Realicemos un esfuerzo y tratemos de pensar ¿Qué relaciones
habrá encontrado Yoly en los dos períodos siguientes?. Expresa dichas relaciones por
fórmulas.
Observación: La variable tiempo está medida en días.
Hacia la formalización de la noción de función
Como se trató de ejemplificar en las actividades anteriores, muchas experiencias de la
vida diaria involucran a dos variables de modo tal que el valor de una de ellas depende del
valor de la otra. Así también, las ventas de un producto dependen de su precio, en un día
dado la temperatura tiene una relación definida con la hora, la distancia recorrida por un
móvil depende de su velocidad. Tales ejemplos pueden multiplicarse indefinidamente y
todos ellos vinculan cantidades que corresponden a dos conjuntos específicos. Se trata de
una relación funcional.
Retomemos la pregunta planteada anteriormente: “¿Qué característica deberá
cumplir una relación entre conjuntos para ser función?”
Respondemos esto con la siguiente definición:
Definición: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una relación de A en B es una
función si cada elemento del conjunto A está relacionado con un único elemento del
conjunto B.
Al conjunto A se lo suele llamar dominio o conjunto de partida y a B codominio o
conjunto de llegada.
Notación funcional: Para indicar que la función f relaciona el conjunto A con el conjunto
B escribimos:
f : AB
y si f asigna al elemento a A, el elemento b B, escribimos: f ( a ) = b.
Esto puede leerse, b es la imagen de a por la función f, o bien, a es la preimagen de b por
la función f.
Cuando la ley de asignación de una función se da mediante una ecuación de la forma
y f (x) (por ejemplo y x 2 ), con frecuencia nos referimos a x como la variable
independiente y a y como la variable dependiente. Estas expresiones se deben a que, para
una función dada, a x le podemos dar valores más o menos arbitrarios mientras que el valor
correspondiente de y depende del valor que le hemos dado a x.
Nos interesaremos por aquellas funciones en las que ambas variables son números
reales. A este tipo de funciones las llamamos funciones reales (o sea, con valores reales) de
una variable real.
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Dominio e Imagen
La ley de asignación es el corazón de una función, pero ésta no queda determinada
por completo sino cuando se da su dominio. Recuerda que el dominio de una función f,
Dom( f ), es el conjunto de valores a los cuales se les puede determinar su imagen.
Así, una correspondencia puede ser o no una función según cómo se elija el dominio o
conjunto de partida. Piensa la siguiente situación:
Actividad 11:
Sea f : IR IR la correspondencia que a cada número real le asigna su raíz cuadrada
positiva ( si existe), o sea f(x) x .
a) Esta correspondencia no es una función de IR en IR. Analiza por qué.
b) ¿Cómo debería tomarse el conjunto de partida para que la correspondencia
resulte función?
c) ¿Existe un único conjunto de partida que cumpla la condición requerida
anteriormente?
d) Calcula la imagen de 4 por la función f.
e) Calcula la preimagen de 1,6 por la función f.
La imagen o recorrido de una función f, Im( f ) , es el conjunto de valores que
toma f (x ) cuando x pertenece al dominio .
La siguiente actividad te muestra cómo el dominio y la ley de asignación
determinan el conjunto imagen
Actividad 12:
2x2
x2
a) Calcula h(1) y h(3)
b) ¿Es posible calcular h(0)?, ¿por qué?
c) Halla Dom(h).(Ayuda: Recuerda los procedimientos que has utilizado para
determinar el Dominio de las Expresiones Algebraicas.)
Dada h(x)
Actividad 13:
2
Sea la ley de asignación dada por la ecuación: f (x) x .
Si Dom(f) = IR, es decir, a x le damos cualquier valor real, entonces f es una
función e e Im(f) = IR + . Analiza por qué. ¿Conoces otra notación para el conjunto
Im(f)? ¿Cuál?
¿Cómo graficar una función?
Comencemos recordando cómo podemos representar puntos del plano en un
sistema de coordenadas cartesianas. Para ello traza en el plano dos rectas perpendiculares.
Estas rectas reciben el nombre de ejes coordenados. Al eje horizontal se lo denomina eje
de abscisas y al vertical eje de ordenadas
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Sobre cada uno de los ejes coordenados se puede representar a los números reales y
fijar qué escala se va a utilizar en cada uno de los ejes. Por ejemplo, si en los dos ejes se
tomará como unidad el 1, habría que decidir qué punto corresponde al 1 en cada eje. Si, en
cambio, las unidades aumentaran de 100 en 100 habría que decidir qué punto representa el
100 en cada eje, para luego poder representar otros valores. También podría ocurrir que
necesitemos utilizar dos escalas diferentes en cada eje, en ese caso, habría que indicar
sobre los mismos qué número va a representar a la unidad en cada recta.
Ahora bien, marca un punto cualquiera a sobre el eje horizontal y otro b sobre el
eje vertical. Por a traza una recta vertical y por b una horizontal. Estas rectas se cortan en
un punto P el cual representa al par ordenado (a , b).
P(a,b)
b
a
Recíprocamente, considera ahora un punto P en el plano cartesiano. Explica cómo
procederías para obtener los valores de a (abscisa de P) sobre el eje horizontal y b
(ordenada de P) sobre el eje vertical.
En consecuencia, a cada punto P del plano se le puede asignar un par de números
reales (a , b) y a cada par ordenado (a , b) le corresponde un punto P del plano. El punto
P suele denotarse por P ( a , b ) , P = ( a , b ) o simplemente, ( a , b ) y con IR 2 se denota
el conjunto de todos los pares ordenados de números reales ó puntos del plano. Esto es:
IR 2 x, y / x, y IR
El gráfico de una función f : A IR con A IR, en lenguaje simbólico, es el
conjunto de todos los pares ordenados de la forma ( x , f ( x ) ) , esto es
2
(
x
,y
)
IR
:
x
A
,y
f
(
x
)
Graf ( f ) =
Utilizando este procedimiento obtiene en forma gráfica y en lenguaje simbólico el
gráfico de la función:
2
f : IR IR , definida por f(x)x 3
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¡MAS ACTIVIDADES!
Actividad 14:
Con una hoja de cartón se construye una caja sin tapa de base cuadrada de 5 cm de lado.
.
5cm
x
a) Expresa el volumen de la caja en función de su altura e indica el dominio de tal
función.
b) Realiza el gráfico de la función
c) Expresa algebraicamente el conjunto que representa dicho gráfico
Actividad 15:
Indica si las siguientes relaciones f entre los conjuntos A y B representan una función.
Justifica tu respuesta. En caso de que lo sea, indica su Dominio e Imagen
a)
b)
f
a
b
f
d
a
e
b
e
f
c
c
d
f
A
B
A
B
1,2,3,4
c) Aa,b,c,dy B
i)
x
a
b
a
c
f(x)
1
2
3
4
ii)
x
a
b
c
d
f(x)
1
4
2
3
iii)
x
a
b
c
d
f(x)
4
2
2
3
Actividad 16:
Analiza si cada una de las siguientes gráficas representa una función que tenga al conjunto
A indicado como dominio.
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Actividad 17:
Para cada relación propuesta a continuación indica:
i) La variable dependiente y la variable independiente
ii) El dominio y la imagen
a) Precio de un paquete de galletitas en función del peso.
b) Cantidad de harina necesaria para una receta en función de las porciones que se
quiere hacer.
c) Variación de la temperatura en una ciudad en función del tiempo.
Actividad 18:
Halla el dominio e imagen de las funciones cuyas gráficas se dan a continuación:
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Actividad 19:
x2 1
y g (x) = x – 1? Justifica.
x 1
Ayuda: es posible encontrar expresiones algebraicas equivalentes.
¿Son iguales las gráficas de las funciones f (x) =
Actividad 20:
Dada la siguiente función.
¿Qué valores no pertenecen a su dominio? Entonces, ¿cuál es el conjunto dominio?
¿Qué valores no pertenecen a su imagen? Entonces, ¿cuál es el conjunto imagen?
En que subconjunto del dominio la función es positiva? Justifica tu respuesta.
En que subconjunto del dominio la función es negativa? Justifica tu respuesta.
En algún elemento del dominio la función se anula. Justifica tu respuesta.
Actividad 21:
3
)x
2y g(t)t2 2t, calcula:
Dadas f(x
a) f(2), f(-3), f(1/2), f(a-1).
b) i) g(0), g(-5), g(a), g( ), g(t+h).
ii)¿Puedes expresar coloquialmente que significa determinar g(-5) ?
c) ¿Para qué valores de t es g(t)= - 6 ? Expresa coloquialmente el significado de
los valores hallados.
Actividad 22:
Dada h(u) u2
a) Calcula h(-2) y h(6).
b) ¿Es posible calcular h(-3)?, ¿por qué?
c) Halla Dom(h).
d) Determina la preimagen de 10.
Actividad 23:
Halla el dominio de las siguientes funciones. Justifica tu respuesta
1
2
a) y x 2
e) y
x 2
1
b) y x
f) y
x21
1
1
c) y x2 4
g) y
3
x
2 x
5
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d) y 2x3
x1
e) y 2
x 2x3
Actividad 24:
Dada h(u )
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x
h) y 2
x 2x3
x
i) y
x32
1
2u 4
a) Determina analíticamente el conjunto Dom(h).
b) Calcula h(9), h(u+1).
1
c) Determina la preimagen por h de .
2
Actividad 25:
2
1
)f(
x
).
Si f(x)x x prueba que f(x
Actividad 26:
La siguiente gráfica es la representación de una función y f (x)
a) Indica dos valores de x que estén en el Dom(f) y dos que no lo estén.
b) Indica dos valores de y que pertenezcan a Im(f) y dos que no pertenezcan.
c) ¿De cuántos números es imagen el 3?
d) Determina f ( 0 ) y f ( - 6 ).
e) ¿Es f ( 2 ) positiva ó negativa ? ¿y f ( 8 )?
f) ¿Cuáles son los ceros de la función f ? (Investiga lo que esto significa).
g) ¿En qué punto la función corta al eje de ordenadas?
h) ¿Para qué números x se cumple que f (x) > 0?
f) ¿Cuál es el dominio de f? ¿y su imagen?
Actividad 27:
Álvaro va cada tarde al instituto, pasa primero por la panadería, luego se detiene en la
siguiente esquina a esperar a un compañero. Por fin, después de las clases, vuelve a casa.
Aquí tienes la gráfica de su recorrido.
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a) ¿Qué distancia hay de la casa al instituto? ¿Y a la panadería?
b) ¿Cuánto demora en la panadería?
c) ¿Tiene que esperar mucho a su compañero?
d) ¿Cuánto duran las clases?
e) Si las clases comienzan a las 4 de la tarde, ¿dónde estaba a las 3 h. 32 minutos,
3h. 36 minutos y a las 3 h. 54 minutos?
f) ¿Durante cuánto tiempo estuvo a 500 metros de su casa? ¿Y a 600 metros?
Actividad 28:
Traza la gráfica de una función con:
e Im ( f ) =
x
R
:
3
x
8
,x
5
y
R
:
1
y
2
,y
0
Dom ( f ) =
¿Cuáles son los puntos en el rectángulo determinado por -3 x
y
pueden estar en la gráfica ?.
Actividad 29:
Expresa el área y el perímetro de un triángulo isósceles como funciones de la altura,
sabiendo que la base mide 6 cm.
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PARTE V
TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es una rama de la Matemática, que estudia las relaciones entre los
ángulos y los lados de los triángulos. En esta unidad trabajaremos con razones
trigonométricas y resolución de triángulos, cuyo manejo nos permitirá resolver problemas
asociados no sólo con la Matemática sino también con la Geología, Biología, Química y
Física.
1. Ángulos
Recordemos que un ángulo plano es la porción del plano comprendida entre dos
semirrectas con un origen en común llamado vértice, tal como se indica en la Figura 1.
Los ángulos en general se denota con letras griegas o letras mayúsculas.
Figura 1
Se dice que un ángulo está orientado con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales si:
su vértice es el origen del sistema de ejes cartesianos
el lado inicial del ángulo coincide con el semieje positivo del eje de las abscisas.
En el plano cartesiano podemos considerar 4 sectores llamados cuadrantes en los cuales
localizamos el lado terminal. En la siguiente figura se muestra un ángulo, en los distintos
cuadrantes, cuyo lado inicial es el semieje positivo de las abscisas..
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2
2. Sistemas de Medición
Para medir la amplitud de los ángulos, algunos de los sistemas más utilizados son
el Sistema Sexagesimal, el Sistema Circular o Radial y el Sistema Centesimal.
Recordaremos como se trabaja con los dos primeros.
2.1 Sistema Sexagesimal
El Sistema Sexagesimal, es el que divide a la circunferencia en 360 partes iguales
llamadas grados sexagesimales luego:
el grado sexagesimal que es la unidad en este sistema , se lo define como :
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1o
1 giro
360
el grado se lo divide en 60 partes iguales, y cada una de ellas se llama minuto
sexagesimal , se lo define como :
1´
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1o
60
el minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales, y a cada una de ellas se
llama segundo sexagesimal, se lo define como:
1´´
1´
60
En la Figura 3 se muestran los ángulos, generados en función de los ejes coordenados,
medidos en el sistema sexagesimal, inscriptos en una circunferencia.
Figura 3
Ejemplo 1: Un ángulo ̂ , puede ser representado de dos maneras diferentes en el sistema
sexagesimal, así ˆ 124.86 o o ˆ 124 o 51´ 36´´ , la primera representación es en grados
sexagesimales con fracción decimal y la segunda en grados, minutos y segundos
sexagesimales.
Puedes utilizar tu calculadora para obtener la equivalencia o también puedes verificarlo
utilizando reglas de tres simples, como se indica a continuación:
Grados a Minutos
o
´
1 60
0.86 o x
Minutos a Segundos
´
´´
1 60
0.86 60
o
1o
´
51 .6´
0.6´ x
0.6´ 60 ´´
1´
36 ´´
¿Te animas a expresar al ángulo ˆ 34 o 23´42´´ en forma decimal, sin utilizar la
calculadora?
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Para trabajar con tu calculadora en el sistema sexagesimal debes trabajar en MODO DEG.
y para trabajar el sistema radial, la calculadora debe estar en MODO RAD.
2.2 Sistema Radial o Circular
Los ángulos en el Sistema Radial se miden en radianes los cuales son números
reales, siendo la unidad de medida el radian. Cabe aclarar que este sistema no tiene
subunidades.
Un radian es la medida del ángulo con vértice en el centro de una circunferencia cuyos
lados determinan sobre la circunferencia un arco de longitud igual al radio. Luego la
medida de un ángulo en el sistema radial se obtiene a partir de la siguiente relación:
ˆ
longitudAr co
radio
Basados en el hecho que el arco que cubre a la circunferencia de radio “r” tiene longitud
2r , la medida en el sistema radial de un ángulo de giro completo es
ˆ
2 r
ˆ 2 6.28 rad.
2 o sea
r
Notar que:
la medida del ángulo en el sistema radial es un número real.
la medida del ángulo es independiente del radio de la circunferencia.
2.3 Equivalencia entre los sistemas sexagesimal y radial
En virtud de que el ángulo de giro completo en el sistema sexagesimal es de 360º y
en el sistema radial es 2 rad, es que podemos establecer la siguiente relación:
360º equivalen a 2π
(1)
A partir de ésta equivalencia se determina que un ángulo de 90º, cuyo el arco cubre la
cuarta parte de la circunferencia es / 2 rad o sea aproximadamente 1.57rad.
En este punto nos podemos hacer las siguientes preguntas ¿cuántos radianes representarán
un ángulo de 1º? o bien ¿cuántos grados representan un ángulo de un radian? Para dar la
respuesta trabajaremos utilizando la equivalencia (1), de la siguiente manera:
Grados a Radianes
360 o 2rad
1o 2rad
1o x
0.017 rad
360 o
Radianes a Grados
2 rad 360 o
1rad 360 o
1rad x
57.295 o
2 r
La ventaja de medir a los ángulos en radianes es que ésta es una unidad más conveniente
por la escala. Nota la diferencia de escala para un mismo ángulo representado en cada
sistema de medición. Por ejemplo sea ̂ 90o 1.57 rad.
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Ejemplo 2: Determina
a) ¿A cuántos radianes equivale un ángulo de 120o? b) ¿A cuántos grados equivale un
ángulo de 1.38 rad ?
Solución: Recordemos que 360º equivalen a 2π rad y usando regla de tres simple se tiene:
a) 360 o 2rad
120 o 2rad
2
2
rad , luego ˆ o bien ˆ 2.094
3
3
360 o
2
Es importante destacar que la representación ˆ es exacta en cambio ˆ 2.094 es
3
120 o x
aproximada. ¿Puedes decir por qué ocurre esto?
b) Operando de manera análoga se tiene:
2rad 360 o
1.38rad x
1.38rad 360 o
248 .4 o , luego ˆ 248 .4 o o bien ˆ 248 o 24´
2rad
3. Razones Trigonométricas
Supongamos que ACB es un triángulo rectángulo en C y ̂ el ángulo agudo
formado por los lados AB y BC, luego a los lados del triángulo asociados al ángulo ̂ , se
los llama: “hipotenusa” (lado c), lado opuesto al ángulo recto; el cateto opuesto (lado a) y
“el cateto adyacente” (lado b). Ver Figura 4.
A
b
c
C
a
Figura 4
B
Veamos como intervienen los elementos de este de triángulo, para definir las razones
trigonométricas, seno, coseno y tangente asociadas al ángulo ˆ , las cuales, como se verá
más adelante dependen sólo del valor del ángulo agudo considerado.
El seno (abreviado como sen) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
sen̂
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa,
coŝ
Cateto Opuesto AC b
Hipotenusa
AB c
Cateto Adyacente BC a
Hipotenusa
AB c
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el
cateto adyacente,
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tg ̂
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Cateto Opuesto
AC b
Cateto Adyacente BC a
Actividad 1:
a) Dibuja 4 triángulos rectángulos semejantes con un ángulo agudo común que mide
42 .
b) Determina en cada triángulo, respecto del ángulo dado, las razones entre cada uno
de los catetos y la hipotenusa y entre los dos catetos.
c) Discute sobre los resultados obtenidos.
¿Cómo resultaron las razones encontradas para los 4 triángulos que construiste? Observa
que estas razones no dependen de las medidas de los lados del triángulo sino que sólo
dependen del ángulo agudo considerado.
Las razones trigonométricas seno y coseno, definidas, asumen valores entre 0 y 1
dado que la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los otros dos catetos; en tanto
que la razón tangente puede asumir cualquier número real. ¿Puedes decir por qué?
Una característica muy importante de estas razones trigonométricas es que ellas
sólo dependen del valor del ángulo ̂ , ello debido a que si los triángulos rectángulos
tienen un ángulo en común, son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales, es
decir, las relaciones entre los lados no varían. En los triángulos de la siguiente figura
puedes apreciar ésta característica.
Figura 5
Así, se puede asegurar que cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene asociado
una única razón trigonométrica. Dicho en otras palabras, es posible definir una función
que asigne a cada ángulo interior de un triángulo rectángulo un único valor dado por la
razón trigonométrica. Y como hemos definido tres razones trigonométricas, podemos
definir tres funciones trigonométricas relacionadas con ellas, que son las funciones seno,
coseno y tangente.
Esta idea nos permite resolver situaciones como: dado un ángulo agudo podemos
encontrar una única razón trigonométrica asociada a él. O dada una razón
trigonométrica podemos encontrar un único ángulo agudo asociada a ella.
La pregunta es ¿cómo encontramos el ángulo asociado a una determinada razón
trigonométrica?. Esto se puede hacer definiendo una regla de asignación (función) a la que
denominaremos “arco”, la cual permite determinar el ángulo cuya razón trigonométrica es
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un valor conocido. Luego para las tres razones trigonométricas se pueden definir las reglas
“arcoseno”, “arcocoseno” y “arcotangente”, estas funciones en la mayoría de las
calculadoras aparecen con los nombres sen 1 , cos 1 y tan 1 respectivamente.
Supongamos que se tiene un número x entre 0 y 1 y queremos asociar un ángulo ̂ cuyo
seno sea el número x, entonces al valor del ángulo lo denotaremos por arcsenx ̂ ,
valor al que podrás acceder utilizando tu calculadora. Para aclarar ideas planteamos la
siguiente situación.
Ejemplo 3: Utilizando la calculadora, encuentra el ángulo agudo cuyo seno es 0.85 .
Solución:
Aquí deseamos encontrar el ángulo tal que se verifique que el sen ˆ 0.85 . Para
determinar el valor del ángulo aplicamos el arcsen al número x 0.85 o sea arcsen0.85 y
obtenemos, ˆ 64.68 o es decir hemos obtenido un ángulo cuyo seno es 0.85 . Con la
calculadora la puedes obtener haciendo sen1 0.85 64.68 o .
También se pueden definir otras razones trigonométricas llamadas razones
trigonométricas recíprocas, ellas son: secante, cosecante y cotangente, las que se definen
de la siguiente manera
La cosecante (abreviado como cosec) es la razón entre la hipotenusa y el cateto
opuesto,
cot secˆ
La secante (abreviado como sec) es la razón entre es la razón entre la hipotenusa y
el cateto adyacente,
secˆ
Hipotenusa
AB c
1
Cateto Opuesto AC b senˆ
Hipotenusa
AB c
1
Cateto Adyacente BC a cosˆ
La cotangente (abreviado como cotan o cotg) es la razón entre el cateto adyacente
y el opuesto,
cotg ˆ
Cateto Adyacente BC a
1
Cateto Opuesto
AC b tg ˆ
4. Resolución de Problemas con triángulos
Para resolver situaciones relacionadas con distintas ciencias es necesario recurrir a
algunas herramientas de la matemática entre ellas, la geometría y la trigonometría. A
continuación se detallan algunos resultados y conceptos que ayudan a la resolución de
dichos problemas.
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4.1 Resolución de Problemas con triángulos rectángulos
Cuando se trata de triángulos rectángulos, el ángulo recto es un dato, entonces
necesitamos conocer sólo dos elementos aparte de ese ángulo. Éstos pueden ser dos lados
o bien un lado y un ángulo. Para resolver este tipo de problemas nos ayudará recordar:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o (en consecuencia la suma de
los ángulos agudos de una triángulo rectángulo es 90o).
El teorema de Pitágoras.
Las definiciones de las razones trigonométricas de los ángulos agudos.
La forma de determinar el valor de un ángulo cuando es conocida una de las razones
trigonométricas.
¿Recuerdas el Teorema de Pitágoras?
“En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos”.
El cual se puede expresar, basado en la Figura 4, de la siguiente manera:
c 2 a 2 b 2 , de donde c a 2 b 2
¿Te animas a escribir la expresión para obtener cada uno de los catetos del triángulo
rectángulo?
Ejemplo 4: Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo
rectángulo, si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3 m.
Solución:
Para determinar las razones trigonométricas nos falta conocer la longitud del otro cateto
del triángulo, al que denotaremos a. Para determinarla utilizamos el Teorema de Pitágoras,
luego a c 2 b 2 25 9 16 4 , entonces la longitud del cateto es a 4m .
Como deseamos determinar las razones trigonométricas asociadas al ángulo agudo menor,
debemos decidir cual es el ángulo menor, para ello recordemos la siguiente propiedad:
“dados dos ángulos cualesquiera interiores a un triángulo, al menor ángulo se le opone el
menor lado”
Así la situación planteada queda esquematizada en la Figura 6.
A
b=3
c=5
C
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a =4
B
Figura 6
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Si llamamos ̂ al ángulo agudo menor del triángulo rectángulo entonces la longitud del
cateto opuesto a él es b 3m . Luego las razones trigonométricas son:
3
4
3
5
5
4
sen̂ ; coŝ ; tg ̂ ; cos ecˆ ; secˆ ; cot g ˆ
5
4
3
5
3
4
Ejemplo 5: Sabiendo que la torre Eiffel mide 300 metros de altura, ¿cuánto hay que
alejarse para que su extremo se vea desde el suelo, 36 o por encima de la horizontal.
Solución:
1. En primer lugar hacemos un gráfico que represente la situación, así tenemos
C
Bˆ 36º
CA = 300m
(altura de la torre)
A
B
2. Ahora dado que tg 36 o
encontramos que AB
300 m
, despejando se tiene que
AB
AB
300 m
, de donde
tg 36 o
300
412.939 m
0.7265
Luego para ver a la torre desde un ángulo de 36 o nos debemos alejar un poco más de 4
cuadras.
4.2 Resolución de Problemas con triángulos oblicuángulos
Cuando se desea resolver triángulos oblicuángulos, como el que se muestra en la
Figura 7 deberemos recurrir a resultados tales como el Teorema del Seno y el Teorema del
Coseno.
Figura 7
Teorema del seno
En todo triángulo ABC los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Es decir dado el triángulo ABC como el de la Figura 7, tenemos:
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senˆ sen ˆ
senˆ
otra manera de expresarlo
a
b
c
a
b
c
senˆ sen ˆ
senˆ
Teorema del Coseno (Generalización del Teorema de Pitágoras)
En todo triángulo ABC, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos lados por el coseno del
ángulo comprendido entre ellos. Basados en el triángulo ABC de la Figura 7, podemos
escribir.
a 2 b 2 c 2 2.b.c. coŝ
c 2 a 2 b 2 2.a.b. coŝ
b 2 a 2 c 2 2.a.c. cos ̂
Ejemplo 6:
a) Para sostener un globo aerostático se utilizaron dos cuerdas c1 y c 2 , como se muestra
en la figura, ¿qué longitud deben tener cada una de ellas?
Globo
c2
c1
110 o
30 o
10m
Solución:
Debemos encontrar la longitud de las dos cuerdas c1 y c 2 que sostienen al globo. En
función de los datos y del triángulo formado, utilizaremos el Teorema del Seno.
Recordemos que los ángulos interiores a un triángulo suman 180 o , luego el valor del otro
ángulo es 40 o y como conocemos el tamaño del lado del triángulo opuesto a dicho ángulo,
aplicamos el Teorema del Seno y obtenemos:
sen 110 o
sen 40 o
sen 110 o 10 9.397
14.61
y despejando se obtiene c1
c1
10
0.643
sen 40 o
Para determinar c 2 , planteamos la siguiente expresión
sen 40 o
sen 30 o
sen 30 o 10
5.0
7.78
y despejando se obtiene c 2
o
0.643
10
c2
sen 40
Luego las cuerdas que sostienen al globo miden 14.61m y 7.78m.
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b) Para construir un túnel en una montaña se localiza una piedra saliente C y se miden
ambos extremos según se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del túnel?
C
55 o
b
A
a
c
AC=240m
CB=650m
B
Solución:
Observando la figura vemos que el triángulo que se forma no es rectángulo. Por otro lado
tenemos como información la longitud de dos lados y el tamaño del ángulo formado por
ellos, lo que nos permite utilizar el Teorema del Coseno.
Nuestros datos son: BC a 650 m , AC b 240 m y ˆ 55 o y aplicando la expresión :
c 2 a 2 b 2 2.a.b. coŝ
c 2 650 2 240 2 2 650 .240 cos 55 o 422500 57600 2 650 240 0.57358
301143 .04
De donde la longitud del túnel es
kilómetros tiene el túnel?
301143 .04 548.77m .
¿Podrías decir cuántos
Actividades
1) Utiliza tu calculadora para expresar:
a) en grados los siguientes ángulos.
ˆ 115 o 20´12´ ´ ; ˆ 208 o12´8´´ ; ˆ 317 o 24´18´´
b) en grados minutos y segundos los siguientes ángulos
; ˆ 265 .78 o
ˆ 124.357 o ; ˆ 16.37 o
2) Expresa en:
a) radianes los siguientes ángulos expresados en grados
ˆ 11.18 o ;
ˆ 107 .46 o ;
ˆ 219 .43 o
b) grados los siguientes ángulos expresados en radianes
ˆ 32.67rad
ˆ 243,13rad
ˆ 135 .6rad
3) Utilizando tu calculadora encuentra:
a) el seno, coseno y tangente de los ángulos indicados en los incisos a) y b) del
Ejercicio 1.
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b) los ángulos que verifican las siguientes igualdades: sen 1 / 4 ; cos 1 / 12 ;
tg 3 .
4) El techo de un quincho forma un ángulo de 30 o con la horizontal y sabiendo que el
quincho tiene 14 metros de fondo. Determina:
a) la longitud del techo b) la altura que alcanza el techo.
5) Necesitamos alcanzar una lámpara que se encuentra en una pared de 4m de altura y
contamos con una escalera de 5.8 m de largo
a) ¿Cuál es el ángulo de inclinación que le debemos dar a la escalera?
b) ¿A qué distancia de la pared debemos colocar el pie de la escalera?
6) Desde un acantilado que está a 80 m sobre el nivel del mar, se puede observar un bote
cuando el ángulo de depresión es de 20 o . Determina a que distancia está el bote de la base
del acantilado.
7) Suponte que una rampa de un edificio público tiene 32m de longitud y 23m de base.
a) Dibuja el triángulo.
b) ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la rampa? c) ¿Cuál es su altura?
8) Calcula los elementos desconocidos de los triángulos rectángulos que se presentan a
continuación
i) C
ii) A
Bˆ 30º
CB = 10 cm
iii)
B
AB = 5m
20º
Aˆ 20o
BC=4m
AC=12m
B
A
A
B
C
C
9) Una persona desea calcular la altura del Obelisco. Estando parado a 57m del mismo,
mide con el clinómetro un ángulo de 49° formado entre la horizontal y una línea
imaginaria hasta el punto más alto del Obelisco. Sabiendo que la altura del piso hasta sus
ojos es de 1.59 m, ¿cuál es la altura aproximada del Obelisco? Graficar la situación de
manera aproximada.
10) Resolver los siguientes triángulos, usando las medidas indicadas en los mismos.
93°
75°
20 m.
7 m.
16 m.
35°
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11)
Para determinar la distancia de la
casa A a la casa B , un topógrafo
B
camina A1500 metros desde la casa
A hasta el punto C. Utiliza un
teodolito para medir el ángulo
ACB, que resulta ser de 80°, y
después camina hacia la casa B, una
distancia de 1800 metros, ¿cuál es
la distancia entre las casas?
A
B
C
BIBLIOGRAFÍA
Aquí te presentamos una lista de libros que se utilizan en el Nivel Medio y que te servirán
de guía para repasar, profundizar, ver otros ejemplos y resolver ejercicios de los temas de
Matemática vistos en estas actividades de Ingreso a la Universidad.
“Matemática 7”, “Matemática 8” y “Matemática 9”- Editorial Puerto de Palos.
“Matemática 1 Polimodal” y “Matemática 2 Polimodal” - Editorial Puerto de Palos.
“Matemática I Polimodal”- Kaczor, Schaposchnik, Franco, Cicala y Díaz. Editorial
Santillana.
“Matemática 7” - Andrés, Latorre y Machinnas - Editorial Santillana.
“Matemática 8”, “Matemática 9”- Kacsor, Piñeiro y Serrano - Editorial
Santillana.
Carpeta de Matemática 1 Polimodal - Abdala, Real y Turano - Editorial AIQUE.
“Matemática 9” – Fernández Moreno y Ottolenghi-Viterbi –Serie Convergencias.
Editorial Kapelusz.
“Matemática 7”, “Matemática 8” y “Matemática 9” - Englebert, Pedemonti y
Semino - AZ editora S.A.
“Matemática 9” – Ferraris y Tasso – Editorial Brujas.
“Funciones 1” Polimodal - Altman, Comparatore y Kurzrok. Editorial Longseller
S.A.
“Matemática 9” – López y Pellet – Serie de Tramas – A-Z editora S.A.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A continuación se muestra un listado de bibliografía en la que se fundamentó la
presentación de los contenidos y las actividades propuestas.
Matemáticas: contenidos, actividades y recursos. Guías Praxis para el profesorado.
Azcarate Giménez, C. y otro. (1999). Editorial Praxis S.A.España.
Matemática: temas de su Didáctica. Cap. 3. Camuyrano, M. y otros. (1998).
Programa Prociencia CONICET. Buenos Aires.
Función de Gala. Carnelli, G. (1997). Editorial El Hacedor. Buenos Aires.
Matemática: una mirada funcional Gysin, L. Y otros (1999).. A-Z Editora. Buenos
Aires
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Departamento de Matemática
Ideas y actividades para enseñar Álgebra Grupo Azarquiel (1993).. Editorial
Síntesis S.A. Madrid.
Curso de Ingreso. Años: 2003-2004-2005 Aguirre, N; Bastán, M; Etchegaray, S;
Moschetti, E; Peparelli, S, Denner, C.
Curso de Ingreso Año 2007-2008 Etchegaray S, Colombo S, Konic P, Denner C.
Fac.de Cs.Exactas. Área Matemática.
“Matemática para hacer I” (2007). 1º Edición. Ed. Aular Taller.Bs. As.
Notas de Clase y Trabajos Prácticos de la asignatura Matemática Básica (Código
1900) (Año 2009) Elsa Moschetti. Dpto. de Matemática Facultad de Ciencias
Exactas Fco. Qca y Naturales. UNRC. http://dmat.exa.unrc.edu.ar/
Matemática I. Pablo J. Kaczor; Ruth A. Schaposchnik; Eleonora Franco; Rosa A.
Cicala ; Bibiana H. Díaz. (1999) Editorial. Ediciones Santillana.
Una puerta abierta a la Matemática Trigonometría. Liliana Ferraris; María
Alejandra March (2008). Editorial comunicarte.
Matemática Guías teórico-prácticas. Irene Marchetti de De Simone; Margarita
García de Turner (1995). A-Z editora.
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Ingreso 2010
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